WISKUNDE IN DE INTERNE LOGISTIEK

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

1

WISKUNDE IN DE INTERNE LOGISTIEK René de Koster Rotterdam School of Management Erasmus University [email protected] http://www.rsm.nl/rdekoster

2

… magazijnen

R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10

R. de Koster, 2010 (c)

1

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

3

Ontwerp van een magazijn Palletmagazijnen met trucks 1. Hoeveel voorraad ligt er (hoe groot moet het zijn in #pallets opslag)? 2. Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? Automatische magazijnen met kranen 3. Hoe lang en hoe hoog moet een gang zijn? 4. Hoeveel gangen en kranen zijn nodig in een automatisch magazijn? Sorteerinstallaties 5. Wat is de capaciteit van een sorteerinstallatie? R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10

4

Hoeveel voorraad ligt er (#pallets opslagcapaciteit) ?

1



2

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

5

2 stappen: 1. Bepalen gemiddelde voorraadhoogte per opgeslagen product (uitgedrukt in pallets) 2. Bepalen maximale gelijktijdige voorraad uitgedrukt in pallets


6

Wanneer en hoeveel bestellen? Bestelpuntmethode Inventory Level Average Inventory (Q/2)

Order Quantity (Q)

Reorder Point (ROP)

Lead Time

reorder cycle

Time



3

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

7

EOQ: the trade off Inventory Level Order Quantity (large Q)

Time

Inventory Level Order Quantity (small Q)

Smaller Q Î more orders, but lower inventory

Time R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10

8

Hoeveel bestellen?

EOQ (economic order quantity): minimaliseert kosten



4

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

9

Which inventory-related costs?

Holding costs - associated with holding or “carrying” inventory over time. For example due to: Obsolescence, Insurance, Extra staffing, Interest, Pilferage, Damage, Warehousing Typically: 10-15% of value per year Ordering costs - associated with costs of placing order and receiving goods. For example due to: Supplies, Forms, Order processing, Clerical support, Payments, Transportation.


10

Total (annual) costs TC(Q) Ordering costs

D S Q

unit ordering cost

(annual) demand order quantity Inventory holding cost

Q H 2

unit holding cost per year



5

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

11

EOQ Model: graphical Annual Cost

TC (Q) =

rve t Cu s o C l rve Tot a t Cu s o C ing Hold

Ordering Cost Curve

D Q S+ H Q 2

Q H 2

D S Q

Order Quantity

Optimal Order Quantity (Q*) R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10

12

The Economic Order Quantity

Total annual costs are now:

TC(Q) =

D Q S+ H Q 2

To find the best order size, we need to find Q such that TC is minimized. Setting derivative equal to zero:

TC (Q)' =

D H S+ =0 2 −Q 2

gives the Optimal (or Economic) Order Quantity Q*

Q∗ =

2 DS H



6

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

13

EOQ Assumptions

Known and constant demand

Known and constant lead time

Instantaneous and complete receipt of material

No quantity discounts

Only ordering cost and holding cost

No stockouts


14

Reorder points

Simple inventory models assume that everything is 100% predictable. In reality there may be uncertainty. Reorder point if all EOQ assumptions hold: ROP = d*L

Otherwise use safety stock: ROP = d*L + ss

What is a good level for the safety stock?

Basic probabilistic model: lead time demand is normally distributed.

Other probabilistic models: lead time and/or daily demand are normally distributed. R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10


7

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

15

Basic Probabilistic Model: When to Order? Inventory Level Optimal Order Quantity Reorder Reorder Point point (ROP) Safety Stock (ss (ss)) Place order

Receive order

Lead Time

Time


16

Basic Probabilistic Model: When to Order?

Service Level Frequency

α=P(Stockout) P(Stockout)

X

ss ROP R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10


8

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

17

Reorder points

Reorder point if all EOQ assumptions hold: ROP = d*L Otherwise use safety stock: ROP = d ⋅ L + ssα = d ⋅ L + Zα σ dL (1-α=service level). Let XdL = lead time demand

P[ X dL > ROP ] < α

X dL − d ⋅ L

> Zα ] < α σ dL If lead time demand is normally distributed, then ⇔ P[

X dL − d ⋅ L

σ dL

follows a standard normal distribution and we can lookup Zα in a table: 1 − Φ ( Zα ) = α ⇒ Zα = Φ −1 (1 − α )

Question: how to determine σdL ? R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10

18

Assumption: leadtime constant VAR ( X dL ) = VAR ( X 1 + X 2 + .. + X L ) = L ⋅ VAR ( X d ) ⇒ σ dL = σ d L (assuming iid daily demand and constant lead time)

Average inventory level during a reorder cycle: inventory just after reordering: Q+ss inventory just before reordering: ss

⇒

average inventory level: Q + ss

2



9

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

We weten nu hoeveel voorraad er gemiddeld ligt per artikel i voor een bepaalde servicegraad 1-α:

19

Qi Q + ssi = i + Zα σ i Li 2 2


20

Hoeveel opslaglocaties (pp) hebben we nodig? N artikelen, vrij locatie opslagsysteem, dan ⎛ ⎡ Qi ⎤⎞ + ssi ⎜ N ⎢ ⎥⎟ 2 ⎜∑⎢ ⎥ ⎟ × (1 + veiligheidsfactor ) ⎜⎜ i =1 ⎢ (unitsi / pallet ) ⎥ ⎟⎟ ⎢ ⎥⎠ # pp = ⎝ gewenste vulgraad Veiligheidsfactor: -

Rekening houden met groei over ca. 5 jaar

-

Rekening houden met gelijktijdige aanwezigheid (0-30%)

Vulgraad: ca. 80% “vaste locatie” opslagsysteem: vervang

Q door : Q 2



10

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

21

2

Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? Moeten de pallets in de breedte of in de diepte opgeslagen worden?

Europallets: 120 x 80 cm R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10

22

Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? (2) Deep or wide pallet storage? Cost ratios:

warehouse write-off/rent

personnel equipment Conclusion: good space utilization!

:65-75 % :20-25% :5-10%



11

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

23

Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? (2) Deep or wide pallet storage? Cost ratios:

warehouse write-off/rent

:65-75 %

personnel equipment Conclusion: good space utilization!

:20-25% :5-10%

Example: small “forklift” trucks (2.1m aisle width) b = aisle width+2.4+0.2m l = 0,8 + 0,2m aisle width=2.5m => O = 5.1 m2

b

b

6.6% less space needed!

l l

b = aisle width+1.6+0.2m l = 1.2 + 0.2m aisle width =2.1m => O = 5.5 m2


24

Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? (3)

2 typische layouts (met random opslag): L

X

X l

Y

b

B

Y

X1

Ave. single-cycle travel time: TT=2(L/4 + B/2) = B + L/2 Assume needed storage space is given: LB=C Q: what is the optimum warehouse length/width ratio? R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10


12

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

25

Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? (3) L X

X l

b B

Y

Y

X1

L Ave. single-cycle travel time: TT = B + 2 C C L

Substitute B = ⇒ TT ( L) = + L L 2 −C 1 Take derivative wrt L, equate to zero: TT ( L) ' = 2 + = 0 L 2 This results in L = 2C

⇒ L = 2B

C C = 2C 2

B=


How to design a pallet bulk warehouse?(4)

26

X

X l

Y

b

B

Y

X1

P (=#pp) = 2n L/l x B/b (n= nr of levels) , L=2B => B=

( Plb / n ) / 2

L=

( Plb / n )

Note: L/l ,

nr of sections

B/b are integers! nr of aisles



13

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

27

Automatische magazijnen met kranen (AS/RS)

3.


28

Optimale lengte/hoogte verhouding van een opslaggang?

3. H

depot

L Zijaanzicht van een gang R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10


14

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

29

Kraan rijdt en heft tegelijk! Data: vx , vy =horizontale, verticale snelheid van de kraan tx =

L H , t y = : rijtijd/heftijd naar verste/hoogste locatie vx vy

t t T = max{t x , t y }, b = min{ x , y } de vormfactor van de stelling T T

Veronderstel tx ≥ ty, dan b =

ty

tx Z = rijtijd (heen en weer naar locatie). Gezocht: E[Z]


30

Rijtijden, getekend in de tijddimensie ty

depot

tx Zijaanzicht van een gang, in de tijd R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10


15

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

31

Gemiddelde rijtijd? Stel een magazijn is 50 sec rijtijd lang, en 50 sec heftijd hoog. Random opslag (elke locatie even waarschijnlijk) Wat is de gemiddelde rijtijd naar een locatie (enkele reis)?


Herschalen van de magazijndimensies, deel alle tijden door T=tx

32

b<1

X~U[0,1], Y~U[0,b]

depot

1 Zijaanzicht van een gang, in de tijd, geschaald R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10


16

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

33

FZ ( z ) = P[ Z ≤ z ] = P[max{ X , Y } ≤ z ] = P[ X ≤ z ] ⋅ P[Y ≤ z ] ⎧z ⎪ , als 0 ≤ z ≤ b P[Y ≤ z ] = ⎨ b ⎪⎩ 1, als z > b

⎧ z , als 0 ≤ z ≤ 1 P[ X ≤ z ] = ⎨ ⎩1, als z > 1

⎧ z2 ⎧ 2z ⎪ b , als 0 ≤ z ≤ b ⎪ b , als 0 ≤ z ≤ b ⎪ ⎪⎪ FZ ( z ) = ⎨ z , als b < z ≤ 1 , dus f Z ( z ) = ⎨ 1, als b < z ≤ 1 ⎪ 1, als z > 1 ⎪ 0, als z > 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩⎪ ∞

b

0

0

E[ Z ] = 2 ∫ zf Z ( z )dz = 2 ∫ b

=2

1 ∞ 2z2 dz + 2 ∫ zdz + 2 ∫ 0dz 1 b b

1

2 z3 z2 2b 2 1 b 2 b2 +2 = 2( + − ) = 1+ 3b 0 2 b 3 2 2 3 R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10

34

Terugschalen: vermenigvuldigen met

T

E[ Z ] = (1 +

b2 )T 3



17

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

35

Optimale stellingafmeting? Stel een stelling is 30m lang Wat is dan de optimale hoogte?


36

Optimale stellingafmeting? t ( y )2 t min! E[ Z ] = (1 + x ).t x 3 odv t x ⋅ t y = C ty =

C C2 , substitutie geeft: E[ Z ] = t x + 3 3t x tx

Afgeleide gelijk aan 0 stellen geeft: 1+

−9C 2t x2 = 0 ⇒ t x = C , en daarom ook t y = C , ofwel t x = t y 9t x6



18

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

37

Optimale stellingen zijn vierkant!

Althans in de tijd Stel vx = 2 m/s, vy = 0,5 m/s. Optimale stellingafmetingsverhouding in m? dan moet de stelling dus 4-maal zo lang zijn als hoog


38

Hoeveel kranen en gangen nodig?

4.

Stel ik heb 4000sec2 stellingruimte nodig en ik moet per uur minimaal 200 pallets inslaan en/of uitslaan

min! N

min! N

odv 2 N ⋅ t x ⋅ t y = 4000

odv 2 N ⋅ t x2 = 4000

N ⋅ 3600 2

⎛ ty ⎞ ⎜ ⎟ t (1 + ⎝ x ⎠ )t x 3

N ⋅ 3600 ≥ 200 1 (1 + )t x 3

≥ 200

Oplossingsmethode:

N := 0, tp = 0; While tp < 200 do N := N + 1; t x :=

2000 N ⋅ 3600 ; tp := 1 N (1 + )t x 3

end do; R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10


19

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

39

Hoeveel kranen en gangen nodig? Stel ik heb 4000m2 stellingruimte nodig en ik moet per uur minimaal 200 pallets inslaan en/of uitslaan Oplossingsmethode: N := 0, tp = 0; While tp < 200 do N := N + 1; t x :=

2000 N ⋅ 3600 ; tp := 1 N (1 + )t x 3

end do;

#gangen

tx (sec)

tp (pal/hr)

1

44.7

60.4

2

31.6

170.8

3

25.8

313.7

4

22.4

483.0


40

Hoeveel kranen en gangen nodig? Stel ik heb 4000sec2 stellingruimte nodig en ik moet per uur minimaal 200 pallets inslaan en/of uitslaan Oplossingsmethode: N := 0, tp = 0; While tp < 40 do N := N + 1; t x := end do;

2000 N ⋅ 3600 ; tp := 1 N (1 + )t x 3 #gangen

tx (sec)

tp (pal/hr)

1

44.7

60.4

2

31.6

170.8

3

25.8

313.7

4

22.4

483.0



20

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

41

Wat is de capaciteit van een sorteerinstallatie?

5.


42

Sorter layouts Line Sorter induct

sorter

overflow induct sorter

over flow

outputs outputs

Loop Sorter

Source: Vanderlande



21

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

Loop sorter met 1 induct. Wat is de totale sorteercapaciteit bij gegeven nominale machinecapaciteit C

43

Single induct point versus multi induct points

Capaciteit bij elke doorsnede = C (prod/sec). Gevraagd: X

X =C

Oplossing: X Single induct point / groups from aside


44

Sorteercapaciteit bij 2 inducts?

Aanname: 2 inducts gelijkmatig verdeeld. Sorteergoten gelijkmatig verdeeld. Dan: 1 ⎫ X + Y = C⎪ 2 2 ⎬⇒ X = C 3 X = Y ⎪⎭

Ofwel: totale sorteercapaciteit = 2 X =

4 C 3



22

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

45

Sorteercapaciteit bij 3 inducts?

Aanname: 3 inducts gelijkmatig verdeeld. Sorteergoten gelijkmatig verdeeld. Dan:

1 2 1 3 X 4⋅3 1 X + X + X = C ⇔ X ∑i = C ⇔ =C⇒ X = C 3 3 3 i =1 3 2 2 3 Ofwel: totale sorteercapaciteit = 3 X = C 2 R.de Koster, Nat Wiskundedagen, 6-2-10

46

Sorteercapaciteit bij N inducts?

Aanname: N inducts gelijkmatig verdeeld. Sorteergoten gelijkmatig verdeeld. Dan: N 1 X ( N + 1) ⋅ N 2 X ∑i = C ⇔ =C ⇒ X = C N i =1 N 2 N +1

Ofwel: totale sorteercapaciteit = NX =

2N C N +1



23

Nat. Wiskundedagen

11 February 2010

47

Sorteercapaciteit bij N inducts?

Als het aantal inducts toeneemt kunnen we bijna 2 maal zoveel producten per uur sorteren als de nominale sorteercapaciteit!


48

Er zijn nog meer interessante vraagstukken binnen magazijnen, magazijnen, oplosbaar met “school” school”wiskunde (of ietsje meer) meer) Welk magazijn is het best? Oplossing met DEA (lineair programmeren)

Hoeveel dockdeuren zijn nodig teneinde bepaalde maximale truckwachttijd te krijgen? Modelleren als M/M/m wachtrij Wat is de optimale stapeldiepte(met betrekking tot ruimtegebruik)? Ruimtegebruik modelleren als functie van de stapeldiepte (en hoogte) en eerste orde condities toepassen



24

WISKUNDE IN DE INTERNE LOGISTIEK

Recommend Documents