VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY
DIPLOMOVÁ PRÁCE
2013
Daniel Červenka
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY
Název diplomové práce:
Aplikace metod optimalizace zásob v dodavatelských řetězcích
Autor:
Daniel Červenka
Katedra:
Katedra ekonometrie
Obor:
Ekonometrie a operační výzkum
Vedoucí práce:
Ing. Martina Kuncová, Ph.D.
Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma „Aplikace metod optimalizace zásob v dodavatelských řetězcích“ zpracoval samostatně. Veškerou použitou literaturu a další podkladové materiály uvádím v seznamu použité literatury. V Praze dne 3. ledna 2013
................................ Daniel Červenka
Poděkování: Rád bych na tomto místě poděkoval Ing. Martině Kuncové, Ph.D. za vstřícné vedení mé diplomové práce a za podporu, bez které by tato práce nemohla vzniknout.
Abstrakt Název práce: Autor: Katedra: Vedoucí práce:
Aplikace metod optimalizace zásob v dodavatelských řetězcích Daniel Červenka Katedra ekonometrie Ing. Martina Kuncová, Ph.D.
Jelikož v zásobách obchodního podniku je alokována velká část kapitálových prostředků, je zapotřebí proces řízení zásob optimalizovat. K tomuto účelu byla vyvinuta řada modelů, jež je obvykle pro potřeby konkrétních případů nutné upravit tak, aby byla zajištěna shoda s realitou. Tato práce se zabývá optimalizací řízení zásob elektronického obchodu. Jako výchozí byl zvolen stochastický model s uvážením ztráty z nesplněných objednávek. Nejprve byly provedeny nutné úpravy modelu a definovány vstupní parametry. Po naplnění modelu reálnými daty, jež byla získána užitím statistických metod, byly stanoveny optimální hodnoty sledovaných veličin. V závěrečné části byla provedena analýza citlivosti těchto veličin na nepředvídané změny vstupních parametrů. Použití modelu se neomezuje jen na tento konkrétní případ. Bez větších úprav je model aplikovatelný i na další obdobné problémy.
Klíčová slova: řízení zásob, stochastické modely, optimalizace
Abstract Title: Author: Department: Supervisor:
Application of methods of inventory optimization in supply chains Daniel Červenka Department of Econometrics Ing. Martina Kuncová, Ph.D.
As in the stock of trading business is allocated a large part of the capital resources, it is necessary to determine the manner of their control. For this purpose a number of models were developed. Before application to the specific case, these models must be properly adjusted to ensure conformity with reality. The aim of this thesis is to optimize the inventory management of electronic commerce. The stochastic model with loss from unfulfilled orders was chosen as default. First, the necessary adjustments were made to the model and defined input parameters. After filling model with real data, the optimum values of the monitored variables were obtained. The last part deals with the influence of changes in input parameters on the optimal value of variables. Use of the model is not limited to this particular case. Without major modifications, the model is also applicable to other similar problems.
Keywords: inventory control, stochastic models, optimization
Obsah Úvod ........................................................................................................................................................ 1 1
Úvod do teorie zásob ...................................................................................................................... 2 1.1
Typy a úrovně zásob ................................................................................................................ 2
1.2
Klasifikace modelů zásob ........................................................................................................ 4
1.3
Kriteriální funkce ..................................................................................................................... 8
1.4
Deterministické modely řízení zásob ...................................................................................... 9
1.5
Stochastické modely řízení zásob.......................................................................................... 12
1.5.1 2
3
Přehled použitých statistických metod ......................................................................................... 15 2.1
Normální rozdělení ................................................................................................................ 15
2.2
Regresní analýza .................................................................................................................... 16
Definice modelu ............................................................................................................................ 19 3.1
5
Typy nákladů ......................................................................................................................... 19
3.1.1
Skladovací náklady ........................................................................................................ 20
3.1.2
Náklady z nedostatku .................................................................................................... 22
3.1.3
Přepravní náklady .......................................................................................................... 23
3.1.4
Náklady na pořízení zásoby ........................................................................................... 24
3.2
4
Model s uvážením ztráty z nesplněných objednávek.................................................... 13
Nákladová funkce a její optimalizace .................................................................................... 24
3.2.1
Stanovení pojistné zásoby ............................................................................................. 26
3.2.2
Popis poptávky během doby dodání ............................................................................. 26
Aplikace modelu ............................................................................................................................ 29 4.1
Stanovení celkové potřeby zdroje ......................................................................................... 29
4.2
Odhad přepravních nákladů .................................................................................................. 30
4.3
Stanovení jednotkových nákladů .......................................................................................... 33
4.3.1
Stanovení skladovacích nákladů.................................................................................... 33
4.3.2
Stanovení nákladů z nedostatku ................................................................................... 34
4.3.3
Stanovení nákladů na pořízení zásoby .......................................................................... 34
4.4
Aproximace poptávky během doby dodání .......................................................................... 34
4.5
Iterační výpočet optimálních hodnot .................................................................................... 37
4.6
Interpretace výsledků............................................................................................................ 39
Analýza citlivosti ............................................................................................................................ 41 5.1
Odchylky od optimálních hodnot .......................................................................................... 41
5.2
Citlivost na změny skladovacích nákladů .............................................................................. 42
5.3
Citlivost na změny nákladů z nedostatku .............................................................................. 44
5.4
Citlivost na změny nákladů na pořízení zásoby ..................................................................... 45
5.5
Citlivost na změny doby dodání ............................................................................................ 46
Závěr ...................................................................................................................................................... 49 Literatura ............................................................................................................................................... 50 Příloha: Přepravní náklady z kalkulátoru poštovného [18] ................................................................... 52
Seznam obrázků a tabulek Obrázek 1-1: Časový průběh stavu zásob [12, str. 253] .......................................................................... 4 Obrázek 1-2: Q-systém řízení zásob [12, str. 257] .................................................................................. 5 Obrázek 1-3: P-systém řízení zásob [12, str. 259] ................................................................................... 6 Obrázek 1-4: Lorenzova křivka - graf diferencovaného řízení zásob [12, str. 256] ................................. 7 Obrázek 1-5: Klasifikace modelů zásob ................................................................................................... 7 Obrázek 1-6: Čerpání a doplňování zásob v modelu EOQ [10, str. 36] ................................................. 10 Obrázek 1-7: Rozklad nákladové funkce modelu EOQ .......................................................................... 11 Obrázek 2-1: Hustota pravděpodobnosti rozdělení N(0,1) [6, str. 100] ............................................... 16 Obrázek 2-2: Distribuční funkce rozdělení N(0,1) [6, str. 100].............................................................. 16 Obrázek 4-1: Agregovaná měsíční poptávka vycházející ze statistik obchodu ..................................... 29 Obrázek 4-2: Výše přepravních nákladů v závislosti na objemu dodávky............................................. 30 Obrázek 4-3: Aproximace přepravních nákladů pomocí lineární regresní analýzy............................... 31 Obrázek 4-4: Aproximace přepravních nákladů bez úrovňové konstanty ............................................ 31 Obrázek 4-5: Aproximace přepravních nákladů pomocí polynomické regrese .................................... 32 Obrázek 4-6: Četnosti hodnot poptávky ............................................................................................... 35 Obrázek 4-7: Četnosti tříd hodnot poptávky......................................................................................... 35 Obrázek 5-1: Analýza citlivosti nákladové funkce na odchylky od optimální signální hladiny ............. 41 Obrázek 5-2: Analýza citlivosti nákladové funkce na odchylky od optimálního objemu dodávky ....... 42 Obrázek 5-3: Analýza závislosti sopt, qopt a nákladové funkce na c1 ....................................................... 43 Obrázek 5-4: Analýza závislosti sopt, qopt a nákladové funkce na c2 ....................................................... 44 Obrázek 5-5: Analýza závislosti sopt, qopt a nákladové funkce na c3 ....................................................... 45 Obrázek 5-6: Analýza závislosti sopt, qopt a nákladové funkce na době dodání ..................................... 47 Tabulka 4-1: Harmonizovaná úroková statistika [2, B3] ....................................................................... 33 Tabulka 4-2: Splnění podmínky pro použití testu dobré shody ............................................................ 36
Úvod Hlavním úkolem zásob je vyrovnávání časového nesouladu mezi procesem výroby u dodavatele a spotřeby u odběratele. V případě maloobchodu jsou zásoby drženy za účelem bezprostředního uspokojení příchozích požadavků zákazníků. Pokud obchod nedrží skladové zásoby vůbec nebo jen v omezené míře, může to mít negativní vliv na počet objednávek a tedy i na tržby, jež jsou klíčové. Naproti tomu vysoký podíl kapitálu vázaného v zásobách může obchod omezovat nedostatkem volných finančních prostředků pro vlastní rozvoj. Řízení zásob přináší určité náklady, jejichž výši se každý obchod snaží minimalizovat. Existující modely řízení zásob je obvykle nutné upravit tak, aby odpovídaly podmínkám konkrétního případu. Elektronické maloobchody jsou současně jednou z nejvíce se rozvíjejících oblastí obchodu. Čím dál více spotřebitelů využívá při svých nákupech internet. Důvodem jsou často nižší cena, větší výběr, případně možnost doručit zboží prakticky kamkoliv. Správa zásob těchto obchodů přitom vykazuje některé specifické rysy, jež obvykle nejsou existujícími modely zachyceny. Cílem této práce je zkonstruovat model optimalizující řízení zásob konkrétního elektronického obchodu. Nejprve bude nutné shrnout veškeré předpoklady uvažovaného případu, sestavit model a naplnit ho daty. Při výpočtech budou použita reálná data, která však často nejsou k dispozici přímo, a proto je nutné je získat užitím statistických metod. Následná aplikace modelu by měla přinést odpověď na otázku, jakým způsobem minimalizovat nákladovou funkci. Získané výsledky bude nutné zhodnotit a rovněž zkontrolovat, zda jsou v souladu s ekonomickými předpoklady. Součástí vyhodnocení výsledků by měla být také analýza možných rizik, jež vyplývají z nepředvídaných změn reálného prostředí.
1
1
Úvod do teorie zásob
Teorie zásob je souhrn matematických metod, pomocí kterých je možné modelovat a optimalizovat řízení zásob. Tato disciplína je úzce propojena s logistikou, podle [1] je s ní často dokonce ztotožňována. V anglicky psané literatuře jsou používána označení Inventory Control nebo Inventory Management. Teorie zásob je jedním z odvětví operačního výzkumu [15]. Zásoba je okamžitě použitelný zdroj, který je vytvářen za účelem zajištění plynulého uspokojování poptávky [10]. Důležitost držení zásob byla zmíněna už v Úvodu. Podle [12] je v zásobách vázáno okolo 20 % celkového kapitálu obchodních podniků. Tato práce se zabývá zásobami maloobchodní jednotky a dá se předpokládat, že podíl kapitálu v zásobách je zde ještě vyšší. Je zřejmé, že tvorba zásoby je velmi kapitálově náročná, a proto je nezbytně nutné ji optimalizovat. Pokud je totiž v zásobách alokováno příliš mnoho kapitálu, může to mít negativní důsledky pro rozvoj firmy, navíc existuje riziko znehodnocení zásob. Pozitivní význam zásob spočívá v eliminaci časového a prostorového nesouladu mezi výrobou a spotřebou. Z pohledu maloobchodu je důležité, že zásoby umožňují okamžité uspokojení požadavků zákazníků. Podle [3] přispívají zásoby také ke krytí nepředvídaných výkyvů jak na straně dodavatele, tak na straně spotřebitelské poptávky. Jak dále uvádí [3], tento přístup k zásobám se označuje jako západní. Naproti tomu v japonském pojetí jsou zásoby vnímány jako škodlivé, poněvadž zakrývají provozní problémy a zvyšují náklady. Je však třeba poznamenat, že tento přístup se týká především zásob ve výrobě. Pro maloobchod je tvorba zásob přirozenou záležitostí. Je ovšem nutné usilovat o odstranění těch problémů, jež jsou příčinou potřeby tvořit zásoby, pokud je to možné.
1.1 Typy a úrovně zásob Zásoby mohou být různého typu, podle toho, jaký je účel jejich tvorby. [12] jmenuje mimo jiné: - běžnou (obratovou), - pojistnou, - spekulativní a - sezónní zásobu. Běžná zásoba kryje potřebu zdroje v období mezi dvěma dodávkami. Středem pozornosti je obvykle průměrná běžná zásoba. Pořízení této zásoby je obvykle méně časté a většího objemu než její čerpání. Jak uvádí [5], je při řízení zásob nutné uvažovat i vznik případného nedostatku zásoby. Z toho důvodu je tvořena pojistná zásoba, jež má zabezpečit pokrytí náhodných výkyvů na straně odběratelů i dodavatelů. Výkyvy mohou být způsobeny změnami spotřebitelských preferencí nebo například zpožděním v přepravě zboží od dodavatele. Tvorba pojistné zásoby pochopitelně zvyšuje náklady řízení zásob, nicméně obvykle jsou v takovém případě předpokládány náklady z nedostatku. Jako výhodnější alternativa se zpravidla jeví držení určité pojistné zásoby, která náklady z nedostatku eliminuje nebo alespoň snižuje.
2
Dalším typem je zásoba spekulativní, pomocí níž se subjekt snaží využít výhodných podmínek nákupu jako kupříkladu dočasného cenového zvýhodnění. Podobný charakter má sezónní zásoba, která pro změnu předpokládá vyšší poptávku; typicky se obchodníci předzásobují před Vánoci. Zatímco prostřednictvím spekulativní zásoby se podnik snaží využít výhody na straně pořízení zásoby, sezónním předzásobením je využito výhody na straně poptávky. Některé speciální případy úrovně zásob mají svá ustálená označení [12]: - minimální, - maximální, - objednací, - okamžitá a - průměrná. Minimální a maximální úroveň zásoby není třeba dlouze popisovat. Maximální úrovně je dosaženo při dodání objednávky na sklad, minimální zásoba je rovna pojistné zásobě. Objednací zásoba je totožná s pojmem bod znovuobjednávky. Jedná se o úroveň, při které je vystavena objednávka, aby nejpozději při poklesu na minimální úroveň došlo k přijetí další dodávky. Pro sledování skladových zásob je podstatná okamžitá zásoba, kterou je možné vyjádřit dvěma způsoby. Prvním z nich je fyzická zásoba udávající skutečný objem zásob na skladě. V případě dispoziční zásoby se připočte ještě objem zboží na cestě na sklad a naopak odečte množství, které je objednáno zákazníky, nicméně ještě nedošlo k jeho expedici ze skladu. Pro výpočty optimálních charakteristik modelů bývá klíčová průměrná úroveň zásob. Tato úroveň se v ideálním případě vypočítá jako průměrná fyzická zásoba během sledovaného období. To však většinou není možné, proto může být tato úroveň u jednodušších modelů stanovena jako jedna polovina objemu dodávky, případně pomocí složitějších výrazů v případě stochastických modelů. Průměrná obratová zásoba ( xb ), pojistná zásoba (xp), objem dodávky (x), bod znovuobjednávky (xo), maximální úroveň zásoby (xmax), délka dodávkového cyklu (tc), doba dodání (tp) a celková doba řízení skladu (T) jsou znázorněny v grafu. V průběhu času dochází k poklesu stavu zásob v důsledku uspokojování požadavků zákazníků. Při poklesu na úroveň xo dojde k vystavení znovubojednávky, zásoba dále klesá na minimální úroveň, při které dojde k naskladnění dodávky. Zásoba přitom dosáhne své maximální úrovně. Na grafu je znázorněna rovněž pojistná zásoba. Za předpokladu konstantní poptávky a konstantní doby dodání je tvorba pojistné zásoby bezpředmětná.
3
Obrázek 1-1: Časový průběh stavu zásob [12, str. 253]
1.2 Klasifikace modelů zásob Úkolem zásob je pokrývat poptávku po zboží. Poptávku je možné definovat různými způsoby. Především je nutné rozlišit, zda se jedná o poptávku deterministického či stochastického charakteru. V případě deterministického charakteru je výše poptávky předem známa, zatímco u stochastické poptávky je možný nanejvýš popis pomocí některého z pravděpodobnostních rozdělení. Deterministická poptávka je ve většině případů určitým zjednodušením reálné situace, protože počítá s absolutně jistou úrovní poptávky. V praxi však obvykle dochází k nepředvídatelným změnám, výkyvům apod. Pokud se předpoklad předem dané poptávky od reality odchyluje v přijatelné míře, potom je za určitých okolností možné použít modely zásob s deterministickou poptávkou, jejichž hlavními výhodami jsou analytická jednoduchost a snadná ekonomická interpretace. Tyto deterministické modely mohou být rovněž vhodné pro odhady výchozích řešení komplikovanějších problémů. Analyticky složitější modely se stochastickou poptávkou vystihují reálnou situaci lépe, ovšem za cenu vyšší výpočetní náročnosti. Jak uvádí [13], typickým příkladem je poptávka po zboží, jež je nově uváděno na trh, a tudíž není možné poptávku přesně odhadnout. Opačným extrémem je poptávka po součástkách používaných pro výrobu předem daného objemu určitého zboží. V závislosti na charakteru poptávky se rozlišují deterministické a stochastické modely zásob. Poptávka má i další důležité vlastnosti. Může například vykazovat rysy sezónnosti, potom je řeč o poptávce sezónního charakteru, případně se vyvíjí určitým trendem. Obecně se taková poptávka označuje jako nestacionární. Jak píše [10], jedná se vzhledem k proměnlivé poptávce obvykle o úlohy velmi rozsáhlé, které se řeší pomocí dekompozice na několik jednodušších. V této souvislosti se hovoří o více-etapovém rozhodování, případně dynamickém programování. Podrobněji se této problematice věnuje například [1]. Pokud není 4
přítomen trend v poptávce ani její sezónnost, jedná se o stacionární poptávku, kterou předpokládá většina běžných modelů zásob. Podle způsobu doplňování zásob je možné určit, zda se jedná model statický (zásoba je vytvořena jednorázově na celé období) či dynamický (zásoba je doplňována průběžně). Jako vhodný příklad použití statického modelu uvádí [5] problém distributora novin, jehož úkolem je stanovit optimální objem dodávky novin pro každý den. V maloobchodě je obvyklejší průběžné doplňování zásob. Dynamické modely zásob se dále člení na modely s volnými, resp. pevnými objednacími termíny [12]. Model s volnými objednacími termíny umožňuje provedení znovuobjednávky v libovolném časovém okamžiku. [12] používá pojem Q-systém řízení zásob. Velikost objednávky je tedy konstantní, naopak délka dodávkového cyklu je variabilní, na což poukazuje graf, kde to označuje čas mezi dvěma objednávkami. Na obrázku je fyzická zásoba kreslena plnou čarou, dispoziční zásoba čarou přerušovanou.
Obrázek 1-2: Q-systém řízení zásob [12, str. 257]
Naproti tomu model s pevnými objednacími termíny, tzv. P-systém řízení zásob, řeší výkyvy v čerpání zásob pomocí proměnlivého objemu dodávky. Q-systém řízení zásob klade velké nároky na sledování zásob. V podstatě je nutné hladinu zásob sledovat nepřetržitě a při poklesu na signální hladinu bezodkladně vystavit znovuobjednávku. Model s pevnými objednacími termíny je sice méně náročný na správu, nicméně jeho přesnost nedosahuje takové úrovně jako v předchozím případě. Nenadálý růst poptávky může kupříkladu snadno způsobit vyčerpání zásoby. Na druhou stranu lze předpokládat nejen úsporu nákladů na sledování zásoby, ale v některých případech také nákladů na pořízení zásoby. Typickým příkladem je přeprava zboží z centrálního skladu do jednotlivých poboček. V takovém případě je výhodnější zásobovat několik poboček současně v rámci jednoho výjezdu. To je v podstatě hlavní důvod používání modelů s pevnými
5
objednacími termíny, protože v současnosti už spojité sledování stavu zásob obyčejně nečiní potíže.
Obrázek 1-3: P-systém řízení zásob [12, str. 259]
Alternativně je možné použít systém dvou zásobníků. V prvním zásobníku je umístěna běžná zásoba. Po vyprázdnění tohoto zásobníku je vystavena znovuobjednávka a zásoba se čerpá z druhého zásobníku až do příjmu dodávky. Jak uvádí [12], hlavní výhodou jsou nižší náklady na kontrolu stavu zásob. Odpověď na otázku, který ze systému řízení zásob je pro konkrétní případ vhodný, nabízí metoda diferencovaného řízení zásob využívající Paretovo pravidla. Tento postup se v literatuře označuje též jako ABC analýza. Princip spočívá v rozdělení produktů podle důležitosti do tří skupin. Důležitost může být kvantifikována například podle podílu na tržbách. První skupina A zahrnuje nejdůležitější zboží. Podle Paretova pravidla by měla malá část produktů zajišťovat většinu tržeb. [12] uvádí hodnoty 80 % a 20 %, tedy 80 % tržeb plyne z prodeje 20 % produktů, nicméně zároveň konstatuje, že tyto hodnoty není nutné brát dogmaticky. Dalších 15 % tržeb je generováno prodejem zboží kategorie B. Nejméně prodávané zboží spadá do kategorie C. Podrobnější postup kategorizace zboží uvádí [12]. Možný postup rozdělení je zobrazen v grafu. Prvních 20 % položek spadá do kategorie A, dalších 40 % do kategorie B a zbytek sortimentu do kategorie C. Kategorie C obsahuje celkem 40 % produktů, které však zajišťují pouze 5 % tržeb. Rozdělení produktů do kategorií je prováděno za účelem volby vhodného systému řízení zásob. Pro řízení zásob položek kategorie A bude zpravidla využit nejnákladnější Q-systém, zatímco pro méně důležité položky P-systém , resp. systém dvou zásobníků.
6
Obrázek 1-4: Lorenzova křivka - graf diferencovaného řízení zásob [12, str. 256]
Klasifikaci modelů zásob je možné shrnout do schématu. Charakter poptávky rozděluje modely na deterministické a stochastické. Deterministické modely pracují s předem danou potřebou zdroje, která je konstantní po celé období nebo se v jednotlivých dílčích obdobích mění předem známým způsobem [17]. Stochastické modely se člení podle způsobu doplňování zásob na statické a dynamické. Dalším kritériem je opět vlastnost poptávky – tentokrát její stacionarita. Posledním kritériem členění dynamických stochastických modelů je typ systému řízení zásob. Podrobněji se klasifikací modelů zásob zabývá například [15].
Modely zásob
Deterministické
S konstantní potřebou
Stochastické
S variabilní potřebou
Dynamické
Statické
Stacionární
S volnými objednacími termíny (Qsystém)
Nestacionární
S pevnými objednacími termíny (P-systém)
S volnými objednacími termíny (Qsystém)
Obrázek 1-5: Klasifikace modelů zásob
7
S pevnými objednacími termíny (P-systém)
1.3 Kriteriální funkce „Teorie zásob a modely v ní vytvářené studují velikost zásob a problémy jejich doplňování. Matematické modely řízení zásob se objevily již před první světovou válkou a jednalo se o určení optimální velikosti dodávky. Stochastické modely se objevily během druhé světové války v souvislosti se zajištěním zbrojní výroby a vojenských dodávek. V naprosté většině případů jde o optimalizační modely.“ [10, str. 18] Nejčastějším kritériem jsou náklady na řízení zásob, které mají být minimalizovány. Je tedy obvyklé, že je sestavena nákladově orientovaná kriteriální funkce. Tato funkce může obsahovat dva hlavní typy vstupů. Jedná se o řídicí proměnné a neřiditelné parametry. Pomocí vhodné volby hodnoty řídicí proměnné je možné optimalizovat nákladovou funkci. Řídicí proměnná musí být v každém modelu obsažena alespoň jedna. Nejčastěji se jedná o objem dodávky, případně termín dodávky. Termín dodávky nemusí nutně mít časové vyjádření, nýbrž je možné ho vyjádřit jakožto signální hladinu – tedy úroveň zásob, při které je vystavena znovuobjednávka. Neřiditelné vstupy představují vstupní data a jejich výši není možné pomocí metod řízení zásob ovlivnit. Mají charakter exogenních proměnných. Jedná se především o: - náklady, - velikost celkové potřeby zdroje nebo - dobu dodání zboží na sklad. Rozlišují se náklady dvojího typu podle vztahu k řídicím proměnným. Pokud výše nákladů jedné dodávky nezávisí na hodnotě řídicí proměnné, pak se jedná o náklady fixní, v opačném případě se mluví o nákladech variabilních. Za fixní se obvykle považují náklady na pořízení zásoby, které se vztahují ke každé konkrétní dodávce. Jejich význam se dá dobře demonstrovat na příkladu. Pokud je zboží přepravováno v kontejneru o dostatečné kapacitě (ideálně neomezené), jsou náklady, které se vztahují k pořízení takové zásoby neměnné pro různé pro objemy dodávky. Tyto náklady jsou totiž složeny z nákladů administrativních (vystavení objednávky, komunikace) a nákladů přepravních (náklady na přepravu jednoho kontejneru – pro jednoduchost není uvažována proměnlivá hmotnost zboží v závislosti na jeho množství). Ať je objem dodávky jakýkoliv, náklady na pořízení zůstávají stejné. Dalším častým typem nákladů jsou náklady skladovací. Nejjednodušší interpretace těchto nákladů je, že jde o náklady na pronájem skladových prostor. Větší množství zboží logicky vyžaduje více prostoru a to zvyšuje náklady. Skladovací náklady závisí na množství skladovaného zboží a to je obvykle úzce spjaté s objemem dodávky. Pokud jsou dodávky malé, je průměrně skladováno malé množství zboží, naopak velké dodávky skladovací náklady zvyšují. Jedná se tedy o variabilní náklady. Nelze si nevšimnout protichůdného postavení s náklady na pořízení zásoby. Je tomu skutečně tak, optimální řešení je určitým kompromisem a velmi záleží na výši obou druhů nákladů. Nízké skladovací náklady povedou k nižší intenzitě dodávek většího objemu zboží atd. Pokud je v modelu zásob připuštěno jejich vyčerpání, potom je nutné stanovit náklady z nedostatku. Například je-li sklad prázdný, není možné realizovat příchozí objednávky a 8
tyto jsou buď ztraceny nebo odloženy. Obě varianty představují náklady. U tohoto typu nákladů není ani tak podstatný vliv na objem dodávky, jako spíše na signální hladinu. Vzhledem k tomu, že konstrukce nákladů z nedostatku může být u různých modelů dosti odlišná, bude podrobnější popis uveden až u příslušných modelů. Celková potřeba zdroje je velikost poptávky za sledované období. Doba dodání zboží na sklad je rovněž předem dána – kupříkladu dodacími podmínkami přepravce, který doručení realizuje.
1.4 Deterministické modely řízení zásob Před popisem jednotlivých modelů je vhodné definovat označení základních veličin [10]: T – období uvažované k řízení skladu, Q – celková potřeba zdroje v období T, t – délka dodávkového cyklu, τ – čas, Z( τ ) – okamžitý objem zásoby na skladě v čase τ , q – objem dodávky zdroje, s – signální hladina zdroje, S – objem nedostatku zásoby deterministického modelu, c1 – jednotkové skladovací náklady, c2 – jednotkové náklady z nedostatku, c3 – náklady na pořízení zásoby. Pravděpodobně nejznámějším modelem zásob je EOQ (Economic Order Quantity) model, někdy nazývaný též Harrisův-Wilsonův model [10] Jedná se o deterministický model s konstantní potřebou. Další předpoklady jmenuje například [5]: - čerpání ze skladu je rovnoměrné, - pořizovací lhůta dodávek (doba dodání) je konstantní, - velikost dodávek je konstantní, - nákupní cena nezávisí na velikosti objednávky (neuvažují se množstevní slevy), - není připuštěn vznik nedostatku zásoby, - k doplnění dochází v jednom časovém okamžiku. Průběh čerpání a doplňování zásoby je možné zachytit v grafu. Období T je rozděleno na T/t totožných dodávkových cyklů, tp označuje pořizovací dobu dodávky neboli dobu T dodání. V každém okamžiku xt-tp pro x ∈ 1,2,..., je vystavena znovuobjednávka t shodného objemu.
9
Obrázek 1-6: Čerpání a doplňování zásob v modelu EOQ [10, str. 36]
V modelu EOQ jsou uvažovány skladovací náklady a náklady na pořízení zásoby. Náklady na skladování se vztahují k průměrné zásobě na skladě, celkové náklady na pořízení zásoby jsou dány počtem dodávek. Je nutné předem znát jednotkové skladovací náklady a náklady na pořízení jedné dodávky. Tyto hodnoty je možné stanovit expertním odhadem s využitím znalosti systému. Nákladová funkce má tvar: q Q C (q) = c1 + c3 . (1.1) 2 q Vzhledem k tomu, že jednotkové náklady a celková potřeba zdroje vystupují v roli neřiditelných parametrů, jediný způsob, jak ovlivnit hodnotu nákladové funkce, spočívá ve vhodném nastavení objemu dodávky q. Výše uvedený vzorec se skládá ze dvou složek. Jak uvádí [5], první z nich je lineární funkce, která vyjadřuje přímou závislost skladovacích nákladů na hodnotě q. Druhá část vzorce vyjadřuje nepřímou závislost fixních nákladů na objemu dodávky, grafem je tudíž hyperbola. Sečtením obou funkcí lze graficky znázornit funkci celkových nákladů C(q).
10
Obrázek 1-7: Rozklad nákladové funkce modelu EOQ
Hledání optimálního objemu dodávky qopt, který minimalizuje funkci celkových nákladů je poměrně jednoduché – stačí položit první derivaci C(q) rovnu nule: dC (q ) c1 c3Q = − 2 = 0. dq 2 q Po úpravě se optimální objem dodávky vypočte jako:
2Qc3 (1.2) c1 . Dá se ukázat, že druhá derivace C(q) v bodě qopt je kladná, v tomto bodě tedy funkce celkových nákladů nabývá svého minima [5]. Optimální hodnota nákladové funkce a optimální délka dodávkového cyklu se stanoví podle vzorců: qopt =
N opt = 2Qc1c3 resp.
t opt =
2c3 . Qc1
Zbývá stanovit signální hladinu. Vzhledem k tomu, že model je striktně deterministický, postačí znát dobu dodání d a celkovou potřebu zdroje Q. Očekávaná poptávka během doby dodání je tedy Qd a signální hladina je tedy s = Qd . Tento vztah platí pouze za podmínky Qd < q . Obecnější vyjádření uvádí [5] - bod znovuobjednávky lze vyjádřit jako zbytek po dělení očekávané poptávky Qd hodnotou qopt. Výhody modelu EOQ spočívají především v analytické jednoduchosti a snadném výpočtu optimálních veličin. Nevýhody uvádí [12]: - poptávka musí být konstantní a předem známá, - nákupní cena je nezávislá na velikosti objednávky, - nepřipouští se vznik nedostatku zásob, 11
-
model se zabývá jen jedním typem produktu, nebere se v úvahu využití kapacity přepravních prostředků, jedná se o případ dílčí optimalizace, která nebere v úvahu potřeby předcházejících a navazujících článků dodavatelského řetězce. Model s možností přechodného nedostatku vychází ze stejných předpokladů jako model EOQ s tím rozdílem, že je připuštěno vyčerpání zásoby. Je proto nutné optimalizovat nejen objem dodávky q, ale současné také objem nedostatku S. Dodávkový cyklus se rozpadá na dva intervaly. V intervalu t1 dochází k čerpání zásoby a během druhého intervalu t2 dochází k hromadění požadavků, poněvadž zásoba je vyčerpána. Přijetí dodávky objemu q navýší množství zásob jen na hladinu q-S, protože objem S je použit na uspokojení čekajících požadavků. Nákladová funkce má tvar [5]: S q−S Q C ( S , q ) = c1 t1 + c2 t 2 + c3 . 2 2 q Vzorec lze po úpravách, jež uvádí [5], přepsat:
C ( S , q) =
c1 (q − S ) 2 S 2 c3Q + c2 + . 2q 2q q
Optimální veličiny jsou potom dány vztahy [5]:
qopt =
c1 + c2 , c2
2Qc3 c1
S opt = qopt
c1 , c1 + c2
N opt = 2Qc1c3 t opt =
2c3 Qc1
c2 , c1 + c 2 c1 + c 2 . c2
Bod znovuobjednávky se vypočte stejným způsobem jako v případě modelu EOQ, navíc je nutné odečíst objem neuspokojených požadavků S. Model s přechodným nedostatkem zásoby odstraňuje jeden z nedostatků modelu EOQ. Další typy úloh uvádí [12]: - produkční model, - model s požadavky nespojitosti, - víceproduktový model, - model s množstevními rabaty, - model partnerské efektivnosti. Některé modifikace původního modelu uvádí [15] nebo [5].
1.5 Stochastické modely řízení zásob Doposud byly zmíněny pouze deterministické modely, které předpokládají poptávku předem známé výše. Jak uvádí [12], jedná se v případě deterministických modelů o prakticky těžko dosažitelný ideál. Ve skutečnosti poptávka zpravidla není rovnoměrná a konstantní, 12
dodávky výrobku na sklad mohou dorazit později nebo v jiném objemu apod. Druhou skupinu tvoří modely stochastické, které obvykle lépe korespondují s reálnou situací. Tyto modely předpokládají poptávku, jež není deterministická, nýbrž lze popsat určitým pravděpodobnostním rozdělením. V praxi pak během doby dodání můžou nastat dvě různé situace. V okamžiku dosažení signální hladiny, dojde k vystavení znovuobjednávky a během následné doby dodání je poptávka uspokojována ze zbylé zásoby. Buď je tato zásoba dostatečná anebo dojde k jejímu vyčerpání a vznikne nedostatek. Při vzniku nedostatku zásoby lze rozlišit dva přístupy. Podle prvního přístupu lze požadavky uspokojit později, což může a nemusí vyvolat růst nákladů, resp. jsou takové požadavky označeny za nesplněné a nenávratně ztraceny. V tomto kontextu hovoří [10] o: - modelu s uvážením odložených objednávek resp. - modelu s uvážením ztráty z nesplněných objednávek. Druhý z modelů bude popsán podrobněji, protože bude stěžejní v dalších částech práce. 1.5.1 Model s uvážením ztráty z nesplněných objednávek
Základní předpoklady aplikace modelu s uvážením ztráty z nesplněných objednávek jsou [10]: - stavy nedostatku způsobené výkyvy poptávce v důsledku jejího stochastického charakteru jsou jevy řídké, - střední hodnota nedostatku zboží je malá vzhledem k objemu dodávky, - střední doba, po kterou se nedostatek vyskytuje, je malá vzhledem k době dodání. Obecně lze říci, že stavy nedostatku musí být ojedinělé. Dodržení těchto předpokladů umožňuje při využití středních hodnot příslušných veličin postupovat do značné míry obdobně jako u deterministických modelů. Model pracuje s třemi typy nákladů – skladovacími, z nedostatku a na pořízení zásoby. Optimalizovány jsou současně objem dodávky i signální hladina. Hladinu zásob je možné vyjádřit jako stochastický proces Z (τ ) se spojitým definičním oborem τ ∈ [0, T ] a spojitým
stavovým prostorem, který představuje objem zboží na skladu. Střední hladina zboží na skladu je E ( Z (τ )) . Před popisem nákladové funkce modelu bude pro přehlednost zopakováno a doplněno použité značení: T – období řízení skladu (zde bude předpokládáno T=1 (např. 1 rok), a proto lze T ze vzorců vypustit, f (ζ ) – hustota pravděpodobnosti definující poptávku během doby dodání, E(Q) – střední hodnota celkové potřeby zdroje, tˆ – střední délka dodávkového cyklu ( tˆ = E (t ) ,
τ – čas, E(Z( τ )) – střední hodnota okamžitého objemu zásoby na skladě v čase τ , q – objem dodávky zdroje, s – signální hladina zdroje, c1 – jednotkové skladovací náklady, 13
c2 – jednotkové náklady z nedostatku, c3 – náklady na pořízení zásoby. Nákladová funkce má tvar [10]:
q s c ˆ C( s , q ) = c1 + ∫ ( s − ξ ) f ( ξ )dξ + 2 2 0 ˆt
∞
∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ + s
c3 . ˆt
(1.3)
Ve funkci lze identifikovat tři nákladové položky. Náklady na pořízení zásoby jsou vyjádřeny obvyklým způsobem – totožně jako u modelu EOQ. Skladovací náklady se vztahují k polovině dodávky a navíc k té části zásob, která během doby dodání zůstává skladem. Pokud je zásoba vyčerpána, jsou skladovací náklady totožné s těmi u modelu EOQ. Naproti tomu náklady z nedostatku se vztahují k nesplněným požadavkům. Pokud je přijata objednávka zboží, které není skladem, nedojde k uspokojení požadavku, což vyvolává další náklady (například ušlý zisk z objednávky). Řešení se ukrývá v soustavě parciálních derivací funkce (rovných nule) podle řídicích proměnných s a q. Jak bude ukázáno později, soustavu je možné řešit pouze numericky. Hlavní myšlenkou je postupné zlepšování (snižování) hodnoty nákladové funkce. Na počátku jsou dosazeny startovací hodnoty s0 a q0 do výše definované soustavy rovnic. V každé iteraci je sledováno splnění kritéria, které může představovat například: -
maximální počet iterací, konvergence hodnoty nákladové funkce ve dvou po sobě bezprostředně následujících iteracích nebo konvergence hodnot s a q.
Pokud je kritérium splněno, je výpočet ukončen a získané hodnota označeny za optimální. Tímto byly uvedeny základní předpoklady modelu s nesplněnými objednávkami, podrobnější rozpracování bude uvedeno později pro konkrétní případ, jehož řešení je předmětem této práce.
14
2
Přehled použitých statistických metod
Za účelem zpracování vybraných dat bude nutné použít v práci některé statistické postupy. Jejich přehled a základní popis bude obsahem této části.
2.1 Normální rozdělení Normální rozdělení, někdy označované jako Gaussovo rozdělení, je pro své výhodné vlastnosti v praxi nejčastěji používaným pravděpodobnostním rozdělením [7]. Jeho výhodou je mimo jiné fakt, že je možné pomocí něj aproximovat řadu jiných rozdělení, včetně nespojitých. Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce normálního rozdělení mají pro − ∞ < x < ∞ tvary: − 1 f ( x) = e σ 2π
( x−µ )2 2σ 2
x
x
1 F ( x ) = ∫ f (t ) dt = σ 2π −∞
,
∫e
−
( t − µ )2 2σ 2
dt ,
−∞
kde µ je střední hodnota a σ je směrodatná odchylka rozdělení. Hodnoty distribuční funkce jsou tabelovány pro normované normální rozdělení, proto se provádí transformace pomocí předpisu U =
X −µ
σ
. Potom má náhodná veličina U
s hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí:
ϕ (u ) =
u2
1 −2 e , 2π
1 φ (u ) = 2π
u
∫e
−
t2 2
dt ,
−∞
normované normální rozdělení N(0,1). Hodnota původní distribuční funkce lze potom získat z tabulek pomocí vzorce
x−µ F ( x) = Φ . Hustota pravděpodobnosti a průběh distribuční funkce rozdělení N(0,1) σ jsou znázorněny v grafech.
15
Obrázek 2-1: Hustota pravděpodobnosti rozdělení N(0,1) [6, str. 100]
Obrázek 2-2: Distribuční funkce rozdělení N(0,1) [6, str. 100]
2.2 Regresní analýza „Cílem regresní analýzy je posoudit existenci závislosti dvou nebo více veličin a nalézt pro tuto závislost vhodný stochastický model, použitelný především pro provádění úsudků o hodnotách proměnných, jez v modelu vystupují jako vysvětlované proměnné.“ [11, str. 172] V případě lineární regresní funkce lze zapsat:
η = β 0 + β1 X 1 + ... + β k X k , kde η je regresní funkce, β 0 je absolutní člen, označovaný též jako úrovňová konstanta,
β1 , β 2 ,..., β k jsou regresní koeficienty, představující očekávanou změnu Y při jednotkové změně odpovídající vysvětlující proměnné [11]. Kromě zmíněných vysvětlujících proměnných působí na konečnou hodnotu vysvětlované proměnné rovněž náhodné chyby, proto: Y =η + ε , 16
kde ε je náhodná složka. Klasický lineárně regresní model má tvar:
y1 = β 0 + β1 x11 + β 2 x12 + ... + β k x1k + ε 1 , y 2 = β 0 + β1 x21 + β 2 x22 + ... + β k x2 k + ε 2 , …
y k = β 0 + β1 xn1 + β 2 xn 2 + ... + β k xnk + ε n , jenž lze přepsat v maticovém vyjádření:
y = Xβ + ε , kde y je vektor pozorovaných hodnot vysvětlované proměnné, X je matice hodnot vysvětlující proměnné, která z důvodu uvažování úrovňové konstanty v prvním sloupci obsahuje samé jedničky, β je vektor regresních koeficientů a ε je vektor náhodných složek. Klasický model musí splňovat Gaussovy-Markovovy požadavky [4]: - náhodné složky musí mít ve všech výběrech identické rozdělení s nulovou střední hodnotou, - náhodná složka musí být homoskedastická a sériově nezávislá, diagonální prvky kovarianční matice obsahují konstantní rozptyl náhodné složky a nediagonální prvky jsou nulové kovariance, takže hodnoty náhodné složky jsou po dvojicích nezkorelované, - při opakovaných výběrech lze hodnoty vysvětlujících proměnných pokládat za fixní, jediným faktorem, který ovlivňuje variabilitu y v různých výběrech je vektor náhodných složek, - matice X musí být regulární matice, má tedy plnou hodnost, což je klíčová vlastnost pro provedení odhadu regresních parametrů metodou nejmenších čtverců. Podrobněji se touto problematikou a důsledky nesplnění některé z podmínek zabývá [4] nebo [16]. Vektor regresních koeficientů je v případě splnění výše uvedených požadavku možné odhadnout například metodou nejmenších čtverců, která poskytuje nestranné, konzistentní a vydatné odhady. Bodová odhadová funkce je [4]:
b = ( X ′X ) X ′y , −1
kde b je vektor odhadů regresních koeficientů. Odhad hodnot vysvětlované proměnné lze potom stanovit pomocí vztahu: yˆ = Xb . Jak uvádí [11], velký význam v regresním modelu mají individuální t-testy hypotéz o nulových hodnotách regresních koeficientů. Pokud je regresní koeficient roven nule, znamená to, že příslušná vysvětlující proměnná nemá žádný vliv na hodnotu vysvětlované proměnné a je v modelu nadbytečná. Postup je následující:
(b
−βj)
-
stanoví se hodnota tj: t j =
-
vypočtená hodnota se porovná s tabulkovou hodnotou Studentova rozdělení s n-k stupni volnosti,
j
sb j
,
17
pokud je t-poměr vyšší než kritická hodnota, je zamítnuta nulová hypotéza a je konstatováno, že daná vysvětlující proměnná je do modelu zahrnuta oprávněně; v opačném případě je vysvětlující proměnná v modelu nadbytečná. Pro úplnost je vhodné dodat, že n je počet pozorování a k je počet vysvětlujících proměnných včetně úrovňové konstanty. Podle [4] je pro výběry n − k > 30 , je možné Studentovo rozdělení aproximovat normálním. Potom: -
tj =
bj sb j
.
(2.1)
Pokud je t j > 2 , lze příslušný regresní koeficient na hladině významnosti α = 0,05
prohlásit za statisticky významný. Jak uvádí [11], je možné testovat hypotézu, že žádná vysvětlující proměnná do modelu nepatří, pomocí tzv. F-testu:
F=
R 2 (n − k ) . 1 − R 2 (k − 1)
(2.2)
Je-li F větší než tabulková hodnota F*, potom se zamítne nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti modelu jako celku. Ve vzorci vystupuje koeficient vícenásobné determinace R2, jenž je dán vzorcem [4]:
b′X′y − nY 2 R = y′y − nY 2 2
(2.3)
a funguje jako míra shody odhadnutého regresního modelu s daty. Protože však přidáním další vysvětlující proměnné není možné, aby koeficient vícenásobné determinace klesl, často se používá tzv. korigovaný koeficient vícenásobné determinace:
(
R 2 = 1− 1− R2
18
) nn −− 1k .
(2.4)
3
Definice modelu
Úkolem této části práce je definovat model, který bude vhodný pro praktickou aplikaci, jež bude popsána v závěrečné kapitole. Proto je důležité nejprve uvést základní údaje zkoumaného prostředí a popsat požadavky na model řízení zásob. Předmětem zkoumání bude správa zásob internetového obchodu, provozovaného na webové adrese http://www.levnous.cz. Jedná se o menší obchod s elektronikou, vedený fyzickou osobou na základě volné živnosti, oboru Velkoobchod a Maloobchod. Těžištěm zájmu bude především položka s názvem D2S xenonová výbojka 6000K, jejíž prodej zajišťuje přibližně 80 % tržeb. Pro zjednodušení bude v dalším textu namísto celého názvu zboží uváděno označení výbojka. Výbojky se prodávají v páru, roční prodej je cca 500 párů. Zbylých 20 % tržeb je rozprostřeno mezi dalších zhruba 150 položek sortimentu. Vzhledem k zanedbatelným prodejům ostatního sortimentu se tato práce bude zabývat pouze prodejem a především skladovou optimalizací výbojek. Produkt zcela jistě bude spadat do kategorie A podle klasifikace diferencovaného systému řízení zásob ABC. Prodej ostatních produktů je spíše okrajovou záležitostí a toto zboží jen dotváří kompletní nabídku. Zákazníky tvoří téměř výhradně koncoví spotřebitelé, tzn. pokud v obchodě nakupují firmy, tak převážně pro svou vlastní potřebu. Výbojky jsou objednávány od jednoho dodavatele. Přesná výše poptávky není známa, nicméně na základě napozorovaných dat lze popsat alespoň její střední hodnotu. Stochastický charakter poptávky tedy vylučuje možnost použití deterministického modelu. Zásobu je možné kdykoliv doplňovat, řeč tedy bude o dynamickém modelu. Volba statického modelu by znamenala bezdůvodné zúžení možností rozhodování. Poptávka po zboží by neměla mít sezónní charakter, zákazníci výbojky nakupují, protože jejich stávající výbojky přestaly fungovat. Bude se tedy jednat o stacionární model. Hladinu zásob je možné pozorovat kdykoliv, protože je vedena online. Při odebrání zboží ze skladu (například při expedici zákazníkům) je tato změna ihned zobrazena v systému, rovněž v případě přijetí zboží na sklad je změna bezodkladně evidována. V internetovém obchodě je nutné uvádět, zda je zboží skladem, proto tento způsob sledování nepřináší žádné náklady navíc. Ve spojení s faktem, že zboží je možné kdykoliv doobjednat, je výhodné využít model s volnými objednacími termíny, který přináší nejpřesnější výsledky. Vhodný model by tedy měl být stochastický, dynamický, stacionární a s volnými objednacími termíny.
3.1 Typy nákladů V uvažovaném případě budou rozlišovány čtyři typy nákladů: -
skladovací náklady, náklady z nedostatku, přepravní náklady a náklady na pořízení zásoby.
Důvodem, proč jsou zahrnuty přepravní náklady do nákladů na řízení zásob, je skutečnost, že výše těchto nákladů silně závisí na objemu dodávky. Přepravní náklady jsou v případě 19
mnoha malých dodávek znatelně vyšší než v případě malého počtu dodávek většího množství zboží. Zahrnutí těchto nákladů by tedy mělo model zpřesnit. Zcela jistě budou mít tyto náklady svou fixní část, jež se vztahuje ke každé dodávce. Druhá část přepravních nákladů bude variabilní a bude záviset na objemu dodávky. Skladovací náklady a náklady na pořízení zásob jsou v modelech zásob zahrnuty běžně. Dále jsou zahrnuty náklady z nedostatku, které v tomto případě představují náklady z nesplněných objednávek. K jejich nesplnění dojde v důsledku toho, že zboží není skladem. Vyjma přepravních nákladů je zřetelná podobnost s modelem s uvážením ztráty z nesplněných objednávek. V následujícím textu bude vycházeno právě z tohoto modelu, včetně všech jeho předpokladů a podmínek, pokud nebude uvedeno jinak. Soulad s předpoklady modelu je nutné zkontrolovat. Stavy nedostatku způsobené výkyvy v poptávce po zboží by měly být jevy řídkými. Vzhledem k tomu, že produkt, na který se bude další text zaměřovat, generuje naprostou většinu tržeb, budou tomu odpovídat náklady z nedostatku, jejichž výše by měla zajistit, aby k vyčerpání zásob docházelo zcela ojediněle. Podmínka je tedy splněna automaticky. Model je dále koncipován tak, že stavy nedostatku musí být malé i objemem a dobou trvání. 3.1.1 Skladovací náklady
Jako první budou jmenovány náklady skladovací, které obvykle zahrnují například: -
náklady na pronájem skladovacích prostor, náklady na pojištění zásob a náklady na správu zásob.
Na způsob skladování uvažovaného zboží nejsou činěny zvláštní nároky, postačí suchý a temperovaný sklad. Běžně závisí náklady na pronájem skladovacích prostor na množství zásob, vzhledem k prostorové nenáročnosti zboží však postačí malý sklad i pro velký objem zásob. Tato nákladová položka je tedy fixní. Vzhledem k tomu, že tyto náklady nejsou závislé na velikosti zásob ani signální hladině, nebudou v dalším postupu uvažovány. Náklady na pojištění zásob jsou v tomto případě zahrnuty v nákladech na pronájem skladovacích prostor, platí tedy taktéž všechny důsledky uvedené výše. Pod náklady na správu zásob je možné rozumět náklady na vedení evidence zásob a fyzickou manipulaci se zásobami. Výše těchto nákladů však (alespoň v tomto případě) nezávisí na velikosti skladových zásob, nýbrž je dána objemem prodeje. Pokud v obchodě nikdo nenakupuje, není nutné spravovat evidenci zásob ani manipulovat se zbožím, přestože jsou zásoby na skladě. Lze namítnout, že vyšší objem prodejů obvykle znamená nutnost držení většího množství zásob, nicméně vzhledem k ekonomické interpretaci je vhodnější tuto formu nákladů zahrnout spíše mezi náklady odbytu. Tím spíše, že tyto náklady je možné promítnout do prodejní ceny zboží, ceny dopravy apod. Náklady na správu zásob mohou sice vzniknout při opačném pohybu zásob – při příjmu zásob na sklad, tyto náklady jsou však závislé na celkovém množství přijatých zásob, případně se vztahují ke každé dodávce.
20
V prvním případě není možné náklady ovlivnit, v druhém případě spadají pod náklady na pořízení zásoby, a tudíž náklady na správu zásob nespadají pod skladovací náklady. V neposlední řadě představují zásoby kapitálovou zátěž – jinými slovy, pokud by nebyly drženy zásoby, mohly by být peníze investovány jiným způsobem. Tyto náklady jsou ve své podstatě náklady obětované příležitosti a zde se bude jednat o jedinou, zato však velmi významnou, položku skladovacích nákladů. Je možné si představit, že tyto náklady představuje ušlý zisk, který by byl dosažen při realizaci druhé nejlepší příležitosti. Tyto příležitosti mohou být různé pro každý podnik a často je obtížné je kvantifikovat, protože se nejedná o rozhodování za jistoty. V každém případě však existuje možnost uložení kapitálu na úročený bankovní účet a potom lze skladovací náklady vyjádřit podílem z hodnoty držených zásob. Skladovací náklady tedy budou rovny úrokům z kapitálu alokovaného v zásobách. Obecně se však nejedná pouze o hodnotu zásob. Uvažovat se musí i náklady na přepravu zboží od dodavatele na sklad. Je třeba si uvědomit, že pro tyto účely jsou náklady obětované příležitosti chápány jako náklady, jež jsou vynaloženy přímo na skladování zásob. Dá se namítnout, že by se měly uvažovat veškeré vynaložené náklady bez ohledu na jejich účel, nicméně tato práce si neklade za cíl hledání obchodní strategie, nýbrž optimalizaci zásob. Bodem zájmu bude tedy kapitál vázaný v zásobách, včetně části přepravních nákladů. Pokud by byly do modelu zahrnuty veškeré náklady, kvantifikace by byla velmi obtížná, stejně jako zdůvodnění oprávněnosti takového postupu. Objem dodávky ani signální hladina nemají vliv na marketingové výdaje ani další provozní náklady. Řízení zásob je zkrátka jen jednou částí řízení obchodu. Zásoby jsou zde pro obchod, nikoliv obráceně. Je proto vhodné stanovit jednotkové skladovací náklady, jejichž interpretace bude v tomto případě taková, že se jedná o veškeré náklady na řízení zásob, které závisí na množství skladovaného zboží a vztahují se k jednomu kusu zboží. Celkové skladovací náklady se pak získají vynásobením průměrnou výší zásoby, která se u jednotlivých modelů stanovuje různě. Předpokladem je, že je obchod ziskový nebo alespoň provozován za účelem zisku, jehož dosažení není bez vynaložení nákladů možné, tyto náklady tedy nejsou považovány za ztracené, jedná se ve své podstatě o investici. Proto je předmětem výpočtu jednotkových skladovacích nákladů c1 pouze úrok z takto vynaložených nákladů:
c1 = r ( p + cv ) ,
(3.1)
kde r je úroková míra, p je cena skladovaného zboží a cv jsou jednotkové variabilní přepravní náklady, jež představují rovněž kapitálovou zátěž. Je zapotřebí stanovit, jakou úrokovou míru r použít pro výpočet. Pro co možná nejpřesnější srovnání je vhodné použít úrokovou míru účtu, jež vykazuje stejnou nebo alespoň velmi podobnou likviditu jako zásoby. Celkové skladovací náklady budou logicky rovny součinu již známých jednotkových nákladů a zatím neznámé průměrné výše zásob. Jak je uvedeno v předchozí kapitole, hladinu zásob je možné chápat jako stochastický proces Z(τ) s definičním oborem τ ∈ [ 0,T ] a střední hodnotou E( Z ( τ )) . Pokud z( τ ) představuje určitou realizaci procesu Z ( τ ) , potom podle [10] je každý dodávkový cyklus tvořen dvěma časovými intervaly, pro které platí 21
E( Z ( τ )) > 0 , resp. E( Z ( τ )) = 0 . Z tohoto důvodu je obtížné určit mj. očekávanou dobu dodávkového cyklu, a proto se tato okolnost běžně neuvažuje a předpokládá se, že platí:
tˆ =
q . E (Q)
(3.2)
Při výpočtu skladovacích nákladů bude nutné uvažovat poptávku během doby nesplněných požadavků jako náhodnou veličinu, značenou např. Ψ , která je definována hustotou pravděpodobnosti f ( ξ ) . Dobu nesplněných požadavků je možné interpretovat jako dobu dodání. Podle [10, str. 113] je objem nedostatku zboží během této doby roven: s
∫ (s − ξ ) f (ξ )dξ . 0
Z uvedeného je zřejmé, že výraz ( s − ξ ) představuje objem „volných“ skladových zásob, tedy zásob, které zůstanou skladem po uspokojení požadavků příchozích během doby nesplněných požadavků. Je žádoucí, aby výraz ( s − ξ ) byl roven nule, pokud s < ξ . To je zajištěno zúžením oboru integrace z ( −∞,∞ ) na [ 0, s ) , jak je již uvedeno ve vzorci výše. Samotné zúžení oboru integrace bude rovněž výhodou. Ačkoliv je doba, během které je zásoba na skladě nižší nebo rovna signální hladině s, označována jako doba nesplněných požadavků, k faktickému nesplnění dochází pouze pokud ( s − ξ ) > 0 . Očekávané skladovací náklady lze vyjádřit vzorcem:
q s Cˆ1 = c1 + ∫ (s − ξ ) f (ξ )dξ , (3.3) 2 0 kde c1 jsou jednotkové skladovací náklady za časovou jednotku T. Časovou jednotkou je obvykle jeden rok. Tak tomu bude i v tomto případě. V dalším textu lze T=1 vypustit a délka dodávkového cyklu t bude definována jako část T a bude tedy z intervalu 0 < t < 1 . Přesný objem dodávek q je sice neznámý a není konstantní, při respektování předpokladů modelu je však zřejmé, že velikosti jednotlivých dodávek budou podobné. 3.1.2 Náklady z nedostatku
V modelu budou dále uvažovány rovněž náklady z nedostatku. Tyto náklady závisí na objemu skladovaných zásob, a proto jsou stejně jako skladovací náklady označovány za náklady variabilní. V modelu s nesplněnými objednávkami jsou ztraceny objednávky, které dorazí, pokud zboží zrovna není skladem. Zákazníci při svém nákupu obvykle předpokládají bezodkladné dodání. Na trhu panuje silná konkurence, mj. i cenová. Pokud tedy zboží není skladem, zákazníci se poohlédnou jinde. Obchod tak přichází o zisk, který je možné vyjádřit pomocí nákladů z nedostatku. Na základě znalosti marže je možné stanovit přibližnou výši těchto nákladů. Výše jednotkových nákladů z nedostatku c2 má vliv na optimální úroveň obsluhy, která je podle [5] po úpravě značení definována:
α=
c2 . c1 + c 2
22
Úroveň obsluhy α vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou dojde k uspokojení (splnění) požadavku. Vzorec pro optimální hladinu úrovně obsluhy je aplikovatelný v deterministickém modelu, nicméně základní princip platí i v tomto případě. Je nezbytné si uvědomit, že cílem není eliminace nedostatku zásob, nýbrž minimalizace celkových nákladů na řízení zásob. Pokud jsou tedy jednotkové skladovací náklady relativně vysoké a náklady z nedostatku relativně nízké, bude pravděpodobně žádoucí připustit relativně velký nedostatek zásob v době nesplněných požadavků. Takový stav může nastat například u zboží značné hodnoty, kdy příchod požadavků není častý, typicky u zakázkové výroby. Zatímco skladovací náklady jsou většinou pevně dané, úpravou jednotkových nákladů z nedostatku je do značné míry možné ovlivnit pravděpodobnosti stavů nedostatku. U zkoumaného obchodu se nedá mluvit o značné hodnotě prodávaného zboží, prodej těchto produktů však zajišťuje většinu tržeb, a tak lze očekávat relativně vysoké náklady z nedostatku. Stejně jako v případě skladovacích nákladů, i u nákladů z nedostatku je nutné zahrnout do výpočtu stochastický charakter poptávky. Podle [10] je objem nedostatku zboží během doby nesplněných požadavků roven: ∞
∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ . s
Z uvedeného je zřejmé, že výraz ( ξ − s ) je objem nesplněných požadavku. Očekávané náklady z nedostatku lze vyjádřit vzorcem:
c Cˆ 2 = 2 tˆ
∞
∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ ,
(3.4)
s
kde tˆ představuje očekávanou délku dodávkového cyklu. Celkové náklady z nedostatku jsou
1 rovny součinu počtu dodávkových cyklů , jednotkových nákladů c2 a očekávaného tˆ objemu nedostatku zboží během doby nesplněných požadavků. 3.1.3 Přepravní náklady
Třetím typem nákladů jsou náklady na přepravu dodávky zboží od dodavatele na sklad – přepravní náklady. Vzhledem k tomu, že přesná data jsou uvedena až v závěrečné aplikační části, bude nyní předpokládáno, že funkce přepravních nákladů jedné dodávky je lineární a je možné provést regresní analýzu, jejíž pomocí se dá odhadnout úrovňová konstanta cf a regresní koeficient cv, který udává míru závislosti přepravních nákladů na objemu dodávky q: cd = c f + cv q .
(3.5)
Podrobný popis aproximace skutečných přepravních nákladů je uveden taktéž v závěrečné části. Fixní náklady se vztahují ke každé dodávce, jejich výše nezávisí na objemu dodávky a za celé období jsou rovny:
Cf =
cf , tˆ
kde cf jsou fixní náklady jedné dodávky. Zde je zřejmá analogie fixních přepravních nákladů s náklady na pořízení zásoby. Tyto náklady budou proto níže uvedeny jako součást nákladů na 23
pořízení zásoby. Variabilní složka je závislá na objemu dodávky q a proto je možné ji zapsat jako: cq Cv = v , tˆ kde cv jsou jednotkové variabilní náklady. Zdá se, že variabilní složka je tedy závislá na q, avšak vzhledem k tomu, že výraz q / tˆ = E (Q) , nejsou variabilní náklady funkcí s ani q, a proto do optimalizace nezasahují přímo. Variabilní část přepravních nákladů tedy vstupuje do modelu pouze jakožto součást skladovacích nákladů, kde představuje kapitálovou zátěž, jež se vztahuje k průměrné zásobě zboží na skladě. Přepravní náklady představují kapitálovou zátěž, pokud souvisí se zbožím, které tvoří zásobu. Pokud se zboží prodá, nelze mluvit o kapitálové zátěži, protože se předpokládá, že prodejem byl dosažen zisk. Proto je vhodné variabilní přepravní náklady zahrnout do nákladů skladovacích. Tento vztah dozajista nevystihuje situaci na komplikovaném trhu s přepravou zcela přesně. Mimo jiné například velké množství tarifů nejrůznějších přepravců a značný počet výjimek a nepravidelností ztěžuje orientaci a znemožňuje přesnou kvantifikaci, navíc dochází ke změnám podmínek ve velmi krátkých časových intervalech. Principielně však uvedený nástin vyhovuje a jeho výhodou je snadná integrace fixní složky do nákladů na pořízení zásoby, jež jsou běžnou součástí většiny modelů. Variabilní část sice také představuje náklady, ale neovlivňuje tím optimální hodnoty s a q přímo, nýbrž pouze jako součást skladovacích nákladů. To přináší snazší analytické vyjádření nákladové funkce a rovněž možnost její bezproblémové optimalizace. 3.1.4 Náklady na pořízení zásoby
Poslední položkou celkových nákladů jsou náklady na pořízení. Tato položka představuje náklady, které je nutné vynaložit na každou jednotlivou dodávku. S rostoucí délkou dodávkového cyklu tedy výše těchto nákladů za celkové období klesá. Obvykle jsou tedy náklady na pořízení v protichůdném postavení k nákladům skladovacím. Pokud skladovací náklady s rostoucím q rostou, náklady na pořízení obvykle klesají. V tomto konkrétním případě budou do nákladů na pořízení zahrnuty administrativní náklady na vytvoření objednávky a náklady na fyzickou manipulaci s přijatou dodávkou. Navíc bude obsažena ještě fixní složka přepravních nákladů cf. Všechny tyto tři složky jsou součástí nákladů na pořízení jedné dodávky c3. Celkové očekávané náklady na pořízení zásoby se vypočítají jednoduše podle vzorce: c (3.6) Cˆ 3 = 3 . tˆ
3.2 Nákladová funkce a její optimalizace Očekávané celkové náklady na řízení zásob v modelu s nesplněnými objednávkami jsou dány vzorcem (1.3). Pro přehlednost bude uveden ještě jednou:
q s c Cˆ ( s, q) = c1 + ∫ (s − ξ ) f (ξ )dξ + 2 2 0 tˆ 24
∞
∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ + s
c3 . tˆ
Integrál stojící u skladovacích nákladů je možné přepsat: s
∞
∞
∫ ( s − ξ ) f ( ξ )dξ = ∫ ( s − ξ ) f ( ξ )dξ −∫ ( s − ξ ) f ( ξ )dξ = 0
0
s
∞
∞
∞
0
s
s
= ∫ ( s − ξ ) f ( ξ )dξ + ∫ ( ξ − s ) f ( ξ )dξ = s − E( Ψ ) + ∫ ( ξ − s ) f ( ξ )dξ . Poslední integrál ve vzorci je již shodný s integrálem u nákladů z nedostatku, takže vzorec (2.9) je možné vyjádřit způsobem: c E (Q ) c E (Q ) ∞ q , ∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ + 3 Cˆ ( s, q ) = c1 + s − E ( Ψ ) + c1 + 2 q s q 2
kde je výraz
(3.7)
E (Q) 1 s využitím vztahu (2.2) nahrazen výrazem , přičemž E(Q) je střední ˆt q
hodnota celkové potřeby zdroje. Podle [10] jsou optimální hodnoty sopt a qopt řešením úlohy: min Cˆ ( s, q),
{(s, q ) ∈ R
2
; s ≥ 0, q ≥ 0}.
Jak je uvedeno v první kapitole, řešení se ukrývá v soustavě rovnic parciálních derivací podle s a q. Nejprve derivace podle s: ∞
c E (Q) ∂Cˆ ( s, q ) = c1 + c1 + 2 ∂s q
∂ ∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ s
∂s
.
Derivace posledního členu je podle [10] rovna: ∞
∂ ∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ s
∂s
∞
= − ∫ f (ξ )dξ . s
Dosazením tohoto vztahu vznikne první rovnice soustavy:
c 2 E (Q) ∞ f (ξ )dξ = 0 . c1 − c1 + q ∫s
(3.8)
Derivace podle q má být také rovna nule: ∞ ∂Cˆ ( s, q) c1 E (Q) = − 2 c2 ∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ + c3 = 0 . ∂q 2 q s
Po úpravě je možné vyjádřit q: q=
∞ 2 E (Q) c2 ∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ + c3 . c1 s
(3.9)
Poněvadž ve vzorcích (3.8) a (3.9) vystupuje proměnná s v roli dolní meze určitého integrálu, je úloha řešitelná pouze numericky. Využívá se iterační postup, na jehož počátku jsou nastaveny hodnoty s0 a q0, které se získají buď aplikací modelu EOQ [10] nebo kupříkladu z hodnot doposud používaných. Iterační postup by měl zajistit postupné přibližování optimálním hodnotám s a q. Na místě je otázka, kdy postup ukončit a nalezené 25
řešení prohlásit za dostatečně blízké řešení optimálnímu. Pro tyto účely je zapotřebí stanovit sledovací kritéria, po jejichž splnění už není nutné pokračovat v dalších iteracích. Vzhledem k poměrně značným možnostem výpočetní techniky ve spojení s vhodným software, není nutné limitovat kvalitu výsledku omezením počtu iterací. Dalšími kritérii mohou být konvergence hodnot proměnných s a q, případně hodnot nákladově orientované kriteriální funkce. Protože v popředí zájmu je minimalizace celkových nákladů, jeví se jako nejvíce způsobilé kritérium hodnotící konvergenci kriteriální funkce. To znamená, že rozdíl hodnot kriteriální funkce ve dvou po sobě jdoucích iteracích by měl být zanedbatelný. Je možné postupovat podle vzorce, který uvádí například [10]: Cˆ ( s , q ) − Cˆ ( s , q ) ≤ ε , n +1
n +1
n
n
kde ε je předem dané reálné číslo. Pokud je podmínka splněna, je výpočet ukončen. Nevýhodou je závislost na absolutní výši celkových nákladů, která předem není známa. Z tohoto důvodu je obtížné předem stanovit hodnotu ε . Výhodnější je tedy navrhnout kritérium relativně: Cˆ ( s n +1 , q n +1 ) − Cˆ ( s n , q n ) Cˆ ( s n , q n )
≤ε ,
(3.10)
kde ε je z intervalu < 0,1 > , přičemž je zřejmé, že v praxi se bude volit ε blízké nule. Hodnoty blízké jedné by totiž vedly k okamžitému ukončení výpočtu po první iteraci (po jejím dokončení se porovnávají hodnoty z první iterace a hodnoty startovací). 3.2.1 Stanovení pojistné zásoby
V nedeterministických modelech je zpravidla zahrnuta pojistná zásoba, která má za úkol pokrývat výkyvy v poptávce, způsobené jejím stochastickým charakterem. Výše pojistné zásoby je automaticky generována výše uvedeným modelem. Pojistná zásoba w je reprezentována střední hodnotou zásob na skladu během doby nesplněných požadavků a je tedy možné zapsat: w = s − E (Ψ ) , kde E (Ψ ) je střední hodnota poptávky během doby nesplněných požadavků. Pojistná zásoba tedy dosahuje maximálně úrovně signální hladiny, což lze považovat za extrémní případ, kdy poptávka během doby nesplněných požadavků je nulová. Zároveň je možné stanovit pravděpodobnost, s jakou je vyloučen vznik nedostatku zásob. Pro tento výpočet uvádí [10] vzorec: s−µ , σ
ρ w = 1 − Φ −1
(3.11)
s−µ kde Φ −1 je hodnota distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N(0; 1). σ 3.2.2 Popis poptávky během doby dodání
Součástí soustavy rovnic (3.8) a (3.9) je hustota pravděpodobnosti f (ξ ) , která popisuje poptávku po zboží během doby nesplněných požadavků. Je výhodné definovat poptávku 26
pomocí některého známého pravděpodobnostního rozdělení. Za tímto účelem stanoví [10] následující postup: a) b) c) d) e)
uspořádání napozorovaných dat, výpočet momentů empirického rozdělení, výběr vhodného teoretického rozdělení, odhad parametrů teoretického rozdělení pomocí empirických dat, testování shody mezi teoretickým a empirickým rozdělením.
Jak uvádí [11] může už vzhled histogramu naznačit, jakým teoretickým rozdělením by se dalo rozdělení napozorovaných hodnot aproximovat. Nikoliv celková poptávka, nýbrž pouze poptávka během doby nesplněných požadavků je v popředí zájmu, pro zjednodušení bude v této části dále používán termín poptávka ve smyslu poptávky během doby nesplněných požadavků. Všechny napozorované hodnoty poptávky, již dříve označené Ψ , se rozdělí do k tříd šířky h. Pokud maximální hodnotou je ψmax a minimální ψmin, potom musí platit [10]:
ψ max = Ψmin + kh . Všech n napozorovaných hodnot poptávky ψj je zapotřebí uspořádat podle velikosti a pro každou třídu k určit četnost ni. Dalším krokem je výpočet charakteristik empirického rozdělení, pro další postup bude důležité znát průměr a rozptyl, resp. směrodatnou odchylku. Dále bude předpokládána normalita empirického rozdělení, jež bude zaručena velkým množstvím pozorovaných hodnot. Pro odhad parametrů normálního rozdělení je zapotřebí použít některou z odhadových funkcí, zde bude uvedena metoda maximální věrohodnosti. Věrohodnostní funkce normálního rozdělení má podle [8] obecný tvar:
L( x1 , x 2 ,..., x n ; µ , σ 2 ) =
(σ
−
1 2π
)
n
e
n
∑ ï =1
( xi − µ ) 2 2σ 2
.
Jak uvádí [6] obvykle lze k jednodušším výrazům dojít použitím logaritmické věrohodnostní funkce, tudíž lze zapsat:
(
)
n 1 ln L( x1 , x 2 ,..., x n ; µ , σ 2 ) = − ln(σ 2 ) − n ln 2π − 2 2σ 2
n
∑ (x i =1
i
− µ)2 .
Řešením soustavy rovnic: ∂ ln L = 0, ∂µ ∂ ln L = 0, ∂σ 2 lze získat vztahy:
µˆ =
1 n ∑ Xi = X , n i=1
1 n σˆ = ∑ ( X i − X )2 . n i=1 2
27
(3.12)
Při dodržení podmínek použití metody maximální věrohodnosti je tedy možné střední hodnotu odhadnout pomocí průměru empirického rozdělení a analogicky rozptyl teoretického rozdělení pomocí rozptylu rozdělení empirického. Jak uvádí [8], věrohodnostní funkce poskytuje nestranné a konzistentní odhady, v tomto případě je odhad střední hodnoty nestranný a konzistentní a odhad rozptylu asymptoticky nestranný. Závěrečnou fází statistického popisu poptávky je testování vzájemné shody empirického a teoretického rozdělení. V literatuře, například [13], se často uvádí χ 2 - test dobré shody, jehož kritérium: (ni − npi ) 2 χ =∑ np i i =1 k
2
(3.13)
udává vážený součet čtverců odchylek mezi empirickým a teoretickým rozdělením přes k tříd napozorovaných hodnot poptávky. Veličina ni představuje četnosti jednotlivých kategorií, n je počet pozorování a pi je teoretická pravděpodobnost, že poptávka bude ležet v i-té třídě. Hodnota kritéria se porovnává s tabulkovou hodnotou χ k2−1 (1 − α ) . Pokud je vyčíslená hodnota χ 2 < χ12−α (k − 1) , je na příslušné hladině významnosti přijata hypotéza o shodě empirického rozdělení s teoretickým. Doporučení pro volbu počtu tříd uvádí [10] podmínkou, aby:
npi ≥ 5 , pro i=1,2,…,k. V opačném případě by nebylo možné použít asymptotické χ 2 - rozdělení.
28
(3.14)
4
Aplikace modelu
V minulé kapitole byl definován model, který po úpravách splňuje požadavky zkoumaného případu. Úlohou této části práce bude naplnění modelu reálnými daty, řešení úlohy a následné zhodnocení výsledků. Reálná data budou získána ze statistik zkoumaného obchodu.
4.1 Stanovení celkové potřeby zdroje Prvním z úkolů je stanovení střední hodnoty celkové potřeby zdroje Q za období T=1 rok. Vzhledem ke stochastickému charakteru poptávky se bude jednat o střední hodnotu celkové potřeby zdroje E(Q). Základem budou hodnoty poptávky v předchozích obdobích, jež jsou znázorněny v grafu. Počet objednávek 80
75 68
70
40 30
55
52
48
50
38
35 29
26
33
70
66 64
63
60
73
51
55 49
43
42
29
20 10 09/12
08/12
07/12
06/12
05/12
04/12
03/12
02/12
01/12
12/11
11/11
10/11
09/11
08/11
07/11
06/11
05/11
04/11
03/11
02/11
01/11
0
Měsíce Obrázek 4-1: Agregovaná měsíční poptávka vycházející ze statistik obchodu
K dispozici jsou data o příchodech objednávek za posledních 21 měsíců, která byla agregována do měsíčních dat. K výpočtu očekávané poptávky je možné využít metodu klouzavých průměrů, která však nezohledňuje fakt, že starší hodnoty poptávky mají nižší informační hodnotu než hodnoty z nedávných období. Z grafu je zřejmé, že poptávka v roce 2011 byla v průměru nižší než v roce 2012. Tuto skutečnost lépe vystihuje metoda exponenciálního vyrovnávání, jejímž specifickým případem jsou právě klouzavé průměry. Obtížné je však stanovení vyrovnávacího parametru, jež popisuje váhu hodnot předchozích období. Pro účely predikce poptávky na období následujících 12 měsíců [10] doporučuje stanovit E(Q) jako součet hodnot poptávky za předchozích 12 měsíců: E (Q) = 63 + 68 + 43 + 55 + 75 + 66 + 64 + 73 + 51 + 55 + 70 + 49 = 723 . Střední hodnota poptávky bude tedy 723 kusů výbojek za rok. Sezónnost sice není předpokládána, tento banální postup odhadu poptávky na následující rok ji navíc eliminuje. Současně jsou použity nejaktuálnější známé hodnoty poptávky. Použití všech dostupných hodnot by patrně mělo za následek podhodnocení odhadu. 29
4.2 Odhad přepravních nákladů Kromě střední hodnoty celkové poptávky je nutné odhadnout také přepravní náklady. V předchozí kapitole byl předpokládán lineární průběh funkce přepravních nákladů. Nyní je zapotřebí ověřit, zda je tento požadavek splněn. Funkce přepravních nákladů vychází z reálných cen přepravy. Pro tyto účely byl použit kalkulátor poštovného dostupný online na stránkách společnosti DHL [18]. Výstup z něho je zpracován v tabulce, jež je obsahem Přílohy. Při zpracování byla uvažována sleva 80 %, kterou má sjednánu dodavatel. V případě velkého množství přepravovaných zásilek se jedná o běžnou hodnotu. Ceny přepravy d jsou funkcí objemu dodávky, zde tedy mají roli vysvětlované proměnné. Hodnoty z tabulky v Příloze je možné znázornit graficky. d 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 q
2000 0 0
200
400
600
800
1000
Obrázek 4-2: Výše přepravních nákladů v závislosti na objemu dodávky
Dá se namítnout, že ceny přepravy jsou jednoznačně dány objemem dodávky, pro účely dalších výpočtů je však výhodné vystihnout vztah d a q způsobem, jež nebude znemožňovat provedení optimalizace. Počet pozorování je značný, proto v tomto měřítku jednotlivé body vypadají jako přímka. Je zřejmé, že funkce není zcela lineární. Především pro hodnoty q blízké nule dochází ke zpomalenému růst, dále pak funkce stoupá schodovitě po intervalech q=5. Pro odhad parametrů regresních modelů se používá metoda nejmenších čtverců. MS Excel používá metodu mnohonásobné lineární regrese. V každém případě je nutné ověřit splnění požadavků pro užití regresní analýzy. Analogicky se vztahem (3.5) je definován model: d = c f + cv q . Multikolinearita při použití jedné vysvětlující proměnné nehrozí, odlehlé hodnoty nejsou zaznamenány. Velký počet pozorování spolu s využitím centrální limitní věty zajišťují, že případné odchylky proměnných od normality nemají vážné následky. Porušena je tedy zatím pouze podmínka lineárního vztahu proměnných d a q, nicméně jen na malé části definičního intervalu. Lineární regresní analýza pomocí MS Excel nabízí výsledky, jež jsou zobrazeny v grafu.
30
16000
d d= 1515 + 13,00q , R² = 0,99864354
14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0
200
400
600
800
q 1000
Obrázek 4-3: Aproximace přepravních nákladů pomocí lineární regresní analýzy
Šedě jsou znázorněny hodnoty z přepravního ceníku, černou barvou regresní přímka. Je zjevné, že regresní analýza poskytuje velmi dobré výsledky pro q>50. Na to je třeba brát ohled při dalším postupu, především při výpočtu startovacích hodnot s0, q0 a při další optimalizaci. Odhady jednotkových přepravních nákladů jsou cˆ f = 1515 a cˆv = 13,00q . Zatímco fixní jednotkové náklady se vztahují k jedné dodávce, variabilní odpovídají jednomu kusu zboží. Bez úrovňové konstanty, tedy bez uvažování fixních přepravních nákladů by vyhlazení vypadalo následovně. 18000
d d = 15,27q R² = 0,958
16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0
200
400
600
800
q 1000
Obrázek 4-4: Aproximace přepravních nákladů bez úrovňové konstanty
Model bez úrovňové konstanty vykazuje nižší koeficient vícenásobné determinace a problém s nelinearitou samozřejmě neřeší. Vzhledem k průběhu funkce ceny přepravy by bylo vhodnější použít polynomickou regresi ve tvaru d = b0 + b1q + b2 q 2 + ... + bk q k . Jedná se o polynom k-tého řádu. MS Excel umožňuje polynomickou regresi polynomem až šestého řádu, který poskytuje velmi precizní vyhlazení znázorněné níže. 31
d 16000
d = -1E-13q6 + 4E-10q5 - 6E-07q4 + 0,000q3 - 0,118q2 + 31,00q + 669,2 R² = 0,999898
14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0
200
400
600
800
q 1000
Obrázek 4-5: Aproximace přepravních nákladů pomocí polynomické regrese
Analytická složitost polynomu je zřejmá, zahrnutí do modelu z výpočetních důvodů prakticky nemožné, model sice precizně popisuje realitu, nicméně jeho aplikace je v tomto případě nevhodná. Přes mírný nesoulad prvního modelu, získaného lineární regresní analýzou, s předpoklady, bude tento použit pro účely stanovení přepravních nákladů. Jeho předností je především jasná interpretace a snadná implementace do modelu zásob s uvážením ztráty z nesplněných objednávek. Vysoká hodnota koeficientu vícenásobné determinace R2 navíc signalizuje relativní přesnost modelu. Koeficient vícenásobné determinace je blízký jedné, to znamená, že míra shody odhadnutého modelu s reálnými daty je vysoká. Počet pozorování je vysoký, v modelu figuruje jen jedna vysvětlující proměnná a úrovňová konstanta, tudíž korigovaný koeficient, vypočtený dle vzorce (2.4) R 2 se od R2 podle (2.3) bude lišit minimálně:
R 2 = 0,99864218 . Pro úplnost je možné provést test statistické významnosti pomocí F poměru [4]. Je však nanejvýš pravděpodobné, že vzhledem k počtu pozorování a vysokému koeficientu vícenásobné determinace bude nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti odmítnuta. Poněvadž s využitím vztahu (2.2) F = 734740,6 > F * ( 1,998 ) , kde tabulková hodnota
F * (1,998) = 3,85 , přijímáme dle očekávání předpoklad, že shoda odhadnutého modelu s daty je statisticky významná. Získané fixní jednotkové náklady budou vstupovat do optimalizace prostřednictvím nákladů na pořízení zásoby, variabilní náklady budou přičteny až po ukončení iteračního postupu a na optimalizaci vliv nemají. Dále je nutné otestovat významnost jednotlivých odhadnutých parametrů podle vzorců (2.1). Odhady standardních chyb parametrů (odhady fixních a variabilních přepravních nákladů) jsou sc f = 8,7677 a scv = 0,015174701 a tudíž t- poměry jsou: t f = 857 > 2 a 32
t v = 0,00578601 > 2 . Jak uvádí [4] namísto tabulkových hodnot Studentova rozdělení t* je v případě výběrů s počtem stupňů volnosti n - k > 30 je možné použít rozdělení normální a hodnotu tα* / 2 položit rovnu dvěma pro hladinu významnosti α=0,05. Koeficienty jsou tudíž statisticky významné.
4.3 Stanovení jednotkových nákladů Dalším neméně podstatným neřiditelným vstupem jsou jednotkové náklady. Jejich výše má značný vliv na hodnoty optimálních veličin. 4.3.1 Stanovení skladovacích nákladů
Východiskem pro výpočet jednotkových skladovacích nákladů je vzorec (3.1). Účet, jehož úroková míra bude uvažována, by měl mít podobnou likviditu jako zásoby. Ve vzorci skladovacích nákladů se počítá s průměrnou zásobou. V zásobách je po celou dobu uložen kapitál, jehož výše je dána součinem průměrné výše zásob a jednotkové ceny zboží. Aby byla zajištěna podmínka stejné likvidity, bude použita úroková míra jednoletého termínovaného vkladu, protože T=1 rok. Vklady domácností S dohodnutou splatností Jednodenní
Celkem
do 1 roku
nad 1 rok a do 2 let
S výpovědní lhůtou Repo nad 2 roky
Celkem
do 3
nad 3
měsíců
měsíce
operace
VIII.12
0,71
0,91
0,755
2,461
1,334
2,048
2,202
0,8
VII.12
0,705
0,862
0,702
2,257
1,386
2,048
2,202
0,803
VI.12
0,714
1,148
1,054
2,314
1,258
2,046
2,213
0,783
V.12
0,722
1,133
1,018
2,381
1,431
2,047
2,213
0,782
IV.12
0,714
1,253
1,06
2,749
1,774
2,047
2,214
0,784
III.12
0,71
1,375
1,276
2,371
1,519
2,046
2,214
0,786
II.12
0,715
1,315
1,175
2,462
1,371
2,046
2,216
0,785
I.12
0,726
1,362
1,208
2,391
1,522
2,044
2,216
0,786
XII.11
0,725
1,305
1,12
1,972
1,79
2,042
2,215
0,789
XI.11
0,691
1,153
0,982
2,388
1,841
2,037
2,216
0,789
X.11
0,715
0,942
0,748
2,247
2,04
2,036
2,218
0,789
IX.11
0,717
1,582
1,529
2,376
1,848
2,035
2,219
0,793
VIII.11
0,722
1,584
1,505
2,321
1,891
2,048
2,224
0,876
VII.11
0,72
0,953
0,842
2,274
1,131
2,048
2,225
0,876
Tabulka 4-1: Harmonizovaná úroková statistika [2, B3]
Z výše uvedené tabulky se vypočte aritmetický průměr úrokových měr (vkladů domácností s dohodnutou splatností do 1 roku) za posledních 12 měsíců. Výsledkem je
33
úroková míra r = 1,195% . Zde je na místě poznámka, že úroková míra vkladů domácností byla použita s ohledem na provozování obchodu fyzickou osobou. Dalším krokem je stanovení jednotkové ceny zboží p. Nákupní cena jednoho kusu zboží pn je 300 Kč, prodejní cena pp je 580 Kč. Je zapotřebí rozhodnout, která z cen bude použita pro výpočet. Kapitálová zátěž je v tomto případě rovna 300 Kč, což je tedy částka, která mohla být namísto provozování obchodu uložena na termínovaném vkladu. Po dosazení cv = 13,00 do vztahu (3.1) jsou jednotkové skladovací náklady:
c1 = r ( pn + cv ) = 0,01195(300 + 13,00) = 6,1035 . 4.3.2 Stanovení nákladů z nedostatku
Pokud zboží není skladem, zákazníci do obchodu nepřichází a nakupují u konkurence. Ušlý zisk je dán součinem počtu cyklů, objemu nesplněných požadavků a jednotkových nákladů z nedostatku. Tyto jednotkové náklady jsou představovány absolutně vyjádřenou marží, to znamená rozdílem prodejní a nákupní ceny: c2 = p p − p n = 580 − 300 = 280 Kč . 4.3.3 Stanovení nákladů na pořízení zásoby
Náklady na pořízení zásoby obsahují administrativní náklady, náklady na manipulaci se zbožím při přijetí objednávky a fixní složku přepravních nákladů, která činí 1515 Kč. Tato částka byla získána výše provedenou regresní analýzou. Zbývá připočíst administrativní a manipulační náklady. Administrativa spočívá ve vytvoření objednávky, dále obsahuje případné jednání s přepravní společností, která rovněž bez příplatku zajišťuje zastoupení při celním řízení. Pokud tyto činnosti zaberou v průměru 1 hodinu a hodinová sazba je 150 Kč, potom administrativní náklady jedné objednávky jsou 150 Kč. Časově stejně náročná bude i manipulace s příchozí zásilkou – tedy její převzetí, vybalení a uložení ve skladu. Hodinová sazba této činnosti bude 100 Kč. Náklady na pořízení jedné dodávky budou tedy rovny:
c3 = 1515 + 150 + 100 = 1765Kč . Fixní náklady na přepravu přitom tvoří více než 85 % nákladů na pořízení zásoby.
4.4 Aproximace poptávky během doby dodání Zbývá stanovit parametry normálního rozdělení pro aproximaci náhodné poptávky během doby nesplněných požadavků Ψ . Tuto dobu je možné chápat jako dobu dodání. Ze zkušenosti je známa obvyklá doba dodání v délce 10 dnů. Délka doby dodání je přitom velmi podstatná, protože výrazným způsobem ovlivňuje optimální hodnotu signální hladiny s. Zkrácení doby dodání vede k nižším hodnotám signální hladiny a snižuje náklady na řízení zásob, prostřednictvím snížení nákladů z nedostatku. Pravděpodobnost vyčerpání zásoby totiž klesá spolu se zkracující se dobou dodání. V zájmu zachování konzistence bude východiskem období předchozích 12 měsíců stejně jako při odhadu E(Q). Je třeba si uvědomit, že jsou k dispozici data příchodů objednávek do systému s přesností na jednu sekundu.. Pro tyto účely však bude nutné sledovat hodnoty poptávky za 10 dnů. Budou proto sledovány všechny 10-denní intervaly od 34
1.10.2011 do 30.9.2012, kterých je celkem 366 − 9 = 357 . Těchto n = 357 pozorování je potřeba uspořádat do k tříd. Minimální a maximální napozorovanou hodnotou je 7 resp. 36 ks prodaných výbojek za období 10 dnů. Vyjma hodnoty 8 jsou zaznamenány všechny celočíselné hodnoty z intervalu [7,36] . Četnosti 35
32 33
32
30
27 22 23
25
23 19
18
20 15
17
15
15 10 5 0
2
4
7 6 6
9
9
7
7 5 6
3 3
0
4 1
1 1
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Hodnoty poptávky Obrázek 4-6: Četnosti hodnot poptávky
Existují různé způsoby stanovení optimálního počtu tříd k. Sturgesovo pravidlo [14]
má tvar k = 1 + 3,3 log n = 9,42 ≈ 9 . Vzhledem k tomu, že interval [7,36] obsahuje celkem 30 celočíselných hodnot, je možné stanovit k = 10 tříd šířky h = 3 . Pro každou třídu se určí
četnost ni. Současně by měla být respektována podmínka (3.14) umožňující použití χ 2 - testu dobré shody. Každá třída obsahuje 3 hodnoty poptávky a pro zobrazení je použita vždy prostřední hodnota. Četnosti jednotlivých tříd jsou zobrazeny v grafu. Četnosti tříd 100
91
90 80
69
64
70 60 46
50 40
31
30
19
20 10
18
6
7
6
32
35
0 8
11
14
17
20
23
26
Třídy podle hodnoty poptávky Obrázek 4-7: Četnosti tříd hodnot poptávky
35
29
Průměr a rozptyl empirického rozdělení jsou rovny x = 20,0504 resp. s 2 = 29,0231 . Z grafu je patrná možná existence odlehlých hodnot. Jedním z důsledků by mohlo být porušení podmínky (3.14). Pro test shody rozdělení teoretického a napozorovaného by tak nebylo možné použít test dobré shody. Odlehlé hodnoty je zapotřebí eliminovat rovněž z toho důvodu, že způsobují šikmost rozdělení. Předpokladem normálního rozdělení je přitom šikmost nulová. Odpověď na otázku, zda jsou přítomny odlehlé hodnoty poskytuje metoda vnitřních hradeb [14]. Jsou stanoveny tzv. vnitřní hradby, jež vychází z kvartilů. To zajišťuje robustnost této metody. Spočte se dolní a horní vnitřní hradba podle vzorců: DVH = ~ x − 1,5(~ x −~ x ) = 17 − 1,5(23 − 17) = 8 , 25%
75%
25%
HVH = ~ x75% + 1,5(~ x75% − ~ x25% ) = 23 + 1,5(23 − 17) = 32 . Hodnoty, jež jsou nižší než dolní vnitřní hradba a vyšší než horní vnitřní hradba jsou s vysokou pravděpodobností odlehlé. U normálního rozdělení je tato pravděpodobnost přibližně 0,96. To umožňuje vyloučení třídy s prostřední hodnotou 35. Ekonomická interpretace při eliminaci odlehlých hodnot je taková, že se sice nejedná o chyby, poptávka skutečně těchto hodnot nabyla a tyto patří do výsledků, nicméně nepatří do výběrového souboru. Patrně se dělo něco neobvyklého, a proto poptávka nabyla odlehlých hodnot. Dojde tedy ke snížení počtu pozorování o 6 na n=351. Po přepočtu: x = 19,7949 , s 2 = 25,2027 .
Je předpokládána normalita náhodné poptávky. Parametry normálního rozdělení se stanoví s využitím vzorců (3.12) jako N(19,7949;25,2027). Nakonec je nutné otestovat shodu teoretického a empirického rozdělení pomocí χ 2 testu dobré shody. Užitím známé transformace s úpravou na spojitost u =
X + 0,5 − µ
σ
lze
získat hodnoty hustoty normovaného normálního rozdělení pro jednotlivé třídy, jež budou představovat teoretické pravděpodobnosti pi. Po dosazení napozorovaných četností ni do vzorce [3.16] je kritérium χ 2 = 9,88 . Vzhledem k tomu, že χ 02,95 (8) = 15,5 je přijata nulová hypotéza o shodě teoretického rozdělení s empirickým. Podmínka (3.14) je splněna pro všechny třídy, jak ukazuje tabulka. xi ui
8
11
14
17
20
23
npi
29
32
-2,18 -1,58 -0,99 -0,39 0,207 0,804 1,401 1,998 2,595
ϕ(ui) 0,015 0,042 0,105 0,186 0,234 0,207 ni
26
6
19
46
64
91
69
0,13 0,058 0,018 31
18
7
5,113 14,73 36,91 65,42 82,04 72,79 45,68 20,28 6,368 Tabulka 4-2: Splnění podmínky pro použití testu dobré shody
36
4.5 Iterační výpočet optimálních hodnot Před zahájením první iterace výpočtu optimálních hodnot s a q, je nutné získat startovací hodnoty s0 a q0, pomocí aplikace modelu EOQ. Zvolí se s0 = 0 a objem dodávky se vypočte podle vzorce (1.2): q0 =
2.723.280 = 329,008441 . 6,1035
Úpravou rovnice (3.8) lze získat vztah: ∞
c1q
∫ f (ξ )dξ = c q + c E (Q) . s
1
2
Poptávka byla v předchozím textu aproximována pomocí normálního rozdělení
N ( µ , σ 2 ) , proto platí: ∞
s−µ , σ
∫ f (ξ )dξ = 1 − Φ s
tudíž je možné původní vztah přepsat:
c1q s−µ Φ . = 1− c1q + c2 E (Q) σ ∞
Výraz
∫ (ξ − s ) f (ξ )dξ
(4.1) ∞
∞
s
s
ze vzorce (3.9) se dá přepsat jako ∫ ξf (ξ )dξ − s ∫ f (ξ )dξ , který
s
je, jak uvádí například [10], možné vyjádřit pomocí hustoty a distribuční funkce normovaného normálního rozdělení jako:
s−µ s − µ + (µ − s )1 − Φ , σ σ
σϕ
kde ϕ (u ) je hodnota hustoty a Φ(u ) hodnota distribuční funkce rozdělení N(0,1). Dosazením úpravy do původního vzorce (3.12) se dospěje k rovnici:
s−µ s − µ c3 + c2 σϕ + (µ − s )1 − Φ σ σ q = 2 E (Q) . c1
(4.2)
Vzorce (4.1) a (4.2) budou klíčové pro iterační výpočet. Před započetím první iterace je nutné stanovit hodnotu zastavovací podmínky ze vzorce (3.10). Pokud se položí ε = 0,001 , potom pro ukončení výpočtu postačí, pokud se hodnota nákladové funkce v poslední iteraci změní maximálně o 0,1 %. Je možné stanovit hodnotu vyšší, která bude mít za následek vyšší hodnotu nákladové funkce, případně hodnotu nižší, jež by mohla prodlužovat výpočet. V postupu bude tedy použita výše uvedená hodnota, která představuje dostatečně malou změnu nákladů. Pro přehlednost zde budou shrnuty veškeré získané vstupující hodnoty:
37
E (Q) = 723ks, c1 = 3,740350Kč , c2 = 280Kč , c3 = 1765Kč ,
µ = 19,794872, σ = 5,024748, s0 = 0ks, q0 = 329,008441ks. Aplikace modelu EOQ pro získání startovacích hodnot s0 a q0 se označí jako nultá iterace a zbývá určit hodnotu nákladové funkce. Pokud by předmětem zkoumání byl skutečně model EOQ, potom podle vzorce (1.1) Cˆ ( q ) = Cˆ (329,0084 ) = 4493,91Kč . V tomto případě 0
je však nákladová funkce formulována odlišně, a proto: Cˆ ( s , q ) = Cˆ (0;329,0084 ) = 16726 ,48 Kč . 0
0
Nyní je možné zahájit první iteraci. Dosazením patřičných hodnot do (4.1) se vypočte s1. Za q se v tomto kroku dosadí hodnota q0, takže vyjde:
3,7404.329,0084 s−µ Φ = 0,993958 . = 1− 3,7404.329,0084 + 280.723 σ s−µ Φ(u1 ) = 0,993958, u1 = předpokladu, že , platí σ
Za
u1 = Φ −1 (0,993958) = 2,509673.
Z toho
lze
vyjádřit
a s1
proto jako:
s1 = u1σ + µ = 2,5097.5,0247 + 19,7949 = 32,405348ks . Pro
dosazení
do
vzorce
(4.2)
je
nutné
získat
hodnotu
hustoty
ϕ (u1 ) = ϕ (2,509673) = 0,017109 . Všechny hodnoty vstupující do vzorce (4.2) jsou známy, takže:
q1 = 2.723
1765 + 280{5,0247.0,0171 + (19,7949 − 32,4053)[1 − 0,9940]} = 826,678736ks . 3,7404
Pro výpočet hodnoty nákladové funkce se provede transformace pro případ normálního rozdělení. Původní vzorec (1.3), resp. upravenou verzi (3.7) lze přepsat jako: c E (Q ) s − µ q s − µ c 3 E (Q ) . σϕ Cˆ ( s, q ) = c1 + s − µ + c1 + 2 + ( µ − s ) 1 − Φ + q σ q 2 σ
Pro první iteraci je hodnota nákladové funkce: Cˆ ( s1 , q1 ) = Cˆ (32 , 4054 ;826 ,6788 ) = 3139 , 27 Kč .
Podmínka (3.10) splněna není, a proto je nutné pokračovat druhou iterací. Jako výchozí hodnoty se použijí hodnoty z první iterace s1 a q1. Znovu se postupuje dosazením do vzorce (4.1). Vyjde:
38
3,7404.826,6788 s−µ Φ = 0,994956 . = 1− 3,7404.826,6788 + 280.723 σ Lineární interpolací se opět získá kvantil: u 2 = Φ −1 (0,994956) = 2,168924 , takže:
s2 = u 2σ + µ = 2,1689.5,0247 + 19,7949 = 30,693170ks ,
ϕ (u 2 ) = ϕ (2,168924) = 0,037966 , q2 = 2.723
1765 + 280{5,0247.0,0380 + (19,7949 − 30,6932)[1 − 0,9950]} = 827,793768ks , 3,7404 Cˆ ( s 2 , q 2 ) = Cˆ (30 ,6932 ;827 ,7938 ) = 3137 ,1022 Kč .
Splněním podmínky (3.10) je postup po druhé iteraci ukončen: 3137,10 − 3139,27 3139,27
= 0,000691 ≤ 0,001 .
4.6 Interpretace výsledků Startovací hodnoty s0 a q0 nebyly stanoveny v souladu s uvažovaným modelem, nicméně se dá dokázat, že na optimální hodnoty sopt a qopt nemají vliv. Pokud by byly hodnoty nastaveny libovolně při respektování podmínky q0 > 0 , potom by byla získána stejná hodnota nákladové funkce i sopt a qopt. Mohlo by pouze dojít k prodloužení výpočtu o několik iterací. Například pro startovací hodnoty s0 = 0 , q0 = 1 je výpočet ukončen shodně po druhé iteraci. Pokud je hodnota s0 zafixována na nule, může q0 nabývat hodnot z intervalu (0,7;5602,8) při zachování maximálního počtu dvou iterací. Uvedené řešení není celočíselné. Po zaokrouhlení s a q je hodnota nákladová funkce Cˆ ( s 2 , q 2 ) = Cˆ (31;828 ) = 3137 ,1886 Kč . Došlo tedy ke změně nákladů v řádu haléřů. Taková
změna je zanedbatelná. Okolní celočíselné hodnoty poskytují horší řešení: Cˆ (30 ;827 ) = 3137 ,6015 Kč , Cˆ (31;827 ) = 3137 ,1886 Kč , Cˆ (30 ;828 ) = 3137 ,5964 Kč .
Při zaokrouhlení na čtyři desetinná místa jsou hodnoty nákladových funkcí Cˆ (31;827 ) a Cˆ (31;828 ) stejné, o něco lepší hodnotu však poskytuje Cˆ (31;828 ) . To znamená, že optimální úrovně jsou stanoveny: sopt = 31ks a q opt = 828ks . Hodnota qopt je vyšší než střední hodnota celkové potřeby zdroje E(Q). Optimální objem objednávky tedy pokryje poptávku za období delší než uvažovaný jeden rok. To svědčí o velmi vysokých nákladech na pořízení zásoby, jejichž působením je minimalizován počet objednávek. Během uvažovaného období tak dojde k vystavení pouze jedné objednávky. V dalším textu bude citlivost optimálních veličin na hodnoty jednotkových nákladů rozebrána podrobněji. Ze vzorců (3.3), (3.4) a (3.6), jež mají po úpravě pro normální rozdělení poptávky 39
níže uvedené tvary, je možné spočítat jaká je struktura nákladů, tedy jakým objemem se jednotlivé nákladové položky podílejí na celkových nákladech.
q s−µ s − µ Cˆ1 = c1 + s − µ + σϕ + ( µ − s) 1 − Φ = 1590,50 Kč , 2 σ σ s−µ s − µ Cˆ 2 = c2 tˆσϕ + ( µ − s) 1 − Φ = 5,51Kč , σ σ c Cˆ 3 = 3 = 1541,18 . tˆ Je tedy zřejmé, že výše nákladů z nedostatku je zanedbatelná. Ostatní nákladové položky se poměrně rovnoměrně podílejí na hodnotě celkových nákladů. Dále je možné stanovit velikost pojistné zásoby pomocí vzorce upraveného pro normální rozdělení: w = s − E(ψ ) = s − µ = 11,21ks .
Držení pojistné zásoby má za úkol eliminovat případné nedostatky zboží. V tomto případě je riziko z nesplněných objednávek sníženo na hodnotu ρ w = 0,0211 . K výpočtu byl využit vzorec (3.11). Jedná se o poměrně nízkou hodnotu, která značí velkou důležitost zboží, jež je vyjádřena prostřednictvím nákladů z nedostatku.
40
5
Analýza citlivosti
V praxi mohou nastat různé nepředvídatelné události jako například výpadky dodávek, výkyvy poptávky, zpoždění v dopravě nebo jiné technické potíže. Tyto okolnosti se nedají předvídat a je na ně třeba adekvátně reagovat. Z toho důvodu je výhodné mít k dispozici další informace, pomocí nichž lze učinit efektivnější rozhodnutí. Mezi tyto znalosti patří mimo jiné informace o citlivosti nákladové funkce na změnu vstupujících hodnot. Vždy je předpokládána změna pouze jedné veličiny, ostatní vstupující hodnoty jsou konstantní. Následující text se bude zabývat citlivostí nákladové funkce na změny hodnot s a q.
5.1 Odchylky od optimálních hodnot Je užitečné vědět, jak se mění hodnota nákladové funkce v závislosti na změně signální hladiny s. Během doby řízení skladu může dojít například ke zpoždění reakce na výkyv v poptávce. Než je uskutečněna znovuobjednávka, dojde k poklesu okamžité zásoby pod signální hladinu. Jiným případem je situace, kdy existuje předpoklad budoucího nárůstu poptávky, a proto je vhodné zvýšit signální hladinu. Přestože optimální hodnota s je objektivně dána, není nutné ji brát jako definitivní a jedinou správnou a je možné její hodnotu korigovat podle dodatečných informací. Následující graf udává hodnoty nákladové funkce v závislosti na s ceteris paribus. C(s,q) [Kč] 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160
0 Signální hladina s [ks] Obrázek 5-1: Analýza citlivosti nákladové funkce na odchylky od optimální signální hladiny
Pokud je s < sopt , hodnota nákladové funkce roste s klesající hodnotou s výrazně rychleji než při růstu signální hladiny nad svou optimální úroveň. Dřívější znovuobjednávka tedy představuje nižší náklady než znovuobjednávka při poklesu okamžité zásoby pod signální hladinu. Tato asymetrie je velmi silná a nedodržení sopt o několik jednotek směrem
41
dolů má stejné následky jako její mnohonásobné převýšení. Pokud existuje předpoklad růstu poptávky, je výhodné včas zareagovat dřívější znovuobjednávkou. K podobným závěrům lze dojít i analýzou závislosti nákladové funkce na optimálním objemu dodávky qopt. V praxi může dojít například k dodání neúplné objednávky a tím pádem je porušena optimalita řešení – není dodržena hodnota qopt. Opět platí podmínka ceteris paribus. Pro přehlednější zobrazení jsou zachyceny hodnoty nákladové funkce pro q ≥ 51 , protože s klesajícím q rostou hodnoty nákladové funkce zrychleně až k Cˆ (31,1) = 1280701Kč , takže v tomto měřítku by průběh funkce pro ostatní hodnoty q zanikl. C(s,q) [Kč] 30000 25000 20000 15000 10000 5000
51 123 195 267 339 411 483 555 627 699 771 843 915 987 1059 1131 1203 1275 1347 1419 1491 1563 1635 1707 1779 1851 1923 1995 2067 2139 2211 2283 2355
0
Objem dodávky q [ks] Obrázek 5-2: Analýza citlivosti nákladové funkce na odchylky od optimálního objemu dodávky
Stejně jako v předchozím případě je patrná asymetrie nákladové funkce, pokud osu souměrnosti představuje kolmice vedená z osy objemu dodávky v bodě qopt. Této informace se dá využít při očekávání zvýšení ceny, problémů v dopravě apod. Přezásobení vyvolává nižší dodatečné náklady než podzásobení ve stejném objemu.
5.2 Citlivost na změny skladovacích nákladů Dále je možné provést analýzu citlivosti na změnu jednotkových nákladů. Interpretace je v tomto případě odlišná. Zatímco v předchozím případu byly uvažovány jen dočasné změny, zde se bude jednat o změny trvalé, a proto je předpokládán přepočet optimálních hodnot sopt a qopt. Má to své opodstatnění – pokud se například změní úroková míra nebo přepravní náklady, promítne se to do výše příslušných jednotkových nákladů trvale a původní optimální hodnoty neodpovídají nové realitě. Nejprve bude stanovena citlivost optimální signální hladiny na změnu jednotkových skladovacích nákladů. S rostoucími jednotkovými skladovacími náklady klesá signální hladina. Pokles je přítomen v celém definičním oboru
c1 > 0 . Obdobný tvar má závislost optimálního objemu dodávky qopt na c1.
42
Signální hladina sopt [ks]
Objem dodávky qopt [ks] 6000
35 34
5000
33 4000
32 31
3000
30
2000
29 1000
28 27 0,1
1,6
3,1
4,6
6,1
7,6
0
9,1
0,1
Jednotkové náklady c1 [Kč]
1,6 3,1 4,6 6,1 7,6 9,1 Jednotkové náklady c1 [Kč]
C(s,q) [Kč] 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0,1
1,6
3,1
4,6 6,1 Jednotkové náklady c1 [Kč]
7,6
9,1
Obrázek 5-3: Analýza závislosti sopt, qopt a nákladové funkce na c1
Výchozí předpoklad o rostoucím charakteru nákladové funkce je samozřejmě splněn, protože s růstem jednotkových nákladů roste hodnota nákladové funkce, podstatná je spíše informace o konkávnosti. Pokud c1 roste, potom dochází ke snižování signální hladiny sopt i objemu dodávky qopt, a v důsledku toho se zvyšuje počet objednávek
E (Q) a více se qopt
projevují náklady na pořízení zásoby a tím pádem roste hodnota funkce celkových nákladů. Tento vztah je možné si představit jako výběr mezi dvěma substituty, jež představují náklady na pořízení zásoby a skladovací náklady. Mezi těmito dvěma substituty se volí ten, který přináší nižší náklady a tudíž je funkce celkových nákladů zpomaleně rostoucí. Ještě je třeba připomenout, že skladovací náklady jsou konstruovány poněkud zdrženlivě, že jako 43
obětovaná příležitost je uvažováno uložení kapitálu na účet v bance. Pokud by příležitosti byly zajímavější, mělo by to za následek vyšší úrokovou míru a potažmo vyšší jednotkové skladovací náklady.
5.3 Citlivost na změny nákladů z nedostatku V grafech je znázorněna závislost sopt, qopt na nákladech z nedostatku. Ty jsou dány rozdílem prodejní a nákupní ceny. Zde je patrný protichůdný vliv výše jednotkových nákladů z nedostatku na sopt, qopt. Zatímco optimální signální hladina s růstem c2 také roste, optimální objem dodávky klesá. Je zřejmé, že vliv c2 na objem dodávky je téměř zanedbatelný. Závislost sopt na c2 má očekávaný tvar. Dále je patrný malý vliv nákladů z nedostatku na hodnotu celkové nákladové funkce. Signální hladina sopt
Objem dodávky qopt [ks]
35
830 829,5 829 828,5 828 827,5 827 826,5 826 825,5 825
30 25 20 15 10 5 0 10
160
310
10
460
160
Jednotkové náklady c2 [Kč]
310
460
Jednotkové náklady c2 [Kč]
C(s,q) [Kč] 3145 3140 3135 3130 3125 3120 3115 3110 3105 3100 3095 10
160
310 Jednotkové náklady c2 [Kč]
Obrázek 5-4: Analýza závislosti sopt, qopt a nákladové funkce na c2
44
460
5.4 Citlivost na změny nákladů na pořízení zásoby Posledním článkem nákladové funkce jsou náklady na pořízení zásoby. Jejich jednotkové vyjádření se vztahuje k jedné dodávce a ovlivňuje hodnoty sopt a qopt způsobem znázorněným v grafech. Signální hladina sopt 34
Objem dodávky qopt [ks] 1400
33
1200 1000
32
800 31 600 30
400
29
200
28
0 100
1600 3100 Jednotkové náklady c3 [Kč]
100
1600 3100 Jednotkové náklady c3 [Kč]
C(s,q) [ks] 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 100
1600 Jednotkové náklady c3 [Kč]
3100
Obrázek 5-5: Analýza závislosti sopt, qopt a nákladové funkce na c3
Vliv jednotkových nákladů c3 na signální hladinu je malý. To je dáno konstrukcí těchto nákladů, ze které vyplývá, že optimální signální hladinu ovlivňují pouze nepřímo. Větší význam má vliv těchto nákladů na hodnotu qopt. Závislost funkce celkových nákladů na nákladech c3 má podobný tvar jako v předchozích případech. Je tedy zřejmé, že při optimalizaci hrají největší roli náklady skladovací a náklady na pořízení zásoby. Tento stav koresponduje s předpoklady modelu, kdy stavy nedostatku zásob mají být jevy ojedinělými a velikost nedostatku malá. Příčinou malého vlivu změny těchto nákladů je třeba hledat v hustotě normálního rozdělení. Bylo ukázáno, že ani jeden ze tří typů 45
jednotkových nákladů nemá rozhodující vliv na hodnotu sopt. Tato hodnota totiž závisí především na poptávce během doby dodání, tedy na její střední hodnotě a rozptylu (resp. směrodatné odchylce). Naopak vliv jednotkových nákladů na hodnotu qopt je u skladovacích a pořizovacích nákladů značný. S rostoucími jednotkovými náklady jednoho určitého typu roste také nákladová funkce – zpomaleně, tedy konkávně. Ke stejným závěrům by bylo možné dojít rovněž při vyjádření závislosti nákladové funkce na střední hodnotě celkové potřeby zdroje E(Q), která v tomto okamžiku vystupuje v roli proměnné.
5.5 Citlivost na změny doby dodání Velikost poptávky během doby dodání je determinována různými faktory, které jsou obtížně kvantifikovatelné, jako například spotřebitelské nálady, existence a cena substitutů či komplementů atd. Například při velmi deštivém počasí nebo při silných mrazech je zaznamenáváno více objednávek, protože zákazníci musí častěji měnit své výbojky. Tyto jevy není možné předvídat. Další složkou, na které je poptávka přímo závislá, je délka doby dodání. Doposud byla předpokládána doba dodání v délce 10 dnů. Pokud dojde ke změně doby dodání, změní se i střední hodnota a směrodatná odchylka poptávky, jež jsou klíčové pro výpočet optimální signální hladiny. Je proto přínosné prozkoumat i závislost optimálních charakteristik na době dodání. Nejprve bude nutné pro různé doby dodání získat střední hodnotu a směrodatnou odchylku. S těmito údaji je pak zapotřebí znovu vypočítat optimální hodnoty sopt, qopt a Cˆ( s , q ) . Výsledky je možné opět zachytit v grafech. Dle očekávání má proměnná doba dodání největší vliv na optimální hodnotu signální hladiny. Vliv na optimální objem dodávky je zanedbatelný. Vzhledem k tomu, že stavy nedostatku jsou výjimečné, změna doby dodání by neměla způsobit dramatické změny v hodnotě nákladové funkce. Tuto domněnku potvrzuje i graf. Optimální hodnoty nákladové funkce se pro různé doby dodání příliš neliší. To platí pouze za předpokladu přepočtu optimálních hodnot signální hladiny a objemu dodávky. V praxi je však mnohem častější situace, kdy změna doby dodání není předem známa a tudíž není možné se na ni připravit. Pokud se například dodávka zpozdí o 3 dny, tzn. doba dodání je 13 dnů, potom se hodnota nákladová funkce zvýší. Pro výpočet celkových nákladů se použijí charakteristiky získané iteračním postupem, tyto hodnoty však nejsou optimální pro dobu dodání 13 dnů. Celkové náklady jsou rovny: Cˆ ′( s , q ) = Cˆ ′(31;828 ) = 3270 , 47 Kč .
To znamená nárůst celkových nákladů o 4,2 % v důsledku delší doby dodání. Zvýšení nákladů není nijak markantní, je však třeba uvést, že v tomto případě se za období jednoho roku jedná o jedinou dodávku. Vyšší náklady se dají očekávat v případě většího počtu dodávek. Zajímavé je také určit za těchto podmínek náklady z nedostatku. Ty jsou rovny Cˆ 2′ = 160 ,77 Kč . Podíl na celkových nákladech je sice pořád menší než u ostatních
nákladových položek, nicméně náklady vzrostly více než 28-krát a tvoří téměř 5 % celkových nákladů.
46
Toto platí za předpokladu nenadálé změny doby dodání. Pokud je změna očekávaná, potom dojde k přepočtu optimálních veličin. Z grafů je zřejmý velký vliv doby dodání na optimální signální hladinu, zatímco vliv na optimální objem dodávky a hodnotu nákladové funkce je nepatrný. Signální hladina sopt 70
Objem dodávky qopt [ks] 829
60
828,5
50 40
828
30
827,5
20 827
10 0
826,5 5
7
9
11 13 15 17 Doba dodání [dny]
19
5
21
7
9
11 13 15 17 Doba dodání [dny]
19
21
C(s,q) [ks] 3170 3160 3150 3140 3130 3120 3110 3100 5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15 Doba dodání [dny]
16
17
18
19
20
21
Obrázek 5-6: Analýza závislosti sopt, qopt a nákladové funkce na době dodání
Závěrem této kapitoly se nabízí shrnutí. Bylo ukázáno, že podzásobení vyvolává větší růst nákladů než přezásobení ve stejném objemu. Nejdůležitějšími nákladovými položkami se ukázaly být náklady na pořízení zásoby a skladovací náklady, protože jejich jednotkové hodnoty zásadním způsobem ovlivňují optimální hodnoty charakteristik. Naproti tomu náklady z nedostatku nejsou příliš významnou částí nákladové funkce, což je v souladu
47
s výchozími předpoklady modelu s uvážením ztráty z nesplněných objednávek. Toto tvrzení ovšem platí pouze při souladu použitých dat s realitou.
48
Závěr Cílem práce bylo nalézt vhodný způsob řízení zásob internetového obchodu. Důležitým předpokladem pro navržení vhodného modelu byl stochastický charakter poptávky. Model měl být dále dynamický, stacionární a s volnými objednacími termíny. S ohledem na náhodnou poptávku byly připuštěny občasné stavy vyčerpání zásoby, a proto bylo na místě definovat náklady z nedostatku. Těmto a dalším požadavkům nejlépe vyhovoval model s uvážením ztráty z nesplněných objednávek, který umožňuje současnou optimalizaci objemu dodávky i signální hladiny a byl proto použit jako výchozí. Před samotnou aplikací bylo nutné provést úpravy, mezi něž patří mimo jiné zahrnutí přepravních nákladů do modelu. Dvousložkové přepravní náklady byly částečně implementovány jakožto fixní do nákladů na pořízení zásoby, variabilní část se stala součástí skladovacích nákladů. I přes odlišné pojetí skladovacích nákladů bylo možné využít iteračního postupu pro získání optimálních hodnot minimalizujících hodnotu nákladové funkce. Zastavovací kritérium bylo zkonstruováno ve tvaru relativní změny nákladové funkce. Byla uvažována normalita poptávky během doby dodání, která byla úspěšně otestována pomocí χ 2 – testu dobré shody. Po naplnění modelu reálnými daty byly ve druhé iteraci nalezeny optimální hodnoty objemu dodávky a signální hladiny, které byly zaokrouhleny na celá čísla a označeny za optimální. Bylo prokázáno, že nejvýznamnější roli mají náklady skladovací a náklady na pořízení zásoby, což je v souladu s předpokladem modelu, že stavy nedostatku jsou jevy řídkými. Jelikož reálné prostředí vykazuje značnou proměnlivost, byla v závěrečné části provedena analýza citlivosti optimálních hodnot na změny jednotlivých vstupujících parametrů. Stavy přezásobení se ukázaly být méně škodlivé než stavy podzásobení, dále byl analyzován vliv výše všech druhů jednotkových nákladů a doby dodání na hodnotu nákladové funkce. Aplikací modelu byla optimalizována nákladová funkce. Byl tedy vyřešen definovaný problém. Díky navrženým úpravám se však také podařilo vytvořit model, jehož použití není omezeno jen na konkrétní případ, zkoumaný v této práci. Vzhledem k tomu, že modifikace byly provedeny přísně za účelem zpřesnění shody s realitou a s využitím znalosti praxe internetového obchodu, byl zkonstruován model, jenž může najít uplatnění i v dalších podobných případech, tedy obecně v řízení zásob elektronických obchodů.
49
Literatura [1] BAYRAKTAR, E., LUDKOVSKI, M.: Inventory Management with Partially Observed Nonstationary Demand. Annals of Operations Research, 2010, Vol. 176, No. 1, str. 7-39.
Česká národní banka: Harmonizovaná úroková statistika. Cit. [30.11.2012], dostupné [2] z internetu: http://www.cnb.cz/cs/statistika/menova_bankovni_stat/harm_stat_data/mir_cs.htm#B3 [3] HORÁKOVÁ, H., KUBÁT, J..: Řízení zásob. 3. upravené vydání, Praha: Profess Consulting, 1999. ISBN 80-85235-55-2. [4] HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. Praha: Oeconomica, 2007. ISBN 978-80-2451300-3. [5] JABLONSKÝ, J.: Operační výzkum. 2. vydání, Praha: Professional Publishing, 2002. ISBN 80-86419-42-8. [6] KAHOUNOVÁ, J.: Úvod do teorie odhadu. Praha: Oeconomica, 2006. ISBN 80-2451135-5. [7] KAHOUNOVÁ, J., BÍLKOVÁ, D.: Počet pravděpodobnosti. 1. dotisk 2. vydání, Praha: Oeconomica, 2007. ISBN 978-80-245-0714-9. [8] KOHOUT, V.: Teorie odhadu. 2004, skriptum ZČU Plzeň (online), dostupné z internetu: http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/letnisem/zs/stat10.pdf (datum navštívení 24.10.2012) [9] LAGOVÁ, M., JABLONSKÝ, J.: Lineární modely. Praha: Oeconomica, 2009. ISBN 978-80-245-1511-3. [10] LUKÁŠ, L.: Pravděpodobnostní modely v managementu: teorie zásob a statistický popis poptávky. Praha: Academia, 2012. ISBN 978-80-200-2005-5. [11] PECÁKOVÁ, I.: Statistika v terénních průzkumech. Praha: Professional Publishing, 2008. ISBN 978-80-86946-74-0. [12] PLEVNÝ, M., ŽIŽKA, M.: Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. Plzeň: ZČU, 2005. ISBN 80-7043-435-X. [13] ŘEZANKOVÁ, H.: Analýza dat z dotazníkových šetření. 2. vydání, Praha: Professional Publishing, 2010. ISBN 978-80-7431-019-5. [14] SYNEK, V.: Popisná statistika. 2005, on-line skriptum, cit. [30.11.2012], dostupné z internetu: http://fzp.ujep.cz/~synek/statistika/skripta/DiscStat2.doc [15] TER-MANUELIANC, A.: Matematické modely řízení zásob. Praha: Institut řízení, 1980. [16] de VAUSS, D.: Analyzing Social Science Data. London: SAGE. ISBN 978-0-76195938-0. 50
[17] ZAJÍČKOVÁ, P.: Klasifikace modelů zásob. 2004, dostupné z internetu: http://www.fce.vutbr.cz/veda/dk2004texty/pdf/05_Ekonomika%20a%20rizeni%20stavebnictv i/5_02_Ekonomika%20stavebniho%20podniku/Zajickova_Petra.pdf (datum navštívení 28.10.2012) [18] Kalkulátor poštovného přepravní společnosti DHL, navštíven 27.10.2012, dostupný z internetu: http://dhl4you.cz/index.php?lang=cz
51
Příloha: Přepravní náklady z kalkulátoru poštovného [18] Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
1
2925
585
46
10200
2040
91
14115
2823
136
17110
3422
2
2925
585
47
10200
2040
92
14115
2823
137
17110
3422
3
2925
585
48
10200
2040
93
14115
2823
138
17110
3422
4
2925
585
49
10200
2040
94
14115
2823
139
17110
3422
5
2925
585
50
10200
2040
95
14115
2823
140
17110
3422
6
4065
813
51
10635
2127
96
14550
2910
141
17430
3486
7
4065
813
52
10635
2127
97
14550
2910
142
17430
3486
8
4065
813
53
10635
2127
98
14550
2910
143
17430
3486
9
4065
813
54
10635
2127
99
14550
2910
144
17430
3486
10
4065
813
55
10635
2127
100
14550
2910
145
17430
3486
11
4835
967
56
11070
2214
101
14870
2974
146
17750
3550
12
4835
967
57
11070
2214
102
14870
2974
147
17750
3550
13
4835
967
58
11070
2214
103
14870
2974
148
17750
3550
14
4835
967
59
11070
2214
104
14870
2974
149
17750
3550
15
5605
1121
60
11070
2214
105
14870
2974
150
17750
3550
16
5605
1121
61
11505
2301
106
15190
3038
151
18070
3614
17
5605
1121
62
11505
2301
107
15190
3038
152
18070
3614
18
5605
1121
63
11505
2301
108
15190
3038
153
18070
3614
19
5605
1121
64
11505
2301
109
15190
3038
154
18070
3614
20
6375
1275
65
11505
2301
110
15190
3038
155
18070
3614
21
6375
1275
66
11940
2388
111
15510
3102
156
18390
3678
22
6375
1275
67
11940
2388
112
15510
3102
157
18390
3678
23
6375
1275
68
11940
2388
113
15510
3102
158
18390
3678
24
6375
1275
69
11940
2388
114
15510
3102
159
18390
3678
25
7140
1428
70
11940
2388
115
15510
3102
160
18390
3678
26
7140
1428
71
12375
2475
116
15510
3102
161
18710
3742
27
7140
1428
72
12375
2475
117
15510
3102
162
18710
3742
28
7140
1428
73
12375
2475
118
15510
3102
163
18710
3742
29
7140
1428
74
12375
2475
119
15510
3102
164
18710
3742
30
7905
1581
75
12375
2475
120
15510
3102
165
18710
3742
31
7905
1581
76
12810
2562
121
16150
3230
166
19030
3806
32
7905
1581
77
12810
2562
122
16150
3230
167
19030
3806
33
7905
1581
78
12810
2562
123
16150
3230
168
19030
3806
34
7905
1581
79
12810
2562
124
16150
3230
169
19030
3806
35
8670
1734
80
12810
2562
125
16150
3230
170
19030
3806
36
8670
1734
81
13245
2649
126
16470
3294
171
19350
3870
37
8670
1734
82
13245
2649
127
16470
3294
172
19350
3870
38
8670
1734
83
13245
2649
128
16470
3294
173
19350
3870
39
8670
1734
84
13245
2649
129
16470
3294
174
19350
3870
40
9435
1887
85
13245
2649
130
16470
3294
175
19350
3870
41
9435
1887
86
13680
2736
131
16790
3358
176
19670
3934
42
9435
1887
87
13680
2736
132
16790
3358
177
19670
3934
43
9435
1887
88
13680
2736
133
16790
3358
178
19670
3934
44
9435
1887
89
13680
2736
134
16790
3358
179
19670
3934
45
9435
1887
90
13680
2736
135
16790
3358
180
19670
3934
52
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
181
19990
3998
226
22870
4574
271
25750
5150
316
28630
5726
182
19990
3998
227
22870
4574
272
25750
5150
317
28630
5726
183
19990
3998
228
22870
4574
273
25750
5150
318
28630
5726
184
19990
3998
229
22870
4574
274
25750
5150
319
28630
5726
185
19990
3998
230
22870
4574
275
25750
5150
320
28630
5726
186
20310
4062
231
23190
4638
276
26070
5214
321
28950
5790
187
20310
4062
232
23190
4638
277
26070
5214
322
28950
5790
188
20310
4062
233
23190
4638
278
26070
5214
323
28950
5790
189
20310
4062
234
23190
4638
279
26070
5214
324
28950
5790
190
20310
4062
235
23190
4638
280
26070
5214
325
28950
5790
191
20630
4126
236
23510
4702
281
26390
5278
326
29270
5854
192
20630
4126
237
23510
4702
282
26390
5278
327
29270
5854
193
20630
4126
238
23510
4702
283
26390
5278
328
29270
5854
194
20630
4126
239
23510
4702
284
26390
5278
329
29270
5854
195
20630
4126
240
23510
4702
285
26390
5278
330
29270
5854
196
20950
4190
241
23830
4766
286
26710
5342
331
29590
5918
197
20950
4190
242
23830
4766
287
26710
5342
332
29590
5918
198
20950
4190
243
23830
4766
288
26710
5342
333
29590
5918
199
20950
4190
244
23830
4766
289
26710
5342
334
29590
5918
200
20950
4190
245
23830
4766
290
26710
5342
335
29590
5918
201
21270
4254
246
24150
4830
291
27030
5406
336
29910
5982
202
21270
4254
247
24150
4830
292
27030
5406
337
29910
5982
203
21270
4254
248
24150
4830
293
27030
5406
338
29910
5982
204
21270
4254
249
24150
4830
294
27030
5406
339
29910
5982
205
21270
4254
250
24150
4830
295
27030
5406
340
29910
5982
206
21590
4318
251
24470
4894
296
27350
5470
341
30230
6046
207
21590
4318
252
24470
4894
297
27350
5470
342
30230
6046
208
21590
4318
253
24470
4894
298
27350
5470
343
30230
6046
209
21590
4318
254
24470
4894
299
27350
5470
344
30230
6046
210
21590
4318
255
24470
4894
300
27350
5470
345
30230
6046
211
21910
4382
256
24790
4958
301
27670
5534
346
30550
6110
212
21910
4382
257
24790
4958
302
27670
5534
347
30550
6110
213
21910
4382
258
24790
4958
303
27670
5534
348
30550
6110
214
21910
4382
259
24790
4958
304
27670
5534
349
30550
6110
215
21910
4382
260
24790
4958
305
27670
5534
350
30550
6110
216
22230
4446
261
25110
5022
306
27990
5598
351
30870
6174
217
22230
4446
262
25110
5022
307
27990
5598
352
30870
6174
218
22230
4446
263
25110
5022
308
27990
5598
353
30870
6174
219
22230
4446
264
25110
5022
309
27990
5598
354
30870
6174
220
22230
4446
265
25110
5022
310
27990
5598
355
30870
6174
221
22550
4510
266
25430
5086
311
28310
5662
356
31190
6238
222
22550
4510
267
25430
5086
312
28310
5662
357
31190
6238
223
22550
4510
268
25430
5086
313
28310
5662
358
31190
6238
224
22550
4510
269
25430
5086
314
28310
5662
359
31190
6238
225
22550
4510
270
25430
5086
315
28310
5662
360
31190
6238
53
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
361
31510
6302
406
34390
6878
451
37270
7454
496
40150
8030
362
31510
6302
407
34390
6878
452
37270
7454
497
40150
8030
363
31510
6302
408
34390
6878
453
37270
7454
498
40150
8030
364
31510
6302
409
34390
6878
454
37270
7454
499
40150
8030
365
31510
6302
410
34390
6878
455
37270
7454
500
40150
8030
366
31830
6366
411
34710
6942
456
37590
7518
501
40470
8094
367
31830
6366
412
34710
6942
457
37590
7518
502
40470
8094
368
31830
6366
413
34710
6942
458
37590
7518
503
40470
8094
369
31830
6366
414
34710
6942
459
37590
7518
504
40470
8094
370
31830
6366
415
34710
6942
460
37590
7518
505
40470
8094
371
32150
6430
416
35030
7006
461
37910
7582
506
40790
8158
372
32150
6430
417
35030
7006
462
37910
7582
507
40790
8158
373
32150
6430
418
35030
7006
463
37910
7582
508
40790
8158
374
32150
6430
419
35030
7006
464
37910
7582
509
40790
8158
375
32150
6430
420
35030
7006
465
37910
7582
510
40790
8158
376
32470
6494
421
35350
7070
466
38230
7646
511
41110
8222
377
32470
6494
422
35350
7070
467
38230
7646
512
41110
8222
378
32470
6494
423
35350
7070
468
38230
7646
513
41110
8222
379
32470
6494
424
35350
7070
469
38230
7646
514
41110
8222
380
32470
6494
425
35350
7070
470
38230
7646
515
41110
8222
381
32790
6558
426
35670
7134
471
38550
7710
516
41430
8286
382
32790
6558
427
35670
7134
472
38550
7710
517
41430
8286
383
32790
6558
428
35670
7134
473
38550
7710
518
41430
8286
384
32790
6558
429
35670
7134
474
38550
7710
519
41430
8286
385
32790
6558
430
35670
7134
475
38550
7710
520
41430
8286
386
33110
6622
431
35990
7198
476
38870
7774
521
41750
8350
387
33110
6622
432
35990
7198
477
38870
7774
522
41750
8350
388
33110
6622
433
35990
7198
478
38870
7774
523
41750
8350
389
33110
6622
434
35990
7198
479
38870
7774
524
41750
8350
390
33110
6622
435
35990
7198
480
38870
7774
525
41750
8350
391
33430
6686
436
36310
7262
481
39190
7838
526
42070
8414
392
33430
6686
437
36310
7262
482
39190
7838
527
42070
8414
393
33430
6686
438
36310
7262
483
39190
7838
528
42070
8414
394
33430
6686
439
36310
7262
484
39190
7838
529
42070
8414
395
33430
6686
440
36310
7262
485
39190
7838
530
42070
8414
396
33750
6750
441
36630
7326
486
39510
7902
531
42390
8478
397
33750
6750
442
36630
7326
487
39510
7902
532
42390
8478
398
33750
6750
443
36630
7326
488
39510
7902
533
42390
8478
399
33750
6750
444
36630
7326
489
39510
7902
534
42390
8478
400
33750
6750
445
36630
7326
490
39510
7902
535
42390
8478
401
34070
6814
446
36950
7390
491
39830
7966
536
42710
8542
402
34070
6814
447
36950
7390
492
39830
7966
537
42710
8542
403
34070
6814
448
36950
7390
493
39830
7966
538
42710
8542
404
34070
6814
449
36950
7390
494
39830
7966
539
42710
8542
405
34070
6814
450
36950
7390
495
39830
7966
540
42710
8542
54
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
541
43030
8606
586
45910
9182
631
48790
9758
676
51670
10334
542
43030
8606
587
45910
9182
632
48790
9758
677
51670
10334
543
43030
8606
588
45910
9182
633
48790
9758
678
51670
10334
544
43030
8606
589
45910
9182
634
48790
9758
679
51670
10334
545
43030
8606
590
45910
9182
635
48790
9758
680
51670
10334
546
43350
8670
591
46230
9246
636
49110
9822
681
51990
10398
547
43350
8670
592
46230
9246
637
49110
9822
682
51990
10398
548
43350
8670
593
46230
9246
638
49110
9822
683
51990
10398
549
43350
8670
594
46230
9246
639
49110
9822
684
51990
10398
550
43350
8670
595
46230
9246
640
49110
9822
685
51990
10398
551
43670
8734
596
46550
9310
641
49430
9886
686
52310
10462
552
43670
8734
597
46550
9310
642
49430
9886
687
52310
10462
553
43670
8734
598
46550
9310
643
49430
9886
688
52310
10462
554
43670
8734
599
46550
9310
644
49430
9886
689
52310
10462
555
43670
8734
600
46550
9310
645
49430
9886
690
52310
10462
556
43990
8798
601
46870
9374
646
49750
9950
691
52630
10526
557
43990
8798
602
46870
9374
647
49750
9950
692
52630
10526
558
43990
8798
603
46870
9374
648
49750
9950
693
52630
10526
559
43990
8798
604
46870
9374
649
49750
9950
694
52630
10526
560
43990
8798
605
46870
9374
650
49750
9950
695
52630
10526
561
44310
8862
606
47190
9438
651
50070
10014
696
52950
10590
562
44310
8862
607
47190
9438
652
50070
10014
697
52950
10590
563
44310
8862
608
47190
9438
653
50070
10014
698
52950
10590
564
44310
8862
609
47190
9438
654
50070
10014
699
52950
10590
565
44310
8862
610
47190
9438
655
50070
10014
700
52950
10590
566
44630
8926
611
47510
9502
656
50390
10078
701
53270
10654
567
44630
8926
612
47510
9502
657
50390
10078
702
53270
10654
568
44630
8926
613
47510
9502
658
50390
10078
703
53270
10654
569
44630
8926
614
47510
9502
659
50390
10078
704
53270
10654
570
44630
8926
615
47510
9502
660
50390
10078
705
53270
10654
571
44950
8990
616
47830
9566
661
50710
10142
706
53590
10718
572
44950
8990
617
47830
9566
662
50710
10142
707
53590
10718
573
44950
8990
618
47830
9566
663
50710
10142
708
53590
10718
574
44950
8990
619
47830
9566
664
50710
10142
709
53590
10718
575
44950
8990
620
47830
9566
665
50710
10142
710
53590
10718
576
45270
9054
621
48150
9630
666
51030
10206
711
53910
10782
577
45270
9054
622
48150
9630
667
51030
10206
712
53910
10782
578
45270
9054
623
48150
9630
668
51030
10206
713
53910
10782
579
45270
9054
624
48150
9630
669
51030
10206
714
53910
10782
580
45270
9054
625
48150
9630
670
51030
10206
715
53910
10782
581
45590
9118
626
48470
9694
671
51350
10270
716
54230
10846
582
45590
9118
627
48470
9694
672
51350
10270
717
54230
10846
583
45590
9118
628
48470
9694
673
51350
10270
718
54230
10846
584
45590
9118
629
48470
9694
674
51350
10270
719
54230
10846
585
45590
9118
630
48470
9694
675
51350
10270
720
54230
10846
55
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravn í náklady d'(q)
Přepravn í náklady po slevě d(q)
721
54550
10910
766
57430
11486
811
60310
12062
856
63190
12638
722
54550
10910
767
57430
11486
812
60310
12062
857
63190
12638
723
54550
10910
768
57430
11486
813
60310
12062
858
63190
12638
724
54550
10910
769
57430
11486
814
60310
12062
859
63190
12638
725
54550
10910
770
57430
11486
815
60310
12062
860
63190
12638
726
54870
10974
771
57750
11550
816
60630
12126
861
63510
12702
727
54870
10974
772
57750
11550
817
60630
12126
862
63510
12702
728
54870
10974
773
57750
11550
818
60630
12126
863
63510
12702
729
54870
10974
774
57750
11550
819
60630
12126
864
63510
12702
730
54870
10974
775
57750
11550
820
60630
12126
865
63510
12702
731
55190
11038
776
58070
11614
821
60950
12190
866
63830
12766
732
55190
11038
777
58070
11614
822
60950
12190
867
63830
12766
733
55190
11038
778
58070
11614
823
60950
12190
868
63830
12766
734
55190
11038
779
58070
11614
824
60950
12190
869
63830
12766
735
55190
11038
780
58070
11614
825
60950
12190
870
63830
12766
736
55510
11102
781
58390
11678
826
61270
12254
871
64150
12830
737
55510
11102
782
58390
11678
827
61270
12254
872
64150
12830
738
55510
11102
783
58390
11678
828
61270
12254
873
64150
12830
739
55510
11102
784
58390
11678
829
61270
12254
874
64150
12830
740
55510
11102
785
58390
11678
830
61270
12254
875
64150
12830
741
55830
11166
786
58710
11742
831
61590
12318
876
64470
12894
742
55830
11166
787
58710
11742
832
61590
12318
877
64470
12894
743
55830
11166
788
58710
11742
833
61590
12318
878
64470
12894
744
55830
11166
789
58710
11742
834
61590
12318
879
64470
12894
745
55830
11166
790
58710
11742
835
61590
12318
880
64470
12894
746
56150
11230
791
59030
11806
836
61910
12382
881
64790
12958
747
56150
11230
792
59030
11806
837
61910
12382
882
64790
12958
748
56150
11230
793
59030
11806
838
61910
12382
883
64790
12958
749
56150
11230
794
59030
11806
839
61910
12382
884
64790
12958
750
56150
11230
795
59030
11806
840
61910
12382
885
64790
12958
751
56470
11294
796
59350
11870
841
62230
12446
886
65110
13022
752
56470
11294
797
59350
11870
842
62230
12446
887
65110
13022
753
56470
11294
798
59350
11870
843
62230
12446
888
65110
13022
754
56470
11294
799
59350
11870
844
62230
12446
889
65110
13022
755
56470
11294
800
59350
11870
845
62230
12446
890
65110
13022
756
56790
11358
801
59670
11934
846
62550
12510
891
65430
13086
757
56790
11358
802
59670
11934
847
62550
12510
892
65430
13086
758
56790
11358
803
59670
11934
848
62550
12510
893
65430
13086
759
56790
11358
804
59670
11934
849
62550
12510
894
65430
13086
760
56790
11358
805
59670
11934
850
62550
12510
895
65430
13086
761
57110
11422
806
59990
11998
851
62870
12574
896
65750
13150
762
57110
11422
807
59990
11998
852
62870
12574
897
65750
13150
763
57110
11422
808
59990
11998
853
62870
12574
898
65750
13150
764
57110
11422
809
59990
11998
854
62870
12574
899
65750
13150
765
57110
11422
810
59990
11998
855
62870
12574
900
65750
13150
56
Objem dodávky
Přepravní náklady d'(q)
Přepravní náklady po slevě d(q)
Objem dodávky
Přepravní náklady d'(q)
Přepravní náklady po slevě d(q)
901
66070
13214
946
68950
13790
902
66070
13214
947
68950
13790
903
66070
13214
948
68950
13790
904
66070
13214
949
68950
13790
905
66070
13214
950
68950
13790
906
66390
13278
951
69270
13854
907
66390
13278
952
69270
13854
908
66390
13278
953
69270
13854
909
66390
13278
954
69270
13854
910
66390
13278
955
69270
13854
911
66710
13342
956
69590
13918
912
66710
13342
957
69590
13918
913
66710
13342
958
69590
13918
914
66710
13342
959
69590
13918
915
66710
13342
960
69590
13918
916
67030
13406
961
69910
13982
917
67030
13406
962
69910
13982
918
67030
13406
963
69910
13982
919
67030
13406
964
69910
13982
920
67030
13406
965
69910
13982
921
67350
13470
966
70230
14046
922
67350
13470
967
70230
14046
923
67350
13470
968
70230
14046
924
67350
13470
969
70230
14046
925
67350
13470
970
70230
14046
926
67670
13534
971
70550
14110
927
67670
13534
972
70550
14110
928
67670
13534
973
70550
14110
929
67670
13534
974
70550
14110
930
67670
13534
975
70550
14110
931
67990
13598
976
70870
14174
932
67990
13598
977
70870
14174
933
67990
13598
978
70870
14174
934
67990
13598
979
70870
14174
935
67990
13598
980
70870
14174
936
68310
13662
981
71190
14238
937
68310
13662
982
71190
14238
938
68310
13662
983
71190
14238
939
68310
13662
984
71190
14238
940
68310
13662
985
71190
14238
941
68630
13726
986
71510
14302
942
68630
13726
987
71510
14302
943
68630
13726
988
71510
14302
944
68630
13726
989
71510
14302
945
68630
13726
990
71510
14302
57
