UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI FAKULTA PŘÍRODOVĚDECKÁ KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE
DIPLOMOVÁ PRÁCE VYUŽITÍ GEOGEBRY VE VÝUCE GEOMETRIE NA STŘEDNÍ ŠKOLE
Bc. Tereza Hývlová Učitelství matematiky pro SŠ a učitelství výpočetní techniky pro SŠ
Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Olomouc, 2016
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně s použitím uvedené literatury a zdrojů informací.
Olomouc, 15.8. 2016 ............................................................. vlastnoruční podpis
Obsah 1.
Úvod ................................................................................................................................................ 1
2.
Program GeoGebra ......................................................................................................................... 2
2.1.
Historie programu ...................................................................................................................... 2
2.2.
Instalace GeoGebry .................................................................................................................... 3
2.3.
První spuštění ............................................................................................................................. 4
Hlavní menu s lištou nástrojů ............................................................................................................ 4 Algebraické okno ................................................................................................................................ 5 Nákresna ............................................................................................................................................. 5 Vstup ................................................................................................................................................... 6 3.
Geometrie ....................................................................................................................................... 7 Mezopotámie...................................................................................................................................... 7 Egypt ................................................................................................................................................... 8 Starověké Řecko ................................................................................................................................. 9 Základy .......................................................................................................................................... 10 Neřešitelné řecké geometrické úlohy .......................................................................................... 10 Starověký Řím ................................................................................................................................... 11 Středověk .......................................................................................................................................... 11 Geometrie v Číně .......................................................................................................................... 12 Geometrie v Indii .......................................................................................................................... 12 Geometrie v islámských zemích ................................................................................................... 13 Renesance ......................................................................................................................................... 14 Další vývoj geometrie ....................................................................................................................... 15 Topologie .......................................................................................................................................... 15
4.
Planimetrie.................................................................................................................................... 16
4.1.
Planimetrie ZŠ a nižších gymnaziálních ročníků ...................................................................... 16
Bod, přímka a její části ..................................................................................................................... 16 Úhel ................................................................................................................................................... 17 Shodná zobrazení ............................................................................................................................. 18 Osová souměrnost ............................................................................................................................ 20 Středová souměrnost ....................................................................................................................... 20 Trojúhelníky ...................................................................................................................................... 21 Pythagorova věta.......................................................................................................................... 21 Euklidova věta o odvěsně............................................................................................................. 22 Euklidova věta o výšce.................................................................................................................. 22 Čtyřúhelníky ...................................................................................................................................... 22
Obvody a obsahy trojúhelníků a čtyřúhelníků ................................................................................ 22 Kružnice, kruh ................................................................................................................................... 22 Konstrukční úlohy ............................................................................................................................. 23 Posunutí ............................................................................................................................................ 23 Podobnost ......................................................................................................................................... 24 4.2.
Planimetrie SŠ ........................................................................................................................... 24
Metody řešení konstrukčních úloh .................................................................................................. 25 Další důležité pojmy ......................................................................................................................... 25 4.3. 5.
Řešené příklady ........................................................................................................................ 26 Stereometrie ................................................................................................................................. 52
5.1.
Stereometrie na ZŠ ................................................................................................................... 52
Zákres sítě, výpočty objemu a povrchu těles .................................................................................. 53 5.2.
Stereometrie na SŠ ................................................................................................................... 54
Komolý kužel a komolý jehlan ......................................................................................................... 56 Řezy koule ......................................................................................................................................... 56 5.3.
Řešené příklady ........................................................................................................................ 57
6.
Závěr.............................................................................................................................................. 78
7.
Bibliografie .................................................................................................................................... 79
8.
Internetové zdroje: ....................................................................................................................... 80
9.
Seznam obrázků a grafů ............................................................................................................... 81
1. Úvod Tato diplomová práce je zaměřena na aplikaci programu GeoGebra ve výuce stereometrie a planimetrie na středních školách. Byly vybrány jak typické středoškolské příklady z oblasti konstrukcí v geometrii, tak zajímavé a také náročnější úlohy. Informace o učebních tématech jsem čerpala z rámcového vzdělávacího programu pro ZŠ a gymnázia, uvedeného na stránkách ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy. Většina uvedených obrázků a grafů jsou vytvořené pomocí programů GeoGebra, Lucidchart a GIMP 2.
1
2. Program GeoGebra Tento program je často popisován jako dynamický matematický software spojující geometrii, algebru a matematickou analýzu. K takovému tvrzení přispívá i jeho název, který vznikl spojením anglických slov geometry a algebra. GeoGebra se dnes také využívá i v jiných odvětvích jako je např. výuka fyziky, chemie nebo biologie, a to zejména využitím animací. Primárním cílem vývojářů bylo vytvořit jednoduchý tzv. userfriendly1 program, který by se dal využít již na druhém stupni základních škol, nebo i dříve. K přehlednosti programu dopomáhá nástrojová lišta, které se budeme věnovat v další části. GeoGebra je označována jako tzv. opensource program. To znamená, že je to volně šiřitelný software pro nekomerční účely. Je to v zásadě matematický výukový program. V podmínkách licence je totiž zmíněno, že je určen pro školní i akademická studia. Vyučující smějí využít program při výuce pouze za předpokladu, že jej nezneužijí k finančnímu obohacení nebo ke komerčním účelům. Jakékoli úpravy, kopírování a šíření programu je povoleno. Takovéto licence se označují GNU (General Public License) a CC (Creative Commons). Dalším důležitým aspektem, pro úspěšný vývoj GeoGebry (díky licenci CC), je velká komunita lidí, kteří na stránkách sdílejí vlastní projekty a osobní zkušenosti s programem. Zároveň existuje možnost na stránkách http://geotest.geometry.cz/ vypracovat geometrické konstrukce a nechat je automaticky vyhodnotit.
2.1.
Historie programu
Tento multiplatformní matematický software byl vytvořen Markusem Hohenwarterem díky projektu, který začal v roce 2001 na univerzitě v Salzburgu ve spolupráci s univerzitami na Floridě (2006-2008). Dnes spolupracuje s univerzitou v Linzu a s pomocí open-source vývojářů a překladatelů po celém světě. [16] GeoGebra je jeden z mnoha projektů, které pomocí crowdfundingu2 uspěly, konkrétně na portále Kickstarter. Díky tomuto způsobu financování si vývojáři mohli dovolit rozšířit program na mobilní verze, tj. do mobilů a tabletů s operačním systémem iOS, Android i Windows Mobile. Na vývoji se v současné době podílí menší skupina programátorů a více než 100 dobrovolných překladatelů z celého světa. Českou republiku zde reprezentuje Zbyněk Konečný. O překlad verze 4.0 1
Userfriendly = uživatelsky přívětivý Crowdfunding je způsob financování, při kterém velké množství lidí přispívá malým obnosem k cílové částce, zpravidla pomocí internetových stránek. 2
2
se postaraly studentky učitelství matematiky a informačních technologií Zuzana Bouchalová, Michaela Noruláková a Markéta Tomanová. Tyto informace a mnohem více můžeme nalézt na oficiálních stránkách www.geogebra.org. [17] GeoGebra také získala mnoho ocenění v průběhu vývoje nejen v USA, ale i v Evropě. Dokonce rakouské ocenění Learnie Award získala třikrát, a to v roce 2003, 2005 a 2006. Někdo bude, alespoň podle názvu, znát německé ocenění Comenius, které tento projekt dostal v roce 2004. Nejnovější ocenění, kterým se GeoGebra může chlubit, je MERLOT Award za příkladné on-line studijní materiály z roku 2013, které získala v L. A. v USA. [18] GeoGebra se také může pyšnit vlastním Youtube kanálem, který byl založen v roce 2009. Najdeme tam videonávody, jak s programem pracovat.
2.2.
Instalace GeoGebry
Na oficiálních stránkách programu je jednoduchý průvodce instalací. V sekci ke stažení je pomocí obrázků zobrazené, do jakého zařízení a s jakým operačním systémem, se může GeoGebra nainstalovat. Dále stačí kliknout na název příslušného systému a čekat, než se instalační balíček stáhne do našeho počítače.
Obrázek 1 Instalace GeoGebry
3
Spustíme instalátor, který jsme stáhli. Přivítá nás instalační průvodce, kde na první straně si zvolíme jazyk, ve kterém proběhne instalace a ve kterém se vždy spustí program. Potvrďíme výběr a na další straně se zobrazí zkrácené licenční ujednání, které pro dokončení instalace musíme odsouhlasit. Dále doporučuji ponechat výběr standardní instalace, potvrzením se pokračuje na vlastní instalaci, která zabere pár minut.
2.3.
První spuštění
Při prvním spuštění se zobrazí menu, v jakém pohledu se nám má zobrazit lišta nástrojů. První dvě se liší nabídkou zobrazených nástrojů. Tabulka je volba pro práci s tabulkovým procesorem, CAS (Computer algebra system) je určena pro numerické výpočty. Další volby není nutné popisovat. Pokud ovšem klikneme mimo tuto nabídku, automaticky nám zmizí a dále se můžeme věnovat hlavnímu oknu programu. Ten se skládá z několika částí:
Hlavní menu s lištou nástrojů
Algebraické okno
Nákresna
Vstup
Obrázek 2 První menu
Hlavní menu s lištou nástrojů Menu je rolovací, kde si podle nabídky můžeme změnit nastavení prostředí programu, volbu jazyka a správu souboru vytvořeného projektu. Máme zde i přístup k nápovědě. Ráda bych upozornila na možnosti uložení/exportu projektu. Soubor lze uložit do formátu, který lze otevřít pouze v GeoGebře, nebo jej lze uložit jako bitmapový nebo vektorový obrázek, popř. jako gif animaci a jistě zajímavou volbou je export do formátu webových stránek.
Obrázek 3 Lišta nástrojů Lišta nástrojů se mění podle vybraného zobrazení. Nejčastější volbou je však zobrazení v režimu algebra. Tomuto zobrazení odpovídá i obrázek. Nástroje jsou rozděleny do skupinek, které odpovídají
4
jednotlivým čtverečkům. Pokud chceme změnit volbu např. místo kolmice, chceme vytvořit rovnoběžku, stačí kliknout na malý trojúhelník v pravém dolním rohu pole. Před zahájením práce na prvním projektu doporučuji projít všechny kategorie a vyzkoušet jednotlivé nástroje.
Algebraické okno Algebraické okno se nachází v levé části programu, zde se vypíší všechny objekty, které jsme nanesli na nákresnu, zároveň uvidíme všechny důležité detaily, jako je obecná rovnice kuželoseček, přímek, polohy bodů apod. Přes algebraické okno se můžeme dostat k vlastnostem objektu, měnit jeho barvu, viditelnost, pojmenování a další atributy. Objekty jsou seřazeny do kategorií, které lze zobrazit nebo skrýt jejich výpis, pomocí malého – nebo + vlevo od názvu kategorie.
Nákresna
Obrázek 4 Algebraické okno
Hlavní pracovní a rýsovací plocha. Zde vytváříme objekty, posouváme je, dodáváme jim tvar. S nákresnou můžeme pomocí jednoho nástroje i hýbat, oddalovat ji, či přibližovat. Pravým tlačítkem myši zviditelníme místní menu, kde můžeme zobrazit/skrýt osy, mřížku, nastavit poměr bodů na osách nebo se dostat do nastavení nákresny. Klikem pravým tlačítkem na objekt na nákresně se nám zobrazí stejná nabídka pro daný objekt, jako tomu bylo u algebraického okna.
5
Vstup Do základních částí okna GeoGebry jsem zařadila i nenápadnou lištu v dolní části programového okna. Slouží k ručnímu zadání objektu. Vzhledem k množství nástrojů je někdy dost zdlouhavé naklikat si požadované funkce, a proto je někdy jednodušší rovnou objekty zadat ručně. Výhodou je tedy rychlost, okamžité vlastní pojmenování objektu. Při zadávání funguje i tzv. automatický našeptávač. Je to malá nápověda, která odhaduje, jaký objekt chcete vytvořit a dává nám možnosti, ve kterých hodnotách lze zadat.
Obrázek 5 Vstup pro data
6
3. Geometrie3 V období pravěku je velice těžké určit, na jaké úrovni v matematickém myšlení lidé byli. Jediné, co se z té doby pro nás dochovalo, je několik materiálních pozůstatků, u kterých bohužel ve většině případů netušíme, k čemu byly určeny, nebo se můžeme o tom jen dohadovat. Nějaké jednoznačné archeologické památky byly nalezeny až v místech, kde se rozvíjely zemědělské civilizace, které potřebovaly vyměřovat velikost polí, staveb apod. O geometrii jako vědě nebo pseudovědě se v tomto období, které trvalo do začátku antického Řecka (kolem roku 800 př.n.l.), nedalo hovořit. Ovšem s geometrií souvisí i umění, a tudíž i často zmiňované jeskynní malby. Archeolog Henry Breuil měl zajímavý postřeh, co se týče umístění obrazů zvířat. Zjistil, že tyto obrázky dodržují jisté schéma - v různé vzdálenosti od vchodu do jeskyně vyobrazovali pravěcí obyvatelé různé druhy zvířat. Toto zjištění nemusí nutně něco znamenat, může se jednat o neúmyslné zachycení změny druhů v jídelníčku pravěkých lidí. Nicméně tento poznatek je zajímavý k přemýšlení. Po té, co primitivní lidé odešli z jeskynní a zakládali malé osady, nebyl stále důvod k rozvoji geometrie. Jak ale postupoval vývoj, objevila se nutnost rozšiřování větších vesnic, vyměřování polí, z důvodu dostatečné produkce potravin, navrhnout síť zavlažovacích kanálů a tehdy se zrodila geometrie. Jak byste jinak chtěli postavit velké chrámy, paláce, či pyramidy? Bez vyměřování a znalostí výpočtů by to nešlo. I přes značné výzkumy zůstávají megalitické stavby, jako je např. Stonehenge, zahaleny rouškou tajemství. I když je Stonehenge nejslavnější z těchto staveb, je také jednou z nejmladších. Odhaduje se, že byla vystavena mezi lety 1900 a 1400 před naším letopočtem. Zajímavostí těchto staveb je, že s vysokou přesností lze propojit některé body stavby se stanovišti v okolí a s azimuty východů některých důležitých hvězd nebo i východu a západu Slunce při rovnodennostech a slunovratech. K takové přesnosti už bylo zapotřebí pokročilých znalostí geometrie, vzhledem k velikosti stavby. Traduje se, že lidé v tomto období znali i konstrukci pravého úhlu pomocí provazu s uzly. Na delší provaz se uváže v pravidelných vzdálenostech 13 uzlíků, krajní se dají k sobě, dva další (5. a 8. v pořadí) se uchopí a celé napnou, výsledkem je pravoúhlý trojúhelník.
Mezopotámie Problémem jakýchkoliv zápisů o geometrii v Babylonských či Sumerských písemnostech je ten, že téměř žádné nenalezneme. Je to tím, že geometrie nebyla zařazována do matematiky, což se
3
Veškeré informace čerpané z [4][8][14]
7
změnilo až ve starém Řecku. Mezopotámci ale museli znát geometrii, byli to totiž výborní astronomové a stavitelé. Sumerové a Babyloňané znali spíše návody, jak vypočítat to, co potřebovali, jako je např. jak měřit úhly, jak určit obsah trojúhelníka, lichoběžníka, jak vyměřit půdorysy. Návody na určení objemu byly pouze přibližné. Jedním z hlavních důvodů, proč se nedochovalo více písemností od Mezopotámců je materiál, na který psali a na který měli případně rýsovat. Na své poznámky používali hliněné destičky a jako psací nástroj používali rákos. Pokud bychom si prohlédli geometrické úlohy Sumerů, tak bychom objevili vesměs příklady týkající se hlavně výpočtu délek, vzdáleností, úhlů, vypočítávali bychom plochy čtverců a jiných jednoduchých pravidelných n-úhelníků a uměli spočítat objemy jednoduchých těles. Zajímavé je, že Sumerové tušili, že závislost obvodu a průměru kruhu bude spočívat na stabilním poměru, který položili rovno 3. My tento poměr označujeme řeckým písmenem π.
Egypt Geometrie jak v Egyptě, tak v Mezopotámii - u starých Sumerů a Babylóňanů – byla zaměřena spíše na výpočty použité ve stavebnictví a astronomii. Naštěstí se od Egypťanů zachovalo několik cenných papyrů, které dokládají, jak rozvitou geometrií tehdejší obyvatelé disponovali. Nejstarší nalezené záznamy se datují kolem roku 3100 před naším letopočtem. Ovšem nejznámější písemnou památkou je tzv. Rhindův papyrus (1850 př.n.l.), který se nezachoval v originále, ale dochoval se nám jeho přepis. V něm jsou úlohy tříděné do 5 skupin, a to: 1. úlohy na výpočet objemu 2. obsahy polí 3. pyramidy 4. objemy tekutin a dělení chlebů 5. krmivo pro zvířata Všechny otázky, které nacházíme v matematice z tohoto období, zastupují teoretické myšlení, které je rozvíjeno až ve starověkém Řecku, kde se otevírá nová kapitola historie matematiky. Druhý zajímavý papyrus je také z let 1850 př.n.l. a dnes je znám pod přízviskem Moskevský a obsahuje 25 řešených příkladů. Jedná se o praktické problémy týkající se plochy lichoběžníka, objemu komolého jehlanu nebo povrchu válcovité střechy.
8
Starověké Řecko Největší rozvoj zažila geometrie bezesporu ve starověkém Řecku. Řekové byli totiž známí tím, že matematické problémy řešili geometricky. Zajímavostí je, že i když se v tomto období řeší vše geometricky podle konstrukcí, tak pojem konstrukce nebyl nijak definován, ani nebyla stanovena žádná konstrukční pravidla. Pomůckami pro konstrukce tzv. Euklidovských úloh (pojmenované podle nejslavnějšího matematika tohoto období) bylo pravítko bez číselníku a kružítko. Převedení algebraických úloh na geometrické mělo výhodu v tom, že z poměrně složitého počítání byly konstrukce rychlé a jednoduché. Problémem ovšem bylo to, že i výsledek byl znázorněn geometricky a často se nedal zpětně převést na algebraické vyjádření, popř. si představit, co ten daný výsledek znamená. V geometrii není možné narýsovat zápornou úsečku nebo záporný objem, a to byla velká překážka. Otázkou je, na co rýsovali a kam si zapisovali své poznámky. Jak víme, tak v Mezopotámii měli hliněné destičky, kam šlo velice špatně něco zakreslit a zároveň tyto destičky nebyly moc odolné, což způsobovalo malou životnost zápisů pro budoucí generace. V Egyptě psali důležité poznatky na papyrus, bohužel to byl v té době dost drahý materiál na psaní poznámek a na rýsování, proto pro běžné použití nesloužil ani Řekům. Pokud si chtěli načrtnout nějakou myšlenku, kreslili do písku, buď jako děti na zem, nebo si vzali misku naplněnou vlhkým a jemným pískem. Přesnost rýsování nebyla nijak velká a nutila matematiky všechny geometrické myšlenky dokázat logicky. Hlavními představiteli této doby byli Thales z Milétu, Pythagoras ze Samu, Aristoteles ze Stageiry, Eukleides z Megary a Archimédes ze Syrakus. Každý přispěl svou mírou k rozvoji geometrie a uvedeme si jen několik informací o každém z nich. Thales z Milétu je především znám díky Thaletově větě, podle které všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé. Řekové pro něj měli označení "otec vědy". Kromě věty o trojúhelnících je také znám tím, že spočítal výšku pyramid podle jejich stínu a předpověděl zatmění Slunce Pythagoras ze Samu je zas znám větou o pravoúhlém trojúhelníku, která zní takto: "Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami." Založil také školu, kde jeho následovníci si říkali Pythagorejci. Tajili své výsledky před okolním světem, ale občas nějaký objev pronikal i mimo zdi školy. Proto víme, že objevili poslední dva pravidelné mnohostěny, dodekaedr a ikosaedr.
9
Aristoteles ze Stageiry, student Platónovy akademie, který se pokoušel vypočítat obvod Země pomocí výšky Polárky nad obzorem na dvou místech na různé zeměpisné šířce. Aristoteles byl více filozofem než matematikem, i když do matematické vědy přispěl velkou měrou. Archimédes ze Syrakus je významným matematikem proto, že spojil teorii vzdělání s početní výkonností. Byl první, který se zajímal i o křivky, oblé plochy nebo objemy tvarů. Dokázal konkrétní výsledky objemů zobecnit, a tak vyjádřil pravidla pro objem těles jako je elipsoid a paraboloid. Dokázal také velice dobře zpřesnit hodnotu konstanty π. Posledního a nejspíše nejznámějšího matematika této doby nechávám nakonec. Je to Eukleides z Alexandrie. Nejznámější je spíše jeho dílo Základy, řecky Stoicheia, které si rozebereme ve zvláštním odstavci.
Základy Je rozsáhlé dílo, které tvoří 13 knih, ve kterých nalezneme 14 axiomů, 113 definic a 465 vět, z nich 92 konstrukcí a 27 důsledků. V tomto díle jsou vysvětleny základy planimetrie, geometrické algebry, aritmetiky a stereometrie. Jednotlivé knihy můžeme rozdělit do několika skupin, dle tématu, kterému se věnují. I.-IV. knihy jsou věnovány planimetrii; V. kniha představuje geometrickou podobu reálných čísel a limit; VI. kniha se věnuje podobnosti trojúhelníků; VII.-IX. jsou knihy věnované teorii čísel; X. je kniha kvadratických iracionalit; XI.-XIII. kniha je o stereometrii. [19]
Neřešitelné řecké geometrické úlohy Řekové se trápili několika úlohami, které měli řešit geometricky, jen pomocí pravítka bez stupnice a kružítka. Nakonec se zjistilo, že jsou pomocí těchto rýsovacích nástrojů nesestrojitelné, protože vyžadují ke konstrukci iracionální číslo. Jsou to úlohy:
Zdvojení krychle - jeli k dispozici krychle, máme za úkol vyrobit novou krychli s přesně dvojnásobným objemem.
Trisekce úhlu - rozdělení obecného úhlu na tři přesně stejné části.
Kvadratura kruhu – Je-li dán kruh, máme za úkol sestrojit čtverec, který má přesně stejný obsah.
Retifikace kružnice - K dané kružnici sestrojit úsečku stejné délky jako její obvod.
10
Starověký Řím Ve starověkém Římě se matematika nerozvíjela stejně dobře jako v Řecku. Možná to bylo proto, že matematiku zařazovali do astrologie, která byla po nějaký čas v říši římské zakázaná. Naopak geometrie, která byla podle nich oddělena od matematiky jako takové, byla využita zvláště ve stavitelství a architektuře.
Středověk Říká se, že středověk je doba temna a podobně to bylo i pro geometrii v tomto období. Naštěstí to tak temné nebylo, jelikož existuje několik děl, které k drobnému pokroku vedly. Autorem takovéhoto díla byl např. Leonard Pisánský. Jeho dílo se vztahovalo k měření veličin, aritmetiky, planimetrii a stereometrii. Anicius Manlius Torquatus Severinus Boethius (480-524) byl jedním z učenců, kteří se snažili překládat řecké matematické spisy. V knihách Aritmetika a Geometrie shromáždil výsledky řeckých matematiků a předal tyto poznatky dalším učencům v klášterních školách. Jordanus Nemorarius nebo také Giordano z Nemi (1225-1260) může za to, že se místo slovního popisu proměnných začínají používat písmena. Napsal traktát „O trojúhelníku“, ve kterém se geometrii věnuje ve čtyřech knihách. Nicole Oresme je první kdo podal základy analytické geometrie, protože začal řešit geometrické úlohy pomocí počítání se souřadnicemi. Jako první začínal popisovat funkce na přírodních jevech, kdy popisoval, závislost jedné veličiny na druhé. Během středověku nedošlo k výraznému rozvoji geometrie, ale za to se rozvíjela jiná odvětví, jako je například logika.
11
Geometrie v Číně Základní knihou o matematice v Japonsku a Číně byla Jiuzhang suanshu (Devět traktátů o matematickém umění někdy nazývané Matematika v devíti knihách). Z geometrie zde nalezneme návody na výpočet ploch základních geometrických útvarů, výsečí koule, výpočty objemů pravidelných těles, dokonce je zde zmíněná Pythagorova věta. Další významný traktát o geometrii se věnuje pravidly pro měření obsahů různých rovinných útvarů. Zvláště je toto dílo zaměřeno určováním vzdáleností a velikostí nepřístupných objektů. Jedná se o zcela konkrétní řešení jednotlivých úloh, jako je např. o měření výšky ostrova nad mořem, výška stromu na pahorku, výška vzdáleného města obklopeného hradbami, hloubka strže, výška věže na poli, šířka ústí řeky apod. V čem byli čínští matematikové napřed vůči matematikům v Evropě, bylo měření objemů těles, se kterými se setkávali ve stavebnictví. Snažili se počítat i objemy mnoha jiných těles, která Babylóňané, Egypťané i Řekové nechali nepovšimnuty.
Geometrie v Indii Mluvit o indické geometrii je docela složité, neboť neexistuje žádné zvláštní geometrické dílo a pravidla pro měření geometrických útvarů byla spíše zahrnuta do obecné vědy o výpočtech. Uvedeme si dva hlavní matematiky indické geometrie. Metody výpočtu obsahu čtverce, objemu krychle a obsahu trojúhelníka a další, se objevují ve spisech matematika Árjabhatta I. Indové měli zvláštní rozlišování n-úhelníků. 1. čtverce 2. obdélníky 3. rovnoramenné lichoběžníky 4. lichoběžníky se třemi stejně velkými stranami, tzv. „trojrovnostraníky“ 5. čtyřúhelníky s nestejně velkými stranami. Trochu zbytečné vypadá vyčlenění lichoběžníku se třemi stejně velkými stranami, naproti tomu víme, že rovnoramenné lichoběžníky využívali Indové při stavbě oltářů. Druhý učenec Brahmagupta měl mnohem bohatší a originálnější tvrzení z geometrie než měl Árjabhatta I. Ve svém díle v oddílu „rovinné útvary“ je shromážděno více než 20 pravidel, které se vztahují k používaným n-úhelníkům, kruhu a jeho tětiv. Nešvarem všech indických matematiků bylo vyslovovat jakékoliv geometrické teze bez jejich dokázání a ani u Brahmagupty to nebylo výjimkou. 12
Na druhou stranu udělal něco, co nikdo jiný před ním, představil matematikům nulu jako číslo, které znamená „nic“. V oddílu „o stínech“ řešili Indové, jak už název malinko napovídá, měření vzdáleností a výšek pomocí vertikální tyče. Úlohy v tomto oddílu se rozdělovaly takto: 1.
nalézt délku stínu známe-li délku tyče, výšku zdroje světla a vzdálenost mezi patami tyče a světelného zdroje
2.
nalézt výšku zdroje světla z délky stínů tyče ve dvou různých postaveních.
Geometrie v islámských zemích Co se týče geometrie v islámských zemí, tak po období středověku byly jejich znalosti na velmi dobré úrovni a předčili i znalosti ve středověké Evropě. Bylo to hlavně díky tomu, že Euklidovy Základy byly překládány do arabštiny a velkou měrou tomu přispěl i učenec jménem Muhammad ibn Músa al Chwarizmí (780-850 n.l.). Napsal aritmetický traktát, který byl později přeložen do latiny jako Algorithmi de numero indorum (Algoritmy o počtu Indů), ve kterém se v jedné kapitole věnoval geometrii a dokonce v tomto díle používal číslo nula. Brzy po Chwárizmím se tři bratři banu Músá z Bagdádu zabývali matematikou, astronomií, hudebními nástroji a mechanikou. Napsali i knihu, která se nám dochovala v latinském překladu pod názvem „Kniha tří bratrů o geometrii“, ovšem její přesný název je „Kniha o měření rovinných a sférických obrazců“. Věty v této knize se zabývají měření kruhu, kužele, koule apod. Tato a jistě i další práce bratří ovlivnily pozdější vývoj geometrie. Dalším významným matematikem na Blízkém východě byl Abu I Wafá, který do geometrické části „Knihy pro písaře“ zahrnul Hérónův vzorec, pravidla pro výpočet povrchu kulové plochy aj. Pro taková tvrzení neuváděl žádné důkazy. Abu I Wafá je ještě autorem díla o praktické geometrii, které má dvanáct kapitol, objasňující různé matematické konstrukce. Tyto konstrukce systematicky dělí do několika skupin, kde výslovně formuluje samotný princip řešení. Zajímavostí je také kniha „Klíč aritmetiky“ od Džemída al-Káší, kde kromě objemů obvyklých těles vyšetřuje objemy kosého válce a kužele a tzv. dutých těles. Nakonec autor uvádí složité výpočty a konstrukce lomených oblouků, kleneb a kupolí a dalších prvků pro arabskou architekturu. Poslední osobou, kterou bychom měli představit je Ibrahím ibn Sínán (908-946 n.l.), který napsal zvláštní práci o bodových konstrukcích elipsy, hyperboly a paraboly pomocí kružítka a
13
pravítka. Zajímavostí je, že byla vynalezena pomůcka pro rýsování kuželosečky, která byla podobná kružítku. Říkalo se jí kuželové kružítko.
Renesance Geometrie se v tomto období převážně rozvíjela pro potřeby umělců v malířství. Jde zejména o rozvoj zásad perspektivy. Například práce malíře Piera della Francesca (asi 1410-1492) De prospettiva pingendi (O perspektivě v malířství), na jeho myšlenky navázal mnich Luca Pacioli (asi 1445-1514), který ve svém díle De divina proportione (O božské úměře) rozebírá prospěšnost tzv. zlatého řezu. Další díla věnovaná perspektivě jsou od Leona Battisty Albertiho „O malířství“, z ciziny pak Jean Pélerin se svým spisem „O umělecké perspektivě“ a v neposlední řadě významný německý malíř Albrecht Dürer, který napsal „Návod pro měření pomocí kružítka a pravítka“. Dürer v tomto díle popisuje myšlenku, která se později stala základem deskriptivní geometrie. Křivky a části lidského těla zakresloval do průmětů na dvě nebo tři navzájem kolmých rovin. Slavný Leonardo da Vinci (1452-1519) ve svém spise o malířství doporučoval všem umělcům studovat geometrickou perspektivu. Pro své nízké sebevědomí, své vědecké myšlenky nesepsal v uceleném díle, ale zachovaly se jeho poznámkové bloky s náčrtky a úvahami. Bohužel většinou nedokončené. Dalším slavným jménem, které je třeba zdůraznit je René Descartes (1596-1650). Nejen, že se proslavit větou „Cogito, ergo sum“ (Myslím, tudíž jsem.), ale také vymyslel dodnes používaný systém souřadnic, tzv. kartézský. Jako první definoval pojem funkce a proměnné veličiny. Zavedl analytickou geometrii, kde jsou obrazce nahrazeny rovnicemi. Do této doby se rýsovalo a počítalo pouze se třemi dimenzemi, ale když Descartes nahradil útvary rovnicemi a výpočty, oprostil matematiku od omezení třemi dimenzemi. Posledním matematikem, kterého si uvedeme, byl Blaise Pascal (1623-1662), kterému se líbil Descartův pohled na matematiku. Nakonec rozšířil analytickou geometrii na tzv. projektivní geometrii.
14
Další vývoj geometrie Už ve starověku a později ve středověku se matematici snažili 5. Euklidův postulát buď nahradit nějakým přijatelnějším postulátem, nebo ho dokázat z ostatních postulátů Euklidovské geometrie. Důležitý (a neúspěšný) se ukázal druhý přístup: snaha dokázat Euklidův pátý postulát. Zajímavé výsledky se podařili jezuitovi, jehož jméno je Girolamo Saccheri (1667-1733). Ten se snažil dokázat ekvivalentní větu k 5. Euklidovu postulátu. Bohužel v důkazu udělal chybu a na konci 18. století už matematici ztratili víru v existenci důkazu této věty. Nalezla se ale korespondence mezi právníkem Ferdinandem Karl Schweikartem (1780-1859) a Karl Friderich Gaussem. V těchto dopisech tvrdí Ferdinand, že je možné přijmout postulát, který protiřečí pátému postulátu, a tuto geometrii poté využít v astronomii. Karl Friedrich Gauss už před dopisy tušil, co by se stalo, kdyby pátý Euklidův postulát nikdo nenapsal. Bohužel si ale své objevy nechal pro sebe a pro zatím žádné výsledky nepublikoval, protože věřil, že geometrie našeho světa je euklidovská. Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792-1856) roku 1826 vydal Stručný nástin základů geometrie, slávu mu ale zajistil francouzsky psaný článek Geometrie imaginaire z roku 1829, ve kterém vypracoval axiomatickou teorii geometrie, která byla trochu jiná než Eukleidova. Protože Gauss svou geometrii neuveřejnil, je Lobačevského geometrie právem označována za první neeuklidovskou geometrii. Šíří se ale domněnka, která tvrdí, že Lobačevského profesor si dopisoval s Gaussem a tak Lobačevského trochu v práci popostrčil. Posledním koho si představíme z této skupiny je János Bolyai (1802-1860), Maďarský matematik napsal několik statí o neeuklidovské geometrii, ale většina jeho práce, která zahrnovala 20 000 rukou psaných stan, nebyla nikdy shrnuta ve velkém díle. Studoval především neeuklidovskou geometrii, ve které postavil základy hyperbolické geometrie.
Topologie Zajímavá a někdy označovaná jako nejabstraktnější část matematiky. Obecná topologie má několik odvětví, nás bude ale zajímat ta, kterou někdy nazýváme jako geometrická. Co to topologie vlastně je? Pravděpodobně nejvýstižnější je specifikace kvalitní geometrie. Topologií se zabývalo několik slavných matematiků, jako je Johann Benedict Listing (18081882), který slovo topologie poprvé použil. Dokonce popsal tzv. Möbiovu pásku o čtyři roky dříve, než po kom je pojmenována, po Augustu Ferdinandu Möbiovi (1790-1868). Möbius také zavedl pojem projektivních transformací, čímž vlastně zavedl projektivní geometrii. V návaznosti na Möbiovu pásku
15
je důležitý rok 1882, kdy Felix Klein navrhl trojrozměrnou obdobu dvojrozměrného proužku- Kleinovu lahev. Důležitou osobou byl také Bernhard Riemann, který se zabýval polynomiálními rovnicemi. V přednáškách a publikacích definoval pojem, který dnes známe jako Riemannova geometrie a uzavřel tím práci, kterou před ním začali Gauss, Lobačevskij a Balyai. Jeho práce nesouvisí jen s topologií, ale položil tím základy pro diferenciální geometrii.
4. Planimetrie Geometrie v rovině, nebo jedním slovem planimetrie, je první kapitolou z oblasti geometrie, se kterou se na základní škole setkáváme. Začínáme nenápadně zákresem bodů na číselnou osu a do pravoúhlé soustavy souřadnic. Postupně však zakreslujeme složitější útvary, jako jsou úsečky, vektory, úhly a další složitější obrazce. Jednotlivé části kapitol jsem vybírala podle doporučených rámcových vzdělávacích programů (RVP) pro základní školy a gymnázia, které jsou dostupné na ministerstvu školství, mládeže a tělovýchovy nebo na stránkách výzkumného ústavu pedagogického. Části RPV týkající se výuky matematiky naleznete v příloze.
4.1.
Planimetrie ZŠ a nižších gymnaziálních ročníků
Na gymnáziích a středních školách se znalost planimetrie prohlubuje o složitější úlohy s využitím předchozích znalostí ze ZŠ. Výraz prohloubení znalostí spíše souvisí s teoretickou rovinou než s konstrukční, o to zajímavější může být pokládání rozličných otázek doplňující dané úlohy. Než se dostaneme ke konstrukčním úlohám typické pro SŠ, nejdříve si připomeneme učivo, které by žáci měli zvládat ze základních škol.
Bod, přímka a její části V úvodu do geometrie samotné se vždy začíná pojmy bod, přímka, úsečka, osa úsečky. Ať už se podíváte do jakékoli učebnice, těžko byste hledali definici bodu. I když to jsou vše abstraktní pojmy, máme je už nějakým způsobem zažité a definice těchto základních pojmů nám dost často přijdou zbytečné. Samozřejmě v úvodu jsme si řekli něco o historii geometrie a víme, že před více jak 2000 lety bylo Euklidem sepsáno dílo Základy. V něm se nachází definice základních útvarů roviny, jako je např. bod. Pokud využijeme jeho definice ze Základů, pak říkáme, že „bod je to, co nemá dílu“. A přímka je čára procházející dvěma body. Žáci ze ZŠ se také naučí, co je to úsečka, polopřímka, rovina, polorovina aj. Každý pojem je vysvětlen definicí a pomocí narýsovaného obrázku pochopen.
16
Co se týče přímek, zabýváme se také jejími vzájemnými polohami, jedné vůči druhé. Mezi dvěma přímkami mohou nastat tyto situace: mohou být vůči sobě rovnoběžné nebo různoběžné. Speciálním případem různoběžnosti je kolmost přímek a speciálním případem rovnoběžnosti je, když přímky splývají. Takovéto přímky nazýváme shodné či totožné.
Úhel Ještě než přejdeme k základním geometrickým tvarům jako je trojúhelník, čtverec apod. je nutné vědět, co je to úhel. Ten definujeme pomocí dvou polopřímek, které mají společný počátek a rovinu nám rozdělují na dvě části. Těmto částem pak říkáme konvexní a nekonvexní úhel. Společnému bodu polopřímek říkáme vrchol úhlu. [10] Jak tedy klasifikujeme úhel? Podle jeho velikosti
viz graf.
Graf 1 Rozdělení úhlů
Dále porovnáváme dvojice úhlů, které mohou být doplňkové nebo výplňkové. Doplňkové jsou takové libovolné dva ostré úhly, jejichž součet velikostí je 90°. Výplňkové se nazývají úhly (libovolný ostrý a tupý), jejichž součet velikostí je 180°.[10] Pokud vytvoříme mezi dvojici různých rovnoběžných přímek příčku, pak můžeme naleznout dvojice úhlů, které nazýváme přilehlé, vedlejší, vrcholové, souhlasné nebo střídavé. Jinými slovy mluvíme o konvexních úhlech se společným ramenem. Zobrazme si jednotlivé příklady druhů úhlů pomocí obrázků.
17
Obrázek 6 Úhly
Shodná zobrazení Obecně lze říci, že dva rovinné útvary jsou shodné, pokud mají stejnou velikost a tvar. Žákům se to nejčastěji vysvětluje pomocí příkladu, na kterém je tato věta zcela jistě platná. Existuje i jiná verze této věty: Dva rovinné útvary jsou shodné, jestliže je můžeme přemístit tak, aby se kryly. Následně shodné zobrazení můžeme cvičit na příkladech, kdy využijeme průsvitný papír. Pokud v takovém úkolu budeme porovnávat dva objekty a budeme muset zjistit, zda jsou shodné, stačí, aby žák jeden útvar obkreslil na papír a na druhý pak tento nákres přiložil. Připsat rozlišení přímé a nepřímé shodnosti.
18
Příklad: Mezi klíči na obrázku najděte shodné [3] Na základních školách se žáci naučí zapisovat shodnost dvou útvarů podle pravidel. K vyjádření shodnosti používáme symbol , zapisujeme
a čteme: „útvar U1 je shodný
s útvarem U2“. U útvarů s popsanými vrcholy musí platit, aby zápis po sobě jdoucích vrcholů u prvního útvaru odpovídal vrcholům u druhého. Dalšími příklady, které se probírají na základních školách, jsou shodnosti úseček, úhlů, čtverců a kruhu.
Příklad: Velkou část této kapitoly se zabývají shodností trojúhelníků, kde využívají několik důležitých vět. Jsou to věty sss, sus, usu a Ssu. Samozřejmě ve větách sus, usu, Ssu musí platit, že úhel, popř. součet úhlů uvedené ve větách jsou menší než 180°. U věty sss předpokládáme platnost trojúhelníkové nerovnosti. Věta sss: Trojúhelníky jsou shodné podle věty sss, shodují-li se ve všech třech příslušných stranách.
19
Věta sus: Trojúhelníky jsou shodné podle věty sus, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném. Věta usu: Trojúhelníky jsou shodné podle věty usu, shodují-li se v jedné straně a dvou úhlech k ní přilehlých. Věta Ssu: Trojúhelníky jsou shodné podle věty Ssu, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich.
Osová souměrnost Pokud přímka protíná daný útvar na dvě shodné části, nazýváme tuto přímku osu souměrnosti, kterou je tedy osová souměrnost v rovině určena. Označme takovou přímku písmenem o. Pak pro obraz Y libovolného bodu X roviny platí:
Pokud bod X leží na ose o, pak Y splývá s X. Všechny body osy o jsou samodružné.
Pokud bod X neleží na ose o, je přímka XY kolmá k ose s a střed úsečky XY leží na ose o.
Body X a Y se nazývají souměrně sdružené podle osy o. Dalším případem mohou být útvary, které jsou osově souměrné a osa leží mimo oba útvary. Pro obraz Y libovolného bodu X roviny platí stejná pravidla jako v předchozím případě. Pokud si chceme představit, jak by vypadal útvar v osové souměrnosti, tak si stačí představit, že se vytvoří jeho zrcadlový obraz. Takovýto obraz útvaru je nepřímo shodný s původním útvarem. Odpovídající si body mají stejnou vzdálenost od osy souměrnosti.
Středová souměrnost Úvar U nazveme středově souměrným, pokud existuje takový bod S, že při otočení o 180° kolem bodu S přejde útvar U sám v sebe. Obecně pro středovou souměrnost platí, že je určena bodem S, který nazýváme středem souměrnosti. Pro obraz Y libovolného bodu X roviny platí:
Pokud bod X splývá se středem S, splývá s ním i bod Y. Bod S je samodružný.
Pokud jsou body X a S různé, je bod S středem úsečky XY. Body X a Y se nazývají sdružené podle středu S.
Středová souměrnost stejně jako osová je cvičena nejen na obrázcích předmětů, které můžeme potkat v běžném životě, ale i v konstrukčních úlohách, kde zadanému útvaru sestrojíme jeho obraz v příslušné souměrnosti.
20
Trojúhelníky Velkou kapitolou jsou trojúhelníky, které se učí žáci rozdělovat podle dvou základních kritérií. Podle vnitřních úhlů úhlu na ostroúhlé, tupoúhlé a pravoúhlé a podle stran na různostranné, rovnoramenné a rovnostranné. Žáci tedy vědí, jaké úhly jsou vnitřní, vnější a že součet vnitřních úhlů trojúhelníka je 180°. Při popisu pravoúhlého trojúhelníka se naučí pojmenování jednotlivých stran – odvěsny a přepona. Vyznačí si důležité úsečky v trojúhelníku. Mohou to být:
Výšky - úsečka, která spojuje vrchol s patou kolmice vedenou z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšek nazýváme ortocentrum.
Těžnice – úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Průsečík těžnic nazýváme těžiště.
Střední příčky – úsečky spojující středy stran. Také se musí naučit několik důležitých vět. Jsou to věty sss, sus, usu, Ssu a důležitá je i věta
pro konstrukci trojúhelníků, tzv. trojúhelníková nerovnost. Trojúhelníková nerovnost Součet délek kterýchkoliv dvou stran trojúhelníku musí být vždy větší než délka třetí strany a současně absolutní hodnota rozdílu těchto délek je menší než délka třetí strany trojúhelníka. Využití znalosti speciálních úseček v trojúhelníku, používáme ke konstrukci kružnice opsané a vepsané trojúhelníku. Pro správné řešení konstrukčních úloh je potřeba znát, kde leží jejich středy a jak se zjistí jejich poloměr.
Pythagorova věta Jedna z nejznámějších vět o trojúhelnících nám říká, že obsah čtverce se stranou nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu čtverce se stranou nad oběma odvěsnami. V matematickém zápisu, kde pravý úhel trojúhelníka ABC se nachází u vrcholu C, vypadá Pythagorova věta takto:
Nedílnou součástí je také znalost Euklidových vět (o odvěsně a o výšce), které využijeme při důkazu Pythagorovy věty. Všechny tyto věty jsou oblíbeným tématem školních referátů a existuje k nim spoustu příkladů ve sbírkách a učebnicích pro ZŠ i SŠ. 21
Euklidova věta o odvěsně Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku, jehož strany mají velikosti přepony a úseku k uvažované odvěsně přilehlého.[]
Euklidova věta o výšce Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhelného trojúhelníku je roven obsahu obdélníku, jehož strany mají velikosti obou úseků na přeponě.[]
Čtyřúhelníky Po trojúhelnících přichází kapitola čtyřúhelníky, kde víme, že součet vnitřních úhlů konvexního čtyřúhelníku je 360°. Žáci poznávají rovinné útvary jako je čtverec, obdélník, kosodélník, kosočtverec a lichoběžník, které dělí do dvou kategorií. První jsou lichoběžníky, kde speciálními případy jsou pravoúhlé a rovnoramenné lichoběžníky. Druhou kategorií jsou rovnoběžníky, kde speciálními případy jsou pravoúhelník a kosoúhelník. Při konstrukčních úlohách se využívá výšek, úhlopříček čtyřúhelníků a dalších jejich vlastností. Často se v těchto příkladech také objevují kružnice opsané a vepsané uvedeným rovinným útvarům, pokud takové existují. Vnitřní úhly Součet vnitřních úhlů trojúhelníka je 180°. Součet vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku, kde n je přirozené číslo větší než 3, je
.
Obvody a obsahy trojúhelníků a čtyřúhelníků Celá tato kapitola je věnována procvičování vzorců pro obvod a obsah trojúhelníků a čtyřúhelníků. K procvičení je využito slovních úloh z praxe z různých matematických sbírek. Znalost těchto vlastností rovinných útvarů je poté využito ve stereometrii.
Kružnice, kruh Kružnice je definována pomocí charakteristické vlastnosti svých bodů. A to takové, že všechny body kružnice mají stejnou vzdálenost od jejího středu. V této kapitole se objevuje zmínka o vzájemné poloze mezi přímkou a kružnicí nebo mezi dvěma kružnicemi. Přímka p s kružnicí k může zaujímat tři polohy. Pokud je p vnější přímkou kružnice k, nemá s kružnicí žádný společný bod a vzdálenost přímky od středu kružnice je větší než poloměr kružnice r (|SB|>r, B je bod na přímce p). Když p je tečnou kružnice k, pak mají jediný společný bod, a tím je bod B, tzv. bod dotyku. Vzdálenost přímky od středu kružnice je rovna poloměru kružnice (|SB|=r). Poslední možností je, že přímka p je sečnou kružnice k. Mají dva společné body P1,P2. Vzdálenost 22
přímky od středu kružnice je menší než poloměr kružnice (|SB|
Konstrukční úlohy Konstrukční úlohy se řeší podle šablony: rozbor, postup konstrukce, konstrukce, důkaz, diskuze. V rozboru nalezneme náčrtek úlohy s označením zadaných hodnot, zároveň určujeme podmínky, za kterých existují ostatní neznámé body. V postupu konstrukce zapíšeme jednotlivé konstrukční body, podle kterých narýsujeme vlastní řešení. Do diskuze pak napíšeme počet řešení úlohy. Žák základní školy by měl zvládat narýsovat osu úsečky, osu úhlu, kolmici, rovnoběžku a trojúhelníky podle vět sss, sus, usu a Ssu a další rovinné útvary, které byly probrány v předchozích kapitolách. I když se konstrukční úlohy uvádí jako samostatné téma, v některých případech je to spíše opakování známé látky, jelikož základní konstrukce trojúhelníků, čtyřúhelníků, kružnice apod. se vyučují již při jednotlivých tématech rovinných objektů.
Posunutí Posunutí je přímá shodnost, která je dána směrem a velikostí. Tato kapitola není tak náročná na představivost žáků, jako jiné abstraktnější, proto se ji nebudu v této části více zabývat. Objevuje se v některých konstrukčních úlohách v učebnicích pro nižší stupeň gymnázia.
23
Podobnost Žáci jsou schopni po dokončení této látky určit, jaký je rozdíl mezi podobným a shodným útvarem. A na základě získaných znalostí zkonstruovat podobný útvar, rozdělit úsečku na n stejných dílů apod. Obecně tvrdíme, že dva útvary jsou si podobné, pokud mají stejný tvar. Co to ale v matematické řeči znamená? Pokud si vezmeme dvojice odpovídajících si bodů z obou útvarů, pak se vzdálenost bodů z jednoho útvaru rovná k-násobku vzdálenosti bodů ve druhém útvaru. Zapisujeme takto:
Kde X1, Y1 jsou libovolné body prvního útvaru a X2, Y2 jsou odpovídající body druhého útvaru. Kladné číslo k nazýváme koeficientem podobnosti, pokud k>1, pak druhý útvar je větší než první, pokud k<1, pak druhý útvar je menší než první. Pro k=1 jsou útvary shodné. Podobnost dvou útvarů značíme symbolem . Například pokud útvar U1 je podobný útvaru U2, pak tuto vlastnost zapisujeme
.
U podobnosti se zachovávají velikosti úhlů a poměry stran. Tato skutečnost se využívá při řešení některých úloh s n-úhelníky. Dále se u podobnosti trojúhelníků využívá vět o podobnosti sss, uu a sus. Dva trojúhelníky jsou podobné:
shodují-li se poměry odpovídajících si stran (věta sss)
shodují-li se ve dvou úhlech (věta uu)
jsou-li rovny poměry dvou stran a shodné úhly jimi sevřené (věta sus) V posledním ročníku na nižším gymnáziu se do učiva o podobnosti zařazuje i znalost
goniometrických funkcí pro výpočet velikosti úhlů nebo stran v n-úhelníku. Úlohy, které tuto znalost využívají, se ve sbírkách příkladů pro ZŠ již neobjevují.
4.2.
Planimetrie SŠ
Učivo středních škol v oblasti planimetrie se staví na již získaných znalostech na základních školách. Všechny pojmy, které známe ze základních škol, dostávají na středních školách akademický kabát, kdy se jednotlivé znalosti definují pomocí definic a vět, které následně dokazujeme. Využíváme odborných termínů, předchozích dokázaných tvrzení pro řešení nových problémů, které z nich vycházejí.
24
Příkladem takového využití může být důkaz Pythagorovy věty, kdy v předchozím bodě byly vyřčeny Euklidovy věty o odvěsně a výšce, které byly i dokázány. Pythagorova věta lze dokázat několika způsoby – graficky i početně. Výhoda početně dokázaných vět spočívá v jejich využití při konstrukčních metodách.
Metody řešení konstrukčních úloh Pokud dostaneme konstrukční úlohu, první otázka, která nás určitě napadá je, jakým způsobem budu danou úlohu řešit. Z takzvaných metod řešení je v celku široký výběr, uvedeme se hned několik příkladů z nich:
využití množin bodů daných vlastností nejčastěji využitá metoda řešení, kterou použijeme např. pro řešení příkladu konstrukce trojúhelníku, kde je zadaná strana a, k ní výška va a vb
sestrojení prvku užitím podobnosti někdy je vhodné sestrojit ze zadaných prvků prvek jiný, po jehož nalezení je konstrukce hledaného prvku velice snadná, např. sestrojte trojúhelník, pokud znáte jeho všechny výšky.
využití shodných zobrazení o shodnosti jsme psali už v předešlé kapitole, příkladem k této metodě může být např. konstrukce trojúhelníku, pokud známe va, vb a tc.
konstrukční úlohy řešené na základě algebraického výpočtu úloha pro takovéto řešení může vypadat takto: V pravoúhlém trojúhelníku ABC označme T bod dotyku vepsané kružnice s přeponou AB. Sestrojte takový trojúhelník, jsou-li dány délky
a
.
Výhodou je, že konstrukční planimetrické úlohy na středních školách jsou v zásadě tzv. Euklidovské. To znamená, že dané konstrukční úlohy lze vyřešit pomocí pravítka a kružítka. Konstrukční úlohy dělíme na polohové a nepolohové. U polohových úloh je sestrojovaný obrazec jednoznačně určen svou polohou, a u nepolohových lze daný obrazec sestrojit kdekoliv.
Další důležité pojmy Vrátíme se k jednotlivým pojmům, které se v planimetrii objevují. Pokud si pro srovnání představíme, jak vypadají maturitní testy, pak v nich nalezneme příklady na Thaletovu kružnici, ale označení úsekový či obvodový úhel se v nich prakticky neobjevuje.
25
Středový úhel – Úhel ASB, jehož vrcholem je střed S kružnice k, rameny polopřímky SA, SB a v němž leží daný oblouk AB, se nazývá středový úhel příslušný k oblouku AB, který v tomto úhlu leží. Polokružnice – středový úhel je přímý. [11] Obvodový úhel – Úhel AVB, jehož vrcholem V je libovolný bod kružnice k, který nenáleží danému oblouku AB, se nazývá obvodový úhel příslušný k oblouku AB. Oblouk AB je celý obsažen v příslušném obvodovém úhlu, který je vždy konvexní. [11] Úsekový úhel – úhel BAX s rameny AB, AX, kde X je libovolný bod na tečně ke kružnici k v bodě A (resp. B) zvolený tak, že daný oblouk AB je částí tohoto úhlu, se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB, který v tomto úhlu leží. [11] Věty o úhlech kružnice:[10] V1: Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku kružnice jsou shodné, jejich velikost je rovna polovině velikosti středového úhlu příslušného k témuž oblouku. V2: Thaletova věta: Všechny obvodové úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. V3: Obvodové úhly příslušné k menšímu a většímu oblouku AB téže kružnice jsou výplňkové (
. V4: Úsekový úhel příslušný k danému oblouku kružnice je shodný s obvodovými úhly
příslušnými k témuž oblouku, tj. jeho velikost je rovna polovině velikosti středového úhlu příslušného k tomuto oblouku.
4.3.
Řešené příklady
Příklad 1: Je dána kružnice
, a také je dáno kladné číslo r a přímka t, která se
dotýká kružnice m v bodě T. Sestrojte kružnici k tak, aby se dotýkala přímky t, měla poloměr r a s kružnicí m vnější dotyk. [7] Rozbor: Než sestrojíme hledanou kružnici k, je potřeba najít její střed. Střed S jistě leží na jedné z přímek s1, s2, které jsou od přímky t ve vzdálenosti r a jsou s přímkou t rovnoběžné. Dále musí střed S ležet na kružnici l(O; ρ+r). Tedy množinu středů kružnic, které mají poloměr r a mají vnější dotyk s kružnicí m, hledáme na kružnici d(O; ρ+r).
26
Popis konstrukce: 1. přímky
, kde
2. 3.
a
4.
27
Konstrukce:
28
Konstrukce v programu GeoGebra:
konstrukce kružnice m a tečny t: o
Střed O kružnice m definujeme částečně pomocí posuvníku Oy, který nastavíme od -3 do -0.5. Pak střed O má souřadnice [0, Oy] s krokem posunu 0,1.
o
Bod dotyku T umístíme do počátku. Bod T(0,0).
o
kružnice m je pak dána středem O a bodem T
o
tečna t je kolmice k ose y, procházející bodem T
rovnoběžky s1 a s2 o
posuvník r nám určuje vzdálenost rovnoběžek s1 a s2 od tečny t a zároveň nám toto číslo udává poloměr hledaných kružnic. Hodnotu jsme nastavili na 0,5-3,5, krok posuvníku na 0,1.
o
přímky s1 a s2 mají být rovnoběžné s t a mají mít od této přímky stejnou vzdálenost, proto je s1 definována bodem (0,r) a s2 bodem (0,-r).
vytvoříme si pomocné číslo a, které reprezentuje poloměr kružnice m
kružnice d má střed v bodě O a poloměr a+r. Příkaz: kružnice[O,a+r].
průsečík d a s1 pojmenujeme S1
průsečíky d a s2 pojmenujeme S2 a S3
dostáváme kružnice k1, k2, k3, které jsou určeny středem S1, S2 nebo S3 a poloměrem r
29
Důkaz: Bod S dostaneme jen v případě, že kružnice d protne přímku s1 a s2. Když bodem O povedeme přímku q kolmou na t, potom tato přímka je kolmá i na s1, s2. Průsečíky přímky q s přímkami s1, s2, t postupně označme písmeny M, N, T. Potom OM, OT, ON jsou vzdálenosti bodu O od přímek s1, t, s2. Z předcházejícího označení platí Dále platí, s2 má s kružnicí d jeden společný bod
. . Takový je i pro kružnici d, z toho vyplývá, že přímka . O vzdálenosti
vždy platí, že je menší než
. To
znamená, že přímka s1 má s kružnicí d vždy dva společné body S2, S3. Diskuse: Na základě důkazu má úloha vždy tři řešení, tj. existují vždy tři nesplývající kružnice k1, k2, k3, které splňují podmínky dané úlohy.
30
Příklad 2: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud jsou dány jeho těžnice ta, tb, tc. [7] Rozbor: V trojúhelníku ABC body B, C, jsou souměrné podle bodu S, který je středem strany BC. Bod B leží na kružnici souměrnosti
, bod C leží na kružnici kružnice k1 odpovídá kružnice
, kde T je těžiště trojúhelníku ABC. V , kde T' je obraz bodu T v souměrnosti ;
bodu B odpovídá bod C. Popis konstrukce v programu GeoGebra:
Narýsujeme těžnici ta = AS = 5cm o
bod A nastavíme do počátku, tj. A=(0,0)
o
bod S nastavíme na souřadnice (5,0)
o
zakreslíme těžnici ta
Sestrojíme těžiště T=(2*(5/3), 0)
vytvoříme si posuvníky reprezentující další dvě těžnice v rozsahu 0,5 až 7 s krokem posunu 0,1
Sestrojíme kružnici
Sestrojíme kružnici
Sestrojíme v souměrnosti o
obraz k'1 kružnice k1
využijeme k tomu funkci středová souměrnost
Sestrojíme průsečík C kružnic k'1 a k2
Sestrojíme obraz B bodu C v souměrnosti o
využijeme k tomu stejnou funkci jako v předchozím bodě
vyznačíme trojúhelník ABC
31
Konstrukce:
Důkaz: Počet bodů C v konstrukci závisí od vzájemné polohy kružnic k'1 a k2, jejichž středná je
.
Existence vyhovujícího trojúhelníka ABC závisí na tom, zda je možno sestrojit trojúhelník TT'C a ten je možné sestrojit právě tehdy, když . Diskuse: Úloha má podle podmínek o existenci trojúhelníka a vzájemné polohy kružnic k'1 a k2 dvě, jedno nebo žádné řešení.
32
Příklad 3: V rovině jsou dané dva různé body A, M, jejichž vzdálenost je d. Dále je dané kladné číslo v. V této rovině sestrojte kosočtverec ABCD s výškou v tak, aby bod M byl středem jeho strany BC.[7] Rozbor: V trojúhelníku ABM se
, a proto úhel
je vždy ostrý. Pata K kolmice
vedené bodem M na přímku AB protne polopřímku AB. M je střed úsečky BC,
, kde v je
výška kosočtverce. Trojúhelník AMK má při vrcholu K pravý úhel; známe přeponu AM a délku odvěsny MK tohoto trojúhelníka. V
je:
Na základě těchto údajů sestrojíme stranu hledaného kosočtverce. Popis konstrukce:
pomocná konstrukce o
Zvolíme si bod A do počátku souřadného systému. A=(0,0)
o
Vytvoříme posuvník d, který reprezentuje vzdálenost A od bodu M
o
Bod M má souřadnice (0,d)
o
nad úsečkou AM sestrojíme Thaletovu kružnici k, pomocí funkce polokružnice nad dvěma body
o
Sestrojíme kružnici
o
Sestrojíme bod K jako jeden z průsečíků kružnic k, m.
o
Sestrojíme pomocný trojúhelník AMK
Sestrojíme trojúhelník ABM pomocí stejnolehlosti o
Na polopřímce AK zvolíme libovolný bod P
o
sestrojíme pomocnou kružnici
o
kružnice n protne polopřímku AM ve dvou bodech, jeden z nich označme X
o
Z konstrukce zřejmě platí:
33
Ve stejnolehlosti
se středem A bodu X přiřadíme bod M, potom bodu P odpovídá bod
a platí vztah ze zadání.
Sestrojíme kosočtverec ABCD Konstrukce:
Důkaz: Je zřejmé, že kosočtverec ABCD sestrojený v konstrukci vyhovuje zadání úlohy.
34
Diskuse: Výsledek řešení závisí na parametrech d, v. Z konstrukce bodu K vyplývá, že musí být . Ale z konstrukce bodu B vyplývá: jakmile d > v, úloha má dvě řešení, pokud d = v úloha má jedno vyhovující řešení, pro d < v nemá úloha žádné řešení. Při konstrukci bodu K jsme se omezili na jednu z opačných polorovin s hranicí AM. Souměrností pole přímky AM dospějeme z právě popsaných řešení k dalším řešením. Příklad 4: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, znáte-li délky základen a, c a velikost vnitřního úhlu α. Rozbor: Rovnoramenný lichoběžník je osově souměrný podle kolmice p procházející středy obou základen. Bod D bude ležet v průsečíku polopřímky AX, která svírá s úsečkou AB úhel α a přímky q, která je kolmá na stranu AB a od osy p má vzdálenost c/2. Popis konstrukce:
Jelikož máme zadané základny lichoběžníku, vytvořme si na tyto hodnoty posuvníky a, c, jejichž hodnoty si zvolme kladné s rozumným krokem např. 0,1.
Narýsujeme úsečku AB, kde krajní bod A zvolíme v počátku
najdeme střed úsečky AB pomocí osy úsečky
narýsujeme kružnici
, průsečíky d se stranou a označme P1, P2. Průsečíkem
blíže k bodu A vedeme kolmici na AB
vytvoříme si posuvník pro úhel α
narýsujeme úhel BAX o velikosti α
průsečík kolmice p s ramenem AX úhlu α je bod D
narýsujeme rovnoběžku s AB, která prochází bodem D
osa úsečky AB, je zároveň osou úsečky DC, toho využijeme k další konstrukci kružnice
kružnice e prochází bodem D a přímku h nám protíná i v druhém bodě, který označíme C
vyznačíme lichoběžník ABCD
35
Konstrukce:
Důkaz: Konstrukci provádíme na základě vlastností rovnoramenného lichoběžníka. Využíváme shodnosti úhlů při každé základně a osové souměrnosti, podle osy základen. To znamená, že obě základny mají společnou osu. Dále má úloha řešení právě tehdy, když c < a. Diskuse: Řešení závisí na velikosti zadaných parametrů.
0°<α<90° o
úloha má 2 řešení
o
úlohá nemá řešení
α=90° 36
o
řešením je obdélník o straně a
o
úloha nemá žádné řešení
90°<α<180° o
úloha má 2 řešení
o
úloha nemá řešení
Příklad 5: Sestrojte rovnostranný trojúhelník, jehož vrcholy leží na třech různých soustředných kružnicích. [7] Rozbor: Předpokládejme, že úloha má řešení. Dané kružnice označme k1(O;r1), k2(O;r2), k3(O;r3), přičemž r1>r2>r3. Nechť sestrojený trojúhelník je ACB, nechť otáčení
se středem v bodě C a s úhlem otáčení velikosti
Uvažujme . V tomto otáčení obraz B'
bodu B je totožný s bodem A. Obraz kružnice k2(O;r2), přičemž O' je obraz bodu O v otáčení . Kružnice k'2 zřejmě bude předcházet bodu A. Popis konstrukce:
zvolíme střed všech kružnic v počátku a označíme O=(0,0)
vytvoříme tři posuvníky r1, r2, r3 představující poloměr kružnic k1, k2, k3. Posuvníky zvolíme v rozsahu 0,5-6, 0,3-6,5, 0,2-7 s krokem 0,1.
kružnici k1, k2, k3 zkonstruujeme podle středu O a poloměru r1, r2 nebo r3, dle konstruované kružnice.
na kružnici k1(O;r1) sestrojíme libovolný bod A
sestrojíme obraz k'2 kružnice k2 v otočení (A, 60°)
kružnice k'2 protne kružnici k3, v našem případě tyto průsečíky označme C1, C2
rotací bodu C1 a C2 o úhel -60° kolem A dostaneme body B1 a B2, které leží na k2
vznikly nám dva trojúhelníky AB1C1 a AB2C2
37
Konstrukce:
Důkaz: Při otáčení vrcholu B okolo C o úhel 60° v kladném směru otáčení dostaneme vrchol A, přičemž platí BC=AC. Z toho vyplývá, že trojúhelník ACB je rovnoramenný a protože úhel při vrcholu C je 60°, je i rovnostranný. Diskuse: Trojúhelník COO' je rovnostranný a v něm OO'=r3. Aby kružnice k1 a k'2 měly dva různé, resp. splývající společné body, musí platit: Daná úloha má dvě pro Pro
resp.
.
, resp. jedno vyhovující řešení pro
.
není úloha řešitelná.
38
Příklad 6: Jsou dány čtyři různé kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2), k3(S3, r3), k4(S4, r4) a bod U. Sestrojte rovnoběžník ABCD tak, aby bod U byl jeho středem a jeho vrcholy ležely na zadaných kružnicích.[15][7] Rozbor: Víme, že úhlopříčky rovnoběžníku se půlí, tudíž platí
,
. Využijeme
středovou souměrnost k získání bodů rovnoběžníka. Kružnice k1 se zobrazí do k'1, průsečíky k'1 a k3 jsou body C1=A'1, C2=A'2. Body A1, A2 dostaneme převedením zpět na kružnici k1. Analogicky sestrojíme ostatní body.0 Popis konstrukce:
Bod U umístíme do počátku a upevníme tento objekt.
Zvolíme si středy kružnic S1, S2, S3, S4 tak, že žádný ze středů není shodný se zbylými středy.
Vytvoříme si čtyři posuvníky, které reprezentují poloměry zadaných kružnic.
Sestrojíme kružnice k1, k2, k3, které umístíme do příslušného středu a přiřadíme k nim jejich poloměr (Př. k_1=kruznice(S_1, r_1)).
Pomocí středové souměrnosti sestrojíme obraz kružnice k1 a k2.
Vyznačíme průsečíky na kružnici k3, které označíme C1, C2. Analogicky na kružnici k4 označíme průsečíky D1, D2.
Sestrojíme rovnoběžník ABCD, popř. A1B1C1D1 a A2B2C2D2.
39
Konstrukce:
40
Důkaz: Při konstrukci rovnoběžníku využíváme vlastnosti, která je již naznačena v zadání pomocí bodu U. Platí, že v rovnoběžníku se úhlopříčky vzájemně půlí, a proto bod U je střed úhlopříček. Pomocí středové souměrnosti se středem v bodě U zobrazíme dvě vybrané kružnice, průsečíky s kružnicemi jsou vrcholy rovnoběžníků. Díky souměrnosti máme zaručeno půlení úhlopříček. Diskuse: V uvedeném případě můžou mít kružnice k'1, k3 respektive k'2, k4, dva, jeden nebo žádný společný bod. Pokud jedna z těchto dvojic kružnic splývá, existuje dokonce nekonečně mnoho společných bodů. Počet řešení se odvíjí od počtu bodů, ze kterých lze rovnoběžník vyhovující zadání sestrojit. Pokud tedy alespoň jedna z dvojic kružnic k'1, k3 nebo k'2, k4 nemá ani jeden společný bod, pak neexistuje žádné vyhovující řešení zadané úlohy. Pokud obě dvojice mají jeden společný bod, pak existuje jediné řešení apod. *Příklad 7: Zvolme libovolný vnitřní bod strany BC trojúhelníku ABC a označme ho K. Kružnice vepsané trojúhelníkům ABK a ACK se dotýkají strany BC po řadě v bodech M a N. Dokažte, že . [13] Rozbor: Sestrojme tečnu ke kružnici vepsané trojúhelníku ABK, která je rovnoběžná s přímkou BC označme M1. Bod M1 je vnitřním bodem úsečky BM a platí |BM|>|M1M|. Podobně sestrojíme průsečík N1 přímky BC s tečnou kružnice vepsané trojúhelníku ACK, která je rovnoběžná s přímkou AK (různou od AK). Vidíme, že N1 je vnitřní bod úsečky NC a platí |CN|>|NN1|. Tečny kružnic vepsaných trojúhelníkům ABK a ACK, které procházející body M1, K, N1 (různé od BC), jsou navzájem rovnoběžné. Dotykové body M a N, které leží na přímce BC (různoběžné s uvažovanými rovnoběžkami), dělí proto úsečky M1K a KN1 ve stejném poměru. Popis konstrukce: Konstrukce ze zadání:
Sestrojme trojúhelník ABC, kde volím A(0,0), B(7,0), C(0,5); tyto hodnoty lze měnit
Na straně BC zvolíme bod K
Znázorníme trojúhelník ABK a AKC
Sestrojíme kružnice vepsané trojúhelníkům ABK, AKC 41
o
použijeme funkci osa úhlu, v průsečíku je pak hledaný střed kružnice vepsané
o
poloměr kružnice je vzdálenost středu a průsečíku strany trojúhelníku s kolmicí na stranu trojúhelníku procházející středem kružnice.
označme body dotyku kružnic vepsaných s úsečkou BC o
pro trojúhelník AKC označme bod N
o
pro trojúhelník ABK označme bod M
sestrojíme tečny ke kružnicím, které jsou rovnoběžné s úsečkou AK; průsečíky s BC pak označíme M1 pro trojúhelník ABK, N1 pro trojúhelník AKC
Jako poslední ověříme platnost |M1M|/|KM|=|KN|/|NN1| pomocí vzdálenosti
Konstrukce:
42
Důkaz: Předpokládáme, že platí trojúhelníková nerovnost. Pokud bychom chtěli dokázat platnost vztahu ze zadání, tak podle narýsovaného musí platit: |M1M|/|KM|=|KN|/|NN1| Odtud |M1M|*|NN1|=|KM|*|KN|. Z nerovností uvedených v úvodním odstavci řešení bezprostředně plyne |BM|*|CN|>|M1M|*|NN1|=|KM|*|KN| Tím je důkaz platnosti nerovnosti ukončen. Diskuse: U této úlohy předpokládáme, že trojúhelník existuje. Dále platí, že každému trojúhelníku lze vepsat kružnici, čili body M, N existují a důkaz je tedy možné uskutečnit a dané prvky lze narýsovat. Příklad 8: Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou daných neprotínajících se kružnic a prochází daným bodem neležícím ani na jedné z daných kružnic.[7] Rozbor: Úlohu budeme řešit pomocí inverze, střed inverze zvolíme bod A a poloměr kružnice inverze zvolme tak, aby protínala např. k1 ortogonálně. V tomto případě pak k1=k'1. Obrazem kružnice k2 je opět kružnice k'2. Obrazem hledané kružnice je pak přímka. Díky kruhové inverze se nám úloha změní na hledání společných tečen kružnic k'1 a k'2. Obrazem těchto tečen jsou pak hledané kružnice vyhovující původní úloze. Popis konstrukce:
Zvolíme si dva posuvníky reprezentující poloměr zadaných kružnic a body S1, S2.
Sestrojíme kružnice k1, k2 se středem v bodě S1, resp. S2 a poloměrem r1, resp. r2.
Libovolně zvolíme bod A podle zadání.
Sestrojíme kružnici kruhové inverze o
narýsujeme přímku S1A
o
najdeme střed O úsečky S1A
o
narýsujeme kružnici
, jeden z průsečíků c, k1 pojmenujeme C1 43
o
kružnice kruhové inverze je pak
pomocí kruhové inverze narýsujeme kružnici k'2
hledáme průsečík společných tečen kružnic k1, k'2
)
o
na k'2 si zvolíme bod C a vyznačíme úsečku S'2C
o
sestrojíme rovnoběžku i k úsečce S'2C procházející bodem S1
o
průsečíky i s k1 označíme B, B1
o
sestrojíme střednou kružnic k1, k'2 a přímky procházející body B1,C a B, C
o
průsečík přímky BC se střednou označíme P, průsečík B1C se střednou označíme Q
sestrojíme společné tečny kružnic k1, k'2 o
nalezneme střed úsečky S1Q a označíme ho D
o
narýsujeme kružnici
o
označíme průsečíky d s k1 - T1, T2
o
sestrojíme tečnu t1 procházející body T1, Q a tečnu t2 procházející body T2, Q
o
analogicky provedeme tento postup pro bod P
Konstrukce:
44
45
46
Důkaz: Využitím kruhové inverze si zjednodušíme příklad na hledání společných tečen dvou kružnic, kde střed kruhové inverze je bod, kterého se má dotýkat hledaná kružnice. V inverzi se zobrazují objekty podle určitých pravidel takto:
Obrazem přímky p v kruhové inverzi Inv( ω ) , která prochází středem kruhové inverze, je samodružná přímka (p' = p).
Obrazem přímky p v kruhové inverzi Inv( ω ) , která neprochází středem kruhové inverze, je kružnice p' procházející středem kruhové inverze.
Obrazem kružnice k v kruhové inverzi Inv( ω ) , která prochází středem kruhové inverze, je přímka k' neprocházející středem kruhové inverze.
47
Obrazem kružnice k v kruhové inverzi Inv( ω ) , která neprochází středem kruhové inverze, je kružnice k' neprocházející středem kruhové inverze.
Dále platí, že dvě kružnice, které nemají žádný společný bod a jedna leží vně té druhé, mají 4 společné tečny, tudíž budou existovat právě 4 kružnice vyhovující zadání. Diskuse: A leží vně obou zadaných kružnic:
pokud k1 má s k2 společné 1 nebo 2 body, úloha má jedno řešení
k1 s k2 nemá žádný společný bod o
leží jedna uvnitř druhé, úloha nemá žádné řešení
o
leží vně sebe, úloha má 2 řešení
A leží uvnitř jedné z nich, úloha nemá řešení. *Příklad 9: Nechť
jsou tři kružnice v rovině přičemž
k2 a k3, se dotýkají vně a každá z nich má vnitřní dotyk s kružnicí k1. Sestrojte kružnici k, která se dotýká všech tří daných kružnic. [13] Rozbor: Střed kružnice k1 leží na kružnici k3. Střed kružnice k3, leží na kružnici k'(S1, 3 cm). Střed kružnice k2 leží na průsečíku kružnice l'(S1, 4cm) s kružnicí l(S3, 5cm). Hledaná kružnice vyhovující zadání leží mezi kružnicemi k2, k3. Střed hledané kružnice je středově souměrný s S3 podle S1 a poloměr této kružnice je shodný s k3. Dalším řešením úlohy je kružnice, která leží na opačné polorovině než je kružnice a vytyčené přímkou procházející body S2, S3. Podle nákresu bude střed hledané kružnice ležet na kružnici f(S1, 5 cm) a ve stejné vzdálenosti od kružnic k2 a k3. Popis konstrukce:
Kružnice k1, k2, k3: o
Sestrojme kružnici k1(S1, 6 cm), kde S1=(0,0)
o
Dále si vytvoříme pomocnou kružnici k', na níž si zvolíme střed kružnice k3 a bude mít poloměr 3 cm.
o
kružnice k2 má střed v průsečíku kružnic l(S3, 5 cm) a l'(S1, 4cm)
Hledané kružnice a, b
48
o
hledané kružnice leží v opačných polorovinách ohraničené přímkou procházející body S2, S3
o
příhodný poloměr pro k3 naznačuje, že jedna z hledaných kružnic bude mít stejný poloměr a její střed bude středově souměrný podle bodu S1
o
střed druhé hledané kružnice musí ležet ve stejné vzdálenosti od k1 a od středu S2, tudíž leží na kružnici f(S1, 5 cm), dále střed leží ve stejné vzdálenosti od kružnic k3 a k2, tj. na kružnici c(S3, 4 cm) a d(S2, 3cm). Poloměr hledané kružnice se dále zjistí snadno.
Konstrukce:
Důkaz: Střed S1 kružnice k1 leží na kružnici k3. Dále vidíme, že trojúhelník S1S2S3 je pravoúhlý, neboť a
. Středy S2 a S3 kružnice k2, resp. k3 leží na navzájem 49
kolmých průměrech kružnice k1. Ukážeme, že vrchol B obdélníku S1S3BS2 je středem kružnice , která se dotýká kružnic k1, k2 a k3. Vidíme, že a
,
. Dále si všimněme, že také kružnice
, která je osově
souměrná s kružnicí k3 podle přímky S1S2, vyhovuje rovněž podmínkám úlohy. Existují tedy dvě kružnice
a
, ležící v opačných polorovinách s hraniční
přímkou S2S3, které vyhovují podmínkám úlohy. Diskuse: Úloha má dle zadání vždy dvě řešení. Příklad 10: Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky a prochází dvěma body, které leží mimo tuto přímku.[7] Rozbor: Nechť A, B jsou dané body a p daná přímka. Předpokládejme, že kružnice k, která splňuje podmínky úlohy, máme sestrojenou. Použijeme kruhovou inverzi , jejíž střed je v bodě A a má poloměr AB. Obraz B' bodu B podle první vlastnosti inverze je totožný s bodem B. Přímka p se zobrazí do kružnice p', která prochází středem inverze. Kružnice k, která prochází středem inverze, se zobrazí do přímky k'; přímka k' bodem A neprochází. Protože kružnice k prochází bodem B a dotýká se přímky p, bude přímka k' procházet bodem B' a dotýkat se kružnice p'. Původní úloha se zjednodušila inverzí na úlohu: sestrojte tečnu ke kružnici p', která prochází bodem B'. Popis konstrukce:
zvolíme si přímku p a body A,B podle zadání
Sestrojíme kružnici inverze,
sestrojíme obraz p' přímky p, použijeme k tomu funkci kruhová inverze
sestrojíme bod B'=B
sestrojíme tečnu k', k'1 ke kružnici p', která prochází bodem B. Jejich dotykové body jsou T',T'1.
sestrojíme obrazy k, k1 v dané inverzi. Budou to kružnice k, k1, které procházejí body A, B a dotýkají se přímky p. Bodem T', T'1 leží p' odpovídají body T, T1 leží p. Kružnice k bude tedy určená body A, B, T a kružnice k1 body A, B, T1.
50
Konstrukce:
Důkaz: Přímka k' prochází bodem B', její obraz k prochází bodem B. Přímka k' se dotýká kružnice p' v bodě T', potom obraz k prochází bodem T, který je dotykovým bodem kružnice k a přímky p. Vzhledem k tomu, že přímka k' neprochází bodem A, její obraz k prochází bodem A. Kružnice k i kružnice k1 (pokud existuje) splňuje podmínky úlohy.
51
Diskuse: Přímka k' prochází bodem B', jehož obraz prochází bodem B. Přímka k' se dotýká kružnice p' v bodě T', potom obraz k prochází bodem T, který je dotykovým bodem kružnice k a přímky p. Vzhledem k tomu, že přímka k' neprochází bodem A, její obraz k prochází bodem A. Kružnice k tak splňuje podmínky úlohy. Analogicky to platí i pro k1 (pokud existuje). Úloha může mít dvě řešení, pokud přímky k', k'1 splňují podmínky v řešení. Pokud k' nebo k'1 prochází bodem A, úloha má jedno řešení právě tehdy, když AB je rovnoběžné s p. Pokud body A, B leží v opačných polorovinách určené přímkou p, úloha nemá žádné řešení.
5. Stereometrie Geometrie v prostoru jedním slovem stereometrie je další podstatnou částí geometrie, která se objevuje v učebních osnovách na základních i středních školách. V porovnání s planimetrií je těžší na představivost jednotlivých objektů, tak abstraktních útvarů jako je bod, přímka apod. Pro lepší pochopení učiva využíváme modelů pro tělesa, obyčejného papíru pro rovinu nebo ukazovátko pro přímku. Bohužel při větším počtu žáků ve třídě, jsou modely malé a celková prezentace příkladů na těchto modelech může být zkreslující. Proto je vhodné využít počítačové programy jako je GeoGebra.
5.1.
Stereometrie na ZŠ
Na základních školách poznávají žáci základní geometrická tělesa, jako jsou kolmé hranoly, rotační válec, jehlan, rotační kužel a koule. Všechna základní tělesa se učí zakreslovat ve volném rovnoběžném promítání. Jak vypadá takovéto promítání? Volné rovnoběžné promítání je určeno rovinou a přímkou, které jsou navzájem různoběžné a
Obrázek 7 Volné rovnoběžné promítání
52
svírají úhel 90°, které se v promítání zobrazí pod úhlem 45°. Příklad takovéhoto zobrazení je vidět na následujícím obrázku. Poznámka: Definice volného rovnoběžného promítání na SŠ je poněkud komplexnější. Nechť je dána rovina π (nákresna) a přímka p různoběžná s π. Rovnoběžné promítání do roviny π je geometrické zobrazení z prostoru do roviny π, v němž každému zvolenému bodu X prostoru je přiřazen jako jeho obraz bod
, který dostaneme jako průsečík přímky vedené bodem X a
rovnoběžné s přímkou p.[9]
Zákres sítě, výpočty objemu a povrchu těles Na základní škole se zaměřujeme zvláště na zákres sítě, výpočtu objemu a povrchu těchto těles. Nejčastěji v matematických úlohách využíváme pojmů půdorys, se kterým se v praxi setkáváme zvlášť v architektuře, při plánování staveb domů a jiných staveb. Dalšími průměty jsou nárys nebo bokorys, které se v matematických úlohách vyskytují spíše výjimečně. Rozdíl mezi půdorysem, nárysem a bokorysem vidíte na obrázcích.
Obrázek 9 Půdorys
Obrázek 10 Nárys
Obrázek 8 Bokorys
Často se vyskytují úlohy, které se zabývají vzájemnou polohou dvou přímek, přímky a roviny a dvou rovin. Jaké případy mohou v takovýchto úlohách nastat?
53
Graf 2 Vzájemná poloha dvou přímek
Pokus přímka s rovinou má právě jeden společný bod, pak říkáme, že p je různoběžná s ρ. Pokud nemají žádný společný bod nebo každý bod přímky p leží v rovině ρ, pak p je rovnoběžná s ρ. Pokud vyšetřujeme vzájemnou polohu dvou rovin, mohou nastat tyto situace: roviny ρ, σ jsou různoběžné, v takovém případě mají společnou přímku. Pokud roviny splývají nebo nemají žádný společný bod, pak jsou tyto roviny rovnoběžné.
5.2.
Stereometrie na SŠ
Na střední škole navazujeme na předchozí znalosti ze základní školy, které dále rozšiřujeme. Připomínáme si vzájemnou polohu dvou přímek, přímky a roviny a dvou i tří rovin v prostoru, jejichž vlastnosti využijeme v analytické geometrii. Dvě roviny v prostoru mohou zaujímat tyto vzájemné polohy:
roviny jsou rovnoběžné různé, když nemají žádný společný bod
roviny jsou různoběžné, pokud jejich průnikem je přímka, kterou nazýváme průsečnice
roviny jsou totožné, roviny splývají
Tři roviny se mohou vyskytovat v prostoru v těchto polohách:
roviny jsou rovnoběžné různé, když nemají žádný společný bod
54
dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí s nimi je různoběžná; každá z rovnoběžných rovin má s různoběžnou rovinou jednu společnou průsečnici, tedy existují dvě průsečnice
každé dvě roviny jsou navzájem různoběžné o
všechny tři roviny se protínají v jednom společném bodě a každé dvě roviny mají společnou průsečnici - vzniknou tři různoběžné průsečnice
o
každé dvě roviny mají společnou průsečnici - vzniknou tři rovnoběžné průsečnice
o
jedna společná průsečnice
S tím souvisí i kapitola o metrických vlastnostech v prostoru, ve kterých určujeme odchylku dvou přímek v prostoru a jejich kolmost. Dále vyšetřujeme, zda je přímka kolmá na rovinu, vzájemné vzdálenosti bodů, přímek a rovin, odchylku dvou rovin a jejich kolmosti. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny se definují pomocí délky úsečky a odchylky přímek a rovin se definují pomocí odchylky dvou přímek v rovině.[9] Znalost sítě těles jsou již samozřejmostí, uvádíme však všechny možné způsoby zobrazení, nejen zažité stereotypy, jako je např. na obrázku. Na něm vidíme několik způsobů rozložení krychle do sítě. Pokud žák nevěří, že z daných sítí vznikne tatáž krychle, můžete toho využít pro domácí úkol. Každý žák si vybere jednu síť, učitel zvolí jednotné měřítko, aby při porovnání krychlí byly všechny stejné.
Obrázek 11 Sítě krychle
55
Ve slovních úlohách nalezneme různé příklady na povrch či objem těles, avšak největším problémem, se kterým se studenti mohou ve stereometrii setkat, jsou řezy těles. Je to látka velice náročná na představivost. Často student špatně nebo jen nepřesně zakreslí řez. Chyba by mohla vymizet při použití matematického softwaru, kdy student jen zadá příslušná data a úloha se mu sama zakreslí.
Komolý kužel a komolý jehlan Rozšiřující kapitolou pro střední školy v oblasti stereometrie je seznámení se s vlastnostmi komolého kuželu a komolého jehlanu. Bohužel po zkušenostech z povinné pedagogické praxe na Obchodní akademii a jazykové škole v Pardubicích toto téma chybí ve školních vzdělávacích programech některých škol. A to zejména z důvodu nedostatečné časové dotace pro předmět matematika. Vyškrtnutí podporuje i fakt, že toto téma se nevyskytuje u maturitní zkoušky. Rozhodně to není jediné téma, které postupem času může vymizet z běžných vyučovacích hodin na středních školách.
Řezy koule Zajímavější příklady na vyšetřování polohy útvarů v prostoru je, jaké řezy tvoří rovina a koule. Vynecháme polohu, kdy rovina nemá s koulí žádný společný bod, jelikož je to nezajímavý případ. Takové rovině říkáme vnější rovina kulové plochy. Pokud rovina s koulí (kulovou plochou) má společný právě jeden bod, takovou rovinu nazýváme tečnou a poslední případ je ten, kdy rovina vede řez koulí. Tento řez je ve tvaru kruhu a rozděluje kouli na dva útvary. Na takovéto šetření vzájemné polohy navazuje téma o části koule, jako je kulový vrchlík, kulová výseč, kulová úseč a další pojmy z této oblasti. Kulový vrchlík je část kulové plochy, kde kružnice k je jeho hrana. Pokud protne kouli rovina, vznikly dvě kulové úseče a prochází-li rovina středem kulové plochy, vzniknou dvě stejné úseče nazývané polokoule. Sjednocení rotačního kužele a kulové úseče, které mají společnou podstavu a vrchol kužele je středem koule, se nazývá kulová výseč. Kulový pás vznikne průnikem kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr. Vzdálenost hraničních rovin je výška pásu. Posledním případem je průnik vrstvy a koule, které známe pod pojmem kulová vrstva, kruhy, v nichž roviny protínají kouli, jsou podstavy kulové vrstvy. [12]
56
5.3.
Řešené příklady
Příklad 1: Zobrazte řez roviny
se čtyřstěnem ABCD. Bod M si zvolte na hraně AD
blíže k bodu A, bod N na hraně CD blíže k bodu D a bod P na prodloužení hrany BC za bod B.[7] Rozbor: Rovina ACD a rovina ρ jsou různé a mají společné body M, N. Přímky MN a AC leží v jedné rovině ACD a protínají se v bodě V1, který je společným bodem rovin ρ, ACD, ABC, proto jím prochází i průsečnice rovin ρ, ABC. Body V1, P kde je průsečnicí těchto dvou rovin. Bod
leží v rovině podstavy i v rovině ρ a přímka leží v rovině podstavy, ρ i ABD; proto jím prochází i
průsečnice rovin ρ a ABD. Dalším bodem této průsečnice je bod M; je tedy určená body V2M. Průsečík Q přímek BD a V2M je dalším bodem řezu roviny ρ s jehlanem. Tímto řezem je tedy trojúhelník MNQ. Popis konstrukce: Pokud budeme chtít vytvořit tetraedr, se kterým lze otáčet bude konstrukce trochu složitější. Využívá se k tomu bod, který otáčí křížem vektorů (popř. úsečku), simulující otáčení v prostoru. Tak jak se otáčí kříž, otáčí se i dané těleso. Koncové body vektorů jsou definovány pomocí polárních souřadnic. Hledání řezu:
Zvolíme body M, N, P dle zadání.
Sestrojíme polopřímky NM, NP, CA, CB.
Vyznačíme průsečík V1 polopřímek NM, CA a polopřímka CB, by měla protnout polopřímku NP v bodě P.
známe průsečnici p, která prochází body V1,P.
Průsečík hrany tetraedru s polopřímkou NP nazveme Q.
polopřímka QM nám na průsečnici p protne bod V2.
řez roviny tělesem vytyčí trojúhelník MNQ.
57
Konstrukce:
58
Důkaz: Přímka PN protíná hranu BD, tento bod je označen jako Q. Q tedy leží v rovině MNP, proto Q leží i na přímce V2M. Diskuse: Úloha má dle zadaných parametrů právě jedno řešení. Pokud by alespoň jeden z bodů M, N, P nesplňoval podmínky zadání, polopřímky by se neprotnuly v bodě V1 nebo V2 a tudíž by daná úloha neměla řešení. Příklad 2: Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD. Bod P leží na hraně AD, bod M na polopřímce BP za bodem P, bod N v podstavě. Zjistěte průsečíky přímky MN s povrchem tělesa. [7] Rozbor: Předpokládejme, že přímka MN neprochází bodem D a že průsečík X existuje. Průsečík X bude ležet na průsečnici roviny MND a stěn tělesa. Popis konstrukce:
Vyznačíme body M, N, P, dle podmínek ze zadání: o
zvolíme bod P a vedeme polopřímku BP, na které zakreslíme bod M dle podmínek ze zadání.
o
vyznačíme stěnu ABC a zakreslíme na ní bod N
narýsujeme polopřímky BA, DM a vyznačíme průsečík M1 těchto polopřímek; bod M1 je společný bod rovin ABD, ABC, MND;
vyznačíme průsečnici
dále vyznačíme dva body V1, V2, pro které platí:
(N1=N, neboť
);
,
je průsečnice rovin , který neleží na povrchu tělesa je průsečnice rovin dalším průsečíkem je bod X, který dostaneme jako
59
Konstrukce:
Důkaz: Bod
, leží v rovině MND, proto
společným bodem stěny ACD a přímky MN. Bod
. Bod
, nebo
. Tedy X je
je zřejmě průsečíkem přímky MN s
podstavou. Diskuse: Rovina MND prochází vrcholem. Vzhledem na vzájemnou polohu tělesa a roviny MND může mít přímka s povrchem tělesa společný jeden bod, dva navzájem různé body, úsečku ve stěně nebo ani jeden bod.
60
Příklad 3: Zobrazte řez roviny
s pravidelným šestibokým hranolem
ABCDEFA'B'C'D'E'F'. P je vnitřní bod hrany AA', Q je vnitřní bod hrany CC' a R je vnitřní bod hrany EE'. Rozbor: Předpokládejme, že rovina protíná bočné stěny hranolu. Potom mezi dolní podstavou a rovinou řezu existuje afinní vztah, kde osou afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, směr bočných hran je směr afinity. Body řezu na bočních hranách tělesa jsou v afinitě přiřazené vrcholem dolní podstavy. Popis konstrukce: V afinitě se směrem s,
jsou body P, Q, R přiřazené k bodům P1, Q1, R1. Potom
, proto body P1, Q1, R1 jsou rovnoběžné průměty bodů P, Q, R do roviny podstavy. Bod
, potom Q1=C,
, potom R1=E, bod
Sestrojíme osu o afinity. Přímky P1Q1, PQ se protínají v bodě V1 přímky Q1R1, QR v bodě V2. Z vlastnosti osové afinity vyplývá, že
, proto P1=A.
.
Sestrojíme body U, V, W odpovídající bodům D, F, B. Přímka DC, na které leží bod Q1, protíná osu o v bodě V3. Té odpovídá přímka V3Q. Přímka V3Q protíná hranu DD' v bodě U, což je další bod řezu. Podobně sestrojíme ostatní vrcholy řezu.
Řez tělesa rovinou PQR je šestiúhelník PWQURV.
61
Konstrukce:
62
Důkaz: Využili jsme osové afinity, kde osou je přímka o, která leží v rovině podstavy hranolu. Následně jsme využili vlastnosti, kde průsečíky odpovídajících si přímek leží na přímce o a značíme je Vi, kde
. Diskuse: Úloha má vždy jediné řešení v podobě šestiúhelníku PWQURV. Příklad 4: Zobrazte řez roviny
s pravidelným šestibokým hranolem
ABCDEFA'B'C'D'E'F'. M je vnitřní bod hrany BB' a platí platí
, P je vnitřní bod úsečky SS' a platí
. N je vnitřní bod hrany CC' a (S', S jsou středy podstav).[7]
Rozbor: Předpokládejme, že rovina protíná bočné stěny hranolu. Potom mezi dolní podstavou a rovinou řezu existuje afinní vztah, kde osou afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, směr bočných hran je směr afinity. Body řezu na bočních hranách tělesa jsou v afinitě přiřazené vrcholem dolní podstavy.
63
Popis konstrukce: V afinitě se směrem s,
jsou body P, M, N přiřazené k bodům P1, M1, N1. Potom
, proto body P1, M1, N1 jsou rovnoběžné průměty bodů P, M, N do roviny podstavy. Bod
, potom M1=B,
, potom N1=C, bod
Sestrojíme osu o afinity. Přímky P1N1, PN se protínají v bodě V1 přímky P1M1, PM v bodě V2. Z vlastnosti osové afinity vyplývá, že
, proto P1=S.
.
Sestrojíme body W, Q, R, T odpovídající bodům D, E, F, A. Přímka DC, na které leží bod N1, protíná osu o v bodě V3. Té odpovídá přímka V3N. Přímka V3N protíná hranu DD' v bodě W, což je další bod řezu. Podobně sestrojíme ostatní vrcholy řezu.
Řez tělesa rovinou MNP je šestiúhelník MNWV7V8T.
64
Konstrukce:
65
Důkaz: Využili jsme osové afinity, kde osou je přímka o, která leží v rovině podstavy hranolu. Následně jsme využili vlastnosti, kde průsečíky odpovídajících si přímek leží na přímce o a značíme je Vi, kde
. Výjimkou jsou body V7 a V8, což jsou body řezu. Diskuse: Úloha má jediné řešení v podobě šestiúhelníku MNWV7V8T. Příklad 5: Je dán šestiboký hranol ABCDEFA´B´C´E´F´, kterého stěny jsou shodné čtverce. Bod
S´ je středem podstavy A´B´C´D´E´F´. Zobrazte řez tělesa dvěma rovinami, které jsou navzájem kolmé a současně jsou kolmé na rovinu BB´E, jedna z rovin obsahuje přímku BS´, druhá bod S´. [7] Rozbor: Každé dvě průsečnice třech rovin budou navzájem kolmé a budou procházet společným bodem S'. Předpokládejme, že roviny protínají hranol. Vyhledáme průsečnici roviny horní podstavy a roviny řezu. Dále použijeme větu o vzájemné poloze třech rovin. Popis konstrukce: Šestiboký hranol:
Zvolíme si bod A, který pro zjednodušení umístíme do počátku. Dále zvolíme bod D (6,0). Zvýrazníme úsečku AD.
Nalezneme střed úsečky AD a označíme ho jako bod S.
abychom našli zbylé body podstavy, vytvoříme kružnici c(S;1,5), průsečíky c s úsečkou AD označíme X, Y
sestrojíme úhel DXD1, který má velikost 45°
k polopřímce XD1 sestrojíme rovnoběžku h procházející bodem Y
sestrojíme kružnici d(Y;1,5) jejíž průsečíky s rovnoběžkou h jsou vrcholy C, E podstavy hranolu
kružnice se stejným poloměrem jako d, ale se středem v bodě X nám protne přímku XD1 také ve dvou bodech, a to v bodě B a F
nyní máme narýsovanou podstavu zadaného hranolu
zbylé body, sestrojíme pomocí kolmic procházející jednotlivými vrcholy a kružnicemi o poloměru délky strany podstavy, aby stěny hranolu byly čtverce
Nalezneme střed horní podstavy S' 66
Řez tělesa:
nalezneme středy stran A'F', C'D' a pojmenujeme je G, H
body GH vedeme přímku p, která je průsečnicí hledaných rovin řezu
vyznačme si úsečky BS', S'E, které prochází hledanými rovinami řezu
jelikož stěny tvoří čtverce, tak řez stěny od bodu H a G povede do středu přilehlých hran, odtud je řez veden do bodu B, popř. E
Konstrukce:
67
Důkaz: Protože čtyřúhelník BB'EE' je ve skutečnosti obdélník, kde Označíme obě dvě hledané roviny řezu , přičemž platí:
,
, je
, je BS' kolmé na S'E. ,
,
. Řez je pak osově souměrný podle přímky p.
Diskuse: Tato úloha má pouze jedno řešení. Příklad 6: Zobrazte řez roviny
s pravidelným čtyřbokým jehlanem VABCD. Bod M si
zvolte na hraně AV, bod N na hraně BV blíže k bodu B, bod P na CV. Rozbor: Body M, N roviny řezu leží v rovině ABV, to ale znamená, že MN je průsečnice roviny řezu s rovinou ABV. Body N, P roviny řezu leží v rovině BCV, přímka NP je průsečnicí roviny s rovinou BCV. Úsečky MN, PN jsou stranami hledaného řezu. Hledáme zbylé strany hledaného řezu pomocí průsečnice p, na které vytyčíme body V1, V2 a V3. Bod V3 a P vytínají přímku, která protíná s hranou DV poslední bod řezu. Popis konstrukce:
sestrojíme bod V1, který je průsečíkem prodloužení strany AB a přímky MN
sestrojíme bod V2, který je průsečíkem přímky CB a PN
vyznačme přímku p, která prochází body V1, V2
dále nalezneme bod V3, který leží na průsečíku p a prodloužení strany DC
přímka V3P protíná hranu DV v bodě Q
řezem jehlanu je čtyřúhelník MNPQ
68
Konstrukce:
69
Důkaz: Přímka PV3 protíná hranu DV, tento bod je označen jako Q. Q tedy leží v rovině MNP. Diskuse: Úloha má právě jedno řešení. Příklad 7: Sestrojte řez obecného pětibokého jehlanu ABCDEV rovinou
; bod P leží
na hraně AV, bod Q leží na výšce v a bod R leží ve stěně BCV. Rozbor: Řezem je obecný pětiúhelník KLPMN, který odpovídá podstavnému pětiúhelníku ABCDE v prostorové středové kolineaci mezi rovinami ABC, ρ, jejíž osou je přímka p a středem je hlavní vrchol V daného jehlanu. Tip k určení bodu R: Nejdříve si vyznačte stěnu BCV a pak použijte funkci bod na objektu. Popis konstrukce:
Vedeme přímku VR, která nám protne úsečku BC v bodě V1.
Vedeme přímku, která prochází středem podstavy a bodem V1, dále přímku procházející body QR; tyto přímky se pak protnou v bodě V2
sestrojíme polopřímku OA a polopřímku QP, ty se protínají v bodě V3
označme přímku kolineace p, která prochází body V2, V3
sestrojíme polopřímku EA, která nám na p vytyčí bod V4
mějme polopřímku V4P, která má s hranou EV společný bod L
sestrojíme polopřímku CB, která má s p společný bod V5
polopřímka DC protíná p v bodě V6
polopřímka V5R protíná hranu BV v bodě M
průsečíkem hrany CV a polopřímkou V5R je bod řezu N
polopřímka V6N má s hranou DV společný bod K
řezem je pětiúhelník KLPMN
70
Konstrukce:
71
Důkaz: V příkladu jsme využili tzv. kolineaci, kde průsečnicí rovin ABC a ϱ je přímka p a středem je vrchol V. Následně jsme využili vlastnosti, kde průsečíky odpovídajících si přímek leží na přímce p a značíme je Vi, kde
. Výjimkou je bod V1, který označuje bod hrany BC.
Diskuse: Řezem je pětiúhelník, pokud přímka p neprotíná podstavu jehlanu. Pokud by se tak stalo, je řezem šestiúhelník. Příklad 8: Zobrazte řez roviny
s pravidelným šestibokým jehlanem VABCDEF. Přímku
p zvolte v rovině podstavy tak, aby protínala dvě podstavové hrany v jejich vnitřních bodech, bod K nechť leží na prodloužení libovolné boční hrany za vrcholem V. [7] Rozbor: Předpokládejme, že rovina
protíná stěny jehlanu. Potom mezi podstavou tělesa a
průsečíkem existuje kolineární vztah, kde je osou kolineace průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, středem kolineace je vrchol jehlanu V. V této kolineaci vrcholem podstavy odpovídají body řezu na bočních hranách. Popis konstrukce:
Zvolíme si body V1, V3 na úsečkách AB, CD, jimiž prochází přímka p
na polopřímce AV zvolíme bod K za bodem V
Přímka AB protíná přímku p v bodě V1. Přímce AB je přiřazená přímka KV1. Přímka KV1 protíná úsečku VB v bodě B', který je bodem průseku.
Přímka BC protíná přímku p v bodě V2. Její odpovídající přímka je V2B'.
Průsečík
Řez tělesa rovinou
je dalším bodem průsečíku. je čtyřúhelník V1V3C'B'.
72
Konstrukce:
Důkaz: Díky přímce, která protíná podstavu jehlanu, jsou dva body dané jednoznačně. B' leží na přímce KV1, která protíná hranu VB. Zároveň B' leží v rovině KV1V3. C' leží na přímce B'V2, která protíná hranu VC a zároveň leží v rovině B'V1V3. Diskuse: Pokud V1 nebo V3 splývá s vrcholem hrany, na které leží, je řezem trojúhelník.
73
Příklad 9: Proveďte řez krychle ABCDEFGH rovinou PQO. P je bod hrany EH, Q je bod hrany EF a bod O leží na stěně ABCD. Rozbor: Hranu řezu bude tvořit rovnoběžka k PQ procházející bodem O. Vznikly nám dva body v podstavě. Bod R na hraně BC a bod S na hraně DC. Průsečíkem přímek SR a AB vzniká bod W. Přímka WQ nám protíná hranu BF v bodě U. Prodloužení hrany AD nám na přímce SR vytyčí bod V, který spojíme s bodem P a tato úsečka nám protne hranu DH v bodě T. Popis konstrukce:
sestrojíme rovnoběžku s PQ procházející bodem O; body vytyčené touto rovnoběžkou označíme jako R, S na hranách BC a CD.
Průsečíkem přímek SR a AB vzniká bod W
Přímka WQ nám protíná hranu BF v bodě U
Prodloužíme hranu AD, která má společný bod V s přímkou SR
Přímka VP protíná hranu DH v bodě T
řezem je šestiúhelník PQURST
74
Konstrukce:
Důkaz: Roviny dvou stěn kostky, na kterých leží body P, Q, O, jsou rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu. Průsečnice roviny řezu jsou s rovinami těchto stěn rovnoběžné, proto přímky PQ a SR jsou rovnoběžky. Dále platí, že průsečnice rovin dvou sousedních stěn s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě. Tak nalezneme body U a T. Diskuse: Pokud jeden ze zadaných bodů P, Q nebo O je shodný s jedním z vrcholů dle podmínek ze zadání, pak řezem je pětiúhelník. Pokud alespoň dva ze zmíněných bodů jsou vrcholy krychle, řezem je čtyřúhelník.
75
Příklad 10: Zobrazte řez krychle ABCDEFGH rovinou LKM, kde K je střed hrany BC, L leží na hraně DH a M leží na hraně HG. Rozbor: Vycházíme ze stejných principů jako v předchozím příkladu. Popis konstrukce:
vedeme polopřímku CG a přímku LM, které se nám protnou v bodě V1
vedeme přímku V1K, která na hraně FG vytyčí bod N
dále vedeme přímku EA a přímku rovnoběžnou s V1K procházející bodem L
průsečík přímky EA a rovnoběžky označíme V2
vedeme přímku V2K
řezem krychle je pětiúhelník KNMLP
76
Konstrukce:
Důkaz: V důkazu se opíráme o stejné principy jako v předchozím příkladu. Diskuse: Dle zadání je řezem pětiúhelník KNMLP.
77
6. Závěr Vypracované příklady uvedené v diplomové práci znázorňují využití programu GeoGebra v běžné středoškolské výuce. Zvláště příklady ze stereometrie mají usnadnit žákům pochopení příkladu a lépe tak rozvíjet prostorovou představivost. V příkladech je použita jak konstrukce pomocí jednoduchých přímek a kružnic, ale i složitější operace jako je např. kruhová inverze. Tato práce slouží převážně jako motivace k využití matematických programů ve vyučovacích hodinách na středních školách všech typů. Veškeré vypracované příklady v programu GeoGebra naleznete v přiloženém CD.
78
7. Bibliografie [1] EISLER, Jaroslav, Dušan KOTYRA a Alica SIVOŠOVÁ. Počítáme bez chyb: matematika: pro ZŠ a víceletá gymnázia. 1. vydání. Praha: Fragment, 2015, 286 stran. ISBN 978-80-253-2322-9. [2] HERMAN, Jiří. Matematika: geometrické konstrukce: [učebnice pro základní školy a víceletá gymnázia]. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií. ISBN 80-7196-114-0. [3] HERMAN, Jiří. Matematika: osová a středová souměrnost. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995. [obrázek] Učebnice pro základní školy (Prometheus). ISBN 80-85849-73-9. [4] JUŠKEVIČ, Adolf Pavlovič. Dějiny matematiky ve středověku. Praha: Academia, 1977. 509-21857. [5] KADLEČEK, Jiří. Geometrie v rovině a v prostoru pro střední školy. Praha: Prometheus, 1996. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-017-9. [6] KOČANDRLE, Milan a BOČEK Leo. Matematika pro gymnázia. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2009, 220 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-390-5. [7] KRIŽALKOVIČ, Karol, Anton Cuninka, and Ondrej Šedivý, 500 Riešených úloh z geometrie. 1. vydání. Bratislava: Nakladatelství ALFA, 1970, 552 s. 63-082-70. [8] MAREŠ, Milan. Příběhy matematiky: stručná historie královny věd. Příbram: Pistorius & Olšanská, 2008. ISBN 978-80-87053-16-4. [9] POLÁK, Josef. Didaktika matematiky: jak učit matematiku zajímavě a užitečně. 1. vyd. Plzeň: Fraus, 2014, 431 s. ISBN 978-80-7238-449-5. [10] POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 9., přeprac. vyd. Praha: Prometheus, 2008. ISBN 978-80-7196-356-1. [11] POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: planimetrie. 4., upr. vyd. Praha: Prometheus, 2000, 206 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-174-4. [12] POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: stereometrie. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 2000, 223 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-178-7. [13] ŠVRČEK, Jaroslav a Pavel CALÁBEK. Sbírka netradičních matematických úloh. Praha: Prometheus, 2007. ISBN 978-80-7196-341-7.
79
[14] ZNÁM, Štefan. Pohľad do dejín matematiky: celoštátna vysokoškolská príručka. Bratislava: Alfa, 1986. Edícia matematicko-fyzikálnej literatúry. 63-572-86.
8. Internetové zdroje: [15] DAVIDOVÁ, Eva. Řešení planimetrických úloh - Konstrukční a početní úlohy [online]. Ostrava 2006 [cit. 2016-08-08]. Dostupné z file:///C:/Users/admin/Downloads/Geometrie_2.pdf [16] GeoGebra. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2016-03-01]. Dostupné z: https://en.wikipedia.org/wiki/GeoGebra [17] Geogebra [online]. Univerzity of Salzburg: International GeoGebra Institute, 2016 [cit. 2016 03 01]. Dostupné z: http://www.geogebra.org/team [18] Geogebra [online]. Univerzity of Salzburg: International GeoGebra Institute, 2016 [cit. 2016 03 01]. Dostupné z: http://www.geogebra.org/about [19] LÁVIČKA, Miroslav. Syntetická geometrie: Pomocný učební text k předmětu KMA/SG.[online]. Plzeň: ZČU, 2007 [cit. 2016-05-30]. Dostupné z: http://home.zcu.cz/~lavicka/subjects/SG/texty/sg_text.pdf [20] LEISCHNER, Pavel. Metody řešení planimetrických úloh [online], Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2012 [cit. 2016-05-30]. Dostupné z: https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/MRG/plani.pdf
80
9. Seznam obrázků a grafů Obrázek 1 Instalace GeoGebry ................................................................................................... 3 Obrázek 3 Lišta nástrojů ............................................................................................................. 4 Obrázek 2 První menu ................................................................................................................ 4 Obrázek 4 Algebraické okno ....................................................................................................... 5 Obrázek 5 Vstup pro data........................................................................................................... 6 Obrázek 6 Úhly ......................................................................................................................... 18 Obrázek 7 Volné rovnoběžné promítání .................................................................................. 52 Obrázek 8 Bokorys .................................................................................................................... 53 Obrázek 9 Půdorys.................................................................................................................... 53 Obrázek 10 Nárys ..................................................................................................................... 53 Obrázek 11 Sítě krychle ............................................................................................................ 55
Graf 1 Rozdělení úhlů ............................................................................................................... 17 Graf 2 Vzájemná poloha dvou přímek ...................................................................................... 54
81
