1
Masteropleiding Financial Planning Kwantitatieve Methoden 1 Relevante wiskunde We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: De natuurlijke getallen: N = {0,1,2,3,4, L} De gehele getallen: Z = {L, - 3, -2, -1,0,1,2,3, L} (engels: "integers") p De rationale getallen: Q = { , metpenqgeheel, q ¹ 0} , dus de breuken. q De reële getallen: R . Dat zijn de rationale getallen en de irrationale getallen, dat zijn getallen die niet als een breuk van gehele getallen te schrijven zijn. (Bijv. 2 en p ) We kunnen met (reële) getallen de volgende bewerkingen uitvoeren: Optellen: 3 + 4 = 7. De getallen 3 en 4 heten dan de termen van een som. Vermenigvuldigen: 3 × 4 = 12. De getallen 3 en 4 heten dan: de factoren van een product. Machtsverheffen: 5 3 = 5 ´ 5 ´5 = 125 De uitdrukking 53 heet een macht. 5 heet het grondtal (engels: base) en 3 heet de exponent. Let op: 3 + 4 = 4 + 3 en 3 ´ 4 = 4 ´ 3 Optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief. Maar 5 3 ¹ 35 : machtsverheffen is niet commutatief. Bij een combinatie van verschillende bewerkingen gelden in de wiskunde voorrangsregels: Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en vermenigvuldigen gaat vóór optellen: 3 + 4 ´ 5 = 23 (en niet 35) 100 ´ (1,06)5 = 133,82 (en niet 13382255780, een getal dat honderd-miljoen keer te groot is !)
Variabelen zijn letters (vaak x of y ) die getalwaarden kunnen aannemen. Indien er geen speciale opmerkingen over de variabelen gemaakt worden, nemen we aan dat de variabelen reële getalwaarden kunnen aannemen. Notatie : Het product van twee variabelen x en y kan genoteerd worden door: x ´ y . Meestal schrijft men x × y of kortweg: xy . Krijgt een van beide variabelen een getalwaarde toegekend, dan wordt dit getal altijd links geschreven. Krijgt in de uitdrukking xy de variabele y de waarde 3, dan noteren we dit met: 3x (liever dan x 3 ). Haakjes De voorrangsregels zijn ondergeschikt aan het gebruik van haakjes: (3 + 4) ´ 5 = 7 ´ 5 = 35
2
Willen we tóch eerst vermenigvuldigen en dan pas optellen dan moeten we de factor 5 "binnen haakjes halen": 5 ´ (3 + 4) = 5 ´ 3 + 5 ´ 4 = 15 + 20 = 35 Algemeen: a ´ (b + c) = a (b + c ) = ab + ac Deze formule wordt de "distributieve eigenschap" genoemd, de factor a moet "gedistribueerd" (=verdeeld) worden over beide termen b en c. Passen we bovenstaande formule in omgekeerde richting toe, dus: ab + ac =a (b + c) dan zeggen we: we hebben de gemeenschappelijke factor a "buiten haakjes gehaald". Ook geldt: ab - ac = a(b - c) Voorbeelden: 3x - xy = x (3 - y)
a + a 2 = a × 1 + a ×a = a(1 + a) 1300 - 1300 × (1,06)8 = 1300 × (1 - 1,068 )
In de algebra gelden de volgende belangrijke identiteiten (merkwaardige producten): (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2 (a + b)(a - b) =a 2 -b 2
Ga na dat geldt: (3 + 4)2 = 3 2 + 2 ´ 3 ´ 4 + 4 2 = 9 + 24 + 16 = 49 Merk op: (3 + 4)2 ¹ 32 + 42
Negatieve gehele exponenten Voor a ¹ 0 definiëren we: a -n =
1 en a 0 = 1 an
Voorbeelden: 1 1 5- 3 = 3 = = 0,008 5 125 æ 1 ö÷-1 1 ç ÷÷ = = 2 çè 2 ø 1 2
(0,007 ) = 1 0
Rekenregels voor machten: a n × a m = a n+ m
an = a n -m am (a n )m = a n×m
(ab)n = a nb n
æa ö÷n a n çç ÷÷ = n èb ø b
3
Let op:
* met 23 wordt bedoeld: 29 = 512 en (23 ) is: 26 = 64 2
2
* Er is verschil tussen 2x 3 en (2x )3 = 23 x 3 = 8x 3 * -22 = -4 en (-2)2 = 4 Wortels Definitie: Met a (de wortel uit a ) wordt bedoeld: het niet - negatieve getal waarvoor geldt: a × a =a Zo is 9 = 3 (en niet - 3). De rekenregels van exponenten blijven geldig indien we a 1 noteren met a 2 Voor positieve getallen kunnen we in het algemeen gebroken exponenten als volgt definiëren: p
Definitie: a q =
q
a p voor a > 0 en q ¹ 0 .
Voorbeelden: 1000 3 = 3 1000 = 10 1
125 3 = 3 1252 = ( 3 125 ) = 5 2 = 25 2
36-2 = 1
2
1 1 1 = 1 = 2 36 6 36
Let op: 9 + 16 ¹ 9 + 16 De wortel uit de som van twee (of meer) termen is niet de som van de wortels !! Rekenmachines hebben een knopje om machten en wortels te berekenen. 1 Machten: x y en wortels: y x of x y (vaak is hier eerst de knop SHIFT nodig) Controleer met uw rekenmachine: (1,005)12 = 1,06168 en 12 1,06 = 1,00487 beide berekeningen afgerond op 5 decimalen. Rijen Een rij is een geordende verzameling getallen, die de "termen" van de rij genoemd worden. Het eerste getal uit de rij heet de "eerste term", genoteerd met t1 , het tweede getal heet tweede term, genoteerd met t2 enz. De n-de term wordt genoteerd met tn . De letter n heet index of rangnummer. Vaak wordt een rij gegeven door de n-de term te schrijven als een formule met deze n. Voorbeelden: tn = n 2 + n geeft de rij: 2, 6, 12, 20, ..... We vinden dit door voor n in te vullen: 1, 2, 3, enz.
4
æ1 ön -1 tn = çç ÷÷÷ geeft de rij: 1, 12 , 41 , 81, 161 ,L è2 ø Het is duidelijk dat de termen van deze rij steeds dichter bij 0 komen te liggen, naarmate we verder in de rij komen. Het getal 0 wordt in dit geval de "limietwaarde" van de rij genoemd. Voor de som van de eerste vier termen geldt: t1 + t2 + t 3 + t 4 = 1 + 12 + 14 + 18 = 1 87 We noteren de som van de eerste vier termen met s 4 Dus s 4 = t1 + L + t4 en in het algemeen: sn = t1 +L + tn n
Soms wordt hiervoor het sigma-teken ( å ) gebruikt: sn = t1 + L +t n = åti i =1
Twee speciale rijen spelen in de financiële rekenkunde een rol, de rekenkundige en de meetkundige rij.
Rekenkundige rijen Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term ontstaat door bij de eraan voorafgaande term telkens hetzelfde getal op te tellen. Voorbeeld: 1, 3, 5, 7, 9, ... de rij der oneven getallen. De eerste term t1 is 1 en door hierbij 2 op te tellen vinden we de tweede term. Door hierbij weer 2 op te tellen vinden we de derde term, enz. Dit getal 2 wordt het verschil van de rekenkundige rij genoemd en genoteerd met v . Dus hier geldt: v = 2 . Weten we van een rekenkundige rij t1 en v dan is de rij volledig bekend. Het verschil mag ook negatief zijn. Voorbeeld: 10, 7, 4, 1, - 2, - 5, .... Dit is een rekenkundige rij met t1 = 10 en v = -3 Voor rekenkundige rijen gelden de volgende (eenvoudig te controleren) formules: tn = t1 + (n - 1)v s n = n(t1 + tn ) 1 2
(1) (2)
Voorbeelden: * Van een rekenkundige rij is gegeven: t1 = 1 en v = 3 . Bereken t6 en s 6 . Formule 1 geeft: t6 = t1 + 5v = 1 + 5 ´ 3 = 16 Formule 2 geeft: s 6 = 21 ´ 6 ´(1 + 16) = 51
* Van een rekenkundige rij is gegeven: t2 = 7 en t 4 = 15 . Bereken t12 en s12 . t1 + v = 7 Formule 1 geeft: t1 + 3v = 15 Trekken we deze vergelijkingen van elkaar af dan vinden we: 2v = 8 dus v = 4 waaruit volgt: t1 = 3. Formule 1 geeft dan: t12 = 3 + 11´ 4 = 47
5
Formule 2 geeft: s12 = 12 ´ 12 ´ (3 + 47) = 300 * Lineaire lening Een hypotheek van 150 000 (euro's, dollars of wat dan ook) wordt afgelost door gedurende 30 jaar telkens aan het eind van elk kwartaal hetzelfde bedrag te betalen voor aflossing. Daarnaast moet interest betaald worden. Het interestpercentage is 2 % per kwartaal. Elk kwartaal wordt dus afgelost:
150000 = 1250 120
Aan het eind van het eerste kwartaal moet in totaal betaald worden: Aan aflossing 1250 plus aan interest 2 % van 150 000 = 3000. In totaal dus te betalen: 4250. De schuld gedurende het tweede kwartaal is 1250 minder, en dus: 148 750. Aan het eind van het tweede kwartaal moet in totaal betaald worden: Aan aflossing 1250 plus aan interest 2% van 148750 = 2975, dus in totaal: 4225. Aan interest hoeft dus nu 25 minder betaald te worden, dat is 2% van 1250. We kunnen nu een "aflossingsschema" van de schuld maken: kwartaal
schuld
1 2 3 . . . 119 120
150000 148750 147500 . . . 2500 1250
aflossing intere st 1250 3000 1250 2975 1250 2950 . . . . . . 1250 50 1250 25
De schuld neemt elk kwartaal af met 1250. De interest neemt elk kwartaal af met 25. De interestbedragen vormen een rekenkundige rij. Hoeveel is nu in totaal aan interest betaald, na het aflossen van de schuld ? Dat is: 12 ´ 120 ´ (3000 + 25) = 181500
Meetkundige rijen Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term ontstaat uit de eraan voorafgaande term, door telkens met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. Deze constante vermenigvuldigingsfactor heet de "reden", notatie: r. Voorbeelden: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... is een meetkundige rij met eerste term 1 en reden r = 2. 1, 12 , 41 , 81, 161 ,L is een meetkundige rij met eerste term 1 en reden r = ½.
Zijn van een meetkundige rij de eerste term en de reden gegeven dan gelden voor de n-de term en de som van de eerste n termen de volgende (eenvoudig te verifiëren) formules: tn = t1 × r n -1
(3)
6
1- rn 1- r De somformule is geldig voor r ¹ 1 s n = t1 ×
(4)
Voorbeeld: Van een meetkundige rij is gegeven: t1 = 1 en r = 12 . Bereken t5 en s 5 . t5 = 1 × ( 12 ) = 4
1 16
1 - ( 12 ) 1 - 321 30 15 s5 = 1 × = = 31 32 ´ 2 = 1 32 = 1 16 1 1 - 12 2 Dit laatste kan natuurlijk ook eenvoudig berekend worden door: 1 + 12 + 41 + 81 + 161 = 1 15 16 maar als een groot aantal termen moet worden gesommeerd is de formule handiger. 5
Financiële rekenkunde We zullen eerst het begrip interest wat nader bekijken. Voorbeeld: Stel een (begin)kapitaal van 1000,- ($ of € of wat dan ook) wordt op een spaarrekening gezet met een interestpercentage van 7% per jaar. Na één jaar is dat kapitaal gegroeid tot: 1000 + 7% van 1000 = 1000 + 0,07x1000 = 1070 Het kapitaal is met 7% vermeerderd en dat wil zeggen: vermenigvuldigd met 1,07. We noteren het interestpercentage gewoonlijk met p , dus in dit voorbeeld geldt: p = 7 % . De p grootheid met weglating van het % teken wordt het (interest)perunage genoemd en meestal 100 genoteerd met i , dus hier: i = 0,07 . We noteren het beginkapitaal met K 0 en het kapitaal na n jaren met Kn . Dus: K1 = 1000 × (1,07) = 1070
K 2 = 1000 × (1,07)2 = 1144,90
K 5 = 1000 × (1,07)5 = 1402,55
In het algemeen geldt de formule:
K n = K 0 × (1 + i )n
(5)
K 0 wordt dus het beginkapitaal genoemd, maar ook wel "beginwaarde" of "present value" (PV) .
Kn heet slot- of eindkapitaal, of eindwaarde of future value (FV) i is hier het jaarlijkse interestperunage en n stelt het aantal jaren voor. We kunnen bovenstaande formule natuurlijk ook gebruiken als er een andere tijdseenheid dan jaar wordt gebruikt, maar dan moet ook het interestperunage gegeven worden voor de betreffende tijdseenheid.
Voorbeeld: Een beginkapitaal van 2000 dat uitstaat tegen 0,4 % interest per maand is na één jaar gegroeid tot: K12 = 2000 × (1,004)12 = 2098,14
7
Indien een bank een klant een lening aanbiedt, tegen een interestpercentage van 8 % per jaar, maar in de praktijk de klant belast met een interest van 8/4 = 2 % per kwartaal, is het werkelijke jaarlijkse interestpercentage iets hoger dan 8 %. Omdat geldt: (1,02)4 = 1,0824 is het werkelijk in rekening gebrachte jaarlijkse interestpercente dus 8,24 %. Dit heet dan het effectieve jaarlijkse interestpercentage. Het voorgespiegelde percentage van 8% per jaar heet in dat geval het schijnbare of nominale interestpercentage. Tegenwoordig zijn de banken verplicht om in hun offertes altijd het effectieve jaarlijkse interestpercentage te vermelden. Formule (5) kan ook gebruikt worden om bij een gegeven eindwaarde de beginwaarde te berekenen. Voorbeeld: Hoeveel geld moet ik nu op een rekening zetten om over 10 jaar de beschikking te hebben over $ 4000,- bij een interestpercentage van 5 % p.j. ? 4000 We moeten oplossen: 4000 = K 0 × (1,05)10 , dus: K 0 = = 4000 × (1,05)- 10 = 2455,65 (1,05) 10 Deze beginwaarde van $ 2455,65 wordt ook wel de contante waarde genoemd.
Voor het berekenen van contante waarden wordt formule (5) meestal geschreven als: K 0 = K n × (1 + i )-n (6)
Cash flow Een investering levert volgens de prognose na een jaar $ 10000 op, na twee jaar $ 15000 en na vier jaar $ 20000. Wat is de totale contante waarde van de kasstromen (cash flow) bij een interestpercentage van 10 % per jaar ? De som van de contante waarden (Total Present Value, TPV) is gelijk aan: TPV = 10000 × (1,1)-1 + 15000 ×(1,1)-2 + 20000 ×(1,1)-4 = $35147,87
De som van de slotwaarden (Total Future Value, TFP) na vier jaar is gelijk aan: TFV = 10000 × (1,1)3 +15000 ×(1,1)2 +20000 = $51460,00 Merk op dat dit precies de opgeinterest waarde is van de TPV over vier jaar: 51460,00 = 35147,87 × (1,1)4
Annuïteiten We kunnen ook de totale contante waarde (TPV) berekenen van telkens hetzelfde bedrag aan het eind van elk jaar. Dergelijke jaarlijks gelijkblijvende bedragen worden annuïteiten genoemd. Voorbeeld: Wat is de totale contante waarde (TPV) van tien bedragen van 1200 die gedurende tien jaar telkens aan het eind van elk jaar gestort worden bij een interestpercentage van 6% ? De 1200 die
8
aan het eind van het eerste jaar gestort wordt, moet over één jaar contant gemaakt worden en wordt dus: 1200 × (1,06)-1 De contante waarde van 1200 aan het eind van het tweede jaar is: 1200 × (1,06)-2 enz. De totale contante waarde van de tien bedragen wordt dus: TPV = 1200 × (1,06)-1 + 1200 × (1,06)-2 + L + 1200 × (1,06)-10 Vermenigvuldigen we deze vergelijking aan beide zijden met 1,06 dan komt er: 1,06 × TPV = 1200 + 1200 × (1,06)-1 + L + 1200 × (1,06)-9 Trekken we deze twee vergelijkingen van elkaar af dan levert dit op: 0,06 ×TPV = 1200 - 1200 × (1,06)-10 = 1200 × (1 - 1,06-10 ) Hieruit kunnen we, door beide kanten te delen door 0,06 een formule voor TPV afleiden: TPV = 1200 ×
1 - 1,06 -10 0,06
(7)
Met een rekenmachine is dit verder te bepalen: TPV = 1200 ´ 7,360087051 = 8832,10 1 - 1,06-10 wordt in de financiële rekenkunde genoteerd met: a en werd 106 0,06 vroeger bepaald door de waarde ervan op te zoeken in tabellenboeken. Tegenwoordig volstaat een rekenmachine.
De uitdrukking:
Formule (7) kunnen we als volgt generaliseren: Telkens aan het eind van elk jaar wordt gedurende n jaren hetzelfde bedrag A gestort bij een interestpercentage van p % per jaar. De totale contante waarde van deze annuïteiten is: TPV = A ×
1 - (1 + i)-n = A × an p i
Hierbij geldt uiteraard: i =
(8)
p 1 - (1 + i)-n , p = 100 ´ i en an p = 100 i
Formule (8) wordt gebruikt bij de zogenaamde annuïteitenlening, dat is een lening die meestal wordt afgesloten voor de aanschaf van een huis (hypothecaire lening) en waarbij wordt afgesproken dat de lening wordt terugbetaald door telkens aan het eind van elk jaar hetzelfde bedrag te betalen voor interest en aflossing samen. De totale contante waarde (TPV) is de prijs van het huis. De looptijd van de lening (het aantal jaren gedurende welke moet worden terugbetaald) en het interestpercentage worden door de bank en de klant overeengekomen. Voorbeeld: annuïteitenlening. Iemand leent een bedrag van 300 000 voor de aanschaf van een woning. De terugbetaling vindt plaats door gedurende 30 jaar telkens aan het eind van ieder jaar hetzelfde bedrag te betalen voor interest en aflossing samen (annuïteiten). Het interestpercentage is 7 %. De hoogte van de jaarlijkse annuïteit is met formule (8) te bepalen: 1 - (1,07)-30 300000 = A × = A × 12,40904119 0,07
9
Het getal 12,40904119 (= a
307
) moet niet worden afgerond. Bij zeer grote leningen (miljoenen)
kunnen ook de 7e en 8ste decimaal invloed hebben. Voor de annuïteit geldt: A=
300000 = 24175,92 12,40904119
Dit laatste is een geldbedrag en moet worden afgerond op 2 decimalen (= centen). Gedurende 30 jaar moet er dus door de klant aan het eind van elk jaar steeds hetzelfde bedrag van 24175,92 worden betaald (even aannemende dat het interestpercentage gedurende deze 30 jaar 7 % blijft, wat in werkelijkheid bijna nooit zo is, er kunnen periodiek interest-aanpassingen plaatsvinden). Het interestbestanddeel en het aflossingsbestanddeel van deze annuïteit verschillen echter van jaar tot jaar: Aan het eind van het eerste jaar moet aan interest betaald worden: 7% van 300 000 = 21 000. Voor aflossing blijft er dus nog over: 24 175,92 - 21 000 = 3175,92 (notatie: a1 ) Hiermee vermindert de schuld aan het begin van het tweede jaar: 300 000 - 3175,92 = 296 824,08 Alleen hierover moet aan het eind van het tweede jaar 7% interest worden betaald, dat is: 20 777,69 Voor aflossing blijft er dan over: 24 175,92 - 20 777,69 = 3398,23 (notatie: a2 ) Merk op dat geldt: a2 = a1 × (1,07) . We kunnen zo verder gaan. Het is niet moeilijk om aan te tonen dat geldt: a 3 = a1 × (1,07)2 , a 4 = a1 × (1,07)3 enz. Stelling: De aflossingsbestanddelen van een annuïteitenlening vormen een meetkundige rij. De eerste term is het aflossingsbestanddeel van de eerste annuïteit a1 . De reden is (1 + i) . Formule: a k = a1 × (1 + i)k-1
( k = 1,2, L, n )
(9)
Voor de annuïteitenlening van ons voorbeeld kunnen we een aflossingsschema maken: jaar 1 2 3 . . 30
schuld 300000 296824,08 293425,85 . . 22594,41
aflossing 3175,92 3398,23 3636,11 . . 22594,31
interest 21000 20777,69 20539,81 . . 1581,61
In dit aflossingsschema is er na 30 jaar in totaal afgelost: 299 999,90 dus 0,10 (één dubbeltje) te weinig. Dit is natuurlijk te wijten aan afrondingen. Daarom werkt men bij tussenberekeningen meestal met meer decimalen voor de waarde van a1 (= 3175,92105) Voorbeeld: Hoeveel is er na 15 jaar in totaal afgelost ? We moeten dan de eerste 15 aflossingsgedeelten sommeren: a 1 + a 2 + L + a15 = a1 + a1 (1 + i ) + L + a 1(1 + i)14 = a 1 ×
1 - (1 + i)15 (formule (4) ) 1 - (1 + i)
10
1 - 1,07 15 = 79807,79 (dit is weer afgerond op 2 decimalen) 1 - 1,07 Hiervoor is de somformule (4) gebruikt van een meetkundige rij.
Dat is: 3175,92105 ×
In de praktijk werkt men vaak met betalingen over kortere perioden dan een heel jaar, bijvoorbeeld halfjaarlijkse betalingen, of elk kwartaal of elke maand. Voorbeeld: Iemand sluit een hypothecaire lening af van 360 000 met een looptijd van 25 jaar. De terugbetaling vindt plaats door telkens aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag te betalen voor interest en aflossing samen (maandelijkse annuïteiten). De nominale interest bedraagt 9% per jaar en wordt door de bank gerekend als 9/12=0,75% per maand. a) Bereken het effectieve jaarlijkse interestpercentage op 2 decimalen nauwkeurig. b) Bereken de hoogte van de maandelijkse annuïteit. c) Bereken het aflossingsgedeelte van de tiende betaling. d) Bereken hoeveel er in totaal na 10 jaar is afgelost. Oplossing: a) Omdat (1,0075)12 = 1,0938 komt 0,75% per maand dus overeen met 9,38 % jaarlijks effectief. b) In de looptijd van 25 jaar zitten 300 maanden. Formule (8) geeft: 1 - (1,0075)-300 = A × 119,1616222 0,0075 Hieruit volgt: A = 3021,11 c) Aan het eind van de eerste maand moet aan interest worden betaald: 0,75 % van 360 000, dat is: 2700. Dan blijft er dus voor aflossing over: a 1 = 3021,11 - 2700 = 321,11 360000 = A ×
Formule (9) geeft: a 10 = 321,11 ´ (1,0075)9 = 343,45 , dat is dus het aflossingsgedeelte van de tiende betaling. (Aan interest wordt in de tiende betaling dus 3021,11 - 343,45 = 2677,66 betaald) d) Na 10 jaar zijn er 120 termijnen betaald. In totaal is er afgelost: 321,11 ×
1 - (1,0075)120 (1,0075)120 - 1 = 321,11 × = 321,11 ´ 193,5142771 = 62139,37 1 - 1,0075 0,0075
Een belangrijk kenmerk van de annuïteitenlening is dat er in de eerste jaren zeer weinig wordt afgelost, en veel interest betaald. In de laatste jaren van de looptijd betaalt men nog maar weinig interest en veel aflossing. Dit heeft in de beginfase van de looptijd fiscale voordelen.
We kunnen ook de totale slotwaarde (Total Future Value, TFV) van een annuïteit berekenen: Voorbeeld: Wat is de totale slotwaarde van 10 annuïteiten van 1200 die gedurende 10 jaar telkens aan het eind van elk jaar worden gestort bij een interestpercentage van 6 % per jaar ?
11
De eerste storting, dus aan het eind van het eerste jaar moet nog 9 jaar worden opgerent: 1200 × (1,06)9 De tweede storting, aan het eind van het tweede jaar, moet 8 jaar worden opgerent: 1200 × (1,06)8 enz. De laatste storting, aan het eind van het tiende jaar moet niet worden opgerent: blijft 1200. De totale slotwaarde wordt dus: TFV = 1200 × (1,06)9 + 1200 × (1,06)8 + L + 1200 Vermenigvuldigen we deze uitdrukking aan beide kanten met 1,06 dan komt er: 1,06 × TFV = 1200 × (1,06)10 + 1200 × (1,06)9 + L + 1200 × (1,06) Trekken we beide uitdrukkingen van elkaar af, dan levert dit op: 0,06 ×TFV = 1200 × (1,06)10 - 1200 = 1200 × (1,0610 - 1) Delen we door 0,06 dan vinden we een expliciete uitdrukking voor de TFV: TFV = 1200 ×
(1,06)10 - 1 0,06
(10)
(1,06)10 - 1 wordt in de financiële rekenkunde genoteerd met s en werd 106 0,06 vroeger bepaald door dit in speciaal hiervoor vervaardigde tabellenboeken op te zoeken. Tegenwoordig doen we dit met een rekenmachine. Controleer met een rekenmachine dat in dit voorbeeld geldt: TFV = 1200 ´ 13,18079494 = 15816,95 ( De tien stortingen van 1200 hebben dus in totaal 3816,95 (= 15 816,95 - 10 × 1200) aan interest opgebracht ).
De uitdrukking:
Het bovenstaande voorbeeld en de uitdrukking (10) kunnen we als volgt tot generaliseren: De totale slotwaarde van n annuïteiten van A geldeenheden ( dollars, euro's enz) die gedurende n jaar telkens aan het eind van elk jaar worden gestort, bij een interestperunage van i is gelijk aan: TFV = A ×
(1 + i )n - 1 i
(11)
Deze formule is natuurlijk ook geldig, als er andere tijdsperioden dan jaren worden gebruikt (bijv. kwartalen of maanden). Dan moet n staan voor het aantal kwartalen of maanden en i voor het interestperunage per kwartaal of maand. Voorbeeld: Spaarhypotheek. Iemand leent een bedrag van € 305 000 voor de financiering van een eigen woning. De looptijd van de lening bedraagt 25 jaar. Gedurende deze 25 jaar wordt er niets afgelost. Wel wordt er aan het eind van elk kwartaal een een gelijkblijvend bedrag (spaarpremie) op een spaarrekening gestort waarmee aan het eind van 25 jaar precíes het bedrag van de lening bereikt is en waarmee de lening dan in één keer wordt afgelost. Het interestpercentage bedraagt 1,5 % per kwartaal. a) Bereken het effectieve jaarlijkse interestpercentage in 2 decimalen nauwkeurig. b) Bereken de hoogte van het kwartaal-spaarbedrag. c) Hoeveel moet er ieder kwartaal aan interest worden betaald ? d) Bereken hoeveel interest er op de spaarrekening in totaal is verdiend aan het eind van 25 jaar.
12
Oplossing: a) (1,015)4 = 1,0614 , afgerond op 4 decimalen, zodat het jaarlijkse effectieve interestpercentage wordt: 6,14 %, op 2 decimalen nauwkeurig. b) Formule (11) geeft 305000 = A ×
(1,015)100 - 1 = A × 228,8030433 0,015
en hieruit volgt: A = € 1333,02 c) Omdat er gedurende de looptijd van de lening niets wordt afgelost, blijft de schuld gedurende de gehele looptijd € 305 000. Ieder kwartaal dient daar 1,5 % interest over betaald te worden, dat is: € 4575. Het totale bedrag dat elk kwartaal betaald moet worden is: interest plus spaarpremie: € 4575 + € 1333,02 = € 5908,02 d) Omdat deze 100 bedragen van € 1333,02 na 25 jaar inclusief interest zijn geaccumuleerd tot € 305 000 is er totaal aan interest verdiend: 30500 - 100 ´ 1333,02 = €171698 (afgerond op gehele euro's) Opmerkingen: 1. De interest die de lener moet betalen is voor de inkomstenbelasting (vooralsnog) aftrekbaar van het belastbaar inkomen. De interest die bij een spaarhypotheek op de spaarrekening wordt verdiend, is belastingvrij. Dit is een politieke maatregel om het huizenbezit te bevorderen. Men dient goed in de gaten te houden inhoeverre deze regeling in de toekomst gaat veranderen. 2. Zouden we de lening van € 305 000 van ons laatste voorbeeld aflossen als annuïteitenlening in 100 kwartalen, dan wordt de annuïteit: 1 - (1,015)-100 305000 = A × = A × 51,62470367 waaruit volgt: A = € 5908,02 en dit is precies 0,015 het totale kwartaalbedrag dat bij de spaarhypotheek aan interest en spaarpremie moet worden betaald. De manier waarop fiscaal gezien met de interestbedragen wordt omgesprongen is verschillend. Bij een spaarhypotheek geniet men over de volle looptijd van de lening van de aftrek van vier keer € 4575 per jaar van het belastbaar inkomen. Bij de annuïteitenlening wordt het aftrekbare interestbedrag elk jaar kleiner. 3. We hebben dus drie verschillende soorten (hypothecaire) leningen besproken: * De lineaire lening. Hierbij wordt gedurende de looptijd telkens aan het eind van elke periode (jaar, kwartaal, maand) hetzelfde bedrag gestort, alléén voor aflossing . Daarnaast moet interest betaald worden. Omdat de schuld iedere periode met hetzelfde bedrag afneemt (lineair !) nemen ook de verschuldigde interestbedragen lineair af in de tijd. * De annuïteitenlening.
13
Hierbij wordt gedurende de looptijd telkens aan het eind van elke periode hetzelfde bedrag gestort, voor interest en aflossing samen. In het begin wordt veel interest betaald en weinig aflossing. De aflossingsbestanddelen vormen een meetkundige rij met reden (1 + i). * De spaarhypotheek. Hierbij wordt gedurende de looptijd niets afgelost, maar op een spaarrekening periodiek telkens hetzelfde bedrag gestort dat zó groot is, dat aan het eind van de looptijd precies het geleende bedrag bijeengespaard is, waarmee de lening dan in een keer wordt afgelost. Op deze wijze wordt er maximaal van interestaftrek geprofiteerd.
