Úvod Typy promítání Matematický popis promítání Implementace promítání Literatura. Promítání. Pavel Strachota. FJFI ČVUT v Praze

Úvod

Typy promítání

Matematický popis promítání

Promítání Pavel Strachota ˇ FJFI CVUT v Praze

30. bˇrezna 2011

Implementace promítání

Literatura

Úvod

Typy promítání


Obsah

1

Úvod

2

Typy promítání

3


4



Literatura

Úvod

Typy promítání


Obsah

1

Úvod

2

Typy promítání

3


4



Literatura

Úvod

Typy promítání



Úvod promítání (projekce) = zobrazení (transformace) ˇ ˇ trojrozmerných objektu˚ do dvourozmerné plochy ˇ (zobrazovacího zaˇrízení) - prum ˚ etny (projection plane) ztráta prostorové informace ˇ ˇ prum ˚ etna ... vetšinou rovina =⇒ úseˇcka v prostoru 7→ úseˇcka v rovineˇ =⇒ lze promítat jen koncové body a pak spojit lze promítat i na kouli apod. starší CRT nebyly rovinné - zanedbávalo se

ruzné ˚ promítací metody vhodné pro ruzné ˚ úˇcely (deskriptivní geometrie) ˇ nekdy je potˇreba z 2D obrazu vyˇcíst vlastnosti 3D objektu˚ (vzdálenosti, úhly) =⇒ promítání musí napˇr. zachovávat ˇ rovnobežnost apod.

Literatura

Úvod

Typy promítání



Obecné problémy promítání promítací paprsek - vychází z každého bodu 3D scény a ˇ ˇ dopadá na prum ˚ etnu. V místeˇ dopadu vytváˇrí prum ˚ et ˇ paprsku závisí na promítací metodeˇ smer

ˇ prum ˚ etna - nyní uvažujeme jen rovinu, teoreticky neomezenou, ve skuteˇcnosti výˇrez (viewport) pohledový objem - 3D objem obsahující objekty, které se ˇ eˇ pˇri dané metodeˇ promítání zobrazí na omezené prum ˚ etn lze vypoˇcítat pro urychlení zobrazování 3D scény (pˇredem vylouˇcí objekty mimo objem z dalšího zpracování) oˇrezávání (clipping) specifikace zadní a pˇrední oˇrezávací roviny (vylouˇcení vzdálených objektu) ˚

ˇ promítání: rovnobežné a stˇredové (perspektivní)

Literatura

Úvod

Typy promítání


Obsah

1

Úvod

2

Typy promítání

3


4



Literatura

Úvod

Typy promítání



Typy promítání

ˇ ˇ rovnobežné promítání - charakterizováno smerem ˇ promítání (všechny promítací paprsky mají stejný smer) ˇ pravoúhlé - paprsky jsou kolmé na prum ˚ etnu ˇ kosoúhlé - paprsky svírají s prum ˚ etnou jiný úhel než 90◦ ˇ zachovává rovnobežnost =⇒ vhodné pro technické aplikace

ˇ stˇredové promítání - urˇceno stˇredem promítání, do nejž míˇrí promítací paprsky více realistické formalismus: je-li stˇred promítání nekoneˇcneˇ daleko =⇒ ˇ rovnobežné promítání

Literatura

Úvod

Typy promítání



ˇ Stˇredové vs. rovnobežné promítání

Literatura

Úvod

Typy promítání



Literatura

ˇ Typy rovnobežného promítání pravoúhlé (ortografické) - v technických výkresech pudorys ˚ (top-elevation) bokorys (side-elevation) nárys (front-elevation) ˇ ˇ axonometrické promítání - prum ˚ etna není rovnobežná s žádnou ze souˇradnicových os ˇ osoveˇ orientovaného kvádru =⇒ zobrazí více sten ˇ izometrické - normála prum ˚ etny svírá stejný úhel se všemi souˇr. osami

ˇ kavalírní promítání - promítací paprsky svírají s prum ˚ etnou ◦ úhel 45 kabinetní promítání - promítací paprsky svírají s ˇ prum ˚ etnou úhel arctan 2

Úvod

Typy promítání



Ortografické promítání

Literatura

Úvod

Typy promítání



Izometrické promítání

Q?bert, 1982

Literatura

Úvod

Typy promítání



Kavalírní promítání ˇ promítací paprsky svírají s prum ˚ etnou úhel 45◦ =⇒ ˇ pˇrímky kolmé na prum ˚ etnu (xy ) zachovávají délku ˇ osy z a x se volí typicky bud’ 30◦ úhel pˇrímek ve smeru ◦ nebo 45

Literatura

Úvod

Typy promítání



Literatura

Kabinetní promítání ˇ promítací paprsky svírají s prum ˚ etnou úhel ˇ arctan 2 ≈ 63.4◦ =⇒ pˇrímky kolmé na prum ˚ etnu (xy ) mají ˇ délku polovicní ˇ osy z a x se volí typicky bud’ 30◦ úhel pˇrímek ve smeru ◦ nebo 45

Úvod

Typy promítání



Literatura

Stˇredové (perspektivní) promítání ˇ Obecneˇ muže ˚ mít prum ˚ etna libovolnou polohu. Rozlišují se však pˇrípady: ˇ ˇ jednobodová (jednoúbežníková) perspektiva - prum ˚ etna protíná jedinou souˇradnicovou osu. Všechny úseˇcky kolmé ˇ ˇ na prum ˚ etnu míˇrí do jednoho bodu ... hlavní úbežník (principal vanishing point) ˇ ˇ dvoubodová (dvouúbežníková) perspektiva - prum ˚ etna protíná dveˇ souˇrad. osy. Hrany osoveˇ orientovaného ˇ rují do dvou hlavních úbežník ˇ kvádru smeˇ u. ˚ ˇ ˇ trojbodová (trojúbežníková) perspektiva - nejobecnejší ˇ pˇrípad, prum ˚ etna protíná všechny tˇri souˇrad. osy. Hrany ˇ rují do tˇrí hlavních úbežník ˇ os. orient. kvádru smeˇ u˚

Úvod

Typy promítání


Typy perspektiv


Literatura

Úvod

Typy promítání


Typy perspektiv


Literatura

Úvod

Typy promítání


Typy perspektiv


Literatura

Úvod

Typy promítání


Typy perspektiv


Literatura

Úvod

Typy promítání


Obsah

1

Úvod

2

Typy promítání

3


4



Literatura

Úvod

Typy promítání



Literatura

Promítání jako transformace souˇradnicové systémy WCS (world coordinate system) ˇ VCS (viewing coordinate system), nekdy také VRC (viewing reference coordinate)

promítání bude transformace mezi WCS a VCS homogenní souˇradnice =⇒ zápis v maticovém tvaru P p = MP, kde P = [X , Y , Z , W ]T ∈ WCS a P p = [U, V , N, Wp ]T ∈ VCS =⇒ výhoda - projekci M lze skládat s transformacemi pouhým násobením Poznámka: (x, y , z) 7→ [xW , yW , zW , W ] := [X , Y , Z , W ].

Úvod

Typy promítání



Specifikace pohledu kamery 1/2 ˇ pozice prum ˚ etny V ... tzv. VRP (view reference point) poˇcátek VCS ˇ orientace prum ˚ etny - vektor n, tzv. VPN (view-plane normal) ˇ osy v „view up“ vektor (VUP) v urˇcující smer ˇ osy u vektor u = n × v urˇcuje smer CW (stˇred okna) - obecneˇ ruzný ˚ od V PRP (projection reference point) v pˇrípadeˇ stˇredového promítání je PRP stˇredem promítání (COP, center of projection) ˇ v pˇrípadeˇ rovnobežného promítání vektor ˇ promítání (direction of DOP = PRP − CW urˇcuje smer projection)

Literatura

Úvod

Typy promítání



Specifikace pohledu kamery 2/2

ˇ prum ˇ Umístení ˚ etny

Literatura

Úvod

Typy promítání




ˇ Rovnobežné promítání

Literatura

Úvod

Typy promítání




Stˇredové promítání

Literatura

Úvod

Typy promítání



Oˇrezávání

ˇ Rovnobežné promítání

Literatura

Úvod

Typy promítání


Oˇrezávání



Literatura

Úvod

Typy promítání


Oˇrezávání



Literatura

Úvod

Typy promítání



Transformace pro stˇredové promítání 1/3

ˇ pro jednoduchost: prum ˚ etna ˇ umístena v rovineˇ xy , ve vzdálenosti ˇ z, tj. z = d d od poˇcátku ve smeru stˇred promítání je 0 z podobnosti trojúhelníku˚ máme xp d yp d

= =

x , z y . z

Literatura

Úvod

Typy promítání



Literatura

Transformace pro stˇredové promítání 2/3 Maticový zápis

matice transformace 

1  0 M =  0 0

 0 0 0 1 0 0   0 1 0  0 d1 0

potom totiž pro P = [x, y , z, 1] (tzv. homogenizovaný bod, kde první 3 složky jsou pˇrímo kartézské souˇradnice) máme T P p = U V N Wp = MP = x y z dz a po pˇrevodu do 3D dostáváme U V N xd yd (xp , yp , zp ) = (u, v , n) = , , = , ,d , Wp Wp Wp z z ˇ v souladu s pomery xp x yp y = ; = . d z d z

Úvod

Typy promítání



Transformace pro stˇredové promítání 3/3 Alternativní formulace

ˇ ˇ prum ˚ etna umístena v rovineˇ xy , prochází poˇcátkem stˇred promítání je (0, 0, −d) z podobnosti trojúhelníku˚ nyní xp yp x y = , = , d z +d d z +d takže y x , yp = z/d + 1 z/d + 1   1 0 0 0  0 1 0 0   =⇒ M =   0 0 0 0  0 0 d1 1

xp =

Literatura

Úvod

Typy promítání



ˇ Transformace pro rovnobežné promítání

ˇ pravoúhlá (ortografická) projekce na prum ˚ etnu danou rovnicí z = 0. P = [x, y , z, 1] 7→ P 0 = [x, y , 0, 1] 

1  0 M =  0 0 podobneˇ další transformace

0 1 0 0

0 0 0 0

 0 0   0  1

Literatura

Úvod

Typy promítání


Obsah

1

Úvod

2

Typy promítání

3


4



Literatura

Úvod

Typy promítání



Literatura

Implementace promítání a oˇrezávání 1/2 ˇ obecneˇ pohledový objem - konvexní šestisten, ˇ nesoumerný oˇrezávání (napˇr. pˇrímek) snazší vuˇ ˚ ci jednoduchému tvaru tzv. kanonickému objemu =⇒ postup pˇri zobrazování je následující

Úvod

Typy promítání



Implementace promítání a oˇrezávání 2/2 Kanonické objemy

ˇ pro rovnobežné promítání polovina jednotkové krychle ohraniˇcená rovinami: x = −1, x = 1, y = −1, y = 1, z = −1, z = 0 pro stˇredové promítání komolý jehlan x = −z, x = z, y = −z, y = z, z = −zmin , z = −1

Literatura

Úvod

Typy promítání



Zachování informace o hloubce 1/4 popsané transformace zahazují puvodní ˚ informaci o ˇ hloubce (vzdálenosti od prum ˚ etny, tj. zde souˇradnici z) ˇ nahrazují ji souˇradnicí z prum ˚ etny hloubka je potˇreba pro ˇrešení viditelnosti souˇradnici n bodu P p je tˇreba spoˇcítat jinak yd místo P p = xd z , z , d , ale ˇ kˇrivky ve VCS potom úseˇcky ve WCS 7→ (obecne) lze n = z, tj. P p =

xd yd z , z ,z

ˇ tj. souˇradnice (u, v ) = (xp , yp ) jsou OK, tj. v prum ˚ et, ˇ eˇ vidíme úseˇcku, ale: prum ˚ etn problém pˇri rˇešení viditelnosti - potˇrebujeme všechny 3 souˇradnice

Literatura

Úvod

Typy promítání



Literatura

Zachování informace o hloubce 2/4 ˇ Rešení

správnou informaci o hloubce + zachování linearity úseˇcek zajišt’uje transformace PD (pseudo-distance) definovaná jako B PD (z) = A − , z kde B > 0. pˇrední (near) a zadní (far) oˇrezávací rovina z = n, z = f . chceme PD(n) = −1, PD(f ) = 1 =⇒ A=

f +n 2fn , B= f −n f −n

=⇒ PD (z) =

z (f + n) − 2fn . z (f − n)

Úvod

Typy promítání



Zachování informace o hloubce 3/4 Vlastnosti PD

Literatura

Úvod

Typy promítání



Zachování informace o hloubce 4/4 Numerické vlastnosti PD

graf PD(z): n = 2, f = 10 zobrazení intervalu: ˚ i h 7→ [−1, 0] n, f2fn h +ni 2fn f +n , f 7→ [0, 1]

velikosti int. pro f n: 2fn f +n

f−

− n ≈ 2n − n = n 2fn f +n ≈ f − 2n n

=⇒ „komprese“ velkého rozsahu z do intervalu [0, 1] =⇒ možný problém s koneˇcnou pˇresností poˇcítaˇce (z-buffer v graf. kartách obvykle 32-bit integer)

Literatura

Úvod

Typy promítání



Literatura

S. R. Buss: 3D Computer Graphics: A Mathematical Introduction with OpenGL. Cambridge University Press, 2003. J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principles and Practice, Addison Wesley, 1997. Žára, Beneš, Sochor, Felkel: Moderní poˇcítaˇcová grafika. Computer Press, 2005

Literatura

Úvod Typy promítání Matematický popis promítání Implementace promítání Literatura. Promítání. Pavel Strachota. FJFI ČVUT v Praze

Recommend Documents