Validace dat v chemickém průmyslu a energetice

Zpráva CPT-204-05 Datum vydání: 20. 12. 2005 Tato zpráva má 132 stran.

Validace dat v chemickém průmyslu a energetice Bilance hmoty a energie s vyrovnáním dat programem RECON

Autoři:

František Madron Vladimír Veverka Miloslav Hošťálek

Ústí nad Labem

prosinec 2005

___________________________________________________________________ ChemPlant Technology s.r.o. Hrnčířská 4 400 01 Ústí nad Labem

Tel: 475 220 465 Fax/tel: 475 220 662 E-mail: [email protected] Web Site: www.chemplant.cz

Tato příručka je součástí dokumentace programu RECON. Lze ji volně šířit za předpokladu, že nebude narušena její celistvost, tzn., že nebude zkracována, doplňována nebo jinak upravována.

i

OBSAH 1

ÚVOD

1

2

MATEMATICKÉ MODELY

3

2.1

Základní pojmy

3

2.2

Bilanční rovnice

4

2.3

Bilance hmoty a látek

4

2.4

Bilance energie

7

2.5

Fázové rovnováhy

9

2.6

Entalpie proudů

10

2.7

Bilance hybnosti

11

2.8

Uživatelem definované veličiny a rovnice

12

2.9

Model průmyslového systému

13

2.10

3

Chyby modelu

16

STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ NAMĚŘENÝCH DAT

18

3.1

Chyby měření

18

3.2

Klasifikace veličin

19

3.3

Stupeň redundance

21

3.4

Vyrovnávání dat

21

3.5

Výhody vyrovnaných dat

24

3.6

Detekce hrubých chyb

26

3.7

Identifikace a eliminace hrubých chyb

28

3.8

Účinnost detekce hrubých chyb měření

30

3.9

Šíření chyb při zpracování dat a optimalizace měřicího systému

32

3.10

Parametrická citlivost

35

3.11

Validace dat při monitorování výrobních procesů

36

3.12

Integrace DR do výrobních informačních systémů

40

4

PŘÍKLADY HMOTOVÉ A LÁTKOVÉ BILANCE ii

42

4.1

Hmotová bilance v ustáleném stavu bez redundance

43

4.2

Hmotová bilance v ustáleném stavu s redundancí

47

4.3

Hmotová bilance v ustáleném stavu s nepozorovatelnými veličinami

50

4.4

Hmotová bilance v ustáleném stavu – neřešitelný systém

53

4.5

Látková bilance dělení LPG

55

4.6

Látková bilance chlorace metanu

59

5

MODELY JEDNOTKOVÝCH TEPELNÝCH OPERACÍ

64

5.1

Směšovač tepelných proudů

66

5.2

Jednoduchý výměník tepla

68

5.3

Obecný výměník tepla

71

5.4

Generátor páry

74

5.5

Kondenzace páry

77

5.6

Expandér

80

5.7

Škrcení páry

82

5.8

Separátor vlhkosti

85

5.9

Vstup/výstup energie (čerpadlo)

87

5.10

Turbínový dílek

89

5.11

Fázová rovnováha voda – vodní pára

93

5.12

Uživatelem definované veličiny a rovnice

96

5.13

Dělič proudu

98

PŘÍPADOVÁ STUDIE 1: STANOVENÍ TEPELNÉHO VÝKONU PAROGENERÁTORU

99

Šíření chyb měření při zpracování dat

100

Strategie měření

101

PŘÍPADOVÁ STUDIE 2: STANOVENÍ TEPELNÉHO VÝKONU JADERNÉHO REAKTORU

103

Hlavní výsledky

104

Další informace

106

Detekce a identifikace hrubých chyb

107

iii

LITERATURA

109

DODATEK 1: ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

110

D1.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

110

D1.2 Rozdělení 2

111

DODATEK 2: CHYBY MĚŘENÍ

113

D2.1 Základní pojmy a klasifikace chyb

113

D2.2 Korelované náhodné chyby

115

D2.3 Systematické chyby

118

D2.4 Hrubé chyby

119

D2.5 Přesnost a správnost měření

119

DODATEK 3: TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

121

DODATEK 4: ÚČINNOST DETEKCE HRUBÝCH CHYB

124

DODATEK 5: BILANCE HYBNOSTI V POTRUBÍ S VODOU A PÁROU

126

DODATEK 6: KLASIFIKACE VELIČIN

128

DODATEK 7: O PROGRAMU RECON

131

iv

1 Úvod Informace o průmyslových systémech získáváme pomocí měření fyzikálních veličin (průtoky, teploty, tlaky apod.). Samotná měření bývají v praxi ovlivněna chybami měření, které většinou dělíme na náhodné, systematické a hrubé. Tyto chyby často nepříznivě ovlivňují jak vlastní výsledky měření, tak i další z nich odvozené veličiny. Validací dat pak rozumíme jejich zkvalitnění, kterého se dosáhne zejména odstraněním hrubých chyb, kompenzací systematických chyb a minimalizací vlivu náhodných chyb. Nejčastěji se při validaci dat využívá to, že data by měla vyhovovat exaktně platným matematickým modelům (přírodním zákonům). Typickými představiteli jsou zde bilanční modely pro hmotu a energii (zákony zachování hmoty a energie) platící za velmi obecných podmínek. Základní metodou při validaci dat je jejich vyrovnání tak, aby data byla v souladu s přírodními zákony. Běžný výraz pro vyrovnávání dat je dnes anglický termín Data Reconciliation nebo jeho zkratka DR. Metodika vyrovnání naměřených dat na základě exaktně platných modelů není nová. Byla vyvinuta před více než 200 léty a nejprve byla využívána v exaktních vědách, jako je astronomie nebo geodézie. První aplikace v průmyslu začaly v šedesátých letech 20. století (zpracování ropy) a rychle se rozšířily do dalších oblastí průmyslu včetně průmyslové energetiky. První aplikace z jaderné energetiky jsou z devadesátých let 20. století. Od dob prvních aplikací se DR postupně stalo standardní metodou v řadě oblastí, které mají přímý vliv na ekonomii a bezpečnost výroby, jako jsou například:     

monitoring účinnosti technologických procesů (měrné spotřeby energie apod.) integrace provozních měření do podnikového účetnictví údržba měření a regulace. pokročilé metody řízení (Advanced Process Control) získání kvalitních dat pro garanční testy nebo přípravy rekonstrukcí.

Cílem předkládané příručky je shromáždit nejdůležitější prakticky použitelné metody pro validaci dat v energetice. Kromě hmotových a energetických bilancí, které tvoří jádro matematických modelů, budou krátce uvedeny i bilance hybnosti použitelné při proudění tekutin v potrubních systémech a fázová rovnováha v systému voda – vodní pára. Validace dat stojí (a padá) se třemi předpoklady:   

existencí exaktně platného matematického modelu mezi měřenými veličinami, nejčastěji ve tvaru bilančních rovnic hmoty a energie modelu chyb měření vyjádřeného nejčastěji formou nejistot (maximálních chyb) naměřených hodnot vlastních dat, která musí být svým způsobem nadbytečná (je možné je navzájem konfrontovat na základě matematického modelu).

Příručka má čtyři části. První část je věnována problematice matematických modelů se zaměřením na modely nacházející uplatnění v energetice. Druhá část se zabývá statistickým zpracováním naměřených dat, na němž je vlastní validace vždy založena. Třetí, prakticky orientovaná část, obsahuje příklady jednotkových operací

1

typických pro energetiku, z nichž se pak skládají modely složitějších systémů. Ve čtvrté části jsou pak dvě rozsáhlejší případové studie převzaté z praxe. Teoretická část příručky předpokládá určité minimální znalosti o matematickém modelování a statistickém zpracování naměřených dat. Pro usnadnění obsahuje několik dodatků, které by měly čtenáři pomoci osvěžit si již dříve nabyté vědomosti. Tyto dodatky však nejsou určeny k prvotnímu studiu. Validace dat v praxi není ani v jednoduchých případech použitelná bez výpočetní techniky. Řada jednoduchých příkladů bude řešena pomocí bilančního programu RECON. Čtenář si bude moci jednotlivé příklady popsané v příručce sám nakonfigurovat a vyzkoušet. Příručka je též doplněna o soubory s vyřešenými příklady. Předkládaný dokument si klade za cíl čtenáři na praktických příkladech ukázat        

jak snadné a rychlé je vytvoření bilančních schémat založených na exaktních termodynamických modelech co je to validace dat (zpřesnění, ochranu dat před hrubými chybami) jak dopočítat přímo neměřené veličiny možnosti vyrovnávání dat při monitorování průmyslových procesů využití vyrovnávání dat při údržbě měřicích systémů jak optimalizovat existující systém měření jak automatizovat celý proces validace a vytvořit tak datový sklad validovaných dat využitelný pro další aplikace jak vytvořit systém, který na základě běžných měření umožní získávat on-line informace, které byly dosud výsledkem pracných a nákladných provozních měřeních a testů.

2

2 Matematické modely Matematické modely lze klasifikovat podle více hledisek. Jedním z nich je to, jak věrně model popisuje realitu. Rozeznáváme pak modely přibližné (aproximativní) a modely přesné (exaktní). U těch posledních pak někdy hovoříme o přírodních zákonech. Pokud dojde k rozporu mezi exaktně platným modelem a naměřenými daty, chyby je třeba hledat v datech nebo v podmínkách, za nichž byly exaktně platné modely aplikovány. Základem pro validaci dat je konfrontace dat s exaktně platnými matematickými modely. Ve většině případů se jedná o bilance hmoty, energie a případně i dalších veličin. V energetice mohou být též využity i modely fázové rovnováhy mezi vodou a vodní párou.

2.1 Základní pojmy Technologické schéma výrobního procesu, v němž proudí materiál a transformuje se energie, lze podle stupně podrobnosti rozčlenit na jednotky (zvané uzly) spojené proudy hmoty a energie. Typickými uzly jsou aparáty nebo jejich části. Pro potřeby bilancování jako uzly často zavádíme též spojení nebo rozdělení potrubních větví. Základem většiny modelů je bilance jednoho uzlu, kterou můžeme znázornit na následujícím obrázku.

hmotové proudy .....

energetické proudy

Bilanční uzel

. . .

. . .

.....

Obr. 2.1-1: Proudy spojené s jedním uzlem Hmotové proudy není jistě třeba blíže vysvětlovat. Typickými představiteli v energetických provozech jsou např. napájecí voda nebo pára. Ve drtivé většině případů se jedná o chemické individuum H2O nacházející se v různých skupenstvích. Energetické proudy představují čistý přenos energie bez hmotného nosiče. Představiteli jsou zejména     

ztráty tepla do okolí sáláním a vedením tepelné toky ve výměnících tepla (mezi trubkovou a plášťovou stranou) práce na hřídeli konaná v turbínách práce dodávaná do čerpadel motory elektrický výkon. 3

Zatímco při hmotové bilanci lze průtoky v řadě případů přímo měřit průtokoměry, u toků energie je to spíše výjimkou. Je zde tedy rozdíl mezi tokem energie spojeným s reálným hmotovým proudem a mezi tokem energie u čistě energetického proudu. Dále se budeme zabývat bilancí jednoho uzlu. Spojení více uzlů do bilančního schématu je věnován oddíl 2.9.

2.2 Bilanční rovnice Pro každý uzel je možné zapsat bilanční rovnice pro hmotu, energii i pro další bilancované veličiny. Tato rovnice obecně zní součet vstupů + zdroj = součet výstupů + úbytek + akumulace

(2.2-1)

Akumulací rozumíme nárůst množství bilancované veličiny v uzlu (může být i záporný) – uvažujme např. změny množství hmoty v zásobníku. Zdroj nebo úbytek bilancované veličiny uvnitř systému může být způsoben například vznikem nebo zánikem chemických komponent v důsledku chemických reakcí. Všimněme si, že v této koncepci za úbytek nepovažujeme ztrátu bilancované veličiny do okolí, která by měla být representována proudem směřujícím z uzlu do okolí. U veličin, pro něž platí zákon o jejich zachování (zejména hmota a energie), jsou zdroj i úbytek nulové. U procesů v ustáleném (stacionárním) stavu předpokládáme, že je akumulace nulová (resp. zanedbatelná). Bilanční rovnice pro hmotu a energii má pak pro stacionární proces jednoduchý tvar součet vstupů = součet výstupů

(2.2-2)

Zatímco u hmotové bilance sčítáme průtoky pouze hmotových proudů, u energetické bilance sčítáme energii všech proudů. Pokud proces považujeme (aspoň v hrubém časovém měřítku) za ustálený, v uzlu nedochází k akumulaci uvažovaných veličin. Bilance pak vyjadřujeme v množstvích za jednotku času, tj. průtocích (např. kg/s pro hmotnost, J/s = W pro energii). Tyto průtoky jsou pak vlastně středními hodnotami okamžitých průtoků ve zvoleném intervalu (např. 1 h). Za předpokladu, že nedochází k významným fluktuacím, lze pak i parametry proudů (jako teploty a tlaky) brát jako průměrné hodnoty.

2.3 Bilance hmoty a látek Hmotová bilance je zřejmě nejznámějším typem bilance. Je zvláštním případem tzv. jednosložkové bilance, kdy u proudů ignorujeme jejich chemické složení a zajímá nás pouze celková hmota proudu. Pokud v proudu rozeznáváme dvě nebo více látek (komponent), můžeme je bilancovat separátně a hovoříme pak o vícesložkové bilanci.

4

2.3.1 Hmotová bilance Bilance hmoty pro daný uzel ve stacionárním stavu je jednoduchá:

m



i

i , in

m

(2.3-1)

i

i , out

tedy součet vstupních průtoků (i, in) se rovná součtu vystupujících průtoků (i, out); mi je hodnota průtoku v proudu i. 2.3.2 Látková bilance Nejprve uvažujme případ, že platí zachování jednotlivých látek v bilančním uzlu. Pokud je v systému K chemických látek (komponent), platí pro každý uzel ve stacionárním stavu K bilančních rovnic

m

ik

i , in



m

ik

, k = 1,2,…,K

(2.3-2)

i , out

kde mik je hmotový tok k-té látky v i-tém proudu spojeném s uzlem. V praxi bývají látkové toky mik vyjádřené pomocí celkového toku mi a hmotového zlomku k-té látky v i-tém proudu xik . mik = mi xik .

(2.3-3)

Pokud bilancujeme všechny látky přítomné ve směsi, mezi hmotovými zlomky v každém proudu musí dále platit tzv. normalizační rovnice

x k

ik

= 1

. i = 1, 2, …,I

(2.3-4)

2.3.3 Látková bilance s chemickými reakcemi V případě přítomnosti chemických reakcí již neplatí zachování jednotlivých látek. Vícesložková bilance uzlu v stacionárním stavu má pak tvar součet vstupů + zdroj = součet výstupů + úbytek

(2.3-5)

Pokud přijmeme dohodu, že úbytek je vlastně zdroj menší než nula, rovnice (2.3-5) se dále zjednoduší. součet vstupů + zdroj = součet výstupů

(2.3-6)

5

Nyní předpokládejme, že v bilančním uzlu (reaktoru) probíhá R chemických reakcí. Stechiometrii těchto reakcí můžeme vyjádřit pomocí matice stechiometrických koeficientů B, jejíž prvky Brk představují stechiometrické koeficienty k-té látky v r-té rovnici (dohodou je stanoveno, že vstupní látky reakce mají stechiometrické koeficienty kladné, produkty pak záporné).

 k

Brk Sk = 0

, r = 1,…,R

(2.3-7)

kde Sk je k-tá látka. Hodnoty stechiometrických koeficientů závisí na tom, v jakých jednotkách bilancujeme. V chemii je běžné bilancovat látkové množství, např. v kilomolech (kmol). V technické praxi je běžnější bilance hmotového množství např. v kilogramech. V tomto případě jsou stechiometrické koeficienty dány součinem látkových stechiometrických koeficientů a molekulové hmotnosti příslušných látek.

Příklad 2.3-1: Chlorace metanu V reaktoru probíhá chlorace metanu popsaná následujícími stechiometrickými rovnicemi:

CH4 + Cl2 = CH3Cl + HCl

(2.3-8)

CH3Cl + Cl2 = CH2Cl2 + HCl

V systému se vyskytuje 5 látek: CH4(1), CL2(2), CH3Cl(3), CH2Cl2(4) a HCL(5), Soustavu stechiometrických rovnic (2.3-8) pak můžeme vyjádřit maticí stechiometrických koeficientů

Č.látky 

B

1

2

3

4

5

Č. reakce

1

1

-1

0

-1

 1

0

1

1

-1

-1

2

=

Při hmotovém vyjádření je matice stechiometrických koeficientů (zaokrouhleno na jednotky)

6

B

16.0

70.9

-50.5 0

-36.5

1

0

70.9

50.5

-84.9 -36.5

2

= 

Zdroj pro k-tou látku v rovnici (2.3-6) pak můžeme vyjádřit vztahem

zk = -



Brk xr

,

k = 1, 2, …, K

(2.3-9)

r

kde xr je tzv. rozsah r-té chemické reakce, který udává, kolikrát v určitém časovém intervalu reakce v reaktoru proběhla. Příklad 2.3-2: Chlorace metanu – pokračování Příkladu 2.3-2. Například pro CH4 (látka č. 1) a CH3Cl (látka č. 3) mají rovnice (2.3-9) v molárních jednotkách tvar

z1 = - x1 z3 = x1 – x2

(2.3-10) ,

(2.3-11)

neboť CH4 je přítomen pouze v první rovnici s koeficientem 1 a CH3Cl je v první rovnici s koeficientem 1 a ve druhé rovnici s koeficientem –1. Pokud tedy proběhne první rovnice jednou (s rozsahem 1), spotřebuje se 1 jednotka metanu (např. kilomol), zatímco pokud proběhnou s rozsahem jedna obě reakce, množství CH3Cl se nezmění (vznik v první reakci je stejný, jako spotřeba v reakci druhé) 

2.4 Bilance energie Úvodem připomeňme, že proudy rozeznáváme hmotové a energetické. Energie patřící k hmotovým proudům sestává z více členů. Běžně vystačíme s následujícímu druhy energie hmotového proudu. E = U + PV + Ekin + Epot kde

(2.4-1)

U

je vnitřní energie

PV

tlaková energie

Ekin

kinetická energie

Epot

potenciální energie (v gravitačním poli).

Součet vnitřní a tlakové energie je další stavová veličina entalpie označovaná dále jako H

7

H = U + PV,

(2.4-2)

která v rovnici (2.4-1) většinou nahrazuje první dva členy pravé strany. U hmotových proudů je výhodné pracovat s měrnými hodnotami energie vztaženými na jednotku hmoty proudu. Tak např. celkovou entalpii proudu můžeme vyjádřit vztahem Hi = mihi

(2.4-3)

kde hi je měrná entalpie vztažená na jednotku hmoty. Podobně kinetickou energii můžeme vyjádřit vztahem Ekin = m

1 2

v2

(2.4-4)

Další druhy energie (například energii povrchovou mající určitý význam u nepatrných kuliček vody přítomných ve vlhké páře) budeme dále považovat za zanedbatelné. Význam jednotlivých členů v bilanci je třeba posuzovat případ od případu na základě konkrétních podmínek (tlaku, teploty, rychlosti proudu a velikosti systému). Poznámka: V literatuře zabývající se technickou termodynamikou se uvádí, že kinetickou energii lze zanedbat při rychlostech do 40 m/s. Pro tuto rychlost je jednotková kinetická energie 800 J/kg, což představuje například cca 0.035 % z výparného tepla vody za normálního tlaku. Faktem je, že v programu RECON lze zavést do bilance kinetickou energii velmi snadno. Uživatel vloží pouze ekvivalentní průměr průřezu, kterým voda nebo vodní pára proudí

Kromě hmotových proudů se v bilanci uplatní i čistě energetické proudy zmíněné již dříve. Pro tepelné toky se běžně používá písmeno Q, pro mechanickou práci písmeno W. Bilance energie pro daný uzel ve stacionárním stavu pak obecně zní:

E i , in

i

+

Q j , in

j

+

W k , in

k

=

E

i , out

i

+

Q

j , out

j

+

W

k

k , out

Příklad 2.4-1: Hmotová a energetická bilance dílku turbíny Uvažujme turbínový dílek znázorněný na následujícím obrázku.

8

(2.4-5)

W m1

m2

m3

Obr. 2.4-1: Turbínový dílek Vstupuje do něj pára (proud č.1), která koná práci (proud W) a dále postupuje do dalšího dílku (proud č. 2) a částečně je odebírána (proud č. 3). Bilance hmotnosti v ustáleném stavu má tvar m1 = m2 + m3

(2.4-6)

kde mi jsou průtoky. Pokud např. u bilance energie zanedbáme kinetickou a potenciální energii a tepelné ztráty do okolí, bilance energie má tvar

m1h1 = m2h2 + m3h3 + W

Kde

(2.4-7)

hi jsou měrné entalpie proudů W je výkon přenášený na hřídel turbíny

Sestavování bilančních modelů „ručně“ je značně pracné a uživatel by se přitom snadno dopustil řady chyb. Pro využití bilancí v praxi byly proto vytvořeny bilanční programy, které tuto činnost usnadňují. Jedním z takových programů je RECON, který umožňuje sestavit bilanční modely i složitých systémů relativně snadno v grafickém editoru.

2.5 Fázové rovnováhy Dalším typem exaktně platných modelů, které lze využít při validaci dat, jsou fázové rovnováhy. V praxi má význam zejména rovnováha mezi kapalnou vodou a párou na linii nasycení. Tuto rovnováhu lze vyjádřit funkcí závislosti rovnovážného tlaku páry P* na teplotě. 9

P* = P (T )

(2.5-1)

Situací, kdy lze rovnováhu s dobrým přiblížením předpokládat, je více, např.    

výroba páry v parogenerátoru transport mokré páry v potrubí uvolňování přehřáté kapaliny na nižší tlak (expandéry) sytiče páry.

Pokud je v takovýchto případech měřen současně tlak i teplota v jednom místě, lze tato měření vyrovnávat na základě rovnice fázové rovnováhy.

2.6 Entalpie proudů Zásadní význam pro modely v energetice má znalost entalpie proudů, která vystupuje jako hlavní člen v energetických bilancích. Jelikož se jedná o veličinu, kterou nelze v praxi přímo měřit, můžeme mluvit o jejím modelování, které představuje významnou část technické termodynamiky. Musíme se zde tedy spoléhat na výsledky prací, které vykonaly generace před námi. Samozřejmě se také musíme spoléhat na program RECON, který má uvnitř tyto modely naprogramované. RECON obsahuje v podstatě tři modely pro výpočet entalpie 1. dobře známou databázi vlastností vody a vodní páry IAPWS IF-97, která dnes představuje celosvětový standard 2. Berghoffův model pro výpočet entalpií ropy a jejích frakcí 3. obecný polynomiální model pro entalpii Poslední dva modely musí uživatel nakonfigurovat (vložit vlastní hodnoty parametrů těchto modelů) Pro výpočty v energetice je podstatná první varianta. Pro výpočet entalpie RECON používá celkem 5 funkcí. Kromě stavových veličin T (teplota) a P (tlak) zde ještě (u systémů, kde je v rovnováze voda a pára) vystupuje tzv. vlhkost, tj. procentický hmotový zlomek vody ve směsi s párou X. Hodnota X = 0 znamená suchou páru a hodnota X = 100 znamená vodu. 1. H2O(P,X) – entalpie rovnovážné parovodní směsi o tlaku P a vlhkosti X 2. H2O(T,P) – entalpie vody nebo vodní páry definované teplotou a tlakem. Program sám zjistí, zda se jedná o kapalinu nebo páru 3. H2O(T,X) - entalpie rovnovážné parovodní směsi o teplotě T a vlhkosti X 4. H2OL(T,P) – entalpie kapalné vody definované teplotou a tlakem. Pokud teplota a tlak neodpovídají kapalné fázi, jsou zvoleny nejbližší hodnoty teploty a tlaku odpovídající kapalné fázi 5. H2OV(T,P) - entalpie vodní páry definované teplotou a tlakem. Pokud teplota a tlak neodpovídají parní fázi, jsou zvoleny nejbližší hodnoty teploty a tlaku odpovídající parní fázi.

10

Poslední dvě varianty volíme, když jsme si jisti, že se jedná o danou fázi a stav je definován teplotou a tlakem. Může se totiž stát, že v důsledku chyb měření teploty nebo tlaku, případně během výpočtu, výpočet „sklouzne“ do stavu, kterému odpovídá nesprávná fáze. Toto by pak způsobilo velkou skokovou změnu entalpie a vlastnímu výpočtu by to mohlo přivodit značné problémy. V takovýchto případech funkce č. 4 a 5 nahrazují funkci č. 2. Závěrem k tomuto oddílu se ještě zmíníme o jedné anomálii v systému voda – vodní pára. Na obrázku 2.6-1 je tzv. p-i diagram pro systém voda – vodní pára, což je závislost tlaku vodní páry na její entalpii.

X=100

75

50

25

0

Obr. 2.6-1: p-i diagram Podrobnosti o tomto diagramu najde čtenář v učebnicích technické termodynamiky, např. [6] (obdobný diagram by bylo možné sestavit i pro teplotu). Na diagramu jsou znázorněny též čáry konstantní teploty T a vlhkosti páry X (X = 0 znamená suchou páru, X = 100 znamená vodu na bodu varu). Na diagramu jsou označeny dva významné body. K představuje dobře známý kritický bod. M představuje stav, kdy suchá pára má v závislosti na tlaku (i na teplotě) maximální entalpii. Tento bod je charakterizován tlakem cca 3.0 MPa, resp. 234 oC. Důsledkem toho je, že v okolí tohoto bodu entalpie nasycené páry není jednoznačnou funkcí tlaku, resp. teploty a závislost entalpie na stavových proměnných je značně plochá (jak si může čtenář ověřit v tabulkách vlastností páry). Tento fakt má význam při bilančních výpočtech, jak bude ukázáno dále.

2.7 Bilance hybnosti Hybnost je ve fyzice definována jako součin hmoty a vektoru její rychlosti. Při řešení proudění tekutin v potrubí se pod bilancí hybnosti rozumí matematický model toho, jak spolu souvisí kinetická, tlaková a potenciální energie a jak se tyto energie v důsledku tření mění na teplo. Stručný popis tohoto modelu najde čtenář v Dodatku 5 a případně i ve specializovaných monografiích. V praxi je pro nás zajímavý případ, kdy dopravujeme tekutinu potrubím konstantního průřezu mezi dvěma body, charakterizovanými tlakem a výškou. Přestože model zachování hybnosti popsaný v Dodatku 5 platí za dodržení učiněných předpokladů

11

exaktně, obsahuje empirický parametr – tzv. drsnost potrubí. Drsnost musí být v praxi zjištěna na základě reálného chování uvažovaného systému. Model hybnosti pro tok potrubím generuje jednu rovnici, která je právě postačující pro zjištění drsnosti. Nabízí se pak tuto drsnost dále používat jako konstantu modelu. Otázkou je, zda lze považovat drsnost za konstantní (uvažujme korozi, zanášení potrubí apod.). V tomto případě již nemá model zachování hybnosti absolutní platnost, může však být použit pro detekci změn, které časem nastávají v každém systému. Oprávněnost využití bilance hybnosti při validaci dat je diskutabilní a vyžaduje vždy podrobný rozbor.

2.8 Uživatelem definované veličiny a rovnice Při práci s programem RECON ve většině případů vystačíme s definicí problému v grafickém prostředí. Zde lze definovat kromě graficky zobrazených uzlů a proudů též další veličiny:    

teploty tlaky vlhkosti drsnosti potrubí

Všechny tyto veličiny mohou vystupovat jako měřené (zadané), neměřené (s možností je dopočítat z modelu) nebo fixní. Pro tyto veličiny také RECON automaticky vytváří soustavu rovnic matematického modelu. V praxi však vzniká potřeba tyto možnosti obohatit o uživatelem definované veličiny a rovnice. U veličin (v RECONu nazývaných pomocné veličiny - auxiliary variables) se jedná nejčastěji například o      

měrné spotřeby účinnosti procesů fázové rovnováhy měřené veličiny kompenzované na stavové podmínky dělicí poměry proudů parametry složitějších matematických modelů.

Vzhledem k jejich různorodosti by nebylo efektivní definovat tyto veličiny standardním způsobem, tzn. jako další skupiny. Existuje zde proto obecná skupina veličin, které opět mohou být libovolného typu (měřené, neměřené, nebo fixní). Podstatné pro tyto veličiny je to, že nejsou přítomny v automaticky generovaných rovnicích. Mohou hrát proto roli pouze v uživatelských rovnicích. Uživatelské rovnice dávají uživateli možnost upravit si model podle svých potřeb. Při vytváření uživatelských rovnic musí být vždy zaručeno, že nové rovnice zavedené uživatelem jsou „zdravé“ a že nepříznivě neovlivní výsledky. Každá rovnice při DR totiž vytváří vazbu mezi proměnnými a pokud je rovnice špatná, může nepříznivě ovlivnit kvalitu výsledků. Motivy při zavádění uživatelských rovnic mohou být různé. Oprávněné jsou ty případy, kdy grafický editor v nějakém specielním případě neumožňuje model vytvořit, i když je tento model exaktně platný. Příkladem může být model fázové 12

rovnováhy probíraný v předchozím oddílu, který lze vytvořit pouze v editoru uživatelských rovnic. Dalším oprávněným případem je zavádění rovnic definujících pomocné neměřené veličiny. Jestliže máme např. v systému více parogenerátorů, je užitečné vytvořit novou proměnnou, která je součtem tepelných výkonů všech parogenerátorů. A pro definici této proměnné je třeba právě jedna rovnice. Z hlediska stupně redundance (viz oddíl 3.3) se nic nemění, neboť na jednu novou neznámou přibyla jedna nová rovnice. Další případy však již nemusí být tak jasné. Obecně lze doporučit, aby v problému nebyly nepozorovatelné veličiny (viz oddíl 3.2). Tento požadavek lze řešit právě doplněním modelu o uživatelem definované rovnice. Tyto rovnice mohou být ovšem různé kvality, od rovnic zcela oprávněných, až po ty, které by bylo možné zařadit do „zbožných přání“ autora. Rozhodujícím kritériem by přitom mělo být to, zda rovnice neovlivňuje proces vyrovnání. Pokud se po vytvoření nové rovnice nezmění hodnota Qmin , nová rovnice pouze přispěla ke zlepšení pozorovatelnosti. Pokud však došlo ke zvýšení hodnoty Qmin , nová rovnice již vstoupila do vyrovnání a je třeba ji podrobně prověřit z hlediska její oprávněnosti. Zatímco RECON při vytváření modelu v grafickém editoru střeží, aby nedošlo ke vzniku závislých rovnic, uživateli se může stát, že vytvoří rovnici závislou na rovnicích již existujících. Toto nemá žádné fatální následky – program tuto rovnici prostě vyřadí. Uživatel to pozná podle toho, že celkový počet rovnic se liší od počtu nezávislých rovnic (o čemž je uživatel informován ve výpisu výsledků). Pro pořádek lze doporučit po každé nové uživatelské rovnici provést výpočet a prozkoumat případné následky. Poznámka: Při vytváření uživatelských rovnic v programu RECON je třeba vzít v úvahu, že pokud jsou v rovnici stavové proměnné (průtoky, teploty, tlaky, atd.), program je dosadí v jednotkách soustavy SI. Uvažujme například pomocnou veličinu, která je definována uživatelskou rovnicí jako součet výkonů několika energetických proudů. Výsledek pro tuto veličinu bude v soustavě SI, tj. ve W, i když jednotlivé výkony pro příslušné energetické proudy jsou uživatelem zadány (a dále pro něj prezentovány) např. v MW. Pokud budeme chtít, aby byl i tento nový výkon v MW, musíme provést potřebný přepočet přímo v uživatelské rovnici.

2.9 Model průmyslového systému Dosud jsme se zabývali pouze bilančními modely jednoho uzlu, případně hydraulickými výpočty jediného proudu. Model výrobního systému je tvořen uzly navzájem propojenými proudy. Jednoduchým příkladem je bilanční systém parogenerátoru vytvořený v grafickém editoru programu RECON.

13

Obr. 2.9-1: Bilanční schéma parogenerátoru Bilanční schéma parogenerátoru v jaderné elektrárně se skládá ze dvou uzlů. Uzel SG-W představuje trubkový prostor parogenerátoru, v němž proudí horká voda (HW). Druhým uzlem je parní prostor SG-S, v němž se z napájecí vody (FW) generuje pára (STEAM). Dalším proudem opouštějícím tento uzel je odluh BD (Blow Down). Oba uzly (které jsou z hlediska toků hmoty izolované) spojuje energetický proud Q-SG reprezentující tepelný tok z horké vody do parního prostoru. Jak uvidíme v kapitole zabývající se typickými operacemi v energetice, kolem každého uzlu může program RECON generovat dvě rovnice – hmotovou a energetickou bilanci. Výsledkem vyrovnání jsou vyrovnané bilance obou uzlů jak pro hmotu, tak i pro energii. Informace o propojení jednotlivých uzlů proudy obecně vyjadřuje tzv. incidenční matice A, jejíž prvky mající hodnotu 0, 1 nebo -1 mají následující význam: Aij

= 1 pokud j-tý proud vstupuje do i-tého uzlu

Aij

= -1 pokud j-tý proud vystupuje z i-tého uzlu

Aij

= 0 pokud j-tý proud není s i-tým uzlem incidentní

Příklad 2.9-1: Incidenční matice procesního schématu Uvažujme schéma sestávající ze 4 uzlů a 8 proudů

14

Incidenční matice pro toto schéma je Č.proudu

A

=

1

2

3

4

5

6

7

8

Č. Uzlu

1

-1

0

0

0

0

-1

0

1

0

0

0

0

0

-1

1

-1

2

0

1

-1

0

0

0

0

1

3

0

0

1

1

-1

0

0

0

4

Např. Ve druhém sloupci matice (který patří proudu č. 2) vidíme, že proud č. 2 vystupuje z uzlu č. 1 a vstupuje do uzlu č. 3. Podobně, v prvním řádku matice (patřícímu uzlu č. 1) vidíme, že do něj vstupuje proud č. 1 a vystupují z něj proudy č. 2 a 7

Obdobným způsobem se informace o struktuře procesních schémat uchovává v paměti počítače. Jestliže m představuje sloupcový vektor hmotových proudů mj (j = 1,2,…,J), můžeme matematický model hmotové bilance přehledně zapsat maticovou rovnicí Am

= 0

.

(2.9-1)

Nebo ve složkovém tvaru pro i – tý uzel  Aijmj = 0

pro i = 1,2,…,I

.

(2.9-2)

Konkrétně pro Příklad 2.9-1 má bilance uzlu č.1 tvar m1 – m2 – m7 = 0

.

(2.9-3)

Srovnej s bilancí jednoho uzlu v oddílu 2.3 – rovnice (2.3-1). 15

Ve většině případů vyžadujeme, aby vlastnosti každého proudu na výstupu z jednoho uzlu a na vstupu do uzlu druhého byly stejné. Toto se týká jak celkové hmoty proudu, tak i jeho složení a energie. Z teorie bilancování pak z tohoto předpokladu vyplývá, že pokud jsou vyrovnané bilance všech uzlů, je vyrovnaná i bilance celého systému (rozdíl vstupů a výstupů bilancovaného systému je nulový). Jedinou výjimkou z tohoto pravidla jsou bilance hybnosti, kdy stavy proudu na jeho začátku a konci se mohou lišit.

2.10 Chyby modelu Výsledky DR jsou citlivé na chyby vlastního modelu. Pokud model nepopisuje pravdivě realitu, výsledky mohou být zavádějící. Toto ovšem platí obecně i pro jakékoliv využití modelů, technických výpočtů, apod. V oblasti bilancí hmoty a energie snad není pochyb o jejich platnosti, spíše se jedná o zanedbání některých dílčích jevů. U bilancí mohou hrát roli hlavně dva problémy 

zanedbání akumulace (neoprávněný předpoklad o stacionaritě procesu)



ztráty hmoty nebo energie do okolí

Pokud nelze odchylky skutečnosti od předpokladu zanedbat, musí se zabudovat do modelu. V případě nestacionarity to znamená vytvořit dynamický bilanční model s akumulací hmoty v některých uzlech. Příklad 2.10-1: Bilance v nestacionárním stavu Uvažujme nádrž, do níž jeden proud vody m1 nepřetržitě vtéká a druhý proud m2 nepřetržitě vytéká. Na nádrži je měřič výšky hladiny. V řídícím systému je výška hladiny přepočítávána na celkovou hmotnost vody v nádrži. Schéma měření je na Obr. 2.10-1 a. Vlastní bilanční schéma je pak na Obr. 2.10-1 b. Jsou zde dva nové fiktivní proudy –

L F1

OI

F2

CI

m1

a)

m2

b)

počáteční zásoba OI (Opening Inventory) a konečná zásoba CI (Closing Inventory).

Obr. 2.10-1: Bilance nádrže v neustáleném stavu

16

Bilanční rovnice má pak tvar m1 + OI = m2 + CI

(2.10-1)

Důležité je, že bilanční rovnice platí pro určité bilanční období a veličiny m1 a m2 jsou integrály průtoků a mají rozměr hmoty (ne hmotnostního průtoku). Hodnoty OI a CI jsou stavy hmoty (zásoby) na začátku a na konci bilančního období

V případě ztrát do okolí se jedná zejména o ztráty tepla. Poměrně jednoduchým řešením je zavedení ztrátových proudů do vlastního modelu. Ztráty lze většinou s postačující přesností odhadnout nebo změřit a zadat je pak jako fixní hodnoty. Je třeba si uvědomit, že pokud jsou ztráty malé (i když ne zanedbatelné), stačí je odhadnout s přesností v desítkách procent (i pak bude jejich absolutní chyba malá). Dále je třeba upozornit na to, že většinou není vhodné ztráty energie do okolí dopočítat z bilance (vstupy mínus výstupy). Pokud jsou ztráty malé (několik procent ze vstupující energie), v důsledku chyb měření bychom mohli často dojít k výsledku, že energie se neztrácí, ale vzniká. Obecně platí, že uvedené vlivy lze zanedbat, pokud jsou podstatně menší, než chyba hlavních bilančních toků. Uvažujme například, že bilancujeme průtočnou nádrž kondenzátu. Bilanční interval je 1 hodina a střední průtok je 1000 t/h. Nejistota měření nechť je 3 % z naměřeného průtoku. Nejistota průtoku je tedy 30 t. Kolísání hladiny v nádrži tedy můžeme zcela jistě tolerovat, pokud představuje hmotu menší, než 3 t (což je 1/10 chyby měření průtoku). V praxi bychom mohli být i podstatně benevolentnější. Vlastní nejistota chyby měření průtoku je jistě větší, než 10 %.

U využití fázových rovnováh může být problémem existence metastabilních oblastí (podchlazená pára nebo přehřátá kapalina). Toto hrozí zejména u rychlých jevů, kdy se nestačí fázová rovnováha ustálit. Obecně se jedná se o dosti komplikovaný problém, který zde nelze podrobně diskutovat. Nejlepší je vyjít z reálných dat a prověřit, zda jsou dlouhodobě v souladu s modelem fázové rovnováhy. Pokud tomu tak není, nejlepším řešením je sporné části modelu nepoužívat. Někdy je možné využít toho, že některé subsystémy se ve schématu opakují (např. existence několika prakticky identických parogenerátorů v jedné elektrárně. Pokud model „funguje“ na většině identických jednotek a jinde ne, chybu je třeba hledat spíše v konkrétních datech.

17

3 Statistické zpracování naměřených dat Validace dat je založena na konfrontaci naměřených dat s obecně platnými zákony mezi nimi vyjádřenými pomocí matematických modelů. Značný význam má v této souvislosti matematická statistika a teorie chyb měření.

3.1 Chyby měření Je všeobecně přijímán názor, že každé měření je zatížené nějakou chybou. Chyba měření je definována následující rovnicí. x+ = x + e kde

(3.1-1)

x+ je naměřená hodnota x je správná (neznámá) hodnota e je chyba měření

Vlastní chyby u jediné sady dat se dále dělí na náhodné a hrubé. Náhodné chyby jsou nevyhnutelnou součástí každého měření a jsou charakterizovány směrodatnou odchylkou i . Hrubé chyby jsou výrazně větší než náhodné chyby a pokud nemá být celé měření znehodnoceno, musí se z naměřených dat vyloučit. Pokud máme více sad dat (časovou řadu) a chyba se deterministicky opakuje v čase, hovoříme o tzv. systematické chybě. Informace o možných chybách měření jsou nezbytné pro vyrovnání dat, které bude uvedeno dále. Někdy se hovoří o nejistotě výsledku měření, která je v podstatě totožná s tzv. maximální chybou, kterou u výsledku předpokládáme. U měření přístroji bývá udávána tzv. tolerance, která má opět charakter maximální chyby, kterou při měření předpokládáme (resp. zaručuje ji výrobce). Tolerance vyjádřená v procentech z rozsahu přístroje se nazývá třída přesnosti. Např. třída přesnosti 2 znamená maximální chybu plus/mínus 2 % z rozsahu přístroje. Příklad: Výrobce průtokoměru udává, že maximální chyba průtoku nebude větší, než 1 % z rozsahu přístroje. Můžeme tedy předpokládat, že (neznámá) správná hodnota x se nachází v intervalu x  <x+ - emax ; x+ + emax >

(3.1-2)

kde emax je maximální chyba. Při statistickém zpracování dat je někdy vyžadována tzv. směrodatná odchylka  naměřené hodnoty. Tuto v praxi bereme jako polovinu maximální chyby

 = 1/2 emax

(3.1-3)

Podrobněji o chybách měření pojednává Dodatek 2.

18

3.2 Klasifikace veličin Fyzikální veličiny vystupující v problému můžeme klasifikovat podle více hledisek. Podle toho, jestli vůbec lze veličinu nějakou dostupnou metodou vůbec měřit, dělíme veličiny na přímo měřitelné a přímo neměřitelné. Například pro měření průtoku napájecí vody přiváděné do parogenerátoru existuje řada možností měření jejího průtoku.Tyto možnosti se liší snadností instalace, přesností, cenou a dalšími vlastnostmi. Jedná se zde tedy o veličinu přímo měřitelnou. Na druhé straně si představme turbinový dílek, z něhož vystupuje pára, která vstupuje do dílku následujícího. Zde si lze stěží představit metodu, která by umožnila průtok této páry přímo měřit. Tato veličina je tedy přímo neměřitelná (může být však zjištěna výpočtem, pak hovoříme o veličině měřené nepřímo – výpočtem z jiných přímo měřených veličin). Pokud má přímo neměřitelná veličina charakter konstanty, nazývá se parametrem modelu. Jiným hlediskem je to, zda v konkrétním případě k měření došlo. Veličiny pak dělíme na měřené a neměřené. U měřených veličin je důležitou vlastností naměřené hodnoty též její nejistota, která vymezuje velikost možné náhodné chyby. V některých případech považujeme měření za bezchybné (s nulovou chybou). Další klasifikace veličin vychází současně z dělení veličin na měřené a neměřené a z vlastností matematického modelu, který mezi nimi platí. Ozřejmíme ji pomocí následujícího příkladu. Na Obr. 3.2-1 je jednoduché schéma pro hmotovou bilanci. Plné šipky označují měřené proudy, čárkované šipky neměřené proudy.

m6

m4 m1

I

m3

m5

II

III m7

m2

Obr. 3.2-1: Schéma pro hmotovou bilanci Pro tento systém můžeme zapsat celkem 3 bilanční rovnice mezi šesti průtoky. m1 = m2 + m3

(3.2-1)

m3 = m4 + m5

(3.2-2)

m5 = m6 + m7

(3.2-3)

Vidíme zde několik charakteristických situací. 1. Všechny veličiny kolem uzlu I jsou měřené. Jedná se tzv. nadbytečné (redundantní) veličiny. Jednu z nich bychom mohli dopočítat z ostatních dvou. Dalším důsledkem tohoto stavu je to, že v důsledku chyb měření s naměřenými hodnotami nebude první rovnice přesně splněna. Docházíme tak k potřebě 19

vyrovnání dat (data reconciliation). Naměřené průtoky proudů kolem uzlu I musí být upraveny, tj. vyrovnány, aby byla tato bilanční rovnice splněna. Toto platí pro nadbytečná měření obecně. 2. Ze druhé rovnice můžeme vypočítat velikost proudu č. 5. Tuto neměřenou veličinu nazýváme pozorovatelnou (můžeme ji odvodit z měřených veličin). 3. Ve třetí rovnici sice již známe veličinu x5, to však nepostačí pro výpočet proudů x6 a x7. Máme zde totiž jednu rovnici pro dvě neznámé. Tyto neměřené veličiny nelze z modelu jednoznačně dopočítat a nazýváme je nepozorovatelné. Kromě veličin měřených s nějakou chybou a veličin neměřených někdy zavádíme ještě zvláštní druh měřených veličin, tzv. veličiny bezchybné. Jsou to tedy veličiny předem známé a někdy získané velmi přesným měřením, kdy jeho chybu můžeme zanedbat. Pokud tyto veličiny patří mezi nadbytečné, není dovolena úprava jejich hodnoty při vyrovnání dat. Tyto veličiny mají tedy v celém procesu zpracování dat charakter konstant. Někdy je také nazýváme veličinami fixními. Celková situace je znázorněna na následujícím obrázku.

Obr. 3.2-2: Klasifikace veličin Další vlastnosti veličin vyplývají z výsledků vyrovnání. Nadbytečné veličiny se při vyrovnání opravují a nazývají se též opravitelné. Zbývající měřené veličiny se nazývají neopravitelné. Na příkladu lze vidět, že v jednom bilančním schématu se můžeme setkat s celým spektrem veličin. Zatímco na jednom místě jsou měření redundantní, na jiném místě naopak měření chybí a některé veličiny jsou nepozorovatelné. Obecně je třeba uživateli doporučit, aby se snažil vyhnout modelům s nepozorovatelnými veličinami. V tomto případě se totiž lze setkat s řadou teoretických problémů, které se bohužel projevují i v praxi. Cesty k dosažení úplné pozorovatelnosti všech neměřených veličin jsou v podstatě dvě.

20



zjednodušit systém v místě, kde není dostatečně proměřen (zejména sloučením některých bilančních uzlů)



doplnit matematický model o uživatelem definované rovnice.

3.3 Stupeň redundance Ve výše uvedeném případě byl jeden uzel, kolem něhož byly všechny průtoky měřeny. Pokud bychom jeden libovolný z těchto průtoků zařadili mezi neměřené, mohli bychom ho dopočítat z bilanční rovnice. V tomto případě platí, že je zde právě jeden stupeň redundance. U hmotové bilance platí za předpokladu, že všechny průtoku jsou pozorovatelné, jednoduchý vztah pro stupeň redundance   = M - N kde

(3.3-1)

M je počet rovnic N je počet neměřených veličin.

Poznámka: Pokud bychom tento vzorec aplikovali na výše uvedený příklad, nedošli bychom ke správnému výsledku, poněvadž jsou v něm nepozorované veličiny. U složitějších systémů není lehké zjistit stupeň redundance a je třeba se spolehnout na program RECON.

Obecně platí, že stupeň redundance je mírou nadbytečnosti měření a jeho vysoká hodnota indikuje dobré možnosti při validaci dat. Je též třeba si uvědomit, že kladná redundance je podmínkou vyrovnání dat a jejich validace. Pokud je redundance nulová, není validace dat možná.

3.4 Vyrovnávání dat Vyjděme z matematického modelu F(x,y,c) = 0 kde

(3.4-1)

F() je vektor rovnic modelu x je vektor přímo měřených veličin y je vektor přímo neměřených veličin c je vektor přesně známých konstant

Rovnice ( 3.4-1) platí pro správné (neznámé) hodnoty veličin. Pokud do nich dosadíme naměřené hodnoty x+, rovnice nemusí být (a pravděpodobně nebudou) exaktně splněny. F(x+,y,c) ≠ 0

(3.4-2)

pro libovolné hodnoty neměřených veličin y.

21

Základní myšlenkou DR je oprava naměřených hodnot tak, aby se vyrovnané hodnoty co nejvíce přiblížily k (neznámým) správným hodnotám. Vyrovnané hodnoty xi‘ (označené apostrofem) se získají ze vztahu xi‘ = xi+ + vi

,

(3.4-3)

kde se k naměřeným hodnotám připočítají tzv. opravy vi. V ideálním případě by opravy měly být rovny záporně vzatým chybám, tyto však nejsou známy. Pokud je však znám matematický model, kterému správné hodnoty mají vyhovovat, nejlepší řešení je následující (metoda maximální věrohodnosti) [1,2,3,4]: Opravy musí vyhovovat dvěma základním podmínkám: 1) Vyrovnané hodnoty vyhovují modelu (3.4-1) – říkáme, že jsou s ním konzistentní F(x‘,y‘,c) = 0

(3.4-4)

2) Opravy jsou minimální. Nejčastěji se minimalizuje vážený součet čtverců oprav s využitím známé metody nejmenších čtverců

 (vi/i)2

minimalizovat

=

 ((xi‘ - xi+)/i)2,

(3.4-5)

Převrácené hodnoty čtverců směrodatných odchylek (rozptylů) - tzv. váhy – přitom zaručují, že přesnější hodnoty se opravují méně, než ty méně přesné (to je významná vlastnost této metody). Vlastní vyrovnání je optimalizační úloha vyžadující výpočetní techniku a efektivní software. Na rozdíl od jiných inženýrských výpočtů nelze provádět DR ručně (pomocí kalkulačky) ani u velmi jednoduchých problémů. Matematika vlastního řešení byla v minulosti mnohokrát popsána v literatuře (například [1,2,3,4]) a nebudeme ji zde dále zmiňovat. Je zde také Balancing and Data Reconciliation Minibook [5], který je zdarma k dispozici ke stažení z internetu. Dále budeme tedy předpokládat, že máme k dispozici program RECON schopný DR provést (The Data Reconciliation Engine) znázorněný na následujícím obrázku. Model chyb Měřené hodnoty x

Konstanty c

Vyrovnané hodnoty x’

+

The Data Reconciliation Engine

Dopočítané hodnoty y’ Další informace

Matematický model

Obr. 3.4-1: The Data Reconciliation Engine

22

Tento program tedy transformuje vstupní měřená data (vektor x+) v data vyrovnaná x’, dále dopočítává přímo neměřené veličiny y’ a poskytuje veškeré další informace, které budeme potřebovat v dalších oddílech. Můžeme pak symbolicky napsat x’ = h1(x+)

(3.4-6)

+

y’ = h2(x )

(3.4-7)

Příklad 3.4-1: Vyrovnání hmotové bilance Uvažujme schéma na následujícím obrázku.

Obr. 3.4-2: Schéma pro hmotovou bilanci vytvořené v programu RECON Schéma se skládá ze čtyř uzlů a osmi proudů. Model obsahuje 4 lineární rovnice mezi osmi proudy. Vstupní data a výsledky vyrovnání jsou v následující tabulce. Tabulka 3.4-1 Proud

Typ

S1

M

100.1

2

99.29

S2

M

41.1

4

41.10

S3

M

79.0

2

79.36

S4

M

30.6

10

30.05

S5

M

108.3

4

109.41

S6

M

19.8

4

19.93

S7

N

10.0

-

58.19

S8

N

10.0

-

38.26

Naměřená hodnota (kg/h)

Nejistota měření (%)

23

Vyrovnaná hodnota

U typu měření M znamená měřenou hodnotu a N neměřenou hodnotu. Nejistota měření (maximální chyba) je vyjádřena v procentech z naměřené hodnoty. Naměřená hodnota u neměřených veličin představuje tzv. první odhad požadovaný programem RECON pro zahájení výpočtu. Nelze obecně říci, jak by měl být první odhad blízký pravdě. Nemělo by se jednat o nějaký nesmysl, ale o technický odhad, který napadne praktika bez dlouhého přemýšlení. Teoreticky by neměla hodnota odhadu ovlivnit konečný výsledek. Dobrým odhadem však usnadňujeme a urychlujeme výpočet a minimalizujeme riziko toho, že výpočet nezkonverguje. Z důvodů, které zde nebudeme rozebírat, RECON nepřijme jako první odhad hodnotu 0 (nula)

3.5 Výhody vyrovnaných dat Výhod je více. 1. Vyrovnaná data jsou v souladu s přírodními zákony. Kromě větší věrohodnosti je též možné je použít v účetnictví, kde disproporce v datech působí problémy 2. Vyrovnaná data jsou ve statistickém smyslu přesnější, než data naměřená. Zlepšení přesnosti je možné kvantifikovat pomocí směrodatné odchylky vyrovnané hodnoty, která je vždy menší, než směrodatná odchylka chyby měření. x’ < x+

(3.5-1)

Mírou zlepšení přesnosti měřené veličiny je tzv. opravitelnost definovaná vztahem a = 1 - x’ / x+

(3.5-2)

Opravitelnost vyjadřuje snížení směrodatné odchylky a tím i nejistoty výsledku oproti primárnímu měření. Jestliže je např. opravitelnost vyrovnané veličiny je 0.5, znamená to, že její nejistota se snížila o polovinu. V případě opravitelnosti 0.25 se nejistota snížila o čtvrtinu atd. Čím je opravitelnost větší, tím je i zmenšení nejistoty větší. Opravitelnost obecně souvisí s redundancí. Čím je redundance větší, tím je větší i opravitelnost. Nulovou opravitelnost mají neopravitelné (právě určené) veličiny. Jak vyplývá z jejich názvu, tyto veličiny se během vyrovnání nemění a nejsou ovlivňovány jinými měřenými veličinami. Příklad 3.5-1: Zlepšení přesnosti výsledků V následující tabulce je shrnuto zlepšení přesnosti výsledků v důsledku vyrovnání. Tento příklad je pokračováním předchozího příkladu 3.4-1 – viz Obr. 3.4-2.

24

Tabulka 3.5-1 Proud

Nejistota měření (kg/h)

Nejistota vyrovnaných hodnot (kg/h)

Opravitelnost

S1

2.02

1.30

0.35

S2

1.64

1.64

0.00

S3

1.58

1.24

0.22

S4

3.06

2.53

0.17

S5

4.33

2.63

0.39

S6

0.79

0.76

0.05

Je zde vidět, že opravitelnosti se dosti liší, od nulové hodnoty u proudu S2 (neopravitelná veličina) až po nejvyšší hodnotu u proudu S5

3. Detekce a eliminace hrubých chyb. Pokud by byla mezi měřenými veličinami přítomna hrubá chyba, v důsledku vyrovnání by se rozšířila a „zkazila“ by i jiné měřené veličiny. Pokud se používá DR, musí být proto systémově řešena ochrana dat před hrubými chybami. Jedním z výsledků vyrovnání je proto příznak, který udává, zda byla v datech detekována přítomnost hrubé chyby. V tomto případě nelze výsledky využívat, dokud nebyla hrubá chyba (nebo hrubé chyby) nalezena a odstraněna. Důsledné používání DR proto zaručuje ochranu konečných výsledků před hrubými chybami. Kromě vlastní metodiky detekce přítomnosti hrubých chyb jsou v rámci DR vypracovány též účinné metody pro lokalizaci zdrojů hrubých chyb. Automaticky je nalezena malá skupina podezřelých veličin, jež je třeba dále prověřit. 4. Nejistoty výsledků. Jedním z vedlejších produktů DR je též informace o nejistotě jak vyrovnaných hodnot, tak i pozorovatelných přímo neměřených veličin. Tato informace má význam nejen při posuzování celkové kvality výsledků, ale například i při porovnávání výsledků různých provozních testů apod. 5. Šíření chyb a optimalizace měřicích systémů. V rámci DR lze též sledovat, jak se při zpracování dat šíří chyby primárních veličin. Dá se tak zjistit, které primární veličiny jsou klíčové z hlediska přesnosti cílových veličin (veličin, pro jejichž zjištění se celé měření dělá). Lze tak poměrně snadno nalézt úzká místa přesnosti měřicího systému a optimalizovat jej. Odstranění hrubých chyb (jak ve vlastních datech, tak případně i v modelu) hraje při validaci dat klíčový význam. Sestává v podstatě ze tří kroků. 

detekce, tj. zjištění jejich přítomnosti



identifikace, tj. nalezení příčin hrubých chyb



eliminace hrubých chyb, tj. jejich odstranění.

Tyto kroky nyní postupně probereme.

25

3.6 Detekce hrubých chyb Zpracování provozních dat by bylo možno nazvat „bojem s hrubými chybami měření“. Jak již bylo zmíněno dříve, jediná hrubá chyba se může v důsledku vyrovnání rozšířit mezi ostatní veličiny a „zkazit“ tak celou sadu dat. Kdyby tyto chyby neexistovaly, práce s daty by byla onou příslovečnou procházkou růžovou zahradou. Již od samého počátku využívání DR v průmyslu byla proto tomuto problému věnována značná pozornost a postupně bylo vyvinuto několik účinných metod pro zjištění přítomnosti hrubé chyby, resp. hrubých chyb. Zopakujme zde ještě, že hrubou chybou měření rozumíme chybu větší, než je nejistota daného měření. Vyjděme z váženého součtu čtverců odchylek definovaného již v rovnici (3.4-5), který označíme Qmin. Qmin =

 (vi/i)2

(3.6-1)

Je zřejmé, že kdyby nebyly přítomny žádné chyby, hodnoty by nebylo třeba opravovat a Qmin by bylo rovné nule. Pokud jsou přítomny pouze náhodné chyby s Gaussovým (normálním) rozložením, lze dokázat, že Qmin je náhodnou veličinou s tzv.  2 -rozložením s  stupni volnosti.  je přitom rovné stupni redundance definovanému již dříve. Pokud jsou přítomny pouze náhodné chyby v rámci našich představ o přesnostech (nejistotách) jednotlivých měření, musí s pravděpodobností (1-) platit, že Qmin <  2 (1-)()

(3.6-2)

kde  2 (1-)() je kritická hodnota  2 rozdělení s  stupni volnosti. Tuto hodnotu budeme dále značit Qcrit. Hodnota , tzv. hladina významnosti bývá v technické praxi volena většinou 0.05, resp. 5 %. Qcrit pro různé hodnoty  a  lze nalézt ve statistických tabulkách, jeho hodnoty jsou však též k dispozici v rámci programu RECON. Potud statistické vlastnosti veličiny Qmin v přítomnosti pouze náhodných chyb. Pokud se v naměřených datech objeví jedna nebo více hrubých chyb, je pravděpodobné, že opravy budou muset být větší a větší bude též hodnota Qmin . Na tomto je také založeno testování hypotézy o přítomnosti hrubé chyby (ve skutečnosti se zamítá hypotéza, že hrubá chyba není přítomna). Pro osvěžení znalosti o testování statistických hypotéz slouží Dodatek 3. Podstatné je, že pokud není splněna nerovnost (3.6-2), tzn. že platí Qmin > Qcrit

(3.6-3)

,

byla detekována přítomnost hrubé chyby. Dalšími kroky jsou její nalezení (identifikace) a odstranění.

26

Příklad 3.6-1: Detekce hrubé chyby Tento příklad je pokračováním předchozího příkladu 3.4-1 – viz obr. 3.4-2. Shrňme nejprve základní informace o předchozím příkladu. Model je tvořen čtyřmi rovnicemi mezi osmi veličinami. Celkem dvě veličiny jsou neměřené. Obě neměřené veličiny jsou pozorovatelné a v problému tedy existují dva stupně redundance. Kritická hodnota chikvadrát rozdělení pro hladinu významnosti 0.05 je 5.97. Hodnota Qmin zjištěná v základním příkladu byla 1.308. Pokud dosadíme do nerovnosti (3.6-3), máme 1.308 < 5.97

(3.6-4)

a hrubá chyba tedy není detekována. Zaveďme nyní do dat hrubou chybu, a to +10 kg/h u proudu S1. Zpracovaná data jsou uvedena v následující tabulce Tabulka 3.6-1 Vyrovnaná hodnota bez hrubé chyby

Proud

Typ

S1

M

110.1

2

102.98

99.29

S2

M

41.1

4

41.1

41.10

S3

M

79.0

2

82.26

79.36

S4

M

30.6

10

29.08

30.05

S5

M

108.3

4

111.34

109.41

S6

M

19.8

4

20.72

19.93

S7

N

10.0

-

61.88

58.19

S8

N

10.0

-

41.16

38.26

Naměřená hodnota (kg/h)

Nejistota měření (%)

Vyrovnaná hodnota (kg/h)

Další informace: Stupeň redundance  = 2 Qmin = 64.54 Qcrit =

5.97

Po dosazeni do nerovnosti (3.6-3) vidíme, že byla detekována hrubá chyba. Pro porovnání jsou v posledním sloupci tabulky uvedeny vyrovnané hodnoty pro data bez hrubé chyby převzaté z Příkladu 3.4-1. Je zde vidět, že jediná hrubá chyba se skutečně „rozptýlila“ mezi ostatní vyrovnané veličiny. Jedinou výjimkou je neopravitelný proud S2

27

3.7 Identifikace a eliminace hrubých chyb Počet měřených veličin v reálných bilančních modelech bývá značný, řádově se může pohybovat ve stovkách. Prověření všech měřičů proto ve většině případů není reálné. Naštěstí existují relativně účinné metody hledání měření zatížených hrubými chybami. I když se většinou nepodaří najít přímo zdroj hrubé chyby, postačí najít malou skupinu podezřelých veličin, na niž je možné se zaměřit. Nejjednodušší metodou je zkoumání bilančních rozdílů kolem jednotlivých uzlů. Bilanční rozdíl  pro hmotovou nebo energetickou bilanci je definován jako  = součet vstupů – součet výstupů

(3.7-1)

Je možné jej vyjádřit též relativně v procentech z průměrného průtoku uzlem rel = 2/(součet vstupů + součet výstupů)*100

(3.7-2)

Pokud absolutní hodnota rel překročí prahovou hodnotu, je užitečné se zabývat veličinami spojenými s tímto uzlem. Prahová hodnota závisí na nejistotách jednotlivých měření. Problémem u této metody je, že mezi vstupy a výstupy se často vyskytují neměřené veličiny. Metoda funguje i s odhady neměřených veličin, i když její spolehlivost je pak menší. Přesto lze tuto metodu doporučit pro její jednoduchost a snadnou pochopitelnost. Rozhodně je velmi vhodná při vytváření modelů. Umožňuje totiž nalézt nejen hrubé chyby měření, ale i omyly při vytváření modelu. Program RECON umožňuje pohodlné vytvoření přehledu všech bilančních rozdílů. Podstatně sofistikovanější je metoda normalizovaných oprav. Vychází z toho, že opravy jsou vlastně odhady chyb. Každá oprava v je náhodná veličina, která má svoji směrodatnou odchylku v. Normalizovaná oprava u je definována vztahem u = v/v

(3.7-3)

Normalizovaná oprava má normalizované normální rozdělení. Je známo, že pokud je veličina zatížená hrubou chybou, její normalizovaná oprava patří v absolutní hodnotě mezi největší. Stačí tedy vypočítat normalizované opravy pro všechny opravitelné veličiny a seřadit je podle stoupající absolutní velikosti. Na konci řady je pak skupina s největšími hodnotami normalizované opravy a tedy skupina nejpodezřelejších veličin. Jakmile máme skupinu podezřelých veličin, můžeme pokročit dále. Podezřelou veličinu můžeme prověřit tím, že ji dáme mezi neměřené a provedeme vyrovnání dat. Pokud potom již není hrubá chyba detekována, mohla by být tato veličina zdrojem hrubé chyby. Zařazením veličiny zatížené hrubou chybou mezi neměřené jsme vlastně provedli eliminaci hrubé chyby.

28

Pokud se stane, že eliminace žádné z podezřelých veličin nestačí (hrubá chyba je stále detekována), může nastat případ, že je přítomno více hrubých chyb. Při eliminaci pak sledujeme pokles veličiny Qmin při eliminaci veličin. Podezřelé jsou ty, u nichž je pokles největší. Metoda normalizovaných oprav ve spojení s eliminací veličin je dost účinná, i když není univerzální. Je vhodná pouze na hrubé chyby měření, není účinná na chyby modelu. Příklad 3.7-1: Identifikace hrubé chyby Tento příklad je pokračováním předchozího Příkladu 3.4-1 – viz též obr.3.4-2. Začneme metodou normalizovaných oprav. V následující tabulce jsou uvedeny normalizované opravy pro měřené proudy. Jsou uvedeny pouze normalizované opravy větší, než 1.96, což je kritická hodnota pro normální rozdělení. Tabulka 3.7-1 Proud

Typ

Normalizovaná oprava

S1

M

-8.02

S3

M

6.81

S6

M

8.02

Je vidět, že zůstaly tři podezřelé průtoky. Největší absolutní hodnotu mají proudy S1 a S6, proud S3 je však jen o málo za nimi. Dále budeme pokračovat metodou eliminace podezřelých veličin. Postupně se zařazují jednotlivé proudy mezi neměřené a provede se vyrovnání. Výsledky jsou uvedeny následující tabulce. Tabulka 3.7-2 Proud

Typ

Qmin

Qcrit

S1

N

0.21

3.84

S3

N

18.15

3.84

S6

N

0.21

3.84

Jednotlivé proudy jsou nyní neměřené. Všimněme si nejprve posledního sloupce tabulky. Kritická hodnota je zde menší, než v předchozím případě. Zařazením jedné veličiny mezi neměřené se totiž snížil stupeň redundance o jednu, ze 2 na 1. Podstatné je, že pouze u proudu S3 je Qmin stále větší, než kritická hodnota Qcrit a je tedy stále detekována hrubá chyba. Jinými slovy, zařazení S3 mezi neměřené „nepomohlo“, takže můžeme tento proud vyřadit z množiny podezřelých. Zůstávají tedy dva podezřelé proudy S1 a S6. Obě použité metody lokalizace je hodnotí zcela stejně a dále zbývá pouze klasický postup, např. 

revize měřicích systémů

29



sledování trendů veličin v čase „kdy problém nastal“



posoudit měřené hodnoty též z jiných hledisek, než je zpracovává vlastní model (fyzikální význam veličin, další informace nezahrnuté v modelu a zpracovávaných datech)

Závěrem je třeba konstatovat, že i když jsou výše popsané metody cennou pomocí při hledání hrubých chyb, dosti často samy nevedou k nalezení toho jediného a pravého zdroje hrubé chyby. Říkáme, že tyto metody nejsou při identifikaci hrubých chyb dost selektivní. Je proto nezbytné tyto metody doplnit fyzickým prověřením podezřelých měřičů přímo na místě. Je též třeba se nad výsledky řádně zamyslet a využít praktické znalosti o proměřovaném systému. Z těchto příčin proto nelze také doporučit metody automatické eliminace hrubých chyb bez zásahu člověka, které někteří dodavatelé softwaru pro validaci dat nabízejí.

3.8 Účinnost detekce hrubých chyb měření Následující oddíl je určen těm, kdo mají o DR hlubší zájem. Při prvním čtení je možné jej přeskočit. Dále se omezíme na problematiku hrubých chyb měření, na kterou existuje jednotná teorie. Případ hrubých chyb v modelech je komplikovanější a je třeba jej řešit případ od případu. Často se lze setkat s názorem, že DR automaticky ochrání výsledky proti všem možným hrubým chybám. Přestože to bývá hlavní argument prodejců software pro DR, je třeba uvést tyto názory na pravou míru. Možnost detekce hrubých chyb je podmíněna redundancí naměřených dat. Jak již bylo uvedeno dříve, v reálném procesním schématu mohou být vedle sebe místa s vysokou redundancí (kde je hodně měření) a místa málo proměřená, kde je redundance nulová nebo dokonce existují i nepozorovatelné neměřené veličiny. Lze proto oprávněně předpokládat, že možnosti detekce hrubých chyb pro jednotlivé veličiny se budou případ od případu lišit. Celá problematika je podrobně zpracována v Dodatcích 3 a 4, kde čtenář též najde vysvětlení některých statistických pojmů používaných dále. Pravděpodobnost, že hrubá chyba bude detekována, není obecnou vlastností daného modelu, ale je třeba ji stanovit pro každou měřenou veličinu zvlášť. Tato pravděpodobnost závisí na třech faktorech. 1. Na redundanci dané veličiny vyjádřené pomocí její opravitelnosti (viz rovnice (3.52)). Čím je opravitelnost veličiny větší, tím snáze se bude pro tuto veličinu detekovat hrubá chyba. Na druhé straně pravděpodobnost detekce hrubé chyby u neopravitelné veličiny je nulová. Je to dáno tím, že tyto veličiny jakoby stojí stranou od ostatních měřených veličin. 2. Na velikosti hrubé chyby. Toto je pochopitelné, čím větší hrubá chyba, tím snáze bude detekována. Je zřejmé, že malé hrubé chyby (jen o málo větší, než je nejistota vlastního měření) mohou být snadno maskovány přítomností ostatních náhodných chyb. 3. Na stupni redundance celého problému  (viz rov.(3.3-1)). Tento vliv pro daný model není příliš významný a uplatňuje se u všech veličin přibližně ve stejné míře. Podrobný rozbor těchto vlivů je proveden v již výše zmíněném Dodatku 4. Podstatné je, že každou redundantní veličinu lze z hlediska detekce hrubé chyby 30

charakterizovat pomocí její tzv. prahové hodnoty hrubé chyby tv (z anglického threshold value). Prahová hodnota hrubé chyby tv je taková hodnota, která bude detekována s pravděpodobností  Prahová hodnota má tedy pravděpodobnostní význam. To, zda k detekci hrubé chyby skutečně dojde, závisí nejenom na její velikosti, ale i na ostatních náhodných chybách v dané sadě dat, které mohou vliv hrubé chyby na testovací kritérium Qmin kompenzovat. Hodnota pravděpodobnosti  , se kterou budeme dále pracovat, je 0,9 (90 %). Je zřejmé, že čím je hodnota tv menší, tím je větší šance pro detekci hrubých chyb. Neopravitelné (právě určené) veličiny mají prahovou hodnotu nekonečně velkou. Příklad 3.8-1: Identifikace hrubé chyby Tento příklad je pokračováním předchozího Příkladu 3.4-1 – viz též Obr. 3.4-2. V následující tabulce jsou uvedeny prahové hodnoty tv90 detekce hrubých chyb pro jednotlivé měřené veličiny. Tabulka 3.8-1 Proud

Typ

Naměřená hodnota (kg/h)

Prahová hodnota detekce hrubé chyby tv90

Prahová hodnota detekce hrubé chyby tv90

(kg/h)

(%)

S1

M

100.1

4.78

4.8

S2

M

41.1





S3

M

79.0

4.62

5.8

S4

M

30.6

9.90

32

S5

M

108.3

9.90

9.1

S6

M

19.8

4.78

24

Poslední dva sloupce tabulky obsahují prahové hodnoty (absolutní v kg/h a relativní v procentech vztažené na naměřené hodnoty). Interpretace například pro proud S1 je následující: Hrubá chyba 4.78 kg/h bude detekována s pravděpodobností 90 % Pokud bude hrubá chyba větší, bude samozřejmě pravděpodobnost její detekce větší. Je zde třeba zdůraznit pravděpodobnostní charakter tohoto tvrzení. Je vidět, že prahové hodnoty pro jednotlivé proudy se podstatně liší jak absolutně, tak i relativně vzhledem k hodnotě dané veličiny. U neopravitelných veličin (proud S2) libovolně velká hrubá chyba nebude nikdy detekována

31

Závěrem k tomuto oddílu si ještě položme otázku, jak odlišit případ skutečné (velké) hrubé chyby od oněch 5 % případů, kdy je hrubá chyba detekována jako důsledek Chyby I. druhu při testování (viz Dodatek 3). Je zde možné vyjít z hodnoty součtu čtverců odchylek Qmin a jejího porovnání s rozdělením chi-kvadrát (viz Dodatek 1). Z průběhu hustoty pravděpodobnosti tohoto rozdělení je vidět, že pravděpodobnost hodnot větších, než je kritická hodnota, rychle klesá s rostoucí hodnotou náhodné veličiny (platí zejména pro stupeň redundance větší než 10). Lze oprávněně předpokládat, že náhodnými chybami nemohou být způsobeny hodnoty Qmin větší, než např. dvojnásobek kritické hodnoty.

3.9 Šíření chyb při zpracování dat a optimalizace měřicího systému Symbolické rovnice mezi naměřenými a vyrovnanými hodnotami (3.4-6 a 7) v sobě obsahují informaci o tom, jak se vlastní chyby měření během zpracování dat šíří. Lze tak (ve statistickém smyslu) zpětně vystopovat, které přímo měřené veličiny jsou z hlediska nejistoty výsledků klíčové a na něž je třeba se soustředit při zlepšování přesnosti výsledků. Problematiku si nejprve ozřejmíme na jednoduchém příkladu. Příklad 3.9-1: Šíření chyb měření při zpracování naměřených dat Předpokládejme, že přímo neměřená veličina y je lineární funkcí dvou přímo měřených veličin x1 a x2. y = ax1 + bx2

(3.9-1)

kde a a b jsou konstanty a = 1 a b = 2. Dále předpokládejme, že chyby veličin x1 a x2 jsou nekorelované a mají směrodatné odchylky 1 = 1 a 2 = 2. Pro rozptyl veličiny y pak platí [2]

2y = a212 + b222

(3.9-2)

Členy a212 a b222 tedy představují příspěvky jednotlivých měřených veličin na rozptylu výsledné veličiny jednotlivých měřených veličin na rozptylu výsledné veličiny y. Po vyčíslení máme

2y = 1212 + 2222 = 1 + 16 = 17

(3.9-3)

V tomto případě vidíme, že dominantní vliv na rozptyl výsledku má veličina x2 , která přispívá cca 94 %, zatímco veličina x1 pouze 6 %. Pokud bychom chtěli výsledek zpřesnit, je třeba se soustředit na veličinu x2 , která představuje úzký profil celého měřicího procesu. Pokud snížíme její rozptyl na polovinu (např. pořízením přesnějšího měřiče), rozptyl výsledku se zmenší po dosazení do (3.9-2) ze 17 na 5. Naproti tomu, i kdybychom změřili veličinu x1 bez chyby (1 = 0), rozptyl výsledku by se snížil pouze na 16

Výše uvedený postup lze aplikovat na libovolnou lineární funkci měřených veličin za předpokladu, že chyby měřených veličin jsou nekorelované. V praxi jej lze aplikovat s určitou nepřesností i na nelineární funkce, pokud je linearizujeme rozvojem do

32

Taylorovy řady. Rovnici (3.9-2) pak můžeme pro jednu veličinu y aproximovat rozvojem v bodě x+ výrazem y = h(x)  h(x+) +

 h(x)/xixi

(3.9-4)

pro rozptyl veličiny y pak platí

2y 

( h(x)/xi)2i2

(3.9-5)

Členy na pravé straně rovnice(3.9-5) jsou vždy nezáporné a představují příspěvky jednotlivých měřených veličin k rozptylu výsledku. Nyní vytvoříme vektor příspěvků s = (s1,s2, … ,sI)T , jehož prvky představují procentický podíl jednotlivých měřených veličin na rozptylu výsledku. si = 100 [( h(x)/xi)2i2]/2y

(3.9-6)

Součet prvků vektoru příspěvků s je zřejmě 100 %. Z hodnot vektoru příspěvků je vidět, u kterých měření (s vysokou hodnotou příspěvku) má smysl se snažit o jejich zpřesnění a naopak, které jiné veličiny jsou z hlediska optimalizace měřicího systému nevýznamné. Ještě je třeba poznamenat, že z hlediska minimalizace nejistoty výsledku je rozhodující jeho směrodatná odchylka, která je druhou odmocninou rozptylu. Minimalizace rozptylu tedy skutečně vede k minimalizaci nejistoty výsledku, relativní význam jednotlivých veličin je však přitom částečně deformován nelineárním vztahem mezi směrodatnou odchylkou a rozptylem. Samotný vektor příspěvků je proto třeba chápat jako první informaci pro další optimalizační kroky podepřené detailními výpočty. Příklad 3.9-2: Šíření chyb při hmotové bilanci Tento příklad je pokračováním předchozího Příkladu 3.4-1 – viz též Obr.3.4-2. V následující tabulce jsou příspěvkové vektory pro přímo neměřené proudy S7 a S8. Tabulka 3.9-1 Proud

S1

S2

S3

S6

celkem

S7

16

62

16

5

99

S8

10

64

22

-

96

33

Tuto tabulku lze interpretovat tak, že 16 % rozptylu proudu S7 způsobuje proud S1, 62 % rozptylu proudu S7 způsobuje proud S2, atd. Vidíme, že pro nejistotu dopočítávaných proudů S7 a S8 mají praktický význam pouze měřené proudy S1, S2, S3 a S6. U zbývajících dvou proudů je jejich vliv zanedbatelný a program RECON je neuvádí (představují pouze 1 % pro proud 7 a 4 % pro proud 8). Dominantní vliv na nejistotu (rozptyl) obou proudů má veličina S2, menší vliv mají též proudy S1 a S3. Znamená to, že pokud chceme snížit nejistotu obou dopočítávaných proudů, je účelné zlepšit přesnost měření proudu S2. Předpokládejme nyní, že máme možnost instalovat pro tento proud nový průtokoměr s poloviční nejistotou (maximální chybou). Předchozí maximální chyba byla 4 % z naměřené hodnoty, dále tedy předpokládejme 2 %. Tabulka 3.9-2 Proud Typ Naměřená Nejistot Nejistota hodnota a měření výsledků (kg/h) (%) (kg/h)

Nejistota měření (%)

Nejistota výsledků (kg/h)

S1

M

100.1

2

1.30

2

1.30

S2

M

41.1

4

1.64

2

0.82

S3

M

79.0

2

1.24

2

1.24

S4

M

30.6

10

2.53

10

2.53

S5

M

108.3

4

2.63

4

2.63

S6

M

19.8

4

0.76

4

0.76

S7

N

10.0

-

2.10

-

1.54

S8

N

10.0

-

2.06

-

1.49

Je vidět, že nejistoty vypočítaných proudů S7 a S8 se zmenšily na 73 % resp. 72 % původních hodnot. Pokud bychom zmenšili nejistoty jiných veličin, výsledek by nebyl tak výrazný. Závěrem se ještě podívejme na vektory příspěvků nyní. Tabulka 3.9-3 Proud

S1

S2

S3

S5

S6

celkem

S7

30

29

30

-

9

98

S8

20

31

43

3

3

99

Pokud porovnáme tuto tabulku s tabulkou předchozí, vidíme, že situace se dost změnila. Proud S2 z hlediska svého významu již nedominuje, nyní je lepší se zaměřit na snížení nejistoty proudu S3. Jak již bylo předesláno dříve, při optimalizaci měřicího systému je třeba postupovat krok za krokem

34

3.10 Parametrická citlivost Parametrická citlivost je pojem dobře známý z oblasti matematického modelování. Se značným zjednodušením ji můžeme formulovat otázkou: Jak se změní výsledek výpočtu, jestliže se změní hodnota parametru o jednotku? Poznámka: Podívejme se například na typickou otázku v jaderné energetice. Jak je ovlivněno stanovení tepelného výkonu jaderného reaktoru chybou měření určité teploty? Jakou chybu by způsobila chyba měření této teploty např. o 2 oC? V předchozím oddílu byla tato otázka řešena ve statistickém smyslu v pojmech směrodatné odchylky výsledku. Nyní se jedná o deterministický problém za určité konstelace všech naměřených dat

V běžném matematickém modelování (např. simulačních výpočtech) je situace relativně jednoduchá. Pokud je model lineární, parametrickou citlivost lze zjistit snadno a exaktně. U nelineárních modelů získáme přibližné řešení linearizací modelu rozvojem do Taylorovy řady. Pokud potřebujeme znát parametrickou citlivost přesně, nezbývá než postupně perturbovat hodnoty veličin a provést tolik výpočtů, kolik je parametrů. V případě DR je situace ještě složitější. Vyjděme opět ze symbolického zápisu procesu vyrovnání dat rovnicí (3.4-7). V předchozím oddílu (rovnice (3.9-4)) jsme již uvedli linearizovaný tvar vztahu mezi měřenými veličinami a výsledky. Oproti klasickému matematickému modelování je zde situace složitější o to, že operátor vyrovnání závisí nejen na hodnotách veličin a tvaru modelu, ale i na směrodatných odchylkách měření (které opět mohou být definované jako funkce hodnot měřených veličin). Toto je typické u průtoků, kdy je nejistota měření většinou vyjadřována v procentech z naměřené hodnoty. Z tohoto důvodu je proto třeba brát výsledky založené na linearizaci jako orientační a v případě potřeby je prověřit detailními výpočty s perturbovanými veličinami. Příklad 3.10-1: Parametrická citlivost při hmotové bilanci Tento příklad je pokračováním předchozího Příkladu 3.4-1 – viz též obr.3.4-2. V následující tabulce jsou uvedeny vektory parametrické citlivosti pro proudy S7 a S8. Tabulka 3.10-1 Proud

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

0.42

-1.00

0.53

-0.05

0.05

0.58

S8

0.33

-1.00

0.62

-0.06

0.06

-0.33

Tuto tabulku lze interpretovat tak, že při zvětšení hodnoty proudu S1 o jednotku se zvětší hodnota proudu S7 přibližně o 0.42 kg/h, atd. Je třeba poznamenat, že tyto závěry platí pouze pro danou sadu naměřených hodnot. Obecně je tedy lze aplikovat na procesy, které dlouhodobě probíhají ve stacionárním stavu

35

3.11 Validace dat při monitorování výrobních procesů Dosud jsme vždy řešili problém jediné sady dat. Nyní uvažujme, že validace dat je součástí monitorovacího systému, který vyhodnocuje data automaticky a pravidelně (např. každou hodinu). Za těchto předpokladů můžeme sledovat časové řady naměřených a vyrovnaných veličin. Nejprve se však zaměřme na ukazatele kvality dat. Připomeňme, že zde máme Qmin – vážený součet čtverců odchylek při vyrovnání Qcrit – kritickou hodnotu pro Qmin, která by neměla být překročena. Tato veličina je konstantní pro daný počet stupňů volnosti Dále je ještě užitečné zavést tzv. status dat S, který je definovaný vztahem S = Qmin / Qcrit

(3.11-1)

Je zřejmé, že pokud platí S > 1 ,

(3.11-2)

byla detekována přítomnost hrubé chyby. Status tedy v jediném čísle shrnuje jednoduše informaci o kvalitě dat. Pokud tedy při monitorování pro danou sadu dat je status větší, než 1, výsledky této sady by neměly být brány do dalšího zpracování (dokud nebude hrubá chyba nalezena a odstraněna). Na následujícím obrázku je graf hodnot S vyhodnocených na základě hodinových průměrů pro období 14 dnů (celkem 336 hodnot). Pro úplnost dodejme, že v tomto případě byl stupeň redundance 30, čemuž odpovídá kritické hodnota Qcrit = 43.64.

36

Obr. 3.11-1: Časová řada veličiny S (status) Celkem ve 4 případech byla detekována hrubá chyba (S > 1) a průměrná hodnota statusu (čárkovaná čára) je 0.79. Položme si nyní otázku, co tato informace vypovídá o kvalitě dat. Zkoumejme dále některé vlastnosti této časové řady. STŘEDNÍ HODNOTA STATUSU Výchozím bodem dalších úvah je fakt, že součet čtverců odchylek Qmin je náhodná veličina s chi-kvadrát rozdělením se 30 stupni volnosti. Pro tuto náhodnou veličinu platí, že její střední hodnota je rovna počtu stupňů volnosti. Průměrná hodnota Qmin by tedy měla být v blízkosti hodnoty 30. Pro kritickou hodnotu 43.64 vychází předpokládaný status 30/43.64 = 0.69 (takovýto status by měl být v dlouhodobém časovém intervalu v průměru dosahován, pokud všechny naše předpoklady platí). Tato hodnota je dost blízká (i když poněkud menší), než skutečná hodnota 0.79. ČETNOST DETEKCE HRUBÉ CHYBY Jiným hlediskem je frekvence překročení kritické hodnoty Qmin , tj. detekce přítomnosti hrubé chyby. Testování se provádí na hladině významnosti 0.05. Znamená to, že pravděpodobnost Chyby I. druhu je 0.05. V 5 % procentech případů tedy můžeme očekávat, že bude hrubá chyba detekována, i když ve skutečnosti není přítomna. Při počtu dat v našem případě 336 docházíme k počtu 336x0.05 = 17. Tato hodnota je podstatně větší, než počet 4 v našem případě. ČASOVÁ KORELOVANOST STATUSU Pokud by se uplatňovaly pouze náhodné chyby, hodnoty statusu by oscilovaly kolem střední hodnoty. Aktuální hodnota by nebyla závislá na hodnotách předchozích. Z obr. 3.11-1 je vidět, že tomu tak není. Jsou zde vidět nepravidelné „vlny“, v nichž 37

hodnoty stoupají a klesají. Je to důsledkem toho, že jsou kromě náhodných chyb přítomny i chyby systematické. Systematické chyby přitom mohou působit různě dlouho – uvažujme například vlivy s frekvencí denní, sezónní s frekvencí jednoho roku nebo poruchy přístrojů způsobující skokovou změnu do té doby, než je přístroj opraven. Dalšími vlivy mohou být například kalibrace měřičů nebo jejich výměny za chodu výroby. Je známé, že u měření přístroji systematické chyby mají většinou větší význam, než chyby náhodné. Ještě lépe než na statusu je vidět význam systematických chyb na grafu naměřených a vyrovnaných hodnot. Příklad je na následujícím obrázku.

Obr. 3.11-2: Příklad naměřených a vyrovnaných hodnot Body označené trojúhelníky zde představují vyrovnané hodnoty (horní graf), čtverce hodnoty naměřené. Pokud by byly přítomny pouze náhodné chyby, grafy by se měly „prolínat“. Opravy (rozdíly mezi vyrovnanou a naměřenou hodnotou) by měly kolísat kolem nuly. Z obrázku je vidět, že toto zde neplatí. Naměřené hodnoty se až na několik výjimek opravují k vyšším hodnotám. Vliv systematických chyb v tomto případě dominuje. Pozorování můžeme shrnout následovně. 

Průměr statusu (0.79) je blízký teoretické hodnotě (0.69). Jako celek je tedy celý systém (vlastní model a předpokládané chyby měření) dobře navržen, skutečné chyby jsou poněkud vyšší, než předpokládané



Ve 4 případech byla detekována hrubá chyba, což je méně, než odpovídá hladině významnosti 0.05 (17 případů)



Maximální hodnota statusu cca 1.2 naznačuje, že v celém období nebyla v datech přítomna hrubá chyba (viz diskusi v oddílu 3.8).

Obě výše uvedená pozorování lze vysvětlit přítomností významných systematických chyb. Tento fakt ovšem nijak nezpochybňuje použitelnost vyrovnávání dat – 38

vyrovnávají se nejen chyby náhodné, ale i systematické a tak se zmenšuje jejich vliv. Vyrovnáváme jednotlivé sady dat a v tom okamžiku se nemusíme starat o předchozí výsledky. Vzniklé časové řady analyzujeme až později off-line a závěry nám pomáhají jednak lépe pochopit celý proces zpracování dat a dále pak odstranit případné chyby, které se přitom zjistí. Dosud uvedená ukázka je příkladem celkem bezproblémových dat. Dále uvedeme ještě několik případů, kdy je třeba data korigovat.

Obr. 3.11-3: Dlouhodobý trend statusu – výskyt hrubých chyb Na tomto obrázku je vidět dlouhodobý trend (2.5 měsíce) statusu, kde je vidět několikrát hodnotu statusu řádově větší než 1. V těchto případech se nemůže jednat o Chybu I. druhu. Jedná se nejčastěji o výpadek dat, kdy data z jedné nebo více veličin chybí. Jelikož se jedná o krátká období, nejsou to pravděpodobně hrubé chyby měřičů.

39

Obr. 3.11-4: Příklad systematického růst statusu Na tomto obrázku je vidět systematický růst statusu signalizující postupné zhoršování kvality dat. Pokud není zjištěna příčina, většina dat bude dále nepoužitelných.

3.12 Integrace DR do výrobních informačních systémů Pouze v ojedinělých případech mohou bilanční systémy, kam DR většinou patří, existovat samy o sobě. Jejich rutinní využívání je podmíněno automatizací vstupu naměřených dat, což zajišťují výrobní řídící a informační systémy. Současným trendem je vytvoření centrálního datového skladu (relační databáze) označovaného dále DS, do něhož jsou data importována. Plnění datového skladu se označuje zkratkou ETL (Extraction, Transformation and Loading) - viz monografie [7]. V případě DS v procesním průmyslu hraje klíčovou roli validace dat, která je součástí modulu Transformation. Do datového skladu se ukládají procesní data z databáze reálných dat nebo z databáze agregovaných dat (průměrné hodnoty apod.). Data z datového skladu slouží řadě aplikací. Na jejich základě se provádí vyrovnání bilancí a upravené hodnoty se ukládají zpět do datového skladu. Mohou pak sloužit dalším aplikacím, jako jsou plánování, scheduling, monitoring procesů, atd. Pokud v podniku dosud neexistuje datový sklad, systém pro DR RECON může sloužit jako první krok k jeho vytvoření. Situace je znázorněna na následujícím obrázku.

40

Databáze procesních dat

RECON

Datový sklad

Obr. 3.12-1: Vytváření datového skladu v rámci DR Při on-line provozu programu RECON může provádět všechny tři kroky procesu ETL. 1. EXTRACTION - Číst data v databázi procesních dat a provádět jejich agregaci, tj. vytváření průměrných hodnot s požadovanou frekvencí 2. TRANSFORMATION – Provádět vyrovnávání a validaci dat 3. LOADING – Ukládat dat do datového skladu. V datovém skladu pak mohou být data k dispozici po desítky let. Jako datový sklad slouží tzv. nativní databáze programu RECON uchovávající informace o měřených a vyrovnaných hodnotách, včetně informace o kvalitě dat. Nejjednodušší platformou podporovanou programem RECON je formát ACCESS. Pro rozsáhlejší systémy dat lze doporučit relační databáze typu klient – server Oracle nebo Microsoft SQL. V rámci programu RECON jsou tyto datové sklady podporovány prostředky pro správu databáze, vizualizaci dat a exporty vybraných dat do prostředí MS Excel. Data lze filtrovat podle toho, zda se jedná o kvalitní data nebo o data, která neprošla testem a vyžádají si očistu od hrubých chyb. Data lze pro snadnější sledování seskupit do tématických skupin. Dále je k dispozici modul pro vytváření obecných reportů v prostředí Excelu založených na uživatelem definovaných šablonách. Kromě těchto činností orientovaných na svoji nativní databázi může ovšem RECON současně ukládat vyrovnaná data do původní databáze procesních dat, jak je znázorněno na předchozím obrázku.

41

4 Příklady hmotové a látkové bilance Dále uvedeme několik typických příkladů hmotové a látkové bilance Tato kapitola čtenáři umožní vytvořit jednoduché modely v programu RECON a výsledky si zkontrolovat. Struktura všech oddílů je následující 1. BILANČNÍ SCHÉMA. Je to kopie schématu vytvořeného v grafickém editoru programu RECON. 2. VSTUPNÍ DATA. Je to poněkud zkrácený výpis dat úlohy vytvořený v programu RECON – menu Schéma – Přehled dat. Obsahuje veškeré informace potřebné pro konfiguraci úlohy 3. VÝSLEDKY. Je to zkrácený výpis výsledků pro kontrolu uživatele vytvořený v programu RECON – menu Výpočty – Výsledky. Přestože tato příručka nemá nahrazovat návod k programu RECON, uvedeme ještě stručně postup, který by měl čtenář při vytváření úloh dodržovat. 1. Vložit jméno úlohy, které je zároveň jménem souboru vytvářeného modelu 2. Vložit text hlavičky úlohy (dlouhý název) - nepovinný 3. V dalším panelu změnit fyzikální jednotky (pokud je třeba). Jednotky zvolené v jednotlivých příkladech jsou uvedeny v části VSTUPNÍ DATA. 4. Vložit název složky. U jednosložkových bilancí doporučujeme vložit „mass“, plný název není třeba vyplňovat. 5. Objeví se plocha grafického editoru. Vlastní kreslení schématu doporučujeme začít nakreslením všech uzlů a tyto si vhodně na obrazovce umístit (při pozdějších změnách ve velikosti a umístění uzlů se změní tvar nakreslených proudů). Pomůže též mřížka, kterou lze vyvolat v menu Nastavení. U uzlů vyplníme pouze Název (je na schématu) a Popis (nemusíme vyplňovat nebo nějaký si vymyslíme). 6. Poté dokreslíme proudy. Jejich krátký název je uveden na schématu, popis si opět vymyslíme. Typy proudů, hodnoty a případně chyby (pro měřené veličiny) najdeme v části VSTUPNÍ DATA. Tímto skončila definice úlohy pro hmotovou bilanci. 7. Po konfiguraci všech proudů a uzlů je možné provést výpočet. Ještě vysvětleme některé zkratky používané v programu RECON F M MC MN N NO NN

typ veličiny - fixní veličina (známá bez chyby) typ veličiny - měřená veličina typ veličiny - měřená veličina opravitelná typ veličiny - měřená veličina neopravitelná typ veličiny - neměřená veličina typ veličiny - neměřená veličina pozorovatelná (observable) typ veličiny - neměřená veličina nepozorovatelná (non-observable)

K většině příkladů uvedených v této kapitole bude mít čtenář k disposici též jejich vzorové řešení, tj. soubory s příslušnými modely. Názvy souborů jsou uvedeny v textu. 42

4.1 Hmotová bilance v ustáleném stavu bez redundance V dalších čtyřech příkladech ukážeme základní situace, které při validaci dat mohou nastat. Použijeme přitom jednoduché schéma se čtyřmi uzly a osmi proudy. Jedná se o jednosložkovou bilanci. Z matematického hlediska se jedná o lineární model. V prvním příkladu je v problému měřeno právě tolik veličin, kolik je nezbytně třeba k vyřešení soustavy bilančních rovnic (4 rovnice pro 4 neměřené veličiny). Stupeň redundance je nulový a v tomto případě tedy nelze provést validaci dat. Bilanční schéma je uvedeno na následujícím obrázku. Plné čáry představují měřené proudy, čerchované jsou neměřené.

Obr. 4.1-1: Bilanční schéma (demo příklad MC-1) Vstupní data ID

TYPE

VALUE

MAX.ERROR

-------------------------------------------S1

M

100.1000

2.0000 %

S2

M

41.1000

4.0000 %

S3

M

79.0000

2.0000 %

S4

M

30.6000

10.0000 %

S5

N

10.0000

S6

N

10.0000

S7

N

10.0000

S8

N

10.0000

U neměřených veličin (typ N) jejich hodnota představuje odhad potřebný pro nastartování výpočtu (tzv. nástřel). Tato hodnota nemá vliv na konečný výsledek. Měla by být však pokud možno blízká skutečné hodnotě. Jednak se tak usnadní programu hledání řešení a zmenší se riziko divergence výpočetního procesu (což nelze nikdy předem zcela vyloučit). RECON nepřijímá jako nástřel hodnotu nula.

43

Obr. 4.1-2: Ukázka panelu definice proudu V tomto panelu můžeme vložit nebo modifikovat jméno proudu, jeho popis, typ (M,N, nebo F). V případě typu M musíme vložit maximální chybu (buď absolutní nebo v procentech). V případě pouze hmotové (jednosložkové) bilance je koncentrace jediné složky vždy 100 % (povinně fixní). Ostatní možnosti zadávání v tomto případě nevyužijeme. Na dalším obrázku je ukázka definice vlastností uzlu.

Obr. 4.1-3: Ukázka panelu definice uzlu Zde opět využijeme pouze možnosti vložit jméno uzlu (ID) a případně jeho popis.

44

VÝSLEDKY I T E R A C E Iter

Qeq

Qx

Qy

Qmin

----------------------------------------------------------------START

2.8722E+01

1

0.0000E+00

0.0000E+00

2.8748E+01

0.0000E+00

2

0.0000E+00

0.0000E+00

0.0000E+00

0.0000E+00

Legenda: Qeq

mean residual of equations

Qx

mean increment of measured quantities in iteration

Qy

mean increment of unmeasured quantities in iteration

Qmin

funkce nejmenších čtverců

G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet uzlů

4

Počet proudů

8

Počet složek

1

Počet měř.proměnných

4

Počet opravených proměnných

0

Stupeň redundance

0

Počet neměřených proměnných

4

Počet pozorovatelných proměnných

4

Počet nepozorovatelných proměnných

0

Počet volných proměnných

0

Počet rovnic

4

Počet nezávislých rovnic

4

Počet uživatelských rovnic

0

Střední residuum rovnic

0

Qmin

0

Qkrit

0

Status (Qmin/Qkrit)

0

P R O U D Y Název

[KG/S] Typ

Zadáno

Vyrovnáno

Abs.chyba

-----------------------------------------------------------S1

MN

100.100

100.100

2.002

S2

MN

41.100

41.100

1.644

S3

MN

79.000

79.000

1.580

S4

MN

30.600

30.600

3.060

S5

NO

10.000

109.600

3.444

S6

NO

10.000

21.100

2.550

S7

NO

10.000

59.000

2.591

S8

NO

10.000

37.900

2.280

45

V tomto prvním příkladu podrobně popíšeme jednotlivé informace uvedené na výpisu. 

Veličina Qeq je reziduum rovnic. Hodnota na začátku (START) udává střední kvadratické reziduum rovnic modelu s naměřenými daty a s odhady neměřených veličin.



Veličina Qx je střední kvadratický přírůstek měřených veličin v iteraci. Protože se jedná o příklad bez redundance dat, měřené veličiny není třeba upravovat a tato hodnota je nulová.



Veličina Qy je střední kvadratický přírůstek neměřených veličin v iteraci. V tomto případě (lineární model) se hodnoty neměřených veličin upraví pouze v jednom kroku (dopočítají se z měřených hodnot). Druhá iterace má pouze kontrolní význam.



Veličina Qmin (funkce nejmenších čtverců) je v tomto případě nulová, neboť nedochází k opravám měřených veličin.

Globální údaje není třeba komentovat. Snad jen to, že stupeň redundance je nulový, protože se nejedná o redundantní systém. Měřené proudy mají příznak MN, jsou tedy Měřené a Neopravené. U neměřených veličin příznak NO znamená neměřené a pozorovatelné (Observable). Ve výsledcích (tabulka Proudy) Zadáno znamená naměřenou hodnotu nebo první odhad u neměřených veličin. Vyrovnáno znamená buď opravenou (vyrovnanou) měřenou hodnotu nebo dopočítanou neměřenou hodnotu. V posledním sloupci je maximální chyba výsledku. Například pro neměřenou veličinu S5 byla jako první odhad použita hodnota 10, vypočítána byla hodnota 109.60 a maximální chyba byla 3.44, to vše v kg/s. Údaj o chybě znamená, že skutečná (neznámá) hodnota leží s pravděpodobností 95 % v intervalu <109.600 - 3.444; 109.600 + 3.444>.

46

4.2 Hmotová bilance v ustáleném stavu s redundancí Příklad v předchozím oddílu byl modifikován tím, že proudy č. 5 a 6 byly považovány za měřené. Tímto se počet neznámých snížil na 2. Protože jsou 4 bilanční rovnice a 2 neznámé, stupeň redundance podle rovnice (3.3-1) je 4 – 2 = 2. Některé výsledky k tomuto příkladu již byly uvedeny v Oddílu 3.4 (Příklad 3.4-1). Tyto informace zde dále doplníme.

Obr. 4.2-1: Bilanční schéma (demo příklad MC-2) Čerchované čáry u proudů S7 a S8 označují neměřené proudy. Vstupní data jsou následující. MATERIÁLOVÉ PROUDY ID

TYP

[KG/S]

HODNOTA MAX.CHYBA

-----------------------------------------------------------S1

M

100.1000

2.0000 %

S2

M

41.1000

4.0000 %

S3

M

79.0000

2.0000 %

S4

M

30.6000

10.0000 %

S5

M

108.3000

4.0000 %

S6

M

19.8000

4.0000 %

S7

N

10.0000

S8

N

10.0000

Výsledky vyrovnání dat jsou následující:

47

I T E R A C E Iter

Qeq

Qx

Qy

Qmin

----------------------------------------------------------------START

1.4944E+01

1

3.5527E-15

3.0571E-01

2.7931E+01

1.3081E+00

2

3.5527E-15

2.0136E-15

5.1227E-16

1.3081E+00

Qeq

mean residual of equations

Qx

mean increment of measured quantities in iteration

Qy

mean increment of unmeasured quantities in iteration

Qmin

funkce nejmenších čtverců

G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet uzlů

4

Počet proudů

8

Počet složek

1

Počet měř.proměnných

6

Počet opravených proměnných

5

Stupeň redundance

2

Počet neměřených proměnných

2

Počet pozorovatelných proměnných

2

Počet nepozorovatelných proměnných

0

Počet volných proměnných

0

Počet rovnic

4

Počet nezávislých rovnic

4

Počet uživatelských rovnic

0

Střední residuum rovnic

3.5527E-15

Qmin

1.3081E+00

Qkrit

5.9739E+00

Status (Qmin/Qkrit)

P R O U D Y Název

0.218963

[KG/S] Typ

Zadáno

Vyrovnáno

Abs.chyba

-----------------------------------------------------------S1

MC

100.100

99.287

1.300

S2

MN

41.100

41.100

1.644

S3

MC

79.000

79.359

1.239

S4

MC

30.600

30.048

2.533

S5

MC

108.300

109.407

2.632

S6

MC

19.800

19.927

0.755

S7

NO

10.000

58.187

2.096

S8

NO

10.000

38.259

2.058

48

V informacích o průběhu výpočtů vidíme, že oproti předešlému příkladu se již měřené veličiny opravují (sloupec Qx v části Iterace). Ve druhé iteraci jsou již přírůstky veličin i rezidua rovnic prakticky nulové (dané počtem cifer, jimiž jsou čísla v počítači zobrazována). Hodnota váženého součtu čtverců odchylek Qmin je 1.308, což je menší, než kritická hodnota Qkrit = 5.9739 (pro chi-kvadrát rozdělení se dvěma stupni volnosti a hladinu významnosti 95 %). Situaci dobře popisuje tzv. status kvality dat definovaný rovnicí (3.11-1), což je poměr Qmin/Qkrit. Pokud je Qmin < Qkrit, data jsou v pořádku (nebyla detekována přítomnost hrubé chyby). V tomto případě musí být status zřejmě menší nebo roven hodnotě 1. K tomuto příkladu existuje v Kapitole 3 několik studií, které zde nebudeme opakovat. Pouze pro informaci:      

zlepšení přesnosti výsledků v důsledku vyrovnání (Příklad 3.5-1) detekce přítomnosti hrubé chyby (Příklad 3.6-1) identifikace hrubé chyby (Příklad 3.7-1) účinnost detekce hrubých chyb (Příklad 3.8-1) šíření chyb při zpracování dat a optimalizace měřicího systému (Příklad 3.9-2) parametrická citlivost (Příklad 3.10-1).

49

4.3 Hmotová bilance v ustáleném stavu s nepozorovatelnými veličinami Cílem tohoto příkladu je ukázat důsledky nedostatečného osazení systému měřicími přístroji.

Obr. 4.3-1: Bilanční schéma (demo příklad MC-4) Jsou zde 4 neměřené proudy (čerchované), takže by se mohlo zdát, že je lze ze 4 bilančních rovnic dopočítat. Vstupní data jsou: M A T E R I Á L O V É

ID

P R O U D Y

TYP

HODNOTA

[KG/S]

MAX.CHYBA

-------------------------------------------S1

N

100.1000

S2

N

41.1000

S3

M

79.0000

1.5800

S4

M

30.6000

3.0600

S5

M

108.3000

4.3320

S6

M

19.8000

0.7920

S7

N

10.0000

S8

N

10.0000

Zkrácené výsledky jsou následující: Počet měř.proměnných

4

Počet opravených proměnných

3

Stupeň redundance

1

Počet neměřených proměnných

4

Počet pozorovatelných proměnných

1

Počet nepozorovatelných proměnných

3

Počet volných proměnných

1

Počet rovnic

4

Počet nezávislých rovnic

4

50

U P O Z O R N Ě N Í 1. Zjištěny nepozorovatelné veličiny. Použijte prosím položku menu 'Výpočty>Klasifikace'

P R O U D Y Název

[KG/S] Typ

Zadáno

Vyrovnáno

Abs.chyba

-----------------------------------------------------------S1

NO

100.100

98.694

1.709

S2

NN

NEPOZOROVATELNÉ

S3

MC

S4

MC

79.000

78.894

1.514

30.600

30.203

2.550

S5

MC

108.300

109.097

2.696

S6

MN

19.800

19.800

0.792

S7

NN

NEPOZOROVATELNÉ

S8

NN

NEPOZOROVATELNÉ

Situace se však liší od případu studovaného v Oddílu 4.1. Setkali jsme se zde se situací, kdy v jedné části schématu je měření dostatek a existuje zde redundance (kolem uzlu N4), zatímco jinde je měření nedostatek (kolem uzlů N1, N2 a N3). S tímto se můžeme v praxi setkat dosti často, protože některé oblasti výroben jsou vzhledem k jejich důležitosti osazovány měřiči daleko více, než oblasti méně důležité. Důsledkem je pak upozornění ve výpisu programu, že jsou přítomny nepozorovatelné veličiny. Nejprve si všimněme, že v tomto případě neplatí vztah (3.3-1), který za určitých okolností umožňuje vypočítat stupeň redundance. Podle tohoto vztahu vychází stupeň redundance 0 (žádná redundance), zatímco ve skutečnosti jsou měřeny všechny proudy spojené s uzlem N4, které se také vyrovnávají. V základních informacích o výsledcích je položka Počet volných proměnných, což je nezbytný počet neměřených proměnných, které se musí doměřit nebo jinak fixovat, aby byly všechny veličiny pozorovatelné. Počet volných proměnných v tomto případě je 1, takže právě jedna neměřená veličina musí být doměřena, aby byl systém zcela pozorovatelný. Výběr této veličiny však není libovolný. Problém je v programu RECON řešen v menu Výpočty – Klasifikace. Výsledek je následující: N E P O Z O R O V A T E L N É Typ

V E L I Č I N Y

Veličina

------------MF

S2

MF

S7

MF

S8

Nepozorovatelné veličiny: 3 1 musí být změřena nebo fixována

51

Z uvedených proudů S2, S7 a S8 si můžeme vybrat. Všimněte si toho, že nemá význam doměřit další neměřený proud S1. Pokud bychom tak učinili, nepozorovatelnost by se tak nevyřešila, pouze by se zvětšil stupeň redundance (čtenář si může vyzkoušet).

52

4.4 Hmotová bilance v ustáleném stavu – neřešitelný systém Kromě veličin typu M (měřené) a N (neměřené) zná program RECON též tzv. fixní veličiny, tedy konstanty, které se v průběhu zpracování dat nemění. Lze je též chápat jako měřené veličiny s nulovou chybou. Protože s jejich hodnotami nemůže program volně manipulovat, v určitých situacích nelze proces vyrovnání dat dokončit (vynulovat rovnice modelu). Takovýto případ je na následujícím schématu.

Obr. 4.4-1: Bilanční schéma (demo příklad MC-5) Čárkované čáry zde představují fixní proudy. Na první pohled je zřejmé, že v bilanci uzlu N1 vystupují pouze fixní proudy. Pokud budou hodnoty jejich průtoků voleny libovolně, bilance kolem tohoto uzlu nebude pravděpodobně splněna. Vstupní data jsou následující: M A T E R I Á L O V É ID

TYP

P R O U D Y HODNOTA

[KG/S] MAX.CHYBA

-------------------------------------------S1

F

100.1000

S2

F

41.1000

S3

F

79.0000

S4

M

30.6000

3.0600

S5

M

108.3000

4.3320

S6

M

19.8000

0.7920

S7

F

58.0000

S8

N

10.0000

Při výpočtu s těmito daty se objeví následující výsledky: U P O Z O R N Ě N Í 1. Závislé rovnice vykazují významná rezidua => úloha je neřešitelná. Použijte prosím položku menu 'Výpočty>Řešitelnost'

53

I T E R A C E Iter

Qeq

Qx

Qy

Qmin

----------------------------------------------------------------START

9.9258E+00

1

2.5000E-01

3.3809E-01

2.7900E+01

7.8199E-01

2

2.5000E-01

4.2509E-15

0.0000E+00

7.8199E-01

3

2.5000E-01

4.2509E-15

0.0000E+00

7.8199E-01

4

2.5000E-01

4.2509E-15

0.0000E+00

7.8199E-01

5

2.5000E-01

4.2509E-15

0.0000E+00

7.8199E-01

Úloha nezkonvergovala !!!

Je vidět, že se nepodařilo systém bilančních rovnic vynulovat. Pokud využijeme službu menu Výpočty – Řešitelnost, získáme následující zprávu:

ZPRÁVA O ŘEŠITELNOSTI Následující fixní veličiny nejsou konzistentní:

Typ

Veličina

------------MF

S1

MF

S2

MF

S7

Legenda: MF

Hmotnostní tok

Poznámka Z těchto veličin musíte 1 překlasifikovat na 'M' (měřené) nebo 'N' (neměřené) Upravte prosím zadání úlohy

54

4.5 Látková bilance dělení LPG Směs uhlovodíků LPG (Liquified Petroleum Gas) se dělí na systému tří destilačních kolon:

Obr. 4.5-1: Bilanční schéma (demo příklad MC-6) Je zde celkem 5 složek, tři bilanční uzly (destilační kolony) a 8 proudů. Složky:

C1 C2 C3 C4 C5

ethan propan i-butan n-butan pentan+ (pentan a vyšší uhlovodíky)

Směs uhlovodíků S1 je přiváděna do uzlu N1, tzv. absorberu – desorberu. V jeho horní části se těžší uhlovodíky vypírají pentanovou frakcí S6 za vzniku tzv. zbytkového plynu S2, který je tvořen zejména ethanem. Na koloně N2 se oddělují uhlovodíky C4 a lehčí (proud C4) od pentanu a těžších uhlovodíků (proudy S5 a S6). Na koloně N3 se dělí propan (proud S7) od butanů (proud S8). Všechny průtoky a jejich složení jsou měřeny s výjimkou složení proudu S3. U maximálních chyb měření koncentrací se jedná o tzv. relativní procenta, tj. procenta z naměřené koncentrace v procentech. Vstupní data jsou následující:

55

M A T E R I Á L O V É

ID

P R O U D Y

SLOŽKA

TYP

[kg/h],

HODNOTA

[%]

MAX.CHYBA

------------------------------------------------------S1

S2

S3

S4

S5

S6

Průtok

M

8620.0000

4.0000 %

C1

M

10.500000

5.000000 %

C2

M

32.000000

3.000000 %

C3

M

43.600000

3.000000 %

C4

M

3.000000

15.000000 %

C5

M

9.500000

5.000000 %

Průtok

M

C1

M

85.700000

2.000000 %

C2

M

2.100000

15.000000 %

C3

M

2.300000

15.000000 %

C4

M

1.300000

15.000000 %

C5

M

9.900000

5.000000 %

Průtok

M

C1

N

0.100000

C2

N

15.000000

C3

N

20.000000

C4

N

5.000000

C5

N

60.000000

Průtok

M

C1

M

0.200000

40.000000 %

C2

M

41.200000

3.000000 %

C3

M

54.200000

3.000000 %

C4

M

2.700000

5.000000 %

C5

M

0.600000

40.000000 %

Průtok

M

810.0000

C1

F

0.00000E+0

C2

M

0.400000

40.000000 %

C3

M

1.800000

15.000000 %

C4

M

8.200000

5.000000 %

C5

M

90.200000

1.000000 %

Průtok

M

C1

F

0.00000E+0

C2

F

0.00000E+0

C3

M

0.200000

40.000000 %

C4

M

3.300000

15.000000 %

C5

M

95.900000

0.500000 %

1040.0000

17800.0000

6860.0000

10400.0000

6.0000 %

4.0000 %

4.0000 %

2.0000 %

4.0000 %

56

S7

S8

Průtok

M

2850.0000

2.0000 %

C1

M

0.600000

40.000000 %

C2

M

96.200000

0.500000 %

C3

M

3.700000

15.000000 %

C4

F

0.00000E+0

C5

F

0.00000E+0

Průtok

M

C1

M

0.100000

40.000000 %

C2

M

2.500000

15.000000 %

C3

M

91.400000

1.000000 %

C4

M

4.500000

5.000000 %

C5

M

0.700000

40.000000 %

4060.0000

2.0000 %

Při konfiguraci této úlohy musíme nejprve vložit složky (komponenty) C1 až C5. Plný název nevyplňujeme.

Obr. 4.5-2: Panel pro definici složek Při vytváření proudů se kromě průtoků vyplňují i koncentrace složek.

Obr. 4.5-3: Panel pro vyplňování parametrů proudů Dále uvedeme výpis výsledků. U vlastností proudů se z prostorových důvodů omezíme na jediný proud.

57

Úloha: MC-6 (Component balance of system of 3 dist. columns)

I T E R A C E Iter

Qeq

Qx

Qy

Qmin

----------------------------------------------------------------START

6.6866E-03

1

7.9806E-05

5.5151E-04

4.6870E-03

2.1447E+01

2

1.5241E-09

1.9499E-06

5.5365E-05

2.1364E+01

Legenda: Qeq

mean residual of equations

Qx

mean increment of measured quantities in iteration

Qy

mean increment of unmeasured quantities in iteration

Qmin

funkce nejmenších čtverců

G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet uzlů

3

Počet proudů

8

Počet složek

5

Počet měř.proměnných

38

Počet opravených proměnných

38

Počet stupňů volnosti

18

Počet neměřených proměnných

5

Počet pozorovatelných proměnných

5

Počet nepozorovatelných proměnných

0

Počet volných proměnných

0

Počet rovnic

23

Počet nezávislých rovnic

23

Počet uživatelských rovnic

0

Střední residuum rovnic

1.5241E-09

Qmin

2.1364E+01

Qkrit

2.8919E+01

Status (Qmin/Qkrit)

P R O U D Y

[kg/h],

Název proudu:

S1

Č.

Název

Typ

0.738748

[%]

Zadáno

Vyrovnáno

Abs.chyba

---------------------------------------------------------------Průtok

MC

8620.000

8756.334

102.642

1

C1

MC

10.500

10.429

0.368

2

C2

MC

32.000

32.677

0.413

3

C3

MC

43.600

44.048

0.459

4

C4

MC

3.000

3.017

0.084

5

C5

MC

9.500

9.829

0.196

58

4.6 Látková bilance chlorace metanu Následující oddíl popisuje bilanci jediného uzlu – reaktoru – v němž probíhá několik chemických reakcí.

Obr. 4.6-1: Bilanční schéma (demo příklad MC-7) Uvažujeme chloraci metanu. V systému se z bilančního hlediska vyskytuje celkem 7 složek (bilančním hlediskem máme na mysli to, že ignorujeme reakční meziprodukty, radikály, atp., které se sice rekcí účastní, nejsou však mezi výchozími látkami, ani mezi produkty):

Číslo látky

Vzorec

1

Cl2

2

CH4

3

CH3Cl

4

CH2Cl2

5

CHCl3

6

CCl4

7

HCl

Chlorační reaktor má jeden vstupní a 1 výstupní proud. Mezi sedmi složkami můžeme zapsat 4 nezávislé stechiometrické reakce: Cl2 + CH4 - CH3Cl - HCl

=0

Cl2 + CH3Cl - CH2Cl2 - HCl

=0

Cl2 + CH2Cl2 - CHCl3 - HCl

=0

Cl2 + CHCl3 - CCl4 - HCl

=0

(4.6-1)

59

Systém stechiometrických rovnic (4.6-1) tvoří tzv. maximální soustavu stechiometrických rovnic v daném systému látek. Každá další rovnice musí být lineárně závislá na tomto systému (lze ji vytvořit jako lineární kombinaci rovnic maximální soustavy). Například stechiometrická rovnice

2Cl2 + CH4 - CH2Cl2 - 2 HCl

=0

(4.6-2)

je součtem prvních dvou rovnic soustavy (4.6-1). K problému , co by se stalo, kdybychom tuto rovnici přidali k maximální soustavě a chtěli bychom ji pak využít při bilancování, se ještě vrátíme. Nyní se vraťme k zadání úlohy do programu RECON. Nejprve zadáme složky vystupující v úloze.

Obr. 4.6-2: Panel pro zadávání složek Dále musíme zadat hodnoty průtoků a koncentrací. M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

ID

TYP

SLOŽKA

[mol/s],

HODNOTA

[%]

MAX.CHYBA

------------------------------------------------------INPUT

Průtok

M

100.0000

3.0000 %

Cl2

M

62.100000

10.000000 %

CH4

M

26.900000

10.000000 %

CH3Cl

M

10.800000

10.000000 %

CH2C2

M

0.780000

10.000000 %

CHCl3

M

0.380000

10.000000 %

CCl4

F

0.00000E+0

Cl2

F

0.00000E+0

60

OUTPUT

Průtok

N

100.0000

Cl2

F

0.00000E+0

CH4

M

1.570000

10.000000 %

CH3Cl

M

6.830000

10.000000 %

CH2C2

M

24.800000

10.000000 %

CHCl3

M

4.820000

10.000000 %

CCl4

M

0.390000

10.000000 %

Cl2

M

59.300000

10.000000 %

Náš reaktor je laboratorní reaktor, u něhož jsou pouze odebírány vzorky vstupního a výstupního proudu a jsou analyzovány. Průtok je měřen pouze na vstupu. Sestavuje se látková bilance, tedy v jednotkách látkového množství (moly). Po zadání vlastností proudů je třeba zadat informace o chemických reakcích. Toto se provádí ve dvou krocích. Nejprve se vytvoří tzv. banka reakcí.

Obr. 4.6-3: Panel pro vytváření banky reakcí Ve druhém kroku se pak k reakčním uzlům přiřazují reakce definované v bance.

Obr. 4.6-4: Přiřazování rekcí k reakčnímu uzlu U panelu uzlu na Obr. 4.6-4 se nejprve zatrhne okénko Reakční uzel vpravo nahoře. Poté lze vybrat reakci ze seznamu v bance reakcí. Tímto je zadávání dat skončeno. Výsledky vyrovnání dat jsou následující:

61

G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet uzlů

1

Počet proudů

2

Počet složek

7

Počet reakcí :

4

Počet reakčních uzlů :

1

Počet měř.proměnných

12

Počet opravených proměnných

11

Stupeň redundance

4

Počet neměřených proměnných

5

Počet pozorovatelných proměnných

5

Počet nepozorovatelných proměnných

0

Počet volných proměnných

0

Počet rovnic

9

Počet nezávislých rovnic

9

Počet uživatelských rovnic

0

Střední residuum rovnic

4.9403E-07

Qmin

9.4573E-01

Qkrit

9.5145E+00

Status (Qmin/Qkrit)

P R O U D Y

[mol/s],

Název proudu:

INPUT

Č.

Název

Typ

0.099400

[%]

Zadáno

Vyrovnáno

Abs.chyba

---------------------------------------------------------------Průtok

MN

100.000

100.000

3.000

1

Cl2

MC

62.100

60.716

0.463

2

CH4

MC

26.900

27.328

0.742

3

CH3Cl

MC

10.800

10.797

1.031

4

CH2C2

MC

0.780

0.780

0.078

5

CHCl3

MC

0.380

0.380

0.038

6

CCl4

F

0.00E+0

0.00E+0

7

Cl2

F

0.00E+0

0.00E+0

Název proudu: Č.

Název

OUTPUT Typ

Zadáno

Vyrovnáno

Abs.chyba

---------------------------------------------------------------Průtok

NO

100.000

99.993

1

Cl2

F

0.00E+0

0.00E+0

2

CH4

MC

1.570

1.570

0.157

3

CH3Cl

MC

6.830

6.862

0.670

4

CH2C2

MC

24.800

25.598

0.818

5

CHCl3

MC

4.820

4.864

0.466

6

CCl4

MC

0.390

0.390

0.039

7

Cl2

MC

59.300

60.716

0.463

62

3.000

R O Z S A H

Uzel

R E A K C Í

Reakce

Rozsah

-----------------------------N1

R1

25.756

R2

29.691

R3

4.875

R4

0.390

Vraťme se nyní ještě k problematice soustavy stechiometrických rovnic, které při bilancování používáme. K soustavě rovnic (4.6-1) jsme ještě přidali závislou rovnici (4.6-2). Banka reakcí má pak podobu

Pokud přiřadíme k reaktoru N1 všech těchto 5 reakcí, výpočet proběhne s tím, že některé rozsahy reakcí jsou nepozorovatelné. R O Z S A H Uzel

R E A K C Í

Reakce

Rozsah

-----------------------------N1

R1

NEPOZOROVATELNÉ

R2

NEPOZOROVATELNÉ

R3

4.875

R4

0.390

R5

NEPOZOROVATELNÉ

Všechny ostatní výsledky jsou však stejné, jako před přidáním závislé reakce (4.6-2). Znamená to pouze to, že rozsahy závislých reakcí nelze z naměřených dat identifikovat (i když všechny reakce mohou v dané soustavě látek probíhat). Na druhé straně, pokud bychom některou z nezávislých rovnic soustavy (4.6-1) do reaktoru nepřiřadili, výsledky by se změnily a pravděpodobně by byla zjištěna přítomnost hrubé chyby.

63

5

Modely jednotkových tepelných operací

V předchozí kapitole jsme uvedli několik příkladů hmotových a látkových bilancí. U bilancí energie je situace komplikovanější z řady příčin. Kromě nevyhnutelných ztrát energie do okolí je zde problém modelování závislostí entalpie hmotových proudů na stavových proměnných, neboť naše znalost těchto závislostí není nikdy dokonalá. Proto již v názvu kapitoly hovoříme o modelech. Dále budou uvedeny modely základních tepelných operací. Z takovýchto jednotek je pak možné složit modely složitějších systémů. Tato kapitola čtenáři umožní vytvořit jednoduché modely v programu RECON a výsledky si zkontrolovat. Struktura všech oddílů je následující 1. BILANČNÍ SCHÉMA. Je to kopie schématu vytvořeného v grafickém editoru programu RECON. K jednotlivým proudům jsou dopsány identifikátory stavových veličin (T pro teplotu, P pro tlak a X pro vlhkost). Pokud je daná veličina měřena, je uvedena stojatým písmem, neměřené veličiny jsou uvedeny kurzívou. Podrobnosti lze nalézt v části příkladu VSTUPNÍ DATA. 2. VSTUPNÍ DATA. Je to poněkud zkrácený výpis dat úlohy vtvořený v programu RECON – menu Schéma – Přehled dat. Obsahuje veškeré informace potřebné pro konfiguraci úlohy 3. PANEL DEFINICE PARAMETRŮ MODELU UZLU. Je to panel. na němž se definují parametry uzlu pro energetickou bilanci. V případě složitějších schémat může být těchto panelů více. 4. VÝSLEDKY. Je to zkrácený výpis výsledků pro kontrolu uživatele vytvořený v programu RECON – menu Výpočty – Výsledky. Všechny příklady v této kapitole jsou bez hrubých chyb, nejsou proto uváděny hodnoty součty čtverců oprav Qmin. Přestože tato příručka nemá nahrazovat návod k programu RECON, uvedeme ještě stručně postup, který by měl čtenář při vytváření úloh dodržovat. 1. Vložit jméno úlohy, které je zároveň jménem souboru vytvářeného modelu 2. Vložit text hlavičky úlohy (dlouhý název) 3. V dalším panelu změnit fyzikální jednotky (pokud je třeba). Jednotky zvolené v jednotlivých příkladech jsou uvedeny v části VSTUPNÍ DATA. 4. Vložit název složky. Doporučujeme vložit H2O, plný název nevyplňovat. 5. Objeví se plocha grafického editoru. Než se začne kreslit, doporučujeme vložit hodnoty stavových veličin (teploty, tlaky a vlhkosti). Názvy, typy a hodnoty najde čtenář v části VSTUPNÍ DATA. Standardně jsou přednastaveny vlhkosti STEAM (vlhkost = 0) a WATER (vlhkost = 100). 6. Vlastní kreslení schématu doporučujeme začít nakreslením všech uzlů a tyto si vhodně na obrazovce umístit (při pozdějších změnách ve velikosti a umístění uzlů se naruší nakreslené proudy. U uzlů vyplníme pouze Název (je na schématu) a Popis (nějaký si vymyslíme). 7. Poté dokreslíme proudy. Jejich krátký název je uveden na schématu, popis si opět vymyslíme. Typy proudů, hodnoty a případně chyby (pro měřené veličiny) 64

najdeme v části VSTUPNÍ DATA. Pokud se jedná o energetický proud, musíme to označit v panelu proudu vpravo nahoře. Tímto skončila definice úlohy pro hmotovou bilanci. 8. Aby se pro daný uzel vytvářela rovnice energetické bilance, musíme na panelu uzlu označit tento uzel jako tepelný (čtvereček vpravo nahoře). Tímto se zpřístupní střed panelu pro konfiguraci tepelných funkcí, teplot, tlaků a vlhkostí. V tuto chvíli již musí být samozřejmě tyto stavové veličiny nadefinovány. Připomínáme, že se vyplňují pouze ty stavové veličiny, které jsou pro danou tepelnou funkci relevantní. Pro usnadnění této důležité části jsou všechny panely zobrazeny v textu. 9. Po konfiguraci všech tepelných uzlů je možné provést výpočet. Ještě vysvětleme některé zkratky používané v programu RECON dT F HTC M MC MN MPag N NO NN Q

střední tepelný rozdíl výměníku typ veličiny - fixní veličina (známá bez chyby) koeficient prostupu tepla typ veličiny - měřená veličina typ veličiny - měřená veličina opravitelná typ veličiny - měřená veličina neopravitelná jednotka tlaku (g na konci znamená diferenční tlak vzhledem k atmosférickému tlaku, obdobně i u dalších jednotek tlaku) typ veličiny - neměřená veličina typ veličiny - neměřená veličina pozorovatelná (observable) typ veličiny - neměřená veličina nepozorovatelná (non-observable) tepelný tok

Poznamenejme ještě, že některé příklady mají nulový stupeň redundance a jedná se o pouhé řešení soustavy rovnic. Pro jednoduché případy tvořené jedním nebo několika uzly je to v praxi typické. Redundance vzniká právě spojováním jednoduchých jednotkových operací do větších systémů. K většině příkladů uvedených v této kapitole bude mít čtenář k disposici též jejich vzorové řešení, tj. soubory s příslušnými modely. Názvy souborů odpovídají číslům oddílů v této kapitole. Např. příkladu z oddílu 5.1 odpovídá příklad E-1, příkladu z oddílu 5.2 příklad E-2, atd.

65

5.1 Směšovač tepelných proudů Směšovač dvou nebo více proudů je základní jednotkovou operací. Model vytváří dvě bilanční rovnice – bilance hmoty a bilance energie. Z modelu lze dopočítat maximálně dvě neměřené veličiny, např. výstupní průtok a teplotu. Následující příklad je mísení dvou proudů různě teplé vody. Před vytvořením schématu v grafickém editoru musí uživatel definovat 3 teploty a 1 tlak. Tlak v celém systému je atmosférický a vzhledem k teplotám je voda pod linií nasycení. Model je tvořen dvěma rovnicemi (hmotová a energetická bilance). Protože všechny veličiny jsou měřené, úloha má dva stupně redundance.

T-T1, P-atm T-T3, P-atm T-T2, P-atm

Obr. 5.1-1: Bilanční schéma VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

[KG/S]

S1

M

60.0000

1.0000

S2

M

40.0000

2.0000

S3

M

102.0000

2.0000

T E P L O T Y

[C]

T1

M

60.0000

1.0000

T2

M

40.0000

1.0000

T3

M

51.0000

1.0000

T L A K Y atm

[KPA] F

101.3250

66

Obr. 5.1-2: Panel definice modelu uzlu VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet stupňů volnosti

2

Počet rovnic

2

Qmin

3.764E+00

Qkrit

5.974E+00

V E L I Č I N Y Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[KG/S]

S1

MC

60.000

60.148

0.938

S2

MC

40.000

41.053

1.472

S3

MC

102.000

101.201

1.484

T E P L O T Y

[C]

T1

MC

60.000

59.653

0.880

T2

MC

40.000

39.769

0.946

T3

MC

51.000

51.589

0.600

101.325

101.325

T L A K Y atm

[KPA] F

Směšovač je základní typ uzlu. V praxi může mít více vstupů, může z něj i více proudů vystupovat. U pravého směšovače by měly mít všechny výstupní proudy stejný stav.

67

5.2 Jednoduchý výměník tepla Tento výměník se vyznačuje tím, že má pouze dva proudy, které si vyměňují teplo. Jeden proud je tzv. horký a druhý tzv. studený. Tento model generuje pouze jedinou rovnici (tepelná bilance). Za zmínku stojí, že k tomuto modelu se zadává teplosměnná plocha a počet chodů výměníku. Z modelu se pak kromě tepelného toku ve výměníku počítá i střední teplotní rozdíl a úhrnný koeficient prostupu tepla. V našem konkrétním případě se jedná o ohřev/chlazení vody s teplotou pod linií nasycení za atmosférického tlaku. Před vytvořením schématu v grafickém editoru je třeba zadat 4 teploty a 1 tlak. T-TCINP, P-atm

T-THINP, P-atm

T-THOUT, P-atm

T-TCOUT, P-atm

Obr. 5.2-1: Bilanční schéma VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

[t/h]

COLD

M

20.0000

2.0000 %

HOT

M

10.0000

2.0000 %

T E P L O T Y

[C]

TCINP

M

20.0000

1.0000

TCOUT

M

39.0000

1.0000

THINP

M

90.0000

1.0000

THOUT

M

50.0000

1.0000

T L A K Y atm

[KPA] F

100.0000

68

V Ý M Ě N Í K Y NÁZEV

[M^2]

Proud

Konec

Funkce

Teplota

Tlak

Vlhkost

Plocha

-----------------------------------------------------------------------------------

E1

HOT

H2O(T,P)

THINP

atm

Výstup

H2O(T,P)

THOUT

atm

Vstup

H2O(T,P)

TCINP

atm

Výstup

H2O(T,P)

TCOUT

atm

COLD

Vstup

100

Obr. 5.2-2: Panel definice parametrů modelu VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet stupňů volnosti

1

Počet rovnic

1

Qmin

1.481E+00

Qkrit

3.841E+00

V E L I Č I N Y Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno.

Max.chyba vyr.hodn.

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[t/h]

COLD

MC

20.000

20.056

0.389

HOT

MC

10.000

9.970

0.194

T E P L O T Y

[C]

TCINP

MC

20.000

19.629

0.802

TCOUT

MC

39.000

39.370

0.803

THINP

MC

90.000

89.814

0.954

THOUT

MC

50.000

50.185

0.955

100.000

100.000

T L A K Y atm

[KPA] F

69

V Ý M Ě N Í K Y

Název

[MJ/h],

Q(hot)

[C],

[MJ/h/M^2/C]

Q(cold)

Q(rec)

dT

HTC

------------------------------------------------------------------------E1

1675.797

1588.655

1655.290

39.672

0.417

Zde Q(hot) a Q(cold) znamenají převedená tepla vypočítaná z horkého a chladného proudu, Q(rec) pak teplo z vyrovnaných hodnot.

70

5.3 Obecný výměník tepla Obecný výměník tepla se liší od výměníku jednoduchého zejména tím, že může obsahovat více proudů, než dva. Je tvořen dvěma bilančními uzly, z nichž jeden představuje horkou stranu výměníku a druhý stranu studenou. Oba uzly jsou propojeny energetickým proudem, který představuje tok tepla z horké do studené strany přes teplosměnnou plochu. Toto uspořádání umožňuje modelovat situace, k jejichž popisu jednoduchý výměník není postačující. Tento model generuje celkem 4 bilanční rovnice – bilanci hmoty a energie kolem obou uzlů. Ve srovnání s jednoduchým výměníkem má však tři neznámé navíc – tepelný tok výměníkem a dva neznámé průtoky na výstupu z obou uzlů. Jeden stupeň redundance je k dispozici pro vyrovnání, pokud jsou známé všechny veličiny (tedy stejně jako v případě jednoduchého výměníku). Vyjdeme z předchozího příkladu , tj. ohřevu/chlazení vody s teplotou pod linií nasycení za atmosférického tlaku. Navíc budeme uvažovat ztrátu tepla ze studené strany QLOSS, kterou jsme předem odhadli na 20 MJ/h, chybu tohoto odhadu předpokládáme 4 MJ/h. Před kreslením schématu je třeba opět předem definovat 4 teploty a 1 tlak.

T-TCINP, P-atm

T-TCOUT, P-atm

T-THOUT, P-atm

T-THINP, P-atm

Obr. 5.3-1: Bilanční schéma Ze srovnání s jednoduchým výměníkem vidíme, že obě části výměníku mají dva proudy – vstupní a výstupní. Pokud je některý proud měřen, pak pouze jednou, např. na vstupu. Výstupní proud je pak dopočítán z hmotové bilance. VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

COLDIN

M

20.0000

COLDOUT

N

20.0000

HOTIN

M

10.0000

HOTOUT

N

10.0000

[t/h] 2.0000 %

2.0000 %

71

T O K Y

E N E R G I E

[MJ/h]

Q

N

1000.0000

QLOSS

M

20.0000

T E P L O T Y

4.0000

[C]

TCINP

M

20.0000

1.0000

TCOUT

M

39.0000

1.0000

THINP

M

90.0000

1.0000

THOUT

M

50.0000

1.0000

T L A K Y atm

[KPA] F

100.0000

PANELY DEFINICE PARAMETRŮ MODELU

Obr. 5.3-2: Studená strana výměníku

Obr. 5.3-3: Horká strana výměníku

72

VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Stupeň redundance

1

Počet rovnic

4

Qmin

8.792E-01

Qkrit

3.841E+00

V E L I Č I N Y Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[t/h]

COLDIN

MC

20.000

20.043

0.389

COLDOUT

NO

20.000

20.043

0.389

HOTIN

MC

10.000

9.977

0.194

HOTOUT

NO

10.000

9.977

0.194

T O K Y

E N E R G I E

[MJ/h]

Q

NO

1000.000

1659.996

59.427

QLOSS

MC

20.000

20.055

3.998

T E P L O T Y

[C]

TCINP

MC

20.000

19.714

0.802

TCOUT

MC

39.000

39.285

0.803

THINP

MC

90.000

89.857

0.954

THOUT

MC

50.000

50.143

0.955

100.000

100.000

T L A K Y atm

[KPA] F

Výsledky je možné porovnat s předchozím příkladem jednoduchého výměníku. Jediným rozdílem je zde ztrátový energetický proud. V případě obecného výměníku tepla již není automaticky počítán střední teplotní rozdíl a koeficient prostupu tepla. Pokud tyto veličiny uživatel potřebuje, musí si je nadefinovat pomocí uživatelských rovnic.

73

5.4 Generátor páry Pára může být v praxi generována různými způsoby (např. horkými spalinami, jinou párou o vyšším tlaku nebo horkým teplosměnným médiem). Stav při vlastním varu uvnitř generátoru lze definovat buď teplotou nebo tlakem. Přitom se předpokládá fázová rovnováha mezi kapalnou a parní fází. Tuto jednotkovou operaci lze podle její složitosti modelovat jako jednoduchý nebo obecný výměník tepla. Protože generátor páry v jaderné elektrárně bude předmětem rozsáhlejší případové studie dále, připravíme si tento model pro další použití. Teplo je do parogenerátoru (PG) dodáváno tlakovou horkou vodou cirkulující mezi jaderným reaktorem a tlakovodní částí PG. Do parní části PG se přivádí napájecí voda a odchází z ní pára a odluh. Pára obsahuje malé množství kapalné fáze. Protože zde je více proudů než 2, použijeme model obecného výměníku. V tomto modelu jsou generovány celkem 4 bilanční rovnice. Pokud jsou měřeny průtoky všech hmotových proudů spojených s parním prostorem a průtok horké vody na vstupu do tlakovodního prostoru, máme celkem 2 neznámé toky – výstup horké vody a tepelný tok. Pokud dále měříme všechny teploty a tlaky, jsou k dispozici dva stupně redundance pro vyrovnání a validaci dat.

T-SG, X-WATER

T-FW , P-FW

T-SG, X-STEAM

T-HWIN, P-HW

T-HWOUT, P-HW

Obr. 5.4-1: Bilanční schéma VSTUPNÍ DATA Kromě průtoků proudů v problému vystupují 4 teploty (teploty horké vody HWIN a HWOUT, teplota v parogenerátoru SG platící pro výstupní páru a odluh a teplota napájecí vody FW). Dále jsou zde dva tlaky (FW pro napájecí vodu a HW pro horkou vodu). Nově jsou zde dvě vlhkosti pro kapalnou vodu (WATER) a páru (STEAM).

74

NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

[KG/S]

BLOWDOWN

M

6.1200

5.0000 %

FW

M

444.5000

2.0000 %

HWIN

M

5650.0000

5.0000 %

HWOUT

N

5000.0000

STEAM

M

445.0000

T O K Y QSG

E N E R G I E N

2.0000 %

[KJ/S]

800000.0000

T E P L O T Y

[C]

HWIN

M

295.2000

1.0000

HWOUT

M

265.8000

1.0000

SG

M

257.6000

1.0000

FW

M

221.6000

1.0000

T L A K Y

[KPA]

FW

M

10000.0000

0.5000 %

HW

M

10000.0000

0.5000 %

V L H K O S T I

[%]

STEAM

F

0.2500

WATER

F

100.0000

PANEL DEFINICE PARAMETRŮ MODELU

Obr. 5.4-2: Parní prostor

75

Obr. 5.4-3: Vodní prostor VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Stupeň redundance

2

Počet rovnic

4

Qmin

4.001E+00

Qkrit

5.974E+00

V E L I Č I N Y Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[KG/S]

BLOWDOWN

MC

6.120

6.115

0.306

FW

MC

444.500

448.863

6.172

HWIN

MC

5650.000

5471.834

200.270

HWOUT

NO

5000.000

5471.834

200.270

STEAM

MC

445.000

442.748

6.172

816004.219

11530.738

T O K Y QSG

E N E R G I E NO

[KJ/S]

800000.000

T E P L O T Y

[C]

FW

MC

221.600

221.570

0.999

HWIN

MC

295.200

294.745

0.863

HWOUT

MC

265.800

266.161

0.890

SG

MC

257.600

257.597

1.000

T L A K Y

[KPA]

FW

MC

10000.000

9999.995

50.000

HW

MC

10000.000

10000.159

50.000

V L H K O S T I

[%]

STEAM

F

0.250

0.250

WATER

F

100.000

100.000

Bilancování parogenerátoru bývá v praxi velmi důležité. Tento příklad budeme ještě z jiných hledisek podrobně pitvat v jedné Případové studii dále. 76

5.5 Kondenzace páry Při kondenzaci předává pára své kondenzační teplo chladnému proudu, kterým je většinou podchlazená kapalina. Pokud je cílem právě toto ohřátí, celé zařízení se nazývá parní ohřívák. Pára se v kondenzátoru mění na kondenzát, což může být voda na linii nasycení, případně poněkud podchlazená (v tomto oddílu nebudeme pro jednoduchost podchlazení uvažovat). Rozdíl entalpie vstupující páry a vystupujícího kondenzátu určuje množství předaného tepla. Stav při vlastní kondenzaci uvnitř výměníku lze definovat buď teplotou nebo tlakem. Přitom se předpokládá fázová rovnováha mezi párou a kondenzátem. Výměník tepla s kondenzací lze podle jeho složitosti modelovat jako jednoduchý nebo obecný výměník. Dále použijeme formu obecného výměníku. Příklad popisuje vysokotlaký ohřívák napájecí vody topený odběrovou párou z vysokotlaké turbíny. V tomto uspořádání je běžně měřen pouze průtok napájecí vody. Dále je měřen tlak odběru páry STEAM (který aproximuje tlak v parním prostoru ohříváku) a teploty napájecí vody před ohřívákem (FW-IN) a za ohřívákem (FW-OUT). Dále je známa vlhkost páry na výstupu z turbíny. Tento model vytváří 4 bilanční rovnice, současně jsou zde však 4 neznámé (průtoky páry, kondenzátu, napájecí vody na výstupu a tepelný tok). Stupeň redundance je 0 a k vyrovnání dat nedochází. Model je při této konstelaci měření pouze schopen dopočítat všechny neměřené veličiny.

P-STEAM, X-STEAM

P-STEAM, X-WATER

T-FW-OUT, P-FW

T-FW-IN, P-FW

Obr. 5.5-1: Bilanční schéma VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

COND

N

60.0000

FW-IN

M

1320.0000

FW-OUT

N

1300.0000

STEAM

N

60.0000

T O K Y

E N E R G I E

[T/H]

2.0000 %

[GJ/H]

77

Q

N

60.0000

T E P L O T Y

[C]

FW-IN

M

191.0000

1.0000

FW-OUT

M

223.0000

1.0000

T L A K Y

[MPAG]

FW

M

6.5000

0.1000

STEAM

M

2.8400

2.000E-2

V L H K O S T I

[%]

steam

F

4.6000

water

F

100.0000

PANEL DEFINICE PARAMETRŮ MODELU

Obr. 5.5-2: Parní strana

Obr. 5.5-3: Strana napájecí vody VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Stupeň redundance

0

Počet rovnic

4

Qmin

0.000E+00

78

Qkrit

0.000E+00

V E L I Č I N Y Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[T/H]

COND

NO

60.000

110.800

5.383

FW-IN

MN

1320.000

1320.000

26.400

FW-OUT

NO

1300.000

1320.000

26.400

STEAM

NO

60.000

110.800

5.383

60.000

190.266

9.243

T O K Y Q

E N E R G I E NO

T E P L O T Y

[GJ/H]

[C]

FW-IN

MC

191.000

191.000

1.000

FW-OUT

MC

223.000

223.000

1.000

T L A K Y

[MPAG]

FW

MC

6.500

6.500

0.100

STEAM

MC

2.840

2.840

0.020

V L H K O S T I

[%]

steam

F

4.600

4.600

water

F

100.000

100.000

V tomto případě se nejednalo o vyrovnání dat, ale pouze o přímý výpočet (stupeň redundance byl 0). Je zřejmé, že hodnoty všech měřených veličin před vyrovnáním musí být stejné jako po něm. Toto však neplatí pro veličiny neměřené. Často při konfiguraci úlohy neznáme hodnotu neměřených veličin ani přibližně. Je pak otázkou, jak se se špatnými prvními odhady neměřených veličin software vyrovná. Program RECON nedovolí zadat jako první odhad pro neměřené hodnoty nulu. Zvláštní pozornost zasluhují případy, kdy entalpická funkce není vzájemně jednoznačnou funkcí teploty nebo tlaku (entalpie páry v závislosti na teplotě nebo tlaku prochází maximem a jedné hodnotě entalpie mohou odpovídat dvě hodnoty teploty nebo tlaku).

79

5.6 Expandér Expandéry slouží k převádění horké vody z vyššího na nižší tlak (často jako součást kaskády kondenzátů z parního systému). Část tepelné energie se přitom projeví vznikem parní fáze. Z jednoho kapalného proudu přitom vznikají dva proudy – kapalný a parní. Přitom se předpokládá, že tyto dva proudy jsou ve stavu fázové rovnováhy. Situace je ještě komplikovaná tím, že parní fáze může obsahovat kapalný podíl v důsledku nedokonalé separace kapiček vody (závisí na konstrukci expandéru). Následující příklad bude jednoduchý – kondenzát na linii nasycení expanduje z vyššího tlaku na nižší. Kondenzát je definovaný teplotou, ve vlastním expandéru je udržován konstantní tlak. Vzniklá pára obsahuje 0.2 % kapalné fáze. Z průtoků je měřen pouze vstup do expandéru. Tento model vytváří dvě bilanční rovnice. Současně jsou zde 2 neměřené průtoky vystupující z expandéru. Stupeň redundance je tedy 0. Model tedy slouží k výpočtu rozdělení fází v expandéru. P-EXP, X-STEAM

T-W-IN, X-WATER

P-EXP, X-WATER

Obr. 5.6-1: Bilanční schéma VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

STEAM-OUT

N

2.0000

WATER-IN

M

26.0000

WATER-OUT

N

20.0000

T E P L O T Y W-IN

5.0000 %

[C]

M

T L A K Y EXP

[T/H]

258.0000

1.0000

0.6600

5.000E-3

[MPAG] M

V L H K O S T I

[%]

steam

F

0.200E+0

water

F

100.0000

80

Obr. 5.6-2: Panel definice parametrů modelu VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Stupeň redundance

0

Počet rovnic

2

Qmin

0.000E+00

Qkrit

0.000E+00

V E L I Č I N Y

Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[T/H]

STEAM-OUT

NO

2.000

5.236

0.269

WATER-IN

MN

26.000

26.000

1.300

WATER-OUT

NO

20.000

20.764

1.041

258.000

258.000

1.000

0.660

0.660

5.00E-3

T E P L O T Y W-IN

[C]

MC

T L A K Y EXP

[MPAG] MC

V L H K O S T I

[%]

steam

F

0.00E+0

0.20E+0

water

F

100.000

100.000

81

5.7 Škrcení páry Škrcení páry je adiabatický proces, kdy je tlak páry při proudění snížen překážkou proudění. Škrticí orgán může mít pevný průřez (např. škrticí clona) nebo proměnlivý průřez (regulační ventil). Pokud zanedbáme ztráty tepla do okolí, je možno tímto způsobem modelovat i ztrátu tlaku při proudění tekutin v potrubí. Tento model vytváří 2 bilanční rovnice (bilance hmoty a energie). V následujícím příkladu budeme mít 2 neznámé veličiny – průtok páry a vlhkost páry na výstupu ze škrticího orgánu. Opět se bude tedy jednat o pouhé řešení rovnic modelu bez vyrovnání dat. U energie proudů může hrát roli též její kinetická složka (v důsledku poklesu tlaku se mění i rychlost proudění za škrticím orgánem). V případě vlhké páry dochází též ke změně vlhkosti. Přestože se jedná o jednoduchou operaci, výsledky výpočtů nemusí být triviální, jak ukáží následující příklady P-IN, X-STEAM-IN

P-OUT, X-STEAM-OUT

Obr. 5.7-1: Bilanční schéma VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

STEAM-IN

M

440.0000

STEAM-OUT

N

400.0000

T L A K Y

[T/H] 4.0000 %

[MPAG]

IN

M

2.6500

5.000E-2

OUT

M

2.3500

5.000E-2

V L H K O S T I

[%]

STEAM-IN

F

0.2500

STEAM-OUT

N

0.2500

82

Obr. 5.7-2: Panel definice parametrů modelu VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet stupňů volnosti

0

Počet rovnic

2

Qmin

0.000E+00

Qkrit

0.000E+00

V E L I Č I N Y

Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[T/H]

STEAM-IN

MN

440.000

440.000

17.600

STEAM-OUT

NO

400.000

440.000

17.600

2.650

2.650

0.050

2.350

2.350

0.050

T L A K Y

[MPAG]

IN

MC

OUT

MC

V L H K O S T I

[%]

STEAM-IN

F

0.250

0.250

STEAM-OUT

NO

0.250

0.187

0.016

Je vidět, že v důsledku škrcení poklesla vlhkost páry. Ještě jsme provedli jeden výpočet s vyššími tlaky páry, hodnoty ostatních veličin zůstaly stejné. T L A K Y

[MPAG]

IN

M

4.6500

5.000E-2

OUT

M

4.3500

5.000E-2

Výsledné vlhkosti nyní byly V L H K O S T I

[%]

STEAM-IN

F

0.250

0.250

STEAM-OUT

NO

0.250

0.373

83

0.029

V tomto případě vlhkost páry vzrostla z hodnoty 0.187 % v předchozím příkladu na hodnotu 0.373 %. Zdánlivý rozpor obou výsledků vyplývá ze závislosti entalpie syté páry na tlaku. Zatímco v prvním případě entalpie s tlakem rostla, ve druhém příkladu s vyššími tlaky jsme již byli v oblasti, kde entalpie syté páry s tlakem klesá (viz p-i diagram vodní páry). Hranicí je cca 235 oC, resp. 3.06 MPa. V okolí těchto hodnot je závislost entalpie syté páry na teplotě nebo na tlaku velmi plochá a prochází maximem. Tento fakt má významný vliv na přesnost bilančních výpočtů a bude dokumentován podrobněji v jedné z případových studií.

84

5.8 Separátor vlhkosti Separátor vlhkosti slouží k oddělení kapalné fáze z vlhké páry. Jelikož vlhkost páry se obtížně měří, vychází se zde většinou z předpokladu vstupní vlhkosti a účinnosti separace vyjádřené např. vlhkostí páry na výstupu ze separátoru. Model separátoru generuje 2 rovnice. Vstupními veličinami může být například průtok páry na vstupu a vlhkosti páry na vstupu a výstupu ze separátoru. Lze pak například vypočítat průtoky oddělené kapalné fáze a páry na výstupu ze separátoru. V následujícím příkladu budeme předpokládat, že celý separátor pracuje pod jedním tlakem. P-SEP, X-STEAM-OUT P-SEP, X-STEAM-IN

P-SEP, X-WATER

Obr. 5.8-1: Bilanční schéma VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

CONDENS

N

10.0000

STEAM-IN

M

64.2000

STEAM-OUT

N

40.0000

T L A K Y SEP

[T/H]

4.0000 %

[KPAG] M

V L H K O S T I

0.6600

5.000E-3

[%]

STEAM-IN

F

6.2000

STEAM-OUT

F

0.3000

water

F

100.0000

85

Obr. 5.8-2: Panel definice parametrů modelu VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Stupeň redundance

0

Počet rovnic

2

Qmin

0.000E+00

Qkrit

0.000E+00

V E L I Č I N Y

Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[T/H]

CONDENS

NO

10.000

3.799

0.152

STEAM-IN

MN

64.200

64.200

2.568

STEAM-OUT

NO

40.000

60.401

2.416

0.660

0.660

5.00E-3

T L A K Y SEP

[KPAG] MC

V L H K O S T I

[%]

STEAM-IN

F

6.200

6.200

STEAM-OUT

F

0.300

0.300

water

F

100.000

100.000

86

5.9 Vstup/výstup energie (čerpadlo) Často se setkáváme s potřebou přívodu nebo odvodu energie do systému. Příkladem může být např. odvod tepla do okolí nebo práce konaná na hřídeli turbíny. Problematiku si ukážeme na příkladu energetické bilance čerpadla. Čerpadlo slouží ke zvýšení tlaku čerpané tekutiny. Energie k tomu potřebná se dodává většinou elektrickým motorem. Celkový příkon elektrického motoru se převádí do čerpadla s určitou účinností (např. 95 %). Zbývající část elektrické energie se odvádí do okolí chlazením motoru. To, co vstupuje do energetické bilance čerpadla, je pouze energie převedená hřídelem spojujícím motor a čerpadlo. Mechanická energie se dále ve vlastním čerpadle přeměňuje na energii tlakovou a tepelnou (ohřev tekutiny). Poměr obou energií závisí na konstrukci čerpadla, jeho mechanickém stavu a provozovaném režimu. Dále uvedeme energetickou bilanci samotného čerpadla. Mechanická energie vstupující do čerpadla se měří elektrickým příkonem motoru vynásobeným jeho účinností.

T-IN, P-IN

T-OUT, P-OUT

Obr. 5.9-1: Bilanční schéma VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

IN

M

836.0000

OUT

N

800.0000

T O K Y POWER

E N E R G I E M

3.0000 %

[MWH/H] 0.5500

T E P L O T Y

[T/H]

10.0000 %

[C]

IN

M

38.8000

OUT

N

38.0000

T L A K Y

1.0000

[MPAG]

IN

M

1.0800

1.000E-2

OUT

M

1.9800

1.000E-2

87

Obr. 5.9-2: Panel definice parametrů modelu VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Stupeň redundance

0

Počet rovnic

2

Qmin

0.000E+00

Qkrit

0.000E+00

V E L I Č I N Y

Název

Typ

Měřeno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[T/H]

IN

MN

836.000

836.000

25.080

OUT

NO

800.000

836.000

25.080

0.550

0.550

0.055

T O K Y POWER

E N E R G I E MN

T E P L O T Y

[MWH/H]

[C]

IN

MC

38.800

38.800

1.000

OUT

NO

38.000

39.176

1.002

T L A K Y

[MPAG]

IN

MC

1.080

1.080

0.010

OUT

MC

1.980

1.980

0.010

Tento jednoduchý příklad ukázal jednoduché propojení energetického systému s „okolním světem“. U mechanické energie dodávané do čerpadla šlo o pouhý hrubý odhad (nejistota 10 % může být i příliš optimistická). Na druhé straně nám vyšlo zvýšení teploty za čerpadlem o necelé 0.4 oC, což je jistě v rámci nejistot při měření teplot. Naštěstí tepelný ekvivalent mechanické práce je malý.

88

5.10 Turbínový dílek Pro potřeby bilancování definujeme turbínový dílek (TD) jako část turbíny s jedním odběrem. Takto definovaný TD může obsahovat jedno nebo více oběžných kol, z hlediska bilance však toto není podstatné. Hlavním cílem bilance TD je zjištění práce konané na hřídeli turbíny, která je jinak prakticky neměřitelná. Dále budeme předpokládat, že do TD vstupuje pára o známém tlaku a teplotě nebo vlhkosti (v případě vlhké páry). V TD pára koná práci a z dílku vystupuje do dalšího dílu turbíny (nebo vystupuje ven z turbíny) a do odběru. U výstupních proudů předpokládáme znalost tlaku a teploty nebo vlhkosti (v případě vlhké páry). Pokud by některé z těchto veličin nebyly známé, mohou vzniknout problémy s pozorovatelností neměřených veličin. Protože turbína je součástí většího systému, pozorovatelnost se zlepší integrací modelu TD do celkového modelu. V následujícím příkladu spojíme model TD s modelem předehřevu napájecí vody. Odběr turbíny kondenzuje ve výměníku a přitom předehřívá napájecí vodu. Z jejího předehřevu lze z bilance dopočíst množství odběrové páry, která není měřena.

T-FW-OUT, P-FW P-STEAM-OUT, X-STEAM-OUT T-STEAM-IN, X-STEAM-IN

P-STEAM-OUT, X-WATER

T-FW-IN, P-FW

Obr. 5.10-1: Bilanční schéma Zde je třeba vysvětlit: T

turbínový dílek

FWS

předehřev napájecí vody – parní část výměníku

FWW

předehřev napájecí vody – vodní část výměníku

STEAM-IN

sytá pára vstupující do TD. Je definována teplotou (X = 0).

STEAM-OUTpára vystupující z TD odcházející do dalšího TD. Její vlhkost je 3.6 % 89

STEAM-FW odběrová pára vytápějící ohřívák napájecí vody. Její stav je stejný jako u proudu STEAM-OUT SW

práce na hřídeli turbíny (Shaft Work)

COND

kondenzát z odběrové páry

Q

teplo předané v ohříváku napájecí vody

FW-IN

vstupující napájecí voda

FW-OUT

vystupující napájecí voda

VSTUPNÍ DATA NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

COND

N

100.0000

FW-IN

M

1350.0000

FW-OUT

N

1300.0000

STEAM-FW

N

100.0000

STEAM-IN

M

1320.0000

STEAM-OUT

N

1250.0000

T O K Y

E N E R G I E

2.0000 %

3.0000 %

[MWH/H]

Q

N

50.0000

SW

N

30.0000

T E P L O T Y

[T/H]

[C]

FW-IN

M

191.0000

1.0000

FW-OUT

M

223.0000

1.0000

STEAM-IN

M

256.0000

1.0000

T L A K Y

[MPAG]

FW

M

6.6000

5.000E-2

STEAM-OUT

M

2.8400

2.000E-2

V L H K O S T I

[%]

STEAM-IN

F

0.000E+0

STEAM-OUT

F

3.6000

water

F

100.0000

90

PANEL DEFINICE PARAMETRŮ MODELU

Obr. 5.10-2: Turbínový dílek

Obr. 5.10-3: Předehřívák – parní část

Obr. 5.10-4: Předehřívák – vodní část

91

VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Stupeň redundance

0

Počet rovnic

6

Qmin

0.000E+00

Qkrit

0.000E+00

V E L I Č I N Y Název

Typ

Stará hodn.

Nová hodn.

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[T/H]

COND

NO

100.000

112.127

5.448

FW-IN

MN

1350.000

1350.000

27.000

FW-OUT

NO

1300.000

1350.000

27.000

STEAM-FW

NO

100.000

112.127

5.448

STEAM-IN

MN

1320.000

1320.000

39.600

STEAM-OUT

NO

1250.000

1207.873

39.973

T O K Y

E N E R G I E

[MWH/H]

Q

NO

50.000

54.046

2.625

SW

NO

30.000

22.097

0.685

T E P L O T Y

[C]

FW-IN

MC

191.000

191.000

1.000

FW-OUT

MC

223.000

223.000

1.000

STEAM-IN

MC

256.000

256.000

1.000

T L A K Y

[MPAG]

FW

MC

6.600

6.600

0.050

STEAM-OUT

MC

2.840

2.840

0.020

V L H K O S T I

[%]

STEAM-IN

F

0.00E+0

0.00E+0

STEAM-OUT

F

3.600

3.600

water

F

100.000

100.000

92

5.11 Fázová rovnováha voda – vodní pára Vyrovnání dat pomocí fázové rovnováhy si ukážeme na modelu parogenerátoru (PG), který byl již podrobně uveden v oddílu 4.4. Na modelu vytvořeném v grafickém editoru se nic nemění a čtenáře odkazujeme do výše uvedeného oddílu. Dále bude popsáno rozšíření modelu o rovnici fázové rovnováhy. Předpokládejme nyní, že kromě teploty byl v PG měřen i tlak. Vztah mezi teplotou a tlakem se nezadává v grafickém editoru, ale v editoru uživatelských rovnic. Jsou zde dvě možnosti – buď vyjádřit teplotu jako funkci tlaku nebo tlak jako funkci teploty. Výsledek by však na této volbě neměl prakticky záviset. V původním modelu jsou generovány celkem 4 bilanční rovnice, fázová rovnováha tvoří rovnici pátou. V úloze jsou dvě neměřené veličiny a k dispozici jsou tedy tři stupně redundance pro vyrovnání a validaci dat.

Obr. 5.11-1: Editor uživatelských rovnic Rovnice EQUIL zde představuje vztah mezi měřenou teplotou T a rovnovážnou teplotou T*, která je funkcí tlaku. T* = T(P)

(4.11-1)

V editoru má rovnice tvar [ST-[T]

,

(4.11-2)

93

což je anulovaný tvar rovnice (4.11-1). Funkce ST (Saturated Temperature) vyvolaná tlačítkem „Sytá pára – tepl.“ má argument měřeného tlaku PSG. Druhý člen v rovnici je měřená teplota TSG. VSTUPNÍ DATA Kromě průtoků proudů v problému vystupují 4 teploty (teploty horké vody HWIN a HWOUT, teplota v parogenerátoru TSG platící pro výstupní páru a odluh a teplota napájecí vody FW). Dále jsou zde tři tlaky (tlak v parogenerátoru PSG, FW pro napájecí vodu a HW pro horkou vodu). Nově jsou zde dvě vlhkosti pro kapalnou vodu (WATER) a páru (STEAM). NÁZEV

TYP

HODNOTA

MAX.CHYBA

-------------------------------------------M A T E R I Á L O V É

P R O U D Y

[KG/S]

BLOWDOWN

M

6.1200

5.0000 %

FW

M

444.5000

2.0000 %

HWIN

M

5650.0000

5.0000 %

HWOUT

N

5000.0000

STEAM

M

445.0000

T O K Y QSG

E N E R G I E N

2.0000 %

[KJ/S]

800000.0000

T E P L O T Y

[C]

HWIN

M

295.2000

1.0000

HWOUT

M

265.8000

1.0000

SG

M

257.6000

1.0000

FW

M

221.6000

1.0000

T L A K Y

[KPA]

FW

M

10.0000

0.5000 %

HW

M

10.0000

0.5000 %

PSG

M

4.5400

1.0000 %

V L H K O S T I

[%]

STEAM

F

0.2500

WATER

F

100.0000

PANEL DEFINICE PARAMETRŮ MODELU Oba panely jsou stejné jako v oddílu 4.11. VÝSLEDKY G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet stupňů volnosti

3

Počet rovnic

5

Počet uživatelských rovnic

1

Qmin

4.409E+00

Qkrit

7.842E+00

94

V E L I Č I N Y Název

Typ

Zadáno

Vyrovnáno

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[KG/S]

BLOWDOWN

MC

6.120

6.115

0.306

FW

MC

444.500

448.864

6.172

HWIN

MC

5650.000

5471.657

200.269

HWOUT

NO

5000.000

5471.657

200.269

STEAM

MC

445.000

442.749

6.172

815954.273

11528.935

T O K Y QSG

E N E R G I E NO

[KJ/S]

800000.000

T E P L O T Y

[C]

FW

MC

221.600

221.570

0.999

HWIN

MC

295.200

294.744

0.863

HWOUT

MC

265.800

266.162

0.890

TSG

MC

257.600

257.876

0.522

T L A K Y

[MPA]

FW

MC

10.000

10.000

0.050

HW

MC

10.000

10.000

0.050

PSG

MC

4.540

4.532

0.039

V L H K O S T I

[%]

STEAM

F

0.250

0.250

WATER

F

100.000

100.000

Poznámka: Pokud bychom vytvořili uživatelskou rovnici pro fázovou rovnováhu a teplota nebo tlak by byly neměřené, sloužilo by to pouze k dopočtu neměřené veličiny a stupeň redundance by zůstal stejný. V tomto případě by RECON pouze sloužil jako kalkulátor rovnovážné teploty nebo tlaku. Poznamenejme ještě, že v panelu „Bilance uzlu“ jsou neměřené teploty resp. tlaky v podmínkách fázové rovnováhy uživateli k dispozici automaticky, i bez definice uživatelské rovnice ♦

95

5.12 Uživatelem definované veličiny a rovnice Tento příklad byl převzat z rozsáhlejší úlohy. Nebude zde proto kompletně vyřešen. Cílem je pouze ukázat začlenění uživatelem definovaných veličin a rovnic do celého modelu. Máme systém s šesti parogenerátory, jejichž tepelné výkony (energetické toky) mají identifikátory QPG1, QPG2 až QPG6 [MW]. Pro součet jejich výkonů jsme zavedli pomocnou veličinu QNR [MW] definovanou rovnicí QNR = QPG1 + QPG2 + QPG3+ QPG4+ QPG5+ QPG6

(4.12-1)

Na následujícím obrázku je panel pro definici pomocných veličin, kde je veličina QNR definována.

Obr. 5.12-1: Panel pro definici pomocných veličin Dále je třeba napsat uživatelskou rovnici. Důležité zde je, že pokud vystupují v rovnici standardní veličiny (průtoky, tlaky apod.), program je dosazuje v základních jednotkách soustavy SI. Pro lepší pochopení je třeba si uvědomit, že program sice navenek pracuje v soustavě jednotek, které si uživatel zvolil, pro vlastní výpočty jsou však všechny hodnoty převedeny do soustavy SI. Teprve po skončení všech výpočtů jsou data opět uživateli presentována ve zvolené soustavě jednotek. U pomocných veličin však toto neplatí. O fyzikální rozměr pomocných veličin se musí postarat uživatel sám

Pokud tedy chceme v našem případě aby byla veličina QNR v MW, musíme na to pamatovat při psaní uživatelské rovnice. Rovnice pak musí vypadat následovně [připomínáme, že rovnice zadávané do programu RECON jsou v anulovaném tvaru rovnice (4.12-2) vznikla z rovnice (4.12-1)] QNR * 1000000 - QPG1 - QPG2 - QPG3 - QPG4 - QPG5 - QPG6 = 0

(4.12-2)

Konstanta 1000000 zde představuje převod veličiny QNR (která je v MW) na jednotku v soustavě SI, tj. W. Realizace v programu RECON je na následujícím obrázku

96

Obr. 5.12-2: Panel pro definici uživatelských rovnic Zde připomeňme, že syntaxe zápisu veličin je [druh veličiny]. Například [V] znamená, že veličina QNR je pomocná (Various). Naproti tomu [S] - veličina QPG1 - je průtok proudu (Stream). Touto syntaxí se samozřejmě nemusí uživatel zatěžovat, program ji vytváří sám.

97

5.13 Dělič proudu Na závěr ještě zmíníme jednu velmi častou jednotkovou tepelnou operaci, pro niž se však v praxi energetická bilance téměř nikdy nesestavuje. Děličem proudů rozumíme rozdělení jednoho proudu do dvou nebo více dalších proudů, přičemž stav všech proudů je stejný. Uvažujme dále jednoduchý dělič se dvěma výstupními proudy.

Obr. 5.13-1: Dělič proudu Pro tento uzel můžeme zapsat rovnici hmotové bilance m1 = m2 + m3

(4.13-1)

kde mi jsou průtoky. Dále pak rovnici energetické bilance m1h1 = m2h2 + m3h3 kde

(4.13-2)

hi jsou měrné entalpie proudů.

Jelikož však entalpie všech proudů jsou dle definice děliče stejné (všechny proudy mají stejný stav), entalpie v rovnici (4.13-2) se vykrátí a vznikne tak rovnice (4.13-1). Rovnice energetické bilance je tedy v případě děliče lineárně závislá na rovnici hmotové bilance a nepřináší tak do modelu žádnou novou informaci. V praxi se proto kolem děličů sestavuje pouze hmotová bilance. Pokud bychom chtěli sestavit i energetickou bilanci, RECON by ji jako závislou z dalšího zpracování vyřadil. Poznámka: Lze si představit situaci, kdy jsou měřeny na vstupu a výstupu děliče stavové veličiny měřiči současně. V tomto případě by mělo smysl energetickou bilanci sestavit. V praxi se však s touto variantou nesetkáváme

98

Případová studie 1: Stanovení tepelného výkonu parogenerátoru V následující případové studii popíšeme podrobněji komplexní zpracování dat naměřených na jednom parogenerátoru jaderné elektrárny. Kromě vlastní bilance a vyrovnání dat též uvedeme další informace, které se dají z naměřených dat vyvodit. Uvažujme parogenerátor (PG) na následujícím obrázku.

Obr. PS1-1: Parogenerátor Horká voda (HW) cirkuluje mezi jaderným reaktorem a trubkovým prostorem označeným SGW. Pára (obsahující 0.25 % vlhkosti) je generována v plášťovém prostoru SGS. Z plášťového prostoru PG je kromě toho kontinuálně odpouštěn odluh (blow down). Tepelný proud QSG reprezentuje tepelný tok (tepelný výkon) v PG. V následující tabulce jsou naměřené hodnoty a nejistoty naměřených hodnot. Tabulka PS1-1:Měřené veličiny Veličina

Proud

Jednotka

Hodnota

Max.chyba (nejistota)

Tok

FW

kg/s

444.5

2%

Tok

STEAM

kg/s

445.0

2%

Tok

BLOWDOWN

kg/s

6.12

5%

Tok

HWIN

kg/s

5650

5%

Teplota

FW

deg C

221.6

1

Teplota

STEAM

deg C

257.6

1

Teplota

BLOWDOWN

deg C

257.6

1

Teplota

HWIN

deg C

295.2

1

Teplota

HWOUT

deg C

265.8

1

Tlak

SGS

kPa

4500

0.5%

Tlak

k

kPa

10000

0.5%

99

Tato základní varianta PG již byla řešena v rámci modelů jednotkových operací, kde čtenář najde výsledky vyrovnání. Dále uvedeme další výsledky a rozbory.

Šíření chyb měření při zpracování dat Informace v tomto směru poskytuje vektor příspěvků popsaný v oddílu 3.9 Šíření chyb při zpracování dat … Připomínáme, že tento vektor obsahuje procentické podíly jednotlivých měřených veličin na rozptylu výsledku. Vektor příspěvků poskytuje program RECON v menu výpočty – Šíření chyb. Dále se zaměřme na tepelný výkon PG – veličinu QSG. ZPRÁVA O ŠÍŘENÍ CHYB Tepelný tok

QSG

ROZPTYL DANÉ VELIČINY JE ZPŮSOBEN PŘEVÁŽNĚ:

Typ

Veličina

Podíl

--------------------------------MF

FW

MF

HWIN

47 %

MF

STEAM

T

FW

3 %

Celkem

98 %

2 % 47 %

Je vidět, že dominantní vliv na přesnost tepelného výkonu mají průtoky, a to zejména průtoky napájecí vody a páry, které dohromady pokrývají 94 % z rozptylu výsledku. Pokud bychom chtěli výsledek dále zpřesňovat zlepšením měření, mělo by to význam právě u těchto dvou veličin. Ostatní veličiny mají vliv dost zanedbatelný. Dále si položme otázku, proč se ve vektoru příspěvků více neuplatňují další veličiny. Například u měření odluhu je to způsobeno tím, že toto měření je samo velice přesné. Zatímco u měření napájecí vody je absolutní nejistota 8.9 kg/s (2 % z 444.5 kg/s), u odluhu je absolutní nejistota pouze 0.3 kg/s. U měření průtoku horké vody je příčina složitější a bude vysvětlena v dalším oddílu této případové studie. Poněkud překvapivý je malý význam měřených teplot. Proč například v seznamu důležitých veličin nefiguruje teplota v PG, která určuje entalpii páry, tedy hlavního nosiče energie? Jedním z důvodů je jistě to, že předpokládaná nejistota 1 oC je poměrně malá a případné vliv na energetickou bilanci v tomto rozmezí není velký. Podstatnější je zde však to, že v oblasti teplot typických pro PG je závislost entalpie nasycené páry na teplotě značně plochá. Například při 257oC je to cca 0.4 kJ/(kg oC), což je pouze 0.02 % z výparného tepla při této teplotě. Tak např. chyba teploty páry 10 oC (tedy desetinásobku předpokládané nejistoty) má za následek chybu v entalpii proudu pouze v desetinách procenta, tedy podstatně menší, než je chyba měření průtoků. Poněkud jiná situace je u napájecí vody. Měrné teplo při tlaku vody 10 MPa a 220 oC je cca 4.49 kJ/(kg oC), což je cca 10 krát více, než by tomu bylo u páry.

100

Proto se teplota napájecí vody ve vektoru příspěvků objeví, i když není příliš významná. Ze stejného důvodu se ve vektoru příspěvků neobjevuje tlak napájecí nebo horké vody. Závislost entalpie kapalné vody na tlaku je ještě méně výrazná, než v předešlém případě u nasycené páry, takže i velké chyby při měření tlaku vody nezpůsobují velké chyby bilance. Druhou stranou mince je však to, že špatné jsou i šance na detekci těchto chyb. Na základě bilančních modelů tedy nelze tyto chyby detekovat (viz prahová hodnota pro detekci hrubých chyb popsaná již dříve).

Strategie měření Důležitým výsledkem měření je tepelný tok QSG, který hraje hlavní úlohu při stanovení tepelného výkonu jaderného reaktoru. Hovoříme pak o klíčové veličině celého měření. Pro její stanovení většinou existuje několik různých postupů založených na výběru měřených veličin a zpracování naměřených hodnot – Je to tzv. strategii měření a zpracování naměřených dat. Dále posoudíme několik variant, abychom ukázali význam strategie při vyhodnocení naměřených dat. Využijeme přitom program RECON, pomocí kterého zjednodušíme kompletní řešení popsané v předchozím oddílu. Jednotlivé varianty stanovení tepelného toku jsou následující. 1. Z hmotové a tepelné bilance horké vody (bilance kolem uzlu SGW). Jedná se o přímý výpočet bez vyrovnání dat ze „strany“ jaderného reaktoru 2. Z hmotové a tepelné bilance parní části PG. Jedná se o přímý výpočet bez vyrovnání dat ze „strany“ parogenerátoru. Průtok páry se považuje za neměřený a dopočítá se z průtoku napájecí vody a odluhu 3. Z vyrovnané hmotové a tepelné bilance parní části PG. Bilance horké vody se neuvažuje 4. Z vyrovnané bilance celého systému (model použitý v předchozím oddílu) 5. Strategii č. 4 ještě zdokonalíme tím, že použijeme nové měření tlaku v PG a tento tlak vyrovnáme s teplotou v PG podle fázové rovnováhy. Výsledky jsou uvedeny v následující tabulce. Tab. PS1-2: Stanovení tepelného toku QSG různými způsoby Strategie

QSG

Tolerance

Tolerance

č.

[MW]

[MW]

[%]

Stupně redundance

1

866.9

60.4

7.0

0

2

807.9

16.5

2.0

0

3

813.9

11.7

1.4

1

4

816.0

11.5

1.4

2

5

816.0

11.5

1.4

3

101

Výsledky jsou v dobré shodě s jednoduchými pravidly, která jsou známá všem, kteří se provozními měřeními systematicky zabývají. 

Výběr celkové strategie měření má základní význam. I když strategie č. 1 vypadá z hlediska jednoduchosti bilančního výpočtu velmi dobře, výsledek je velmi špatný. Tepelná bilance horké vody trpí tím, že je založena na vyhodnocení teplotního rozdílu, což je rozdíl dvou velkých čísel. K tomu přistupuje relativně velká nejistota měření průtoku horké vody.



Podstatně lépe dopadla strategie č. 2 založená na bilanci parní strany parogenerátoru. Bilance je postavena na relativně přesném průtoku napájecí vody. Měření teplot má pro sestavení tepelné bilance pouze okrajový význam, jak bylo ukázáno výše. Tato strategie postavená na jednoduché hmotové bilanci je v praxi často používána



Strategie č. 3 je posílena vyrovnáním hmotové bilance kolem parní strany parogenerátoru. Dále dochází k podstatnému snížení nejistoty výsledku. Kromě toho zde přistupuje efekt validace dat možností detekce hrubých chyb.



Strategie č. 4 nepřináší podstatné snížení nejistoty výsledku. Došlo ke spojení dvou modelů (č. 1 a 3) a stupeň redundance se zvýšil o 1. Model dle strategie č. 1 je sám z hlediska stanovení tepelného výkonu podstatně méně přínosný, než model č. 3. Přínosem je, že zde dochází ke zpřesnění měření průtoku na okruhu horké vody. Podrobnějším rozborem je možné zjistit, že nejistota průtoku horké vody se díky vyrovnání sníží cca o 30 %.



Strategie č. 5 dále zvětšuje stupeň redundance, na nejistotu tepelného výkonu to však nemá znatelný vliv. Jedná se o vyrovnání a zpřesnění teploty a jak bylo ukázáno výše, teplota v parogenerátoru nemá pro sestavení energetické bilance velký význam. Zlepší se však možnost validace teploty a tlaku v parogenerátoru obecně.

Zatímco u strategie č. 4 byla opravitelnost teploty páry v PG menší než 0.001, zařazením modelu fázové rovnováhy u strategie č. 5 se opravitelnost zvýšila na 0.478 (nejistota teploty po vyrovnání klesla téměř na polovinu). Obdobně se zlepšily podmínky pro zjištění přítomnosti hrubé chyby této teploty. V případě strategie č. 4 prakticky nebyla šance detekovat hrubou chybu této teploty, i když by hrubá chyba byla v řádu desítek oC. U strategie č. 5 je naproti tomu prahová hodnota pro detekci hrubé chyby 2.3 oC. Tyto informace by mohly být důležité v situacích, kdy monitorování teploty má svůj význam, například z hlediska bezpečnosti provozu.

102

Případová studie 2: Stanovení tepelného výkonu jaderného reaktoru Uvažujme schéma uvedené na Obr. PS2-1, které představuje systém parogenerátorů odvádějících teplo z jaderného reaktoru. Jsou zde 3 měřené proudy kondenzátu (COND1-3) přiváděné do kolektoru kondenzátu CONDHEAD. Odtud je kondenzát čerpán dvěma měřenými proudy (FWA a FWB) do napájecího kolektoru FWHEAD. Odtud je rozdělován do 4 parogenerátorů SG1-4. Dále jsou zde 4 měřené průtoky odluhů (PURGE1-4). V každém PG je generován měřený proud páry STEAM1-4. Pára je vedena do parního kolektoru STHEAD odkud odchází měřeným proudem STEAMSUM k turbíně. Teploty jsou měřeny pro všechny proudy napájecí vody a páry. O teplotě odluhů se předpokládá, že jsou totožné s teplotami páry v příslušném PG. Teploty kondenzátu nejsou měřeny. Z tohoto důvodu není v modelu vytvářena energetická bilance kolem uzlu CONDHEAD. V systému není zahrnut systém horké vody z jaderného reaktoru. Dodávka tepla do jednotlivých PG je modelována čtyřmi tepelnými toky QSG1-4, které vycházejí z uzlu NR, který představuje jaderný reaktor. Proud QNR pak představuje celkový tepelný výkon reaktoru. QNR je klíčovou veličinou, kterou je třeba stanovit.

Obr. PS2-1: Systém čtyř parogenerátorů Průtoky a teploty jsou měřeny s následujícími nejistotami: Tabulka PS2-1: Tolerance měření Typ

Proud

Tolerance

Teplota

Všechny

1 oC

Tok

STEAM

4%

Tok

PURGE

5%

Tok

Ostatní proudy

2% 103

Pára je vlhká (0.25% kapalné fáze). Tlak kondenzátu a napájecí vody byl předpokládán fixní (8 MPag). U většiny uzlů model vytváří 2 rovnice – hmotovou a energetickou bilanci. Výjimkou jsou uzly 

CONDHEAD – zde nejsou k disposici vstupní teploty a je vytvářena pouze rovnice hmotové bilance



NR – nejsou přítomny hmotové průtoky a je vytvářena pouze rovnice bilance energie.

Celkem je vytvářeno 14 rovnic. V problému je 5 neměřených veličin (tepelné toky). Stupeň redundance je tedy 14 – 5 = 9.

Hlavní výsledky Hlavní výsledky jsou G L O B Á L N Í

Ú D A J E

Počet stupňů volnosti

9

Počet neměřených proměnných

5

Počet pozorovatelných proměnných

5

Počet rovnic

14

Qmin

7.426E+00

Qkrit

1.689E+01

V E L I Č I N Y

Název

Typ

Stará hodn.

Nová hodn.

Max.chyba vyr.hodnoty

-----------------------------------------------------------P R O U D Y

[KG/S]

COND1

MC

780.300

780.076

COND2

F

0.00E+0

0.00E+0

COND3

MC

763.350

763.135

11.908

FW1

MC

383.900

384.774

6.430

FW2

MC

387.900

388.206

6.478

FW3

MC

389.500

386.816

6.462

FW4

MC

387.400

383.415

6.409

FWA

MC

773.800

775.213

11.950

FWB

MC

766.700

767.997

11.913

PURGE1

MC

3.520

3.519

0.176

PURGE2

MC

3.890

3.890

0.194

PURGE3

MC

2.810

2.811

0.140

PURGE4

MC

4.120

4.123

0.206

STEAM1

MC

385.100

381.255

6.432

STEAM2

MC

385.800

384.316

6.480

STEAM3

MC

374.400

384.005

6.462

104

11.995

STEAM4

365.400

379.292

6.411

MC

1532.200

1528.868

9.747

STEAMSUM

MC

T O K Y

E N E R G I E

[MJ/S]

QNR

NO

10000.000

2820.435

18.195

QSG1

NO

2500.000

703.493

11.976

QSG2

NO

2500.000

707.889

12.047

QSG3

NO

2500.000

709.531

12.051

QSG4

NO

2500.000

699.523

11.931

220.500

220.302

0.815

T E P L O T Y FWA

[C]

FWB

MC MC

222.000

221.804

0.818

FWSG1

MC

220.800

220.898

0.958

FWSG2

MC

221.600

221.699

0.957

FWSG3

MC

220.400

220.500

0.957

FWSG4

MC

221.000

221.099

0.958

SG1

MC

259.200

259.185

0.973

SG2

MC

258.600

258.585

0.975

SG3

MC

257.000

256.987

0.978

SG4

MC

259.800

259.785

0.972

steamsum

MC

258.600

258.658

0.447

8.000

8.000

0.250

0.250

T L A K Y NVPG

[MPAG] F

V L H K O S T I PGsteam

[%]

F

Součet čtverců odchylek Qmin = 7.426, kritická hodnota chi-kvadrát rozdělení pro 9 stupňů volnosti na hladině významnost 0.05 [20.95 (9)] = 16.91. Protože 7.426 < 16.91

,

přítomnost hrubé chyby nebyla detekována. Byla nalezena hodnota tepelného výkonu reaktoru QNR = 2820.4 MW s tolerancí 18.2 MW (což představuje 0.65 % z nalezené hodnoty). Může se zdát podivné, že přesnost výsledku je velmi dobrá. Hodnota nejistoty tepelného výkonu 0.65 % je podstatně menší, než u kteréhokoliv z měřených průtoků. Kromě toho se zde musí ještě uplatnit chyby při sestavování tepelné bilance. Příčin je zde několik. V první řadě je to zlepšení v důsledku vyrovnání hmotové bilance parogenerátorů (viz výsledky předchozí případové studie). Dále je to značná redundance měření průtoků kondenzátu a napájecí vody (celkem na třech úrovních). Poslední příčinou je to, že celkový tepelný výkon je dán součtem 4 dílčích tepelných výkonů jednotlivých PG, což má obecně kladný vliv na zlepšení relativní přesnosti výsledku.

105

Další informace Tato případová studie se svým rozsahem již blíží skutečným úlohám, s nimiž se setkáváme v praxi. Bude proto užitečné uvést další zajímavé výsledky, které lze považovat u podobných úloh za typické. V zájmu stručnosti uvedeme výsledky zkráceně. Využijeme toho, že naše schéma je symetrické kolem svislé osy. Hodnoty paralelních veličin (např. paralelních průtoků) jsou téměř stejné a totéž platí pro jejich další vlastnosti. Nebudeme tedy uvádět výsledky pro jednotlivé veličiny, ale pro skupiny obdobných veličin. Výsledky opravitelnosti, prahové hodnoty a parametrické citlivosti jsou uvedeny v následující tabulce. Tabulka PS2-2: Další výsledky vyrovnání dat Typ

Proud

Opravitelnost

Prahová Parametrická hodnota TV citlivost QNR

Tok

COND

0.23

55.4

0.367

Tok

FW1-4

0.17

31.7

0.729

Tok

FWA,B

0.23

55.3

0.368

Tok

PURGE

0.00

34.6

-1.29

Tok

STEAM

0.57

38.0

0.192

Tok

STEAMSUM

0.68

73.4

0.186

Teplota

FWA,B

0.18

3.9

-0.176

Teplota

FW1-4

0.04

7.9

-0.176

Teplota

STEAM

0.03

10.2

0.014

Teplota

STEAMSUM

0.55

2.5

0.014

Diskutujme nyní jednotlivé výsledky. Opravitelnost udává snížení nejistoty výsledku v důsledku vyrovnání. Např. u proudu COND je toto snížení (zpřesnění) o 23 %. Průměrná hodnota opravitelnosti je 0.27. Toto celkem odpovídá zkušenosti z praxe, kde bývá udáváno průměrné zlepšení přesnosti výsledků o 30 %. Vidíme zde však i podstatně lepší hodnoty opravitelnosti v okolí 60 % a též i veličiny prakticky neopravitelné. Jsou to ty, které jsou měřeny s vysokou absolutní přesností (vzhledem k ostatním veličinám), což je případ odluhů (viz též diskuzi v předchozí případové studii). Dalším případem jsou teploty, které mají též relativně vysokou přesnost a kromě toho u páry nemají významný vliv na tepelnou bilanci (též již diskutováno v předchozí případové studii). Prahová hodnota udává minimální hodnotu hrubé chyby, která bude detekována s pravděpodobností 90 %. Tak např. hodnota TV = 55.4 pro proud COND znamená, že hrubá chyba musí být alespoň 55.4 t/h velká, aby byla detekována s pravděpodobností 90 % (pro informaci, průtoky tohoto proudu jsou cca 770 t/h, takže prahová hodnota představuje cca 7 % z nominální hodnoty proudu).

106

Z teorie vyplývá, že prahová hodnota je úzce spjata s opravitelností veličin. Čím je opravitelnost menší, tím je prahová hodnota větší (a tím i šance na detekci hrubých chyb menší). Tak např. pro téměř neopravitelné odluhy (proud PURGE) je prahová hodnota mnohonásobkem jeho nominální hodnoty. Parametrická citlivost v posledním sloupci tabulky udává citlivost tepelného výkonu na změnu hodnoty jednotlivých veličin. Tak např. hodnota 0.367 pro proud COND znamená, že pokud se naměří hodnota proudu kondenzátu o 1 t/h větší, změní se hodnota tepelného výkonu o 0.367 MW.

Detekce a identifikace hrubých chyb Uveďme nyní dva příklady z oblasti detekce a identifikace hrubých chyb. Do našich dat zavedeme uměle hrubou chybu a budeme se ji snažit najít. Začneme s chybou u průtoku napájecí vody FW1. Z tabulky PS2-2 víme, že prahová hodnota pro tuto veličinu je 31.7 t/h. Hrubou chybu zvolíme o něco větší, např. 50 t/h. Naměřenou hodnotu 383.9 t/h zvětšíme na 433.9 t/h a provedeme nové vyrovnání. Výsledkem je Qmin = 47.07 , což je větší, než kritická hodnota Qcrit = 16.89. Hrubá chyba byla tedy správně detekována. Dále použijeme v programu RECON menu Výsledky – Hrubé chyby. Výsledkem je následující zpráva. ZPRÁVA O HRUBÝCH CHYBÁCH MĚŘENÍ

P O D E Z Ř E L Á

Typ

Veličina

M Ě Ř E N Í

Norm.adjust.

MF

FW1

-6.309

MF

PURGE1

4.219

MF

STEAM1

4.097

MF

FW4

-3.874

MF

FW3

-3.328

MF

FWA

2.158

MF

FWB

2.139

MF

FW2

-2.027

Legenda: Norm.adj. = normalizovaná oprava (velká hodnota => podezření na hrubou chybu) MF

Hmotnostní tok

107

Vidíme, že program nalezl podezřelé veličiny a správně ukázal na největšího podezřelého (umístil jej na první místo, neboť má normalizovanou opravu s největší absolutní hodnotou). Mezi první a druhou veličinou je přitom značný odstup. Nyní si však ukážeme méně příznivou situaci. Zavedeme hrubou chybu do průtoku FWA (napájecí voda do kolektoru napájecí vody) v hodnotě +70 t/h (prahová hodnota byla v tomto případě 55.3 t/h). Naměřenou hodnotu 773.8 t/h jsme tedy zvětšili na 843.8 t/h. Po vyrovnání byla zjištěna hodnota Qmin = 33.95 při kritické hodnotě 16.89. Hrubé chyba byla tedy opět správně detekována. Dále jsme použili opět metodu pro nalezení podezřelých veličin s následujícím výsledkem. ZPRÁVA O HRUBÝCH CHYBÁCH MĚŘENÍ

P O D E Z Ř E L Á

Typ

Veličina

M Ě Ř E N Í

Norm.adjust.

-----------------------------------MF

FWB

-5.174

MF

FWA

-5.158

MF

PURGE4

2.644

MF

STEAM4

2.555

MF

PURGE3

2.008

Legenda: Norm.adj. = normalizovaná oprava (velká hodnota => podezření na hrubou chybu) MF

Hmotnostní tok

V tomto případě jsme již nebyli tak úspěšní, jako v případě předchozím. Máme dva podezřelé – oba proudy napájecí vody s velmi blízkými hodnotami normalizované opravy. Tyto dva podezřelé již nelze dále uvedenou metodou rozlišit. V praxi by nezbylo, než použít jinou nezávislou metodu (posoudit, zda je zvýšení průtoku nad běžnou mez vůbec možné nebo prověřit systém měření obou proudů). Nemožnost rozlišit oba průtoky vyplývá z toho, že oba toky jsou na schématu paralelní, v bilanci obou uzlů CONDHEAD a FWHEAD se oba projevují stejně. Podobných situací, i když ne tak zřejmých, může být v praxi více. V praxi se přitom často nejedná pouze o jednu chybu. Důsledkem je, že výsledky identifikace hrubých chyb nejsou vždy jednoznačné.

108

Literatura [1]

V.V.Veverka a F. Madron: Material and Energy Balancing in the Process industries. Elsevier, Amsterdam 1997

[2]

F. Madron, Process Plant Performance. Measurement and data processing for optimization and retrofits. Ellis Horwood New York, 1992

[3]

J. A. Romagnoli, M. C. Sanchez, Data Processing and Reconciliation for Chemical Process Operations, Academic Press London, 2000

[4]

S. Narasimhan, Data Reconciliation & Gross Error Detection. An Intelligent Use of Process Data,. Gulf Publishing Company Houston, 2000

[5]

V.V. Veverka, Balancing and Data Reconciliation Minibook, www.chemplant.cz

[6]

J. Kalčík a K. Sýkora: Technická termomechanika. Academia, Praha 1973

[7]

Humpries , M. a kol.: Data warehousing. Computer Press, Praha 2002

109

Dodatek 1: Rozdělení náhodných veličin Omezíme se na dvě rozdělení spojitých náhodných veličin, která jsou důležitá z hlediska zpracování výsledků měření.

D1.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Normální rozdělení je nejdůležitějším rozložením spojité náhodné veličiny, kterým se za určitých podmínek dají aproximovat i některá jiná rozdělení. Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení je dána funkcí 2     ( x )   f (x)  exp 1/2 2   ( 2 ) 2  

1

(D1-1)

Tato funkce má dva parametry,  a , z nichž  je rovno střední hodnotě a  směrodatné odchylce náhodné veličiny. Normální rozdělení zkráceně zapisujeme N( , 2). Příklady hustot pravděpodobnosti jsou na obr. D1-1.

Obr. D1-1: Hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení Jestliže  = 0 a  = 1, hovoříme o tzv. normovaném normálním rozdělení N(0,1) a náhodnou veličinu označíme U. Kvantily normovaného normálního rozdělení označované uP jsou uvedeny v tab. D1-1 (viz též obr. D1-1).

110

Tab. D1-1: Kvantily normovaného normálního rozdělení P (U < uP ) = P P

0,500

0,900

0,950

0,975

0,990

0,995

0,999

uP

0,000

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,090

Význam normovaného normálního rozdělení je v univerzálnosti jeho použití. Dospějeme k němu od náhodné veličiny X normálně rozdělené N( , 2), jestliže provedeme transformaci U = (X -  )/ . Náhodná veličina U má pak rozdělení N(0,1). Pokud potřebujeme zjistit kvantil rozdělení N( , 2), postupujeme tak, že z tab. D1-1 vezmeme příslušný kvantil normovaného normálního rozdělení uP a požadovaný kvantil xP získáme ze vztahu xP =  +  uP . Normální rozdělení je symetrické, v důsledku čehož pro hustotu pravděpodobnosti, distribuční funkci a kvantily platí vztahy (vzhledem k symetrii a nulové střední hodnotě rozdělení) f (u) = f (-u)

(D1-2)

F (u) = 1 - F(-u)

(D1-3)

uP = -u1-P

(D1-4)

Je důležité si uvědomit, že pro hodnoty  < 0,5 platí P{|U| < u1- /2} = 1 - 

(D1-5)

D1.2 Rozdělení 2 Mějme v náhodných veličin U1, U2, …, Uv, které jsou navzájem nekorelované a každá z nich má rozdělení N(0,1). Náhodná veličina 2 definovaná jako součet čtverců těchto náhodných veličin 2 = U12 + U22 + … + Uv2

(D1-6)

má rozdělení chi-kvadrát s v stupni volnosti, které se značí 2(v). Grafy hustot pravděpodobnosti rozdělení 2 pro některé stupně volnosti jsou na obr. D1-2. Kvantily jsou uvedeny v tab. D1-2.

111

Tab. D1-2: Kvantily rozdělení pro v stupňů volnosti P [2 < P 2(v)] = P v

P

v

0,900

0,950

0,990

0,999

1

2,706

3,841

6,635

10,827

2

4,605

5,991

9,210

3

6,251

7,815

4

7,779

5

P 0,900

0,950

0,990

0,999

16

23,542

26,296

32,000

39,252

13,815

17

24,769

27,587

33,409

40,790

11,345

16,268

18

25,989

28,869

34,805

42,312

9,488

13,277

18,465

19

27,204

30,144

36,191

43,820

9,236

11,070

15,086

20,517

20

28,412

31,410

37,566

45,315

6

10,645

12,592

16,812

22,457

21

29,615

32,671

38,932

46,797

7

12,017

14,067

18,475

24,322

22

30,813

33,924

40,289

48,268

8

13,362

15,507

20,090

26,125

23

32,007

35,172

41,638

49,728

9

14,684

16,919

21,666

27,877

24

33,196

36,145

42,980

51,179

10

15,987

18,307

23,209

29,588

25

34,382

37,652

44,314

52,620

11

17,275

19,575

24,725

31,264

26

35,563

38,885

45,642

54,052

12

18,548

21,026

26,217

32,909

27

36,741

40,113

46,963

55,476

13

19,812

22,362

27,688

34,528

28

37,916

41,337

48,278

56,893

14

21,064

23,685

29,141

36,123

29

39,087

42,557

49,588

58,302

15

22,307

24,996

30,578

37,697

30

40,256

43,773

50,892

59,703

Obr. D1-2: Hustoty pravděpodobnosti rozdělení 2 Pro střední hodnotu a rozptyl platí E[2 (v)] = v

(D1-7)

D[2 (v)] = 2v

(D1-8)

112

Dodatek 2: Chyby měření Téměř každá veličina získaná měřením je zatížena chybou. Při zpracování výsledků měření a při jejich interpretaci má proto problematika chyb význačné postavení. Zabývá se jí teorie chyb, kterou můžeme rozdělit na teorii chyb obecnou a teorii chyb speciální. Obecná teorie chyb studuje obecné zákonitosti vzniku chyb, jejich šíření při zpracování naměřených výsledků a metody získávání informací o chybách na základě vlastního měření. Speciální teorie chyb se týká chyb jednotlivých měřicích metod, přístrojů atd. Tato kapitola uvádí poznatky z teorie chyb, které jsou nezbytné pro aplikaci metod zpracování naměřených dat probíraných v dalších kapitolách.

D2.1 Základní pojmy a klasifikace chyb Absolutní chyba měření e (dále jen chyba měření) je definována vztahem x+ = x + e

(D2-1)

kde x+ je naměřená hodnota a x je hodnota skutečná. Označení + budeme dále používat pro odlišení naměřené a skutečné hodnoty. Pro posouzení správnosti výsledků je vhodná tzv. relativní (poměrná) chyba erel:

erel 

e x

(D2-2)

kterou často vyjadřujeme v procentech:

e rel 

e 100 x

(D2-3)

V praxi většinou nejde o měření jediné veličiny, ale obecně o měření I veličin (teplot, průtoků, apod.), takže hovoříme o měřeném vektoru x. Měření jednotlivých veličin může mít buď charakter spojitý (teploty, tlaky), nebo diskrétní (stanovování koncentrací z odebraných vzorků). Pro potřeby dalšího zpracování na číslicovém počítači se spojitá měření převádějí na diskrétní nejčastěji odečtením spojitého signálu v předem stanovených okamžicích. Předpokládejme, že měření vektoru x bylo provedeno v okamžicích tk, k = 1, 2, …, K. Jako výsledek měření bylo tedy získáno IK hodnot xik+, kde index ik znamená měření i-té veličiny v čase tk. Naměřené hodnoty tvoří pole o dvou rozměrech. Jeden rozměr je časový, reprezentovaný indexem k, a druhý rozměr, tzv. prostorový, je reprezentován indexem i. V praxi většinou existují komplikovanější systémy dat. Pro naše účely však toto jednoduché schéma postačí a budeme se ně dále odvolávat. Pro naměřené hodnoty xik+ platí vztah, který je obdobou rovnice (D2-1): xik+ = xik + eik

(D2-4)

113

Podle jejich charakteru bývá zvykem dělit chyby na náhodné, systematické a hrubé. Význam klasifikace chyb spočívá v tom, že zpracování naměřených dat se liší zejména podle toho, jak se jednotlivé druhy chyb podílejí na celkové chybě výsledku měření. Čistě náhodné chyby Čistě náhodné jsou takové chyby, které při stejných podmínkách měření mohou nabývat různé velikosti a různého znaménka. Jejich možné hodnoty oscilují kolem nuly a jejich střední hodnota je nulová. Jednotlivě nemají žádné zákonitosti a jsou navzájem nezávislé. Jednotlivé hodnoty jsou nepředvídatelné a nezdůvodnitelné. Jsou typickým příkladem náhodných veličin. Uvedené vlastnosti čistě náhodných chyb můžeme vyjádřit matematicky v pojmech zavedených pro náhodné veličiny: nulová střední hodnota

e = E(e) = 0

(D2-5)

nekorelovanost chyb

cov (e1, e2) = E (e1e2) = 0

(D2-6)

Statistická nezávislost chyb a jejich nekorelovanost jsou totožné pouze pro chyby řídící se normálním rozdělením (blíže viz Dodatek 1). V praxi se však podmínky (D2-5) a (D2-6) běžně akceptují jako vlastnosti čistě náhodných chyb. Vzhledem k nulové střední hodnotě chyb je střední hodnota přímo měřené veličiny rovna hodnotě skutečné:

x = E(x + e) = x

(D2-7)

Náhodné chyby můžeme charakterizovat podobně jako náhodné veličiny. Jejich střední hodnota je podle předpokladu nulová a jejich nejvýznamnější charakteristikou je rozptyl definovaný (při uvážení nulové střední hodnoty) vztahem D(e) = E(e2) = e 2

(D2-8)

Rozptyl měřené veličiny je zde zřejmě roven rozptylu její náhodné chyby a oba pojmy se většinou zaměňují. To však platí pouze pro případ, kdy skutečná hodnota je v čase konstantní. Proto je třeba rozptyl (např. kolísající skutečné hodnoty) od rozptylu chyby měření odlišit a určit i další možné zdroje variability měřené veličiny. Kompletnější informaci o náhodných chybách poskytuje pravděpodobnostní rozdělení náhodné chyby, vyjádřené např. hustotou pravděpodobnosti. Klíčový význam má v této souvislosti známý normální zákon rozdělení (viz Dodatek 1). Význam normálního rozdělení vyplývá z několika důvodů: -

bylo zjištěno, že dobře aproximuje chování řady měření v přírodních vědách, zejména v oblasti   3 ; ostatně výsledky ležící mimo tento interval zpravidla pokládáme za nevyhovující pro použitý model a vylučujeme je jako odlehlé,

-

často je chyba dána součtem většího počtu dílčích , tzv. primárních chyb. Za celkem přijatelných podmínek se podle centrálního limitního teorému rozdělení tohoto součtu blíží rozdělení normálnímu, 114

-

pokud rozdělení chyb neznáme (což je častý případ), předpokladem o normalitě rozdělení tím vnášíme do problému minimum informace (která může být i nesprávná),

-

teorie normálního modelu chyb je dobře rozpracovaná a matematicky dobře zpracovatelná. Hodnoty hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce normovaného normálního rozdělení jsou běžně tabelovány, což usnadňuje řešení praktických problémů.

Chyby řídící se normálním rozdělením jsou plně charakterizovány parametrem tohoto rozdělení – směrodatnou (standardní) odchylkou, která zároveň určuje přesnost měření. Čím je směrodatná odchylka menší, tím je měření přesnější. V teorii chyb se vžily některé další míry přesnosti, které lze za předpokladu normálního rozdělení chyb vyjádřit jako jednoznačné funkce směrodatné odchylky. Směrodatná odchylka se ve starší literatuře (ne zcela vhodně) někdy označuje jako střední kvadratická chyba. Její dvojnásobek určuje tzv. šířku Gaussovy křivky, tj. vzdálenost inflexních bodů křivky.

D2.2 Korelované náhodné chyby K pojmu korelované chyby můžeme dojít úvahou. Předpokládejme, že chyby měření dvou veličin jsou tvořeny součtem většího počtu nekorelovaných náhodných chyb. Pokud se žádná elementární chyba neuplatňuje u vzniku celkových chyb měření současně u obou veličin, jsou i celkové chyby nekorelované. V opačném případě však elementární chyby uplatňující se při měření obou veličin současně způsobují, že výsledné chyby jsou již korelované. Nechť například chyby měření veličin A a B jsou dány součtem elementárních nekorelovaných chyb e1, e2 a e3 s nulovou střední hodnotou a rozptyly 1, 2 a 3. eA = e1+ e2

eB = e1+ e3

(D2-9)

Kovariance chyb eA a eB je pak cov(eA,eB) = E(eA eB) = E[(e1+ e2)( e1+ e3)]

(D2-10)

Po roznásobení a úpravě máme cov(eA,eB) = E(e12) + E(e1e3) + E(e2e1)+ E(e2e3) = 12

(D2-11)

neboť elementární chyby jsou nekorelované a poslední tři střední hodnoty v rovnici (D2-11) jsou tudíž nulové. Kovariance chyb eA a eB je tedy v tomto případě rovna rozptylu chyby e1, která se uplatňovala u obou celkových chyb současně. Zabývejme se nejprve prostorovou korelovaností chyb. S tímto druhem korelovanosti chyb se u přímo měřených veličin setkáváme poměrně zřídka. Prostorová korelovanost bývá způsobena tím, že jednotlivé měřicí okruhy nejsou nezávislé. Tak například při měření teplot termočlánky bývají referenční spoje termočlánků temperovány v jediném termostatu. Pokud není teplota v termostatu dobře stabilizována, elementární chyba tímto vzniklá se projeví u všech měřených teplot 115

současně. Obdobně mohou vznikat prostorově korelované chyby v důsledku kolísání tlaku vzduchu v síti pro napájení kontrolních a regulačních přístrojů. U analytických stanovení mohou korelované chyby vznikat v důsledku odběru vzorku, který neodpovídá složení v hlavním proudu. Pokud například při odběru plynu v odběrové cestě některá složka zkondenzuje, nalezené koncentrace ostatních složek budou všechny vyšší, než odpovídá skutečnosti. Nejčastěji se však s prostorovou korelovaností chyb setkáváme při výpočtech sekundárních veličin z přímo měřených (primárních) veličin. Předpokládejme, že je třeba změřit průtoky látek A a B v určitém kapalném proudu. Změří se průtok kapalné fáze, odebere se vzorek a v něm se stanoví koncentrace látek A a B. Průtoky jednotlivých látek se pak získají jako součiny průtoku a jednotlivých koncentrací. I když jsou chyby měření primárních veličin nekorelované, chyba měření průtoku se projeví při výpočtu toků jednotlivých látek současně, takže výsledné chyby jsou již korelované. Prostorovou korelovanost chyb lze kvantitativně vyjádřit pomocí kovarianční matice chyb. Jestliže máme vektor I měřených veličin x, kterému přísluší vektor chyb e, kovarianční matice F typu I x I má při nulové střední hodnotě chyb prvky Fij = cov(ei,ej) = E(ei ej)

pro

ij

Fii = D(ei) = E(ei2)

(D2-12) (D2-13)

Nyní se věnujme časové korelovanosti chyb. Každá chyba má svoji objektivní příčinu, která má opět nějaký fyzikální základ. Z důvodu setrvačnosti je třeba předpokládat, že tato příčina po určitou dobu přetrvává. Záleží tedy pouze na délce časového intervalu mezi dvěma měřeními, zda budou chyby měření ve dvou následujících časových okamžicích závislé, nebo téměř nezávislé. Časová korelovanost chyb je jev velmi častý, zejména v souvislosti se stále větším využíváním automatických měřicích systémů. Může jít o časově proměnné chyby měřicích přístrojů, chyby v důsledku kolísání technologických proměnných apod. Časovou korelovanost lze kvantitativně vyjádřit pomocí autokorelační funkce.

Příklad D2-1: Autokorelační funkce chyby časové řady Předpokládejme, že měříme jedinou veličinu x v časových okamžicích tk, k = 1, …, K, kde tk tk-1 = t. Získáme tak časovou řadu K naměřených xk+, které jsou zatíženy chybami ek. O chybách předpokládáme, že to jsou čistě náhodné chyby se stejným rozptylem x2. Pro potřeby řízení provádíme filtraci dat, jejímž cílem je snížit vliv chyb na regulační zásahy. Počítáme veličiny 



x i  x i 1 zi  2 

i = 2, 3, …, I

(D2-14)

čímž získáme novou časovou řadu o (I – 1) členech. Pro chyby veličin zi+ zřejmě platí

116

ezi 

e x i  e x i -1 2

(D2-15)

Kovariance chyb sousedních veličin zi a zi –1 jsou pak

cov (e , e zi

 e )  (e  e )(e )  E  x i x i 1 x i 1 x i 2  zi 1 4   

(D2-16)



Obr. D2-1: Autokorelační funkce chyby z rovnice(D2-1) ezi

Po roznásobení a při uvážení nekorelovanosti

 e2   x i  1   2x cov (e , e )  E   z i z i 1 4  4   

chyb získáme konečný vztah

(D2-17)

Obdobným způsobem bychom zjistili, že chyby veličin zi a zi –2 již nejsou korelované. Autokorelační funkce časové řady zi+, která je definována pouze pro celistvé násobky časového intervalu t, je uvedena na obr. D2-1

Závěrem k oddílu o závislých, resp. korelovaných chybách ještě poznamenejme, že zde šlo o závislost stochastickou, tj. o závislost platnou mezi velkými soubory chyb. Jednotlivé chyby však byly stále náhodné a nepředpověditelné. Zřídka se setkáváme s deterministickou závislostí chyb ve smyslu závislosti vektorů v lineární algebře. V takových případech můžeme jednu nebo více chyb vyjádřit exaktně jako funkci chyb ostatních. Průvodním jevem deterministicky závislých chyb je, že jejich kovarianční matice je singulární. Tento případ tvoří přechod od chyb náhodných k chybám systematickým.

117

D2.3 Systematické chyby Doposud jsme se zabývali chybami jako náhodnými veličinami. Tyto chyby se buď zcela nahodile měnily, nebo byly navzájem stochasticky vázány. Pojmem systematická chyba rozumíme chybu, jejíž hodnota je v čase konstantní nebo má deterministický průběh. Jde např. o chybu způsobenou nedokonale seřízeným měřicím přístrojem (konstantní chyba), chybu lineárně závislou na čase v důsledku posunu nuly měřicího přístroje s časem, chybu s periodickým průběhem v důsledku denního průběhu venkovní teploty apod. Všimněme si vztahu mezi chybami systematickými a chybami časově korelovanými. V souvislosti s časově korelovanými chybami bylo konstatováno, že záleží pouze na délce časového intervalu mezi dvěma měřeními a na časové proměnlivosti vlivu působícího chybu, zda budou chyby časově korelované. Při této úvaze lze dospět až ke stavu, kdy vlivy způsobující chybu se ve srovnání s dobou měření změní pouze nevýznamně. Z tohoto hlediska je možno konstantní systematickou chybu považovat za mezní případ časově korelované chyby. Ve skutečnosti je hranice mezi oběma druhy chyb neostrá a často ji vůbec nelze stanovit. Obdobné závěry platí též pro některé prostorově korelované chyby. Například v dříve uvedeném příkladu prostorově korelovaných chyb měření teplot termočlánky byly celkové chyby měření jednotlivých teplot náhodné, poněvadž se předpokládalo, že kromě nedokonalé temperace působí ještě další elementární vlivy. Pokud by byly tyto ostatní vlivy zanedbatelné, ze znalosti chyby měření jedné teploty bychom mohli exaktně určit i chyby ostatních teplot. Výslednou chybu bychom pak mohli považovat za systematickou. Dále je třeba poukázat na náhodnost systematických chyb. Uvažujme například množinu měřicích přístrojů téhož typu vyrobených v určitém období. Pokud bychom tyto přístroje použili ke změření určité stálé veličiny, zjistili bychom pravděpodobně, že přístroje neměří zcela stejně. Množina chyb jednotlivých přístrojů tvoří výběrový prostor. Pokud vybereme náhodně jediný přístroj (např. jej zakoupíme) a používáme jej při měření, vnášíme tím do měření konstantní systematickou chybu. Hodnotu této chyby však přitom můžeme považovat za výběr o rozsahu 1 z uvedeného výběrového prostoru. V jiných případech může být výběrový prostor hypotetický – může jít např. o množinu všech přípustných způsobů měření průtoku clonou, kdy jednotlivé způsoby jsou dány zejména průměrem potrubí a průměrem otvoru clony. Tím, že jsme zvolili určitou variantu a nechali tento měřicí orgán zhotovit, provedli jsme náhodný výběr z hypotetického výběrového prostoru. Skutečná hodnota konstantní systematické chyby je v uvedených případech neznámá a můžeme ji považovat za realizaci náhodné veličiny. Pochopení vzájemných vztahů mezi náhodnými a systematickými chybami je důležité při statistickém zpracování naměřených dat. Jak si později ukážeme, řešení praktických problémů vyžaduje jednotným způsobem současně respektovat dostupné informace o náhodných i systematických chybách. Závěrem k problematice systematických chyb je třeba poukázat na jejich význam při provozních měřeních. V literatuře zabývající se teorií měření se problematika systematických chyb řeší často poznámkou, že systematických chyb je třeba se vyvarovat. Doporučuje se pečlivá kalibrace přístrojů, používání standardů apod. Tento přístup, který je oprávněný ve fyzikální nebo chemické laboratoři, však neřeší problém systematických chyb při provozních měřeních. I když učiníme veškerá 118

dostupná opatření, systematické chyby budou zásadním způsobem ovlivňovat konečné výsledky měření. Je proto třeba existenci systematických chyb respektovat a informace o nich využívat při matematickém zpracování naměřených dat, jak je to běžné u čistě náhodných a korelovaných chyb.

D2.4 Hrubé chyby Za hrubou chybu se považuje ojedinělá velká chyba, jež vznikla v důsledku nepozornosti, poruchy měřicího přístroje, chybného výpočtu, nepředvídané události apod. Svou velikostí se vymyká z řady ostatních chyb. Její vznik, jakožto realizace náhodné chyby, by byl velmi nepravděpodobný. Pokud nebyla její příčina včas odstraněna, opakuje se a vzniká hrubá systematická chyba. Zatímco náhodné a systematické chyby jsou neoddělitelnou součástí naměřených hodnot a měření jimi zatížená využíváme při formulaci výsledků měření, u měření zatíženého hrubou chybou je nutno toto měření z dalšího zpracování vyloučit. Významnou úlohu při získávání správných výsledků má proto analýza naměřených dat z hlediska nalezení měření zatížených hrubými chybami a jejich vyloučení.

D2.5 Přesnost a správnost měření V souvislosti s výskytem náhodných a systematických chyb vyvstávají dva důležité pojmy – správnost měření a přesnost měření. Správnost měření znamená shodu mezi naměřenou a správnou hodnotou. Přesnost měření pak vyjadřuje shodu mezi řadou opakovaných měření téže veličiny. Oba tyto pojmy se liší v tom, že přesnost na rozdíl od správnosti nebere v úvahu systematické chyby měření. Přesnost a správnost jsou graficky znázorněny na obr. D2-2.

Obr. D2-2: Správnost a přesnost měření a) přesné a správné měření, b) přesné a nesprávné měření (nesprávná průměrná hodnota), c) nepřesné měření se správným průměrem, d) nepřesné a nesprávné měření Předpokládejme, že opakovaně měříme jedinou veličinu x, jejíž skutečná (správná) hodnota je x. Jestliže každý výsledek měření znázorníme zakreslením kroužku k příslušné hodnotě na vodorovné ose, můžeme získat následující charakteristické případy.

119

Na Obr. D2-2 a) je měření dobře reprodukovatelné a průměrx je blízký správné hodnotě (měření přesné a správné se někdy označuje jako měření spolehlivé). Na Obr. D2-2 b) je měření opět dobře reprodukovatelné, naměřené hodnoty se však systematicky odchylují od správné hodnoty. Jde o měření přesné, ale nesprávné (průměr je nesprávný). Na Obr. D2-2 c) je znázorněn případ, kdy měření je špatně reprodukovatelné, při větším počtu měření je však průměr blízký správné hodnotě. Hovoříme pak o nepřesném měření se správným průměrem (pro dostatečně velký počet opakovaných měření). Poslední, nejméně žádaná varianta je měření nepřesné a nesprávné, kdy měření je špatně reprodukovatelné a systematicky se odchyluje od správné hodnoty. Je ovšem zřejmé, že hranice při uvedené klasifikaci záleží do značné míry na dohodě. Pochopení problematiky přesnosti a správnosti měření je důležité pro plánování měření. Nejlepší je samozřejmě měření přesné a správné, někdy však bývá obtížné toho dosáhnout. Někdy se můžeme spokojit s měřením přesným, ale méně správným (např. při porovnávání hodnot naměřených při různých technologických podmínkách, kdy konstantní systematická chyba nemusí být na závadu). V jiných případech požadujeme měření správné a malou přesnost použité měřicí metody můžeme eliminovat výpočtem průměru z většího počtu opakovaných měření.

120

Dodatek 3: Testování statistických hypotéz Někdy nás zajímá, zda platí určité tvrzení o vlastnostech dat (například tvrzení, že v datech je přítomna hrubá chyba). Taková tvrzení nazýváme statistickými hypotézami. Postup, jímž rozhodujeme o pravdivosti postulované hypotézy, je tzv. testování statistické hypotézy. Hypotéza, jejíž platnost se ověřuje, se nazývá testovaná hypotéza, hypotéza proti ní postavená alternativní hypotéza. Test testované hypotézy H0 proti hypotéze alternativní H1 vede na základě zkoumání náhodného výběru buď k zamítnutí H0, nebo k nezamítnutí H0 (tj. k zamítnutí H1). Nezamítnutí hypotézy H0 přitom nelze ztotožňovat s jejím přijetím, i když praktické důsledky obou těchto pojmů bývají stejné. Nezamítnutí hypotézy prostě znamená, že na základě informací, které jsou k dispozici, nemáme důvod pochybovat o platnosti dané hypotézy. Postup při testování hypotézy: Postulujeme určitou hypotézu o základním souboru. Provedeme výběr o rozsahu n, tj. vektor x = (X1, …, Xn). Zvolíme vhodnou statistiku T = T (X1, …, Xn ), které v tomto případě říkáme testovací kritérium. Nalezne se rozdělení náhodné veličiny T za předpokladu, že testovaná hypotéza platí. Interval, v němž může statistika ležet [například (-, +)], se rozdělí na dva intervaly, interval R a jeho doplněk R+. R se volí tak, aby za platnosti H0 statistika T nabývala hodnoty z tohoto intervalu s pravděpodobností (1 - ). Interval R volíme nejčastěji tak, aby pro dané  byla jeho délka minimální. Hodnotu  volíme dostatečně malou (např. 0,05) a nazýváme ji hladinou významnosti. Obor R+ se nazývá kritický obor. Nyní se z náhodného výběru vypočte statistika T. Nabude-li T hodnoty z kritického oboru R+, hypotéza H0 se zamítá. Při testování hypotéz se můžeme dopustit v podstatě chyb dvou druhů. Chyba I. druhu spočívá v tom, že na základě náhodného výběru hypotézu zamítneme, hypotéza je však ve skutečnosti správná. Pravděpodobnost chyby I. druhu je rovna hladině významnosti . Jestliže hypotéza H0 neplatí, my ji ale na základě náhodného výběru nezamítneme, hovoříme o chybě II. druhu. Pravděpodobnost chyby II. druhu se označuje  a hodnota (1-  ) se nazývá síla testu. Zatímco pravděpodobnost chyby I. druhu byla pro daný test jediné číslo (rovné hladině významnosti), síla testu závisí na tom, jak mnoho se testovaná hypotéza liší od skutečnosti. Pokud jsme schopni tuto odchylku nějakým způsobem měřit, závislost veličiny  na odchylce hypotézy od skutečnosti nazýváme operativní charakteristikou testu. Analogická závislost síly testu na odchylce hypotézy od skutečnosti se nazývá silokřivka testu. Ilustrujme nyní důležitou problematiku testování statistických hypotéz na jednoduchém příkladu.

Příklad D3-1: Testování statistické hypotézy Na potrubí, kterým proudí kapalina objemovém průtoku QV, máme instalovány dva průtokoměry – běžný průtokoměr A a kontrolní průtokoměr B. Pro hodnoty naměřené jednotlivými průtokoměry QV,A a QV,B platí

121

QV,A = QV + eA ; QV,B = QV + eB

(D3-1)

kde eA a eB jsou náhodné chyby měření obou průtokoměrů. O chybách předpokládáme, že se chovají jako normálně rozdělené náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a s rozptyly A2 a B2. Průtokoměr A je náchylný ke vzniku systematické chyby a na základě naměřených hodnot bychom chtěli posoudit, zda je průtokoměr A zatížen systematickou chybou. Dále uvádíme matematickou formulaci problému. Dříve uvedenou rovnici upravíme na QV,A = QV + es+ eA

; QV,B = QV + eB

(D3-2)

kde es je systematická chyba průtokoměru A. Hypotézu, že průtokoměr A není zatížen systematickou chybou, zapíšeme ve tvaru es = 0 (hypotéza H0), hypotézu alternativní H1 zapíšeme ve tvaru es  0. Nyní provedeme výběr, který je v našem případě představován naměřením hodnot QV,A a QV,B. Jako statistiku zvolíme rozdíl naměřených hodnot T = QV,A - QV,B = es + eA - eB

(D3-3)

Za předpokladu platnosti H0 (tj. es = 0) je T rovna součtu dvou náhodných veličin s nulovou střední hodnotou a s normálním rozdělením a sama má také rozdělení N(0, A2 + B2). Může tedy nabývat hodnot z intervalu (-, +). Dále zvolíme hladinu významnosti  a k ní nalezneme interval R. Na Obr. D3-1 a) je hustota pravděpodobnosti statistiky T. Poněvadž T má normální rozdělení s nulovou střední hodnotou, zvolíme interval R symetrický kolem 0; R = -Tu1-/2 ; Tu1-/2>

(D3-4)

kde T = (A2 + B2)1/2 a u1-/2 je kvantil rozdělení N(0,1). Předpokládejme nyní, že platí H0, tj. es = 0. Ve 100 procentech případů padne hodnota T do intervalu R+ a my hypotézu H0 neprávem zamítneme. Pravděpodobnost této chyby I. druhu je znázorněna vyšrafovanou plochou na Obr. D3-1 a).

122

Obr. D3-1: Velikost chyby I. druhu () a II. druhu ( ) a) es = 0 b) es  0 Nyní pro změnu předpokládejme, že es  0. Statistika T má v tomto případě střední hodnotu es a rozdělení uvedené na Obr. D3-1 b). Vyšrafovaná plocha zde představuje velikost pravděpodobnosti chyby II. druhu. (T padne do intervalu R a my hypotézu H0 nezamítneme.) Je zřejmé, že pravděpodobnost chyby II. druhu rychle klesá s rostoucí hodnotou es

123

Dodatek 4: Účinnost detekce hrubých chyb Účinnost detekce hrubých chyb není možné posoudit obecně, ale pouze pro jednotlivé konkrétní měřené veličiny. Není to tedy vlastnost celého modelu. Je třeba začít u testování hypotézy o přítomnosti hrubé chyby (viz předchozí Dodatek 3). Jako každý statistický test, také 2 test má svou silokřivku testu ukázanou na obr. D4-1. 1.0

 pravděpodobnost chyby 2. druhu

P



pravděpodobnost chyby 1. druhu

síla testu

0

d

TV

Obr. D4-1: Silokřivka 2 testu Na ose x je velikost hrubé chyby. Na ose y je pravděpodobnost P , že hrubá chyba bude detekována. Hodnota silokřivky pro opravitelnou měřenou veličinu je rovna hladině významnosti testu , pokud není hrubá chyba přítomna (d=0) a blíží se 1 pro vysoké hodnoty hrubé chyby (d). Silokřivky testu jsou sice kompletní, pro praktické využití však příliš komplikovanou informací (představme si stovky silokřivek v problému reálné velikosti). Jednodušší je charakteristika měřených veličin pomocí jediného čísla, tzv. prahové hodnoty pro detekci hrubé chyby. TV je taková hodnota hrubé chyby, která bude detekována s pravděpodobností  (dále bude předpokládána  = 0.9). TV je charakteristickou hodnotou pro každou měřenou opravitelnou veličinu. Čím je TV menší, tím lépe. TV se nazývá prahovou hodnotou (Threshold Value). Prahová hodnota se počítá z rovnice qi = (,)/[ai(2-ai)]1/2

(D4-1)

kde qi je bezrozměrná prahová hodnota TV/ qi = TVi/i

(D4-2)

124

a (,) je konstanta charakteristická pro hladinu významnosti chi-kvadrát testu , stupeň redundance  a pravděpodobnost, že hrubá chyba bude detekována . Podrobnosti je možné nalézt v literatuře [2]. Je zde třeba upozornit na to, že prahové hodnoty jsou jednoduchými funkcemi opravitelností jednotlivých měřených veličin definovanými rovnicí (3.5-2) - viz též následující obrázek.

Obr. D4-2: Bezrozměrná prahová hodnota q jako funkce stupně redundance  a opravitelnosti a (pro =0.05 a =0.9) Z tohoto grafu mohou být odvozeny některé jednoduché závěry: 

Čím je větší opravitelnost, tím je větší i pravděpodobnost, že hrubá chyba bude detekována (nízká hodnota prahové chyby)



Pro opravitelnosti menší než 0.01 je pravděpodobnost detekce hrubé chyby velmi malá a dále se prudce zmenšuje



Minimální prahová hodnota je 3.24 krát směrodatná odchylka chyby měření (pro případ  = 1 a opravitelnosti = 1 , pro kterou q je rovná minimální hodnotě 3.24). Při uvážení toho, že maximální chyba měření se uvažuje 1.96 krát směrodatná odchylka, minimální prahová hodnota vychází 1.65 krát maximální chyba měření. Vyplývá z toho, že metoda pro detekci hrubé chyby není ani za optimálních podmínek všemocná a je účinná pouze pro větší hrubé chyby.

125

Dodatek 5: Bilance hybnosti v potrubí s vodou a párou Podrobná bilance je dosti složitá; uvedeme ji pouze ve zjednodušeném tvaru, jenž vyplývá z integrace obecných diferenciálních rovnic zachování hybnosti (součinu hustoty a vektoru rychlosti proudění v daném bodu) přes zvolenou oblast v trojrozměrném prostoru. Uvažujeme ustálené proudění v úseku kruhového potrubí o průměru D (m) D 2 s průřezem S = (m2) a délce L (m) . (D5-1) 4 Potrubí nemusí být vodorovné; obecně obsahuje stoupající (nebo klesající) části podle schématu.

D

h2 x

h1

tedy v detailu

x h

Obr. D5-1: Úsek potrubí Zde je x obecná souřadnice na ose potrubí a h (proměnná) výška nad zvolenou nulovou hladinou. Gravitační zrychlení označíme g (m/s2). Dále je m (kg/s) konstantní hodnota průtoku.

(D5-2)

Tlak P (Pa) se podél souřadnice x mění. Hustota tekutiny  (kg/m3) je v našem případě funkcí teploty a tlaku. Teplotu T uvažujme pro jednoduchost konstantní (nezávislou na x). Průběh tlaku podél x je pak popsán diferenciální rovnicí dP 1  dh m 2 d(1 /  ) 2 1 + m +  g + dx 2 DS 2  dx dx S2

= 0

(x = 0 až x = L) (D5-3)

ve které vystupuje navíc parametr  (součinitel odporu potrubí). Ten je v technické literatuře uváděn jako funkce Reynoldsova čísla a drsnosti stěny potrubí. Zde je Reynoldsovo číslo

Re =

mD S

(D5-4)

126

kde  je dynamická viskozita (kg/(ms)). Viskozita je obecně funkcí tlaku i teploty a lze ji vypočítat stejně jako hustotu  dostupnými metodami (viz níže). Potom, známe-li navíc drsnost, je i koeficient  funkcí teploty a tlaku; ve výrazu pro Reynoldsovo číslo můžeme ostatně odhadnout viskozitu jistou střední hodnotou a koeficient  brát jako konstantu vypočtenou (pro dané m) ze známých vztahů. Při zavedených zjednodušujících předpokladech vystupuje pak v rovnici (D5-3) nezávisle proměnná x a závisle proměnná P jednak samostatně, jednak prostřednictvím funkce  (při daném T); směrnici dh/dx považujeme rovněž za známou. Rovnici (D5-3) lze obecně řešit numerickými metodami. Přibližný vzorec dostaneme tak, že předem odhadneme oblast tlaků a dosadíme za proměnnou hodnotu  její střední hodnotu  . Poslední (ostatně běžně malý) sčítanec v rovnici (D5-3) zanedbáme a máme rozdíl tlaků (spád)

P1 – P2 

1  m2 L +  g(h2 – h1). 2 DS 2 

(D5-5)

Hustotu  a viskozitu  pro kapalnou vodu i páru počítáme pomocí databáze IAPWS – IF 97.

127

Dodatek 6: Klasifikace veličin Výchozím bodem následujícího řešení je rozbor řešitelnosti soustavy lineárních rovnic mezi měřenými a neměřenými veličinami. Tzv. Obecný lineární model má tvar Ax + By + a = 0 kde x je

vektor měřených veličin

y

vektor neměřených veličin

a

vektor konstant

A a B matice konstant Dále vytvořme tzv. makromatici C tvořenou maticemi B a A. C = (B, A)

(D6-1)

Pro jednoduchost předpokládejme, že všechny řádky matice C jsou lineárně nezávislé (což by měl být případ správně sestavených bilančních rovnic). V prvním kroku provedeme Gauss-Jordanovu eliminaci matice C (viz Obr. D6-1, kde prázdná místa představují nuly a šrafovaná místa představují obecné prvky). V levé horní části matice C tak vznikne jednotková matice, ve spodní části submatice B pak může vzniknout pás nulových řádků. Tato operace si může vyžádat záměny řádků matice C a též záměny sloupců submatice B. neměřené

měřené

1 1

1 1 1

2

Obr. D6-1: Matice C po eliminačních úpravách submatice B

128

Jestliže vodorovný pás 2 v submatici B nevznikne, systém není redundantní a vyrovnání dat není třeba. Předpokládejme nyní, že tento pás při eliminaci vznikl a pokračujeme v další eliminaci pásu 2 u submatice A. Získáme tak matici schématicky znázorněnou na následujícím obrázku.

1

2

3

4

1 1

1

1 1 1

2

1

Obr. D6-2: Matice C po eliminačních úpravách submatice A Dále přeskupíme řádky vodorovného pásu 1 (a případně i sloupce submatice B). Snažíme se přitom vytvořit nulovou submatici – průnik vodorovného pásu 1a a svislého pásu 2. Dále se snažíme vytvořit další nulovou submatici – průnik vodorovného pásu 2 a svislého pásu 4b. Po těchto úpravách se tvar matice C nazývá kanonický. 1a

1a a 1b

1b

2

3

4a

4b

1 1 1 1 1

2

1 pozorovatelné

redundantní

nepozorovatelné

Obr. D6-3: Kanonický tvar matice C

129

neredunndantní

Kanonický tvar matice C poskytuje veškerou potřebnou informaci o řešitelnosti soustavy. Je si třeba pouze uvědomit, že vodorovné pásy matice představují skupiny rovnic a svislé pásy matice představují skupiny veličin. Závěry jsou následující:    

Neměřené veličiny ve svislém pásu 1a jsou jednoznačně určeny hodnotami měřených veličin ve svislých pásech 3 a 4 – jsou tedy pozorovatelné. Neměřené veličiny ve svislých pásech 1b a 2 nejsou jednoznačně určeny a jsou tedy nepozorovatelné. Vyrovnání měřených veličin se týká pouze měřených veličin ve svislých pásech 3 a 4a. Tyto pásy obsahují redundantní veličiny, které je třeba vyrovnávat. Pokud kanonický tvar matice C obsahuje svislý pás 4b, v tomto pásu jsou neredundantní (právě určené) měřené veličiny.

Po převedení soustavy do kanonického tvaru je vidět, že vlastní vyrovnání se netýká celé soustavy rovnic, ale většinou pouze její malé části – vodorovného pásu 2. V prvním kroku se provede vyrovnání a vyrovnané hodnoty se dosadí do rovnic ve vodorovném pásu 1. Ve druhém kroku se pak dopočítají pozorovatelné neměřené veličiny. Dosud popsaný postup řešení je přímo použitelný na lineární modely. U nelineárních modelů lze postup aplikovat na linearizovaný tvar modelu v dostatečné blízkosti bodu řešení. V tomto Dodatku jsme se dopustili některých zjednodušení (např. předpokládali jsme lineární nezávislost řádků matice C). Kompletní řešení lze nalézt v literatuře [2]. Výše uvedené závěry platí pro případ, kdy kovarianční matice chyb měření je diagonální (nekorelované chyby). U korelovaných chyb mohou nastat případy, kdy se vyrovnávají i data, která nejsou redundantní. Tento zajímavý, i když nepříliš častý případ je popsán např. v literatuře [5].

130

Dodatek 7: O programu RECON

RECON Hmotové a energetické bilance s validací dat  detekce a eliminace případných hrubých chyb

Charakteristika

měření

Program RECON ve verzi 7 je kompletní interaktivní software pro látkové a energetické bilancování v procesním průmyslu (chemie. zpracování ropy, energetika a distribuce utilit).

 návrh a optimalizace měřicích systémů

Je určen zejména pro zpracování naměřených dat získaných z existujících procesů (sestavování bilancí, monitoring, detekce mimořádných stavů, provozní a garanční testy, podklady pro revampy, simulace, apod.). Může být však použit i pro klasické bilancování ve stadiu návrhu procesu. Jeho významným rysem je validace naměřených dat jejich vyrovnáním (Data Reconciliation).

Co je to vyrovnání dat? Vyrovnání dat je metoda pro využití všech informací obsažených v datech. Vyrovnání je založeno na statistickém opravení nadbytečných procesních dat tak, aby vyhovovala obecně platným přírodním zákonům (zachování hmotnosti a energie). Výsledkem je nová konzistentní sada dat s vyšší přesností (užším intervalem spolehlivosti). Kromě toho, vyrovnání slouží jako základ pro další důležité činnosti:

Grafické uživatelské prostředí programu RECON

Hlavní rysy RECON je program určený pro PC s operačním systémem Windows. Problém se zadává interaktivně v grafickém prostředí a výsledky mohou být prezentovány na obrazovce, vytištěny na tiskárně, exportovány do souboru nebo uloženy do databáze.

 stanovení intervalů spolehlivosti pro výsledky bilancování

Uživatelská příručka programu obsahuje stručný přehled teorie a praxe vyrovnávání dat.

131

RECON využívá následujících modely:

Databáze fyzikálně-chemických dat

 hmotové bilance  vícesložkové bilance (případně s chemickými reakcemi)  energetické bilance  bilance hybnosti (tok tekutin v potrubních systémech)  fázové rovnováhy v systémech voda-vodní pára  uživatelem definované modely.

Recon obsahuje tři databáze

RECON umí vyrovnat naměřené průtoky, koncentrace, tlaky, teploty aj. a vypočítá hodnoty neměřených veličin.

Recon může způsoby:

 IAPWS IF 97 pro vlastnosti vody a vodní páry  BWR pro výpočty hustoty tekutin (pro hydraulické výpočty)  Kritické parametry složek pro výpočty viskozity plynů (pro hydraulické výpočty) Provoz programu

být

provozován

následujícími

 Interaktivní spouštění programu uživatelem pro řešení jedné úlohy  On-line provoz (automatické spouštění se zadanou frekvencí)  Automatické zpracování historických dat  Spouštění ve formě DLL knihovny jiným programem

Problém je definován procesním schématem a proměnnými veličinami, jako jsou průtoky, tlaky, apod.

Propojení se zdroji dat

Data lze importovat z databází Oracle, MS SQL, PI System (OSI), Industrial SQL (Wonderware) a MS Access a dále ze souborů formátu MS Excel, DBF a TXT. Přirozenou databází pro ukládání dat je formát MDB (MS Access). Vyrovnaná data lze též ukládat do zdrojových databází Požadavky na hardware a operační systém

Postačující je jakýkoliv PC s operační pamětí 128 MB a operačním systémem MS-Windows 95 a vyšším

Monitorování koeficientu prostupu tepla u výměníku

U veličin řešeného problému (úlohy) musí být specifikovány následující informace:

Další software od firmy ChemPlant Technology

 klasifikace veličiny (měřená, neměřená, fixní)  hodnoty měřených a fixních veličin  přesnost naměřených hodnot formou maximálních chyb měření

IBIS - Komplexní bilancování celých podniků jako vstup do materiálového účetnictví (mass and utilities accounting) PDIS – Datový sklad procesních, logistických a laboratorních dat na platformě Oracle.

Funkce programu  vyrovnání měřených veličin  výpočet neměřených veličin  rozbor naměřených dat z hlediska jejich konzistentnosti  intervaly spolehlivosti pro výsledky  statistická analýza dat (detekce a eliminace hrubých chyb měření)  optimalizace systému měření  parametrická citlivost

ChemPlant Technology s.r.o. Hrnčířská 4 400 01 Ústí nad Labem Czech Republic Tel: +420 475 220 465 Fax: +420 475 220 662 E-mail: [email protected] Internet: www.chemplant.cz

132