Wavelets Transform : Overview Teknis

Jurnal Artificial, ICT Research Center UNAS Artificial, Vol.3 No.1 Januari 2009

ISSN 1978-9491

Wavelets Transform : Overview Teknis 1

Ucuk Darusalam Jurusan Teknik Telekomunikasi, Fakultas Teknologi Komunikasi dan Informasi, Universitas Nasional Pejaten, Sawo Manila, Pasar Minggu, Jakarta, 12520.

Abstract – The requirement of signal analysis that could read more informatif, rich and accurate information is the driving force of wavelet transform innovation. On this paper being outlined the technical review of its method, fullfilled with basic concept of this transform. Also being explored the potential application of its area. Key words: signal analysis, wavelet transform Abstrak – Kebutuhan representasi dan analisis sinyal yang lebih informatif dan akurat merupakan driving force dari penemuan metode transformasi wavelets. Dalam makalah ini penulis menyajikan uraian historis dan teknis dari penemuan wavelets disertai dengan konsep dasar wavelets transform. Beberapa contoh induk wavelets dan teknik rekonstruksinya yang secara umum telah digunakan dalam area engineering juga disajikan dalam makalah ini. Kata kunci: transformasi wavelet, analisis sinyal 1. Pendahuluan Ide dasar dari Fourier transform adalah pendekatan fungsi kompleks sebagai hasil penjumlahan dari basis fungsi sinusoidal. Basis tersebut dapat memberikan informasi dari sinyal yang dianalisa dalam domain frekuensi dengan domain waktu yang infinitiv. Dengan representasi tersebut fourier transform memiliki kekurangan utama jika diaplikasikan untuk kasus sinyal non-stationary dimana komponen spektralnya sensitif terhadap perubahan waktu (contoh : data spektrum seismic dan geologis, gerak brownian molekul). Dengan Fourier Transform diperoleh informasi spektrum dari sinyal asli dalam domain frekuensi dimana dengan representasi tersebut tidak mengindikasikan lokalisasi frekuensi-waktu dalam bentuk komponen spektral. Sehingga singularitas dari sinyal asli tidak bisa tercover [5]. Secara khusus perubahan frekuensi dalam kasus sinyal non-stationary yang dimaksudkan adalah perubahan frekuensi tinggi dalam span waktu yang sempit dan perubahan frekuensi rendah dalam span waktu yang panjang. Kebutuhan representasi sinyal non-stationary secara Time-Frequency Representation (TFR’s) mendorong ditemukannya metode analisa Short Time Fourier Transform. Menyadari permasalahan tersebut maka solusi yang dikembangkan dalam Fourier transform adalah dengan cara mengkonstruksi window-window yang berfungsi sebagai fungsi lokalisator. Metode tersebut dilakukan dengan cara segmentasi sinyal asli dengan time localized window dan analisa sinyal dilakukan pada tiap-tiap window tersebut. Solusi yang telah dikembangkan dengan teknik representasi analisa sinyal secara TFR’s pada akhirnya kembali menemui permasalahan [5].

1


ISSN 1978-9491

Dalam aplikasinya spektrum sinyal asli hanya ditransformasi dengan menggunakan satu jenis fungsi window [1]. Hal ini mengakibatkan ketidakakurasian dalam menganalisa variasi informasi frekuensi dari sinyal asli. Sehingga dari STFT dikembangkan teknik Narrow-Band untuk analisa perubahan frekuensi tinggi dalam span waktu sempit dan teknik Wide Band untuk analisa frekuensi rendah dalam span waktu yang panjang. Dari turunan STFT kelemahan yang timbul adalah transisi spektral sinyal asli tidak tertampilkan dengan resolusi yang tajam. Sehingga analisa sinyal tidak dapat dilakukan untuk spektrum. Dengan permasalahan tersebut maka dikembangkan metode tranformasi dengan basis fungsi yang tidak hanya didominasi oleh representasi fungsi sinusoidal [5]. Basis fungsi yang dikembangkan mengacu pada kebutuhan spesifik dari analisa sinyal dengan tetap memberikan keuntungan dalam representasi Time-Frequency secara terlokalisasi dan menyeluruh. Basis fungsi yang dikembangkan adalah Wavelets, dimana sinyal asli di-dekomposisi menjadi bandband frekuensi kemudian analisa sinyal dilakukan pada tiap-tiap band tersebut. Kelebihan wavelets sebagai fungsi transform adalah adanya fungsi kompresi (dilation) dan pergeseran (translation) dalam fungsi induknya. Fungsi basis yang pertama direkonstruksi adalah derivative kedua dari fungsi Gaussian, karena bentuknya yang ber-ombak (wavy) maka penemu dari metode tersebut menamakannya dengan sebutan wavelets [1],[5]. Pengembangan lebih lanjut dari Wavelets Transform adalah rekonstruksi dari induk wavelets sesuai dengan kebutuhan analisa sinyal yang diinginkan agar didapatkan analisa sinyal yang lebih informatif, deskriptif, dan efisien dalam aplikasinya. Framework universal untuk merekonstruksi induk wavelets adalah Multi Resolution Analysis dimana dengan men-dekomposisi sinyal diskrit menjadi band-band frekuensi dyadic-nya oleh rangkaian filter high pass dan low pass [5]. Sedangkan cara lainnya adalah Compact Supported dimana rekonstruksi difokuskan pada fungsi scalling yang tersupport dan ringkas untuk daerah integer tertentu [1],[2].

2. Dasar Teori Wavelets Transform adalah fungsi transform yang digunakan untuk menguraikan data atau fungsi atau operator menjadi komponen frekuensi yang berbeda-beda dengan resolusi yang disesuaikan dengan skalanya. Suatu sinyal f(t) yang diasumsikan kontinyu dengan variabel t, maka standar Fourier transform-nya adalah [3],[5]:

f (i )

1 2

f (t )e

i t

dt

(2.1)

Gambar 1. Contoh representasi Fourier Transform f(ω) dari fungsi f(t). Persamaan 2.1 merupakan representasi suatu sinyal f(t) dalam domain frekuensi, kandungan kuantitas informasi frekuensi f dalam range waktu yang infinitif. Dari persamaan 2.1 representasi 2


ISSN 1978-9491

sinyal dengan basis fungsi sinusoidal, tidak mengindikasikan adanya lokalisasi frekuensi dalam waktu tertentu. Sebagaimana pada gambar 2, hal ini mengakibatkan kesulitan pada analisa sinyal NonStationary yang membutuhkan resolusi yang tinggi pada spektral tertentu [4].

Gambar 2. Variasi fourier transform, f(ω) dari sinyal f(t) Untuk mengatasi hal tersebut maka dikembangkan teknik lokalisasi time-frequency dengan cara membentuk window-window dari sinyal f(t) yaitu [1]: T Win f ( , t )

f (s )g(s

t 0 )e

i s

ds

(2.2)

Persamaan 2.2 adalah Windowed Fourier transform (WFT) [1] dari sinyal f(t) kontinyu dimana window yang digunakan adalah g(s-t0). Window tersebut digunakan sebagai lokalisator frekuensi dan waktu sepanjang spektrum sinyal asli. Sedangkan persamaan 2.3 adalah WFT untuk sinyal diskrit dimana, t dan ω didiskritisasi secara regular dengan harga t=nt0 dan ω=mω0 serta m,n adalah berkisar pada Z sehingga dengan ω0,t0 > 0 maka persamaan 2.2 menjadi.

TmWin ,n (f )

f (s )g(s

nt 0 )e

im

0s

ds

(2.3)

Representasi grafis dari pendekatan analisa sinyal f(t) dengan menggunakan window ditunjukkan pada gambar 1.2, dimana sinyal yang akan dilokalisasi secara spektral. Sinyal asli f(t) akan tertranformasi secara kontinyu dan konstan dengan menggunakan window g(s-t0) sepanjang daerah spektrum dari f(t) [4].

Gambar 3. Lokalisasi sinyal asli dengan metode STFT. Pada wavelets transform lokalisasi pada sinyal asli f(t) dilakukan dengan cara mengkonstruksi fungsi basis yang dapat melokalisasi frekuensi dan waktu secara variatif dengan kata lain tidak lagi menggunakan satu window untuk seluruh spektrum sinyal f(t). Atau menggunakan window yang berbeda-beda sepanjang daerah spektrum pada sinyal asli [1]. Persamaan umum Wavelets Transform dari sinyal kontinyu f(t) adalah :

3


f (a, b)

1

ISSN 1978-9491

f (t )

a

t

b a

dt

(2.4)

Persamaan 2.4 adalah Continous Wavelets Transform dari sinyal kontinyu f(t) dimana wavelets sedangkan (t) adalah induk wavelets.

adalah

Gambar 4. Representasi dengan wavelets dari sinyal F(t) Window yang dikonstruksi dalam Wavelets Transform adalah induk wavelets yang dilengkapi dengan parameter dilation dan translation. Sehingga analogi dari kerja wavelets transform adalah seperti mikroskop sebagaimana gambar 4, semakin akurat rekonstrusi induk wavelet maka semakin efektif dalam menganalisa sinyal. ( a ,b ) (t )

1

t b a

a

Parameter a dan b adalah konstanta dilation dan translation dimana a>0 dan a,b sinyal asli diskrit maka Discrete Wavelets Transformnya adalah :

a 0 m / 2 f (t ) (a 0 m t nb 0 )dt

f (a, b)

(2.5) Z. Sedangkan untuk

(2.6)

Diskritisasi dilakukan dengan mendiskritkan harga parameter a dan b dalam bentuk : Z. Syarat yang harus dipenuhi dari a a 0m , b nb0a 0m Dengan syarat a0>1 dan b0>0 dan m,n persamaan induk wavelets sebagi basis fungsi adalah admissibility condition dimana; 2

(t ) dt 

(2.7)

Jika suatu induk wavelets memenuhi kondisi pada persamaan 2.7 maka induk wavelets menyatakan daerah spektrum energi yang terbatas sehingga kondisi admissibility-nya adalah : c

2

( )

2

d

(2.8)

4


ISSN 1978-9491

Dimana Ψ adalah fourier transform dari pada persamaan 2.8. Kemiripan dari Windowed Fourier Transform dengan Wavelets Transform adalah membentuk inner product dari fungsi f yang ditandai dengan indeks 2 (dua) label yaitu, [1] : § g §

t,t a ,b

(s )

e i s g(s

(s ) | a |

1 2

t ) dari persamaan 2.2 .

s

b a

dari persamaan 2.4 .

Induk wavelets pertama yang ditemukan adalah fungsi derivatif kedua gaussian (DOG, Derivative of Gaussian) yang umum disebut sebagai Mexican Hat (topi khas orang Meksiko, karena bentuknya yang sama). Bentuk dari induk wavelets Mexican Hat ditunjukkan pada gambar 5.

(t )

(1 t 2 )e

t2 2

(2.9)

Mexican Hat merupakan fungsi lokalisator yang baik dalam frekuensi dan waktu serta memenuhi admissibility condition sebagaimana dalam persamaan 2.7 dan 2.8 [1] . Dengan menggunakan persamaan 2.5 maka akan didapatkan fungsi transform yang siap menjadi lokalisator spektrum sinyal f(t). Dengan menggunakan parameter dilation dan translation dimana dengan menggunakan harga a yang kecil pada persamaan 2.5 maka wavelets bertanggung jawab untuk lokalisasi frekuensi tinggi sedangkan untuk harga a yang besar maka wavelets berfungsi vice versa. Sedangkan parameter b bertanggung jawab dalam lokalisasi span area spektral dari frekuensi sinyal asli. Semakin besar dari harga b maka semakin besar span daerah spektrum yang tercover dari wavelets transform.

Gambar 5. Induk wavelets dari derivatif kedua fungsi Gaussian atau disebut Mexican Hat. 2.1 Tipe Wavelets Transform Sesuai dengan sifat alamiah sinyal maka dalam aplikasinya wavelets transform dibedakan menjadi dua macam yaitu Continous Wavelets Transform dan Discrete Wavelets Transform [1]. 2.1.1 Wavelets Transform Kontinyu Continous Wavelets Transform didefinisikan sebagai penjumlahan antara seluruh spektrum sinyal dikalikan dengan versi wavelets induk yang telah ter-kompressi dan ter-translasi. Dimana hal ini diformulasikan dalam persamaan 3.0. Wavelets induk yang digunakan harus memenuhi persyaratan admissibility sebagaimana dalam persamaan 2.7 dan 2.8. Sedangkan untuk mendapatkan kembali sinyal asli, maka digunakan Inverse Wavelets Transform [1] yaitu : 5

Jurnal Artificial, ICT Research Center UNAS Artificial, Vol.3 No.1 Januari 2009 f (t )

k

1

ISSN 1978-9491 a ,b

f (a, b)

dadb a2

(3.0)

dimana k adalah konstanta yang ditentukan dari wavelets. Persamaan 3.0 didapatkan dengan menggunakan terorema resolusi identitas dimana jika suatu fungsi f dan g adalah, f,g L2(R) dan hasil wavelets transform dari kedua fungsi tersebut adalah f(a,b) dan g(a,b) maka : f(a,b) =
a,b

> , fungsi sinyal asli dari f adalah : f (a, b)g(a, b)

dadb a2

C  f, g 

(3.1)

2.1.2 Diskrit Wavelets Transform Pada persamaan 2.4 persyaratan yang harus dipenuhi agar Discrete Wavelets Transform [1] beroperasi sebagai fungsi tranform maka parameter a dan b didefinisikan sebagai berikut : a R+ dan b R dengan a≠0 dan memenuhi kondisi admissibilitas sesuai dengan persamaan 2.8. Parameter a didefinisikan hanya berlaku untuk harga real yang positif sehingga persyaratan admissibilitas pada 2.8 mengalami perubahan batas integrasi dari -  menjadi 0  [1] :

( )

2

c

2

d

(3.2)

0

Diskritisasi nilai a dan b dipilih untuk harga a≠1 dan a0>1 dan b0>1 dan dengan m,n Z, adalah nilai integer (positif dan negatif) maka diskritisasi parameter b dipilih agar (x-nb0) dapat ter-cover dengan seluruh spektrum area dari fungsi sinyal asli. Sedangkan untuk harga m yang berbeda-beda, lebar dari : m

adalah n kali dari lebar (x) sehingga pemilihan parameter b mendukung diskritisasi wavelets pada level m sehingga garis dari (x-nb0) tercover. Pemilihan harga a0 dan b0 ditentukan oleh persamaan wavelets : a 0 2 (a 0 m x )

m, n

x



m

a0 2

x

nb 0 a 0 m a 0m

(3.3)

Rekonstruksi sinyal asli diperoleh dengan cara integrasi inner product dari hasil transform dan hasil diskritisasi wavelets dikalikan konjugasi dari hasil diskritisasi wavelets : f

f m,n ,

m,n

~

m,n

m,n

f (x )

k

f m,n m

m,n

x



(3.4)

n

6


ISSN 1978-9491

Persamaan 3.4 adalah inverse wavelets tranform dimana k adalah harga konstanta yang tergantung dari normalisasi. Jika terdapat sebarang fungsi lain dimana fungsi tersebut adalah g sehingga g kembali mengkonstruksi fungsi g dengan hasil transformasi dari f adalah : f, g

f, g

f m,n ,

m,n

~

L2(R) maka untuk

(3.5)

m,n , g

m,n

sehingga fungsi g adalah :

g m,n , ~ m,n

g

(3.6)

m,n

m,n

2.1.3 Karakteristik Wavelets Transform Sebagai alat analisis sinyal maka wavelets memiliki karakteristik yang juga sama sebagaimana dalam fourier transform dan terdapat karakteristik khusus yang membedakan dengan fungsi transform yang lainnya. Karakteristik [7] dari wavelets transform agar dapat beroperasi secara matematis adalah sebagai berikut : a. Linieritas Operasi matematis secara linier dari wavelets transform sesuai dengan prinsip matematis yang juga berlaku dalam aturan inner product seperti aturan Hilbert Space, Cauchy Schwarz, dan lain-lain. Contohnya adalah : Jika terdapat 3 vektor sebarang dalam space L2 R dimana masing-masing fungsi dari vektor tersebut adalah u1, u2 dan v dengan konstanta eigen value maka operasi matematis yang berlaku adalah: 1u1

2 u2 , v

1 1 u, v

2

u2 , v

(3.7)

b. Shifting Jika f(t) adalah sebarang sinyal dan hasil transformasi dari Continous Wavelets Transform adalah f(a,b) maka untuk sinyal asli f(t) yang mengalami pergeseran f’(t) dalam jarak b dimana f’(t)=f( t-b’ ), hasil wavelets transformnya sesuai dengan persamaan 2.4 adalah f’(a,b) : f ' (a, b) 1

f (a, b b' ) f (t

a 1

a f (a, b

b' )

f (t' )

t

b a

dt

t' b' b dt a

(3.8)

b' )

7


ISSN 1978-9491

Gambar 6. Contoh karakteristik wavelets transform sebagai shifting. c. Scalling Jika f(t) wavelets transformnya adalah f(a.b) dan jika fungsi dari sinyal asli di-resize dengan 1

parameter 1/s sehingga proses tersebut menjadikan f(t): f ' (t )

s

f

t , maka wavelets transform s

dari f(t) yang telah mengalami proses resize ditunjukkan dalam persamaan 3.9. Dari persamaan 3.9 dapat ditunjukkan bahwa hasil transformasi yang baru identik terhadap perubahan wavelets, dimana perubahan hanya berpengaruh pada faktor dilation dan translation 1

f ' (a, b) s a

as f (t' )

t f( ) s

t

b a

st' b . a

dt

(3.9)

st' b dt a

a b f( , ) s s

d. Konservasi Energi Berdasarkan teorema Parseval’s maka operasi dari wavelets transform untuk sebarang sinyal f(t) memiliki konservasi energi yang didefinisikan pada persamaan 5.0. 2

f (t ) dt

1 C

f (a, b)

2

dadb a2

(4.0)

e. Lokalisasi Sebagai fungsi transform yang responsif maka wavelets dilengkapi dengan media lokalisator untuk menganalisa spektral frekuensi yang transitif. Sehingga persyaratan yang memenuhi kebutuhan tersebut adalah :

 t dt

0 dan

2

 t dt

1

Dua batasan diatas menyatakan bahwa induk wavelets pada term pertama memberikan persyaratan bahwa induk wavelets harus berosilasi sedangkan term kedua memberikan

8


ISSN 1978-9491

persyaratan bahwa induk wavelets harus berharga non-zero pada t tertentu. Secara khusus hal ini diturunkan menjadi lokalisasi waktu dan frekuensi pada bagian e.1dan e.2 dibawah ini.

Gambar 7. Contoh karakteristik wavelets transform sebagai lokalisator spektral sinyal.

e.1 Lokalisasi Waktu Jika suatu sinyal Dirac pada t=t0 sehingga (t-t0) dan Continous Wavelets Transform dari sinyal tersebut adalah f(a,b) maka lokalisasi dalam domain waktu adalah : f (a, b) 1 a 1 a

1 a

t

f (t )

(t

t0 )

t0

b

b a

t

b a

dt

dt

(4.1)

a

e.2 Lokalisasi Frekuensi Contoh wavelets transform berfungsi sebagai lokalisator frekuensi paling baik adalah dengan menggunakan keluarga Sinc wavelets [2] sebagai induk wavelets. Dimana dengan menetapkan magnitudo spektrum 1 untuk |ω| antara dan 2 dan jika magnitudo dari fungsi kompleks sinusoid adalah ω0, maka wavelets frekuensi tinggi akan melalui fungsi sinusoid dengan faktor skala a min ( / 0 ) dan gain yang didapatkan adalah gain a min ( / 0 ) . Sedangkan spektral frekuensi rendah akan ter-cover melalui a max 2 / 0 .

f. Regularity Pada Fourier transform regularitas diperoleh melalui penurunan fungsi transfernya. Dan dengan local fourier transform hanya mampu mendapatkan indikasi local regularity dalam satu window yang konstan. Dengan wavelets transform maka dengan karakteristik zooming dalam fungsi dilation akan mampu mengisolasi diskontinyuitas dari seluruh daerah spektral sinyal sebagaimana ditunjukkan pada gambar 8. Window-window yang berbeda dari induk wavelets memiliki regularitas untuk daerah spektrum sinyal asli.

9


ISSN 1978-9491

Gambar 8. Karakteristik regularity dari wavelets tranform. g. Reproduksi Kernel Produksi kernel’s diakibatkan oleh ekspansi fungsi dari representasi 1 dimensi menjadi representasi 2 dimensi. Jika space V adalah integral dari fungsi kuadrat pada bidang a,b yang ditentukan oleh term dadb/a2 sebagaimana pada persamaan 3.1. Dan jika sebarang fungsi f(t) wavelets tranformnya adalah f(a,b) dan fungsi tersebut berasal dari Hilbert space maka rekonstruksi f(t) dalam bidang a,b didefinisikan sebagai : f (a 0 , b 0 )

1 C

K a 0 , b 0 , a, b f (a, b)

dadb a2

(4.2)

dimana K adalah reproduksi kernel yang didefinisikan sebagai produk skalar dari [1]:

K a 0 , b 0 , a, b 

a 0 ,b 0 ,

(4.3)

a ,b

3. Multi Resolution Analysis Multiresolution Analysis (MRA) dibangun dari beberapa aksioma yang akan digunakan untuk mengkonstruksi basis fungsi bagi induk wavelet, yaitu : a. Jika V0 adalah space tertentu dari suatu dimensi dan V dalam rentang yang tidak terhingga adalah terdiri dari bagian Vn secara periodik dalam rentang tersebut maka aksioma pertama dari MRA adalah [7],[6]:

.....V2

V1

V0

V

1

V 2 .....

(4.4)

Persamaan 4.5 merupakan pernyataan matematis dari proyeksi suatu vektor Vm{f(t)} secara orthogonal dari f(t) pada space Vm . lim m

Pr oj _ Vm [f (t )]

f (t )

(4.5)

b. Upward Completeness dari space aksioma II adalah :

U Vm

m Z

L 2 (R )

(4.6)

c. Downward Completeness 10


ISSN 1978-9491

0

I Vm

(4.7)

m Z

d. Invariansi Skala, semua space dari MRA adalah versi space yang telah terskala dan berpusat pada V0 .

f (t )

f (2 m t )

Vm

V0

(4.8)

e. Shift Invariance, jika fungsi f(t) adalah fungsi dari space V0 dan fungsi f(t) mengalami pergeseran sejauh n maka fungsi yang tergeser f(t-n) merupakan bagian tetap dari space V0.

f (t )

V0

f (t

n)

V0

(4.9)

f. Eksistensi Basis, (t) adalah merupakan fungsi scalling dari space V0 sebagaimana pada persamaan (5.0). Berdasarkan teorema Poisson’s maka orthonormalitas pada definisi (5.1) dalam domain fouriernya adalah berharga sama sebagaimana pada (5.2).

V0

(5.0)

t n| n 2k

Z

(5.1)

2

1

(5.2)

k

Dari aksioma a – f maka dapat diturunkan basis fungsi untuk space V-m yaitu : m 22



2m t n |n

Z

(5.3)

Contoh MRA : Haar Wavelet (t )

1 _ untuk _ 0 t  1 0 _ untuk _ h arg a _ t _ yang _ lain

(5.4)

Persamaan 5.4 adalah fungsi scalling dari Haar, didefinisikan sebagai fungsi pulsa pada unit panjang tertentu. Berdasarkan aksioma MRA maka fungsi scaling yang terkompresi dan tertranslasi didefinisikan sebagai :

(t )

(2t )

(2t

1)

(5.5)

Sehingga akan didapatkan proyeksi orthogonal dari space Vm pada Wm, didefinisikan sebagai induk wavelet Haar ;

11


ISSN 1978-9491

1

1 2

1

(t )

t

0

0

1 2

t 1

(5.6)

lainnya

Gambar 9. Konstruksi induk Haar Wavelets.

3.1 Compact Suppported Konstruksi induk wavelets dengan konsep MRA menghasilkan fungsi yang ter-support secara infinitive sebagai akibat dari proses orthogonalisasi [1]. Untuk mengkonstruksi wavelets yang compact supported, dimana fungsi yang mendukung adalah berada pada range tertentu (finite) dan tidak nol (non-zero), maka dimulai dengan mengkonstruksi sub-band filter. Jika pada konsep MRA untuk mendapatkan yang dikonstruksi adalah scalling function maka pada konsep Compactly supported yang dirancang adalah m0 yaitu filter sub-band. 2

(t )

g 0 n (2t

n)

n

maka untuk menentukan fungsi yang compact supported adalah dengan cara menentukan scalling function yang juga compact supported, yaitu :

2

g0 n

(t ) (2t

n)dt

(5.7)

dimana hanya beberapa dari fungsi g0[n] adalah non-zero sehingga berkurang menjadi kombinasi linier dari fungsi yang ter-support secara ringkas. Untuk yang Compactly supported dan periodik dalam interval 2 adalah :

m 0 (t )

1 2

g ne

int

(5.8)

n

menjadi polinomial trigonometri sehingga orthonormalitas dari 5.8 adalah :

m 0 (t )

2

m 0 (t

)

2

1

(5.9) 12

Jurnal Artificial, ICT Research Center UNAS Artificial, Vol.3 No.1 Januari 2009 untuk mendapatkan

dan

ISSN 1978-9491

regular m0 dapat dinyatakan dalam bentuk :

1 e 2

m 0 (t )

N

1t

L(t )

(6.0)

dengan N  1 dan L(t) adalah polinomial trigonometri. Syarat agar memenuhi 5.9 adalah : Jika dan hanya jika L(t)=|L(t)|2, L(t ) P(sin 2 t / 2) Maka 6.0 bisa dinyatakan dengan; P( y )

PN ( y ) y N R(

1 2

y)

(6.1)

dimana N 1

N 1 k

PN ( y )

k

0

yk

(6.2)

dan R adalah polinomial yang ganjil, ditentukan agar P(y) 0 untuk y [0,1]. Proposisi dari 6.1 dan 6.2 meng-karakterisasi |m0(t)|2, namun sesuai dengan tujuan awal yang diperlukan adalah m0. Jika pada 6.0 m0(0) = 1 maka

dan

bisa didefinisikan sebagai :



t t maka

dan



1

m0 2 j t

2 e



j 1 it / 2



m 0 t /2

t / 2

adalah fungsi L2 Compactly supported yang memenuhi :

t



2

n

h n 2t

(6.3)

n

t



1 h n

2

n 1

2t n

(6.4)

n

dimana hn adalah ditentukan oleh m0 melalui 5.8, sehingga

j,k

x



2

j/ 2



2 j x k , j,k Z. Dari

eksposisi tentang konstruksi sub-band filtering m0 dapat diketahui bahwa batas frekuensi tertinggi pada m0 adalah m0( )=0. Bukti bahwa dari metode Compactly supported adalah sistem orthonormal dalam L2(R) maka dilakukan dengan mengetahui tingkat order yang dapat dilakukan oleh , yaitu : R

tm

 t dt

0

(6.5)

13


ISSN 1978-9491

dimana untuk semua m= 0,1,2,3,…,r. Sehingga pada order tertentu dari m terdapat vanishing moment, pada order tersebut memiliki harga tidak sama dengan nol. Contoh Konstruksi induk wavelets dengan metode compactly supported [2]: Berdasarkan 6.3 dan 6.4 jika bilangan integer yang ditentukan adalah 2, N2 dan jika gn didefinsikan { gn ;n Z} dengan gn=0 jika n < 0 atau n > 2N maka persyaratan yang harus dipenuhi agar bisa didapatkan fungsi scalling dan adalah :

g ng n

0,m , untuk semua integer m

2m

n

2

gn n

nn

1 g n

dengan

n m

0,m , 0

m

n 1

N-1

n

sehingga dengan N=1 maka g0 = g1 =1 . Berdasarkan persyaratan diatas fungsi scalling, wavelets, adalah :

t



2

g n 2t

dan induk

n

n

t



2

n

2t

n

n

Dimana (t) adalah kontinyu dan compact support yang memenuhi :

 t dt

1, untuk

setiap integer N dengan interval support

[0, 2N-1]. Sedangkan (t) juga compact supported dimana vanishing moment-nya memenuhi  0 , untuk range integer 0 m N-1. t m t dt

14


ISSN 1978-9491

Gambar 10. Fungsi scalling (t) dan induk wavelets (t) dari Daubechies dengan N=2. 4. Contoh Keluarga Wavelets Induk wavelets yang selama ini telah dikembangkan sesuai dengan area aplikasi analisis sinyal dan processing yang bukan lagi memberikan tuntutan representasi melainkan tuntutan kemudahan dalam implementasi secara algoritma menjadikan wavelets sebagai subyek interdisiplin yang menarik untuk dikaji. Contoh induk wavelets yang disajikan pada makalah ini adalah, Meyer Wavelets, Morlet’s dan C-Morlet’s [4]. 4.1 Meyer Wavelets Meyer Wavelets dikonstruksi dengan basis orthonormal dimana fourier transform dari fungsi scalling didefinisikan sebagai berikut : 2 3

1 cos

2

v

3 4

1



2 3

4 3

(6.6)

0  selainnya

Gambar 11. Fourier Transfom scalling function dari Meyer Wavelets.

15


ISSN 1978-9491

dengan v adalah fungsi dengan kondisi sebagai berikut :

vt



0 t 0 1 t 1

(6.7)

maka konstruksi dari induk wavelets adalah:



ei

/2

2



2



2

(6.8)

Gambar 12. Induk Meyer’s wavelets dengan fourier transformnya.

4.2

Morlet Wavelets Induk wavelets yang direkonstruksi dari basis orthonormal dalam keluarga wavelets tersebut adalah :

t



e

i

0t

e

2

/2

e

t2 /2

(6.9)

Fourier transform dari induk wavelets adalah osilasi dari fungsi gaussian. Parameter ω0 diplih berdasarkan rasio antara harga maksimum pertama dengan harga maksimum kedua, hasilnya adalah mendekati 0,5. Sehingga secara praktis harga ω0= 5,3364. Morlet Wavelets adalah jenis fungsi induk yang bersifat kompleks sehingga terdapat plot secara orthonormal, s, m,n dan plot bagian imajiner / real. Sudut dari yang terbentuk adalah tan 1 Im s,

m,n

/Re s,

m,n

.

16


ISSN 1978-9491

Gambar 13. Induk wavelets Morlet’s yang terdiri atas bagian real dan imajiner. 4.3 Complex Morlet (cmor) : Keluarga Complex Wavelet Induk wavelets didefinisikan [3]:

x



fb e2

ifc x

e

x2 fb

(7.0)

Dimana : fb = Parameter bandwidth fc = Parameter center frequency

Gambar 14. Induk wavelets C-Morlet’s yang terdiri atas bagian real dan imajiner.

5. Aplikasi Wavelets Transform Contoh area aplikasi dari wavelets transform yang dapat kita jumpai sehari-hari adalah hasil image processing yang berupa data image pada komputer dalam format JPEG 2000 dan MPEG versi 4. Dimana data dalam format standart tersebut memiliki kelebihan dalam ukuran data dan resolusi yang ditimbulkan. Dalam area engineering bedasarkan karakteristiknya, wavelets berperan dalam Sistem Komunikasi dimana sistem kompressi data tetap menjadi kunci teknik pengembangannya. Dalam Optical System peran wavelets dalam teknik imaging digital seperti digital holography adalah contoh aplikasi teknis, serta metode pengukuran non-destructive [9] dan LIDAR. Wavelets dapat digunakan untuk mendeteksi perbedaan pola radiasi materi dari data LIDAR sehingga pemantauan kondisi fisis dari atmosfir dapat dilakukan. Dalam area meteorologi wavelets dapat digunakan untuk menganalisa 17


ISSN 1978-9491

iklim daerah yang menjadi pengamatan dari data satelit cuaca [8]. Digital Signal Processing memberikan peluang yang besar bagi wavelets dalam menggantikan peran FFT dalam menganalisa sinyal suara dan image. Wavelets juga berperan dalam kasus Analisa Turbulensi dari suatu aliran, dimana sinyal yang terjadi adalah memiliki kecenderungan untuk tidak linier. Berdasarkan kondisi alamiah sistem biologis manusia maka wavelets juga berperan dalam menganalisa sinyal yang diperoleh dari alat pemantau proses biologis seperti data EEG, ECG [10]. Secara umum waveletes merupakan metode analisa yang informatif dalam kasus sinyal yang berkarakteristik non-stationary.

1. Kesimpulan Dari uraian di atas dapat diambil kesimpulan, bahwa transformasi wavelets dibandinkan metode STFT atau WFT (short time fourier transform/windowed fourier tranform) memiliki kelebihan dalam beberapa hal, yakni: a. Lebih deskriptif dan informatif dalam merepresntasikan sinyal yang regular atau non-regular b. Dapat menggabungkan representasi sinyal secara visual dan grafik c. Dapat digunakan untuk mengkompresi dan memfilter sinyal secara efisien Ungkapan Terima Kasih Penulis menghaturkan terima kasih atas bantuan, sharing idea, dan kerja keras yang telah diberikan, Bapak Ir. Heru Setijono, MSc dan fellow research di Lab. Rekayasa Fotonika (M Rizal J, Zulaikah, Astuti dan Deddy) . Referensi Daubechies I., Ten Lectures on Wavelet. SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1992. Daniel TL, & Akio Y, Wavelet Analysis: Theory and Aplikasi, HP Journal, HP Company, 1994. O’Flynn M, Moriarty E, Linear Systems Time Domain and Transform Analysis, J&W Son, Singapore, 1987. [4]. Poggi J.M, Oppenheim G, Yves Misiti, Michel Misiti, Wavelet Toolbox, Mathwork, Matlab 6.1. [5]. Robi Polikar, The Story of Wavelets, IMACS/IEEE CSCC’99 Proceedings,Page 5481-5486. [6]. Sarris CD, Katehi LPB, and Harvey JF, Application of MRA to The Modeling and Optical Structures, Optical & Quantum Electronics, 32: 657-679, 2000. [7]. Vetterli M., Kovacevic J., Wavelets & Sub-Band Coding, Prentice Hall, New Jersey, 1995. [8]. Torrence C & Gilbert P.C, A Practical Guide to Wavelets Analysis, Billutin of The American Meteorological Society, 1998. [9]. Patsias S. & Staszewski W.J, Damage Detection Using Optical Measurements and Wavelets, Vol. 1, 2002 Sage Publication. [10]. Ivo Provaznik, Wavelets Analysis for Signal Detection – Application to Experimental Cardiological Research, Brno University of Technology, Faculty of Electrical Engineering & Communication department of Biomedical Engineering, 2002. [11]. Arifianto D, Sekartedjo, & Heru S, Spectral Analysis of Corrupted Data of Larynx Disease by Noise Channel using discrete Wavelets Transform, The 6th Asian Symposium on Visualizaton, Korea ,2001. [1]. [2]. [3].

18

Wavelets Transform : Overview Teknis

Recommend Documents