Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Workshop na konferenci 3µ 2015

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Workshop na konferenci 3µ 2015 Horní Lomná, 1. – 3. cˇ ervna 2015

ˇ Jana Belohlávková Dagmar Dlouhá Radka Hamˇríková Zuzana Morávková Radomír Paláˇcek Petra Schreiberová Jana Volná Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

3µ 2015

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie

GeoGebra je multiplatformní matematický software, ˇ který umožnuje každému získat neobvyklý rozhled, který nám dává matematika. ˇ e. ˇ Poskytuje špiˇckový software a materiály do rukou uˇcitelu˚ a studentu˚ po celém svet

Co je GeoGebra? ˇ GeoGebra je dynamický matematický software pro všechny úrovneˇ vzdelávání, který spojuje geometrii, algebru, tabulkový procesor, grafy, statistiku a analýzu do jednoho snadno použitelného balíˇcku. GeoGebra je rychle rostoucí komunita milionu˚ uživatelu˚ žijících prakticky ve všech zemích ˇ sveta. GeoGebra se stala špiˇckovým poskytovatelem dynamického matematického softwaru podpoˇ rujícího vedu, technologii, inženýrství a matematiku (STEM). ˇ Strucný pˇrehled • Geometrie, algebra a tabulkový procesor vzájemneˇ dynamicky propojené. • Snadno použitelné ovládání, mnoho užiteˇcných funkcí. • Nástroj na tvorbu interaktivních výukových materiálu˚ v podobeˇ webových stránek. ˇ ˇ e. ˇ • V Ceštin eˇ a mnoha dalších jazycích, pro miliony našich uživatelu˚ po celém svet • Open source software volneˇ dostupný nekomerˇcním uživatelum. ˚

http://www.geogebra.org

ˇ matematiku hmatatelnou. GeoGebra propojuje geometrii a alStudenti ji milují, protože... delá ˇ a zažít na vlastní gebru novým, vizuálním zpusobem. ˚ Studenti mohou koneˇcneˇ matematiku videt dotyk.

ˇ ˇ Ucitelé ji milují, protože... umožnuje uˇcitelum ˚ pokraˇcovat v uˇcení. GeoGebra nenahrazuje uˇciˇ to, co umí nejlépe – uˇcit. tele. Pomáhá jim delat

Školy ji milují, protože... ˇ motivací = Studenti s lepšími výsledky. Studenti používající GeoGebru = Studenti s vetší II


3µ 2015

ˇ Co se naucíte na našem workshopu? První pohled na 3D v GeoGebˇre Jana Volná, Petr Volný ([email protected], [email protected]) V rámci první lekce našeho workshopu se seznámíme s 3D modulem, který je noveˇ v GeoGebˇre obsažen. 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II Petra Schreiberová ([email protected]) ˇ V rámci kurzu Matematika II se venujeme geometrickým aplikacím urˇcitého integrálu a funkci ˇ ˇ problémy si pˇredstavit rotaˇcní teleso ˇ dvou promenných. Studentum ˚ obˇcas delá vzniklé rotací ˇ rovinného útvaru cˇ i graf funkce dvou promenných, pˇríp. teˇcnou rovinu. GeoGebra poskytuje náˇ stroj k vizualizaci techto problému. ˚ Numerická integrace Zuzana Morávková ([email protected]) Ukážeme si práci s objektem seznam. Dále užití pˇríkazu Posloupnost pro vytvoˇrení seznamu ˇ jednoho prvku ze seznamu a pˇríkazu Vyber, který hodnot, pˇríkazu Prvek, který slouží k výberu vybere cˇ ást ze seznamu. Cyklus for a iterace v GeoGebˇre ˇ Jana Belohlávková ([email protected]) V Geogebˇre (5.0.106.0-3D, May 2015) neexistuje pˇrímá podpora pro cyklus. Standardneˇ se nabízí dva zpusoby, ˚ jak se vypoˇrádat s opakujícími se konstrukcemi. Bud’ vytvoˇrit tzv. nástroj, nebo použít tabulku. Ani jeden z výše uvedených zpusob ˚ u˚ není zcela uspokojující, protože ani ˇ v jednom nemužeme ˚ zadat poˇcet opakování a jsme nuceni bud’ jednotlivé kroky „naklikat ruˇcne“ ˇ nebo „ruˇcneˇ roztáhnout tabulku“. Pˇríspevek popisuje jiný zpusob, ˚ který tento nedostatek odstraˇ ˇ nuje a nahrazuje tím chybející pˇríkaz pro cyklus for. ˇ ˇ kuželové plochy Rezy rotacní Radomír Paláˇcek ([email protected]) Prostˇrednictvím vytvoˇreného apletu se seznámíme s ˇrezy na rotaˇcní kuželové ploše. K jeho tvorbeˇ využijeme 3D grafický náhled, který je v GeoGebˇre noveˇ k dispozici. Aplet je možné použít také ve výuce, kde muže ˚ nápomoci ke zdokonalení prostorové pˇredstavivosti studentu˚ a zlepšení pochopení dané problematiky. GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii Radka Hamˇríková, Dagmar Dlouhá ([email protected], [email protected]) Pro zájemce jsme pˇripravily 2 jednoduché úlohy jak zaˇcít ve 3D GeoGebˇre.

III

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 První pohled na 3D v GeoGebˇre Jana Volná, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: V rámci první lekce našeho workshopu se seznámíme s 3D modulem, který je noveˇ v GeoGebˇre obsažen.

Od páté verze GeoGebra obsahuje 3D modul, který je plneˇ propojen se všemi ostatními cˇ ástmi GeoGebry. V rámci 3D zobrazení je možné používat veškeré manipulace s nákresnou tak, jak ˇ je to možné realizovat s nákresnou pro 2D zobrazení. Objekty ve 3D lze zadávat bud’ výberem pˇríslušného nástroje z menu aplikace, nebo s využitím pˇríkazového ˇrádku. ˇ ˇ ríme pˇredevším na seznámení se s 3D modulem. Na naši úvodní V našem pˇríspevku se zameˇ ˇ ˇ reny na konkrétní problémy ve 3D. lekci pak naváže série lekcí, z nichž nekteré již budou zameˇ Pracujeme s GeoGebrou verze 5.0.119.0-3D.

ˇ Autoˇri dekují za podporu svému pracovišti.


3µ 2015

Pˇri otevˇrení aplikace GeoGebra na vašem poˇcítaˇci na vás vyskoˇcí úvodní okno s nabídkou modulu. ˚ Vybereme modul 3D grafika. Pokud nabídka zmizí, je možné zapnout 3D zobrazení volbou z menu aplikace: Zobrazit→Grafický náhled 3D.

• Otevˇrete 2D okno: Zobrazit→Nákresna • Zkuste pˇrepínat mezi 2D a 3D zobrazením prostým kliknutím myši do prostoru˚ jednotlivých ˇ nabídka v menu. Pro každý modul, at’ už 2D nebo 3D je k dispooken a pozorujte, jak se mení zici odpovídající sada nástroju. ˚

J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

V

3µ 2015


Pˇríklad 1: Schodišteˇ ˇ ˇ Pomocí transZadání: Sestrojte trojboký hranol s podstavnou stenou ležící v pudorysné ˚ rovine. ˇ lace a rotace hranolu vytvoˇrte toˇcité schodište. Konstrukce 1.

Klikneme myší do 2D okna - nákresny.

2.

Pomocí tohoto nástroje posuneme nákresnu podle potˇreby.

3.

Zadáme tˇri body: A=(0,0), B=(2,-3) a C=(3,-2).

4.

Sestrojíme trojúhelník ABC.

5.

Vytvoˇríme posuvník; Název: vyska, Interval: od 0.1 do 1, Krok: 0.1.

6.

Klikneme do 3D okna. Zvolíme nástroj Vytažení do hranolu nebo válce - klikneme na trojúhelník ve 3D zobrazení a poté do dialogového okna zapíšeme hodnotu danou posuvníkem, zapíšeme tedy hodnotu vyska.

• Skryjeme 2D nákresnu. Zrušíme popisy hran a vrcholu˚ hranolu. V algebraickém okneˇ postupneˇ klikáme pravým tlaˇcítkem myši na Bod → Zobrazit objekt; Hranol → Zobrazit popis; Úseˇ cka → Zobrazit popis. 3D pohledem je možné otáˇcet pomocí nástroje Otoˇ cit Grafický náhled 3D a Pohybovat s nákresnou . Rozklikneme nabídku Graˇ podle výberu ˇ fický náhled 3D (Pˇ repnout formátovací panel). Tato nabídka se mení konkrétního nástroje nebo objektu.

• Vyzkoušejte jednotlivé ikony, které nabídka nabízí. My se soustˇredíme nejdˇríve na ikonu pro roVI



3µ 2015

tace - Zaˇ cít nebo zastavit otáˇ cení panelu - . Po rozkliknutí nabídky Zaˇ cít nebo zastavit otáˇ cení panelu je možné nastavit na lišteˇ rychlost rotace a její orientaci, bud’ ve ˇ anebo proti smeru ˇ chodu hodinových ruˇciˇcek. Poznamenejme, že je také možné otáˇcet smeru pohledem, pokud na 3D nákresnu klikneme a pˇridržíme pravé tlaˇcítko myši. • Další položkou je ikona pohledu - Smˇ er pohledu - . Po kliknutí na tuto ikonu se pohled pˇrenastaví na defaultní nastavení. Po rozkliknutí nabídky máme možnost zvolit základní pohledy v poˇradí - pudorys ˚ - nárys - bokorys . Konstrukce

2.

ˇ Zmeníme barvu hranolu na zelenou. Klikneme na hranol v Algebraickém okneˇ a z nabídky (lišta v horní cˇ ásti 3D okna) vybereme zelenou barvu. Zobrazíme 2D nákresnu: Zobrazit → Nákresna.

3.

ˇ ríme úhel α =BAC. Zmeˇ

4.

Vytvoˇríme posuvník; Název: pocet, Interval: od 1 do 20, Krok: 1.

5.

Posloupnost[Posun[Rotace[d,n*α],Vektor[(0,0,n*vyska)]],n,1, pocet-1].

1.

ˇ u kterého je možné menit ˇ Vytvoˇrili jsme schodište, poˇcet a výšku schodu. ˚ Pomocí nástroje Pohybovat s nákresnou pˇresuneme pudorysnou ˚ rovinu úplneˇ dolu. ˚ Horizontální vs. ˇ vertikální posun meníme kliknutím levého tlaˇcítka myši na pudorysnou ˚ rovinu. ˇ rotovat a využívat ruzné ˇ pohybu. • Zkuste schodištem ˚ smery


VII

3µ 2015


ˇ ješteˇ vyzkoušíme jedno velmi zajímavé zobrazení 3D objektu. Na záver ˚ Jedná se o anaglyˇ fické zobrazení, které umožnuje pomocí speciálních 3D brýlí simulovat prostorový vjem. Volíme položku Vyberte typ promítání → Promítání pro anaglyfické brýle.

VIII


Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II Petra Schreiberová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava ˇ Abstrakt: V rámci kurzu Matematika II se venujeme geometrickým aplikacím urˇcitého integrálu ˇ ˇ problémy si pˇredstavit rotaˇcní teleso ˇ a funkci dvou promenných. Studentum ˚ obˇcas delá vzniklé ˇ rotací rovinného útvaru cˇ i graf funkce dvou promenných, pˇríp. teˇcnou rovinu. GeoGebra poskyˇ tuje nástroj k vizualizaci techto problému. ˚

První úloha ˇ Ukážeme si zpusob, ˚ jak lze využít 3D GeoGebru k vizualizaci a tvorbeˇ rotaˇcního telesa.

Druhá úloha ˇ Využijeme GeoGebru k pochopení pojmu teˇcné roviny ke grafu funkce dvou promenných.

ˇ Autorka dekuje za podporu svému pracovišti.

3µ 2015


ˇ Pˇríklad 2: Rotaˇcní teleso Zadání: Zakreslete rovinný útvar ohraniˇcený grafy funkcí f (x) = x3 − 2x + 1, h(x) = x − 1. ˇ Vytvoˇrte rotaˇcní teleso vzniklé rotací tohoto útvaru kolem osy x. ˇ Rešení: 1. 2.

Otevˇreme GeoGebru. Vykreslíme grafy funkcí, které ohraniˇcují daný rovinný útvar. Klikneme do vstupu a zadáme pˇríkaz.

3.

Do vstupu zadáme pˇredpis funkce f (x).

4.

Do vstupu zadáme pˇredpis funkce h(x).

V menu Zobrazit zvolíme možnost Grafický náhled 3D. 5.

Nalezneme pruseˇ ˚ cíky obou funkcí.

Pruseˇ ˚ cík lze nalézt i klikem na ikonu pruseˇ ˚ cík ˇ kresne.

a následným klikem na obeˇ funkce v ná-

ˇ Z grafu˚ funkcí si necháme znázornené pouze cˇ ásti omezující rovinný útvar. 6.

Vykreslíme graf funkce f (x) v mezích x(A), x(B).

7.

Vykreslíme graf funkce h(x) v mezích x(A), x(B).

ˇ V algebraickém okneˇ zmeníme viditelnost funkcí f (x) a h(x). X

P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


3µ 2015

Vzniklý rovinný útvar zaˇcneme rotovat kolem osy x. Potˇrebujeme vytvoˇrit úhel rotace. Toto proˇ vedeme využitím posuvníku v Nákresne.

8.

9.

Klik na ikonu posuvníku, následneˇ na nákresnu a vytvoˇríme si posuvník pro úhel α - interval zvolíme s krokem 1◦ .

Dáme použít.

Navolíme osu rotace. 10.

Do vstupu zadáme pˇredpis y = 0.

Zaˇcneme rotovat. Nejdˇríve si musíme vyjádˇrit dané kˇrivky parametricky.


XI

3µ 2015


11.

Zadáme do vstupu pˇríkaz Rotace[objekt,úhel,osa], kde objekt je p(x), úhel α a osou je objekt a.

12.

Zadáme do vstupu pˇríkaz Rotace[objekt,úhel,osa], kde objekt je r(x), úhel α a osou je objekt a.

Pomocí posuvníku volbou úhlu zaˇcne rovinný útvar rotovat. ˇ telesa, ˇ Pro znázornení které touto rotací vznikne, musíme zaškrtnout u parametrických kˇrivek volbu stopa zapnuta a v posuvníku zvolíme animace zapnuta (pravým klikem na objekty v algeˇ braickém okne).

13.

XII

Pro lepší názornost lze v grafickém náhledu odstranit rovinu xy.


3µ 2015


Pˇríklad 3: Teˇcná rovina ˇ rovnici teˇcné roviny ke grafu Zadání: Zakreslete graf funkce f (x, y) = 0.5x2 + 2y 2 a naleznete ˇ Teˇcnou rovinu znázornete. ˇ funkce v daném bode. ˇ Rešení: Otevˇreme GeoGebru a zobrazíme grafický náhled 3D. V 3D náhledu pomocí vinu xy.

skryjeme ro-

Znázorníme graf funkce zadáním pˇredpisu do vstupu.

1.

Zvolíme bod na ploše. 2.

Volbou bod na objektu a následným klikem na osu x a y dostaneme 2 body A, B.

3.

Vytvoˇríme bod v rovineˇ xy se souˇradnicemi [x(A), y(B)].

4.

Znázorníme bod na ploše [x(A), y(B), f (x(A), y(B))].

V 3D náhledu pomocí

grafu

se

souˇradnicemi

lze pootoˇcit graf.

ˇ posunutím bodu˚ A, B. Bod na ploše lze dynamicky menit


XIII

3µ 2015


Pro nalezení rovnice teˇcné roviny a normály je potˇreba urˇcit normálový vektor, tzn. parciální ˇ derivace funkce. Do vstupu zadáme pˇríkaz Derivace[funkce, promenná].

5.

Získáme parciální derivaci podle x.

6.

Získáme parciální derivaci podle y.

ˇ Nalezené parciální derivace schováme a vytvoˇríme smerové vektory (pˇríkaz Vektor[poˇcáteˇcní bod,koncový bod]). 7.

ˇ Smerový vektor odpovídající parciální derivaci podle x v bodeˇ D.

8.

ˇ Smerový vektor odpovídající parciální derivaci podle y v bodeˇ D.

ˇ tloušt’ku a barvu smerových ˇ Pro lepší pˇrehlednost mužeme ˚ zmenit vektoru˚ (pravý klik na objekt vektoru˚ a zvolit možnost Vlastnosti).

Pomocí vektorového souˇcinu ⊗ urˇcíme normálový vektor. 9.

10.

Normálový vektor v bodeˇ D.

Znázorníme teˇcnou rovinu, bod je D a vektor n.

Nalezli jsme rovnici teˇcné roviny. XIV



3µ 2015

Postˇrehy a poznámky Pˇri tvorbeˇ bodu˚ lze zápis zpˇrehlednit volbou a = x(A), b = y(B) a následneˇ C = (a, b), D = (a, b, f (a, b)).


XV

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Numerická integrace Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Ukážeme práci s objektem seznam. Dále užití pˇríkazu Posloupnost pro vytvoˇrení ˇ jednoho prvku ze seznamu a pˇríkazu seznamu hodnot, pˇríkazu Prvek, který slouží k výberu Vyber, který vybere cˇ ást ze seznamu. ˇ Numerická integrace lichobežníkovým pravidlem ˇ Sestrojíme aplikaci na výpoˇcet pˇribližné hodnoty urˇcitého integrálu lichobežníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integraˇcní meze pomocí textových polí.

ˇ Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravidlem ˇ Sestrojíme aplikaci na výpoˇcet pˇribližné hodnoty urˇcitého integrálu složeným lichobežníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integraˇcní meze pomocí textových polí. Dále je k dispozice posuvník, kterým lze volit hodnotu n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

ˇ ˇ Numerická matematika Pˇríspevek vznikl za podpory projektu FRVS2015/158 Inovace pˇredmetu ˇ ˇ na Fakulteˇ strojní Vysoké školy bánské-Technické univerziteˇ Ostrava. Autorka také dekuje za podporu svému pracovišti.


3µ 2015

ˇ Pˇríklad 4: Numerická integrace lichobežníkovým pravidlem ˇ Zadání: Sestrojíme aplikaci na výpoˇcet pˇribližné hodnoty urˇcitého integrálu lichobežníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integraˇcní meze pomocí textových polí.

Obrázek 1: Náhled na aplikaci

Konstrukce Nejprve si vytvoˇríme textová pole pro zadání integrované funkce a mezí. 1.

Zadáme funkci: f(x)=exp(x^2)

2.

Vytvoˇríme textové pole s popisem f(x)= a propojíme s objektem f(x).

3.

Zadáme integraˇcní mez: a=1 Vytvoˇríme textové pole pro integraˇcní mez s popisem a= a propojíme s objektem a.

4. 5.

Zadáme integraˇcní mez: b=2

6.

Vytvoˇríme textové pole s popisem b= a propojíme s objektem b.

ˇ délku. viz. Vlastnosti - Styl. Poznámka: Textovým polím pro zadání integraˇcních mezí lze zmenit

Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

XVII

3µ 2015


Integrovanou funkci na intervalu ha, bi interpolujeme lineární funkcí. Hodnotu urˇcitého integrálu ˇ a f (x) dx tedy nahradíme obsahem lichobežníku.

Rb

7.

Zadáme body: A=(a,f(a)) a B=(b,f(b))

8.

Vytvoˇríme úseˇcku: Usecka[A,B]

9.

Zadáme body: C=(b,0) a D=(a,0)

10.

ˇ Vytvoˇríme lichobežník urˇcený body ABCD. Klikneme postupneˇ na jednotlivé body a zadávání ukonˇcení kliknutím na první bod.

11.

ˇ Obsah lichobežníku je pˇribližnou hodnotou urˇcitého integrálu.

ˇ Pˇríklad 5: Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravidlem ˇ Zadání: Sestrojíme aplikaci na výpoˇcet pˇribližné hodnoty urˇcitého integrálu složeným lichobežníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integraˇcní meze pomocí textových polí. Dále je k dispozice posuvník, kterým lze volit hodnotu n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

Obrázek 2: Náhled na aplikaci

XVIII



3µ 2015

Popis metody . Na intervalu ha, bi vytvoˇríme ekvidistantní sít’ xi = a + ih pro i = 0, 1, . . . , n, kde h = b−a n Integrovanou funkci na každém intervalu hxi−1 , xi i, i = 1, . . . , n interpolujeme lineární funkcí. Oznaˇcme hodnoty funkce v uzlech yi = f (xi ), i = 0, . . . , n. Pak pˇribližná hodnota integrálu je: n−1 X h h h h h y0 + 2 yi + yn (?) I ≈ (y0 + y1 ) + (y1 + y2 ) + (y2 + y3 ) + · · · + (yn−1 + yn ) = 2 2 2 2 2 1

!

Konstrukce Nejprve si vytvoˇríme textová pole pro zadání integrované funkce a integraˇcních mezí.

1.

Zadáme funkci: f(x)=exp(x^2)

2.

Vytvoˇríme textové pole s popisem f(x)= a propojíme s objektem f(x).

3.

Zadáme integraˇcní mez: a=1

4.

Vytvoˇríme textové pole s popisem a = a propojíme s objektem a.

5.

Zadáme integraˇcní mez: b=2

6.

Vytvoˇríme textové pole s popisem b = a propojíme s objektem b.

ˇ ˇ Promenná n urˇcující poˇcet dílu, ˚ na který rozdelíme interval ha, bi, bude nabývat hodnot n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . 7.

Zadáme: r=6

8.

Vytvoˇríme posuvník pro celá cˇ ísla. Název má k a jeho hodnoty jsou od 1 do r.

9.

Budeme poˇcítat s prvními r prvky z posloupnosti {1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .}. Tedy pomoci pˇríkazu Posloupnost vytvoˇríme seznam hodnot {2j−1 }r1 : nn=Posloupnost[2^(j-1),j,1,r]

10.

Nastavíme hodnotu n jako k-tý prvek ze seznamu nn pomocí pˇríkazu Prvek: n=Prvek[nn,k]

ˇ Nyní mužeme ˚ postupovat dvema zpusoby. ˚


XIX

3µ 2015


ˇ První možnost je sestrojit lichobežníky a seˇcíst jejich obsahy. 11.a

ˇ Vypoˇcítáme krok delení: h=(b-a)/n

12.a

Vytvoˇríme body (xi , f (xi )) i = 0, . . . n ležící na grafu funkce (viz Obrázek 3): F=Posloupnost[(a+i*h,f(a+i*h)),i,0,n] A vytvoˇríme lomenou cˇ áru procházející body Fj (viz Obrázek 3): lomena=Posloupnost[Usecka[Prvek[F,j],Prvek[F,j+1]],j,1,n]

13.a 14.a

Vytvoˇríme body (xi , 0) i = 0, . . . n ležící na ose x (viz Obrázek 3): X=Posloupnost[(a+i*h,0),i,0,n]

15.a

ˇ A vytvoˇríme lichobežníky urˇcené body Fj Fj+1 Xj+1 Xj , j = 1, . . . , n: lich=Posloupnost[Mnohouhelnik[Prvek[F,j],Prvek[F,j+1], Prvek[X,j+1],Prvek[X,j]],j,1,n]

16.a

ˇ Seˇcteme obsahy lichobežník u: ˚ I=Suma[lich]

Fj+1

Fj yi+1 f

yi

f h a

h

Xj Xj+1

b

a

Obrázek 3

xi xi+1

b

Obrázek 4

Druhá možnost je vypoˇcítat pˇribližnou hodnotu integrálu podle vzorce (?). 11.b

ˇ Vypoˇcítáme krok delení: h=(b-a)/n

12.b

Vytvoˇríme hodnoty xi = a + ih, i = 0, . . . , n (viz Obrázek 4): xx=Posloupnost[a+i*h,i,0,n]

13.b

A vypoˇcítáme funkˇcní hodnoty f (xi ) (viz Obrázek 4): yy=f(xx)

14.b

Podle vzorce (?) spoˇcítáme pˇribližnou hodnotu urˇcitého integrálu: II=h/2*(Prvek[yy,1]+2*Suma[Vyber[yy,2,n]]+Prvek[yy,n+1])

XX


Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Cyklus for a iterace v GeoGebˇre ˇ Jana Belohlávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: V GeoGebˇre (5.0.106.0-3D, May 2015) neexistuje pˇrímá podpora pro cyklus. Standardneˇ se nabízí dva zpusoby, ˚ jak se vypoˇrádat s opakujícími se konstrukcemi. Bud’ vytvoˇrit tzv. nástroj, nebo použít tabulku. Ani jeden z výše uvedených zpusob ˚ u˚ není zcela uspokojující, protože ani v jednom nemužeme ˚ zadat poˇcet opakování a jsme nuceni bud’ jednotlivé kroky ˇ nebo „ruˇcneˇ roztáhnout tabulku“. Pˇríspevek ˇ „naklikat ruˇcne“ popisuje jiný zpusob, ˚ který tento ˇ ˇ nedostatek odstranuje a nahrazuje tím chybející pˇríkaz pro cyklus for.

ˇ Autorka dekuje za podporu svému pracovišti.

3µ 2015


Pˇríklad 6: Seznámení s pˇríkazy ˇ ˇ jejich poˇcet. Zadání: Vytvoˇrte n bodu˚ (i,i) s názvem Ai tak, aby se se zmenou hodnoty n menil Než pˇristoupíme k ˇrešení pˇríkladu, seznamme se s pˇríkazy, které budeme potˇrebovat. Pˇríkazy zadáváme do vstupního pole. • Posloupnost[,,,] vytvoˇrí seznam objektu˚ definovaných výrazem a promennou. • Vykonat[<Seznam text˚ u>] vykoná seznam pˇríkazu˚ vložených jako text. Názvy pˇríkazu˚ musí být anglicky. • Smazat[] smaže objekt. Jeho anglická verze je Delete[]. Vyzkoušejte si: • • • • • • •

S0={1,4,5} S1={"n=5","A=(1,3)","k=Circle[A,n]"} Vykonat[S1] Vykonat[{"Delete[k]"}] S3=Posloupnost[(i,i),i,1,n] S4=Posloupnost["A_{i}=(i,i)",i,1,n] S5=Posloupnost["A_{"+i+"}=("+i+","+i+")",i,1,n]

Konstrukce 1.

Vytvoˇríme posuvník n od 0 do 50 s krokem 1.

2.

Do dialogového okna posuvníku n v záložce Skriptování, Po aktualizaci vložíme pˇríkazy Vykonat[Posloupnost["A_{"+i+"}=("+i+","+i+")",i,1,n]] Vykonat[Posloupnost["Delete[A_{"+i+"}]",i,n+1,50]] podle Obrázku 1.

Obrázek 1: Dialogové okno pro skriptování

XXII

ˇ J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


3µ 2015

Pˇríklad 7: Regula-falsi Zadání: Zobrazte n iterací metody regula-falsi.

Obrázek 2: Regula falsi Pˇríkazy, které budeme potˇrebovat: • Spoj[<Seznam seznam˚ u>] spojí seznam seznamu˚ v jeden seznam. ˇ podmínka, definuje objekt jako • Kdyz[,<Pak>,<Jinak>] pokud je splnena ˇ Pak, není-li splnena jako Jinak. Anglická verze If[,<Pak>,<Jinak>]. • NastavitPodminkuZobrazeni[,] nastaví podmínku viditelnosti daného objektu. • Usecka[,] vytvoˇrí úseˇcku, anglická verze Segment[,]. Vyzkoušejte si: • S1={{"n=5","A=(1,3)"},{"B=(2,4)","C=(5,1)"}} • Vykonat[S1] Ohlásí chybu. • S2=Spoj[S1] • Vykonat[S2] • u=Kdyz[n>3,Usecka[A,B], Usecka[A,C]] • NastavitPodminkuZobrazeni[A,n>0] Máme-li více pˇríkazu v jedné iteraci, bude výsledný pˇríkaz sestaven takto: Vykonat[Spoj[Posloupnost[{"prikaz1","prikaz2","prikaz3"},i,0,n]]]


XXIII

3µ 2015


V našem pˇrípadeˇ budou v jedné iteraci tyto pˇríkazy: Ai=(ai,f(ai)) Bi=(bi,f(bi)) ui=Usecka[Ai,Bi] ci=ai-(bi-ai)/(f(bi)-f(ai))*f(ai), a(i+1)=If[sgn(f(ai))==sgn(f(ci)),ci,ai] b(i+1)=If[sgn(f(bi))==sgn(f(ci)),ci,bi] Ri=(ci,0)

Konstrukce 1.

Vytvoˇríme posuvník n od 0 do 10 s krokem 1.

2. 3. 4. 5.

f(x)=2*xˆ3-4*xˆ2+3*x a0=-1 b0=1 Tlacitko[] Do dialogového okna tlaˇcítka v záložce Sriptovaní, Po kliknutí vložíme pˇríkaz: Vykonat[Spoj[Posloupnost[{ "A"+i+"=(a"+i+",f(a"+i+"))", "B"+i+"=(b"+i+",f(b"+i+"))", "u"+i+"=Segment[A"+i+",B"+i+"]", "c"+i+"=a"+i+"-(b"+i+"-a"+i+")/(f(b"+i+")-f(a"+i+"))*f(a"+i "a"+(i+1)+"=If[sgn(f(a"+i+"))==sgn(f(c"+i+")),c"+i+",a"+i+"]", "b"+(i+1)+"=If[sgn(f(b"+i+"))==sgn(f(c"+i+")),c"+i+",b"+i+"]", "R"+i+"=(c"+i+",0)"}, i,0,n]]] viz. Obrázek 3. Podmínky viditelnosti nastavíme pˇridáním pˇríkazu: ˚ Vykonat[Posloupnost["SetConditionToShowObject[A"+i+",n>="+i+"] ",i,0,n]] A podobneˇ pro body Bi,Ri a úseˇcky ui.

6.

7.

Obrázek 3: Pozor na správné vložení pˇríkazu

XXIV



3µ 2015

Poznámky Další pˇríkazy, které by mohly být užiteˇcné: • NastavitStylBodu[,<ˇ Císlo>] • NastavitVelikostBodu[, <ˇ Císlo> ] • NastavitBarvu[,""] • ZobrazitPopis[, ] • NastavitTloustkuCary[<ˇ Cára>,<ˇ Císlo>] • NastavitStylCary[<ˇ Cára>,<ˇ Císlo>]

Zdroj https://wiki.geogebra.org/en/Main_Page


XXV

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 ˇ ˇ kuželové plochy Rezy rotacní Radomír Paláˇcek Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava

Abstrakt: Prostˇrednictvím vytvoˇreného apletu se seznámíme s ˇrezy na rotaˇcní kuželové ploše. K jeho tvorbeˇ využijeme 3D grafický náhled, který je v GeoGebˇre noveˇ k dispozici. Aplet je možné použít také ve výuce, kde muže ˚ nápomoci ke zdokonalení prostorové pˇredstavivosti studentu˚ a zlepšení pochopení dané problematiky.

ˇ ˇ kuželové plochy Rezy rotacní Vytvoˇrte aplet, který bude demonstrovat ˇrezy rotaˇcní kuželové plochy rovinou.

ˇ Autor dekuje za podporu svému pracovišti.


3µ 2015

ˇ Pˇríklad 8: Rezy rotaˇcní kuželové plochy Zadání: Vytvoˇrte aplet, který bude demonstrovat rˇezy rotaˇcní kuželové plochy rovinou.

Obrázek 4: Náhled na aplet ˇ Rezem rotaˇcní kuželové plochy rovinou muže ˚ být elipsa, parabola, hyperbola a další singulární kuželoseˇcky. Oznaˇcme rovinu ˇrezu ρ. Dále oznaˇcme α odchylku roviny ˇrezu ρ od roviny libovolné povrchové kružnice kuželové plochy a β oznaˇcíme odchylku povrchových pˇrímek plochy od roviny povrchové kružnice. Dále oznaˇcme V vrcholem kuželové plochy. Pokud se jedná o tzv. eliptický ˇrez kuželové plochy, má rovina protnout všechny její površky. To nastane práveˇ tehdy, když α < β, viz obrázek 5 a), kde je nárys dané situace. Její ohniska jsou dotykové body vepsaných sfér do kuželové plochy, které se také dotýkají roviny ρ . Je-li navíc rovina kolmá k ose této plochy (α = 0), pak je ˇrezem kružnice jakožto speciální pˇrípad elipsy. R. Paláˇcek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

XXVII

3µ 2015


V pˇrípadeˇ tzv. parabolického ˇrezu musí nastat rovnost odchylek, tedy α = β. Situace je znázorˇ nena na obrázku 5 b). Poslední možností je tzv. hyperbolický ˇrez a to, když α > β, obrázek 5 c).

ˇ Obrázek 5: Rezy rotaˇcní kuželové plochy rovinou ρ. ˇ Na obrázku 5 jsou dále u každého rˇezu ješteˇ znázorneny rˇezy vrcholovými rovinami ρ0 , které ˇ jsou rovnobežné s rovinami ρ. Výsledkem jsou potom singulární kuželoseˇcky: • bod - vrchol kuželové plochy, • pˇrímka procházející vrcholem kuželové plochy - jedna její površka, ˇ • dveˇ ruznob ˚ ežné pˇrímky se spoleˇcným bodem - vrcholem kuželové plochy.

XXVIII

R. Paláˇcek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


3µ 2015

Konstrukce ˇ na dveˇ cˇ ásti. Nejprve vytvoˇríme ovládací prvky a rovinu ˇrezu, Celou konstrukci mužeme ˚ rozdelit poté budeme konstruovat samotný kužel. K vytvoˇrení apletu budeme potˇrebovat Nákresnu a Grafický náhled 3D. Ovládací prvky budou ˇ v nákresne, ˇ kužel a rovina ˇrezu v Grafickém náhledu 3D. umísteny

1.

ˇ „Rezy rotaˇcní kuželové plochy“.

2.

Do nákresny vložíme bod A.

3.

Vytvoˇríme cˇ tverec a pojmenujeme ho poly. Do vstupu zapíšeme Mnohouhelnik[A+(-2,-2), A+(-2,2), A+(2,2), A+(2,-2)].

4.

Dovnitˇr cˇ tverce vložíme bod B (velikost 9, styl +).

5.

6.

7.

V Grafickém náhledu 3D vytvoˇríme bod C, který vznikne tak, že pˇriˇcteme k bodu (1,1,1) vektor urˇcený body A a B. Do vstupu zapíšeme Posun[(1, 1, 1), Vektor[A, B]]. Vytvoˇríme mnohoúhelník v Grafickém náhledu 3D a pojmenujeme ho poly1. Do vstupu zapíšeme Mnohouhelnik[C+(-5,-5), C+(-5,5), C+(5,5), C+(5,-5)]. Vytvoˇríme posuvníky pro úhly ˇ • α od 0◦ do 180◦ (vodorovne), • β od 0◦ do 360◦ (svisle).

8.

9.

10.

11.

V Grafickém náhledu 3D vytvoˇríme rotací mnohoúhelníku poly1 okolo osy x o úhel α mnohoúhelník poly2. Do vstupu zapíšeme Rotace[poly1, α, OsaX]. (Rovinu poly1 dáme nezobrazovat). V Grafickém náhledu 3D vytvoˇríme rotací mnohoúhelníku poly2 okolo osy z o úhel β mnohoúhelník poly3. Do vstupu zapíšeme Rotace[poly2, β, OsaZ]. (Rovinu poly2 dáme nezobrazovat). ˇ osy z Vytvoˇríme posuvník pro posun roviny poly3 ve smeru • h od -5 do 5 (svisle). V Grafickém náhledu 3D vytvoˇríme posunutím roviny poly3 o hodnotu h rovinu poly4. Do vstupu zapíšeme Posun[poly3, Vektor[(0, 0, h)]]. (Rovinu poly3 dáme nezobrazovat, popisek: $\rho$ ).

Nyní pˇrejdeme ke konstrukci samotného kužele. R. Paláˇcek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

XXIX

3µ 2015

12.

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Vytvoˇríme posuvník, jehož hodnota bude definovat úhel, který bude svírat kužel ˇ s kladným smerem osy z. ˇ popisek: úhel kužele). • uhel od 0◦ do 90◦ (vodorovne,

13.

Do vstupu zapíšeme NekonecnyKuzel[(0, 0, 0), OsaZ, uhel].

V tomto okamžiku nás bude zajímat prunik ˚ kužele s rovinou ˇrezu. V našem pˇrípadeˇ je rovina reˇ ˇ prunik prezentována mnohoúhelníkem. Bohužel, GeoGebra neumožnuje udelat ˚ mnohoúhelníku s takto konstruovaným kuželem pˇrímo, ale musíme nejdˇríve proložit našim mnohoúhelníkem pomocnou rovinu.

14. 15.

Do vstupu zapíšeme Rovina[poly4]. Zaklikneme Prunik ˚ dvou ploch a klikneme na kužel a rovinu z bodu 14). Výsledˇ kem bude Pruniková ˚ cˇ ára k techto objektu. ˚

ˇ GeoGebra nám v tomto pˇrípadeˇ také umožnuje vytvoˇrit samostatné okno, které pˇredstavuje ˇ rovinný pohled na prunik ˚ daných objektu. ˚ To lze udelat napˇríklad tak, že v Algebraickém okneˇ klikneme pravým tlaˇcítkem na výsledek pruniku ˚ a z nabídky vybereme Vytvoˇrit 2D náhled z k (viz. obr. 6)

Obrázek 6: Náhled na nabídku prunikové ˚ cˇ áry.

XXX



3µ 2015

Do noveˇ vytvoˇreného okna umístíme texty, které budou slovneˇ charakterizovat vzniklé ˇrezy kužele a roviny ρ.

Do nákresny umístíme pˇres sebe následující texty a nastavíme u každého z nich podmínky pro zobrazení objektu: • Kružnice podmínky:

(α = 0◦ ) ∨ (α = 180◦ ),

• Elipsa podmínky:

(0◦ < α < 90◦ -uhel) ∨ (90◦ +uhel< α < 180◦ ),

• Parabola podmínky:

(α = 90◦ -uhel) ∨ (α = 90◦ +uhel),

16.

• Hyperbola podmínky: 90◦ -uhel< α < 90◦ +uhel. ˇ Dále, ve vlastnostech všech textu, ˚ v záložce Pro pokroˇcilé, v kolonce Umístení musí být zatrhnuto Extra Views.

Zdroj 1. http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/vera.setmanukova.dp/?page=qdvK& pqdv=1


XXXI

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii Radka Hamˇríková, Dagmar Dlouhá Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava Abstrakt: Pro zájemce jsme pˇripravily 2 jednoduché úlohy jak zaˇcít ve 3D GeoGebˇre.

Konstrukce teˇcné roviny kulové plochy ve 3D Geogebˇre. Motivaˇcní úloha: ukázat studentum ˚ princip konstrukce úlohy, kterou dále ˇrešíme v kótovaném promítání nebo v Mongeoveˇ projekci.

ˇ Autorky dekují za podporu svému pracovišti.


3µ 2015

Pˇríklad 9: Teˇcná rovina ˇ Zadání: Je dána kulová plocha stˇredem S = (0, 3.5, 5) a polomerem r = 3cm. V bodeˇ T = (2, 2, ?) sestrojte teˇcnou rovinu. ˇ programu si vybereme z nabídky 3D grafika. Po spuštení

Konstrukce 1.

stˇred kulové plochy, zadáme v souˇradnicích do pˇríkazového ˇrádku S = (0, 3.5, 5)

2.

ˇ zvolíme tlaˇcítko ,koule stˇredem a polomerem‘, klikneme na bod S a zadáme ˇ 3 polomer

3.

zadáme pudorys ˚ bodu T , napˇr. Q = (2, 2, 0) (ideálneˇ napsat do pˇríkazového ˇrádku)

4.

bodem Q vedeme pˇrímku b kolmo k pudorysn ˚ eˇ

5.

najdeme pruseˇ ˚ cíky pˇrímky b a kulové plochy - pˇrejmenujeme je na T a T 0

6.

spojíme stˇred S s bodem T a pak S s bodem T 0

7.

teˇcná rovina v bodeˇ T je kolmá k ST , teˇcná rovina v bodeˇ T 0 je kolmá k ST 0

R. Hamˇríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

XXXIII

3µ 2015


ˇ Ukázka otáˇcení roviny do prum ˚ etny ve 3D Geogebˇre. Motivaˇcní úloha: ukážeme studentum ˚ princip otáˇcení, dále ho mužeme ˚ využít v kótovaném promítání nebo v Mongeoveˇ projekci.

Pˇridáme si nová tlaˇcítka do nabídky okna 3D grafika: nástroje - nastavit panel nástroju˚ - grafický náhled 3D kolmice - vložit - použít posuvník - vložit - použít

XXXIV



3µ 2015

ˇ Pˇríklad 10: Otoˇcení bodu do prum ˚ etny Zadání: Je dána rovina α body A = (4, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2). Otoˇcte bod C do pru˚ ˇ metny. ˇ programu si vybereme z nabídky 3D grafika. Dále si pˇridáme nákresnu - zobrazit Po spuštení nákresna.

Konstrukce 1.

rovina je dána tˇremi body, zadáme v souˇradnicích do pˇríkazového ˇrádku A = (4, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2)

2.

zvolíme tlaˇcítko ,rovina tˇremi body‘ a klikneme postupneˇ na body A, B, C

3.

najdeme stopu roviny jako pruseˇ ˚ cnici zadané roviny a pudorysny, ˚ pˇrímku pˇrejmenujeme na p

4.

vedeme spádovou pˇrímku s bodem C kolmo ke stopeˇ p

5.

najdeme stopník spádové pˇrímky jako pruseˇ ˚ cík stopy a spádové pˇrímky stˇred otáˇcení


XXXV

3µ 2015


6.

nakreslíme kružnici, která prochází bodem C a její osa je stopa roviny p

7.

ˇ pruseˇ ˚ cíky kružnice z bodu 6 a prum ˚ etny D, E odpovídají otoˇcenému bodu C

8.

spojíme body D, E a dostaneme pˇrímku d

9.

ˇ ríme úhel mezi pˇrímkami s a d α = 39, 81◦ a dopoˇcítáme si úhel β = zmeˇ 180◦ − 39, 81◦ = 140, 19◦

10.

posuvník β v rozmezí 0◦ − 140, 19◦

11.

rotuje bod C o úhel −β, u bodu zatrhneme ,stopa zapnuta‘

ˇ jeho pudorys. Vyzkoušejte si: Sestrojte v rovineˇ α cˇ tverec nad úhlopˇríˇckou BC. Najdete ˚

XXXVI


Obsah První pohled na 3D v GeoGebˇre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 1: Schodišteˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Pˇríklad 2: Rotaˇcní teleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 3: Teˇcná rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerická integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Pˇríklad 4: Numerická integrace lichobežníkovým pravidlem . . . . . . ˇ Pˇríklad 5: Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravidlem Cyklus for a iterace v GeoGebˇre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 6: Seznámení s pˇríkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 7: Regula-falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ˇ kuželové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rezy rotacní ˇ Pˇríklad 8: Rezy rotaˇcní kuželové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 9: Teˇcná rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Pˇríklad 10: Otoˇcení bodu do prum ˚ etny . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XXXVII

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . IV . . V . . IX . . X . . XIII . . XVI . . XVII . . XVIII . . XXI . . XXII . . XXIII . . XXVI . .XXVII . .XXXII . XXXIII . . XXXIV .

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Workshop na konferenci 3µ 2015

Recommend Documents