Jednotkové rozhodování v energetice

Jednotkové rozhodování v energetice

Jednotkové rozhodování v energetice Jan Hoffmann

24.11.2009

Jan Hoffmann



Literatura

Gollmer, R., Nowak, M. P., Romisch, W. and Schultz, R., Unit commitment in power generation—A basic model and some extensions, Annals of Operations Research, v96, pp. 167-189, 2000. Nicole Gröwe-Kuska, Werner Römisch: Stochastic Unit Commitment in Hydrothermal Power Production Planning, in Stein W. Wallace, W.T.Ziemba: Applications of Stochastic Programming, Chapter 30 (635 - 653).

Jan Hoffmann



Obsah Základní model Rozšíˇrení modelu Nelineární cena paliva Zahrnutí prvku nejistoty do modelu ˇ Scénáˇre elektrické záteže Zdroje a odkazy

Jan Hoffmann


Jednotkové rozhodování v energetice Základní model

Optimalizaˇcní úloha v energetice - úvod

I

ˇ Rešíme úlohu, kterak rozvrhnout produkci elektrické energie v systému vodních a tepelných elektráren (jednotek).

I

ˇ poˇcasí, cen paliv, Nejistota muže ˚ zahrnovat zmeny zákaznických požadavku, ˚ výpadky v síti, apod. ˇ Clánky vzešly ze spolupráce berlínských a duisburských ˇ u˚ s energetickou sítí VEAG. vedc

I

Jan Hoffmann



Základní model - úvod

I

Máme plánovací výhled, ve kterém chceme úlohu ˇrešit (napˇr. pˇríští týden)

I

T ... poˇcet podintervalu˚ v plánovacím výhledu (napˇr. T = ˇ 168 hodin, pokud rozdelíme týden na jednotlivé hodiny)

I

I ... poˇcet tepelných jednotek

I

J ... poˇcet vodních jednotek

Jan Hoffmann



ˇ Zavedení promenných I

Indikátor zapnutí tepelné jednotky i v cˇ ase t uit ∈ {0, 1}, i = 1, ..., I; t = 1, ..., T

I

Velikost energetického výstupu tepelné jednotky i v úseku t pit , i = 1, ..., I; t = 1, ..., T

I

Velikost energetického výstupu vodní jednotky j v úseku t sjt , j = 1, ..., J; t = 1, ..., T

I

Rychlost naˇcerpávání vodní jednotky j v úseku t wjt , j = 1, ..., J; t = 1, ..., T

I

ˇ Naplnenost vodní jednotky j na konci úseku t ljt , j = 1, ..., J; t = 1, ..., T Jan Hoffmann



Úˇcelová funkce I

Minimalizujeme úˇcelovou funkci I T X X

Ci (pit , uit ) +

t=1 i=1 I

I

I

I T X X

Sit (ui )

t=1 i=1

ˇ Náklady na palivo Ci jsou funkcí promenných uit a pit (indikátoru zapnutí a velikosti výstupu) ˇ Startovací náklady Si jsou funkcí promenné vektoru indikátoru˚ zapnutí ui Základní model: Ci jsou lineární v pi a Sit mohou být popsány vzorcem Sit = ai · max{uit − uit−1 , 0} Jan Hoffmann



Omezení kladená na systém I

Energetický systém je omezený podmínkami (velikost energetického výstupu, síla cˇ erpadel, kapacita zásobáren vody) pitmin uit ≤ pit ≤ pitmax uit , (1) 0 ≤ sjt ≤ sjtmax ,

(2)

0 ≤ wjt ≤ wjtmax ,

(3)

0 ≤ ljt ≤ ljmax ,

(4)

i = 1, ..., I; j = 1, ..., J; t = 1, ..., T .

Jan Hoffmann



ˇ a zajistení ˇ rezervní energie Pokrytí záteže I

ˇ Dt energetické síteˇ v úseku t máme požadavek Pro zátež pokrytí I X

pit +

i=1 I

J X

(sjt − wjt ) ≥ D t , t = 1, ..., T .

j=1

Pro pˇrípad neˇcekaných komplikací v úseku t máme stanovenu enegetickou rezervu R t , kterou necháme ˇ kolovat mezi tepelnými jednotkami, takže musí splnovat podmínku zahrnutelnosti do systému I X

(uit pitmax − pit ) ≥ R t , t = 1, ..., T .

i=1 Jan Hoffmann



Vývoj hladiny ve vodních nádržích I

ˇ Oznaˇcme si poˇcáteˇcní a koneˇcnou naplnenost j-té nádrže (ve smyslu potenciální energie) pˇredpisem lj0 = ljin , ljT = ljend , j = 1, ..., J.

I

Hladina v úseku t klesá se spotˇrebou vody pro výrobu energie (odtok pˇres turbíny) a stoupá s výkonem cˇ erpadel (souˇcin pˇríkonu a úˇcinnosti), proto platí rovnice ljt = ljt−1 − (sjt − ηj wjt ), j = 1, ..., J; t = 1, ..., T .

Jan Hoffmann



Minimální vypínací cˇ asy I

Abychom pˇredešli nebezpeˇcným teplotním šokum ˚ v ˇ jednotkách pohánených uhlím, zavádíme minimální ˇ vypínací cˇ asy τi (nekdy zavádíme také podobné minimální zapínací cˇ asy). V systému VEAG jsou vypínací cˇ asy duležité. ˚ Modelujeme je pˇredpisem uit−1 − uit = 1 − uil , i = 1, ..., I; j = 2, ...T − 1; l = t + 1, ..., min{t + τi − 1, T }.

I

Tím je náš základní model hotov. Jan Hoffmann


Jednotkové rozhodování v energetice Rozšíˇrení modelu

Specifikace rezervní strategie I

V základním modelu jsme zajišt’ovali rezervu jen pomocí kolující energie v tepelných jednotkách, z cˇ ehož vyplývala podmínka I X

(uit pitmax − pit ) ≥ R t , t = 1, ..., T .

i=1 I

t ) mít My však mužeme ˚ cˇ ást rezervy (oznaˇcenou RW schovánu coby potenciální energii vodní rezervy v nádrži. ˇ K tomu zavádíme další promenné

Jan Hoffmann



ˇ Promenné modelující podmínky vodní rezervy

I

hW ... poˇcet cˇ asových úseku, ˚ v nichž mužeme ˚ spoléhat na vodní rezervu

I

ˇ ςjt ... kolující rezerva vzniklá nadmernou tvorbou vodní energie

I

ζjt ... rezerva, kterou mužeme ˚ vyvolat zastavením naˇcerpávání

Jan Hoffmann



Podmínky kladené na vodní rezervu I

ˇ Vodní rezerva musí splnovat následující podmínky X t (ςjt + ζjt ) ≥ RW j∈J

sjt + ςjt ≤ sjmax ζjt ≤ wjt j ∈ J, t = 1, ..., T . Jan Hoffmann



Popsání funkˇcnosti vodní rezervy na konkrétních vodních jednotkách

I

Aby vše mohlo na jednotlivých vodních jednotkách j ˇ fungovat po stanovenou dobu hW , musí být splneno ljt−1 +

k X

[−(sjt+l + ςjt+l ) + ηj (wjt+l − ζjt+l )] ≥ 0,

l=0

j ∈ J; t = 1, ..., T ; k = 0, ..., hW .

Jan Hoffmann


Jednotkové rozhodování v energetice Nelineární cena paliva

Nelineární cena paliva - úvod

I

I

Smlouvy o dodávkách jsou cˇ asto konstruovány tak, že ceny jsou diskontované. ˇ ˇ nákup paliva, tím menší cena za jednotku paliva. Cím vetší

I

Navíc ruzné ˚ výrobní jednotky mohou vyžadovat ruzné ˚ jakosti paliva.

I

Obvykle je rozdíl mezi palivy používanými pro setrvalý provoz a palivy pro rozjetí noveˇ zapnuté jednotky.

Jan Hoffmann



Nelineární cena paliva - úvod

I

Ruzné ˚ bloky v jedné elektrárneˇ obvykle používají stejný druh paliva.

I

V základním modelu jsme pracovali s konstatními cenami paliva, takže minimalizace nákladu˚ na palivo byla totožná s minimalizací jeho spotˇreby.

I

Nyní máme diskontované ceny a máme aditivní vztah mezi jednotkami užívajícími stejný druh paliva.

I

Úhrnná cena paliva má podobu konkávní a po cˇ ástech lineární funkce.

Jan Hoffmann



Nelineární formulace nákladu˚ na palivo I

Pro daný druh paliva máme ceny fı , ı = 1, ..., I platné na intervalech [ξı−1 , ξı ], pˇriˇcemž pokládáme ξ0 = 0. Pro spotˇrebu paliva ξ ∈ [ξ¯ı−1 − ξ¯ı ] spoˇcteme náklady f (ξ) jako f (ξ) =

¯ı−1 X

(ξ¯ı − ξ¯ı−1 )fı + (ξ − ξ¯ı )f¯ı .

ı=1 I

ˇ Zavedením promenné αı = max{0, ξ − ξı }, ı = 1, ..., I získáváme rovnost f (ξ) =

I X (αı−1 − ξı )fı , ∀ξ ∈ [0, ξI ]. ı=1

I

Užíváme nelineární funkci. Jak ji linearizovat? Jan Hoffmann


(5)


Linearizace palivových nákladu˚ I

ˇ Zavedeme-li promenné δı ∈ {0, 1}, ı = 1, ..., I a konstantu M ≥ ξI , dostáváme, že αı = max{0, ξ − ξı }, ı = 1, ..., I práveˇ když existuje ˇrešení (α, δ) systému δı M + ξ − ξı ≥ αı M − δ ı M ≥ αı ξ − ξı ≤ αı 0 ≤ αı δı ∈ {0, 1}, ı = 1, ..., I Jan Hoffmann



Shrnutí linearizace

I

Dohromady s pravou stranou rovnosti (5) dává tento systém lineární model s celoˇcíselnými koeficienty pro palivové náklady f (ξ).

I

Omezili jsme se na po cˇ ástech lineární konkávní náklady f , stejný model funguje i pro obecné po cˇ ástech lineární spojité náklady.

Jan Hoffmann



Ruzné ˚ druhy paliva I I I I

Pˇredpokládejme, že tepelné jednotky využívají  = 1, ..., J ruzných ˚ druhu˚ paliva. p l ... množina tepelných jednotek, které používají -té palivo pro výrobu energie ls ... množina tepelných jednotek, které používají -té palivo pro startování Celkovou spotˇrebu -tého paliva spoˇcteme jako ξ =

T X X

ˆ i (pt , u t ) + C i i

t=1 i∈lp I

T X X

ˆ t (ui ),  = 1, ..., J S i

t=1 i∈lp

ˆ je spotˇreba paliva na výrobu, S ˆ je spotˇreba paliva na C rozjezd. Jan Hoffmann


Jednotkové rozhodování v energetice Zahrnutí prvku nejistoty do modelu

ˇ síteˇ - úvod Nejistá zátež I

ˇ Hlavní zdroje nejistoty pro energetický model: Vývoj záteže ˇ energetické výstupy zaˇrízení, proudy ve vodních síte, ˇ tržních cen paliva. nádržích, zmeny

I

ˇ ríme se na nejistotu energetické poptávky Zameˇ {D t : t = 1, ..., T }, kterou budeme považovat za náhodnou veliˇcinu.

I

Abychom mohli naši úlohu ˇrešit v podmínkách nejistoty, ˇ rozšíˇríme ji na dvojúrovnové stochastické programování.

I

Zaˇcneme rozlišovat mezi tepelnými jednotkami ˇ ˇ pohánenými uhlím a tepelnými jednotkami pohánenými plynem. Jan Hoffmann



ˇ Zavedení náhodných promenných do modelu

I

Oznaˇcíme i = 1, ..., I uhelné jednotky a k = 1, ..., K plynové jednotky.

I

Jediným rozhodnutím první úrovneˇ bude zapínání a ˇ popíšeme vypínání uhelných jednotek, které opet ˇ promennou uit ∈ {0, 1}, i = 1, ..., I; t = 1, ..., T .

Jan Hoffmann



ˇ Promenné druhé úrovneˇ I

ˇ Promenné druhé úrovneˇ již závisí na scénáˇrích a proto mají pˇrídavný index ω:

I

ˇ indikátory plynových turbín uktω ∈ {0, 1} ... rozjíždecí

I

pitω ... velikost výstupu i-té tepelné jednotky v úseku t

I

pktω ... velikost výstupu k -té plynové jednotky v úseku t

I

sjtω ... velikost výstupu j-té vodní jednotky v úseku t

I

wjtω ... velikost naˇcerpávání j-té vodní jednotky v úseku t

I

ˇ j-té tepelné jednotky na konci úseku t ljtω ... míra naplnení i = 1, ..., I; i = 1, ..., I; i = 1, ..., I; i = 1, ..., I; ω ∈ Ω Jan Hoffmann



Další poznámky k modelu

I

Na tento model rozšíˇrený o prvek náhody klademe stejné podmínky jako na základní model. V podmínce pokrytí ˇ D t scénáˇrovou záteží ˇ D tω nahrazujeme zátež

Jan Hoffmann



Úˇcelová funkce - vyjádˇrení palivových nákladu˚

I

V základním modelu jsme vyjadˇrovali palivové náklady jako ˇ nespecifikovanou funkci provozních promenných v tepelných jednotkách. Se zavedenými náhodnými ˇ promennými pˇrejdeme k vyjádˇrení ci pitω + ci0 pro uhelné a tω 0 ck pk + ck pro plynové jednotky, kde ci , ci0 , ck , ck0 jsou vhodné konstanty.

Jan Hoffmann



Úˇcelová funkce I

ˇ Úˇcelová funkce našeho dvojúrovnového stochastického programu je urˇcena pˇredpisem T X I X

ai max{uit − uit−1 , 0}+

t=1 i=1

+Eω [

T X K X

(t−1)ω

ak max{uktω − uk

, 0}]+

t=1 k =1

+Eω [

T X I K X X ( uit (ci pitω + ci0 ) + uktω (ck pktω + ck0 ))]. t=1 i=1

k =1 Jan Hoffmann



Úprava modelu

I

ˇ nahradit v pˇrípadeˇ uhelných Podmínky (1)-(4) umožnují jednotek výraz uit (ci pitω + ci0 ) jednodušším výrazem ci pitω + ci0 uit a podobneˇ pro plynové turbíny nahradit výraz ukt (ck pktω + ck0 ) jednodušším výrazem ck pktω + ck0 ukt .

I

Úˇcelová funkce je nyní lineární s celoˇcíselnými koeficienty.

I

ˇ zabývá studie [3]. Modelem se podrobneji

Jan Hoffmann



Maticový pˇrepis modelu s nejistotou I

Pro studium svých základních vlastností se model pˇrepisuje jako min{cT x +

r X

π ν qT yν : Ax ≤ b, x ∈ X , T x + W yν ≤ hν ,

ν=1

yν ∈ Y , ν = 1, ..., r } I I I I I

ˇ ˇ x, y... promenné 1. úrovneˇ a promenné 2. úrovneˇ ˇ X, Y ... množina možných hodnot promenných 1. úrovneˇ a ˇ množina možných hodnot promenných 2. úrovneˇ b ... omezení kladená na x hν ... omezení kladená na y ν , ν = 1, ..., r ˇ r ... Velikost nosiˇce náhodného vektoru D (záteže) Jan Hoffmann



Maticový pˇrepis modelu s nejistotou - dokonˇcení

I

I

Máme rozsáhlý lineární program s celoˇcíselnými ˇ promennými. ˇ ˇ Rešíme jej metodou vetvení a mezí.

Jan Hoffmann



Souvislost s globální optimalizací

I

Abychom vše pˇrevedli do ˇreˇci globální optimalizace, pˇrepisujeme si úlohu jako min{cT x + Q(x) : Ax ≤ b, x ∈ X },

I

kde Q(x) = Eω φ(hω − T x),

I

φ(s) = min{qT y : W y ≤ s, y ∈ Y }.

Jan Hoffmann



ˇ Metoda vetvení a mezí I

Máme úlohu min{cT x + Q(x) : Ax ≤ b, x ∈ X }

I

I

KROK 1: Najdu ˇrešení úlohy. To si oznaˇcím x0 . A) Všechny složky x0 jsou celoˇcíselné, potom považuji výsledek za ˇ optimální ˇrešení. B) Nekterá ze složek x0 není celoˇcíselná, potom jdu na KROK 2. KROK 2: Vyberu nejmenší k , pro které xk0 není celoˇcíselné. Pˇridám podmínky (každá vytváˇrí jinou novou úlohu) xk0 ≤ bxk0 cxk0 a ≥ bxk0 c + 1

I

Pokud získám optimální ˇrešení úlohy s podmínkou xk0 ≤ bxk0 c, oznaˇcím ho x1 , analogicky pro druhou úlohu znaˇcím x2 . Jan Hoffmann



KROK 3 - vyhodnocení variant vývoje I I I I I I

I

ÚMLUVA: Pokud xl , l = 1, 2 neexistuje, klademe xl := ∞ VARIANTA 1: x1 je pˇrípustné ˇrešení celoˇcíselné úlohy a platí cT x1 + Q(x1 ) ≤ cT x2 + Q(x2 ) VARIANTA 2: x1 je pˇrípustné ˇrešení celoˇcíselné úlohy a platí cT x1 + Q(x1 ) > cT x2 + Q(x2 ) VARIANTA 3: x1 ani x2 nejsou pˇrípustná celoˇcíselná ˇrešení úlohy VARIANTA 1 -> x1 je optimální ˇrešení úlohy VARIANTA 2 -> x1 nemusí být optimální ˇrešení, nebot’ ˇ lepší množina pˇrípustných ˇrešení muže ˚ mít v druhé vetvi ˇrešení. Proto opakujeme KROK 2, aplikovaný na ˇrešení x2 VARIANTA 3 -> Opakujeme KROK 2, podmínky pˇridáváme ˇ ˇrešením k obema Jan Hoffmann



Shrnutí

I

ˇ Vhodný software na ˇrešení techto úloh je CPLEX.

I

Bez heuristik a oˇrezávaní nelze spoˇcítat praktické úlohy v ˇ rozumném cˇ ase a s rozumnými pamet’ovými nároky.

Jan Hoffmann


Jednotkové rozhodování v energetice ˇ Scénáˇre elektrické záteže

Periodicita v historických záznamech I

Ke správnému rozhodování o energetické strategii potˇrebujeme mít dobrou pˇredstavu o trendech spotˇreby v rámci 1 dne, 1 týdne, 1 roku.

I

Tuto pˇredstavu získáváme z dˇríve pozorovaných dat.

I

ˇ závislosti spotˇreby Historické záznamy ukazují nejruzn ˚ ejší na dalších faktorech (období, teplota, poˇcasí, den v týdnu, apod.)

I

Pˇri pohledu na data za týden vidíme periodicitu dat po ˇ cních dat vidíme periodicitu po týdnech. dnech, u mesíˇ

I

V rámci dlouhých pozorovacích období vidíme i periodicitu po jednotlivých rocích. Jan Hoffmann



Kategorizace dnu˚ v týdnu

I

ˇ v nedeli ˇ a pondelí, ˇ Pˇri pozorování dat se liší vývoj záteže ve stˇredu a státní svátek, apod.

I

Existuje 10 ruzných ˚ kategorií, do kterých mužeme ˚ dny ˇ (1 pondelí, ˇ ..., 7 nedele, ˇ 8 svátek po pracovním rozdelit dnu, 9 den mezi svátkem a víkendem, 10 svátek po víkendu nebo jiném svátku)

I

Na základeˇ statistických testu˚ se snažili autoˇri shlukovat dny do menšího poˇctu kategorií

Jan Hoffmann



Základních 8 kategorií I

8 kategorií dnu: ˚

I

ˇ nebo pracovní den po svátku 1 - Pondelí

I

ˇ 2 - Bežný pracovní den (úterý, stˇreda, cˇ tvrtek)

I

3 - Pátek nebo pracovní den pˇred svátkem

I

4 - Sobota

I

ˇ 5 - Nedele

I

6 - Svátek, kterému nepˇredcházel den typu 2 cˇ i 3

I

7 - Svátek po dnu typu 2 cˇ i 3

I

8 - Pracovní den mezi dny kategorií 4 - 7

Jan Hoffmann



ˇ Rozklad zátežového procesu I

I

I

I I

ˇ Dekompozice v rozložení zátežového procesu na ˇ ˇ prum ˚ ernou (denní) spotˇrebu a tzv. korekci prum ˚ erné denní spotˇreby (dále jen (denní) korekˇcní proces) ˇ v cˇ asovém úseku Necht’ xjτ je pozorovaná zátež τ = 1, ..., 24 dne j ∈ J := {1, ..., 1098}. 1 P24 ˇ cí prum ˚ ernou spotˇrebu ve dnu Necht’ d¯j := 24 τ =1 xjτ znaˇ j Necht’ cat(j) ∈ {1, ..., 8} je kategorie dne j ˇ ˇ Potom máme historický zátežový záznam rozdelen zpusobem ˚ xjτ = djτ + d¯j , τ = 1, ..., 24; j ∈ J Jan Hoffmann



Odlišné kategorie dní

I

ˇ V ruzných ˚ kategoriích dní je ruzná ˚ prum ˚ erná denní ¯ spotˇreba dj .

I

V ruzných ˚ kategoriích dní jsou výrazné odlišnosti v ˇ prub ˚ ehu denního korekˇcního procesu djτ .

I

Pokud bychom kategorizovali napˇr. podle poˇcasí, pozorovali bychom další zajímavé odlišnosti.

Jan Hoffmann


Jednotkové rozhodování v energetice Zdroje a odkazy

Zdroje a odkazy 1 Gollmer, R., Nowak, M. P., Romisch, W. and Schultz, R., Unit commitment in power generation—A basic model and some extensions, Annals of Operations Research, v96, pp. 167-189, 2000. 2 Nicole Gröwe-Kuska, Werner Römisch: Stochastic Unit Commitment in Hydrothermal Power Production Planning, in Stein W. Wallace, W.T.Ziemba: Applications of Stochastic Programming, Chapter 30 (635 - 653). 3 C.C.Caröe, R. Schultz: A two-stage stochastic program for unit commitment under uncertainty in a hydro-thermal system, Preprint SC 98-11, Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin, 1998. Jan Hoffmann


Jednotkové rozhodování v energetice

Recommend Documents