UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Bakaláská práce. Analytická geometrie kuželoseek

*

P k

k ; < lk f 1 k l < P = 1 KP g < P K < P k

k ; < P = 1 < lk f 1

'

(

+

< d

'; < (= 1 +; 1 ,= 1 7

,

KP g 1 k l < P K < P k e

'

7

- 23 -

(

d <

e <

3.4 Parabola 3.4.1 Odvození rovnice paraboly Nyní provedeme odvození rovnice paraboly. Kartézskou soustavu sou adnic zvolíme

tak, aby v

w

x

y a rovnice ídicí p ímky z byla z: f

libovolný bod roviny (obr. 19).

x

< . Nech bod

8; =: je

Obr. 19: Odvození rovnice paraboly

Nejprve p edpokládejme, že bod M náleží parabole. Potom podle definice platí ]

Tento vztah rozepíšeme v sou adnicích a dostáváme {|; < } 1 =

p; 1 p

Rovnici umocníme na druhou a po krátké úprav dostaneme g

Of

Tato rovnice se nazývá kanonická rovnice paraboly. Obrácen p edpokládejme, že pro bod

za = z =

dostaneme

; do výrazu

8; =: platí rovnice =

{|; < } 1 = p; 1 p - 24 -

]

; Dosazením

3.4.2 Rovnice paraboly Vrcholová rovnice: =

;

=<e

;
8

pro

8d e:

pro

Obecná rovnice: ]T ;

d<

Ohnisko F: w

Obr. 20: Parabola otev ená doprava "

y

pro

wd 1

n

ey

pro

8

:

8d e:

Vrcholová rovnice: =

<

;

=<e

<

;
y

pro

8

pro

]T ;

d1

Ohnisko F: w<

wd <

n

ey

pro

8

:

8d e:

Vrcholová rovnice: ;

;
=

=<e

8

pro

]T =

e<

Ohnisko F: w

y

wd e 1

o

- 25 -

pro y

pro

8

:

8d e:

pro

Rovnice ídicí p ímky:

Obr. 22: Parabola otev ená nahoru "

:

8d e:

pro

Rovnice ídicí p ímky:

Obr. 21: Parabola otev ená doleva "

:

:

8d e:

Vrcholová rovnice: ;

<

;
=

<

=<e

8

pro

8d e:

pro

Rovnice ídicí p ímky: ]T =

e1

Ohnisko F:

w < y

"

Obr. 23: Parabola otev ená dol

wd e <

o

:

pro y

pro

8

:

8d e:

3.4.3 Obecná rovnice paraboly Vrcholový tvar rovnice paraboly, jejíž osa je rovnob žná s osou x, lze upravit na obecný tvar: =<e

;
= < e= 1 e

= 1 < '

<

(

;<

d

;1 < e =1e 1 < e+

= 1 '; 1 (= 1 +

e 1

'~

d

d

Vrcholový tvar rovnice paraboly, jejíž osa je rovnob žná s osou y, lze upravit

na obecný tvar: ;
; < d; 1 d

=<e

=<

e

; 1 < d ;1 < e =1d 1 '

<

(

< e+

; 1 '; 1 (= 1 +

d 1

(~

e

e

- 26 -

4 Vyšet ování vzájemné polohy kuželose ky a p ímky, dvou kuželose ek Vzájemnou polohu dvou geometrických útvar vyšet ujeme v analytické geometrii ešením soustavy rovnic, resp. nerovnic, které jsou analytickým vyjád ením t chto útvar . ešením soustavy získáme sou adnice bod pr niku t chto útvar .

4.1 Vzájemná poloha kuželose ky a p ímky v rovin Soustava rovnic dané kuželose ky (kvadratická rovnice) a dané p ímky (lineární

rovnice) se eší takto: z lineární rovnice vyjád íme neznámou ;, resp. y, kterou dosadíme do

kvadratické rovnice. Tímto eliminujeme jednu neznámou a dostaneme kvadratickou rovnici

pro druhou neznámou. Pokud má ešená soustava rovnic v 2 práv dv

ešení, má p ímka

s kuželose kou práv dva spole né body a jejich pr nikem je dvojbodová množina. Pokud má ešená soustava práv jedno ešení, má p ímka s kuželose kou práv jeden spole ný bod a jejich pr nikem je jednobodová množina. Nemá-li ešená soustava žádné ešení, nemá kuželose ka s p ímkou žádný spole ný bod a jejich pr nikem je množina prázdná. Vnit ní oblastí kružnice

se nazývá množina bod M roviny, pro které platí

(obr. 24). Vnit ní oblastí elipsy s ohnisky množinu bod

roviny, pro které platí

Pro hyperbolu s ohnisky

a s hlavní osou délky

1

nazýváme

(obr. 25). vnit ní oblastí

a s hlavní osou délky

jedné v tve hyperboly nazýváme množinu bod M roviny, pro které platí

<

. Vnit ní oblastí druhé v tve hyperboly nazýváme množinu bod M roviny, pro které platí

<

HkG •

Vnit ní oblastí paraboly s ohniskem F a ídicí p ímkou d nazýváme množinu bod M roviny, pro které platí

€

] (obr. 27).

Se na • kuželose ky je p ímka, která má s kuželose kou bu

práv dva spole né

body, nebo obsahuje práv jeden její bod, ale není te nou kuželose ky (tj. obsahuje body vnit ní oblasti kuželose ky).

- 27 -

Te na ‚ kuželose ky je p ímka, která má s kuželose kou práv jeden spole ný bod ƒ

a neobsahuje žádný bod vnit ní oblasti kuželose ky. Bodu T se íká bod dotyku (dotykový bod) kuželose ky a p ímky. Vn jší p ímka \ kuželose ky je p ímka, která nemá s kuželose kou žádný spole ný

bod. Pr nikem kuželose ky s vn jší p ímkou je množina prázdná.

Všechny možné p ípady vzájemné polohy elipsy a p ímky jsou na obr. 28.

Obr. 24: Vnit ní oblast kružnice

Obr. 25: Vnit ní oblast elipsy

Obr. 26: Vnit ní oblast hyperboly

Obr. 27: Vnit ní oblast paraboly

Obr. 28: Vzájemná poloha elipsy a p ímky

- 28 -

4.2 Rovnice te en ke kuželose kám Nech je dána st edová kuželose ka (kružnice, elipsa, hyperbola) rovnicí ve st edovém tvaru, resp. parabola ve vrcholovém tvaru, pak rovnice te ny ke kuželose ce vedené daným 8;„ =„ : mají tvary uvedené v tabulce.

bodem dotyku ƒ

Rovnice kuželose ky St edový tvar rovnice kružnice ;
1 = <e

f
1

St edový tvar rovnice elipsy g
*

g
1

f
*

f
<

g
*

St edový tvar rovnice hyperboly g
<

f
*

Vrcholový tvar rovnice paraboly ;
;
<

=<e

<

=<e

=<e

=<e

;
;
Rovnice te ny kuželose ky v bod dotyku ƒ

8;„ =„ :

Rovnice te ny kružnice v bod dotyku ƒ ;„ < d ; < d

1 =„ < e = < e

Rovnice te ny elipsy v bod dotyku ƒ f„ < l f < l g„ < K g < K 1 P k g„ < K g < K f„ < l f < l 1 P k

8;„ =„ :

*

*

8;„ =„ :

Rovnice te ny hyperboly v bod dotyku ƒ f„ < l f < l g„ < K g < K < P k g„ < K g < K f„ < l f < l < P k

*

*

Rovnice te ny paraboly v bod dotyku ƒ ;„ < d ; < d ;„ < d ; < d =„ < e = < e

=„ < e = < e

=„ < e 1

=<e

;„ < d 1

;
< =„ < e < < ;„ < d <

8;„ =„ :

8;„ =„ :

=<e

;
4.3 Vzájemná poloha dvou kuželose ek Úlohy na ur ení pr niku dvou kuželose ek se eší v analytické geometrii ešením soustavy jejich rovnic, tj. kvadratických rovnic se dv ma neznámými x, y.

- 29 -

5

ešené p íklady

5.1 Kružnice P íklad 1 Ur ete sou adnice st edu S a polom r r kružnice dané obecnou rovnicí: ; 1 = < •i 8

; 1= :

…

P íklad 2

•i

Ur ete sou adnice st edu S a polom r r kružnice dané obecnou rovnicí:

; 1 = < …; < •= 1 i ; < …; 1 = < •=

;
8i †:

1 =<† 1 =<†

P íklad 3

*

< i

< i 1 *• 1 ‡ *

Ur ete st edovou rovnici kružnice, je-li dán její st ed S a prochází bodem A. Pak ji p eve te na obecný tvar: 1. zp sob:

8<ˆ *: '

8<• < :

Polom r r kružnice vypo ítáme jako vzdálenost bod S a A,

tj. r = |SA| = j <• 1 ˆ

1 < <*

Rovnice kružnice má pak tvar ;1ˆ

1 =<*

; 1* ;1 ˆ1= < =1*

; 1 = 1 * ; < = 1 *•

j <*

1 <†

@* 1 ‡

@* .

*

*

2. zp sob:

Sou adnice st edu S dosadíme do st edové rovnice kružnice: ;1ˆ

1 =<*

Bod A leží na kružnici, proto sou adnice bodu A dosadíme to této rovnice: <• 1 ˆ

1 < <*

*1‡ *

- 30 -

Rovnice kružnice má potom tvar ; 1 ˆ

tvar ; 1 = 1 * ; < = 1 *•

1 =<*

.

* , kterou p evedeme na obecný

P íklad 4

Ur ete st edovou rovnici kružnice o pr m ru CD a upravte ji na obecný tvar: 8 <ˆ: ,

+

+1,

8i *:.

8 < : ;<

j

+

1 =1

; < i; 1 i 1 = 1 i= 1 i < *† P íklad 5

<

1 < 1ˆ

*†

@*†

; 1 = < i; 1 i= < ˆ

Napište st edovou rovnici kružnice k, která prochází body ' 8i < :. Ur ete sou adnice st edu S a polom r r.

+

8ˆ *: (

8 •:

Body A, B, C leží na kružnici, proto jejich sou adnice postupn dosadíme do obecné rovnice kružnice ; 1 = 1 '

T

+

T

(

T

; 1 h= 1 X

ˆ 1* 1

i 1 <

1• 1 1

‰ˆ1h‰*1X ‰ 1h‰•1X

‰i1h‰ <

1X

Rovnice upravíme a dostaneme soustavu t í lineárních rovnic o t ech neznámých M, N, L, tj. koeficienty hledané rovnice kružnice: ˆ

i

1h1X •h 1 X

< h1X

< •

<†• <

ešením této soustavy jsou koeficienty

h

<

X

< i. Tyto koeficienty

dosadíme do obecné rovnice kružnice a dostaneme ; 1 = < = < i

p evedeme pomocí úprav na st edový tvar. ; 1 = < = < i ; 1 =<*

<*

; 1 =<*

i

ˆ

Ze st edové rovnice ur íme sou adnice st edu

- 31 -

8 *: a polom r r = 5.

. Rovnici

P íklad 6 Napište rovnici kružnice k, která prochází 2 danými body A = [3, 5], B = [2, 6] a má st ed na dané p ímce p: ; 1 †= < i '

(

T

†1d

T

1d

T

†1d

.

1 ˆ<e 1 •<e

d 1 †e < i

1 ˆ<e

‡ < •d 1 d 1 ˆ < * e 1 e

< d1 e<• d 1 †e < i ˆe

e

d1•
1 ˆ<

;1*

1 =<

; 1 = 1 ; < i= <

d

ˆ

1d

1 •<e

i < id 1 d 1 †• < * e 1 e * <* ˆ

P íklad 7

Napište rovnici kružnice, která se dotýká obou sou adných os a prochází bodem A = [-2, -4]. Vzdálenost st edu S je od obou os stejná, proto sou adnice st edu m žeme psát S = [m, m]. Mezi sou adnicemi st edu m a polom rem r platí d ;<

< 1

i
1 =<

1
1 *• < … 1 <

<* ‰

<*

Sou adnice st edu m f1

1 g1

1

f 1 g 1 if 1 ig 1 i

*

8< < : a polom r G i

- 32 -

< .

8<* <* : a polom r G

Sou adnice st edu m f1*

f 1g 1 P íklad 8

1 g1*

f1

*

g1*

'

Rozhodn te o vzájemné poloze bod f<

A: B: C:

1 g1*

<

1 i1*

ˆ

ˆ

8 i: (

ˆ

A leží na kružnici

†i

ˆ

B leží vn kružnice

*Š

ˆ

C leží uvnit kružnice

Š<

1

1*

*<

1 †1*

ˆ

*

ˆ ˆ

8Š : +

8* †: a kružnice

5.2 Elipsa P íklad 9 Ur ete sou adnice st edu, délky poloos, excentricitu a sou adnice ohnisek elipsy, která je dána obecnou rovnicí i; 1 ‡= < †• i; 1 ‡=

†•

= ; 1 ‡ i 8

*

:

‹<@ˆ Œ

†

‹@ˆ Œ

P íklad 10

j

<

@‡ < i

@ˆ

Ur ete sou adnice st edu, délky poloos, excentricitu a sou adnice ohnisek elipsy, která je dána obecnou rovnicí ‡; 1 ˆ= 1 ˆi; 1 * ‡; 1 ˆi; 1 ˆ= 1 *

=

‡ ; 1 •; 1 ˆ = 1 i= ‡ ;1†

‡ ;1†

1 ˆ =1 1 ˆ =1

;1† ˆ

8<† < :

8<Š < :

1

=1 ‡

ˆ

†

8* < :

ii

ii

= < ii

ii 1 …* 1 * *

ˆ

j

<

@ ˆ<‡ - 33 -

i

P íklad 11 Ur ete sou adnice st edu, délky poloos, excentricitu a sou adnice ohnisek elipsy, která je dána obecnou rovnicí i; 1 ˆ= < † ; 1 i; < † ; 1 ˆ= 1

=

<…i

i ; < …; 1 ˆ = 1 i= i ;
<…i

1ˆ =1

i ;
= 1 …i

<…i 1 •i 1

1ˆ =1

Zadaná obecná rovnice není rovnicí elipsy. P íklad 12 Ur ete st edovou a obecnou rovnici elipsy se st edem * b

je-li

;

Do rovnice elipsy délku hlavní poloosy ;1• *

1

1• *

1

=<

Ž•• ‘ D‘

*

1

*

’•“ ‘

8<• : a jejím bodem •

* dosadíme sou adnice st edu elipsy

V‘

Bod K leží na elipse, proto jeho sou adnice musí vyhovovat této rovnici. ˆ<

•i ‡ 1 * ‡ ‡

*

* *

*< †• * i *

•i *

ˆ

St edovou rovnici elipsy upravíme na obecný tvar. ;1• *

;1•

1

=< ˆ

1i =<

; 1 * ; 1 †• 1 i= < *•= 1 *•

; 1 i= 1 * ; < *•= < i…

* *

*

Obecná rovnice elipsy je ; 1 i= 1 * ; < *•= < i… - 34 -

.

8 ˆ:,

8<• : a

P íklad 13

8
Najd te rovnici elipsy, která má ohniska 8<* Š:

+

1

+

j

8<* †:

j

1

1i

1 †<†

j <* 1 *

@†•

1 Š<†

@*• 1 ‡

;1* ˆ

*• ; 1 *

ˆ

1

•,

i

@*•

=<† *•

i

*• ; 1 ; 1 * 1 ˆ = < •= 1 ‡

ˆ

*•; 1 ˆ= 1 † ; < *ˆ = < *ˆ‡

i

i

P íklad 14

Najd te rovnici elipsy, která má za vrcholy body +

ohnisko je

+,

+1,

j

1

8* i:

8* Š:

j <† < ˆ

j *<*

1 Š<Š

1 i<Š

@*• 1 ‡

;<* *•

ˆ ;<*

ˆ

@•i

@‡

*

i= 1 Š…i

i

1 *• = < Š

ˆ ; < ; 1 * 1 *• = < *i= 1 i‡

ˆ; < ˆ ; 1 ˆ 1 *•= <

ˆ; 1 *•= < ˆ ; <

P íklad 15

†

=<Š ˆ

1

†

*

1 ˆ =<†

*•; 1 † ; 1 *• 1 ˆ= < *ˆ = 1

8 †: a vrchol na vedlejší ose je

i= 1 i ‡

…,

8ˆ Š: a ,

8<† Š: na vedlejší ose a

i

i

i

Najd te rovnici elipsy, která se dotýká obou sou adných os a má st ed Ze sou adnic st edu S ur íme, že

•a

i

- 35 -

8• i:

;<• †•

*• ; < •

1

=
*

1 †• = < i

*•; < *‡ ; 1 ˆŠ• 1 †•= < ……= 1 ˆŠ• P íklad 16

i; 1 ‡= < i…; < Š = 1 *ii

Rozhodn te o vzájemné poloze bod

‡f 1 ˆg < iˆ A: B:

‡ ‰ <†

‡ ‰ <ˆ

'

ˆŠ•

ˆŠ• 8<† *: (

1 ˆ ‰ * < iˆ

1 ˆ ‰ <†

<†ii

8i •: a elipsy

A leží uvnit elipsy

< iˆ

B leží na elipse

‡ ‰ i 1 ˆ ‰ • < iˆ

C:

8<ˆ <†: +

ˆ‡i

C leží vn elipsy

5.3 Hyperbola P íklad 17 Napište st edovou a obecnou rovnici hyperboly, je-li dáno: ; = < P k

*

; = < ‡ i

*

; = < †

P íklad 18

Napište st edovou a obecnou rovnici hyperboly, je-li dáno: <

;

= ; < ˆ •

= ; < ˆ †•

ˆ; < †•= 1 ‡

:

†

b

;.

8

:

ˆ

• b

=.

*

i; < ‡= < †•

=

8

* * * - 36 -

P íklad 19 Ur ete obecný tvar rovnice hyperboly, je-li dáno: Ur íme délku vedlejší poloosy:

;
@

‡ ; 1 ; 1 * ” *• = < = 1 *

‡; 1 *…; 1 ‡” *•= 1 † = < *•

‡; ” *•= 1 *…; 1 † = < *ˆ*

*

<

@ˆ < i

• = < …= 1 *• ”

;1ˆ

; 1* ;1 ˆ

•= < i…= 1 ‡•” ; <

;<ˆ

; < †= 1 * ; 1 i= < *Š

*ii

*

; = < P k ˆ † < P i ˆ P ˆ P P

= ; < *• *•

*

*1 ˆ *• *•

@

@• b

=.

*

*

*

;

*

8<ˆ i:

*

Ur ete st edovou rovnici hyperboly se st edem i b

;.

*ii

P íklad 21 dáno:

†

ˆ b

*ii

Ur ete obecný tvar rovnice hyperboly, je-li dáno:

• =
@‡

i

*

P íklad 20

=<e ;
8<* *:

† i

*

- 37 -

8

: a jejím bodem X

8ˆ †:, je-li

P íklad 22 Ur ete st edovou rovnici hyperboly se st edem @ˆ b

dáno: ;
• @ˆ–

”

;1i

”

=<e k

;

<ˆ 1 * k

†• *• ” k *• ” k *• ” k

”

k

=1*

=<e 1Š

”

”

=

;

i‡ †• ” i †• ” ”

=1Š i

”

;< †

†• k

8 <Š: a jejím bodem X

8
* *

*< <

†•

*•

*

Ur ete st edovou rovnici hyperboly se st edem b

8 <ˆ:, je-li

*

P íklad 23 dáno:

8
* * *

i‡ i iˆ < i *< † *

- 38 -

P íklad 24

Ur ete sou adnice st edu hyperboly ; < = 1 …= < *•

, délky jejich poloos,

excentricitu a rovnice asymptot. ; < = 1 …= < *• ; <

; <

8

= < i= =<

*• < …

; =< ” … i :

*

@…

=<

=

u

u u

@… 1 i

@

Rovnice asymptot: =<e

*•

@†

;
@

;<

;1

Rovnice asymptot jsou =

@

;1

a=

<

@

;1 .

P íklad 25

Ur ete sou adnice st edu hyperboly i; < = 1 † ; < i= 1 i

excentricitu a rovnice asymptot. i; < = 1 † ; < i= 1 i i ; 1 …; < = 1 i= i ;1i

;1i ‡

8
< =1 <

Rovnice asymptot: =<e =1

=

u

u

=1 †•

†

•

< i

< i 1 •i < i *

@‡ 1 †•

†@ˆ

;
• ;1i †

u ;1i <

Rovnice asymptot jsou =

;1•a=

< ;<* . - 39 -

, délky jejich poloos,

P íklad 26 if < ‡g < †•

i ‰
A: B: C:

8† : (

'

Rozhodn te o vzájemné poloze bod < ‡ ‰ * < †•

*‡

i‰† <‡‰

< †•

i‰i <‡‰

< †•

8i : +

8
A leží vn hyperboly B leží na hyperbole

<…

C leží uvnit hyperboly

5.4 Parabola P íklad 27 Ur ete sou adnice vrcholu, ohniska, parametr a rovnici =<

* ;1* .

8<* :

*

ˆ ]T ;

wd 1

d<

ey

ˆ —<* 1 ˜ ™

<* <

ˆ

<† ˆ

ídicí p ímky paraboly

8* ˆ˜ :

P íklad 28 Ur ete sou adnice vrcholu, ohniska, parametr a rovnici ;1•

… =<† .

8<• †:

…

i ]T =

wd e 1 y e<

†<

i —<•˜ † 1 ™ i

ídicí p ímky paraboly

8<•˜ ˆ:

*

P íklad 29 Ur ete sou adnice vrcholu, ohniska, parametr a rovnici ;<†

< =1i

8†
*

ˆ ]T =

wd e < y e1

ˆ

—†˜

ˆ

ˆ

™

8†˜
<† Šˆ

- 40 -

ídicí p ímky paraboly

P íklad 30 Ur ete sou adnice vrcholu, ohniska, parametr a rovnici =1Š

<• ; 1

8< <Š:

•

wd <

† ]T ;

d1

ey

† —< < ˜ <Š™

< 1

†

ídicí p ímky paraboly

8<† ˆ˜ <Š:

< ˆ

P íklad 31 Ur ete obecné rovnice parabol. ;1i

; 1 …; 1 *•

; 1 …; 1 …= 1 …

<… = < *

=<•

<…= 1 …

= < * = 1 †•

= 1 ; < * = 1 †…

P íklad 32

8

Napište vrcholovou rovnici paraboly s vrcholem ;š

dáno =

< ;1* < ;<

: a jejím bodem

8† <•:, je-li

;

<•

†• •

=

‰†

* ;

•

P íklad 33

Napište vrcholovou a obecnou rovnici paraboly s vrcholem 8* <†:, je-li b ;.

=<e

<† <

8
;
ˆ

*

*1i ˆ

Vrcholová rovnice paraboly: = <

ˆ ;1i

Obecná rovnice paraboly: = < ˆ; < i= < *•

.

P íklad 34

Napište vrcholovou a obecnou rovnici paraboly s vrcholem 8<† <Š:, je-li b =.

- 41 -

8* <ˆ: a jejím bodem

;
<† < *

*•

<

=<e


<Š 1 ˆ

i

Vrcholová rovnice paraboly: ; < *

<… = 1 ˆ

Obecná rovnice paraboly: ; < ; 1 …= 1 i*

.

P íklad 35

8
Ur ete rovnici paraboly, jsou-li dány její body • a b ;.

8 ‡:

8< ˆ˜ •:

Body K, L, M leží na parabole, proto jejich sou adnice postupn dosadíme do obecné rovnice paraboly = 1 '; 1 (= 1 +

› Ÿ

a

FT

† 1 œ ‰
FT

• 1œ‰ < ˆ 1•‰•1ž

FT

‡ 1œ‰ 1•‰‡1ž


<‡

œ 1 ‡• 1 ž

<…*

< ˆœ 1 •• 1 ž

Pomocí úprav dostaneme:


ešením této soustavy jsou koeficienty '

<* ˆœ

<• (

Obecná rovnice paraboly je = < •; < •= < *ˆ P íklad 36

<†• <‡

<*

‡ .

<• +

<*ˆ

8

:X

Ur ete rovnici paraboly, jsou-li dány její body • a b =.

8* <…:

8< < :

Body K, L, M leží na parabole, proto jejich sou adnice postupn dosadíme do obecné rovnice paraboly ; 1 '; 1 (= 1 +

›

Ÿ

a

FT

FT

FT

<

*

1œ‰ 1•‰ 1ž

1 œ ‰ * 1 • ‰ <… 1 ž

1œ‰ <

1•‰ <

1ž

- 42 -

œ

1ž


* œ < …• 1 ž

<*

< œ< •1ž


Pomocí úprav dostaneme: œ1 •<ž

i

œ1ž


iœ

<‡•

ešením této soustavy jsou koeficienty '


Obecná rovnice paraboly je ; < i; 1 …= 1 i

…+

.

i

5.5 Vzájemná poloha kružnice a p ímky P íklad 37

Ur ete vzájemnou polohu kružnice f 1 g

‡ a p ímky p: ; < = 1 †

.

Z rovnice p ímky vyjád íme y a dosadíme za y do rovnice kružnice. Rovnici upravíme a vypo ítáme x. ; 1 ;1†

=

;1† ‡

; 1 ; 1 •; 1 ‡

‡

; 1 •;

;‰ ;1†

;

;

<†

Dosadíme za x do rovnice p ímky =

;

;

? =

†

<† ? =

; 1 †.

P ímka je se nou kružnice se spole nými body œ

P íklad 38

Ur ete vzájemnou polohu kružnice f < i =1*
1 =1*

;

i= < * = 1 ‡ 1 = 1 = 1 * ˆ= < * = 1 ˆ

= < =1* =

ˆ

ˆ

=1*

8 †: a •

1 g1*

* - 43 -

8<† :.

ˆ a p ímky p: ; < = < *

.

;

;

†

‰*1* 8† *:.

P ímka je te nou s jedním spole ným bodem P íklad 39

Napište rovnici te ny kružnice f 1 g ;„ ; 1 =„ =

<†; 1 i=

8<† i:.

ˆ

†; < i= 1 ˆ

P íklad 40 Napište

ˆ v jejím bod dotyku

rovnici

8† :.

te ny

kružnice

f 1 g < if < ig 1 Š

v jejím

bod

dotyku

Obecnou rovnici kružnice p evedeme na st edový tvar

f 1 g < if < ig 1 Š ;<

1 =<

;<

1 =<

<Š 1 i 1 i *

8f„ g„ :.

Užijeme rovnici te ny kružnice v bod dotyku ;„ < d ‰ ; < d ;„ <

†<

‰ ;<

‰ ;<

1 =„ < e ‰ = < e 1 =„ < 1

<

‰ =<

‰ =<

;<

P íklad 41

*

*

;

*

†

Napište rovnici te ny kružnice f 1 g < if 1 * g 1 Š p: ; < †= 1 ˆ

, která je rovnob žná s p ímkou

P ímka p a te na t, které jsou spolu rovnob žné, mají stejný normálový vektor. Te nu t m žeme zapsat ve tvaru ; < †= 1 ¡

Z této rovnice vyjád íme x a dosadíme za x do

rovnice kružnice.

¢

†= < ¡

£ 1 = < i¢

†= < ¡

;

£1* =1 Š

- 44 -

†= < ¡

‡= < •¡= 1 ¡ 1 = < •= 1 ¡ 1 * = 1 Š i

‡= < •¡= 1 ¡ 1 i= < i= 1 …¡ 1 i…= 1 * … *†= < •¡= 1 ¡ 1 …¡ 1 i= 1 * …

*†= 1

i < •¡ = 1 ¡ 1 …¡ 1 * …

Nyní budeme ešit kvadratickou rovnici a hledat c tak, aby byl diskriminant D = 0. i < •¡

< i ‰ *† ‰ ¡ 1 …¡ 1 * …

ˆŠ• 1 ……¡ 1 †•¡ < ˆ ¡ < i*•¡ < ˆ•*•

¡ 1 ii¡ 1 †*ˆ


¡

Rovnice te en jsou ¦ T ; < †= < ‡


a ¦ T ; < †= < †ˆ

.

¤

<‡ ¥ <†ˆ

5.6 Vzájemná poloha elipsy a p ímky P íklad 42

Ur ete vzájemnou polohu elipsy if 1 *•g < •i

a p ímky p: †; < = 1

.

Z rovnice p ímky vyjád íme y a dosadíme za y do rovnice elipsy. Rovnici upravíme a vypo ítáme x.

=

i; 1 *•= < •i

i; 1 *• †; 1

†; 1

< •i

i; 1 *• ‡; 1 * ; 1 i < •i

i; 1 *ii; 1 *‡ ; 1 •i < •i *i…; 1 *‡ ;

; *i…; 1 *‡

;

Dosadíme za x do rovnice p ímky = ;

;

<

? =

i… ? = †Š

† ‰ ¢<

i… £1 †Š

;

†; 1 <

Š †Š

<

P ímka je se nou elipsy se spole nými body œ

*‡ *i…

8

- 45 -

<

i… †Š

:a•

w<

Z§

Y¨

¨„

< y Y¨

P íklad 43 Ur ete vzájemnou polohu elipsy

Žš ‘ §

P ímku vyjád íme parametricky © ;

=

1

’• ‘

1 ¦9 ¦

†1 ¦

*a p ímky p:

2

8† : 9

*

1¦

Sou adnice x, y p ímky dosadíme do rovnice elipsy a vypo ítáme parametr. †1 ¦1* …

1¦<

1

¦1i

*

1 i¦

…

1 i¦

¦1i

…

i¦ 1 *•¦ 1 *• 1 i¦

…

…¦ 1 *•¦ 1 …

¦ 1 ¦1*

<*

¦

Parametr t dosadíme do parametrického vyjád ení p ímky.

;

=

†1 ¦ 1¦

† 1 ‰ <* <*

*

*

8* *:.

P ímka je te nou s jedním spole ným bodem P íklad 44

Napište rovnici te ny elipsy if 1 ‡g

*

v jejím bod dotyku

Do rovnice elipsy dosadíme sou adnici f„ bodu T. i ‰
1 ‡g

•i 1 ‡g ‡g

Podmínce g„

=

*

*

†•

u

8
vyhovuje pouze ko en . Bod dotyku ;„ ; ‡=„ = 1 ˆ *

i ‰
- 46 -

*

*

8
:.

P íklad 45

f 1 ig < if 1 † g 1 i…

Napište rovnici te ny elipsy 8f„

< :.

v jejím bod

dotyku

Postup ešení je podobný jako v p edchozím p íkladu.

f 1i‰ <

< if 1 † ‰ <

1 i…

f 1 if

f‰ f1i f

Podmínce f„

f < if 1 i g 1 …g 1i g1i

;<

;„ < i<

i

vyhovuje pouze ko en i. Bod dotyku

f < if 1 ig 1 † g 1 i… f<

f

1

‰ ;<

‰ ;<

=1i ˆ

8i < :.



=„ 1 i ‰ = 1 i ˆ < 1i ‰ =1i 1 ˆ 1

*

f < i 1 …g 1 *•

*

f 1 …g < … f1g
5.7 Vzájemná poloha hyperboly a p ímky P íklad 46 Ur ete vzájemnou polohu hyperboly

Ž‘ §

sou adnice jejich bod , pokud existují. <‡ 1 †¦ …*

<‡ 1 †¦ …*

” ”

i¦ †• i¦ †•

…* < ˆi¦ 1 ‡¦ *•¦ ” …* †•

”

’‘

Yª

* a p ímky p: ;

* *

*

i …* < ˆi¦ 1 ‡¦ ” ‡ ‰ *•¦

† i - 47 -

<‡ 1 †¦ =

i¦ Vypo t te

† i < *•¦ 1 †•¦ ” *ii¦

† i < *•¦ 1 †•¦ ” *ii¦ * …¦ 1 *•¦

† i † i

* …¦ ‰ ¦ 1

¦

;

<‡ 1 † ‰

<

=

i‰ <

;

<‡

i‰

=

¦

<‡ 1 † ‰ <

P ímka je se nou se dv ma spole nými body '

<…

P íklad 47

8<‡ : a (

Ur ete vzájemnou polohu hyperboly ; ” i= sou adnice jejich bod , pokud existují. ; ” i=

i

; ” i i; 1 * ; 1 ‡

i

; ”i ; 1 †

; ” *•; < i…; < †• *ˆ; 1 i…; 1 i

Vypo teme diskriminant ,

i… < i ‰ *ˆ ‰ i

<*ˆ 8<*ˆ <…:.

i a p ímky p: =

; 1 † Vypo t te

i

i

† i< i

<‡•

Diskriminant je záporný, p ímka je vn jší p ímkou. P íklad 48 Napište rovnici te ny hyperboly <* †•

”

* = ” †• …* ‡

i= =

=

= …*

” i=

ˆŠ•

*

Ž‘

Yª

”

’‘ §

* v jejím bod dotyku ƒ

8<*

† i

† i

*ii

u*

Podmínce g„ vyhovuje pouze ko en * . Bod dotyku ;„ ; =„ = < * †• …* - 48 -

8<* * :.

=„

:.

<* ; * = < …* †•

‡ ‰ <* ; < i ‰ * =

<‡ ; < i… = < † i

*

† i

*ˆ; 1 … = 1 ˆi

P íklad 49

› hyperbole

Ž‘

«

”

’‘ ª

* ve te te nu rovnob žnou s p ímkou ; 1 = < Š

Te na má p edpis ; 1 = 1 ¡ ; <; < ¡ ” *ˆ •

=

.

<; < ¡ *

; ” ˆ <; < ¡

†

; ” ˆ ; 1 ¡; 1 ¡

†

; ” ˆ; < * ¡; < ˆ¡ < † †; 1 * ¡; 1 ˆ¡ 1 †

ešíme kvadratickou rovnici pro c a diskriminant musí být roven 0.

* ¡

*

< i ‰ † ‰ ˆ¡ 1 †

¡ < • ¡ 1 †•

i ¡

†•

¡

u†

¡

Rovnice te en jsou ; 1 = 1 †

‡

a;1=<†

.

5.8 Vzájemná poloha paraboly a p ímky P íklad 50

Vypo ítejte sou adnice pr se ík paraboly ; ; ; < …; <

;

=

;1ˆ † ;1ˆ * ‰ † …; 1

- 49 -

* = s p ímkou ; < †= 1 ˆ

;<*

;

‰ ;1

*

;

;1ˆ † ;1ˆ †

? =

<

? =

‰* 1ˆ ˆ † † ‰ < 1ˆ * † †

P ímka je se nou k parabole s body dotyku '

P íklad 51

Jakou velikost má t tiva na parabole = ;<

* u @*ii < i ‰ * ‰ i

;

;

• 1 i@

;

?=

* u …@

• 1 i@ <

• < i@ ? =

Dostáváme dva body '

• < i@ <

«

Y

ya(

w<

y

Y

…; kterou vytíná p ímka =

…;

; <* ;1i

w*

;< ¬

• u i@

i 1 i@

i < i@

‹• 1 i@ ˜ i 1 i@ Œ a (

‹• < i@ ˜ i < i@ Œ.

Velikost t tivy vypo ítáme jako vzdálenost t chto dvou bod . ]

'(

-•• < i@ < • < i@ – 1 •i < i@ < i < i@ –

T tiva má velikost 16. P íklad 52

Napište rovnici te ny paraboly = < •; < i= < *i

Obecnou rovnici p evedeme na vrcholovou rovnici. = < i= =<

=<

•; 1 *i

•; 1 *i 1 i • ;1†

Bod dotyku T dosadíme do rovnice te ny paraboly. =® < e ‰ = < e i<

‰ =<

<•= 1 *

;1 =1ˆ

;„ < d 1

;
† †1† 1† ;1† *… 1 †; 1 ‡

- 50 -

@ ˆ•

v jejím bod dotyku ƒ

*•

8†
P íklad 53

Najd te rovnici te ny paraboly ; < •; < …= < Š

Vypo ítáme druhou sou adnici bodu T.

Š < • ‰ Š < …= < Š …=

, je-li dán bod dotyku ƒ

i‡ < i < Š

=

Obecnou rovnici p evedeme na vrcholovou rovnici. ; < •;

…= 1 Š

;<†

…= 1 Š 1 ‡

;<†

… =1

Bod dotyku T dosadíme do rovnice te ny paraboly. ;„ < d ‰ ; < d

Š<† ‰ ;<†

i

i; < *

=® < e 1 1

=<e

1i =1

… 1 i= 1 …

;<=<Š

P íklad 54

…; te nu rovnob žnou s p ímkou †; < = 1 ˆ

Ve te k parabole =

Rovnice te ny je †; < = 1 ¡ †; 1 ¡

=

†; 1 ¡

. ešíme soustavu rovnic s neznámou c.

…;

‡; 1 •¡; 1 ¡

…;

‡; 1 •¡ < … ; 1 ¡

Diskriminant této rovnice musí být roven nule, aby p ímka byla te nou paraboly. •¡ < …



†•¡ < ‡•¡ 1 •i < †•¡

¡

•i ‡•

†

Dosadíme za c do rovnice te ny a dostaneme te nu o rovnici ‡; < †= 1

- 51 -

8Š =„ :

5.9 Vzájemná poloha dvou kuželose ek P íklad 55

Ur ete vzájemnou polohu kuželose ek ; < †

1=

ešíme jako soustavu rovnic.

iˆ a ; < ‡

1 =<

ˆ

; < •; 1 ‡ 1 = < iˆ

; < *…; 1 …* 1 = < i= 1 i < ˆ ; 1 = < •; < †•

; 1 = < *…; < i= 1 •

<* ; < i= 1 ॠ=

i < †;

Neznámou y dosadíme do jedné z rovnic kuželose ek. 1=

iˆ

; < •; 1 ‡ 1 ˆŠ• < *ii; 1 ‡;

iˆ

;<†

;<†

1

i < †;

* ; < *ˆ ; 1 ˆi

iˆ

; < *ˆ; 1 ˆi

;

;

;<‡ ‰ ;<•

‡ ?=

i < †;

• ?=

i < †;

i<†‰‡

<†

i<†‰•

•

Kuželose ky mají dva spole né body '

P íklad 56

8‡ <†: a (

Ur ete pr se íky kuželose ek ; 1 = <

ˆ

8• •:.

a = < *•;

ešíme soustavu rovnic. Vyjád íme neznámou z rovnice paraboly a dosadíme do rovnice

kružnice.

=

*•;

; 1= <

; 1 *•; <

ˆ

ˆ

;1 ˆ ‰ ;<‡

Ko en ;

< ˆ ¯ nevyhovuje, ko en ;

Kuželose ky mají 2 spole né body

=

‡.

=

*• ‰ ‡

u*

8‡ * : a h - 52 -

*ii 8‡ <* :

P íklad 57 Ur ete pr se íky kuželose ek

Ž‘ Y

1

’‘

* a = < *•;

§

Ur ete délku spole né t tivy.

ešíme soustavu rovnic. Vyjád íme neznámou z rovnice paraboly a dosadíme do rovnice elipsy. =

*•;

; *•; 1 * … †

*

i; 1 *•;

; 1 i; < †

* …

;1… ‰ ;
Ko en ;

<… ¯ nevyhovuje, ko en ;

i.

=

=

*• ‰ i

u…

8i …: a h

Kuželose ky mají 2 spole né body

Délku t tivy ur íme jako vzdálenost bod MN.

]

h

j e
Délka t tivy je 16.

Ur ete pr se íky kuželose ek =

; ˆ

*•;

<

*•; *•

; < ˆ; < ˆ

«„„

’‘

<

ª„„

ˆ, ko en ;

<

* a = < *•;

nevyhovuje. =

=

Kuželose ky mají 2 spole né body 2

*• ‰ ˆ u

8 ˆ

:a

Rovnici spojnice ur íme pomocí obecné rovnice.

9°


1 <… < …

? e±°

i

i ;1 =1¡

i ‰ ˆ1

‰

1¡

- 53 -

i 8 ˆ<

@ ˆ•

*•

Ur ete rovnici jejich spojnice.

*

;< ˆ ‰ ;1

Ko en ;

Ž‘

8i <…:.

j i
1 e
P íklad 58

•i

:

i ;<*

- 54 -

¡

<*

;

ˆ

Záv r Hlavním cílem bakalá ské práce bylo podání pohledu na problematiku kuželose ek.

Celou práci jsem rozd lil na dv

ásti, a to na ást teoretickou a na ást praktickou.

Teoretickou ást jsem rozd lil do ty kapitol. V první kapitole jsem vysv tlil, že kuželose ky jsou rovinné k ivky a vznikají jako pr nik roviny s rota ní kuželovou plochou. V druhé kapitole jsem se zabýval jednotlivými typy kuželose ek, uvedl jejich definici a popsal jejich vlastnosti. Z vlastností by m l tená pochopit, že kružnice, elipsa a hyperbola jsou st edové kuželose ky, nebo jsou soum rné podle st edu soum rnosti. Parabola nemá st ed soum rnosti, a proto bývá ozna ována jako nest edová kuželose ka. V kapitole jsou popsány konstrukce každé kuželose ky. Ve t etí kapitole jsem uvedl rovnice kuželose ek. U každé kuželose ky jsem odvodil st edovou, resp. vrcholovou rovnici kuželose ky. Rovnice kuželose ek jsou uvedeny pro kuželose ky, jejichž osy jsou rovnob žné s osami kartézské soustavy sou adnic.

tvrtá kapitola je zam ena na ur ování vzájemné polohy kuželose ky

a p ímky, resp. dvou kuželose ek. Na za átku této kapitoly jsem popsal postup pro ur ení vzájemné polohy na základ

ešení soustavy rovnic. Dále vysv tlil pojmy se na, te na,

nese na. Praktická ást je t žišt m této práce. Celá kapitola obsahuje sadu ešených p íklad . V p íkladech ze zadání ur ujeme st edové, vrcholové a obecné rovnice. Provádíme p evody mezi rovnicemi. Hledáme st ed, ohniska, hlavní vrcholy, ídicí p ímku a další vlastnosti kuželose ek. Ur ujeme polohu bodu a p ímky vzhledem ke kuželose ce a vzájemnou polohu dvou kuželose ek. Pro grafické zpracování jsem použil software GeoGebra. Všechny obrázky (mimo jednoho) jsem vytvo il pomocí tohoto programu. S rozvojem po íta , interaktivních tabulí a interaktivních projektor je tento program vhodným pomocníkem pro u itele a žáky p i výuce geometrie i matematiky na všech typech škol.

- 55 -

Seznam literatury 1. HODA OVÁ, Jitka, David NOCAR a Vladimír VAN K. Konstruk ní geometrie I: Kuželose ky. 1. vyd. Olomouc: VUP, 2005, 84 s. ISBN 132 80-244-1091-5. 2. HR ZA, Bohuslav a Hana MRHA OVÁ. Cvi ení z algebry a geometrie. 2. dopl. vyd. Brno: VUT, 1990, 183 s. ISBN 80-214-0230-X. 3. HUDCOVÁ, Milada, Libuše KUBI ÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2006, 415 s. U ebnice pro st ední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6318-6. 4. LÁVI KA, Miroslav. Kuželose ky [online]. Zápodo eská univerzita [cit. 2013-03-12]. Dostupné z WWW: . 5. POLÁK, Josef. P ehled st edoškolské matematiky. dotisk 6.vyd. Praha: Prometheus, 1995, 608 s. ISBN 80-858-4978-X. 6. SEDLÁ EK, Miloš, Dana ŠALOUNOVÁ a Ji í VRBICKÝ. Lineární algebra. 1. vyd. Ostrava: Vysoká škola bá ská, 1994, 212 s. ISBN 80-707-8227-7.

- 56 -

Seznam obrázk Obr. 1: Kuželose ky Obr. 2: Kuželose ky v osovém ezu kuželové plochy Obr. 3: Základní pojmy kružnice Obr. 4: Základní pojmy elipsy Obr. 5: Bodová konstrukce elipsy Obr. 6: Konstrukce st ed hyperoskula ních kružnic Obr. 7: Základní pojmy hyperboly Obr. 8: Bodová konstrukce hyperboly Obr. 9: Konstrukce asymptot Obr. 10: Základní pojmy paraboly Obr. 11: Bodová konstrukce paraboly Obr. 12: Odvození st edové rovnice kružnice Obr. 13: Odvození st edové rovnice elipsy Obr. 14: Elipsa (b Obr. 15: Elipsa (b

;

=

Obr. 16: Odvození st edové rovnice hyperboly Obr. 17: Hyperbola b Obr. 18: Hyperbola b

;

=

Obr. 19: Odvození rovnice paraboly

Obr. 20: Parabola otev ená doprava b Obr. 21: Parabola otev ená doleva b

Obr. 22: Parabola otev ená nahoru b Obr. 23: Parabola otev ená dol

Obr. 24: Vnit ní oblast kružnice

b

=

;

;

=

Obr. 25: Vnit ní oblast elipsy Obr. 26: Vnit ní oblast hyperboly Obr. 27: Vnit ní oblast paraboly Obr. 28: Vzájemná poloha elipsy a p ímky

- 57 -

Seznam použitých symbol '(

bod ' (

¦

p ímka

² ³

úhel ² ³

0•X 4

'(

W

b =

5

6

¦

bod

leží na p ímce

bod

neleží na p ímce

konvexní úhel •X

body

jsou pr se íky kružnic

velikost úse ky '( polop ímka

8d e:

s vrcholem L a rameny v polop ímkách LK, LM

kružnice bod

(polop ímka s po átkem

se st edem

a polom rem

se sou adnicemi d e

p ímka b je rovnob žná s p ímkou =

- 58 -

a vnit ním bodem

Seznam p íloh P íloha . 1: Grafické zpracování ešených úloh

- 59 -

P íloha . 1: Grafické zpracování ešených úloh P íklad 1

P íklad 2

P íklad 3

P íklad 4

P íklad 5

P íklad 6

P íklad 7

P íklad 8

P íklad 9

P íklad 10

P íklad 11

P íklad 12

Nemá ešení

P íklad 13

P íklad 14

P íklad 15

P íklad 16

P íklad 17

P íklad 18

P íklad 19

P íklad 20

P íklad 21

P íklad 22

P íklad 23

P íklad 24

P íklad 25

P íklad 26

P íklad 27

P íklad 28

P íklad 29

P íklad 30

P íklad 31

P íklad 32

P íklad 33

P íklad 34

P íklad 35

P íklad 36

P íklad 37

P íklad 38

P íklad 39

P íklad 40

P íklad 41

P íklad 42

P íklad 43

P íklad 44

P íklad 45

P íklad 46

P íklad 47

P íklad 48

P íklad 49

P íklad 50

P íklad 51

P íklad 52

P íklad 53

P íklad 54

P íklad 55

P íklad 56

P íklad 57

P íklad 58

ANOTACE Jméno a p íjmení:

Martin Krbec

Katedra:

Katedra matematiky

Vedoucí práce:

Mgr. David Nocar, Ph.D.

Rok obhajoby:

2013

Název práce:

Analytická geometrie kuželose ek

Název v angli tin :

Analytic geometry of conic sections

Anotace práce:

Hlavním cílem této bakalá ské práce je podat pohled na problematiku kuželose ek. Obsahem je analytický p ístup ke studiu kuželose ek. Pojem kuželose ky je spole ný název pro kružnici, elipsu, hyperbolu a parabolu. Teoretická ást je zam ena na popis jejich vlastností, rovnice kuželose ek, vzájemnou polohu kuželose ky s p ímkou nebo jinou kuželose kou. Praktická ást obsahuje sadu ešených p íklad , kde by si m l tená ov it, zda správn pochopil teoretickou ást a dokáže aplikovat teoretické znalosti p i ešení praktických p íklad .

Klí ová slova:

Kuželose ky, elipsa, kružnice, hyperbola, parabola

Anotace v angli tin :

The main objective of this thesis is to provide a perspective on the issue of conics. It contains analytical approach to the study of conics. The term conic is a common name for a circle, ellipse, hyperbola and parabola. The theoretical part is focused on a description of their characteristics, equations, a relative position of a line or a different conic. The practical part contains a set of exercises where a reader should verify correct theoretical understanding and that is able to apply theoretical knowledge to solving practical examples.

Klí ová slova v angli tin :

Conic sections, ellipse, circle, hyperbola, parabola

P ílohy vázané v práci:

Grafické zpracování ešených úloh Anotace

Rozsah práce: Jazyk práce:

59 eský