Grafieken in de wiskunde Didier Deses, lk wiskunde KA Koekelberg, DWIS-VUB
[email protected]
1. Wiskunde tegen de intuitie in. Opgave: Jantje plaatst een ladder tegen een muur en klimt erop. Wanneer hij in het midden van de ladder staat, schuift deze plots onder hem weg. Welke baan zal Jantje volgen?
Constructie
No.
Name
Definition Point on xAxis
Algebra
1
Point A
A = (4.73, 0)
2
Number a
3
Circle c
Circle with center A and Radius a c: (x - 4.73)² + y² = 100
4
Point B
intersection point of c, yAxis
5
Segment b Segment[B, A]
b = 10
6
Point C
C = (2.37, 4.4)
a = 10
midpoint of B, A
B = (0, 8.81)
Oplossing: Laat leerlingen eerst een schets maken. Laat ze daarna kort (intuitief) de baan schetsen. Je kan op PC gemakkelijk de baan reproduceren, die is niet zoals de meeste mensen verwachten. Tenslotte kan je de exacte baan berekenen. De baan die de meeste mensen echter verwachten kan je wel terugvinden dmv de verschillende standen van de ladder te tekenen. Die baan is wat men een caustiek of omhullende noemt.
2. Absolute waarde en functies Opdracht: Maak de grafiek van een functie f(x). Wat gebeurt er nu indien we de functies |f(x)| en f(|x|) bekijken?
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Function f
f(x) = (x + 3) (x - 2) (x - 1)
2
Function g g(x) = abs(f(x)) g(x) = abs((x + 3) (x - 2) (x - 1))
3
Function h h(x) = f(abs(x)) h(x) = (abs(x) + 3) (abs(x) - 2) (abs(x) - 1)
Oplossing: |f(x)| is altijd positief. Grafisch betekent dit dat we delen van de grafiek van f die onder de X-as zitten moeten spiegelen tov deze as. De functie f(|x|) is even, de grafiek is dus symmetrisch tov de Y-as. Men bekomt deze door de grafiek van f voor x>=0 te spiegelen tov deze symmetrie-as
3. a f(x-b)+c Opdracht: Voor een bepaalde functie (vb: f(x)=x^2) de invloed nagaan van de parameters in a f(x-b)+c.
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Function f
f(x) = x²
2
Number a
a = 0.5
3
Function g g(x) = a f(x) g(x) = 0.5 x²
Oplossing: Maak een functie f(x) en een "slider" a aan. Maak een nieuwe functie g(x)=a f(x). Door f te verslepen zie je de invloed van b en c, de "slider" geeft de invloed van a aan.
4. Even en oneven functies Opdracht: Elke functie f is een som van een even en van een oneven functie (f_e, resp f_o) met: f_e(x)=(f(x)+f(-x))/2 f_o(x)=(f(x)-f(-x))/2 Bewijs dit. Als je deze stelling toepast op f(x)=e^x krijg je de hyperbolische cosinus en sinus. Pas de stelling toe op f(x)=|x-a|+b. Vind voor a=5 en b=-2 passende meervoudige voorschriften voor het even en het oneven deel.
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Function f
f(x) = exp(x)
2
Function g g(x) = (f(x) + f(-x)) / 2 g(x) = (exp(x) + exp(-x)) / 2
3
Function h h(x) = (f(x) - f(-x)) / 2 h(x) = (exp(x) - exp(-x)) / 2
Oplossing: Dat f_e even is en f_o oneven is een eenvoudige verifictatie, bovendien is duidelijk dat f=f-e+f_o. Hiermee is de stelling bewezen. Maak eerst een functie f en dan f_e en f_o dmv bovenstaande formules. Als f(x)=|x| dan kun je f verschuiven tot je het gewenste voorschrift bekomt. De meervoudige voorschriften voor het even en het oneven deel kun je dan opmaken uit de grafiek. Dit kan ook berekend worden, maar is wel een stukje lastiger.
5. Extrema van een functie Opgave: Beschouw de functie f(x) = x² (x + 2) abs(x - 2). Onderzoek alle extrema, buigpunten en knikpunten. Wat gebeurt er met de raaklijn in deze punten?
Constructie
No.
Name
Definition
Algebra
1
Function f
f(x) = x² (x + 2) abs(x - 2)
2
Point A
Point on f
A = (-1.73, 3.04)
3
Line a
Tangent to f in x = x(A)
a: y = 6.77x + 14.73
4
Point B
(-sqrt(2), f(-sqrt(2)))
B = (-1.41, 4)
5
Point C
(sqrt(2), f(sqrt(2)))
C = (1.41, 4)
6
Point D
(0, f(0))
D = (0, 0)
7
Point E
(2, f(2))
E = (2, 0)
8
Point F
(-sqrt(2 / 3), f(-sqrt(2 / 3))) F = (-0.82, 2.22)
9
Point G
(sqrt(2 / 3), f(sqrt(2 / 3)))
G = (0.82, 2.22)
Oplossing: In de extrema zal de raaklijn horizontaal lopen. In de buigpunten zal de raaklijn een maximale steilheid bereiken. In een knikpunt zal de raaklijn plots verspringen.
6. Exp en Log Opgave: a^x en log_a(x) zijn elkaars inverse. Hun grafieken zijn dus elkaars spiegelbeeld tov de eerste bissectrice. Maak voor verschillende waarden van a de grafiek van log_a(x) uitgaande van a^x. Er is juist een waarde voor a zodat beide grafieken een uniek gemeenschappelijk punt hebben. Bepaal deze waarde.
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Number a
a=2
2
Point A
A = (0, 0)
3
Point B
4
Line b
5
Function f f(x) = a^x
f(x) = 2^x
6
Point C
Point on f
C = (-0.7, 0.62)
7
Point D
C mirrored at b
D = (0.62, -0.7)
8
Locus loc1 Locus[D, C]
B = (1, 1) Line through A, B b: x - y = 0
loc1
Oplossing: Gebruik een "slider" om de waarde van a te laten veranderen. Gebruik een spiegeling om een punt van de grafiek va a^x te spiegelen en benut dan "locus" om de volledige grafiek van log_a(x) te maken. De gezochte waarde a is moeilijk(er) te bepalen: Merk eerst op dat voor deze waarde van a en het unieke snijpunt op beide grafieken en op de eerste bissectrice ligt. Noem dit snijpunt dus (x,x). In dit punt is dan de eerste bissectrice (RC=1) de raaklijn aan beide grafieken. We bekomen dus voor de afgeleiden: [1]: 1=a^x ln(a) [2]: 1=1/x 1/ln(a) Uit [1] volgt x=log_a(1/ln(a))=-ln(ln(a))/ln(a). Uit [2] halen we dat x=1/ln(a). Gelijkstellen van beide geeft 1=-ln(ln(a)). Tenslotte is dus a=e^(e^(-1))=1,444667... Het snijpunt is dan x=e.
7. Poolcoordinaten
Opdracht: Een punt in het vlak kan je bepalen aan de hand van twee coordinaten (x,y) tov een orthonormaal assenkruis XY, de zgn Cartesische coordinaten. Je kan een punt echter ook eenduidig bepalen dmv de afstand r tot de oorsprong en de hoek t die gemaakt wordt met de X-as. Het koppel (r,t) noemt men de poolcoordinaten van het punt. In het Carthesisch vlak kan je de grafiek van een functie beschouwen dmv de vergelijking y=f(x). Je kan dit ook in poolcoordinaten doen door r=f(t). Maak de grafiek in poolcoordinaten van de krommen r=b t en r=b(1-cos(t)).
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Point A
2
Point B
A = (10.2, 8.53)
3
Segment a Segment[A, B]
a = 6.28
4
Point C
Point on a
C = (15.73, 8.53)
5
Number t
Distance between C and A
t = 5.53
6
Number b
b=1
7
Point D
D = (0, 0)
8
Point E
E = (1, 0)
9
Point F
Point on Circle[A, 6.28]
B = (16.48, 8.53)
E rotated by angle t around D F = (0.73, -0.68)
10 Angle α
Angle between E, D, F
α = 317.04°
11 Number r
bt
r = 5.53
12 Point G
F dilated by factor r from D
G = (4.05, -3.77)
13 Locus loc1 Locus[G, C]
Oplossing:
loc1
Omdat we de kromme willen tekenen hebben we "locus" nodig. Dit commando werkt echter niet voor een "slider". We moeten dus onze slider eerst zelf aanmaken, zo zie je hoe een slider wiskundig in elkaar steekt. De functie zelf berekenen we als een getal afhangend van t, die we dan als homothetiefactor kunnen gebruiken. De kromme r=b t is een spiraal. De kromme r=b(1-cos(t)) is de cardoide.
8. Inversie en punten op oneindig Opdracht Beschouw een punt op de grafiek van een functie (vb: f(x)=1/x). Dit punt kan worden gegeven door een hoek en een afstand r tot de oorsprong (poolcoordinaten). We kunnen nu een inversie toepassen tov de eenheidcirkel. Hiervoor bepalen we het beeld van het gegeven punt als volgt. We behouden de hoek en gebruiken nu de afstand 1/r tot de oorsprong. Als we deze procedure voor alle punten van de grafiek van f herhalen bekomen we een nieuwe kromme. Kun je de betekenis ervan achterhalen?
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Point A
intersection point of xAxis, yAxis A = (0, 0)
2
Number a
3
Circle c
4
Function f
5
Point B
6
Number b Distance between B and A
b = 1.44
7
Number d 1 / b²
d = 0.48
8
Point C
C = (-0.55, -0.43)
a=1 Circle with center A and Radius a c: x² + y² = 1 f(x) = 1 / x Point on f
B dilated by factor d from A
B = (-1.13, -0.88)
9
Locus loc1 Locus[C, B]
loc1
Oplossing: Merk eerst op dat het beeld van een punt op afstand r kan bekomen worden door een homothetie met factor 1/r^2. De nieuwe afstand tot de oorsprong wordt dan r 1/r^2=1/r. De interpretatie van de bekomen kromme steunt op het feit dat een punt dat dicht bij de oorsprong ligt zeer ver komt te liggen en dat een punt dat zeer ver verwijderd is wordt afgebeeld op een zeer korte afstand van de oorsprong. De inversie stuurt punten die "op oneindig" liggen terug naar de oorsprong. Men kan aldus voor f(x)=1/x zien dat een hyperbool twee punten op oneindig heeft en dat een parabool er eentje heeft. Gebruik deze methode om eens te kijken naar functies met asymptoten. Kan je een regelmaat ontdekken?
9. Cycloide Opdracht: Duidt op een wiel een punt aan. Laat het wiel rollen langs een rechte lijn. Welke baan volgt het aangeduide punt?
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Number a
a = 2.7
2
Point A
Point on xAxis
3
Circle c
Circle with center A and Radius a c: (x - 0.97)² + y² = 7.29
4
Point B
intersection point of c, xAxis
A = (0.97, 0) B = (3.67, 0)
5
Number t x(A)
t = 0.97
6
Point C
B rotated by angle t around A
C = (2.5, 2.22)
7
Angle α
Angle between B, A, C
α = 55.39°
Oplossing: We veralgemenen een beetje het probleem. Een cirkel met centrum op de x-as verplaatst zich rollend. We nemen zijn hoeksnelheid gelijk aan de afstand van zijn centrum tot aan de oorsprong. Dankzij de definitie van de radiaal (leg uit!) komt een cirkel met straal 1 overeen met het vooropgesteld probleem als de hoek in wijzerzin gemeten is. De kromme die je bekomt is een cycloide. Als je de hoek in tegenwijzerzin meet krijg je een gespiegelde versie. Dit is de oplossing van het brachistochroon probleem: als een massa zich verplaatst van hoog naar laag tussen twee punten die op een afstand van elkaar gelegen zijn, wat is dan de snelste weg? (Dit is niet de kortste weg, want dat is een rechte!)
10. Epicycloide Opdracht: Beschouw een cirkel met straal r. Langs de buitenkant van deze cirkel rolt er een tweede cirkel met straal u. Wat is de baan van een punt op de tweede cirkel?
Constructie:
No.
Name
1
Point A
2
Number r
Definition intersection point of xAxis, yAxis
Algebra A = (0, 0) r=4
3
Circle c
Circle with center A and Radius r
c: x² + y² = 16
4
Point B
Point on c
B = (2.74, 2.91)
5
Ray a
Ray through A, B
a: 2.91x - 2.74y = 0
6
Point C
intersection point of c, xAxis
C = (4, 0)
7
Angle α
Angle between C, A, B
α = 46.69°
8
Number u
9
Circle d
u=2 Circle with center B and Radius u d: (x - 2.74)² + (y - 2.91)² = 4
10 Point D
intersection point of d, a
D = (4.12, 4.37)
11 Circle e
Circle with center D and Radius u e: (x - 4.12)² + (y - 4.37)² = 4
12 Point E
B rotated by angle r / u α around D E = (5.65, 3.08)
13 Angle β
Angle between B, D, E
14 Locus loc1 Locus[E, B]
β = 93.38° loc1
Oplossing: De hoeksnelheid van een punt op de tweede cirkel tov het centrum van die cirkel wordt gegeven door w=r/u. Voor gehele verhoudingen van de beide stralen bekom je telkens een epicycloide. Wanneer beide stralen gelijk zijn bekom je een epicycloide met een enkele cusp: een cardoide. Als de verhouding twee is, dan heb je een epicycloide met twee cusps: een nephroide. Het voorzetsel "epi" wijst erop dat de cirkel aan de buitenkant rolt. Kan je hetzelfde doen voor een hypocycloide? Dwz dat de cirkel dan aan de binnenkant rolt.
11. Weerkaatsing van licht in een kopje Opgave: Beschouw een verre lichtbron die langsheen de rand van een kopje erin schijnt. De stralen worden weerkaatst. Hoe gebeurt die weerkaatsing?
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Point A
intersection point of xAxis, yAxis A = (0, 0)
2
Point B
Point on xAxis
B = (8, 0)
3
Circle c
Circle with center A through B
c: x² + y² = 64
4
Number a
5
Point C
(-12, a)
C = (-12, 4.5)
6
Line b
Line through C parallel to xAxis
b: y = 4.5
7
Point D
intersection point of c, b
D = (6.61, 4.5)
8
Line d
Tangent through D to c
d: 6.61x + 4.5y = 64
9
Line e
Line through D perpendicular to d e: 4.5x - 6.61y = 0
10 Line f
a = 4.5
b mirrored at e
f: 0.93x - 0.37y = 4.5
Oplossing: Omdat de lichtbron veraf gelegen is kunnen we de invallende stralen evenwijdig nemen. De weerkaatsing kunnen we simuleren aan de hand van de raaklijn en de normaal aan het kopje. De omhullende van de weerkaatste stralen is een nephroide. in het geval dat de lichtbron niet veraf gelegen is, maar zich op de rand van het kopje bevindt krijgen we een cardioide! (Probeer dit zelf maar eens met Geogebra.)
12. De Paraboolantenne Opdracht: Als een bundel evenwijdige stralen in een paraboolantenne binnenkomt wordt elke bundel weerkaatst. Beschrijf de weerkaatsing. Hoe leidt dit tot de term brandpunt? Wat is het nut hiervan?
Constructie:
No.
Name
Definition
Algebra
1
Function f
f(x) = 0.1 x²
2
Point A
A = (-4, 7)
3
Line a
Line through A perpendicular to xAxis a: x = -4
4
Point B
intersection point of f, a
B = (-4, 1.6)
5
Line b
Tangent to f in x = x(B)
b: y = -0.8x - 1.6
6
Line c
Line through B perpendicular to b
c: x - 0.8y = -5.28
7
Line d
a mirrored at c
d: 0.22x - 0.98y = -2.44
Oplossing: Alle teruggekaatste stralen komen samen in een punt: het brandpunt. Door een ontvanger te plaatsen in het brandpunt krijgt men het signaal, niet van een enkele straal, maar van alle stralen die in de anttene binnenkomen: een veel sterkere ontvangst dus. Het omgekeerde procede wordt gebruikt in koplampen en schijnwerpers. Created with GeoGebra
