1
1
´ OPERATOR HUSTOTY
Oper´ ator hustoty
Popisujeme-li v´ yvoj uzavˇren´eho kvantov´eho syst´emu, vystaˇc´ıme si vˇetˇsinou s pojmem ˇcist´eho stavu. Jedn´ a se o vektor v Hilbertovˇe prostoru H , kter´ y je dan´emu kvantov´emu syst´emu pˇridruˇzen. Na dan´em Hilbertovˇe prostoru je definov´an skal´arn´ı souˇcin, my si tento budeme znaˇcit v souhlase s Diracovou notac´ı jako ⟨⋅∣⋅⟩. Spolu s vektory Hilbertova prostoru m˚ uˇzeme, ˇci mus´ıme, uvaˇzovat i zobrazen´ı, kter´a na tˇechto vektorech p˚ usob´ı. Nebot’ se omezujeme pouze na koneˇcnˇerozmˇern´e Hilbertovy prostory, pˇredstavuj´ı vˇsechny oper´atory definovan´e na dan´em Hilbertovˇe prostoru mnoˇzinu omezen´ ych oper´ator˚ u B(H ). Omezen´e oper´atory samotn´e tvoˇr´ı dalˇs´ı Hilbert˚ uv prostor, zavedeme-li na nˇem Hilbert-Schmidt˚ uv skal´ arn´ı souˇcin n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem. Mˇejme dva oper´ atory A, B ∈ B(H ), pak jejich skal´arn´ı souˇcin je definov´an vztahem (A, B) ≡ Tr(A† B),
(1)
kde C † je oper´ ator hermitovsky sdruˇzen´ y k oper´atoru C a Tr(C) znaˇc´ı stopu oper´atoru C, viz sekci ??. V prostoru m˚ uˇzeme d´ ale vydˇelit mnoˇzinu vˇsech pozorovateln´ych {A ∈ B(H )∣A† = A} na prostoru H tvoˇrenou hermitovsk´ ymi oper´atory. Jak bylo pˇredesl´ano, dosud se pracovalo pˇredevˇs´ım s ˇcist´ ymi stavy, vektory. Oper´atory pˇredstavuj´ıc´ı v´ yvoj syst´emu ˇci mˇeˇren´ı vzaly vektor a vr´ atili jin´ y vektor. Mˇeli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jej´ım zmˇeˇren´ım na dan´em ˇcist´em stavu ∣ψ⟩ ˇc´ıslo, kter´e bylo vlastn´ım ˇc´ıslem oper´atoru A a kter´e jsme interpretovali jako v´ ysledek mˇeˇren´ı. Pokud pˇritom nebyl vektor ∣ψ⟩ vlastn´ım vektorem pro A, obdrˇzeli jsme r˚ uzn´ a ˇc´ısla s r˚ uznou pravdˇepodobnost´ı v´ yskytu. D˚ uleˇzit´e bylo si uvˇedomit, ˇze vˇse, co o dan´em stavu kvantov´eho syst´emu jsme schopni zjistit, jsou pr˚ umˇern´e hodnoty nejr˚ uznˇejˇs´ıch veliˇcin. V´ ysledek jedin´eho mˇeˇren´ı na dan´em stavu nemˇel valn´e hodnoty. Rozliˇsujme nyn´ı na chv´ıli d˚ uslednˇe dva pojmy, stav syst´emu ψ a jemu pˇr´ısluˇsn´ y vektor ∣ψ⟩. Stavem syst´emu m´ ame na mysli soubor vˇsech jeho vlastnost´ı. Pro popis stavu kvantov´eho syst´emu tak je nezbytn´e uv´est stˇredn´ı hodnoty ⟨A⟩ψ vˇsech pozorovateln´ ych A na dan´em stavu p˚ usob´ıc´ıch. V pˇr´ıpadˇe stav˚ u uzavˇren´ ych syst´em˚ u byla situace jednoduˇsˇs´ı v tom, ˇze m´ısto vypisov´ an´ı vˇsech tˇechto stˇredn´ıch hodnot jsme mˇeli prostˇredek, jak je snadno spoˇc´ıtat. T´ımto prostˇredkem byl vektor ∣ψ⟩, z nˇehoˇz jsme odpov´ıdaj´ıc´ı stˇredn´ı hodnotu pozorovateln´e A obdrˇzeli vypoˇcten´ım v´ yrazu ⟨ψ∣A∣ψ⟩, kter´ y jsme prohl´asili za stˇredn´ı hodnotu ⟨A⟩ψ . Pokud se dal stav syst´emu takto popsat pomoc´ı vektoru, nazvali jsme ho ˇcist´ ym stavem. Pouˇzijme analogick´ y postup v ˇsirˇs´ım kontextu. Opust’me zaˇzitou pˇredstavu ˇcist´ ych stav˚ u a definujme si stav jako zobrazen´ı, kter´e kaˇzd´e pozorovateln´e pˇriˇrazuje re´aln´e ˇc´ıslo, na kter´e naklademe p´ ar podm´ınek. M´ ame tedy pˇresnˇe to, co chceme. Dan´e zobrazen´ı vezme pozorovatelnou A a vr´ at´ı odpov´ıdaj´ıc´ı stˇredn´ı hodnotu ⟨A⟩. Korektn´ı definice zn´ı n´asledovnˇe. Definice 1.1. Stavem syst´ emu nazveme line´arn´ı funkcion´al S ∶ B(H ) → R splˇ nuj´ıc´ı dodateˇcn´e podm´ınky: 1. Normalizace: S(I) = 1. (To jest, na identitu vr´at´ı jedniˇcku.) 2. Pozitivita: S(A† A) ≥ 0, ∀A ∈ B(H ). (To jest, na kaˇzd´ y pozitivn´ı oper´ator vr´at´ı nez´ aporn´e ˇc´ıslo.) 1
1
´ OPERATOR HUSTOTY
Rieszova vˇeta ˇr´ık´ a, ˇze pro kaˇzd´ y line´arn´ı funkcion´al S najdeme oper´ator ρ ∈ B(H ) tak, ˇze S(A) = (ρ, A) = Tr(ρ† A) pro kaˇzd´ y A ∈ B(H ). O tomto oper´atoru si uk´aˇzeme, ˇze je hermitovsk´ y a m´ a jednotkovou stopu. Za t´ım u ´ˇcelem tedy uvaˇzujme libovoln´ y hermitovsk´ y oper´ator A = A† ∈ B(H ). Vyuˇzijeme-li toho, ˇze S(⋅) = S(⋅)∗ , kde ∗ znaˇc´ı komplexn´ı sdruˇzen´ı, dost´av´ame Tr(ρ† A) = (Tr(ρ† A))∗ = Tr(ρA† ) = Tr(ρA). Pro libovolnou pozorovatelnou tedy plat´ı Tr(A(ρ† −ρ)) = 0. D´ ale si uvˇedomme, ˇze kaˇzd´ y oper´ator Y ∈ B(H ) lze rozloˇzit na line´arn´ı kombinaci hermitovsk´ ych oper´ ator˚ u Y1 a Y2 zp˚ usobem Y = Y1 + i Y2 , kde Y1 = (Y + Y † )/2 a Y2 = i (Y † − Y )/2. Obdrˇzeli jsme tak rovnost Tr(Y (ρ† − ρ)) = 0 pro obecn´ y oper´ator Y , z ˇcehoˇz jiˇz plyne ρ = ρ† . Oper´ ator ρ je tedy hermitovsk´ y. Z normalizaˇcn´ı podm´ınky nav´ıc vypl´ yv´ a † ’ S(I) = Tr(ρ I) = Tr(ρ) = 1. Druh´ a definiˇcn´ı vlastnost n´am pˇritom zajiˇst uje 0 ≤ S(C) = Tr(ρC) pro vˇsechny pozitivn´ı oper´ atory C. Pokud zvol´ıme C = ∣ψ⟩⟨ψ∣, tak Tr(ρC) = Tr(ρ∣ψ⟩⟨ψ∣) = ⟨ψ∣ρ∣ψ⟩ ≥ 0 pro vˇsechny ∣ψ⟩ ∈ H . Oper´ator ρ je tedy dokonce pozitivn´ı. Definice 1.2. Oper´ ator z u ´vah v´ yˇse se naz´ yv´a oper´ ator hustoty, popˇr. matice hustoty. Nebot’ pozitivita jiˇz vynucuje hermitovost, tak lze oper´ator hustoty charakterizovat jako pozitivn´ı oper´ ator s jednotkovou stopou, tj. ρ ≥ 0 a Tr(ρ) = 1. Z definiˇcn´ıch vlastnost´ı plyne, ˇze obecn´ y oper´ator hustoty lze vyj´adˇrit ve tvaru ρ = ∑i λi ∣ψi ⟩⟨ψi ∣, kde λi ≥ 0, ∑i λi = 1 a {ψi }i je ortonorm´aln´ı b´aze tvoˇren´a jeho vlastn´ımi vektory. Vid´ıme, ˇze aˇc jsme si stav definovali jako jist´ y line´arn´ı funkcion´al, veˇskerou pr´aci se stavem dan´eho syst´emu lze redukovat na poˇc´ıt´ an´ı s jemu odpov´ıdaj´ıc´ı matic´ı hustoty. V n´asleduj´ıc´ım budeme pojmy oper´ ator hustoty a stav volnˇe zamˇen ˇovat. Mnoˇzinu vˇsech stav˚ u na dan´em Hilbertovˇe prostoru H oznaˇc´ıme S(H ). Jedn´a se o konvexn´ı mnoˇzinu, nebot’ konvexn´ı kombinace oper´ator˚ u hustoty je opˇet oper´ator hustoty. Extrem´aln´ımi body t´eto mnoˇziny jsou pˇritom ˇcist´e stavy, tj. stavy, jejichˇz oper´ator hustoty je projektor ρ = ∣ψ⟩⟨ψ∣ pro nˇejak´e ∣ψ⟩ ∈ H . M´ame-li zad´an oper´ator hustoty, jak snadno zjistit, zda popisuje ˇcist´ y stav? Nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku uv´ad´ı n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı. Vˇ eta 1.1. Oper´ ator hustoty ρ ∈ S(H ) popisuje ˇcist´y stav pr´ avˇe tehdy, kdyˇz Tr(ρ2 ) = 1. D˚ ukaz. Pro d˚ ukaz implikace zleva si staˇc´ı uvˇedomit, ˇze kdyˇz je oper´ator hustoty ρ ˇcist´ y stav, 2 tak existuje vektor ∣ψ⟩ ∈ H takov´ y, ˇze ρ = ∣ψ⟩⟨ψ∣ je projektor. Plat´ı tedy ρ = ρ a z normalizace oper´ atoru hustoty ihned Tr(ρ2 ) = Tr(ρ) = 1. Pro d˚ ukaz opaˇcn´e implikace uvaˇzujme obecn´ y tvar oper´ atoru hustoty, ρ = ∑i λi ∣ψi ⟩⟨ψi ∣, kde {∣ψi ⟩}i je ortonorm´aln´ı b´aze a {λi }i tvoˇr´ı pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı. Jednoduch´ ymi v´ ypoˇcty zjist´ıme, ˇze ρ2 = ∑i λ2i ∣ψi ⟩⟨ψi ∣, 2 2 jehoˇz stopa zn´ı Tr(ρ ) = ∑i λi . Nebot’ je λi ≥ 0 a ∑i λi = 1, z podm´ınky Tr(ρ2 ) = 1 uˇz rovnou plyne, ˇze pr´ avˇe jedno vlastn´ı ˇc´ıslo λi0 je jedniˇcka a ostatn´ı jsou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by vˇsechna nenulov´ a vlastn´ı ˇc´ısla splˇ novala λi < 1, coˇz implikuje λ2i < λi . M´ame 2 tedy 1 = ∑i λi > ∑i λi , coˇz je spor s pˇredpoklady dokazovan´e implikace. Celkem tak m´ame ρ = λi0 ∣ψi0 ⟩⟨ψi0 ∣ = ∣ψi0 ⟩⟨ψi0 ∣ a ρ je tak ˇcist´ y stav. V pˇr´ıpadˇe dvourozmˇern´eho Hilbertova prostoru lze oper´atory hustoty vyj´adˇrit pomoc´ı Pauliho matic. Pauliho matice jsou tˇri 2 × 2 matice tvaru 0 1 σX = ( ), 1 0
σY = ( 2
0 −i ), i 0
σZ = (
1 0 ). 0 −1
(2)
1.1
Evoluce oper´ atoru hustoty
1
´ OPERATOR HUSTOTY
Oper´atory hustoty jsou pak tvaru ρ = 12 (I + τ1 σX + τ2 σY + τ3 σZ ), kde τ⃗ = (τ1 , τ2 , τ3 ) ∈ R3 je vektor, jehoˇz velikost je ∥⃗ τ ∥ ≤ 1, jinak by ρ nebyl pozitivn´ı oper´ator. Pro ∥⃗ τ ∥ = 1 popisuje ρ ˇcist´ y stav.
1.1
Evoluce oper´ atoru hustoty v uzavˇ ren´ em syst´ emu
V´ yˇse jsme uvedli, ˇze se budeme zab´ yvat otevˇren´ ymi syst´emy. Udˇelejme na chv´ıli krok zpˇet a kouknˇeme se, jak se oper´ ator hustoty ρ chov´a v pˇr´ıpadˇe uzavˇren´eho syst´emu. Uvaˇzujme ρ(t) = ∑i λi (t)∣ψi (t)⟩⟨ψi (t)∣ coby funkci ˇcasu, kde jednotliv´e bazick´e vektory ∣ψi (t)⟩ podl´ehaj´ı Schr¨odingerovˇe rovnici d ∣ψi (t)⟩ i = H∣ψi (t)⟩, (3) dt Zderivujeme-li oper´ ator hustoty ρ(t) podle ˇcasu a dosad´ıme-li za vznikl´e v´ yrazy ze Schr¨odingerovy rovnice, dosp´ıv´ ame k rovnici tvaru d ρ(t) = −i [H, ρ(t)] ≡ L(ρ(t)), dt
(4)
kde jsme si definovali zobrazen´ı L ∶ B(H ) → B(H ), jeˇz se naz´ yv´a Liouville˚ uv oper´ ator. Jedn´a se o antihermitovsk´ y line´ arn´ı superoper´ator zachov´avaj´ıc´ı stopu (viz pozdˇeji). Pr´avˇe uvedenou rovnici budeme moci porovnat s evoluˇcn´ı rovnic´ı obecn´eho oper´atoru hustoty, aˇz budeme studovat v´ yvoj otevˇren´ ych syst´em˚ u. ˇ Casov´ y v´ yvoj oper´ atoru hustoty lze explicitnˇe v pˇr´ıpadˇe uzavˇren´eho syst´emu vyj´adˇrit ve tvaru ρ(t) = U (t) ρ(0) U † (t),
(5)
kde U (t) je jednoparametrick´ y syst´em jist´ ych unit´arn´ıch oper´ator˚ u. St´ale plat´ı, ˇze ˇcasov´ ym v´ yvojem pˇrejde ˇcist´ y stav opˇet na ˇcist´ y stav. U otevˇren´ ych syst´em˚ u uˇz v´ yvoj stavu nep˚ ujde popsat pomoc´ı unit´ arn´ıho oper´ atoru t´ımto zp˚ usobem.
1.2
Popis sloˇ zen´ eho syst´ emu
Velmi d˚ uleˇzit´ ym konceptem v kvantov´e teorii je pojem sloˇzen´eho syst´emu. Kaˇzd´emu kvantov´emu syst´emu je pˇridruˇzen Hilbert˚ uv stavov´ y prostor H . V axiomatick´em pˇr´ıstupu kvantov´e teorie se postuluje, ˇze Hilbert˚ uv prostor syst´emu sloˇzen´eho ze syst´em˚ u A a B je roven tenzorov´emu souˇcinu H = HA ⊗ HB Hilbertova prostoru HA syst´emu A a Hilbertova prostoru HB syst´emu B. Mnoˇzina vˇsech omezen´ ych oper´ator˚ u na prostoru sloˇzen´eho syst´emu je pˇritom rovna B(H ) = B(HA ⊗HB ) = B(HA )⊗B(HB ). V´ıme tedy, jak ze dvou syst´em˚ u udˇelat syst´em jeden, jak´ ym postupem ale postupovat v opaˇcn´em smˇeru? Mˇejme oper´ator hustoty ρ popisuj´ıc´ı spoleˇcn´ y stav podsyst´em˚ u A a B. Jak vypad´a stav podsyst´emu A samotn´eho? Kdybychom jako ρA oznaˇcili stav samotn´eho podsyst´emu A, platila by pro libovolnou pozorovatelnou MA p˚ usob´ıc´ı pouze na podsyst´emu A samozˇrejm´a rovnost ⟨MA ⟩ρA = Tr(ρA MA ). Nebot’ pozorovateln´ a MA nijak neovlivˇ nuje podsyst´em B, mˇela by platit i rovnost vztaˇzen´ a k cel´emu syst´emu ⟨MA ⟩ρA = Tr(ρM ), kde ρ je stav cel´eho syst´emu a M je pozorovateln´a MA 3
1.3
Schmidt˚ uv rozklad
1
´ OPERATOR HUSTOTY
ch´apan´a jako oper´ ator na cel´em syst´emu. Dohromady tedy Tr(ρM ) = Tr(ρA MA ). Pokud je celkov´ y stav faktorizovan´eho tvaru ρ = ρA ⊗ρB , je zˇrejmˇe M = MA ⊗I. Rovnost stˇredn´ıch hodnot je pak splnˇena, nebot’ Tr(ρM ) = Tr((ρA ⊗ ρB )(MA ⊗ I)) = Tr(ρA MA ) Tr(ρB ) = Tr(ρA MA ). Existuje i jin´ y tvar vyjma M = MA ⊗ I? Pro vˇsechny ρA a ρB mus´ı b´ yt splnˇeno Tr((ρA ⊗ ρB ) M ) = ˇ adn´ Tr((ρA ⊗ρB ) (MA ⊗I)), to znamen´ a Tr((ρA ⊗ρB ) (M −MA ⊗I)) = 0. Z´ y jin´ y tvar oper´atoru M jiˇz tedy neexistuje. Pro faktorizovan´ y stav syst´emu ρ = ρA ⊗ρB , kde MA je pozorovateln´a na podsyst´emu A, je odpov´ıdaj´ıc´ı pozorovateln´a M p˚ usob´ıc´ı na cel´em syst´emu tvaru M = MA ⊗I. ’ Nebot je mnoˇzina faktorizovan´ ych stav˚ u tot´aln´ı v prostoru oper´ator˚ u, plat´ı z´ıskan´ y v´ ysledek pro vˇsechny stavy ρ. Mus´ı tedy platit Tr(ρA MA ) = Tr(ρ(MA ⊗I)). Rozep´ıˇseme-li si stopu explicitnˇe v ortonorm´aln´ı b´azi {∣i(A) ⟩∣j (B) ⟩}ij , dost´ av´ ame Tr(ρ(MA ⊗ I)) = ∑ij ⟨i(A) ∣⟨j (B) ∣(ρ(MA ⊗ I))∣i(A) ⟩∣j (B) ⟩ = yraz ∑i ⟨i(A) ∣(∑j ⟨j (B) ∣ρ∣j (B) ⟩)MA ∣i(A) ⟩. Kdyˇz si oznaˇc´ıme ρA = ∑j ⟨j (B) ∣ρ∣j (B) ⟩, je posledn´ı v´ (A) (A) roven ∑i ⟨i ∣ρA MA ∣i ⟩ = Tr(ρA MA ), kde nyn´ı jde stopa jiˇz jen pˇres podsyst´em A. Definice 1.3. Vzorec ∑j ⟨j (B) ∣ρ∣j (B) ⟩, kter´ ym jsme v pˇredchoz´ım odstavci zavedli oper´ator ρA , naz´ yv´ ame ˇ c´ asteˇ cn´ a stopa oper´atoru ρ pˇres podsyst´em B (angl. partial trace over subsystem B ) a znaˇc´ıme TrB (ρ). Neboli ρA = ∑⟨j (B) ∣ρ∣j (B) ⟩ = TrB (ρ).
(6)
j
Dobr´a, m´ ame zaveden´ y oper´ ator ρA , kter´ y splˇ nuje poˇzadovanou rovnost stˇredn´ıch hodnot, jak´ y vztah m´ a ale tento oper´ ator ke skuteˇcn´emu syst´emu A? Uk´aˇzeme, ˇze je tento oper´ator urˇcen jednoznaˇcnˇe. K dan´emu podsyst´emu tedy existuje pr´avˇe jeden oper´ator schopn´ y konzistentnˇe popisovat stˇredn´ı hodnoty libovoln´ ych pozorovateln´ ych na tomto podsyst´emu. Pro spor necht’ existuje nˇejak´ y jin´ y oper´ator ρ˜A , pro nˇejˇz Tr(MA ρ˜A ) = Tr(M ρ). Tento oper´ator lze rozloˇzit do b´ aze prostoru B(HA ) tvoˇren´e hermitovsk´ ymi oper´atory {Bi }i . Dost´av´ame tak rozvoj do Fourierov´ ych koeficient˚ u zp˚ usobem ρ˜A = ∑ Bi (Bi , ρ˜A ) = ∑ Bi Tr(Bi ρ˜A ) = ∑ Bi Tr((Bi ⊗ I)ρ) = ∑ Bi Tr(Bi ρA ) = ρA , i
i
i
(7)
i
coˇz je spor. Oper´ ator ρA je tedy urˇcen jednoznaˇcnˇe a m˚ uˇzeme ho interpretovat jako stav podsyst´emu A. Poznamenejme jeˇstˇe d˚ uleˇzitou vˇec, ˇze informace obsaˇzen´a ve stavech jednotliv´ ych podsyst´em˚ u nen´ı schopna v obecn´em pˇr´ıpadˇe reprodukovat stav cel´eho syst´emu. Pokud mezi obˇema podsyst´emy existuj´ı korelace, proveden´ım ˇc´asteˇcn´e stopy tyto korelace z popisu syst´emu vypadnou.
1.3
Schmidt˚ uv rozklad
Pˇri pr´aci se stavy i pˇri d˚ ukazech nejr˚ uznˇejˇs´ıch tvrzen´ı je velmi uˇziteˇcn´e n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı, d´ıky kter´emu lze kaˇzd´ y ˇcist´ y stav vyj´adˇrit v jist´em pˇekn´em tvaru. Tomuto vyj´adˇren´ı se ˇr´ık´ a Schmidt˚ uv rozklad (angl. Schmidt decomposition).
4
1.3
Schmidt˚ uv rozklad
1
´ OPERATOR HUSTOTY
Vˇ eta 1.2. Schmidt˚ uv rozklad. Necht’ ∣ψ⟩ ∈ HA ⊗ HB je ˇcist´y stav. Pak existuje ortonorm´ aln´ı (A) (B) b´ aze {∣ej ⟩}j prostoru HA a ortonorm´ aln´ı b´ aze {∣fj ⟩}j prostoru HB takov´e, ˇze d
∣ψ⟩ = ∑ αj ∣ej
(A)
⟩ ⊗ ∣fj
(B)
⟩,
(8)
j=1
⃗ = (α1 , . . . , αd ) lze nav´ıc vˇzdy volit jako nez´ kde d = min{dim HA , dim HB }. Koeficienty α aporn´ a ˇc´ısla splˇ nuj´ıc´ı rovnost ∥⃗ α∥ = ∥∣ψ⟩∥. D˚ ukaz. Uvaˇzujme stav podsyst´emu A, ρA = TrB (∣ψ⟩⟨ψ∣). Tento lze jistˇe rozloˇzit do orto(A) (A) norm´aln´ı b´ aze vlastn´ıch vektor˚ u, ρA = ∑i αi2 ∣ei ⟩⟨ei ∣. Vlastn´ı ˇc´ısla oper´atoru ρA lze ps´ at ve tvaru kvadr´ atu, nebot’ jsou d´ıky pozitivitˇe oper´atoru nez´aporn´a. D´ale urˇcitˇe m˚ uˇzeme (A) (B) (B) vyj´adˇrit vektor ∣ψ⟩ ve tvaru ∣ψ⟩ = ∑i ∣ei ⟩ ⊗ ∣ϕi ⟩, kde ∣ϕi ⟩ jsou nˇejak´e vhodn´e vek(A) (A) (B) (B) tory z prostoru HB . Pak plat´ı ρA = TrB (∣ψ⟩⟨ψ∣) = TrB (∑ij ∣ei ⟩⟨ej ∣ ⊗ ∣ϕi ⟩⟨ϕj ∣) = ∑ij ∣ei
(A)
⟩⟨ej
v´ yraz na
(A)
∣ Tr(∣ϕi
(B)
⟩⟨ϕj
(B)
∣). Vyuˇzijeme-li vztahu Tr(∣a⟩⟨b∣) = ⟨b∣a⟩, redukuje se posledn´ı
(A) (A) (B) (B) ∑ij ∣ei ⟩⟨ej ∣⟨ϕj ∣ϕi ⟩.
Tento v´ ysledek m˚ uˇzeme porovnat s prvn´ım vyj´adˇren´ım
oper´atoru ρA uveden´ ym v´ yˇse, abychom shrnuli ⟨ϕj ∣ϕi ⟩ = αi2 δij . Vektory {∣ϕi ⟩}i jsou tedy navz´ ajem kolm´e a po vhodn´em pˇreˇsk´alov´an´ı z nich m˚ uˇzeme vytvoˇrit ortonorm´aln´ı (B) (B) (A) (B) b´azi ∣fi ⟩ ∶= α1i ∣ϕi ⟩. Vektor ∣ψ⟩ lze tak ps´at ve tvaru ∣ψ⟩ = ∑i αi ∣ei ⟩ ⊗ ∣fi ⟩, coˇz bylo dok´azati. (B)
(B)
(B)
Definice 1.4. Koeficient˚ um α1 , . . . , αd v rozkladu (8) se ˇr´ık´a Schmidtovy koeficienty. Poˇcet nenulov´ ych Schmidtov´ ych koeficient˚ u ve Schmidtovˇe rozkladu se naz´ yv´a Schmidtovo ˇ c´ıslo ˇci Schmidtova hodnost (angl. Schmidt number ˇci Schmidt rank ). Schmidtovu hodnost stavu ρ budeme oznaˇcovat symbolem rank ρ. Nejvˇetˇs´ım rozd´ılem mezi obecn´ ym rozkladem oper´atoru a jeho Schmidtov´ ym rozkladem je v tom, ˇze ve druh´em jmenovan´em sˇc´ıt´ ame jen pˇres jeden index, ke kaˇzd´emu bazick´emu vektoru prostoru HA pˇr´ısluˇs´ı pr´ avˇe jeden bazick´ y vektor prostoru HB . Ze Schmidtova rozkladu lze vˇsak vyˇc´ıst daleko v´ıce. Napˇr´ıklad vezmeme-li si vektor ∣ψ⟩ ve vyj´adˇren´ı (8), jeho redukovan´e (A) (A) (B) (B) stavy jsou tvar˚ u ρA = ∑i αi2 ∣ei ⟩⟨ei ∣ a ρB = ∑i αi2 ∣fi ⟩⟨fi ∣. Oper´atory hustoty obou podsyst´em˚ u maj´ı tedy stejn´e spektrum! V souvislosti se Schmidtov´ ym rozkladem je uˇziteˇcn´e uv´est n´asleduj´ıc´ı proceduru. Pozn´ amka 1.1. Uvaˇzujme nˇejak´ y syst´em A s oper´atorem hustoty ρA = ∑i αi2 ∣ei ⟩⟨ei ∣ ∈ HA , kter´ y nen´ı obecnˇe ˇcist´ y. Potom ke studovan´emu syst´emu A lze umˇele pˇridat pomocn´ y syst´em B o Hilbertovˇe prostoru HB tak, ˇze existuje ˇcist´ y stav ∣ψ⟩ ∈ HA ⊗HB splˇ nuj´ıc´ı ρA = TrB (∣ψ⟩⟨ψ∣). Jin´ ymi slovy, ke kaˇzd´emu oper´ atoru hustoty ρA z prostoru HA lze naj´ıt ˇcist´ y stav ∣ψ⟩ v prostoru HA ⊗ HB tak, ˇze ρA lze interpretovat jako stav podsyst´emu A, kdy se pˇritom cel´ y syst´em A + B nach´ az´ı v ˇcist´em stavu ∣ψ⟩. Prostoru HB se v angliˇctinˇe ˇr´ık´a ancilla a jeho dimenzi lze poloˇzit rovnou Schmidtovˇe ˇc´ıslu oper´atoru ρA , tj. dim HB = rank ρA . Vyuˇz´ıvaj´ıce postupu pˇri d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety lze zjevnˇe poloˇzit ∣ψ⟩ = ∑i αi ∣ei ⟩∣fi ⟩, kde {∣fi ⟩}i je nˇejak´ a ortonorm´ aln´ı b´ aze prostoru HB . 5
1.4
Klasifikace stav˚ u podle korelac´ı
1
´ OPERATOR HUSTOTY
Pr´avˇe popsan´e matematick´e hˇr´ıˇcce vhodnˇe pˇrid´avaj´ıc´ı pomocn´ y syst´em k p˚ uvodn´ı u ´loze se ˇr´ık´a purifikace ˇci vyˇ ciˇ st’ov´ an´ı (angl. purification). Pro znal´e pˇripom´ın´ame, ˇze pr´avˇe uveden´ a purifikace (stav˚ u) nem´ a nic spoleˇcn´eho s purifikac´ı prov´ az´ an´ı. ˇ e stavy nemohou b´yt korelov´ Pozn´ amka 1.2. Monogamie stav˚ u“: Cist´ any s jin´ym syst´emem. ” Mˇejme sloˇzen´ y syst´em A + B ve stavu ρ ∈ S(HA ⊗ HB ), pˇriˇcemˇz stav podsyst´emu A necht’ je ˇcist´ y, TrB (ρ) = ρA = ∣ψ⟩⟨ψ∣ pro jist´e ∣ψ⟩ ∈ HA . Pak stav tohoto podsyst´emu nevykazuje ˇz´adn´e korelace se stavem syst´emu B. D˚ uvod je n´asleduj´ıc´ı. Vzhledem k pˇredchoz´ı pozn´amce m˚ uˇzeme vˇzdy zav´est pomocn´ y syst´em C a naj´ıt vektor ∣ω⟩ ∈ HA ⊗ HB ⊗ HC tak, ˇze TrC (∣ω⟩⟨ω∣) = ρ. Tento vektor je tedy purifikac´ı stavu ρ, souˇcasnˇe je ale i purifikac´ı stavu ∣ψ⟩. To lze jen tak, ˇze ∣ω⟩ = ∣ψ⟩ ⊗ ∣ϕBC ⟩ pro jist´e ∣ϕBC ⟩ ∈ HB ⊗ HC . Celkem tedy ρ = TrC (∣ω⟩⟨ω∣) = ∣ψ⟩⟨ψ∣⊗TrC (∣ϕBC ⟩⟨ϕBC ∣). Vid´ıme tedy explicitnˇe, ˇze stav sloˇzen´eho syst´emu A + B je ve faktorizovan´em tvaru, jenˇz nepˇripouˇst´ı ˇz´adn´e korelace mezi obˇema podsyst´emy.
1.4
Klasifikace stav˚ u podle korelac´ı
Uvaˇzujme dva Hilbertovy prostory H1 a H2 a mnoˇzinu stav˚ u definovan´ ych na jejich tenzorov´em souˇcinu, S(H1 ⊗ H2 ). Tuto mnoˇzinu lze rozdˇelit na podmnoˇziny tvoˇren´e vˇzdy stavy, jejichˇz tvar je podobn´ y co do jejich pˇr´ıpravy a kvantov´ ych vlastnost´ı. Z´akladn´ı dˇelen´ı na ˇcist´e a sm´ıˇsen´e stavy jsme jiˇz nast´ınili v pˇredchoz´ıch sekc´ıch, n´asleduj´ıc´ı seznam uv´ad´ı dalˇs´ı podpˇr´ıpady. • Sm´ıˇ sen´ e stavy – Odpov´ıdaj´ıc´ı oper´ator hustoty nen´ı projektor. – Faktorizovan´ e stavy – Stav ρ je faktorizovan´ y, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorov´eho souˇcinu ρ = ρ1 ⊗ ρ2 , kde ρi ∈ S(Hi ). Tyto stavy zˇrejmˇe tvoˇr´ı podmnoˇzinu separabiln´ıch stav˚ u. – Separabiln´ı stavy – Stav ρ je separabiln´ı, pokud lze zapsat ve tvaru sumy fakto(i) (i) (i) (i) rizovan´ ych stav˚ u ρ = ∑i αi ρ1 ⊗ ρ2 , kde ρ1 ∈ S(H1 ), ρ2 ∈ S(H2 ) a {αi }i tvoˇr´ı pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı, tj. αi > 0 a ∑i αi = 1. Takov´ ymto stav˚ um se tak´e ˇr´ık´ a statistick´e smˇesi ˇci klasicky korelovan´e stavy. Korelace v mˇeˇren´ıch na takov´ ychto stavech lze totiˇz popsat ˇcistˇe klasicky, ˇz´adn´e kvantov´e efekty nen´ı tˇreba uvaˇzovat. V tom se tato rodina stav˚ u z´asadnˇe liˇs´ı od t´e n´asleduj´ıc´ı tvoˇren´e prov´azan´ ymi stavy. Obecn´ y tvar separabiln´ıho stavu se zd´a b´ yt dost obecn´ y. Naprosto libovoln´ y oper´ ator lze rozloˇzit do tvaru A = ∑i αi Ei ⊗ Fi , kde {Ei }i je ortonorm´aln´ı b´aze v B(H1 ) a podobnˇe {Fi }i je ortonorm´aln´ı b´aze v B(H2 ). Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı rozd´ıl tohoto obecn´eho pˇr´ıpadu od pˇr´ıpadu separabiln´ıch stav˚ u je v tom, ˇze nyn´ı oper´atory Ei a Fi samotn´e musej´ı b´ yt oper´atory hustoty. – Prov´ azan´ e stavy – Vˇsechny stavy, kter´e nejsou separabiln´ı, se naz´ yvaj´ı prov´azan´e. Tyto stavy vykazuj´ı ˇcistˇe kvantov´e korelace, kter´e lze vyuˇz´ıt pˇri kvantov´em poˇc´ıt´an´ı. Kvantov´e korelace se silnˇe vyuˇz´ıvaj´ı napˇr´ıklad v pˇr´ıpadˇe kvantov´e teleportace. ˇ e stavy – Odpov´ıdaj´ıc´ı oper´ator hustoty je projektor. • Cist´
6
1.4
Klasifikace stav˚ u podle korelac´ı
1
´ OPERATOR HUSTOTY
ˇ y stav ∣ψ⟩ je neprov´azan´ – Neprov´ azan´ e stavy – Cist´ y, pokud lze zapsat ve tvaru ∣ψ⟩ = ∣ψ1 ⟩ ⊗ ∣ψ2 ⟩. Vid´ıme, ˇze se jedn´a o analogii faktorizovan´ ych stav˚ u ve sm´ıˇsen´em pˇr´ıpadˇe. Na druhou stranu, vektor, kter´ y bychom vyj´adˇrili analogicky pˇr´ıpadu separabiln´ıch sm´ıˇsen´ ych stav˚ u, jiˇz nebude ˇcist´ y. Zb´ yvaj´ı n´am tak jiˇz pouze prov´azan´e stavy. ˇ y stav ∣ψ⟩ je prov´azan´ – Prov´ azan´ e stavy – Cist´ y, pokud nen´ı neprov´azan´ y. Obecnˇe je tedy tvaru ∣ψ⟩ = ∑i αi ∣ei ⟩ ⊗ ∣fi ⟩, viz (8). Stav ∣ψ⟩ je pˇritom prov´azan´ y pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´ a alespoˇ n dva nenulov´e koeficienty αi , tj. rank ∣ψ⟩ ≥ 2. Z mnoˇziny prov´ azan´ ych stav˚ u se vydˇeluj´ı maxim´ alnˇ e prov´ azan´ e stavy ∣Ω⟩. Jedn´a se o stavy, pro nˇeˇz jsou stavy podsyst´em˚ u maxim´ alnˇe sm´ıˇsen´e. Jin´ ymi slovy, ˇcist´ y stav ∣Ω⟩ je maxim´ alnˇe prov´azan´ y pr´avˇe tehdy, kdyˇz ρ1 ≡ Tr2 (∣Ω⟩⟨Ω∣) = d11 I1 a ρ2 ≡ Tr1 (∣Ω⟩⟨Ω∣) = d12 I2 . Ze Schmidtova rozkladu plyne d1 = d2 = d, maxim´alnˇe prov´ azan´ y stav je tedy tvaru ∣Ω⟩ = ∑i √1 ∣ei ⟩ ⊗ ∣fi ⟩. d
7
