Univerzita Karlova v Praze Matematicko fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Univerzita Karlova v Praze Matematicko – fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Ondřej Žára KVADRATURNÍ FORMULE A FUNKCE EXPONENCIÁLNÍHO TYPU Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. Studijní program: Výpočtová matematika

Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne 9. dubna 2007 Ondřej Žára

Chtěl bych poděkovat vedoucímu diplomové práce, doc. RNDr. Josefu Kofroňovi, CSc., za poskytnuté studijní materiály, rady, podnětné připomínky a věnovaný čas.

Obsah 1 Úvod 2 Periodické funkce a lichoběžníkové 2.1 Trigonometrické polynomy . . . . 2 . . . . . . . . . . 2.2 Funkce z B2π,d 2.3 Sobolevovy prostory . . . . . . . 2.4 Odhady založené na řádu a typu .

1 pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2 2 10 13 14

3 Formule pro funkce exponenciálního typu 26 3.1 Integrace po kladné poloose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Formule založená na Turánově vzorci 40 4.1 Turánův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2 Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu . . . . . . 42 Literatura

47

Název práce: Kvadraturní formule a funkce exponenciálního typu Autor: Ondřej Žára Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. e-mail vedoucího: [email protected] Abstrakt: Diplomová práce je zaměřena na studium funkcí exponenciálního typu ve vztahu k aplikacím na kvadraturní formule. K tématu existuje několik článků, zabývajících se různými kvadraturními formulemi a jejich vlastnostmi na třídě celistvých funkcí a funkcí exponenciálního typu; tato práce je shrnuje, doplňuje jejich neúplné či chybějící důkazy a doprovází výklad několika příklady. Přestože nebylo dosaženo žádných nových fundamentálních výsledků, nejde jen o prostý překlad článků - práce obsahuje vlastní důkazy, příklady, komentáře a vysvětlující popisy. Klíčová slova: holomorfní funkce, celistvé funkce, funkce exponenciálního typu, kvadratura, lichoběžníkové pravidlo, typ, řád

Title: Quadrature formulae and functions of exponential type Author: Ondřej Žára Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: Doc. RNDr. Josef Kofroň, CSc. Supervisor’s email address: [email protected] Abstract: Master thesis focuses on analysis of entire functions of exponential type, ephasizing their applications to quadrature formulae. Several articles describing quadrature formulae of entire functions and functions of exponential type are available; this work aims to sum and consolidate their results, fill in missing or incomplete proofs and accompany formulae by examples. Although no new fundamental results were achieved, this work contains far more than just article translations - author’s own proofs, examples, comments and explanations are included. Keywords: holomorphic functions, entire functions, functions of exponential type, quadrature, trapezoidal rule, type, order

1 Úvod

1

1

Úvod

K problematice kvadratury celistvých funkcí, potažmo pak funkcí exponenciálního typu, je dostupná řada článků (zejména [1], [2], [8], [10] a [11]). Bohužel, jejich obsah je poměrně strohý, prostý zevrubnějších důkazů a příkladů. Tato práce si klade za cíl zmíněnou problematiku sjednotit, detailněji popsat a přiblížit tak méně zainteresovanému čtenáři. Do práce bohužel nemohl být zahrnut článek [11], neboť většina jeho pramenů je nedostupná. Zároveň se nepodařilo kontaktovat profesora Q. I. Rahmana, který by - jako autor článku - mohl poskytnout detailnější informace. Těžiště práce se tak mírně posouvá: důraz je kladen i na širší množinu celistvých funkcí a jejich kvadraturu, zatímco funkcím exponenciálního typu jsou vyhrazeny části 2.4, 3 a 4.

2 Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo

2

2

Periodické funkce a lichoběžníkové pravidlo

Výsledky této části jsou založeny především na [1] a [2]. Definice. Označme C2π (R) jako množinu všech spojitých 2π-periodických funkcí f : R → C. Pro funkce f ∈ C2π (R) definujme n-bodové lichoběžníkové pravidlo: Z

2π 0

¶ µ n 2π X 2πν + Rn [f ] f (x) dx = f n ν=1 n

(1)

Obrázek 1: Trojbodové lichoběžníkové pravidlo Na Obrázku 1 vidíme lichoběžníkové pravidlo £ ¡ 2πν ¢¤3 pro případ n = 3: černá kolečka představují funkční hodnoty f 3 ν=1 , tečkované obdélníky od¡ ¢ povídají plochám 2π · f 2πν . Součet ploch těchto obdélníků je stejný jako 3 3 plocha pod červenou čarou; když ji (s periodickým prodloužením) posuneme doprava o n/6, snadno nahlédneme, že jde opravdu o lichoběžníky. V této části práce se budeme zabývat tím, jak se chová zbytek Rn [f ] pro různé typy funkcí.

2.1

Trigonometrické polynomy

Lemma 2.1.1. Nechť Tk značí prostor všech trigonometrických polynomů stupně nejvýše k. Pak pro všechna f ∈ Tk platí

2.1

Trigonometrické polynomy

3

Rn [f ] = 0 pro všechna n > k . (2) P Důkaz. Nechť f (x) = kl=0 eilx , k < n. LeváPstrana¡ lichoběžníkového pravi¢ n 2πν f , neboli dla je rovna 2π; chceme ukázat, že 2π = 2π ν=1 n n n=

n X k X ν=1 l=0

µ

lν exp 2πi n

¶ .

Pravou stranu můžeme psát ve tvaru k X n µ X l=0 ν=1

" n µ # µ ¶¶ν µ ¶¶ν k X X l l = −1 = exp 2πi exp 2πi n n l=0 ν=0 " n # k X X ωn (l)ν − 1 , = l=0

ν=0

l kde ωn (l) := e(2πi n ) . Pro l = 1, . . . , n nabývá ωn (l) všech hodnot n-té odmocniny komplexní jednotky. Vzorec pro částečný součet geometrické řady dává

n−1 X

ωn (l)ν =

ν=0

ωn (l)n − 1 , ωn (l) − 1

což je 0; jmenovatel naopak nikdy roven nule není, protože l < n a tedy ωn (l) 6= 1. Všimneme si, že " n # k k X X X ν [ωn (l)n − 1] = k ∗ (1 − 1) = 0; ωn (l) − 1 = l=1

ν=0

l=1

pro zbývající člen l = 0 platí n X

ωn (0)ν − 1 = (n + 1) ∗ 1 − 1 = n,

ν=0

což je hledaná část pravé strany lichoběžníkového pravidla.

2.1

Trigonometrické polynomy

4

Vlastnost (2) však prostor Tk necharakterizuje, neboť (2) platí i pro jiné funkce, například všechny f liché na intervalu [0, 2π] (tj. f (x) ≡ −f (2π−x)). Dokonce je možné ukázat (viz [21], [22] a [23]), že pro g(x) =

∞ X µ(n)

n

n=1

einx ,

kde µ je Möbiova funkce1 , platí Rn [g] = 0 pro všechna n ∈ N, přestože g + c není na intervalu [0, 2π] lichá pro žádnou konstantu c. Pro využití zbytku lichoběžníkového pravidla je třeba uvážit posuny funkce f: fh : x 7→ f (x + h),

h ∈ R,

jejichž zbytek Rn [fh ] lze odhadnout s využitím Fejérovy věty. Lemma 2.1.2 (Vlastnosti Fejérova jádra). Fejérovo jádro n

1 X Dk (x) , Kn (x) := n + 1 k=0 kde

k 1 X ijx Dk (x) := e 2 j=−k

je Dirichletovo jádro, má tyto vlastnosti: ¶ n µ 1 X |k| (i) Kn (x) = 1− eikx , 2 k=−n n+1 1 (ii) π

Z

π

Kn (x) dx = 1 , −π

(iii) 0 ≤ Kn (x) ≤

π2 pro 0 < x ≤ π . (n + 1)x2

  1 1 definice převzata z [3]: µ(n) := (−1)k   0

pro n ≡ 1 pokud n je součin k navzájem různých prvočísel jinak

2.1

Trigonometrické polynomy

5

Důkaz. (i): Z definice Dirichletova jádra je n X

(n + 1)Kn (x)) =

Dk (x) =

n k X 1 X

k=0

k=0

2 j=−k

eijx

n 1 X = (n + 1 − |k|)eikx . 2 k=−n

(ii): Je

Z

π −π

n n Z 1 X π ikx 1 X ikx e dx = e dx = π , 2 k=−n 2 k=−n −π

neboť pro nenulové k se integrály odpovídající hodnotám ±k odečtou. Tedy Z 1 π Dn (x) dx = 1 π −π a proto i

1 π

Z

π

Kn (x) dx = 1 . −π

(iii): Dle [14] je 1 Kn (x) = n+1

µ

tedy 0 ≤ Kn (x) ≤

sin(x(n + 1)/2) sin(x/2)

¶2

1 1 . 2 n + 1 sin (x/2)

Víme, že pro 0 < x ≤ π je t/π ≤ sin(t/2), takže Kn (x) ≤

1 π2 . n + 1 x2

Věta 2.1.3 (Fejér). Nechť f ∈ C2π (R). Pokud Z 2π 1 ˆ f (t)e−ikt dt, k ∈ Z , f (k) := 2π 0

,

2.1

Trigonometrické polynomy

6

pak f (x) = lim

m µ X

m→∞

k=−m

|k| 1− m+1

¶ fˆ(k)eikx

(3)

pro všechna x ∈ R. Důkaz. Definujme nejprve 1 σn (f, x) := π

Z

2π

f (t)Kn (t − x) dt , 0

kde Kn (x) je n-té Fejérovo jádro. Ukážeme, že pro všechna x ∈ R je lim σn (f, x) = f (x) .

n→∞

Je

1 σn (f, x) = π

Z

2π 0

1 f (t)Kn (x − t) dt = π

Z

2π

f (x − t)Kn (t) dt ; 0

využijeme Lemmatu (2.1.2), vlastnosti (ii): Z Z 1 π f (x) π σn (f, x) − f (x) = f (x − t)Kn (t) dt − Kn (t) dt π −π π −π Z 1 2π = Kn (t)[f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)] dt . π 0 Výraz v hranaté závorce označme Φ(x, t). Pro 0 < δ < π máme ¶ µZ δ Z π 1 |Φ(x, t)|Kn (t) dt . (4) |Φ(x, t)|Kn (t) dt + |σn (f, x) − f (x)| ≤ π 0 δ Pro odhad prvního integrálu v (4) použijeme následující: |Φ(x, t)| ≤ |f (x + t) − f (x)| + |f (x − t) − f (x)| , tedy pro libovolné ε > 0 můžeme volit 0 < δ < π tak, aby pro všechna t, 0 < t < δ platilo ε |Φ(x, y)| ≤ . 2

2.1

Trigonometrické polynomy

7

Potom lze odhadnout Z Z 1 δ 1 δε Kn (t) dt |Φ(x, t)|Kn (t) dt ≤ π 0 π 0 2 Z 1ε π ε < Kn (t) dt < , π 2 −π 2 neboť Kn (t) ≥ 0 pro všechna t ∈ R . Pro odhad druhého integrálu v (4) využijme Lemmatu (2.1.2), vlastnosti (iii): Z 1 π 1 π2 |Φ(x, t)|Kn (t) dt ≤ |Φ(x, t)| dt π δ π (n + 1)x2 Z 1 π |f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)| π2 dt ≤ (n + 1)x2 π δ t2 π2 2 ≤ (kf k1 + π|f (x)|) . 2 (n + 1)x δ 2 Tento člen jde pro n → ∞ k nule, tedy limn→∞ σn (f, x) = f (x) . Nakonec pomocí Lemmatu (2.1.2), vlastnosti (i): ¶ n µ 1 X |k| Kn (x) = 1− eikx , 2 k=−n n+1 tedy 1 σn (f, x) = π = = = =

Z

2π

f (t)Kn (x − t) dt ¶ Z n µ 1 2π 1 X |k| f (t) 1− eik(x−t) dt π 0 2 k=−n n+1 µ ¶ Z 2π n X 1 |k| f (t) 1 − eikx e−ikt dt 2π n + 1 0 k=−n ¶ Z 2π n µ X |k| 1 1− f (t)e−ikt dt eikx n + 1 2π 0 k=−n µ ¶ n X |k| 1− fˆ(k)eikx . n+1 k=−n 0

2.1

Trigonometrické polynomy

8

Lemma 2.1.4. Nechť f ∈ C2π (R) . Pak pro všechna h ∈ R platí Rn [fh ] = lim −2π m→∞

µ

∗ X |j|≤bm/nc

|jn| 1− m+1

¶ fˆ(jn)eijnh .

(5)

Suma s hvězdičkou značí takový součet, ve kterém vynecháme sčítanec odpovídající indexu rovnému 0. Dále standardně bxc značí zaokrouhlení na celá čísla dolů. Důkaz. Dle předchozího lemmatu je fh (x) = f (x + h) = lim

m→∞

m µ X k=−m

|k| 1+ m+1

¶ fˆ(k)eik(x+h)

pro všechna x, h ∈ R. Tedy Rn [fh ] =

lim

m→∞

"Z

m µ X k=−m

|k| 1+ m+1

¶ fˆ(k)

# n X 2π eik (x+h) dx − × eik (h+2πν/n) = n 0 ν=1 ¶ m µ X |k| fˆ(k) = lim 1+ m→∞ m + 1 k=−m "Z # n 2π X 2π × eik (x+h) dx − eik h eik 2πν/n . n 0 ν=1 2π

R 2π Pro k = 0 je 0 eik(x+h) dx = 2π, v ostatních případech 0. Dále pro ta k, P která nejsou násobkem n, je n1 nν=1 eik2πν/n = 0, v ostatních případech 1. Suma přes k má tedy nenulové sčítance jen pro k = jn, 0 6= j ∈ N a platí (5). Nyní již můžeme přistoupit k hlavnímu výsledku, týkajícího se trigonometrických polynomů. Věta 2.1.5. Nechť f ∈ C2π (R). Pak f ∈ Tk tehdy a jen tedy, pokud Rn [fh ] = 0 pro všechna n > k a |h| ≤ π/n.

2.1

Trigonometrické polynomy

9

Důkaz. První implikace: pokud f ∈ Tk , pak fh ∈ Tk pro všechna h ∈ R a tedy Rn [fh ] = 0 pro všechna n > k, viz Lemma 2.1.1. Druhá implikace: předpokládejme, že Rn [fh ] = 0 pro všechna n > k a |h| ≤ π/2. Pak pro dané ε > 0 a n > k existuje dle Lemmatu 2.1.4 nějaké m0 ∈ N takové, že ¯ ¯ ¯ ¯ µ ¶ ∗ X ¯ ¯ |jn| ijnh ¯ ˆ ¯2π 1 − f (jn)e ¯ ¯<ε m+1 ¯ ¯ |j|≤bm/nc

pro všechna m ≥ m0 a |h| ≤ π/2. Tedy pro trigonometrický polynom t(θ) := 2π

∗ X |j|≤bm/nc

µ

|jn| 1− m+1

¶ fˆ(jn)eijθ

platí |t(θ)| ≤ ε pro všchna θ ∈ R, pokud m ≥ m0 . Především tedy ¯ µ ¯ ¶ ¯ ¯ n ˆ ¯2π 1 − f (±n)¯¯ < ε pro m ≥ m0 , n > k, ¯ m+1 z čehož plyne f ∈ Tk .

(6)

2.2

2.2

2 Funkce z B2π,d

10

2 Funkce z B2π,d

2 Definice. Označme B2π,d množinu všech 2π-periodických funkcí f , holomorfních v

Sd := {z ∈ C : |=z| < d} , které splňují µ kf k := sup |y|
1 2π

Z

¶1/2

2π

2

|f (x + iy)| dx

< +∞.

(7)

0

Dále označme l2 Hilbertův prostor posloupností (an )n∈N , splňujících X

|an |2 < ∞ .

n∈N

Lemma 2.2.1. Funkce f ∈ C2π (R) je restrikcí do R nějaké funkce patřící 2 do B2π,d tehdy a jen tehdy, pokud fˆ(n) = an e−|n|d kde (a±n )n∈N ∈ l2 . 2 Důkaz. Nejprve nechť f ∈ B2π,d . Pak definujme

1 αn (y) := 2π

Z

2π

f (x + iy)e−inx dx pro n ∈ Z.

0

Když zintegrujeme funkci f (z)e−inz podél obdélníku s vrcholy 0, 2π, iy a 2π + iy, kde |y| < d a ny < 0, dostaneme 0 (Cauchyova věta), z čehož plyne, že Z 2π 1 ˆ f (n) = f (x)e−inx dx 2π 0 Z 2π 1 = f (x + iy)e−in(x+iy) dx = e−|ny| αn (y), 2π 0 neboť hodnoty integrálů podél svislých přímek se navzájem vynulují (jako důsledek předpokládané 2π-periodicity). Použijme nyní (7) a Besselovu nerovnost: X X |fˆ(n)|2 e−2|ny| = |αn (y)|2 ≤ kf k2 pro y ∈ (−d, d). n∈Z

n∈Z

2.2

2 Funkce z B2π,d

11

Tedy, volbou an := fˆ(n)e|n|d , dostáváme X |an |2 e−2|n|(d−|y|) ≤ kf k2 pro y ∈ (−d, d), n∈Z

P což implikuje z∈Z |an |2 ≤ kf k2 . Nyní naopak nechť fˆ(n) = an e−|n|d , kde (a±n )n∈N ∈ l2 . Pak funkce f má absolutně konvergentní Fourierovu řadu a lze ji rozšířit do Sd holomorfní funkcí ∞ X f (x + iy) := fˆ(n)ein(x+iy) , n=−∞

která splňuje Parsevalovu rovnost: 1 2π

Z

2π

|f (x + iy)|2 dx =

0

∞ X

|fˆ(n)e−ny |2 ≤

n=−∞

∞ X

|an |2 e−2|n|(d−|y|)

n=−∞

2 pro všechna y ∈ (−d, d). Tedy kf k < ∞ a f ∈ B2π,d .

Věta 2.2.2. Nechť f ∈ C2π (R). Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: 2 (i) f je restrikcí do R nějaké funkce patřící do B2π,d ,

(ii) |Rn [fh ]| ≤ bn e−nd pro všchna n ∈ N a |h| ≤ π/n, kde d je kladné a (bn )n∈N ∈ l2 . 2 Důkaz. Nejprve nechť f ∈ B2π,d . Dle Lemmatu 2.2.1 je fˆ = an e−|n|d , 2 (an )n∈N ∈ l . Tedy s pomocí Lemmatu 2.1.4 dostáváme pro všechna n ∈ N a h ∈ R: ∗ X |Rn [fh ]| ≤ 2π |ajn |e−n|j|d =: bn e−nd . j∈Z

Chceme ukázat, že bn ∈ l2 . Je bn = 2π

∗ X j∈Z

|ajn |e−nd(|j|−1) = 2π

∗ X £ j∈Z

¤ |ajn |e−nd(|j|−1)/2 e−nd(|j|−1)/2 ,

2.2

2 Funkce z B2π,d

12

dle Cauchy-Schwarzovy nerovnosti platí " ∗ #" ∗ # X X |bn |2 ≤ 4π 2 |ajn |2 e−nd(|j|−1) e−nd(|j|−1) ≤ j∈Z

≤ 4π 2

" ∗ X

#" |ajn |2 e−nd(|j|−1)

j∈Z

# ∞ X ¡ −d ¢nj 2 e ≤ j=0

j∈Z

≤

8π 2 1 − e−d

∗ X

|ajn |2 e−nd(|j|−1) ,

j∈Z

P∞

kde součet j=0 (e−d )nj jsme odhadli součtem celé řady všechna N ∈ N: N X

|bn |

2

n=1

1 , 1−e−d

a tedy pro

|m|−1 ∗ X 8π 2 X 2 |a | e−νd ≤ m 1 − e−d m∈Z ν=0

≤

∗ X 8π 2 |am |2 , 2 −d (1 − e ) m∈Z

tedy (i) implikuje (ii). Předpokládejme nyní naopak, že (ii) platí. Nechť n je libovolné pevně zvolené přirozené číslo; dle Lemmatu 2.1.4 existuje m0 ∈ N takové, že pro všechna m ≥ m0 platí ¯ ¯ ¯ µ ¯ ¶ ¶ µ ∗ X ¯ ¯ 1 |jn| ijnh ¯ ˆ ¯2π f (jn)e ¯ ≤ bn + e−nd . 1− ¯ m + 1 n ¯ ¯ |j|≤bm/nc Pravá strana nerovnosti tak omezuje koeficienty trigonometrického polynomu (6); především ¯ µ ¯ µ ¶ ¶ ¯ ¯ 1 n ¯2π 1 − fˆ(±n)¯¯ ≤ bn + e−nd ¯ m+1 n pro všechna m ≥ m0 , tedy 1 |fˆ(±n)| ≤ 2π

µ

1 bn + n

¶ e−nd .

S pomocí Lemmatu 2.2.1 konečně dostáváme, že f je restrikcí do R nějaké 2 funkce z B2π,d .

2.3

2.3

Sobolevovy prostory

13

Sobolevovy prostory

Definice. Označme WLk2 (Sobolevův) prostor funkcí f : R → C s periodou 2π, pro které existuje f (k−1) a je absolutně spojitá a f (k) ∈ L2 (0, 2π) . Věta 2.3.1. Nechť f ∈ C2π (R). Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) f ∈ WLk2 pro nějaké přirozené k ≥ 2 , (ii) |Rn [fh ]| ≤ bn n−k pro všechna n ∈ N a |h| ≤ π/n , kde (bn )n∈N ∈ l2 Důkaz. Dle [4, Věta 4.1.10] je tvrzení (i) ekvivalentní tvrzení (i*) fˆ(n) = (in)−k cn pro všechna n ∈ Z, kde (c±n )n∈N ∈ l2 . Tedy dle Lemmatu 2.1.4 je ∗ X |cjn | |Rn [fh ]| ≤ 2π := bn n−k k |jn| j∈Z

pro všechna n ∈ N a h ∈ R. Pro k ≥ 2 a Mk := z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti |bn |2 ≤ 8π 2

∗ X

P

j ∈ Nj −k dostaneme

|j|−k |cjn |2 pro n ∈ N .

j∈Z

Tedy N X n=1

2

2

|bn | ≤ 8π Mk

∗ X m∈Z

|cm |

2

m X j=1

j −k ≤ 8π 2 Mk2

X

|cm |2

m∈Z

a z toho plyne (ii). Nyní nechť (ii) platí. Ke každému n ∈ N existuje dle Lemmatu 2.1.4 nějaké m0 ∈ N takové, že ¯ ¯ ¯ ¯ µ µ ¶ ¶ ∗ X ¯ ¯ 1 jn ijnh ¯2π 1− fˆ(jn)e ¯¯ ≤ bn + n−k ¯ m+1 n ¯ ¯ |j|≤bm/nc pro všechna m > m0 a |h| ≤ π/2. Uvážíme-li opět, stejně jako v důkazu Věty 2.2.2, polynom (6), dospějeme k platnosti (i*), což implikuje platnost (i).

2.4

2.4

Odhady založené na řádu a typu

14

Odhady založené na řádu a typu

V této části budou odvozeny některé odhady zbytku lichoběžníkového pravidla, závisející na řádu a typu funkce. Těchto nerovností lze prakticky využít, jak je v závěru části ukázáno. Funkce, které jsou holomorfní v celé komplexní rovině, nazýváme celistvé. Celistvé funkce bývá ve zvyku charakterizovat pomocí jejich řádu a typu; definujeme je (stejně jako v [5]) následujícím způsobem. Označme Mf (r) := max |f (z)|. |z|=r

Pak ρ := lim sup r→∞

log log Mf (r) log r

nazýváme řádem funkce f . Pro funkci řádu ρ ∈ (0, ∞) definujeme její typ jako T := lim sup r→∞

log Mf (r) . rρ

Pro některé následující odhady je užitečné definovat také s-řád a s-typ. Předpokládejme, že celistvá funkce f je omezená v pásu |=z| ≤ η pro 0 < η < ∞. Označme Mf (η) := sup |f (x + iy)|. |y|≤η

Pak ρs := lim sup η→∞

log log Mf (η) η

nazýváme s-řádem funkce f . Pro funkci s-řádu ρs ∈ (0, ∞) definujeme její s-typ jako log Mf (η) . Ts := lim sup eηρs η→∞ Funkce řádu ρ < 1 a funkce řádu ρ = 1 typu T < ∞ tvoří třídu celistvých funkcí exponenciálního typu.

2.4

Odhady založené na řádu a typu

15

Příklady. Funkce f1 := e3x nabývá hodnoty Mf1 (r) na reálné ose. Je tedy log(3r) = 1, log r r→∞ 3r T [f1 ] = lim sup =3 r r→∞ ρ[f1 ] = lim sup

a f1 je řádu 1 typu 3. 2 Funkce f2 := ex splňuje 2 log(r) = 2, log r r→∞ r2 T [f2 ] = lim sup 2 = 1 r→∞ r ρ[f2 ] = lim sup

a je řádu 2 typu 1. Funkce f3 := e2 sin x „rosteÿ po imaginární ose rychleji než libovolná mocnina exponenciály; je proto lim

x→∞

f3 (xi) =∞ exi

a f3 je řádu ∞. Zajímavější je v tomto případě s-řád a s-typ: platí f3 (x + iy) = e2 sin x = e2(sin x cosh y−i cos x sinh y) , tedy

¯ ¯ Mf3 (η) = sup ¯e2(sin x cosh y−i cos x sinh y) ¯ = e2 cosh η . |y|≤η

Z toho plyne, že log(eη + e−η ) = 1, η η→∞ eη + e−η Ts [f3 ] = lim sup =1 eη η→∞ ρs [f3 ] = lim sup

a f3 je s-řádu 1 s-typu 1. 2 Nakonec mějme f4 := ecos x . Tato funkce je opět řádu ∞; tentokrát ¯ ¯ 2 2¯ ¯ Mf4 (η) = sup ¯e(cos x cosh y−i sin x sinh y) ¯ = ecosh η , |y|≤η

2.4

Odhady založené na řádu a typu

16

a tedy η

−η

2 log( e +e ) 2 ρs [f4 ] = lim sup = 2, η η→∞ ((eη + e−η )/2)2 1 Ts [f4 ] = lim sup = 2η e 2 η→∞ a f4 je s-řádu 2 s-typu 1/2. Označme C¯2π (R) jako množinu všech spojitých 2π-periodických funkcí f : R → R. Pro Fourierovy koeficienty funkcí z C¯2π (R) platí fˆ(−n) = fˆ(n) P∞ pro n ∈ N. Fourierova řada n=−∞ fˆ(n)einz pak definuje celistvou funkci tehdy a jen tehdy, pokud lim |fˆ(n)|1/n = 0 .

n→∞

(8)

Řád i typ celistvé funkce jsou jednoznačně určeny hodnotami fˆ(n), n ∈ N. Pro následující odhady definujme ještě Rn∗ [f ] := sup |Rn [fh ]| . |h|≤π/n

Lemma 2.4.1 (viz [7], Lemma III). Řada f (z) =

∞ X

an einz

(a−n = an , n ∈ N)

(9)

n=−∞

definuje celistvou funkci konečného řádu ρ ≥ 1 tehdy a jen tehdy, pokud lim sup n→∞

log n ρ−1 = . log log |an |−1 ρ

Důkaz. Nejprve předpokládejme, že f (x) je celistvá funkce řádu ρ. Pak pro dané ε > 0 a dostatečně velké |x| platí ρ+ε

|f (x)| < e|x|

.

Hodnotu an můžeme (periodičnost, Cauchyův vzorec) počítat takto:

(10)

2.4

Odhady založené na řádu a typu

17

Z 2π−ir 1 = f (x)e−inx dx 2π −ir Z 2π 1 = f (t − ir)e−in(t−ir) dt 2π 0 Z 1 −nr 2π e f (t − ir)e−int dt , = 2π 0

an

ρ+ε −nr

|an | ≤ e(r+π)

,

(11)

využíváme (10). Pro dané n teď zvolíme r tak, abychom minimalizovali pravou stranu (11). Výpočtem dospějeme k tomu, že lim sup n→∞

ρ−1 log n ≤ . log log |an |−1 ρ

Naopak, předpokládejme, že lim sup n→∞

log n = k > 0. log log |an |−1

Pak pro dané ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n > n0 platí |an einx | < e−n Z toho dostáváme, že ρ≥

k+ε +n|x|

.

k , k−1

tedy Lemma 2.4.1 platí. Věta 2.4.2. Funkce f ∈ C¯2π (R) je restrikcí do R celistvé funkce řádu ρ ≥ 1 tehdy a jen tehdy, pokud λ := lim sup n→∞

ρ−1 log n = . −1 ∗ log log(Rn [f ]) ρ

Důkaz. Nejprve nechť f je celistvá funkce řádu ρ ≥ 1. Této funkci přísluší Fourierova řada f (z) =

∞ X n=−∞

an einz kde a−n = an , n ∈ N .

2.4

Odhady založené na řádu a typu

18

Pro dané ε > 0 plyne z Lemmatu 2.4.1, že ¡ ¢ |an | < exp −|n|ρ/(ρ−1+ερ) pro n ≥ n0 . Jestliže nyní použijeme Lemma 2.1.4, dostaneme Rn∗ [f ]

≤ 4π

∞ X

|ajn | ≤ 4π

j=1

∞ X

¡ ¢ exp −(jn)ρ/(ρ−1+ρε) .

j=1

Pro dostatečně velká n můžeme součet odhadnout dvojnásobkem jeho prvního členu: ¡ ¢ Rn∗ [f ] ≤ 8π exp −nρ/(ρ−1+ρε) . Upravujme dále tuto nerovnost: ¡ ¢ Rn∗ [f ] ≤ 8π exp −nρ/(ρ−1+ρε) log (Rn∗ [f ])−1 ≥ nρ/(ρ−1+ρε) − log(8π) ¡ ¢ ρ logn log Rn∗ [f ]−1 + C ≥ ρ − 1 + ρε log n ρ−1 + ε, ≤ ∗ −1 log (log Rn [f ] + C) ρ tedy λ := lim sup n→∞

log n ρ−1 . ≤ ∗ −1 log log(Rn [f ]) ) ρ

(12)

Naopak, nechť λ je definováno jako v (12). Pak pro ε > 0 můžeme odhadnout ¡ ¢ Rn∗ [f ] < exp −n1/(λ+ε) pro n ≥ n0 . Z Lemmatu 2.1.4 nyní pro každé n ≥ n0 existuje m0 ∈ N takové, že pro všechna m ≥ m0 a |h| ≤ π/n platí ¯ ¯ ¯ ¯ µ ¶ ∗ X ¯ ¯ ¡ ¢ |jn| ijnh ¯ ¯2π 1− ajn e ¯ < exp −n1/(λ+ε) . ¯ m+1 ¯ |j|≤bm/nc ¯ ¢ ¡ Uvažme opět polynom (6), omezený hodnotou exp −n1/(λ+ε) . Pro koeficient příslušný ke členu j = 1 máme ¯ µ ¶ ¯ ¯ ¯ ¢ ¡ ¯2π 1 − n ¯ < exp −n1/(λ+ε) , a n ¯ ¯ m+1

2.4

Odhady založené na řádu a typu

z tohoto dostáváme lim sup n→∞

19

log n ≤ λ. log log |an |−1

Dle Lemmatu 2.4.1 má tedy f rozšíření do celistvé funkce řádu ρ, kde ρ−1 ≤ λ. ρ

(13)

Z nerovností (12) a (13) plyne platnost Věty 2.4.2. Důsledek (praktický). Pokud f ∈ C¯2π (R) má řád ρ ≥ 1, pak pro dané ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ≥ n0 platí ¡ ¢ |Rn [f ]| ≤ exp −nρ/(ρ−1+ερ) . Lemma 2.4.3. Nechť f, definována v (9), je celistvá funkce řádu ρ > 1. Pak f je typu T tehdy a jen tehdy, pokud µ ¶ρ µ ¶ρ−1 n ρ−1 β := lim sup =T. ρ log |an |−1 n→∞ Důkaz. Definujme nejprve pomocnou funkci ∞

a0 X g(z) := + an z n . 2 n=1 Pro y > 0 je ¯ ¯ ∞ ∞ ¯ ¯a X a ¯ 0 X 0 −in(x+iy) in(x+iy) ¯ Mf (y) ≤ max ¯ + an e + + an e ¯ −π≤x≤π ¯ 2 ¯ 2 n=1 n=1 ≤ Mg (ey ) + Mg (1) ,

(14)

dále pak p Mf ( y 2 + π 2 ) ≥

¯ ¯ ∞ ∞ ¯ ¯a X X a ¯ ¯ 0 0 max ¯ + an e−in(x+iy) + + an ein(x+iy) ¯ −π≤x≤π ¯ 2 ¯ 2 n=1 n=1

≥ Mg (ey ) − Mg (1) .

(15)

2.4

Odhady založené na řádu a typu

20

Nahradíme-li ey za r, vidíme z (14) a (15), že řád i typ funkce f můžeme zjistit pomocí Mg (r) takto: log log Mf (y) log log Mg (r) = lim sup log y log log r y→∞ r→∞ log Mf (y) log Mg (r) T := lim sup = lim sup . ρ y (log r)ρ y→∞ r→∞ ρ := lim sup

Dle [6, Věta 2] je log Mg (r) 1 lim sup = lim sup ρ · nρ · ρ (log r) n→∞ ρ r→∞

µ

ρ−1 log |an |−1

¶ρ−1 ,

tedy Lemma 2.4.3 platí. Věta 2.4.4. Funkce f ∈ C¯2π (R) je restrikcí do R celistvé funkce řádu ∞ > ρ > 1 a typu T tehdy a jen tehdy, pokud µ ¶ρ µ ¶ρ−1 n ρ−1 T := lim sup . ρ log(Rn∗ [f ])−1 n→∞ Důkaz. Důkaz Věty 2.4.4 je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu 2.4.1 použijeme Lemma 2.4.3. Důsledek (praktický). Pokud f ∈ C¯2π (R) má řád ∞ > ρ > 1 a typ T , pak pro dané ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ≥ n0 platí µ ¶ ρ/(ρ−1) ρ − 1 −1/(ρ−1) |Rn [f ]| ≤ exp −n · · (ρ(T + ε)) . ρ Lemma 2.4.5 (viz [5], Věta 2.2.2, s. 9). Nechť f, definována v (9), je celistvá funkce s-řádu ρs tehdy a jen tehdy, pokud ρs = lim sup n→∞

n log n . log |an |−1

Věta 2.4.6. Funkce f ∈ C¯2π (R) je restrikcí do R celistvé funkce konečného s-řádu ∞ > ρs > 0 tehdy a jen tehdy, pokud ρs = lim sup n→∞

n log n . log(Rn∗ [f ])−1

2.4

Odhady založené na řádu a typu

21

Důkaz. Důkaz Věty 2.4.6 je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu 2.4.1 použijeme Lemma 2.4.5. Důsledek (praktický). Pokud f ∈ C¯2π (R) má s-řád ρs , pak pro dané ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ≥ n0 platí |Rn [f ]| ≤ n−n/(ρs +ε) . Lemma 2.4.7 (viz [5], Věta 2.2.10, s. 11). Nechť f, definována v (9), je celistvá funkce s-řádu ∞ > ρs > 0 a s-typu Ts tehdy a jen tehdy, pokud eρs Ts = lim sup n|an |ρs /n . n→∞

Věta 2.4.8. Funkce f ∈ C¯2π (R) je restrikcí do R celistvé funkce s-řádu ∞ > ρs > 0 a s-typu Ts tehdy a jen tehdy, pokud eρs Ts = lim sup n(Rn∗ [f ])ρs /n . n→∞

Důkaz. Důkaz Věty 2.4.8 je stejný jako důkaz Věty 2.4.2, jen místo Lemmatu 2.4.1 použijeme Lemma 2.4.7. Důsledek (praktický). Pokud f ∈ C¯2π (R) má s-řád ∞ > ρs > 0 a s-typ Ts , pak pro dané ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ≥ n0 platí µ |Rn [f ]| ≤

eρs Ts + ε n

¶n/ρs .

2.4

Odhady založené na řádu a typu

22

Příklad. Uvažme funkci f3 , definovanou výše. Její restrikce do R patří do C¯2π (R). S použitím výše uvedených vět dostáváme tyto odhady: ¡ ¢ O1 (Věta 2.4.2) - |Rn [f3 ]| ≤ exp −n(1/(1+ε)) O2 (Věta 2.4.4) - nelze aplikovat, protože ρ[f3 ] = ∞ O3 (Věta 2.4.6) - |Rn [f3 ]| ≤ n−n/(1+ε) ¡ ¢n O4 (Věta 2.4.8) - |Rn [f3 ]| ≤ e+ε n R 2π Přesná hodnota integrálu 0 f3 (x) dx je 14.323056878101..., Tabulka 1 ukazuje hodnoty spočítané lichoběžníkovým pravidlem pro n = 2, . . . , 15 a jejich odchylku od přesného řešení. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2π n

Pn

η=1 f3

¡ 2πη ¢ n

6.28318530718 14.3029485349 14.9608789981 14.3230530869 14.3029485349 14.3230568779 14.3234049586 14.3230568781 14.3230530869 14.3230568781 14.3230569064 14.3230568781 14.3230568779 14.3230568781

|Rn [f3 ]| 8.04E–00 2.01E–02 6.38E–01 3.79E–06 2.01E–02 1.54E–10 3.48E–04 2.07E–15 3.79E–06 1.17E–20 2.83E–08 3.23E–26 1.54E–10 4.89E–32

Tabulka 1: Lichoběžníkové pravidlo pro f3 V Tabulce 2 je vidět jednotlivé odhady chyb. Tyto výsledky jsou spočítány pro ε = 0.5. Odhady O3 a O4 jsou výrazně přesnější, než odhad O1. Hodnoty jsou též vykresleny na Obrázku 2; černá čára představuje skutečnou chybu, červená, modrá a zelená jsou odhady O1, O3 a O4.

2.4

Odhady založené na řádu a typu

23

1.5

1

0.5

0

-0.5 2

4

6

8

10

12

14

Obrázek 2: Odhady chyb pro f3 , ε = 0.5 n

|Rn [f3 ]|

O1

O3

O4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

8.04E–00 2.01E–02 6.38E–01 3.79E–06 2.01E–02 1.54E–10 3.48E–04 2.07E–15 3.79E–06 1.17E–20 2.83E–08 3.23E–26 1.54E–10 4.89E–32

0.20445 0.12492 0.08047 0.05372 0.03681 0.02575 0.01832 0.01321 0.00964 0.00711 0.00529 0.00397 0.00300 0.00228

3.9685E–01 1.1111E–01 2.4803E–02 4.6784E–03 7.7161E–04 1.1382E–04 1.5259E–05 1.8817E–06 2.1544E–07 2.3074E–08 2.3256E–09 2.2173E–10 2.0082E–11 1.7342E–12

2.5893E–00 1.2346E–00 4.1904E–01 1.1048E–01 2.3814E–02 4.3419E–03 6.8592E–04 9.5595E–05 1.1919E–05 1.3445E–03 1.3846E–07 1.3117E–08 1.1507E–09 9.3971E–11

Tabulka 2: Odhady chyb pro f3 , ε = 0.5

2.4

Odhady založené na řádu a typu

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2π m

Pn η=1

f4

¡ 2πη ¢ n

17.0794684453 11.0716692366 11.6813268763 11.0170299191 11.0716692366 11.0168598006 11.0202740700 11.0168595480 11.0170299191 11.0168595478 11.0168666360 11.0168595478 11.0168598006 11.0168595478

24

|Rn [f4 ]| 6.06E–00 5.48E–02 6.64E–01 1.70E–04 5.48E–02 2.53E–07 3.41E–03 2.19E–10 1.70E–04 1.24E–13 7.09E–06 3.55E–15 2.53E–07 1.78E–15

Tabulka 3: lichoběžníkové pravidlo pro f4 Příklad. Nyní uvažme funkci f4 , též definovanou výše. Její restrikce do R patří do C¯2π (R). Opět máme tyto odhady: ¡ ¢ O1 (Věta 2.4.2) - |Rn [f3 ]| ≤ exp −n(1/(1+ε)) O3 (Věta 2.4.6) - |Rn [f3 ]| ≤ n−n/(2+ε) ¡ ¢n O4 (Věta 2.4.8) - |Rn [f3 ]| ≤ e+ε n R 2π Přesná hodnota integrálu 0 f4 (x) dx je 11.016859547772..., Tabulka 3 ukazuje hodnoty spočítané lichoběžníkovým pravidlem pro n = 2 . . . 15 a jejich odchylku od přesného řešení. Tabulka 4 opět zobrazuje odhady chyb, viz Obrázek 3. Použito bylo ε = 0.5.

2.4

Odhady založené na řádu a typu

25

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2 2

4

6

8

10

12

14

Obrázek 3: Odhady chyb pro f4 , ε = 0.5 n

|Rn [f4 ]|

O1

O3

O4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6.06E–00 5.48E–02 6.64E–01 1.70E–04 5.48E–02 2.53E–07 3.41E–03 2.19E–10 1.70E–04 1.24E–13 7.09E–06 3.55E–15 2.53E–07 1.78E–15

0.20446 0.12492 0.08047 0.05372 0.03681 0.02575 0.01832 0.01321 0.00964 0.00711 0.00529 0.00397 0.00300 0.00228

5.7435E–01 2.6758E–01 1.0882E–01 4.0000E–02 1.3566E–02 4.3026E–03 1.2886E–03 3.6705E–04 1.0000E–04 2.6174E–05 6.6059E–06 1.6125E–06 3.8167E–07 8.7792E–08

1.6091E–00 1.1111E–00 6.4733E–01 3.3238E–01 1.5432E–01 6.5893E–02 2.6190E–02 9.7773E–03 3.4524E–03 1.1595E–03 3.7210E–04 1.1453E–04 3.3921E–05 9.6939E–06

Tabulka 4: odhady chyb pro f4 , ε = 0.5

3 Formule pro funkce exponenciálního typu

3

26

Formule pro funkce exponenciálního typu

3.1

Integrace po kladné poloose

Vyjděme z následujícího výsledku ([20]): pokud f je celistvá funkce exponeciálního typu méně než 2π a f je integrovatelná na R, pak Z

∞

f (x) dx = −∞

∞ X

f (n) .

(16)

n=−∞

Příklad. Předpoklad na omezení typu funkce nelze zanedbat. Mějme ( sin(2πz) pro z 6= 0 , z f (z) := 2π pro z = 0 . f je řádu 1 typu 2π; dále Z

∞

f (x) dx = π −∞ ∞ X

f (n) = 2π .

n=−∞

Vzniká otázka, existuje-li podobná formule i pro integraci pouze přes kladnou poloosu. Pro sudé funkce je (16) ekvivalentní s formulí Z

∞ 0

∞ X 1 f (x) dx = f (0) + f (n) , 2 n=1

R∞ P je tedy na místě zkoumat vztah mezi 0 f (x) dx a 21 f (0) + ∞ n=1 f (n). Abel-Planova formule (viz [9]) dává Z

∞ 0

Z ∞ ∞ X f (iy) − f (−iy) 1 f (n) − i dy , f (x) dx = f (0) + 2 e2πy − 1 0 n=1

za předpokladu, že 1. limy→∞ |f (x ± iy)|e−2πy = 0 pro všecha x,

(17)

3.1 2.

Integrace po kladné poloose R∞ 0

27

|f (x ± iy)|e−2πy dy existuje pro všecha x ≥ 0 a dále Z ∞ lim |f (x ± iy)|e−2πy dy = 0 . x→∞

0

Vzorec (17) vyjadřuje rozdíl Z

Ã

∞

E :=

f (x) dx − 0

! ∞ X 1 f (0) + f (n) 2 n=1

pomocí integrálu obsahujícího hodnoty f na imaginární ose. V této části práce bude odvozen jiný odhad E, který je výhodnější z numerického hlediska. V následujícíchP lemmatech a větách označení Bj určuje j-té Bernoulliho −x číslo, dále ζ(x) := ∞ značí Riemannovu zeta funkci. n=1 n Lemma 3.1.1 ([11, Věta 7]). Nechť f je holomorfní funkce exponenciálního typu méně než 2π v pásu {z ∈ C : −δ ≤ 0 a N ∈ N. Pak Z

N 0

N −1

X 1 f (x) dx = (f (0) + f (N )) + f (n) 2 n=1 k X ¡ (2j−1) ¢ B2j − f (N ) − f (2j−1) (0) + (18) (2j)! j=1 Z ∞ k +i(−1) L2k (t)(f 2k (N + it) − f 2k (N − it) 0 2k

−f (it) + f 2k (−it)) dx , kde Lk (z) := (−1)k

∞ X e−2πνz , k (2πν) ν=1

k ∈ N \ {1},
(19)

Důkaz. Technický důkaz tohoto Lemmatu, formulovaného jako [11, Věta 7], tvoří většinu z téměř třicetistránkového článku [11]. V tomto případě se ovšem jedná jen o jednodušší verzi, totiž (při zachování značení z [11])

3.1

Integrace po kladné poloose

28

a = 0, b = N, m = 0, tedy h = 1. Důkaz pak - velmi zhruba - postupuje následovně: Chceme dokázat, že v [11, Věta 3] je Z

∞

R2,k,1,N [f ] = i

L2,k,1 (t)(f 2k (N + it) − f 2k (N − it)

0

−f 2k (it) + f 2k (−it)) ,

(20)

kde L2,k,1 splývá s Lk , definovaným v (19). Počítáme tedy E0 [0, N, f ], definované na straně 246, pomocí [11, Věta 1]: k X B2j (2j−1) E0 [0, N, f ] = (f (N ) − f (2j−1) (0)) (21) (2j)! j=1 Z N + i (Ψ2k (u − iT )f 2k (u − iT ) + Ψ2k (−u − iT )f 2k (u + iT )) du 0 Z T Φ2k (−it)(f 2k (N + it) − f 2k (N − it) − f 2k (it) + f 2k (−it)) dt , + 0

kde Φk (z) := ik+1

∞ X

(−1)ν

ν=1 k+1

Ψk (z) := i

e−2πiνz (2πν)k

∞ X e−2πiνz ν=1

(2πν)k

.

Pro T → ∞ druhý integrál v (21) konverguje k pravé straně (20), navíc Z

N

lim i

T →∞

k+1

= lim (−1) T →∞

(Ψ2k (u − iT )f 2k (u − iT ) + Ψ2k (−u − iT )f 2k (u + iT )) du =

0

Z N ∞ X e−2πνT (e−2πiνu f 2k (u − iT ) − e2πiνu f 2k (u + iT )) du = 2k (2πν) 0 ν=1 = 0,

tedy (20) platí.

3.1

Integrace po kladné poloose

29

Lemma 3.1.2. Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ . Pak pro dané z0 ∈ C a ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ≥ n0 je |f (n) (z0 )| ≤ (τ + ε)n . Důkaz. Tento výsledek plyne z (2.2.1) v [5]. 3.1.3. Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π a RLemma ∞ f (x) dx existuje. Pak 0 lim f (j) (x) = 0 pro všechna j ≥ 0 .

x→∞

Navíc ještě

Z

∞

lim

N →∞

Lk (t)f (k) (N ± it) dt = 0 .

0

Důkaz. Nejprve nahlédneme ([5, Věta 2.4.1]), že všechny derivace f jsou typu τ . Dále dle ([5, Věta 11.3.4*]) platí, že pokud existuje Rexponenciálního ∞ f (x) dx, pak 0 lim f (j) (x) = 0 pro všechna j ≥ 0 ,

x→∞

a tedy f (k) (x) je omezená na [0, +∞). Jsou tedy splněny předpoklady [5, Věta 6.2.3] a je |f (k) (x)| ≤ Ce(π+τ /2)|y|

pro x ∈ [0, +∞), y ∈ R, C > 0 .

Tedy dle definice (19) je pro y > 0 ¯Z ¯ ¯ ¯

∞ y

¯Z ¯ ¯ ∞ ¯ ∞X ¯ −2πνt ¯ e ¯ ¯ (π+τ /2)t Lk (t)f (k) (N ± it) dt¯¯ ≤ ¯ · Ce dt ¯ k ¯ y ¯ (2πν) ν=1 ¯ ¯Z ∞ ¯ ∞X e−2πνt+πt+τ t/2 ¯¯ ¯ dt¯ ≤ C¯ k ¯ ¯ y (2πν) ν=1 Z ∞ C ζ(k) e−(π−τ /2)t dt ≤ (2π)k y C ζ(k) −(π−τ /2)y = e . k (2π) π − τ /2

3.1

Integrace po kladné poloose

30

Tento člen se pro y → +∞ blíží nule. Aplikujme ještě [5, Věta 6.2.8] dostáváme, že lim f (k) (x + iy) = 0 n→+∞

pro všechna y > 0. Tedy platí zbývající rovnost Z y lim Lk (t)f (k) (N ± it) dt = 0 N →∞

0

pro všechna y > 0. Lemma 3.1.4. Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π. Pak Z ∞ lim Lk (t)f (k) (t) dt = 0 . k→∞

0

Důkaz. Označme jejichž limitu zkoumáme, jako posloupnost R ∞ si integrály, (k) {Ik }, Ik := 0 Lk (t)f (t) dt. Vidíme, že Ik existuje pro všechna k ≥ 2, protože všechny f (k) jsou exponenciálního typu méně než 2π. Všimneme si ještě, že platí ∂ Lk (t) = Lk−1 (t) . ∂t Nyní můžeme integrovat per partes: Z ∞ Ik = Lk (t)f (k) (t) dt 0 Z ∞ (k) ∞ = [Lk+1 (t)f (t)]0 − Lk+1 (t)f (k+1) (t) dt 0

= −Lk+1 (0)f (k) (0) − Ik+1 , tedy pro všechna k > 2 platí I2 =

k−1 X

(−1)j+1 Lj+1 (0)f (j) (0) + (−1)k Ik .

j=2

Pro platnost Lemmatu 3.1.4 tak stačí ukázat, že I2 =

∞ X j=2

(−1)j+1 Lj+1 (0)f (j) (0) .

3.1

Integrace po kladné poloose

31

RT K tomuto dospějeme takto: I2 = limT →∞ 0 L2 (t)f (2) (t) dt, přičemž uvážíme, že ∞ X f (n+2) (0) n (2) f (t) = t . n! n=0 Tedy Z

T

L2 (t)f

(2)

(t) dt =

0

Z ∞ µ (n+2) X f (0) n!

n=0

¶

T

n

L2 (t)t dt

(T > 0).

Budeme opět integrovat po částech: Z T Z ∞ Z n n−1 L2 (t)t dt = −n L3 (t)t dt = n(n − 1) 0

(22)

0

0

∞

L4 (t)tn−2 dt

0

= . . . = (−1)n+1 n!Ln+1 (0) ,

(23)

dále n+1

(−1)

Ln+1 (0) =

∞ X j=1

1 ζ(3) 1 = ζ(n + 3) ≤ . n+3 n+3 (2πj) (2π) (2π)n+3

(24)

Z odhadů (23) a (24) tak dostáváme ¯ (n+2) Z ¯f (0) ¯ ¯ n!

T 0

¯ ¯ |f (n+2) (0)| ζ(3) L2 (t)t dt¯¯ ≤ |f (n+2) (0)Ln+3 (0)| ≤ (2π)n+2 2π n

(25)

pro všechna T > 0. Dle Lemmatu 3.1.2 pro n → ∞ pravá strana (25) konverguje k nule, a součet v (22) má konvergentní majorantu nezávislou na T . Dostáváme tedy Z ∞ I2 = L2 (t)f (2) (t) dt 0

=

∞ X

(−1)n+1 Ln+3 (0)f (n+2) (0)

n=0

=

∞ X

(−1)j+1 Lj+1 (0)f j (0) ,

j=2

takže lim Ik = 0 ,

k→∞

což jsme měli dokázat.

3.1

Integrace po kladné poloose

32

Věta 3.1.5. Nechť f je celistvá funkce exponenciálního typu τ < 2π a R∞ f (x) dx existuje. Pak 0 Z

∞ 0

∞ ∞ X X 1 B2j f (x) dx = f (0) + . f (n) + f (2j−1) (0) 2 (2j)! n=1 j=1

Důkaz. Vyjděme z Lemmatu 3.1.1. Z (18) a Lemmatu 3.1.3 plyne, že pro N → ∞ je Z

∞ 0

∞ k X X 1 B2j f (x) dx = f (0) + f (n) + f (2j−1) (0) 2 (2j)! n=1 j=1 Z ∞ −i(−1)k L2k (t)(f 2k (it) − f 2k (−it)) dt .

(26)

0

Funkce f (x), f (i · x) i f (−i · x) jsou exponenciálního typu méně než 2π, tedy dle Lemmatu 3.1.4 je lim

k X

k→∞

j=1

f

(2j−1)

B2j (0) − i(−1)k (2j)!

Z

∞

L2k (t)(f 2k (it) − f 2k (−it)) =

0

=

∞ X j=1

f (2j−1) (0)

B2j . (2j)!

Věta 3.1.6. Nechť platí předpoklady Věty 3.1.5 a navíc f je omezená na reálné ose konstantou M . Pak pro všechna k ≥ 2 platí Z

∞ 0

∞ k−1 X X 1 B2j f (x) dx = f (0) + f (n) + f (2j−1) (0) + Rk [f ] , 2 (2j)! n=1 j=1

kde Rk [f ] ≤

³ τ ´2k 2M ζ(2k) · . (1 − (τ /2π)2 )τ 2π

Důkaz. Dle Věty 3.1.5 je Rk [f ] =

∞ X j=k

f (2j−1) (0)

B2j . (2j)!

(27)

3.1

Integrace po kladné poloose

33

Uvažme nyní Bernsteinovu nerovnost ([5, Věta 11.1.2]), která říká, že pro celistvou funkci exponenciálního typu τ , omezenou na reálné ose konstantou M , platí |f 0 (x)| ≤ M τ . Když tuto nerovnost opakovaně aplikujeme, dostaneme |f (2j−1) (0)| ≤ M τ 2j−1 .

(28)

Využijme ještě následující Eulerovy identity pro Bernoulliho čísla ([12], [13]): B2j =

(−1)j+1 2(2j)! ζ(2j) (2π)2j

Je tedy celkem |Rk [f ]| ≤

∞ X

M τ 2j−1

j=k

= M

(−1)j+1 2(2j)! ζ(2j) = (2π)2j (2j)!

∞ X 2ζ(2j) j=k

(2π)2j

(29)

2M ζ(2k) X ³ τ ´2j ≤ , τ 2π j=k ∞

τ

2j−1

tedy (27) platí. Poznámka. Předpoklad, omezující typ funkce f , lze zeslabit. Pokud je totiž f exponenciálního typu τ , pak f (h · x) je též celistvá funkce exponenciálního typu menšího než 2π pro všechna h ∈ (0, 2π/τ ). Dále je Z ∞ Z ∞ f (x) dx = h f (h · x) dx , 0

0

vidíme tedy, že můžeme vzít funkci libovolného exponenciálního typu, a odhad formulovat pro f (h · x). Poznámka. Zeslabit lze dokonce i předpoklad na omezenost funkce f ve Větě 3.1.6. Jak je vidět z důkazu, tento fakt je nutný v nerovnosti (28), nicméně v (29) potřebujeme odhadnout jen liché derivace f . Stačí tedy předpokládat, že |f (j) (0)| ≤ M τ j pro j = 3, 5, 7, . . ..

3.2

Příklady

3.2

34

Příklady

Jak bylo zmíněno v první z předchozích poznámek, je výhodné využít transformované funkce f (h · x) dokonce i v případech, kdy f splňuje předpoklady Věty 3.1.6. V takovém případě pak dostáváme následující odhad: Z

Z

∞

∞

f (x) dx = h 0

f (h · x) dx

(30)

0

=

∞ k−1 X X h B2j +h f (hn) + h2j f (2j−1) (0) + Rk (h)[f ] , 2 (2j)! n=1 j=1

kde 2M ζ(2k) |Rk (h)[f ]| ≤ τ (1 − (hτ /2π)2 )

µ

hτ 2π

¶2k .

Příklad. Uvažme funkci f1 , definovanou takto: ( cos(πx) pro x 6= − 21 , f1 (x) := x+1/2 π pro x = − 21 . Tato funkce nabývá na reálné ose maxima π a je exponenciálního typu π. Můžeme tedy přímo aplikovat Větu 3.1.6. Namísto toho však využijme tvaru (30) tak, že zvolíme 1 h = m ,m ∈ N. 2 Pro m = 0 pak nastává původní případ nezměněné funkce f1 . V tomto případě tedy (30) vypadá takto: Z

∞

f1 (x) dx = 2−m + 2−m

0

∞ X cos(πn2−m ) n=1

+

k−1 X

n2−m + 1/2

2−2mj f (2j−1) (0)

j=1

= 2

−m

+

∞ X cos(πn2−m ) n=1

+

k−1 X j=1

B2j + Rk (2−m )[f1 ] (2j)!

n + 2m−1

2−2mj f (2j−1) (0)

B2j + Rk (2−m )[f1 ] , (2j)!

3.2

Příklady

35

kde |Rk (2−m )[f1 ]| ≤

2ζ(2k) 1 . −m−1 k(m+1) 1−4 4

m\k

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1.10E–00 2.19E–01 5.22E–02 1.29E–02 3.22E–03 8.03E–04 2.01E–04 5.02E–05 1.25E–05

1.80E–01 9.02E–03 5.37E–04 3.32E–05 2.07E–06 1.29E–07 8.06E–09 5.04E–10 3.15E–11

4.24E–02 5.30E–04 7.88E–06 1.22E–07 1.90E–09 2.96E–11 4.63E–13 7.23E–15 1.13E–16

1.05E–02 3.27E–05 1.22E–07 4.69E–10 1.83E–12 7.14E–15 2.79E–17 1.09E–19 4.25E–22

2.61E–03 2.04E–06 1.89E–09 1.83E–12 1.78E–15 1.74E–18 1.70E–21 1.66E–24 1.62E–27

Tabulka 5: Hodnoty Rk (2−m )[f1 ]

100000

1

1e-005

1e-010

1e-015

1e-020

1e-025

1e-030 0

1

2

3

4

5

6

7

Obrázek 4: Hodnoty Rk (2−m )[f1 ] pro k = 1, . . . , 5; m = 0, . . . , 8

8

3.2

Příklady

36

Tabulka 5 ukazuje hodnoty omezující Rk (2−m )[f1 ]. Ty jsou též vykresleny na Obrázku (4) (v logaritmické stupnici). Zbývá vypočítat nekonečný součet. K jeho hodnotě se lze dostat takto: ∞ X cos(πn2−m ) n=1

n + 2m−1

=

∞ X sin(πn2−m + π/2)

n + 2m−1

n=1

=

∞ X n=1+2m−1

=

∞ X sin(π2−m (n + 2m−1 ))

n + 2m−1

n=1

sin(πn2−m ) n m−1

2X sin(πn2−m ) π −m = (1 − 2 ) − =: Qm . 2 n n=1

Pro případ m = 0 nabývá veličina Qm hodnoty π2 − 2. V Tabulce 6 jsou vidět přibližně spočtené hodnoty integrálu pro k = 2, 3 a m = 0 . . . 8, tj. 2 12 2 1 := 2−m + Qm + 2−2m − 2−4m (12π 2 − 96) . 12 720

I2,m := 2−m + Qm + 2−2m I3,m

m

I2,m

I3,m

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.237462993461563 0.202064830064115 0.200157130576292 0.200041785483409 0.200034634407901 0.200034188361694 0.200034160497767 0.200034158756490 0.200034158647663

0.206302920110074 0.200117325479647 0.200035411539762 0.200034178043626 0.200034158942914 0.200034158645132 0.200034158640482 0.200034158640409 0.200034158640408

Tabulka 6: Hodnoty I2,m a I3,m pro f1

3.2

Příklady

37

Příklad. Uvažme nyní funkci f2 (x) := e−x cos x . Tu můžeme zapsat v exponenciálním tvaru takto: e−x(1+i) + e−x(1−i) . 2 √ Je patrné, že f2 je exponenciálního typu τ = 2. Tato funkce není na reálné ose omezená, nicméně i zde lze Větu 3.1.6 použít: snadno nahlédneme, že f2 (x) =

(2j+1)

f2

(x) = c1 2j e−x cos(x) + c2 2j e−x sin(x) ,

kde c1 a c2 střídavě nabývají hodnot ±1. Je tedy (2j+1)

|f2

√ 1 √ (0)| = 2j = ( 2)2j = √ ( 2)2j+1 2

a lze využít druhé √ poznámky √ o omezenosti lichých derivací.−mTedy pro výpočet je M = 1/ 2, τ = 2 a za účelem zobecnění h = π2 . Stejně jako v minulém příkladu, Tabulka 7 ukazuje hodnoty omezující Rk (2−m )[f2 ] ≤

ζ(2k) 2−k(2m+1) . 1 − 2−(2m+1)

m\k

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1.64E–00 2.35E–01 5.31E–02 1.30E–02 3.22E–03 8.04E–04 2.01E–04 5.02E–05 1.25E–05

5.41E–01 1.93E–02 1.09E–03 6.66E–05 4.14E–06 2.58E–07 1.61E–08 1.01E–09 6.30E–11

2.54E–01 2.27E–03 3.20E–05 4.89E–07 7.59E–09 1.18E–10 1.85E–12 2.89E–14 4.52E–16

1.26E–01 2.80E–04 9.88E–07 3.77E–09 1.46E–11 5.71E–14 2.23E–16 8.71E–19 3.40E–21

6.26E–02 3.49E–05 3.08E–08 2.94E–11 2.85E–14 2.78E–17 2.71E–20 2.65E–23 2.59E–26

Tabulka 7: Hodnoty Rk (2−m )[f2 ]

3.2

Příklady

38

m

I2,m

I3,m

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.618192486553401 0.514713001632729 0.501024982607290 0.500065570949587 0.500004121141101 0.500000257927476 0.500000016126022 0.500000001007963 0.500000000062999

0.3476116781256168 0.4978017011059925 0.4999680263243686 0.4999995111819042 0.4999999924056208 0.4999999998815086 0.4999999999981492 0.4999999999999711 0.4999999999999995

Tabulka 8: Hodnoty I2.m a I3.m pro f2

0.515

0.51

0.505

0.5

0.495 1

8

Obrázek 5: Hodnoty I2.m a I3.m pro f2

3.2

Příklady

Přesná hodnota

39 R∞ 0

f2 (x) dx je 12 , pro nekonečný součet v (30) platí

∞ X

1 sinh h f2 (h · n) = − − , 2 2(cos h − cosh h) n=1

můžeme tedy opět snadno spočítat přibližné hodnoty I2,m a I3,m , k nahlédnutí v Tabulce 8 a na Obrázku 5.

4 Formule založená na Turánově vzorci

4 4.1

40

Formule založená na Turánově vzorci Turánův vzorec

Nechť X = (x1 , . . . , xn ) je množina n různých bodů na reálné ose, dále nechť k je kladné. Pomocí Hermiteovy interpolace můžeme každý polynom P (x) stupně menšího než kn vyjádřit ve tvaru P (x) =

n X k−1 X

P (j) (xi )li,j (x) ,

(31)

i=1 j=0

kde li,j (x) (i = 1, . . . , n; j = 0, . . . , k−1) jsou Hermiteovy bázové polynomy stupně nejvýše kn − 1 a platí (m)

li,j (xk ) = δi,k δj,m , kde

( δa,b :=

1 0

pro a = b jinak

je Kroneckerovo delta. Rovnost (31) můžeme nyní zintegrovat přes interval [−1; 1]. Dostaneme tak tzv. Šakalovovu kvadraturní formuli [15]: Z

1

P (x) dx = −1

kde

Z

n X k−1 X

P (j) (xi )λi,j ,

(32)

i=1 j=0

1

λi,j =

li,j dx (1 ≤ i ≤ n; 0 ≤ j ≤ k − 1) . −1

Z (31) plyne, že tato formule je přesná pro všechny polynomy stupně nejvýše kn − 1. Je otázkou, zda-li pomocí vhodné volby systému X můžeme docílit přesnosti i pro polynomy vyššího stupně (s ohledem na Gaussovy kvadraturu). Odpověď na tuto otázku dal Paul Turán [16]:

4.1

Turánův vzorec

41

Věta (Turán). Při využití existujícího značení: (i) Pro sudé k ∈ N neexistuje žádný systém X = (x1 , . . . , xn ) takový, že (32) platí pro všechny polynomy stupně m ≤ kn, (ii) Pro liché k ∈ N neexistuje právě jeden systém X ∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) takový, že (32) platí pro všechny polynomy stupně m ≤ (k + 1)n − 1, (iii) Systém X ∗ je charakterizován následující vlastností: PX ∗ (x) :=

n Y

(x − x∗i )

i=1

minimalizuje integrál Z

1

Ik (P ) :=

|P (x)|k+1 dx

−1

přes všechny polynomy stupně n, jejichž koeficient u nejvyšší mocniny je roven jedné. Případ k = 1 představuje klasickou Gaussovu kvadraturní formuli.

4.2

4.2

Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu

42

Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu

Je známo, že celistvá funkce exponenciálního typu méně než kσ je jednoznačně určena svými hodnotami a hodnotami svých derivací až do stupně k − 1 v bodech množiny Λ = {λn }n∈Z ([17, s. 1031] či [18, Věta B]). Tyto posloupnosti {λn } jsou dobrými kandidáty do role systému X v případě Hermiteovy interpolace funkcí exponenciálního typu. Definice. Nechť k ∈ N a σ > 0. Označme M k (σ) množinu všech rostoucích reálných posloupností Λ = {λn }n∈Z , majících tyto vlastnosti: (i) λ0 = 0 a λn → ±∞ pro n → ±∞ . (ii) Pokud celistvá funkce f exponenciálního typu méně než kσ nabývá, společně se svými derivacemi až do stupně k − 1, v bodech λn hodnoty 0, pak f ≡ 0. (iii) Pro Λ ∈ M k (σ) existuje celistvá funkce ϕΛ exponenciálního typu σ taková, že ϕΛ (R) ⊆ R, ϕ0Λ (0) = 1 a ϕΛ (λn ) = 0 pro n ∈ Z . Z ∞ (iv) x−2 |ϕΛ (x)|k+1 dx < ∞ . −∞

© ª Příklad. Označme Λ∗ := n πσ n∈Z . Je Λ∗ ∈ Mk (σ), dále je ϕΛ∗ (x) :=

sin(σx) . x

Za mnoha okolností (viz [17, Věty 3,4,5,6]) lze definovat hermiteovskou interpolaci: f (z) =

∞ X k−1 X

f(j) (λi )Li,j (z) ,

(33)

i=−∞ j=0

kde

(m)

Li,j (λk ) = δi,k δj,m . Tato formule platí pro celistvé funkce f exponenciálního typu méně než kσ, s dodatečnými omezeními rychlosti růstu na reálné ose. Pokud navíc f ∈ L1 (R), můžeme (33) zintegrovat přes celé R. Dostaneme tak formuli Z ∞ ∞ X k−1 X f (x) dx = f(j) (λi )wi,j . (34) −∞

i=−∞ j=0

4.2

Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu

43

Ta však stále platí pouze pro funkce exponenciálního typu méně než kσ. S ohledem na Turánovu větu se můžeme ptát, lze-li toto omezení zeslabit, vhodnou volbou posloupnosti Λ. Přímou, nicméně nekompletní odpověď dává [19]: Věta. Nechť k je liché přirozené číslo a nechť σ > 0. Definujme (k−1)/2 µ

ϕ(z) :=

Y j=1

dále a0,0 := 1 , aj,k−1 :=

z2 1+ 2 j

−1 (j) ϕ (0) j!

¶ ,

pro 0 ≤ j ≤ k − 1 .

Pokud f je celistvá funkce exponenciálního typu (k + 1)σ a f ∈ L1 (R), pak Z

∞ k−1 ³ π´ π X X . f (x) dx = (2σ)−j aj,k−1 f (j) i σ i=−∞ j=0 σ −∞ ∞

(35)

j sudé

Stále však zůstává otázka, jestli existují nějaké posloupnosti (jiné než Λ∗ ) z množiny M k (σ), pro které formule (34) platí pro všechny funkce exponenciálního typu (k + 1)σ, patřící do L1 (R). Lemma 4.2.1. Nechť k ∈ N a nechť f, g jsou dvě funkce definované na R takové, že f k (x) g k (x) 1 ∈ L (R) , ∈ L1 (R) . x2 x2 Pak pro všechna přirozená čísla a, b splňující k = a + b platí f a (x)g b (x) ∈ L1 (R). x2 Důkaz. Můžeme psát µ

¶k f a (x) a , a x2 k µ b ¶ kb g (x) g k (x) = . b 2 x x2 k

f k (x) = x2

4.2

Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu

Vidíme, že 1 = µ

a k

44

+ kb , tedy dle Hölderovy nerovnosti je

f a (x) a x2 k

¶ ka µ b ¶ kb f a (x)g b (x) f a (x)g b (x) g (x) ≥ = · . b 2a+2b x2 x2 k x k

Lemma 4.2.2. Nechť k je sudé přirozené číslo a nechť a, b ∈ R , b 6= 0. Pak (a + b)k > ak + kak−1 b . Důkaz. Pro a = 0 je nerovnost zřejmá, stejně tak pro případ, kdy a i b mají stejná znaménka. Pokud a a b mají opačná znaménka a |a| > |b|, pak nerovnost plyne z Bernoulliho nerovnosti. Ve všech zbývající případech je levá strana nerovnosti kladná, zatímco pravá strana nerovnosti záporná. Lemma 4.2.3. Nechť k ∈ N je liché a nechť Λ ∈ M k (σ) je taková posloupnost, že formule (34) platí pro všechny funkce exponenciálního typu (k + 1)σ, patřící do L1 (R). Pokud f je celistvá funkce exponenciálního typu σ taková, že f (0) = 0, f 0 (0) = 1 a f 6= ϕΛ , pak Z ∞ Z ∞ −2 k+1 x |ϕΛ (x)| dx < x−2 |f (x)|k+1 dx . (36) −∞

−∞

Důkaz. Můžeme předpokládat, že pravá strana (36) je konečná, neboť v opačném případě tvrzení ihned plyne z vlastnosti (iv) množiny M k (σ). Nejprve nechť f (x) nabývá pro reálná x reálných hodnot. Uvažme funkci h(x) := f (x) − ϕΛ (x) . Funkce h je exponenciálního typu σ, h(x) 6≡ 0 a 0 = h(0) = h0 (0) . f a (x)ϕb (x)

ha (x)ϕb (x)

Λ Λ Z Lemmatu 4.2.1 plyne, že funkce a x2 x2 všechna 0 < a, b ∈ R taková, že a + b = k + 1. Tedy

náleží do L1 (R) pro

(k + 1)ϕkΛ (x)h(x) (ϕΛ (x) + h(x))k+1 ϕk+1 Λ (x) − − F (x) := x2 x2 x2

(37)

4.2

Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu

45

je celistvá funkce exponenciálního typu (k + 1)σ, reálná pro reálné x a F ∈ L1 (R). Z Lemmatu 4.2.2 plyne, že F (x) > 0 (skoro všude) a tedy Z ∞ F (x) dx > 0 . (38) −∞ ϕk (x)h(x)

Funkce Λ x2 je také celistvá funkce exponenciálního typu (k + 1)σ. Můžeme na ni tedy aplikovat formuli (34) s posloupností Λ: Z ∞ x−2 ϕkΛ (x)h(x) dx = 0 . (39) −∞

Dokazovaná nerovnost P (36) teď plyne z (37)-(39). n Pokud má f (z) = ∞ n=0 an z nějaké komplexní koeficienty, aplikujeme předešlou úvahu prve na g(z) :=

∞ X


n=0

a dále vidíme, že Z Z ∞ −2 k+1 x |ϕΛ (x)| dx < −∞

∞

Z −2

x |g(x)|

k+1

∞

dx ≤

x−2 |f (x)|k+1 dx .

−∞

−∞

Lemma 4.2.4. Nechť k ∈ N je liché a Λ ∈ M k (σ) je taková posloupnost, že formule (34) platí pro všechny funkce exponenciálního typu (k + 1)σ, patřící do L1 (R). Pak funkce ϕΛ je jednoznačně určena, dále všechny její nulové body leží v Λ. Důkaz. Jednoznačnost ϕΛ plyne z Lemmatu 4.2.3. Předpokládejme, že λ ∈ R je nulový bod ϕΛ , který není obsažen v Λ. Pak ϕ˜Λ (z) :=

λ ϕΛ (z) z−λ

též splňuje podmínky (iii) a (iv) z Definice množiny M k (σ). To je v rozporu s jednoznačností ϕΛ . Nyní můžeme přistoupit k hlavnímu výsledku této části, analogickému Turánově větě.

4.2

Hermiteova interpolace funkcí exponenciálního typu

46

Věta 4.2.5. (i) Pro sudé k ∈ N neexistuje žádná posloupnost Λ ∈ M k (σ) a žádné ε > 0 tak, že formule (34) platí pro všechny funkce exponenciálního typu kσ + ε, patřící do L1 (R). © ª (ii) Pro liché k ∈ N je posloupnost Λ∗ := n πσ n∈Z jediným prvkem M k (σ) takovým, že formule (34) platí pro všechny funkce exponenciálního typu (k + 1)σ, patřící do L1 (R). (iii) Posloupnost Λ∗ je charakterizována skutečností, že funkce ϕΛ∗ minimalizuje integrál Z ∞

Ik (f ) :=

x−2 |f (x)|k+1 dx

−∞

přes všechny celistvé funkce f exponenciálního typu σ takové, že f (0) = 0 ,

f 0 (0) = 1 .

Důkaz. Nechť k je sudé. Protože celistvá funkce exponenciálního typu, patřící do L1 (R) je omezená na R ([5, Věta 6.7.15]), vidíme z vlastnosti (iv) Definice množiny M k (σ), že celistvá funkce µ f (z) :=

ϕkΛ (z)

sin(εz/4) z

¶4

je exponenciálního typu kσ + ε a náleží do L1 (R). Dále f (x) > 0 skoro všude na R. Tedy pro tuto funkci je levá strana formule (34) kladná, zatímco pravá strana se rovná nule. Tím je dokázáno (i). Pro liché k nyní víme, že pro Λ∗ formule (34) platí pro všechny funkce exponenciálního typu (k + 1)σ a ϕΛ∗ můžeme volit jako sin(σz) . Z Lemmat σ 4.2.3 a 4.2.4 plyne, že ϕΛ∗ (z) ≡ ϕΛ (z) pro všechna Λ ∈ M k (σ), pro něž formule (34) platí pro všechny funkce exponenciálního typu (k + 1)σ, patřící do L1 (R). Tím je dokázáno (ii). Tvrzení (iii) je přímým důsledkem Lemmatu 4.2.3 a Lemmatu 4.2.4.

Literatura

47

Literatura [1] Q. I. Rahman and G. Schmeisser, Characterization of functions in terms of rate of convergence of a quadrature process. Proc. Amer. Math. Soc. 111 (1991), s. 85-94 [2] Q. I. Rahman and G. Schmeisser, Characterization of Entire Functions via Quadrature. Complex Variables, vol. 20 (1992), s. 113-120 [3] Eric W. Weisstein, Möbius Function. From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MoebiusFunction.html [4] P. L. Butzer and R. J. Nessel, Fourier analysis and approximation, vol. 1, Birkhäuser, Basel-Stuttgart, 1971 [5] R. P. Boas, Jr., Entire Functions. Academic Press, New York, 1954 [6] Q. I. Rahman, On the coefficients of an entire series of finite order. Math. Student 25 (1957), s. 113-121 [7] G. Pólya and N. Wiener, On the oscillation of the derivatives of a periodic function. Trans. Amer. Math.Soc. 52 (1942), s. 249-256 [8] Q. I. Rahman and G. Schmeisser, A quadrature formula for entire functions of exponential type. Math. Comp. 63 (1994), s. 215-227 [9] Anderson, David. Abel-Plana Formula. ¨From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/AbelPlanaFormula.html [10] Q. I. Rahman and G. Schmeisser, An analogue of Turán’s quadrature formula. Constructive theory of functions, Sofia (1942), s. 405-412 [11] Q. I. Rahman and G. Schmeisser, Quadrature formulae and functions of exponential type. Math. Comp. 54 (1990), s. 245-270 [12] Eric W. Weisstein, Bernoulli Number. From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html [13] Wikipedia contributors, Bernoulli number. Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli number

Literatura

48

[14] Wikipedia contributors, Fejér kernel. Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Fejer kernel [15] L. Šakalov, Uber eine allgemeine Quadraturformel. Compter Rendus de l’Academie Bulgare des Sciences 1 (1948), s. 9-12 [16] P. Turán, On the theory of the mechanical quadrature. Acta Scient. Math. 12 (1950), s. 30-37 [17] Q. I. Rahman, Interpolation of Entire Functions. American Journal of Mathematics 87 (1965), s. 1029-1076 [18] G. R. Grozev and Q. I. Rahman, Hermite Interpolation and an Inequality for Entire Functions of Exponential Type. Journal of Inequalities and Applications 1 (1997), s. 149-164 [19] P. Olivier and Q. I. Rahman, Sur une formule de quadrature pour des fonctions entiéres. Modélisation mathématique at Analyse numérique 2 (1986), s. 517-537 [20] C. Frappier and Q. I. Rahman, Une formule de quadrature pour les fonctions entiéres de type exponentiel. Ann. Sci. Math. Québec 10 (1986), s. 17-26 [21] Bary, N. K., A treatise on trigonometric series. Vol I and II, Oxford, Pergamon Press 1964 [22] Blakeley, G. R., Borosg, I., Chui, C. K., A two-dimensional mean problem. J. Approx. Theory 22, (1973), s. 11-26 [23] J. H.Loxton, J. W. Sanders, The kernel of a rule of approximate integration. J. Austral. Math. Soc. Ser. B 21 (1980), s. 257-267