Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita

Petr Liˇ ska

Konstruktivn´ı geometrie

Brno 2014

Tato publikace vznikla za pˇrispˇen´ı Evropského sociáln´ıho fondu ˇ a státn´ıho rozpoˇctu CR prostˇrednictv´ım Operaˇcn´ıho programu Vzdˇeláván´ı pro konkurenceschopnost v rámci projektu Pr˚ uˇrezová inovace studijn´ıch program˚ u Lesnické a dˇrevaˇrské fakulty MENDELU v Brnˇe (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇcného základu (CZ.1.07/2.2.00/28.0021).

Kapitola 1 ´ Uvod do konstruktivn´ı geometrie 1.1

Planimetrie

Planimetrie je ˇca´st geometrie pojednávaj´ıc´ı o vzájemn´ ych vztaz´ıch rovinn´ ych geometrick´ ych u ´tvar˚ u a jako taková je prob´ıraná na stˇredn´ı ˇskole, zopakujeme proto jen nˇekteré základn´ı pojmy a vlastnosti. Základn´ı u ´tvary (prvky) roviny jsou bod a pˇr´ımka, v prostoru k nim pˇribude rovina. Body budeme znaˇcit velk´ ymi p´ısmeny, pˇr´ımky mal´ ymi p´ısmeny a roviny mal´ ymi p´ısmeny ˇrecké abecedy. ´ základn´ıch u U ´tvar˚ u je d˚ uleˇzitá jejich vzájemná poloha. Máme-li u ´tvary stejného druhu, napˇr. pˇr´ımky a, b, tak ty mohou b´ yt bud’ totoˇzné (spl´ yvaj´ıc´ı), znaˇc´ıme a ≡ b, nebo r˚ uzné, znaˇc´ıme a 6≡ b. Nemáme-li u ´tvary stejného druhu, napˇr. bod A a pˇr´ımka a, tak ty jsou bud’ incidentn´ı, znaˇc´ıme A ∈ a (ˇr´ıkáme, ˇze bod A leˇz´ı na pˇr´ımce a nebo pˇr´ımka a procház´ı bodem A), nebo v opaˇcném pˇr´ıpadˇe nejsou incidentn´ı, znaˇc´ıme A 6∈ a. Plat´ı, ˇze dva r˚ uzné body urˇcuj´ı pˇr´ımku, nebo-li dvˇema r˚ uzn´ ymi body procház´ı ’ právˇe jedna pˇr´ımka. Dvˇe r˚ uzné pˇr´ımky v rovinˇe mohou m´ıt bud jeden spoleˇcn´ y bod, tzv. pr˚ useˇc´ık, v tomto pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze jsou r˚ uznobˇeˇzné, a nebo nemaj´ı ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod a ˇr´ıkáme, ˇze jsou rovnobˇeˇzné (znaˇc´ıme a k b). Pˇripomeˇ nme, ˇze jedn´ım bodem lze vést k dané pˇr´ımce právˇe jednu rovnobˇeˇzku. Libovoln´ y bod na pˇr´ımce rozdˇeluje tuto pˇr´ımku na dvˇe navzájem opaˇcné polopˇr´ımky. Máme-li dva body A, B na pˇr´ımce, takové, ˇze A 6≡ B, pak pr˚ unikem polopˇr´ımek AB a BA je u ´seˇcka AB. Pˇr´ımka dˇel´ı rovinu na dvˇe navzájem opaˇcné poloroviny a je jejich spoleˇcnou hranic´ı. Bod neleˇz´ıc´ı na pˇr´ımce je vnitˇrn´ım bodem jedné z polorovin. Polorovinu s hraniˇcn´ı pˇr´ımkou AB a vnitˇrn´ım bodem M oznaˇcujeme jako polorovinu ABM . Dvˇe r˚ uzné polopˇr´ımky V A a V B dˇel´ı rovinu na dva u ´hly AV B. Bod V naz´ yváme vrchol u ´hlu, polopˇr´ımky V A, V B ramena. Nejsou-li polopˇr´ımky V A, V B opaˇcné, pak jeden u ´hel je pr˚ unikem polorovin V AB a V BA a naz´ yvá se konvexn´ı u ´hel 1 AV B (znaˇc´ıme <) AV B). Druh´ y u ´hel vznikne sjednocen´ım polorovin opaˇcn´ ych k polorovinám V AB, V BA a naz´ yvá se nekonvexn´ı u ´hel AV B. Jsou-li polopˇr´ımky opaˇcné, je 1

Obecnˇe se geometrick´ yu ´tvar naz´ yvá konvexn´ı, právˇe kdyˇz u ´seˇcka s krajn´ımi body v libovoln´ ych dvou bodech u ´tvaru je celá souˇcást´ı tohoto u ´tvaru.

1

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

bc bc

A

bc

B

bc

bc bc

B bc

bc

V bc

bc

A

bc

bc

V

(a)

(b)

Obrázek 1.1: Konvexn´ı a nekonvexn´ı u ´hel kaˇzd´ y z obou u ´hl˚ u AV B u ´hel pˇr´ımý. Jsou-li polopˇr´ımky V A a V B spl´ yvaj´ıc´ı urˇcuj´ı jak nulový u ´hel (nemá ˇza´dné vnitˇrn´ı body), tak u ´hel plný, jehoˇz vnitˇrn´ı body jsou vˇsechny body roviny vyjma bod˚ u na polopˇr´ımce V A. Dva konvexn´ı u ´hly AV B, AV C, které maj´ı spoleˇcné rameno V A a ramena V B a V C jsou navzájem opaˇcné polopˇr´ımky, se naz´ yvaj´ı uhly vedlejˇs´ı. Dva konvexn´ı u ´hly AV B, CV D, jejichˇz ramena V A, V D a ramena V B, V C jsou navzájem opaˇcné polopˇr´ımky, se naz´ yvaj´ı u ´hly vrcholové. Pravý u ´hel je takov´ yu ´hel, kter´ y ke shodn´ y se sv´ ym vedlejˇs´ım u ´hlem. Konvexn´ı u ´hel, kter´ y je menˇs´ı neˇz prav´ y se naz´ yvá ostrý u ´hel, konvexn´ı u ´hel vˇetˇs´ı neˇz prav´ y se naz´ yvá tupý u ´hel. A bc

C

bc

A

bc

bc

V bc

B

D

bc

bc

C

(a)

bc

V

bc

B

(b)

Vzd´ alenost´ı dvou bod˚ u A, B rozum´ıme velikost u ´seˇcky AB, znaˇc´ıme |AB|. Odchylkou dvou r˚ uznobˇeˇzných pˇr´ımek rozum´ıme velikost ostrého nebo pravého u ´hlu, kter´ y pˇr´ımky sv´ıraj´ı. Sv´ıraj´ı-li dvˇe r˚ uznobˇeˇzné pˇr´ımky prav´ y u ´hel, ˇr´ıkáme ˇze jsou navzájem kolmé a naz´ yváme je kolmicemi. Jejich pr˚ useˇc´ık se naz´ yvá pata kolmice. Plat´ı, ˇze k dané pˇr´ımce lze dan´ ym bodem vést právˇe jednu kolmici. Vzd´ alenost´ı bodu A od pˇr´ımky p rozum´ıme délku u ´seˇcky AP , kde P je pata kolmice vedené z bodu A na pˇr´ımku P . Vzd´ alenost´ı dvou rovnobˇeˇzek a, b rozum´ıme vzdálenost libovolného bodu A ∈ a od pˇr´ımky b. Na závˇer uved’me definici dˇel´ıc´ıho pomˇeru. Definice 1.1. Necht’ A, B, C jsou tˇri navzájem r˚ uzné body na pˇr´ımce. Dˇelic´ım pomˇerem λC bodu C vzhledem k bod˚ um A, B je reálné ˇc´ıslo, jehoˇz absolutn´ı hodnoty rovnu pod´ılu vzdálenost´ı |AC| a |BC|, tj. |λC | = 2

|AC| , |BC|

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE pˇriˇcemˇz toto ˇc´ıslo je kladné, nen´ı-li bod C bodem u ´seˇcky AB, a je záporné, je-li bod C vnitˇrn´ı bod u ´seˇcky AB. Je-li tedy bod C napˇr´ıklad stˇredem u ´seˇcky AB, pak plat´ı λC = −1. Mnoˇ ziny vˇ sech bod˚ u dan´ ych vlastnost´ı Pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh v konstruktivn´ı geometrii se ˇcasto uˇz´ıvá mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti, ˇc´ımˇz rozum´ıme takovou mnoˇzinu, ˇze kaˇzd´ y jej´ı bod má jistou vlastnost a ˇze tato mnoˇzina obsahuje vˇsechny body dané vlastnosti. Mezi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı patˇr´ı následuj´ıc´ı mnoˇziny. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u roviny, které maj´ı od daného pevného bodu S roviny konstantn´ı vzdálenost r > 0 je kruˇznice k se stˇredem S a polomˇerem r, zapisujeme k(S, r). Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı od dvou r˚ uzn´ ych bod˚ u A, B stejné vzdálenosti, je osa u ´seˇcky AB. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı od dvou r˚ uznobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek a, b stejnˇe velké vzdálenosti, jsou osy o1 , o1 u ´hl˚ u, které tyto r˚ uznobˇeˇzky sv´ıraj´ı. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı od dané pˇr´ımky p danou vzdálenost r > 0, jsou dvˇe r˚ uzné pˇr´ımky p1 , p2 rovnobˇeˇzné s p, které maj´ı od pˇr´ımky p vzdálenost r. Necht’ je dána u ´seˇcka AB. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u X, pro které plat´ı, ˇze <) AXB je ◦ prav´ y (tj. |<) AXB| = 90 ), je tzv. Thaletova kruˇznice opsaná nad u ´seˇckou AB jako pr˚ umˇerem. X bc

bc

p1

X

r S bc

bc

A

bc

p bc

o1

B

r

p2 bc

o

o2

X

Obrázek 1.2: Základn´ı mnoˇziny vˇsech bod˚ u dané vlastnosti Thaletova kruˇznice je speciáln´ım pˇr´ıpadem obecnˇejˇs´ı mnoˇziny: Necht’ je dána u ´seˇcka AB. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u X, které leˇz´ı v jedné z polorovin urˇcen´ ych pˇr´ımkou AB a pro které plat´ı |<) AXB| = ω, kde ω je dan´ y u ´hel |AB| (0 < ω < π) je kruhov´ y oblouk AXB o polomˇeru r = 2 sin ω bez krajn´ıch bod˚ u A, B. Konstrukce tohoto oblouku plyne z obrázku 1.3. Pˇripomeˇ nme, ˇze teˇcnou kruˇznice rozum´ıme pˇr´ımku, která má s kruˇznic´ı jedin´ y spoleˇcn´ y bod, tzv. bod dotyku. Nav´ıc plat´ı, ˇze teˇcna kruˇznice je kolmá k pˇr´ımce, která spojuje bod dotyku se stˇredem kruˇznice. Konstrukce 1.2. Necht’ je dána kruˇznice k(S, r) a jej´ı vnˇejˇs´ı bod P . Sestrojte teˇcny z bodu P ke kruˇznici k. 3

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE X bc

X′

Th

bc

ω

bc bc

bc

A

S

bc

B

SAB

o bc

A

bc

B

ω

bc

X

Obrázek 1.3: Thaletova kruˇznice a kruhov´ y oblouk jako mnoˇzina vˇsech bod˚ u dané vlastnosti ˇ sen´ı. Uhel, ´ Reˇ kter´ y sv´ırá hledaná teˇcna a spojnice stˇredu kruˇznice s bodem dotyku, je prav´ y. Staˇc´ı tedy sestrojit Thaletovu kruˇznici nad pr˚ umˇerem SP , pr˚ useˇc´ıky T , T ′ Thaletovy kruˇznice a zadané kruˇznice k jsou body dotyku hledan´ ych teˇcen. Pˇr´ımky ′ P T a P T jsou hledané teˇcny.

Th T bc

k

bc

bc

S

bc

SP T

P

bc

T′

Obrázek 1.4: Teˇcny z bodu ke kruˇznici Pˇri nˇekter´ ych konstrukc´ıch potˇrebujeme znát délku kruhového oblouku, pˇr´ıpadné délku celé kruˇznice, jde u ´lohou naz´ yvanou rektifikace. Konstrukce 1.3 (Sobotkova rektifikace). Urˇcete délku kruhového oblouku AB na kruˇznici k(S, r). ˇ sen´ı. Sestroj´ıme u Reˇ ´seˇcku, která bude m´ıt pˇribliˇznˇe stejnou délku, jako dan´ y oblouk. Od bodu A naneseme na polopˇr´ımku AS délku 3r, z´ıskáme tak bod R. V bodˇe A 4


t B′ bc

bc

B bc

bc

S bc

R

A

k

Obrázek 1.5: Sobotkova rektifikace sestroj´ıme teˇcnu t kruˇznice k. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky BR s teˇcnou t je bod B ′ . Délka u ´seˇcky ′ AB je hledaná délka oblouku AB. Poznamenejme, ˇze ta to konstrukce se vˇetˇsinou pouˇz´ıvá pˇri rektifikaci oblouku, kterému odpov´ıdá stˇredov´ yu ´hel 30◦ , pˇriˇcemˇz délku oblouku zjist´ıme s chybou maximálnˇe 0, 0002r. Konstrukce 1.4 (Kochaˇ nského rektifikace). Urˇcete délku p˚ ulkruˇznice omezené pr˚ umˇerem AB kruˇznice k(S, r).

P

T

bc

bc

bc

R

t 30◦ bc

bc

bc

A

B

S

bc

T′

k

Obrázek 1.6: Kochaˇ nského rektifikace

ˇ sen´ı. Sestroj´ıme u Reˇ ´seˇcku, která bude m´ıt stejnou délku jako daná p˚ ulkruˇznice. ′ Sestroj´ıme kolm´ y pr˚ umˇer T T k pr˚ umˇeru AB. V bodˇe T sestroj´ıme teˇcnu t kruˇznice k. Sestroj´ıme pˇr´ımku sv´ıraj´ıc´ı u ´hel 30◦ s pˇr´ımkou ST , tato pˇr´ımka protne teˇcnu t v bodˇe P . Na polopˇr´ımku P T naneseme od bodu P vzdálenost 3r, dostaneme tak bod R. Délka u ´seˇcky RT ′ je pˇribliˇznˇe rovna délce dané p˚ ulkruˇznice. Pˇri této pˇribliˇzné konstrukci zjist´ıme délku daného oblouku s chybou 0, 00012r. 5


1.2

Kˇ rivky v rovinˇ e

Velmi ˇcasto je rovinná kˇrivka definována jako dráha, kterou bod probˇehne pˇri spojitém pohybu v rovinˇe. Tato definice sebou pˇrináˇs´ı jisté obt´ıˇze, jelikoˇz takto definovaná kˇrivka obsahuje nˇekteré nehezké body z hlediska chován´ı teˇcny této kˇrivky. Kromˇe bodu, v kterém kˇrivka prot´ıná sama sebe, se jedná o bod vratu a bod lomu, viz obrázek 1.7.

t1 bc

bc

bc

bc

Z

V

t

t2

(a) Bod vratu

(b) Bod lomu

Obrázek 1.7: Body na kˇrivce

Definice 1.5. Rovinnou kˇrivkou budeme rozumˇet dráhu, kterou probˇehne bod pˇri spojitém pohybu v rovinˇe a která sama sebe neprot´ıná a neobsahuje body vratu ani body lomu. Empirickými kˇrivkami rozum´ıme takové rovinné ˇca´ry, u kter´ ych nen´ı znám jejich v´ ytvarn´ y zákon (tj. jsou v´ıceménˇe náhodné). Typick´ ym pˇr´ıkladem empirick´ ych kˇrivek jsou vrstevnice na mapˇe. Teˇcnou t rovinné kˇrivky c v bodˇe T budeme rozumˇet spojnici bodu T s bodem ′ T , kter´ y je k bodu T soumezn´ y, tj. nekoneˇcnˇe bl´ızk´ y.2 Kolmice k teˇcnˇe t v bodˇe T se naz´ yvá norm´ alou n kˇrivky c. Ukáˇzeme si nˇekolik konstrukc´ı, které nám umoˇzn´ı sestrojit teˇcnu a normálu empirické kˇrivky. Konstrukce 1.6. V daném bodˇe T empirické rovinné kˇrivky c sestrojte jej´ı teˇcnu t. ˇ sen´ı. Zvolme libovolnou kruˇznici k, která má stˇred v bodˇe T a polomˇer r. SeReˇ stroj´ıme pomocnou kˇrivku l, která protne kruˇznici k v pr˚ useˇc´ıku X hledané teˇcny s kruˇznic´ı k. Teˇcna tak bude urˇcena body T a X. V okol´ı bodu A zvol´ıme na kˇrivce c nˇekolik libovoln´ ych bod˚ u a spoj´ıme je s bodem T (vznikne tak tzv. svazek pˇr´ımek o stˇredu T ). Od zvolen´ ych bod˚ u naneseme na pˇr´ımky vzdálenost r (tj. polomˇer zvolené kruˇznice). Spojnic´ı takto vznikl´ ych bod˚ u ′ je kˇrivka l, která prot´ıná kruˇznici k v bodech X a X , které leˇz´ı na hledané teˇcnˇe (staˇcila by tedy jen jedna ˇca´st kˇrivky l). Konstrukce 1.7. Z daného bodu P sestrojte teˇcnu t k dané empirické rovinné kˇrivce c. 2

Takto pojatá teˇcna má bl´ızko k definici teˇcny ke grafu funkce. Teˇcny kuˇzeloseˇcek, které budeme definovat pozdˇeji, jsou teˇcnami i v tomto smyslu.

6


X

k

bc bc bc

bc bc bc bc

T bc

bc

bc

l

X′ bc

bc

c

Obrázek 1.8: Teˇcna empirické kˇrivky t

P bc

T bc

bc

bc bc bc bc

bc

bc bc

bc

bc

bc

bc

bc

l

bc

Obrázek 1.9: Teˇcna z bodu k empirické kˇrivce ˇ sen´ı. V bodˇe P sestroj´ıme nˇekolik pˇr´ımek, které danou kˇrivku c prot´ınaj´ı (jsou Reˇ jej´ımi seˇcnami). Sestroj´ıme stˇredy tˇetiv, které tyto pˇr´ımky vyt´ınaj´ı na kˇrivce c. Spojnice tˇechto stˇred˚ u je kˇrivka l, spoleˇcn´ y bod kˇrivek l a c je bod dotyku T hledané teˇcny t. Pˇr´ımka P T je tedy hledaná teˇcna. Konstrukce 1.8. K dané empirické kˇrivce c sestrojte jej´ı normálu n procházej´ıc´ı bodem P (P 6∈ c). ˇ sen´ı. Sestroj´ıme nˇekolik soustˇredn´ Reˇ ych kruˇznic se stˇredem v bodˇe P a polomˇery volen´ ymi tak, aby kruˇznice prot´ınaly kˇrivku c pobl´ıˇz hledané paty normály. Urˇc´ıme stˇredy takto vznikl´ ych kruhov´ ych oblouk˚ u. Spojnice tˇechto stˇred˚ u je kˇrivka l, která prot´ıná kˇrivku c v bodˇe N , kter´ y je patou hledané normály n. Normála je tak urˇcena body P N . Dalˇs´ı praktickou dovednost´ı je práce s délkou ˇca´sti kˇrivky. 7


P bc

t n N bc

bc bc

bc bc

bc bc

bc

bc

bc bc

bc

bc

c

Obrázek 1.10: Normála empirické kˇrivky Konstrukce 1.9. Urˇcete délku kˇrivky c mezi body A a B. ˇ sen´ı. Nejjednoduˇsˇs´ım zp˚ Reˇ usobem je nahrazen´ı dané ˇca´sti kˇrivky lomenou ˇcarou, jej´ıˇz vrcholy leˇz´ı na dané kˇrivce a strany maj´ı co moˇzná nejmenˇs´ı délku. Délka této lomené ˇca´ry je pˇribliˇznˇe rovna délce dané ˇca´sti kˇrivky.

1.3

Stereometrie

V této ˇca´sti si pˇripomeneme nˇekteré d˚ uleˇzité pojmy a vlastnosti t´ ykaj´ıc´ı se základn´ıch u ´tvar˚ u v prostoru. Jako jiˇz dˇr´ıve plat´ı, ˇze dva r˚ uzné body urˇcuj´ı právˇe jednu pˇr´ımku, zaj´ımavˇejˇs´ı je to ovˇsem se vzájemnou polohou dvou pˇr´ımek. Podobnˇe jako v rovinˇe se dvˇe pˇr´ımky, které maj´ı spoleˇcn´ y bod, naz´ yvaj´ı r˚ uznobˇeˇzky. Leˇz´ı-li dvˇe pˇr´ımky v jedné rovinˇe a nemaj´ı ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod, naz´ yvaj´ı se rovnobˇeˇzky (spl´ yvaj´ıc´ı pˇr´ımky budeme téˇz naz´ yvat rovnobˇeˇzkami). Dvˇe pˇr´ımky, které neleˇz´ı v téˇze rovinˇe (a nemaj´ı tedy ani ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod) se naz´ yvaj´ı mimobˇeˇzky. Rovina je jednoznaˇcnˇe urˇcena tˇremi r˚ uzn´ ymi body, které neleˇz´ı na jedné pˇr´ımce pˇr´ımkou a bodem, kter´ y na n´ı neleˇz´ı dvˇema r˚ uznobˇeˇzkami dvˇema nespl´ yvaj´ıc´ımi rovnobˇeˇzkami 8


c bc

A bc bc

B

1 bc bc

8

2 bc bc

3

7 bc bc bc

4 bc

A

6

5

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

1

2

3

4

5

6

7

8

B

Obrázek 1.11: Rektifikace empirické kˇrivky Dvˇe r˚ uzné roviny se bud’ prot´ınaj´ı v jediné pˇr´ımce, tzv. pr˚ useˇcnici, a nebo jsou rovnobˇeˇzné. Vzájemnou polohu tˇr´ı r˚ uzn´ ych rovin ilustruje obrázek 1.12. Plat´ı, ˇze ke kaˇzdé pˇr´ımce lze vést bodem, kter´ y na n´ı neleˇz´ı, právˇe jednu pˇr´ımku, která je s n´ı rovnobˇeˇzná. Obdobnˇe pro rovinu plat´ı, ˇze ke kaˇzdé rovinˇe lze vést bodem, kter´ y v n´ı neleˇz´ı, právˇe jednu rovinu rovnobˇeˇznou, tj. jedn´ım bodem lze vést nekoneˇcnˇe mnoho pˇr´ımek rovnobˇeˇzn´ ych s danou rovinou. Nˇekteré dalˇs´ı vlastnosti rovnobˇeˇznosti jsou shrnuty v následuj´ıc´ıch vˇetách. Vˇ eta 1.10. Pˇr´ımka p je rovnobˇeˇzn´ a s rovinou ̺ (nebo téˇz rovina ̺ je rovnobˇeˇzn´ a s pˇr´ımkou p), jestliˇze existuje pˇr´ımka q, q ∈ ̺ takov´ a, ˇze p k q. Znaˇc´ıme p k ̺ (̺ k p). Vˇ eta 1.11. Rovina σ je rovnobˇeˇzn´ a s rovinou ̺, jestliˇze v rovinˇe σ existuj´ı dvˇe r˚ uznobˇeˇzky p, q takové, ˇze p k ̺ a q k ̺. Vˇ eta 1.12. Pˇr´ımka p je rovnobˇeˇzn´ a se dvˇema r˚ uznobˇeˇznými rovinami ̺, σ, jestliˇze je rovnobˇeˇzn´ a s jejich pr˚ useˇcnic´ı r. V následuj´ıc´ım se zamˇeˇr´ıme na metrické vztahy v prostoru, tj. u ´hly, kolmost a vzdálenost. ´ Uhlem dvou pˇr´ımek v prostoru rozum´ıme u ´hel rovnobˇeˇzek s dan´ ymi pˇr´ımkami veden´ ymi libovoln´ ym bodem v prostoru, podobnˇe jako v rovinˇe vol´ıme jen ten u ´hel, kter´ y nen´ı vˇetˇs´ı neˇz prav´ y. Dvˇe pˇr´ımky naz´ yváme kolmé (kolmice), jestliˇze je jejich u ´hel v prostoru prav´ y. ´ Uhel dvou r˚ uznobˇeˇzných rovin ̺ a σ je roven u ´hlu pˇr´ımek p ∈ ̺ a q ∈ σ, které jsou kolmé k pr˚ useˇcnici dan´ ych rovin a procházej´ı libovoln´ ym bodem pr˚ useˇcnice. Roviny naz´ yváme kolmé, jestliˇze je jejich u ´hel prav´ y. ´ Uhel pˇr´ımky p s rovinou ̺ je u ´hel, kter´ y sv´ırá daná pˇr´ımka p a pˇr´ımka q, v n´ıˇz rovina σ proloˇzená pˇr´ımkou q kolmo k rovinˇe ̺ prot´ıná danou rovinu ̺. Jako obvykle ˇrekneme, ˇze pˇr´ımka je kolm´ a k rovinˇe (kolmice k rovinˇe), jestliˇze u ´hel, kter´ y sv´ıraj´ı je prav´ y. Patou kolmice naz´ yváme pr˚ useˇc´ık kolmice s rovinou. 9


Obrázek 1.12: Vzájemná poloha tˇr´ı rovin Vˇ eta 1.13. Bodem v prostoru proch´ az´ı pr´ avˇe jedna kolmice k dané rovinˇe a obr´ acenˇe bodem prostoru proch´ az´ı pr´ avˇe jedna rovina kolm´ a k pˇr´ımce. Pˇr´ımkou, kter´ a je kolm´ a k dané rovinˇe, proch´ az´ı nekoneˇcnˇe mnoho rovin kolmých k této rovinˇe, pˇr´ımkou, kter´ a nen´ı kolm´ a, proch´ az´ı pr´ avˇe jedna rovina kolm´ a k dané rovinˇe. Zˇrejmˇe plat´ı, ˇze je-li pˇr´ımka kolmá k dané rovinˇe, je kolmá ke vˇsem pˇr´ımkám této roviny. V rozhodován´ı o kolmosti u ´tvar˚ u v prostoru jsou d˚ uleˇzitá tzv. kritéria kolmosti. Vˇ eta 1.14. Pˇr´ımka je kolm´ a k rovinˇe, pr´ avˇe kdyˇz je kolm´ a ke dvˇema r˚ uznobˇeˇzk´ am leˇz´ıc´ıch v dané rovinˇe. Vˇ eta 1.15. Dvˇe roviny jsou k sobˇe kolmé, pr´ avˇe kdyˇz jedna z nich obsahuje pˇr´ımkou kolmou k druhé. Vzd´ alenost bodu od pˇr´ımky a vzdálenost dvou rovnobˇeˇzných pˇr´ımek definujeme stejnˇe jako v planimetrii. Prostorové ˇreˇsen´ı u ´lohy urˇcen´ı vzdálenosti bodu A od pˇr´ımky p se vˇetˇsinou provád´ı tak, ˇze bodem A proloˇz´ıme rovinu ̺ kolmou k pˇr´ımce p a urˇc´ıme pr˚ useˇc´ık P pˇr´ımky p a roviny ̺. Hledaná vzdálenost je tak délka u ´seˇcky AP . Vzd´ alenost bodu od roviny je vzdálenost bodu od paty kolmice spuˇstˇené z daného bodu na danou rovinu. Vzd´ alenost dvou rovnobˇeˇzných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé.

1.4

Kuˇ zeloseˇ cky

V této se seznám´ıme se základn´ımi poznatky o elipse, hyperbole a parabole, které se spolu s kruˇznic´ı souhrnnˇe naz´ yvaj´ı kuˇzeloseˇcky. Název je odvozen od toho faktu, ˇze 10


̺

σ p

p

σ bc

q

̺

bc

q

´ Obrázek 1.13: Uhel dvou rovin a u ´hel pˇr´ımky a roviny vˇsechny tyto kˇrivky m˚ uˇzeme sestrojit jako pr˚ useˇcné kˇrivky vhodné roviny a rotaˇcn´ı kuˇzelové plochy. Jako prvn´ı uvedeme elipsu, které se téˇz budeme vˇenovat nejv´ıce, jelikoˇz obrazem kruˇznice v obecné poloze pˇri rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı je právˇe elipsa.

1.4.1

Elipsa

Definice 1.16. Elipsa je mnoˇzina vˇsech bod˚ u roviny, které maj´ı od dvou dan´ ych r˚ uzn´ ych pevn´ ych bod˚ u stejn´ y souˇcet vzdálenost´ı vˇetˇs´ı neˇz vzdálenost dan´ ych bod˚ u. Oba pevné body z pˇredchoz´ı definice se naz´ yvaj´ı ohniska a obvykle se znaˇc´ı F1 , ´ cky F1 M a F2 M se naz´ F2 . Useˇ yvaj´ı pr˚ uvodiˇce bodu M . Oznaˇcme souˇcet pr˚ uvodiˇc˚ u 2a. Naneseme-li od stˇredu S u ´seˇcky F1 F2 na polopˇr´ımky SF1 a SF2 vzdálenost a, dostaneme body A a B, které leˇz´ı na elipse3 . Tyto body jsou body nejvˇetˇs´ıho zakˇriven´ı elipsy a naz´ yvaj´ı se hlavn´ı vrcholy. Pr˚ useˇc´ıky kruˇznic k1 (F1 , a) a k2 (F2 , a) jsou zˇrejmˇe dalˇs´ı dva body C, D na elipse, v tˇechto bodech má elipsa nejmenˇs´ı zakˇriven´ı a naz´ yvaj´ı se vedlejˇs´ı vrcholy. Vzdálenost |SC|, resp. |SD|, se obvykle oznaˇcuje b. Konstrukce 1.17. Sestrojte body na elipse, jsou li dána jej´ı ohniska a souˇcet pr˚ uvodiˇc˚ u jej´ıch bod˚ u. ˇ sen´ı. Oznaˇcme ohniska F1 , F2 a necht’ stál´ Reˇ y souˇcet pr˚ uvodiˇc˚ u se rovná velikosti u ´seˇcky M N . Zvol´ıme-li na u ´seˇcce P Q bod O, pak z definice elipsy plyne, ˇze kaˇzd´ y spoleˇcn´ y bod M kruˇznice m1 opsané kolem F1 s polomˇerem r1 = |P O| a kruˇznice m2 opsané kolem F2 s polomˇerem r2 = |OQ| je bodem elipsy. Z pˇredchoz´ı konstrukce plyne, ˇze elipsa je soumˇerná podle dvou os. Jednou osou je pˇr´ımka AB, která se naz´ yvá hlavn´ı osa elipsy, a druhou je pˇr´ımka CD, která se 3

Plat´ı totiˇz |F1 A| + |F2 A| = |F1 A| + |F1 B| = |AB| = 2a, tedy bod A leˇz´ı na elipse, podobnˇe pro bod B.

11


bc

P

r1 bc

2a

O

o2

m2

C

M1

m1

Q

r2

bc

bc

m′2 M1′

bc

m′1

bc

a b e bc

A

bc

S

bc

bc

F1

F2

bc

M2

bc

D

o1 bc

B

bc

M2′

Obrázek 1.14: Elipsa naz´ yvá vedlejˇs´ı osa elipsy. Osy jsou vzájemnˇe kolmé a jejich pr˚ useˇc´ıkem je bod S, podle kterého je tak elipsy stˇredovˇe soumˇerná. Bod S se naz´ yvá stˇred elipsy. Vzdálenost |SA| = |SB| = a se naz´ yvá délka hlavn´ı poloosy, vzdálenost |SC| = |SD| = b se naz´ yvá délka vedlejˇs´ı poloosy. Vzdálenost ohnisek od stˇredu se obvykle znaˇc´ı e a naz´ yvá se excentricita. V elipse plat´ı, d´ıky Pythagorovˇe vˇetˇe v pravo´ uhlém troj´ uheln´ıku F SC, mezi tˇemito tˇremi vzdálenostmi vztah a2 = b 2 + e 2 . V okol´ı vrchol˚ u m˚ uˇzeme elipsu nahradit kruˇznicov´ ymi oblouky, které jsou ˇca´st´ı tzv. hyperoskulaˇcn´ıch kruˇznic. Konstrukce 1.18. Sestrojte hyperoskulaˇcn´ı kruˇznice elipsy urˇcené vrcholy. ˇ sen´ı. Máme-li vrcholy elipsy, máme i jej´ı osy a stˇred. Doplˇ Reˇ nme troj´ uheln´ık ASC na obdéln´ık ASCH. Pak kolmice vedená vrcholem H k pˇr´ımce AC protne osy elipsy právˇe ve stˇredech SA a SC hyperoskulaˇcn´ıch kruˇznic ve vrcholech A a C. Stˇredy SB a SD jsou soumˇernˇe sdruˇzené k bod˚ um SA a SC podle stˇredu elipsy. Elipsy dˇel´ı rovinu na vnitˇrn´ı a vnˇejˇs´ı oblast. Vnitˇrn´ı oblast je ta, která obsahuje ohniska elipsy. ´ Uhel tvoˇren´ y polopˇr´ımkami M F1 , M F2 , kter´ y obsahuje stˇred elipsy, a pˇr´ısluˇsn´ y ´ vrcholov´ yu ´hel se naz´ yvaj´ı vnitˇrn´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u. Uhly vedlejˇs´ı k vnitˇrn´ım u ´hl˚ um jsou vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u. Pˇr´ımka m˚ uˇze m´ıt s elipsou spoleˇcné dva r˚ uzné body, je jej´ı seˇcnou, nebo má spoleˇcn´ y jeden bod a je jej´ı teˇcnou, spoleˇcn´ y bod teˇcny a elipsy se naz´ yvá dotykový bod. Nemá-li teˇcna ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod, naz´ yvá se vnˇejˇs´ı pˇr´ımka elipsy. Jednoduch´ y návod, jak sestrojit teˇcnu elipsy v jej´ım obecném bodˇe, podává následuj´ıc´ı vˇeta. 12


SD bc

H bc

C bc

bc

S

bc

bc

bc

SA

A

bc

SB

B

bc

D SC bc

Obrázek 1.15: Hyperoskulaˇcn´ı kruˇznice elipsy Vˇ eta 1.19. Teˇcna elipsy p˚ ul´ı vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u dotykového bodu. Nav´ıc jeˇstˇe plat´ı, ˇze pr˚ useˇc´ıkem teˇcny t a pˇr´ımky F2 Q, kde Q je bod symetrick´ y s bodem F1 podle teˇcny t, je bod dotyku T teˇcny t. t

C bc

Q bc

T bc

bc

A

bc

S

bc

F1

bc

F2

bc

B

bc

D

Obrázek 1.16: Teˇcna elipsy v jej´ım bodˇe Dalˇs´ı d˚ uleˇzité a konstrukˇcnˇe vyuˇzitelné vlastnosti popisuj´ı dvˇe následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 1.20. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u soumˇernˇe sdruˇzených s jedn´ım ohniskem elipsy podle jej´ıch teˇcen je kruˇznice se stˇredem v druhém ohnisku a polomˇerem 2a. Pozn´ amka 1.21. Jelikoˇz má elipsa dvˇe ohniska, existuj´ı dvˇe kruˇznice q1 (F1 , 2a) a q2 (F2 , 2a) z pˇredchoz´ı vˇety, tyto kruˇznice se naz´ yvaj´ı ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice elipsy. 13

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Vˇ eta 1.22. Mnoˇzina vˇsech pat kolmic spuˇstˇených z ohnisek elipsy na jej´ı teˇcny je kruˇznice se stˇredem ve stˇredu elipsy a polomˇerem a. Pozn´ amka 1.23. Kruˇznice z pˇredchoz´ı vˇety tedy zˇrejmˇe procház´ı hlavn´ı vrcholy elipsy a naz´ yvá se vrcholová kruˇznice elipsy. Konstrukce 1.24. K elipse urˇcené ohnisky F1 , F2 a délkou hlavn´ı poloosy a sestrojte teˇcny, které procházej´ı vnˇejˇs´ım bodem elipsy R. r

q Q1 bc

a t1

T1 bc

R bc

bc

bc

S bc

F1

F2 bc

T2

bc

Q2

t2

Obrázek 1.17: Teˇcny k elipse ˇ sen´ı. Zˇrejmˇe budou existovat dvˇe teˇcny t1 , t2 elipsy. Body Q1 , Q2 soumˇernˇe Reˇ sdruˇzené k ohnisku F2 podle teˇcen t1 , t2 leˇz´ı na ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznici q(F1 , 2a). Nav´ıc tyto body leˇz´ı i na kruˇznici r(R, |RF2 |) a m˚ uˇzeme tak body Q1 a Q2 sestrojit. Teˇcna t1 je pak osou u ´seˇcky F2 Q1 a teˇcna t2 je osa u ´seˇcky F2 Q2 . Nav´ıc m˚ uˇzeme urˇcit i bod dotyku T1 teˇcny t1 jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky t1 s u ´seˇckou F1 Q1 , podobnˇe bod dotyku T2 teˇcny t2 je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky t2 s u ´seˇckou F1 Q2 . Pˇri zobrazován´ı kruˇznice bude hrát d˚ uleˇzitou roli i následuj´ıc´ı konstrukce, tzv. prouˇzková konstrukce elipsy. Konstrukce 1.25. Urˇcete délku vedlejˇs´ı poloosy elipsy, jsou-li dány jej´ı hlavn´ı vrcholy A, B a bod M na elipse. ˇ sen´ı. Pˇr´ımka AB je hlavn´ı osou o1 elipsy, vedlejˇs´ı osa o2 je tedy osa u Reˇ ´seˇcky AB. 1 ′ Kruˇznice k(M, 2 |AB|) protne osu o2 v bodech 1, 1 . Pˇr´ımka urˇcená body M a 1, resp. M a 1′ , protne hlavn´ı osu o1 v bodech 2, resp. 2′ . Délka u ´seˇcky M 2, resp. M 2′ , je délka vedlejˇs´ı poloosy. 14

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE o2 1 bc

k bc

bc

M

b bc

S

bc

A

b o1

bc

bc

bc

B

2′

2

1′

bc

bc

Obrázek 1.18: Prouˇzková konstrukce elipsy Pozn´ amka 1.26. Název pˇredchoz´ı konstrukce je odvozen od toho, ˇze vezmeme-li prouˇzek pap´ıru a na nˇej vyznaˇc´ıme body 1, 2, M , resp. 1′ , 2′ , M , tak, ˇze |1M | = a, |2M | = b a |12| = a−b, resp. |1′ M | = a, |2′ M | = b a |1′ 2′ | = a+b, pak pohybujeme-li t´ımto prouˇzkem tak, ˇze bod 1, resp. 1′ , z˚ ustává na vedlejˇs´ı ose elipsy a bod 2, resp. ′ 2 , z˚ ustává na hlavn´ı ose elipsy, pak bod M opisuje elipsu s délkami poloos a a b.

1′ bc

a C bc

C bc

M bc

a bc

A

bc

bc

S

M

b

b bc

2 bc

bc

bc

B

A

bc

bc

S

bc

2′

B

1

bc

bc

D

D

Obrázek 1.19: Prouˇzková konstrukce elipsy Kaˇzdá u ´seˇcka, jej´ıˇz krajn´ı body jsou na elipse, se naz´ yvá tˇetiva elipsy, kaˇzdá tˇetiva elipsy, která procház´ı stˇredem elipsy, je jej´ı pr˚ umˇer. Dva pr˚ umˇery takové, ˇze teˇcny v koncovém bodˇe jednoho pr˚ umˇeru jsou rovnobˇeˇzné s druh´ ym pr˚ umˇerem se naz´ yvaj´ı sdruˇzené pr˚ umˇery. V následuj´ıc´ı konstrukci, tzv. pˇr´ıˇckové konstrukci elipsy, si ukáˇzeme dalˇs´ı rychlou metodu, jak z´ıskávat body na elipse, která je dána dvojic´ı sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u. 15

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Konstrukce 1.27. Naleznˇete dalˇs´ı body elipsy dané sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery M N a P Q. ˇ sen´ı. Pr˚ Reˇ useˇc´ık S u ´seˇcek M N a P Q je stˇredem elipsy. Utvoˇrme rovnobˇeˇzn´ık SN OQ. Rozdˇelme u ´seˇcku SQ body U1 , U2 , . . . na stejné d´ılky, podobnˇe se rozdˇel´ı body V1 , V2 , . . . u ´seˇcka OQ na stejn´ y poˇcet shodn´ ych d´ılk˚ u. Pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek M U1 a N V1 je bod X1 , kter´ y je bodem na elipse, podobnˇe z´ıskáme i dalˇs´ı body. Celou konstrukci m˚ uˇzeme zopakovat i ve zbyl´ ych ˇca´stech elipsy.

bc bc

X3 bc

bc

bc

M bc

V2

V3

Q bc

bc

V1

bc

bc

bc

O

X2

U3

U2

X1 bc

U1

bc bc

S

N

bc

P

Obrázek 1.20: Pˇr´ıˇcková konstrukce elipsy Pozn´ amka 1.28. Osy elipsy jsou také zároveˇ n sdruˇzené pr˚ umˇery a pˇredchoz´ı konstrukce se tak dá pouˇz´ıt i pro elipsu danou osami.

1.4.2

Hyperbola

Definice 1.29. Hyperbola je mnoˇzina vˇsech bod˚ u roviny, které maj´ı od dvou dan´ ych pevn´ ych bod˚ u stejn´ y rozd´ıl vzdálenost´ı menˇs´ı neˇz vzdálenost dan´ ych bod˚ u. Podobnˇe jako u elipsy se oba pevné body naz´ yvaj´ı ohniska a budeme je obvykle ´ znaˇcit F1 , F2 . Useˇcky F1 M a F2 M se naz´ yvaj´ı pr˚ uvodiˇce a jejich rozd´ıl znaˇc´ıme 2a. Vrcholy A, B hyperboly dostaneme tak, ˇze od stˇredu S u ´seˇcky F1 F2 naneseme na 4 polopˇr´ımky SF1 , SF2 vzdálenost a. Z definice hyperboly plyne konstrukce jej´ıch bod˚ u. Konstrukce 1.30. Sestrojte body na hyperbole, jsou-li dána jej´ı ohniska F1 , F2 a rozd´ıl pr˚ uvodiˇc˚ u jej´ıch bod˚ u 2a. ˇ sen´ı. Sestrojme vrcholy hyperboly A, B (leˇz´ı na pˇr´ımce F1 F2 ve vzdálenosti a od Reˇ stˇredu S u ´seˇcky F1 F2 ). Zvolme na pˇr´ımce F1 F2 pomocn´ y bod O vnˇe u ´seˇcky F1 F2 . Pr˚ useˇc´ıky kruˇznic m1 (F1 , |AO|) a m2 (F2 , |BO|) jsou body hyperboly. 16

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE 2a

P bc

bc

Q

u1

bc

u2

M H′

H bc

bc

m′1

m1

bc

bc

SA

α bc

F1

A

α bc

S

bc

B

bc

F2

bc

SB m′2

m2

Obrázek 1.21: Hyperbola Z pˇredchoz´ı konstrukce plyne, ˇze hyperbola je symetrická podle dvou os, pˇr´ımka AB je hlavn´ı osa o1 hyperboly, pˇr´ımka o2 kolmá k pˇr´ımce o1 a procházej´ıc´ı bodem S je vedlejˇs´ı osa hyperboly, bod S se naz´ yvá stˇred hyperboly a hyperbola je podle nˇej stˇredovˇe soumˇerná. Vzdálenost |SA| = |SB| = a se naz´ yvá délka hlavn´ı poloosy. Vzdálenost ohnisek od stˇredu se naz´ yvá výstˇrednost hyperboly a znaˇc´ı se e. Vedlejˇs´ı osa nemá ˇza´dné spoleˇcné body s hyperbolou, ale pˇresto se uvád´ı délka vedlejˇs´ı poloosy b, pro kterou plat´ı e 2 = a2 + b 2 . Charakteristický troj´ uheln´ık hyperboly je pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık SAH, jehoˇz odvˇesny maj´ı délku a, b a pˇrepona má délku e. Podle definice hyperboly plat´ı pro jej´ı kaˇzd´ y bod M vztah ||F1 M | − |F2 M || = 2a. To znamená, ˇze je bud’ |F1 M | − |F2 M | = 2a v pˇr´ıpadˇe, ˇze je |F1 M | > |F2 M |, nebo |F2 M | − |F1 M | = 2a v pˇr´ıpadˇe, ˇze je |F2 M | > |F1 M |. Hyperbola se tedy skládá ze dvou disjunktn´ıch ˇca´st´ı, které se naz´ yvaj´ı vˇetve hyperboly. Vˇetve hyperboly se neomezenˇe bl´ıˇz´ı ke dvˇema pˇr´ımkám u1 , u2 , které pocházej´ı stˇredem hyperboly a od jej´ı hlavn´ı osy maj´ı odchylku α, pro niˇz plat´ı tg α = ab . Tyto pˇr´ımky se naz´ yvaj´ı asymptoty hyperboly, zároveˇ n si m˚ uˇzeme vˇsimnout, ˇze jsou to pˇr´ımky, na kter´ ych leˇz´ı pˇrepona charakteristického troj´ uheln´ıku. 4

Napˇr. pro bod A plat´ı ||F2 A| − |F1 A|| = ||F2 A| − |F2 B|| = |AB| = 2a.

17

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE V okol´ı vrchol˚ u nahrazujeme hyperbolu, které jsou souˇca´st´ı tzv. hyperoskulaˇcn´ıch kruˇznic. Stˇred SA hyperoskulaˇcn´ı kruˇznice ve vrcholu A z´ıskáme jako pr˚ useˇc´ık hlavn´ı osy o1 a kolmice k asymptotˇe u1 bodem H. Bod SB je pak symetrick´ y podle bodu S. Hyperbola dˇel´ı rovinu na tˇri ˇca´sti. Dvˇe ˇca´sti, které obsahuj´ı ohniska hyperboly tvoˇr´ı jej´ı vnitˇrn´ı oblast, tˇret´ı ˇca´st, která obsahuje stˇred je jej´ı vnˇejˇs´ı oblast. Je-li bod M bodem hyperboly, pak u ´hel F1 M F2 a k nˇemu pˇr´ısluˇsn´ y vrcholov´ yu ´hel se naz´ yvaj´ı vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u. Vedlejˇs´ı u ´hly vnˇejˇs´ıch u ´hl˚ u se naz´ yvaj´ı vnitˇrn´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u. Pˇr´ımka m˚ uˇze m´ıt s hyperbolou spoleˇcné dva r˚ uzné body, jeden bod, nebo ˇza´dn´ y bod. Má-li pˇr´ımka spoleˇcné dva r˚ uzné body, nebo jeden bod a zároveˇ n obsahuje vnitˇrn´ı i vnˇejˇs´ı bod hyperboly (tj. je rovnobˇeˇzná s asymptotou), naz´ yváme ji seˇcnou hyperboly. Má-li pˇr´ımka jeden spoleˇcn´ y bod s hyperbolou a vˇsechny jej´ı ostatn´ı body jsou vnˇejˇs´ı body hyperboly, naz´ yváme ji teˇcnou. V pˇr´ıpadˇe, ˇze nemá pˇr´ımka s hyperbolou ˇza´dné spoleˇcné body, jedná se o vnˇejˇs´ı pˇr´ımku hyperboly. Pro teˇcnu hyperboly plat´ı následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 1.31. Teˇcna hyperboly p˚ ul´ı vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u dotykového bodu.

bc

T

Q bc

bc

bc

bc

S

F1

F2

Obrázek 1.22: Teˇcna hyperboly Podobnˇe jako u elipsy se daj´ı zformulovat vˇety o ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznici a vrcholové kruˇznici hyperboly. Vˇ eta 1.32. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u soumˇernˇe sdruˇzených s jedn´ım ohniskem hyperboly podle jej´ıch teˇcen je kruˇznice se stˇredem v druhém ohnisku a polomˇerem 2a. Vˇ eta 1.33. Mnoˇzina vˇsech pat kolmic spuˇstˇených z ohnisek hyperboly na jej´ı teˇcny je kruˇznice se stˇredem ve stˇredu hyperboly a polomˇerem a.

1.4.3

Parabola

Definice 1.34. Parabola je mnoˇzina vˇsech bod˚ u roviny, které maj´ı stejnou vzdálenost od daného bodu F a dané pˇr´ımky d, pˇriˇcemˇz F ∈ / d. 18

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Bod F se naz´ yvá ohnisko paraboly, pˇr´ımka d ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka paraboly. Vzdálenost ohniska od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky se naz´ yvá parametr paraboly a obvykle se znaˇc´ı p. Pr˚ uvodiˇce bodu M paraboly jsou u ´seˇcky M F , M Q, kde Q je pata kolmice vedené bodem M na pˇr´ımku d. Stˇred V u ´seˇcky F O, kde O je pata kolmice z bodu F na pˇr´ımku D je zˇrejmˇe bodem paraboly a naz´ yvá se vrchol. d M

Q bc

bc

b

k

r bc

bc

O V

bc

F

bc

bc

SV r

bc

M′

Obrázek 1.23: Parabola Konstrukce 1.35. Sestrojte body na parabole, je-li dáno jej´ı ohnisko F a ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka d, v(F, d) = p. ˇ sen´ı. Vyuˇzijeme definice paraboly. Sestroj´ıme-li kruˇznici k(F, r) dostaneme mnoˇzinu Reˇ bod˚ u, která má od bodu F vzdálenost r. Na rovnobˇeˇzce m s ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımkou d v polorovinˇe urˇcené bodem F a ve vzdálenosti r, leˇz´ı body, které maj´ı danou vzdálenost r od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky. Podle definice tedy body spoleˇcné kruˇznici k a pˇr´ımce m jsou body paraboly. Poznamenejme, ˇze aby kruˇznice a pˇr´ımka mˇely spoleˇcn´ y alespoˇ n jeden bod, p mus´ı platit r ≥ 2 . Z pˇredchoz´ı konstrukce plyne, ˇze parabola je symetrická podle pˇr´ımky o, která je kolmá k pˇr´ımce d a procház´ı bodem F , tato pˇr´ımka se naz´ yvá osa paraboly. V okol´ı vrcholu m˚ uˇzeme parabolu nahradit ˇca´st´ı hyperoskulaˇcn´ı kruˇznice. Polomˇer oskulaˇcn´ı kruˇznice je roven parametru p paraboly. ˇ ast obsahuj´ıc´ı ohnisko se naz´ Parabola dˇel´ı rovinu na dvˇe ˇca´sti. C´ yvá vnitˇrn´ı oblast, druhá ˇca´st se naz´ yvá vnˇejˇs´ı oblast. Je-li M bod paraboly a u ´seˇcky M F , M Q jeho pr˚ uvodiˇce, pak u ´hel F M Q a pˇr´ısluˇsn´ y vrcholov´ y u ´hel se naz´ yvaj´ı vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u bodu M . Vedlejˇs´ı u ´hly k tˇemto u ´hl˚ um se naz´ yvaj´ı vnitˇrn´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u bodu M . Pˇr´ımka je seˇcnou paraboly, obsahuje-li jak vnitˇrn´ı, tak vnˇejˇs´ı body. Seˇcna prot´ıná parabolu bud’ ve dvou bodech, nebo je rovnobˇeˇzná s osou paraboly a prot´ıná ji v jednom bodˇe. Teˇcna paraboly je pˇr´ımka, která má s parabolou spoleˇcn´ y jeden bod 19

´ KAPITOLA 1. UVOD DO KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE a vˇsechny ostatn´ı body jsou vnˇejˇs´ı body paraboly, spoleˇcn´ y bod T teˇcny a paraboly se naz´ yvá dotykový bod. Pˇr´ımka, která se nemá s parabolou ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod, se naz´ yvá vnˇejˇs´ı pˇr´ımka paraboly. Pro teˇcny paraboly plat´ı následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 1.36. Teˇcna paraboly p˚ ul´ı vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u dotykového bodu.

t

d bc

Q

T bc

b

bc

V

bc

F

Obrázek 1.24: Teˇcna paraboly Podobn´ y v´ yznam jako ˇr´ıd´ıc´ı a vrcholová kruˇznice u elipsy, resp. hyperboly, maj´ı u paraboly ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka a teˇcna ve vrcholu paraboly. Vˇ eta 1.37. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u soumˇernˇe sdruˇzených s ohniskem paraboly podle jej´ıch teˇcen je ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımka paraboly. Vˇ eta 1.38. Mnoˇzina vˇsech pat kolmic vedených z ohniska paraboly k jej´ım teˇcn´ am je teˇcna ve vrcholu paraboly.

20

Kapitola 2 Prom´ıt´ an´ı a jeho z´ akladn´ı vlastnosti 2.1

Princip prom´ıt´ an´ı

Prom´ıt´ an´ı je zobrazen´ı prostoru na nˇejakou plochu, nejˇcastˇeji na rovinu. Pˇripomeˇ nme, ˇze zobrazen´ım rozum´ıme pˇredpis, kter´ y kaˇzdému prvku nˇejaké mnoˇziny pˇriˇrazuje právˇe jeden prvek jiné mnoˇziny. Prom´ıtán´ı je abstrakc´ı procese vidˇen´ı a je tedy moˇzné pomoc´ı nˇej dosáhnout znaˇcné názornosti. Princip prom´ıtán´ı na rovinu je následuj´ıc´ı. V prostoru zvol´ıme rovinu π, tzv. pr˚ umˇetnu, a bod S, S 6∈ π, tzv. stˇred prom´ıt´ an´ı. ′ K libovolnému bodu A v prostoru, A 6= S, sestroj´ıme jeho stˇredový pr˚ umˇet A jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky SA, tzv. prom´ıtac´ı pˇr´ımky sA bodu A, s rovinou π. Prom´ıtán´ı, které je urˇceno pr˚ umˇetnou a stˇredem prom´ıtán´ı, se naz´ yvá stˇredové prom´ıt´ an´ı. sB

sA bc

A

sA

A bc

bc

A′

sB

s

S

bc

B′ A′

π

bc bc

bc

bc

B′

π

B bc

(a)

B

(b)

Posuneme-li bod S do nekoneˇcna“, tj. m´ısto stˇredu prom´ıtán´ı S budeme m´ıt ” pˇr´ımku s (s 6k π), tzv. smˇer prom´ıt´ an´ı, budou vˇsechny prom´ıtac´ı pˇr´ımky vzájemnˇe rovnobˇeˇzné. Pr˚ useˇc´ık prom´ıtac´ı pˇr´ımky sA bodu A s pr˚ umˇetnou π bude rovnobˇeˇzný pr˚ umˇet bodu A. Prom´ıtán´ı, které je urˇceno pr˚ umˇetnou a smˇerem prom´ıtán´ı, se naz´ yvá rovnobˇeˇzné prom´ıt´ an´ı. Je-li nav´ıc smˇer prom´ıtán´ı kolm´ y, naz´ yvá se prom´ıtán´ı pravo´ uhlé, nen´ı-li smˇer prom´ıtán´ı kolm´ y, naz´ yvá se prom´ıtán´ı koso´ uhlé. Pr˚ umˇetem geometrického u ´tvaru rozum´ıme mnoˇzinu pr˚ umˇet˚ u vˇsech jeho bod˚ u. 21

´ Í A JEHO ZAKLADN ´ Í VLASTNOSTI KAPITOLA 2. PROMÍTAN Geometrickému u ´tvaru sloˇzenému z prom´ıtac´ıch pˇr´ımek bod˚ u nˇejakého u ´tvaru ˇr´ıkáme prom´ıtac´ı u ´tvar. Tak napˇr´ıklad pˇri rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı je prom´ıtac´ım u ´tvarem pˇr´ımky, která nen´ı rovnobˇeˇzná se smˇerem prom´ıtán´ı, rovina, tzv. prom´ıtac´ı rovina pˇr´ımky. Pr˚ umˇety bod˚ u zobrazujeme na nákresnˇe, tou je napˇr´ıklad rovina tabule nebo rovina v´ ykresu. Pr˚ umˇet bodu zobrazen´ y na nákresnˇe se naz´ yvá obraz bodu. Pokud prom´ıtáme na jednu pr˚ umˇetnu, ztotoˇzn´ıme obvykle nákresnu s pr˚ umˇetnou a pak nerozliˇsujeme pr˚ umˇety a obrazy bod˚ u. V pˇr´ıpadˇe, ˇze prom´ıtáme na r˚ uzné pr˚ umˇetny, ztotoˇzn´ıme nákresnu s jednou z pr˚ umˇeten. Protoˇze vˇsechny pr˚ umˇety zobraz´ıme na jedinou nákresnu, je nutné pr˚ umˇet a obraz rozliˇsit. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vlastnost vˇsech prom´ıtán´ı udává následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 2.1. Prom´ıt´ an´ı zachováv´ a incidenci. Tj. obecnˇe plat´ı, ˇze je-li bod bodem geometrického u ´tvaru, leˇz´ı pr˚ umˇet bodu na pr˚ umˇetu geometrického u ´tvaru.

2.2

Vlastnosti rovnobˇ eˇ zn´ eho prom´ıt´ an´ı

Zˇrejmˇe kaˇzd´ ym bodem A v prostoru procház´ı jediná pˇr´ımka rovnobˇeˇzná se smˇerem prom´ıtán´ı. Protoˇze tato pˇr´ımka nen´ı rovnobˇeˇzná s pr˚ umˇetnou prot´ıná ji v jednom ′ bodˇe A . Pokud leˇz´ı bod v pr˚ umˇetnˇe, je totoˇzn´ y se sv´ ym pr˚ umˇetem. Pˇri prom´ıtán´ı pˇr´ımky mohou nastat dva pˇr´ıpady. Je-li pˇr´ımka rovnobˇeˇzná se smˇerem prom´ıtán´ı, pak vˇsechny prom´ıtac´ı pˇr´ımky jej´ıch bod˚ u splynou s touto pˇr´ımkou a pr˚ umˇetem takovéto pˇr´ımky je jej´ı pr˚ useˇc´ık s pr˚ umˇetnou. Nen´ı-li pˇr´ımka rovnobˇeˇzná se smˇerem prom´ıtán´ı, pak prom´ıtac´ı pˇr´ımky vˇsech jej´ıch bod˚ u vytvoˇr´ı rovinu, která je r˚ uznobˇeˇzná s pr˚ umˇetnou, a pr˚ umˇetem takovéto pˇr´ımky je pr˚ useˇcnice této roviny s pr˚ umˇetnou. a

sB

b

s

sA

bc

s

A bc

B′ a′ bc

b′

π

(a)

A′

κb

B

P

bc bc

bc

π

(b)

Pˇri prom´ıtán´ı roviny opˇet rozliˇs´ıme dva pˇr´ıpady. Je-li rovina rovnobˇeˇzná se smˇerem prom´ıtán´ı, splynou prom´ıtac´ı roviny vˇsech jej´ıch pˇr´ımek s touto rovinou a pr˚ umˇetem roviny bude jej´ı pr˚ useˇcnice s pr˚ umˇetnou. Pr˚ umˇetem ostatn´ıch rovin je celá pr˚ umˇetna. M˚ uˇzeme tedy pˇrehlednˇe shrnout: 22

´ Í A JEHO ZAKLADN ´ Í VLASTNOSTI KAPITOLA 2. PROMÍTAN Vˇ eta 2.2. Rovnobˇeˇzným pr˚ umˇetem bodu je bod. Vˇ eta 2.3. Rovnobˇeˇzným pr˚ umˇetem pˇr´ımky rovnobˇeˇzné se smˇerem prom´ıt´ an´ı je bod, rovnobˇeˇzným pr˚ umˇetem pˇr´ımky, kter´ a nemá smˇer prom´ıt´ an´ı, je pˇr´ımka. Vˇ eta 2.4. Rovnobˇeˇzným pr˚ umˇetem roviny, kter´ a je rovnobˇeˇzn´ a se smˇerem prom´ıt´ an´ı, je pˇr´ımka. Rovnobˇeˇzným pr˚ umˇetem roviny, kter´ a nemá smˇer prom´ıt´ an´ı, je cel´ a pr˚ umˇetna. Dvˇe nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vlastnosti rovnobˇeˇzného prom´ıtán´ı jsou následuj´ıc´ı: 1. Rovnobˇeˇzné prom´ıt´ an´ı zachováv´ a rovnobˇeˇznost.

Vˇ eta 2.5.

2. Rovnobˇeˇzné prom´ıt´ an´ı zachováv´ a pomˇer délek u ´seˇcek, které leˇz´ı na téˇze pˇr´ımce, resp. na rovnobˇeˇzných pˇr´ımk´ ach. Pozn´ amka 2.6. M˚ uˇzeme tedy jednoduˇse ˇr´ıct, ˇze rovnobˇeˇzné prom´ıtán´ı zachovává rovnobˇeˇznost a dˇel´ıc´ı pomˇer. Pod´ıváme-li se speciálnˇe na dvˇe rovnobˇeˇzné pˇr´ımky, mohou nastat celkem tˇri situace. Maj´ı-li pˇr´ımky smˇer prom´ıtán´ı, je jejich pr˚ umˇetem dvojice bod˚ u. Nemaj´ı-li smˇer prom´ıtán´ı, tak jejich pr˚ umˇety bud’ splynou (obˇe leˇz´ı v jedné prom´ıtac´ı rovinˇe) nebo jsou to dvˇe r˚ uznobˇeˇzné pˇr´ımky. b a

b s

s bc

κb

a bc

bc

A bc

B

A

κa

B b′ bc

bc

A′ bc

B′

A′ bc

π

(a)

B′ a′

(b) b

s

a bc

bc

a′ = b ′

B

κa = κb

A

bc

A′ = B ′

π

(c)

23

π

´ Í A JEHO ZAKLADN ´ Í VLASTNOSTI KAPITOLA 2. PROMÍTAN D˚ uleˇzit´ ym d˚ usledkem druhé vlastnosti je tvrzen´ı o stˇredu u ´seˇcky: Rovnobˇeˇzným pr˚ umˇetem stˇredu u ´seˇcky je stˇred jej´ıho pr˚ umˇetu. Pˇri rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı hraj´ı zvláˇstn´ı roli roviny, které jsou rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou, tzv. hlavn´ı roviny. Pro pr˚ umˇety u ´tvar˚ u, leˇz´ıc´ıch v hlavn´ıch rovinách plat´ı vˇeta: Vˇ eta 2.7. Rovnobˇeˇzným pr˚ umˇetem u ´tvaru, který leˇz´ı v hlavn´ı rovinˇe, je u ´tvar s n´ım shodný.

2.2.1

Vlastnosti pravo´ uhl´ eho prom´ıt´ an´ı

Bude-li nav´ıc platit, ˇze je smˇer prom´ıtán´ı kolm´ y k pr˚ umˇetnˇe, budeme m´ıt nˇekteré dalˇs´ı vlastnosti. Zˇrejmˇe bude pr˚ umˇetem u ´seˇcky, která je kolmá k pr˚ umˇetnˇe, bod a pr˚ umˇetem u ´seˇcky, která je s pr˚ umˇetnou rovnobˇeˇzná, u ´seˇcka stejné délky. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech m˚ uˇzeme pˇr´ımo urˇcit délku pr˚ umˇetu pomoc´ı goniometrie. Z pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku |AP | ′ ′ ABP plyne cos ϕ = |AB| a tedy |A B | = |AP | = |AB| cos ϕ, jelikoˇz je ϕ ∈ (0◦ , 90◦ ), tak 0 < cos ϕ < 1 a odtud |A′ B ′ | < |AB|. Dostáváme tak následuj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 2.8. Délka pravo´ uhlého pr˚ umˇetu u ´seˇcky, kter´ a nen´ı kolm´ a k pr˚ umˇetnˇe, je menˇs´ı nebo rovna délce této u ´seˇcky. a

sB

sB

sA

B

bc

sV s

s

B bc

sA b

¯ B bc

V

ϕ

b

bc

bc

A B′

a′ B ′

bc

bc

A

bc

A′

bc

b

ϕ

V′

bc

A′

bc

bc b

π

(a)

π

(b)

Posledn´ı vˇeta popisuje, kdy se dvˇe kolmé pˇr´ımky prom´ıtnou jako opravdu kolmé. Vˇ eta 2.9. Jestliˇze jedno rameno pravého u ´hlu je rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou a druhé rameno nen´ı k pr˚ umˇetnˇe kolmé, je pravo´ uhlým pr˚ umˇetem tohoto u ´hlu pravý u ´hel.

2.3

Vlastnosti stˇ redov´ eho prom´ıt´ an´ı

Stˇredové prom´ıtán´ı je technicky sloˇzitˇejˇs´ı, zvláˇst’ protoˇze nemá pˇekné vlastnosti jako prom´ıtán´ı rovnobˇeˇzné, tj. nezachovává se j´ım rovnobˇeˇznost ani dˇel´ıc´ı pomˇer. Na druhou stranu je správnˇe zvolené stˇredové prom´ıtán´ı dobr´ ym nahrazen´ım vidˇen´ı lidského oka a má tedy své uplatnˇen´ı. 24

´ Í A JEHO ZAKLADN ´ Í VLASTNOSTI KAPITOLA 2. PROMÍTAN

2.3.1

Vlastn´ı a nevlastn´ı u ´ tvary

Abychom mohli, podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe rovnobˇeˇzného prom´ıtán´ı, jednoduˇse popsat, jak funguje stˇredové prom´ıtán´ı, mus´ıme si zavést tzv. nevlastn´ı u ´tvary. Intuitivnˇe to m˚ uˇzeme provést napˇr´ıklad takto. Pˇredstavme si, pro jednoduchost, ˇze prom´ıtáme v rovinˇe z bodu S body pˇr´ımky p na pˇr´ımku p′ , viz obrázek xxx. Pak kaˇzd´ y bod ′ ′ M 6= V pˇr´ımky p má za pr˚ umˇet bod M pˇr´ımky p . V´ yjimku ˇcin´ı bod V , kter´ y nemá pr˚ umˇet, protoˇze leˇz´ı na pˇr´ımce q ′ k p′ . Obrácenˇe, kaˇzd´ y bod M ′ 6= U ′ je pr˚ umˇetem bodu M pˇr´ımky p. Bod U ′ nen´ı pr˚ umˇetem ˇza´dného bodu pˇr´ımky p, protoˇze leˇz´ı na pˇr´ımce q k p. Vˇsechny takovéto v´ yjimky by odpadly, kdybychom prohlásili, ˇze bod V se prom´ıtá do nˇejakého bodu“ pˇr´ımky p′ a podobnˇe, ˇze U ′ je pr˚ umˇetem nˇejakého ” bodu“ pˇr´ımky p. ” p′

M′

U′

q′

bc

bc

bc

q

S

p bc

bc

V

M

Otázkou tedy je, jak takov´ y bod“ naj´ıt. Vˇsimnˇeme si, ˇze jak se bod M vzdaluje ” od bodu V , tak se jeho pr˚ umˇet M ′ na pˇr´ımce p′ pˇribliˇzuje k bodu U ′ . To nás vede k názornˇe pˇredstavˇe, ˇze pˇr´ımka p má jedin´ y bod v nekoneˇcnu“, tzv. u ´bˇeˇzn´ y bod, ” ′ kter´ y znaˇc´ıme U∞ . Pˇr´ımka q k p prom´ıtá u ´bˇeˇzn´ y bod U∞ z S do bodu U a podobnˇe bod V se prom´ıtá pˇr´ımkou q ′ k p′ do u ´bˇeˇzného bodu V∞′ pˇr´ımky p′ . Z pˇredchoz´ıch u ´vah plyne, ˇze takto pojat´ y nevlastn´ı bod je spoleˇcn´ y vˇsem rovnobˇeˇzn´ ym pˇr´ımkám. Vˇsechny dosavadn´ı body, pˇr´ımky a roviny jsou tedy tzv. vlastn´ı u ´tvary (a nebude-li ˇreˇceno jinak, budeme bodem vˇzdy rozumˇet vlastn´ı bod, pˇr´ımkou vlastn´ı pˇr´ımku a rovinou vlastn´ı rovinou). Pro zaveden´ı nevlastn´ıch u ´tvar˚ u budeme m´ıt následuj´ıc´ı definici. Definice 2.10. Nevlastn´ı bod je mnoˇzina vˇsech spolu rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek, tj. smˇer. Nevlastn´ı pˇr´ımka je mnoˇzina vˇsech spolu rovnobˇeˇzn´ ych rovin. Nevlastn´ı rovina je mnoˇzina vˇsech nevlastn´ıch bod˚ u a nevlastn´ıch pˇr´ımek.

2.3.2

Pr˚ umˇ ety jednotliv´ ych prvk˚ u

Jak jsme jiˇz dˇr´ıve uvedli, stˇredové prom´ıtán´ı je urˇceno stˇredem prom´ıtán´ı S a pr˚ umˇetnou. Pˇri prom´ıtán´ı je d˚ uleˇzitá i tzv. stˇredov´ a rovina ϕ, která procház´ı stˇredem prom´ıtán´ı a je rovnobˇeˇzná s pr˚ umˇetnou. Pro stˇredové pr˚ umˇety základn´ıch prvk˚ u plat´ı následuj´ıc´ı. 25

´ Í A JEHO ZAKLADN ´ Í VLASTNOSTI KAPITOLA 2. PROMÍTAN Stˇredov´ y pr˚ umˇet bodu (vlastn´ıho i nevlastn´ıho), kter´ y neleˇz´ı ve stˇredové rovinˇe, je vlastn´ı bod. Stˇredov´ y pr˚ umˇet bodu, kter´ y leˇz´ı ve stˇredové rovinˇe (a je r˚ uzn´ y od S), je nevlastn´ı bod. Stˇredov´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky (vlastn´ı nebo nevlastn´ı), která nen´ı prom´ıtac´ı a neleˇz´ı (leˇz´ı) ve stˇredové rovinˇe, je vlastn´ı (nevlastn´ı) pˇr´ımka. Stˇredov´ y pr˚ umˇet prom´ıtac´ı pˇr´ımky, která neleˇz´ı (leˇz´ı) ve stˇredové rovinˇe, je vlastn´ı (nevlastn´ı) bod. Stˇredov´ y pr˚ umˇet prom´ıtac´ı roviny r˚ uzné od stˇredové roviny je vlastn´ı pˇr´ımka, stˇredov´ y pr˚ umˇet stˇredové roviny je nevlastn´ı pˇr´ımka. Stˇredov´ y pr˚ umˇet kaˇzdé jiné roviny je pr˚ umˇetna.

2.4

Afinita a kolineace

V konstruktivn´ı geometrii kromˇe jiˇz znám´ ych zobrazen´ı (r˚ uzn´ ych shodnost´ı a podobnost´ı) vyuˇzijeme i dvˇe nová zobrazen´ı, jedná se o osovou afinitu (struˇcnˇe afinitu) a stˇredovou kolineaci (struˇcnˇe kolineaci). Definice 2.11. Mˇejme dvˇe r˚ uznobˇeˇzné roviny ̺ a σ a pˇr´ımku s, která nen´ı rovnobˇeˇzná ani s jednou z nich. Oznaˇcme o pr˚ useˇcnici rovin ̺ a σ. Afinita se smˇerem afinity s a osou afinity o je zobrazen´ı, které pˇriˇrazuje 1. kaˇzdému bodu A roviny ̺ bod A roviny σ tak, ˇze pˇr´ımka AA je rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou s, 2. kaˇzdé pˇr´ımce a 6k o roviny ̺ pˇr´ımku a roviny σ tak, ˇze pˇr´ımky a, a se prot´ınaj´ı na pˇr´ımce o, kaˇzdé pˇr´ımce b k o roviny ̺ pˇr´ımku b k o roviny σ. O bodech A, A a pˇr´ımkách a, a, resp. b, b, ˇr´ıkáme, ˇze jsou afinnˇe sdruˇzené. Na ose afinity leˇz´ı body, které jsou sdruˇzeny samy se sebou. Afinn´ım obrazem mnoho´ uheln´ıku v rovinˇe ̺ je mnoho´ uheln´ık v rovinˇe σ, pˇriˇcemˇz oba tyto mnoho´ uheln´ıky leˇz´ı na téˇze hranolové ploˇse, jej´ıˇz hrany maj´ı smˇer afinity s. ˇ hranolu Této vlastnosti m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇri konstrukci rovinného ˇrezu hranolu. Rez rovinou σ je sdruˇzen s podstavou hranolu leˇz´ıc´ı v rovinˇe ̺, pˇriˇcemˇz smˇer afinity je smˇer hran hranolové plochy a osa afinity je pr˚ useˇcnice rovin ̺ a σ. Rovnobˇeˇzn´ ym prom´ıtnut´ım afinity mezi rovinami ̺ a σ do roviny π ve smˇeru, kter´ y nen´ı rovnobˇeˇzn´ y se smˇerem afinity s ani ˇza´dnou z rovin ̺ a σ, z´ıskáme afinitu v rovinˇe π. Jej´ı osou je pr˚ umˇet pˇr´ımky o a jej´ım smˇerem je pr˚ umˇet pˇr´ımky s. Afinita je zobrazen´ı, které zachovává incidenci, rovnobˇeˇznost a dˇel´ıc´ı pomˇer. Pˇ r´ıklad 2.12. Afinita v rovinˇe je urˇcena osou o a dvojic´ı sdruˇzen´ ych bod˚ u X, X. Sestrojte obraz daného troj´ uheln´ıku ABC. ˇ sen´ı. Pˇr´ımka XX urˇcuje smˇer afinity. Obrazem troj´ Reˇ uheln´ıku ABC bude troj´ uheln´ık ABC. Bod A leˇz´ı na pˇr´ımce rovnobˇeˇzné s pˇr´ımkou XX procházej´ıc´ı bodem A a na useˇc´ıkem pˇr´ımky AX s osou o. Obdobnˇe z´ıskáme obrazy pˇr´ımce 1X, kde bod 1 je pr˚ bod˚ u B a C, pˇriˇcemˇz pro jejich sestrojen´ı jiˇz m˚ uˇzeme pouˇz´ıt i dvojici A, A. Pˇ r´ıklad 2.13. V afinitˇe v rovinˇe je dána trojice sdruˇzen´ ych bod˚ u A, A, B, B a C, C. Urˇcete osu afinity. 26

´ Í A JEHO ZAKLADN ´ Í VLASTNOSTI KAPITOLA 2. PROMÍTAN ˇ sen´ı. Pˇr´ımky AA, BB a CC jsou rovnobˇeˇzné a urˇcuj´ı smˇer afinity. Afinnˇe sdruˇzené Reˇ pˇr´ımky se v afinitˇe prot´ınaj´ı na ose afinity, proto je osa afinity urˇcena pr˚ useˇc´ıky 1, 2, resp. 3, pˇr´ımek AB a AB, BC a BC, resp. AC a AC. Definice 2.14. Mˇejme dvˇe r˚ uznobˇeˇzné roviny ̺ a σ a bod S, kter´ y neleˇz´ı v ˇza´dné z nich. Oznaˇcme o pr˚ useˇcnici rovin ̺ a σ. Kolineace se stˇredem kolineace S a osou kolineace o je zobrazen´ı, které pˇriˇrazuje: 1. kaˇzdému bodu A roviny ̺ bod A roviny σ tak, ˇze pˇr´ımka AA procház´ı bodem S, 2. kaˇzdé pˇr´ımce a 6k o roviny ̺ pˇr´ımku a roviny σ tak, ˇze pˇr´ımky a, a se prot´ınaj´ı na pˇr´ımce o, kaˇzdé pˇr´ımce b k o roviny ̺ pˇr´ımku b k o roviny σ. Rovnobˇeˇzn´ ym prom´ıtán´ım ve smˇeru, kter´ y nen´ı rovnobˇeˇzn´ y se ˇza´dnou z rovin ̺ a σ, pˇrejde kolineace v prostoru v kolineaci v rovinˇe. Podobnˇe jako byla afinita uˇziteˇcná pˇri hledán´ı ˇrezu na hranolu, je kolineace uˇziteˇcná pˇri hledán´ı ˇrezu na jehlanu. Mezi rovinou podstavy jehlanu a rovinou ˇrezu je kolineárn´ı vztah, pˇriˇcemˇz osou kolineace je pr˚ useˇcnice tˇechto rovin a stˇredem kolineace je vrchol jehlanu.

27

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Recommend Documents