Voorbereidende opgaven – Kerstvakantiecursus Tips: •
Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dan even in het beknopt overzicht algebraïsche vaardigheden en werk hem dan uit tot waar je kunt. Laat het voor de rest rusten. Deze opgaven zijn bedoeld om je kennis van de rekenregels op te frissen en om de docenten een indicatie te geven van jouw algebraïsche vaardigheden. De opgaven geven geen goed beeld van het niveau van de cursus. Je mag geen rekenmachine gebruiken.
• •
• 1
2
Werk de haakjes uit: a.
( x − 1) 2
b.
−2 ( 6 x − 4 ) ⋅ x
c.
( 4 x + 5) ⋅ − ( 5 − 4 x )
2
Vereenvoudig zo ver mogelijk en schrijf zonder gebroken of negatieve exponenten: a.
( a 2 b −1 ) 3 ( ab 2 )
d.
4b −2
b.
a5 + a3
e.
(4b)−2
c.
a2 + a2
f.
x
−112
Schrijf met gebroken en/of negatieve exponenten:
3
g.
x2 x
h.
7
x
i.
3
1 x⋅
5
x2
Herleid: a.
1 x
b.
x3 x
2x
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
1
© SSL 2015
4
5
Vereenvoudig zo ver mogelijk: a.
1 1 ⋅ 4 x
b.
3 x ÷ x2 7
c.
Schrijf links om tot rechts (schrijf alle tussenstappen op!):
(2 p ) 2
4
a.
8 = 7 3 2 p ⋅3p
b.
4a 1 1 a 1 + − a 1 − = n n n
2
6
7
1 2 + x x +1
c. 2
d.
x3 + x 2 x2
= x +1
x 1 = x + x x +1 2
Neem onderstaande tabel over in je schrift en vul hem in (de zinnen hoef je niet over te nemen, maar vul wel je oplossingen, wel/niet en één/twee in). Even macht ( x 2 , x 4 , x 6 , …)
Oneven macht ( x 3 , x 5 , x 7 , …)
Een even macht heeft één/twee oplossing(en). De oplossing(en) van x 4 = 16 is/zijn dus:
Een oneven macht heeft één/twee oplossing(en). De oplossing(en) van x 3 = 8 is/zijn dus:
Bij een even macht zijn er wel/geen negatieve oplossingen mogelijk. x 4 = − 16 kan dus wel/niet.
Bij een oneven macht zijn er wel/geen negatieve oplossingen mogelijk. x 3 = − 8 kan dus wel/niet.
Druk p uit in q: a.
q=
2 +4 3 p
b.
q=
p 1− p
Tip: lukt dit niet, kijk dan in het beknopt overzicht algebraïsche vaardigheden (Bijlage 1). 8
Bepaal a en b:
a +b = 5 3a − 2b = 5
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
2
© SSL 2015
9
Symmetrie a.
Toon aan dat f ( x ) = x − 1 symmetrisch is t.o.v. de y-as.
b.
Toon aan dat g ( x ) = − x puntsymmetrisch is t.o.v. (0,0).
6
5
Tip: lukt dit niet, kijk dan in het beknopt overzicht algebraïsche vaardigheden (Bijlage 1).
Hoeveel tijd heb je tot hier aan de opgaven besteed? Wat vond je van deze opgaven?
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
Heel makkelijk
3
1 2 3 4 5 Heel moeilijk
© SSL 2015
Beknopt overzicht algebraïsche vaardigheden In dit overzicht vind je de volgende vaardigheden: a. Haakjes e. Omschrijven b. Machten f. Stelsels van vergelijkingen c. Wortels g. Breuksplitsen d. Breuken a. Haakjes Wanneer haakjes? In de volgende twee gevallen heb je haakjes nodig: AB C vb: 10 4 2 10 4 2
A B C
vb: 10 4 2 10 4 2 Als dingen alleen met elkaar worden vermenigvuldigd, heb je geen haakjes nodig, dus: vb: x (2 a ) x 2 a 2 xa 2 ax Haakjes uitwerken vb: x( x 4) x x x 4 x 4 x 2
2
3
vb: ( x 2)( x 3) x x x 3 2 x 2 3 x x 6 2
Pas op voor de volgende veelgemaakte fout: vb: x (2 a ) x 2 x a b. Machten regel
a a a b
c
bc
voorbeeld
x 3 x 2 x 3 2 x 5
ab a b c c a ( a b )c a bc
x3 x 3 2 x 2 x ( x3 ) 2 ( x 2 )3 x 23 x 6
( ab)c a c bc
(2 x) 2 22 x 2 4 x 2
a b c
1 ab
a b
x 3
b ac
1 x3
x x 2
c. Wortels a b
1
1 x2
a b
vb:
8 42 4 2 2 2
a a b b
vb:
1 1 1 4 4 2
a b a b !!!!
vb:
25 9 16 9 16 !!!!
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
4
© SSL 2015
d. Breuken Breuk =
teller . noemer
Vermenigvuldigen Teller × teller, noemer × noemer. vb:
2 5 2 5 10 3 7 3 7 21
Delen Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. vb:
2 5 2 7 14 / 3 7 3 5 15
Optellen Noemers gelijk maken. Dit doe je door beide breuken op een speciale manier met 1 te vermenigvuldigen, namelijk boven en onder keer de noemer van de andere breuk.
1 1 1 4 1 3 4 3 7 3 4 3 4 4 3 12 12 12 1 2 1 x 2 x 1 x 2( x 1) 3 x 2 vb: x 1 x x 1 x x x 1 x( x 1) x( x 1) x( x 1) vb:
Vereenvoudigen
ab a b b b 1 ac a c c c x( x 1) x 1 vb: x( x 2) x 2 ab a b c c c 2 x x x2 x x 1 vb: x x x
Let op:
a a a bc b c x x x vb: x 1 x 1
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
5
© SSL 2015
e. Omschrijven Als gegeven is: A = ‘iets met B’, kan het voorkomen dat je B moet uitdrukken in A. Dat betekent dat je moet zorgen voor: B = ‘iets met A’. Stappenplan omschrijven 1) Haal alle termen met B links, alle andere termen naar rechts 2) Isoleer B door aan beide kanten omgekeerde bewerkingen uit te voeren. Omgekeerde bewerkingen zijn ‘plus en min’, ‘keer en gedeeld door’, ‘kwadraat en wortel’ enz. vb: 1) 2)
1 a 2 b3 a 4 , druk b uit in a 2 1 3 b a 4 a2 termen met b naar links, met a naar rechts 2 b3 2(a 4 a 2 ) werk 12 weg: vermenigvuldig aan beide kanten met 2
b 3 2(a 4 a 2 )
omgekeerde van 3 is
3
Voor twee speciale gevallen is er een extra stap nodig: B in noemer van breuk → kruislings vermenigvuldigen B in meerdere termen → buiten haakjes halen vb:
a
1 , druk b uit in a b2
b staat in de noemer, dus kruislings vermenigvuldigen: a 1 1 b2 a (b 2) 1 1
1)
ab 2a 1 ab 1 2a
2)
b
vb: 1)
1 2a a
aan beide kanten delen door a
2b ab 3 , druk b uit in a 2b ab 3 b staat in meerdere termen, dus buiten haakjes halen: b (2 a ) 3
2)
b
3 2a
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
aan beide kanten delen door 2 – a
6
© SSL 2015
f. Stelsels van vergelijkingen Er zijn twee methoden voor het oplossen van een stelsel van vergelijkingen. Het is voldoende als je één van beide beheerst. Substitutie (‘vervangen’) Aanpak: kies een letter, zeg A, en druk die uit in de andere letter, zeg B, met behulp van een van de vergelijkingen (zie ‘omschrijven’). Vul de zo gevonden uitdrukking van A vervolgens in in de tweede vergelijking en los verder op.
a b 14 8a 6b 100
vb:
1 2
Druk a uit in b met behulp van (1):
a 14 b
Substitueer dit vervolgens in (2):
8(14 b) 6b 100
112 8b 6b 100 2b 12 b6 Bepaal nu a met behulp van de eerder gevonden uitdrukking:
a 14 b 14 6 8
Dus a = 8 en b = 6. Optellen/aftrekken Zorg dat je van een letter afkomt door de ene vergelijking een geschikt aantal keer van de andere af te trekken.
a b 14 8a 6b 100
vb:
1 2
In vergelijking (2) komt b zes keer voor. We kunnen dus van b afkomen door (1) zes keer van (2) af te trekken: (2) – 6(1). Dit geeft:
8a 6b 100 6a 6b 84 2a 16 Delen door 2 geeft: a = 8. Dit vervolgens invullen in (1) geeft:
8 b 14
Dus b = 6.
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
7
© SSL 2015
g. Breuksplitsen Soms is het nodig voor integreren om een breuk te schrijven als de som van twee breuken. Dit gaat met het volgende stappenplan: Stappenplan breuksplitsen 1) Tel de twee breuken bij elkaar op 2) Stel de tellers aan elkaar gelijk 3) Stelsel oplossen (zie f) vb: bepaal a en b
1)
14 x 100 a b ( x 6)( x 8) x 6 x 8 14 x 100 a x8 b x6 ( x 6)( x 8) x 6 x 8 x 8 x 6 14 x 100 a( x 8) b( x 6) ( x 6)( x 8) ( x 6)( x 8) 14 x 100 (a b) x 8a 6b ( x 6)( x 8) ( x 6)( x 8)
2)
14 x 100 ( a b ) x 8 a 6b , dus: a b 14 en 8a 6b 100
3)
Zie onderdeel f.
h. Lijn- en puntsymmetrie Een functie f is lijnsymmetrisch ten opzichte van de y-as als geldt: f x f x . vb:
f x x2 f x x x 2 f x , dus f is lijnsymmetrisch t.o.v. de y-as. 2
Een functie f is puntsymmetrisch ten opzichte van (0,0) als geldt: f x f x . vb:
f x x3 f x x x 3 x 3 f x , dus f is puntsymmetrisch tov (0,0). 3
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
8
© SSL 2015
Bijlage Meetkundige Plaatsen In deze bijlage bespreken we meetkundige plaatsen. We beginnen met het onderdeel "Wat is het?", waarin we kort definiëren wat een meetkundige plaats is. Vervolgens gaan we uitgebreid in op hoe je zo'n meetkundige plaats construeert en wat je hierbij opschrijft, dit doen we in het onderdeel "Hoe moet het?". Hiermee kan je de oefenopgave van de voorbereidende opgaven maken. Een terechte vraag zou zijn: “Een bijlage over meetkundige plaatsen, dat wordt tijdens de cursus toch pas behandeld?” Klopt! Meetkundige plaatsen wordt dan inderdaad behandeld. We gaan ons dan echter richten op wat op het examen het belangrijkst is: wanneer je welke meetkundige plaats moet tekenen. Weten welke meetkundige plaats je moet tekenen levert je op je examen nog niet alle punten op. Hoe je die meetkundige plaats tekent is namelijk van essentieel belang. De reden dat je nu al met de genoemde onderdelen aan de slag gaat, en niet pas tijdens de cursus, is de volgende. Door nu al te oefenen met construeren, krijg je die technieken onder de knie. Hierdoor kunnen we ons tijdens de cursus richten op de vragen die je daadwerkelijk op je examen mag verwachten. Tenslotte valt je misschien op dat deze bijlage vrij lang is. Het doorwerken van deze bijlage zal ongeveer een uur tijd kosten. Dit levert je echter wel een handig naslagwerk op. Doordat alles uitgebreid uitgelegd staat kun je deze bijlage zowel tijdens als na de cursus gebruiken voor het maken van opgaven. Heel veel succes met het doorwerken van deze bijlage!
A Wat is het? Een meetkundige plaats van een of meerdere objecten zijn de punten die even ver van dat/die object(en) af liggen. Voorbeeld: Twee boeren A en B willen een stuk land verdelen, zodat ieder evenveel land heeft. De grenzen van het land van boer A en boer B zijn dan die punten die even ver van boer A als boer B af liggen. Zie de figuur.
A
B We hebben dus de meetkundige plaats van A en B getekend.
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
9
© SSL 2015
B Hoe moet het? Dit onderdeel behandelt de meetkundige plaatsen die op je examen gevraagd kunnen worden. Dit zijn er vijf. De kopjes in dit onderdeel zijn steeds de objecten waarvan je de meetkundige plaats tekent. Onder elk kopje wordt de bijbehorende meetkundige plaats uitgelegd. Vervolgens volgt een stappenplan met voorbeeld waarmee je de meetkundige plaats stap voor stap kunt tekenen. Naast de verschillende meetkundige plaatsen, gaan we kijken naar wat we moeten opschrijven bij het construeren. 1) Twee punten De meetkundige plaats tussen twee punten heet een middelloodlijn. Je kan de middelloodlijn op twee manieren tekenen: met een passer of geodriehoek. Beide manieren leveren op je eindexamen alle punten op. Stappenplan middelloodlijn (met geodriehoek) I. II. III.
Trek een rechte lijn tussen de twee gegeven punten. Meet het midden van deze rechte lijn en zet hier een punt. Teken met je geo een lijn door dit punt, loodrecht op de lijn uit stap I. Dit is de middelloodlijn.
Voorbeeld
III
B
A II
I
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
10
© SSL 2015
Stappenplan middelloodlijn (met passer) I. II. III.
Zet je passer op punt A en teken een hele cirkel met straal AB. Zet nu je passer op punt B en teken weer een hele cirkel met straal AB. Teken nu een lijn door de snijpunten van de twee cirkels. Dit is de middelloodlijn.
Let op: Stop de lijn niet bij de snijpunten, maar trek hem door. Voorbeeld
II
I B
A
III 2) Twee evenwijdige lijnen De meetkundige plaats tussen twee evenwijdige lijnen is de middenparallel. Stappenplan middenparallel (met geo) I. II. III.
Teken een punt op een van de twee lijnen. Trek vanaf dat punt een loodlijn naar de andere lijn. Meet het midden van de lijn en zet hier een punt. Teken nu een loodlijn door het punt uit stap II. Dit is de middenparallel.
Voorbeeld
I II III
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
11
© SSL 2015
3) Één punt Stel we willen alle punten die even ver van één punt af liggen. De meetkundige plaats is dan een cirkel, die we met een passer kunnen construeren. Voorbeeld
A
4) Twee snijdende lijnen De meetkundige plaats tussen twee snijdende lijnen is de bissectrice. Je kan de bissectrice op twee manieren tekenen: met een passer of geodriehoek. Op je eindexamen leveren beide manieren alle punten op. Stappenplan bissectrice (met geodriehoek) I. II.
Meet de hoek tussen de twee lijnen. Teken met behulp van je geodriehoek een punt op de helft van deze hoek. Teken een rechte lijn vanuit het hoekpunt A door het punt uit stap I. Dit is de bissectrice.
Voorbeeld
I
II
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
12
© SSL 2015
5) P Paraboolco onstructie Lett op! Er zijn ook andere e manieren om een pa arabool te co onstrueren. Als jij een andere ma anier weet die d je fijn vin ndt, mag je onderstaan nd stappenp plan overslaaan. De meetkundige plaats tu ussen een p punt en een n lijn is een parabool. H Het punt hee et ook wel hett brandpuntt van de parrabool (hierr F) en de lijn heet de richtlijn (hierr lijn k). Stappenp plan parabo oolconstru uctie 0. I. II. III. IV. V.
Teken een punt T p op de h helft van de loodlijn doo or F op k. D Dit is de top van de p parabool ‘T’.. T Teken een punt p op de liijn k. Dit is een e voetpun nt ‘V’. T Teken door ‘V’ ‘ een lood dlijn op k (lijn l). T Teken een middelloodlij m jn van het liijnstuk FV (hier lijn m). Het snijpun nt tussen lijjnen m en l is één puntt op de para abool, punt ‘P’. H Herhaal stap p I t/m III no og drie keer, met anderre voetpunteen. Dan heb b je vijf punten op de e parabool g geconstrueerd. T Trek door de e vijf gevond den punten een (zo mo ooi mogelijkke) paraboo ol.
Voo orbeeld
l F III
F
m 0T
II
P4
P
P3
P2
P1
T I V
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
k
k
13
© SSL 2015
Wat schrijf ik op? In de toelichting van je werkwijze moeten altijd de volgende dingen staan:
Naam meetkundige plaats (bijv. middelloodlijn) Objecten waartussen je de meetkundige plaats tekent (bijv. brandpunt F en richtlijn k) Indien van toepassing: begin- en eindpunten (zie voorbeeld)
Maak hier een korte zin van. Voorbeeld Gegeven is een land A met stad F. Land A wordt begrensd door lijn g. In de zee ligt een zandbank, gegeven door lijn k. Zie onderstaande figuur. Teken alle punten in de zee die even ver van stad f als de zandbank af liggen. Licht je werkwijze toe.
Land A
F g
Zee
Zandbank
k
Uitwerking
Land A
F g
Zee
Zandbank
k
We tekenen de parabool met brandpunt F en richtlijn k. Het begin- en eindpunt zijn de snijpunten van de parabool met lijn g.
Wiskunde B vwo voorbereidende opgaven
14
© SSL 2015