11
−t x(t ) = X exp T*
η + λα 2 . λσ 2
T* =
Terbukti. Solusi optimal waktu eksekusi saham pada persamaan (22) menunjukkan bahwa dengan meningkatnya risiko volatilitas dan risk aversion maka nilai T* akan semakin kecil artinya semakin tinggi risiko volatilitas dan semakin tidak berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat. Untuk mengetahui expected cost dan ragam dari suatu saham maka diperoleh fungsi objektif sebagai berikut: 1 X 2 1 2 λη 2σ 2 E (λ ) = η = X 2 T∗ 2 η + λα 2 α2 1 σ η+2λα2 1 V( λ) = X2σ2T∗1+ 2 2 = X2 . 2 2 σ T∗ 2 λ η+λα (Bukti: lihat Lampiran 8)
Jika
(23) (24)
E→
Karena fungsi pada persamaan (26) adalah fungsi yang monoton naik maka persamaan (26) mempunyai invers sebagai berikut: η 2 + 12 λβ 2 w − η . 6 λβ 2
P −1 ( w ) =
α
(25)
1ηX , 2 T∗ 2
V → ασ X 2 (Bukti: lihat Lampiran 9)
Persamaan (25) menunjukkan bahwa selama dalam perdagangan terdapat risk aversion (λ) yang semakin besar yaitu semakin besar tingkat penghindaran risiko maka waktu eksekusi saham, expected cost, dan ragam dalam perdagangan mempunyai nilai terbatas.
(27)
(Bukti: lihat Lampiran 11) Selanjutnya dengan menggunakan solusi persamaan (19) diperoleh solusi optimal untuk waktu eksekusi saham sebagai berikut : η λσ
T∗ =
λ →∞, maka diperoleh:
T∗ → , σ
4.2 Peningkatan Risiko-Perdagangan Linear Kasus ini diasumsikan bahwa α = 0 dan β ≠ 0 , artinya ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Sehingga fungsi pada persamaan (18) menjadi: (26) P ( v ) = η v 2 + 3λβ 2 v 4 (Bukti: lihat Lampiran 10)
2
,
(28)
Persamaan (28) menunjukkan bahwa waktu eksekusi saham berbanding lurus dengan perubahan biaya likuiditas (η ) artinya semakin besar perubahan biaya likuiditas maka waktu eksekusi akan semakin lama dan sebaliknya semakin kecil perubahan biaya likuiditas maka waktu eksekusi akan semakin cepat. Karena ketidakpastian biaya dalam perdagangan dipengaruhi oleh rata-rata perdagangan maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan diberikan oleh persamaan: X∗ =
2 1 σ T∗ η = . 3 λσβ 3 β
1
(29)
V ILUSTRASI Untuk lebih memahami solusi optimal yang diperoleh maka hal tersebut digambarkan pada ilustrasi sebagai berikut: 5.1 Ilustrasi Solusi Peningkatan Risiko Perdagangan Konstan Waktu eksekusi optimal pada persamaan (22) menunjukkan bahwa semakin besar nilai η maka semakin besar pula nilai T* artinya semakin besar perubahan biaya likuiditas
maka saham akan semakin lama dieksekusi, sebaliknya semakin kecil nilai η maka semakin kecil pula nilai T* artinya semakin kecil perubahan biaya likuiditas maka saham akan semakin cepat dieksekusi Misalkan diambil λ = 0.001 , σ = 2 dan α = 0.03 , maka waktu eksekusi optimal untuk nilai perubahan biaya likuiditas yang berbeda diilustrasikan pada grafik di bawah ini:
12
Gambar 1 Grafik hubungan perubahan biaya likuiditas dengan waktu eksekusi optimal untuk solusi peningkatan risiko perdagangan konstan Selain itu pada solusi waktu eksekusi optimal persamaan (22) menunjukkan bahwa dengan meningkatnya risiko volatilitas (σ) maka nlai T* akan semakin kecil artinya semakin tak terduga pergerakan harga saham maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat. Sebaliknya semakin kecil risiko volatilitas (σ) maka nilai T* akan semakin
besar artinya semakin mudah pergerakan harga saham diduga maka waktu eksekusi saham akan semakin lama. Misalkan diambil η = 0.087 , λ = 0.001 dan α = 0.03 maka waktu eksekusi saham yang optimal untuk risiko volatilitas yang berbeda diilustrasikan pada grafik berikut
Gambar 2 Grafik hubungan risiko volatilitas dengan waktu eksekusi optimal untuk solusi peningkatan risiko perdagangan konstan Solusi waktu eksekusi optimal pada persamaan (22) juga menunjukkan bahwa dengan meningkatnya risk aversion (λ) maka nilai T* akan semakin kecil artinya semakin tidak berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat, sehingga nilai expected cost akan semakin besar dengan nilai standar deviasi semakin kecil dan sebaliknya semakin kecil
risk aversion (λ) maka nilai T* akan semakin besar artinya semakin berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin lama, sehingga nilai expected cost akan semakin kecil dengan nilai standar deviasi semakin besar.
13
Misalkan diambil η = 0.087 , σ = 2 dan α = 0.03 maka waktu eksekusi saham yang optimal untuk risk aversion yang
berbeda diilustrasikan pada grafik di bawah ini :
Gambar 3 Grafik hubungan risk aversion dengan waktu eksekusi optimal untuk solusi peningkatan risiko perdagangan konstan
Gambar 4 Grafik hubungan waktu eksekusi dengan expected cost yang dipengaruhi oleh risk aversion pada peningkatan risiko konstan
Gambar 5 Grafik hubungan waktu eksekusi dengan standar deviasi yang dipengaruhi oleh risk aversion pada peningkatan risiko konstan
14
5.2 Ilustrasi Solusi Peningkatan Risiko Perdagangan Linear Persamaan (28) menunjukkan bahwa waktu eksekusi saham berbanding lurus dengan perubahan biaya likuiditas (η ), artinya semakin besar perubahan biaya likuiditas maka waktu eksekusi akan semakin lama dan sebaliknya semakin kecil perubahan
biaya likuiditas maka waktu eksekusi akan semakin cepat. Misalkan diambil risk aversion
( λ=0.001) dan risiko volatilitas (σ =2) maka waktu eksekusi untuk perubahan biaya likuiditas yang berbeda diilustrasikan pada grafik berikut:
Gambar 6 Grafik hubungan antara perubahan biaya likuiditas dengan waktu eksekusi yang optimal untuk peningkatan risiko perdagangan linear Selain itu, pada persamaan (28) hubungan waktu eksekusi dengan risk aversion adalah berbanding terbalik yaitu semakin besar risk aversion maka nilai T* akan semakin kecil artinya semakin tidak berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat dan sebaliknya semakin kecil risk aversion maka waktu eksekusi akan
semakin besar artinya semakin berani seorang penjual mengambil risiko maka waktu eksekusi saham akan semakin lambat. Misalkan diambil (η =0.00435) dan risiko volatilitas (σ = 2 ) maka waktu eksekusi optimal untuk risk aversion yang berbeda diilustrasikan pada grafik berikut ini:
Gambar 7 Grafik hubungan antara risk aversion dengan waktu eksekusi untuk peningkatan risiko perdagangan linear Pada persamaan (28), hubungan waktu eksekusi dengan risiko volatilitas adalah
berbanding terbalik yaitu semakin besar risiko volatilitas maka nilai T* akan semakin kecil
15
artinya semakin tak terduga pergerakan harga saham maka waktu eksekusi saham akan semakin cepat dan sebaliknya semakin kecil risiko volatilitas maka nilai T* akan semakin besar artinya semakin mudah menduga harga saham maka waktu eksekusi saham akan semakin lambat.
Misalkan diambil peningkatan biaya (η =0.004) dan likuiditas risk aversion ( λ = 0.0001) maka waktu eksekusi saham yang optimal untuk risiko volatilitas yang berbeda diilustrasikan seperti pada grafik di berikut ini:
Gambar 8 Grafik hubungan antara risiko volatilitas dengan waktu eksekusi yang optimal untuk peningkatan risiko perdagangan linear Persamaan (29) menunjukkan bahwa semakin besar risk aversion maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin kecil artinya semakin tidak berani seorang penjual mengambil risiko maka saham yang diperdagangkan akan semakin kecil dan sebaliknya semakin kecil risk aversion maka banyaknya saham yang diperdagangkan akan semakin besar artinya semakin berani seorang penjual mengambil
risiko maka saham yang diperdagangkan akan semakin besar. Hal tersebut dijelaskan dalam ilustrasi sebagai berikut. Misalkan η = 0.006 , σ = 2 , dan β = 0.00035 maka banyaknya saham yang diperdagangkan untuk risk aversion yang berbeda diilustrasikan seperti pada grafik di bawah ini:
Gambar 9 Grafik hubungan antara risk aversion dengan banyaknya saham optimal untuk peningkatan risiko perdagangan linear
5.3 Contoh Penerapan Peningkatan Risiko Konstan
Misalkan volume perdagangan di pasar modal sebanyak 1.000.000 juta saham sedangkan banyaknya banyaknya saham awal
16
yang diperdagangkan oleh penjual adalah 100.000 saham dengan asumsi harga pada saat awal adalah $50/saham dengan volatilitas tahunan $1/saham. Pada kasus ini diasumsikan
α ≠0
dan β = 0, artinya ketidakpastian biaya dalam perdagangan tidak bergantung pada rata-rata perdagangkan. Adapun fungsi biaya likuiditas adalah h ( v ) = η v dengan biaya likuiditas href
= $0, 50 / saham dan fungsi
ketidakpastian biaya dalam perdagangan adalah f ( v ) = α . Jika besarnya perubahan risiko ketidakpastian biaya (α) adalah 20% dan rata-rata perdagangan di pasar modal adalah 10% dari perdagangan volume
T∗ =
perdagangan di pasar modal atau 100.000 saham serta perdagangan terjadi dalam interval satu jam dengan 6,5 periode per hari atau τ =
2 13
hari maka kita dapat menghitung
waktu eksekusi optimal ( T * ) , expected cost ( E (λ ) ) dan standar deviasi dari biaya transaksi ( V ) serta banyaknya saham yang akan dijual
pada waktu t
( x(t ) ) ( x(t ) )
untuk kasus ini
sesuai dengan parameter risk aversion yang dimiliki investor saham dengan menggunakan rumus yang telah didapat, yaitu:
η + λα −t x ( t ) = X exp λσ T∗ 2
2
1 X 2 1 2 λη 2σ 2 E (λ ) = η = X 2 T∗ 2 η + λα 2
α2 1 σ η+2λα2 1 V( λ) = X2σ2T∗1+ 2 2 = X2 2 2 σ T∗ 2 λ η+λα
Gambar 10 Grafik hubungan antara risk aversion dengan waktu eksekusi
Gambar 11 Grafik hubungan waktu eksekusi dengan expected cost
17
Gambar 12 Grafik hubungan waktu eksekusi dengan standar deviasi Ketiga grafik di atas, yaitu grafik pada Gambar (10), Gambar (11), dan Gambar (12) menunjukkan hasil secara numerik. Dapat dilihat bahwa untuk setiap risk aversion (λ) mempunyai karakteristik nilai berbeda, yaitu untuk setiap λ yang semakin kecil maka waktu eksekusi saham (T* ) akan semakin meningkat sehingga menyebabkan expected cost yang diperoleh semakin menurun dan standar deviasi semakin meningkat. Kasus ini menunjukkan bahwa ketika terjadi ketidakpastian biaya yang konstan dalam perdagangan maka seorang penjual yang menghindari risiko dengan risk aversion yang besar akan mempercepat program eksekusinya dengan tujuan untuk mengurangi risiko. Sebaliknya seorang penjual yang berani mengambil risiko dengan risk aversion yang kecil akan memperlambat waktu eksekusi dengan tujuan untuk meminimumkan expected cost. 5.4 Contoh Penerapan Peningkatan Risiko Linear Seperti kasus konstan misalkan harga saham pada saat perdagangan awal adalah $50/saham. Pada kasus ini diasumsikan α = 0 dan β ≠ 0, artinya ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Fungsi biaya likuiditas adalah h ( v ) = η v dan fungsi ketidakpastian biaya dalam perdagangan adalah f (v) = β v , sehingga model harga saham sebenarnya pada persamaan (10) menjadi: s%k = s k −1 − η n k τ − 1 + β n k τ − 3 / 2 ξ% .
Khusus untuk pemilihan interval perdagangan τ , standar deviasi dari biaya
likuiditas dihubungkan dengan perubahan ketidakpastian biaya dalam perdagangan ( β ) adalah fraksi ρ , dan selama nilai keduanya sama terhadap rata-rata perdagangan maka
β nkτ −3/2 = ρηnkτ −1 , atau
β = ρτ 1/2η , Sehingga banyaknya saham optimal yang diperdagangkan pada persamaan (29) menjadi 1 η 1 σ T*2 X* = = 3 λσβ 3 β
η 2 1 1 λσ = = 1/ 2 1/ 2 3 ρτ η 3ρ λστ 1
σ
Dalam kasus ini diasumsikan terjadi perubahan rata-rata penjualan setiap harinya. Misalkan perdagangan terjadi dalam interval satu jam dengan 6,5 periode perhari, maka τ = (2/13) hari, dan ambil ρ = 1/2 . Maka untuk setiap risk-tolerance (1/λ) dapat ditentukan nilai β , X * , danT* dan dapat dilihat pada Lampiran 13. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa waktu eksekusi saham bergantung pada ratarata perdagangan, jika rata-rata perdagangan meningkat maka perubahan biaya likuiditas dan perubahan ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan semakin kecil dan hal ini akan mengakibatkan waktu eksekusi saham semakin cepat. Sedangkan banyaknya saham optimal yang diperdagangkan bergantung pada risk aversion (λ) seorang penjual, yaitu ketika seorang penjual mempunyai risk aversion yang besar maka penjual tersebut semakin menghindari risiko sehingga banyaknya saham optimal yang
18
diperdagangkan akan semakin sedikit. Sebaliknya, jika penjual mempunyai risk aversion yang kecil maka penjual tersebut semakin berani mengambil risiko, sehingga banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin banyak. Misalkan diambil parameter risktolerance 1/λ = $10.000 atau λ = 0.0001
maka ketika rata-rata perdagangan sebesar 100.000 saham, diperoleh besarnya perubahan risiko ketidakpastian biaya sebesar: banyaknya β = 10 −6 $ hari 3 / 2 / saham 2 dan saham optimal yang diperdagangkan adalah sebesar X* ≈ 30.000 saham.
VI SIMPULAN Jika seorang penjual saham menghadapi suatu peningkatan risiko perdagangan yaitu adanya risiko ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan maka diperlukan strategi untuk menentukan berapa banyak saham pada waktu t yang akan dijual atau berapa saham yang harus diperdagangkan dan kapan waktu eksekusi yang optimal dalam perdagangan saham. Ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan mempertimbangkan dua kasus terdiri atas peningkatan risiko perdagangan konstan yaitu ketika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan tidak bergantung pada rata-rata perdagangan dan peningkatan risiko perdagangan linear yaitu ketika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan. Jika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan tidak bergantung pada rata-rata perdagangan maka strategi dalam perdagangan mempertimbangkan dua solusi optimal yaitu berapa banyaknya saham pada waktu t yang akan dijual dan kapan waktu eksekusi saham yang optimal. Seorang penjual yang menghindari risiko (risk aversion besar) akan mempercepat program penjualannya dengan tujuan untuk mengurangi risiko, sedangkan penjual yang
lebih berani mengambil risiko (risk aversion kecil) akan memperlambat perdagangannya dengan tujuan meminimumkan expected cost. Jika ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan bergantung pada rata-rata perdagangan maka strategi dalam perdagangan mempertimbangkan dua solusi optimal yaitu berapa banyaknya saham optimal yang diperdagangkan dan kapan waktu eksekusi saham yang optimal. Ketika rata-rata perdagangan meningkat perubahan biaya likuiditas akibat perubahan rata-rata perdagangan dan perubahan ketidakpastian biaya likuiditas dalam perdagangan semakin kecil hal ini akan mengakibatkan waktu eksekusi saham semakin cepat. Sedangkan banyaknya saham optimal yang diperdagangkan bergantung pada risk aversion (λ) seorang penjual yaitu ketika seorang penjual mempunyai risk aversion yang besar artinya penjual tersebut semakin menghindari risiko maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin sedikit dan sebaliknya jika penjual mempunyai risk aversion yang kecil artinya penjual tersebut semakin berani mengambil risiko maka banyaknya saham optimal yang diperdagangkan akan semakin banyak.
