Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta
Diplomov´ a pr´ ace
ˇ ıˇzek Pavel C´ Pomalu rotuj´ıc´ı zdroje kolem statick´ ych ˇ cern´ ych dˇ er ´ Ustav teoretick´e fyziky
Vedouc´ı diplomov´e pr´ace: doc. RNDr. Oldˇrich Semer´ak, Dr. Studijn´ı program: teoretick´a fyzika
2008
R´ad bych podˇekoval sv´emu vedouc´ımu doc. RNDr. Oldˇrichu Semer´akovi, Dr. za mnoho cenn´ ych pˇripom´ınek, n´amˇet˚ u jak by se dala pr´ace rozvinout a v neposledn´ı ˇradˇe za trpˇelivost pˇri opravov´an´ı chyb.
Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou diplomovou pr´aci napsal samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcov´an´ım pr´ace. ˇ ıˇzek Pavel C´
V Praze dne 28.8.2008
3
Obsah 1 Tenk´ e disky jako zdroj stacion´ arn´ıch axi´ alnˇ e pol´ı ´ 1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Einsteinovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Limita tenk´eho disku . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Integrabilita µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 (Ne)singul´arnost na ose z . . . . . . . . . . . . . 1.6 Orbit´aln´ı rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Pouˇzit´a pozad´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Minkowsk´eho prostoroˇcas . . . . . . . . 1.7.2 Curzonovo ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Schwarzschildova ˇcern´a d´ıra . . . . . . .
symetrick´ ych gravitaˇ cn´ıch . . . . . . . . . .
7 7 8 11 14 14 15 16 16 16 16
. . . . . . .
21 21 23 30 39 43 43 44
. . . . . .
49 49 50 50 51 52 53
4 Disky sloˇ zen´ e z neinteraguj´ıc´ıch prachov´ ych sloˇ zek 4.1 Disky s pˇredem zadanou rychlost´ı obˇehu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Disky se self-konzistentn´ı rychlost´ı obˇehu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60 61 61
5 Z´ avˇ er
63
Literatura
64
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2 Metody v´ ypoˇ ct˚ u metriky s pˇ redem zadanou rychlost´ı obˇ ehu disku 2.1 Rozvoj ve hmotnosti disku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Minkowsk´eho pozad´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Schwarzschildovo pozad´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Alternativn´ı zp˚ usob zaveden´ı Schwarzschildova pozad´ı . . . . . . 2.2 Rozvoj dle vzd´alenosti od ˇcern´e d´ıry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Oddˇelen´ı pozad´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 V´ ypoˇcet korekce metriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Metody v´ ypoˇ ct˚ u metriky se self-konzistentn´ı rychlost´ı obˇ ehu 3.1 Rozvoj ve hmotnosti disku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Minkowsk´eho pozad´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Schwarzschildovo pozad´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rozvoj dle vzd´alenosti od ˇcern´e d´ıry . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Oddˇelen´ı pozad´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 V´ ypoˇcet korekce metriky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N´azev pr´ace: Pomalu rotuj´ıc´ı zdroje kolem statick´ ych ˇcern´ ych dˇer ˇ ıˇzek Autor: Pavel C´ ´ Katedra (´ ustav): Ustav teoretick´e fyziky MFF UK Vedouc´ı diplomov´e pr´ace: doc. RNDr. Oldˇrich Semer´ak, Dr. e-mail vedouc´ıho:
[email protected] Abstrakt: V t´eto pr´aci studujeme moˇznost poruchov´eho ˇreˇsen´ı Einsteinov´ ych rovnic v pˇr´ıpadˇe stacion´arn´ı a axi´alnˇe symetrick´e metriky. Postup je motivov´an snahou o popis astrofyzik´alnˇe v´ yznamn´eho syst´emu ˇcern´e d´ıry obklopen´e tenk´ ym diskem nebo prstencem. Jako centr´aln´ı zdroj je proto uvaˇzov´ana Schwarzschildova ˇcern´a d´ıra a kolem n´ı lehk´ y a/nebo pomalu rotuj´ıc´ı tenk´ y prachov´ y disk. Uk´aˇzeme, ˇze metriku je moˇzno naj´ıt v podobˇe poruchov´ ych rozvoj˚ u v relativn´ı hmotnosti disku nebo v pˇrevr´acen´e vzd´alenosti od d´ıry, a upozorn´ıme na probl´emy, kter´e pˇri ˇreˇsen´ı vznikaj´ı. Postup lze pouˇz´ıt jak pro “pˇredem zadan´ y” disk, tak v “self-konzistentn´ım” pˇr´ıpadˇe, kdy elementy disku ob´ıhaj´ı po kruhov´ ych geodetik´ach v hledan´em v´ ysledn´em poli. Je moˇzno jej zobecnit i na disky sloˇzen´e z v´ıce prachov´ ych sloˇzek. Kl´ıˇcov´a slova: stacion´arn´ı a axi´alnˇe symetrick´e prostoroˇcasy, perturbaˇcn´ı ˇreˇsen´ı Einsteinov´ ych rovnic, ˇcern´e d´ıry, diskov´e zdroje v obecn´e relativitˇe
Title: Slowly rotating sources around static black holes ˇ ıˇzek Author: Pavel C´ Department: Institute of theoretical physics MFF UK Supervisor: doc. RNDr. Oldˇrich Semer´ak, Dr. Supervisor’s e-mail address:
[email protected] Abstract: In this thesis we study the possibility of perturbative solution of the Einstein equations in the case of stationary and axially symmetric metric. The method is motivated by the pursuit of describing the astrophysically important system of a black hole surrounded by a thin disc or a ring. A Schwarzschild black hole is thus considered as a central source, with a light and/or slowly rotating disc around. We show that the metric can be found in terms of perturbative expansions in relative disc mass or in inverted distance from the hole, and point out where problems occur. The approach can be applied to a disc “given in advance” as well as in the “self-consistent” case when the disc elements orbit on circular geodesics in the desired total field. It can also be generalised to the discs composed of more dust components. Keywords: stationary and axially symmetric space-times, perturbative solution of Einstein equations, black holes, disc sources in general relativity
6
Kapitola 1 Tenk´ e disky jako zdroj stacion´ arn´ıch axi´ alnˇ e symetrick´ ych gravitaˇ cn´ıch pol´ı 1.1
´ Uvod
Hmota s nenulov´ ym momentem hybnosti m´a tendenci se uspoˇr´adat do diskovit´eho tvaru d´ıky gravitaci a odstˇrediv´e s´ıle. Diskov´e struktury jsou v astrofyzice skuteˇcnˇe ˇcast´e a v´ yznamn´e, zejm´ena v poˇc´ateˇcn´ıch a z´avˇereˇcn´ ych etap´ach v´ yvoje hvˇezd, jako akreˇcn´ı disky a prstence, a samozˇrejmˇe v podobˇe disk˚ u galaktick´ ych. V posledn´ıch desetilet´ıch je velk´a pozornost vˇenov´ana disk˚ um kolem velmi kompaktn´ıch tˇeles, protoˇze se ukazuje, ˇze zˇrejmˇe hraj´ı kl´ıˇcovou roli ve vysoce aktivn´ıch zdroj´ıch jako jsou rentgenov´e dvojhvˇezdy, supernovy a gama z´ablesky a aktivn´ı galaktick´a j´adra. Velmi kompaktn´ı objekty ovˇsem bud´ı velmi siln´e a nehomogenn´ı gravitaˇcn´ı pole a proto je k jejich popisu tˇreba pouˇz´ıvat obecn´e relativity. Bylo by ˇz´adouc´ı do tohoto popisu zahrnout i hmotu (disk ˇci prstenec) v okol´ı centra, protoˇze jeho gravitaˇcn´ı vliv nemus´ı b´ yt vˇzdy zcela zanedbateln´ y, a hlavnˇe protoˇze nˇekter´e vlastnosti akreˇcn´ıho syst´emu se uk´azaly b´ yt velmi citliv´ ymi na pˇresn´ y pr˚ ubˇeh pole. Obecn´a relativita je vˇsak neline´arn´ı a pole v´ıcen´asobn´eho syst´emu se v n´ı obecnˇe ned´a z´ıskat jednoduchou superpozic´ı. V souˇcasn´e dobˇe se i takov´ato sloˇzitˇejˇs´ı pole u ´spˇeˇsnˇe studuj´ı numericky (dokonce i ˇcasovˇe silnˇe promˇenn´a jako pˇri gravitaˇcn´ım kolapsu), ale moˇznosti explicitn´ıho “analytick´eho”ˇreˇsen´ı zat´ım konˇc´ı u syst´em˚ u s velmi vysok´ ym stupnˇem symetrie, konkr´etnˇe pˇr´ıpad˚ u statick´ ych a axi´alnˇe symetrick´ ych. V souvislosti se zm´ınˇenou astrofyzik´aln´ı motivac´ı, ale i z d˚ uvodu teoretick´e zaj´ımavosti, by bylo ˇz´adouc´ı rozˇs´ıˇrit tyto moˇznosti na pˇr´ıpady stacion´arn´ı (tj. pˇripouˇstˇej´ıc´ı rotaci). Pokud je gravitaˇcn´ı vliv hmoty v okol´ı kompaktn´ıho objektu slab´ y, lze u ´lohu studovat perturbaˇcnˇe, tj. uvaˇzovat malou odchylku pole (metriky) od “pozad´ı”urˇcen´eho centr´aln´ım zdrojem, v t´eto odchylce linearizovat poln´ı rovnice a ty pak ˇreˇsit na z´akladˇe znalost´ı z teorie line´ arn´ıch parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic. V t´eto pr´aci uk´aˇzeme, jak´e postupy by mohly v´est k popisu gravitaˇcn´ıho pole “lehk´eho”a “pomalu rotuj´ıc´ıho”disku ˇci prstence kolem (p˚ uvodnˇe statick´e) ˇcern´e d´ıry1 V n´asleduj´ıc´ım textu se budeme snaˇzit nav´azat na pr´aci [14], kter´a se zab´ yv´a lehk´ ym prstencem rotuj´ıc´ım kolem Schwarzschildovy ˇcern´e d´ıry konstantn´ı u ´hlovou rychlost´ı. Tento 1
Jak d´ ale uvid´ıme, nˇekter´e z uveden´ ych postup˚ u by bylo moˇzno pouˇz´ıt i ke studiu “tˇeˇzk´ ych”, resp. “rychle rotuj´ıc´ıch”disk˚ u (alespoˇ n pro v´ ypoˇcet metriky), nicm´enˇe v tˇechto pˇr´ıpadech z˚ ustane otevˇren´ a ot´ azka, jestli m´ ame st´ ale ve stˇredu syst´emu ˇcernou d´ıru, nebo v´ ysledek odpov´ıd´ a jin´emu (nefyzik´ aln´ımu) zdroji.
7
ˇcl´anek se ovˇsem zab´ yval hlavnˇe line´arn´ım ˇr´adem poruchov´eho rozvoje a pro vyˇsˇs´ı ˇr´ady bohuˇzel nen´ı uv´adˇen´ y postup vhodn´ y. Jak uvid´ıme d´ale, postup je vˇsak moˇzno zobecnit tak, aby pot´ıˇze nenast´avaly ani u vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u rozvoje.
1.2
Einsteinovy rovnice
Stacion´arn´ı osovˇe symetrick´e syst´emy jsou charakterizov´any dvˇema poli Killingov´ ych vektor˚ u ξ a η. Prvn´ı z nich je ˇcasupodobn´e, zat´ımco o druh´em pˇredpokl´ad´ame prostorupodobnost a uzavˇrenost integr´aln´ıch kˇrivek. Pokud budeme d´ale poˇzadovat, aby prostoroˇcas byl asymptoticky ploch´ y, mus´ı tato dvˇe pole nav´ıc vz´ajemnˇe komutovat. D´ale budeme pˇredpokl´adat, ˇze i roviny kolm´e k tˇemto dvˇema vektorov´ ym pol´ım jsou integrabiln´ı2 . Souˇradnice budeme volit tak, aby co nejl´epe vystihovaly strukturu Killingov´ ych vektor˚ u. Prvn´ı z nich (t) bude definovan´a pomoc´ı integr´aln´ıch kˇrivek pole ξ. D´ıky komutativitˇe pol´ı ξ a η m˚ uˇzeme druhou souˇradnici (φ) zvolit pod´el integr´aln´ıch kˇrivek pole η. Pokud je osa regul´arn´ı (viz. kapitola 1.5), b´ yv´a obvykl´e volit rozsah souˇradnice φ jako 0 − 2π. Vzhledem k pˇredpokladu existence integrabiln´ıch rovin kolm´ ych na ξ a η m˚ uˇzeme zvolit zbyl´e dvˇe souˇradnice ( x1 a x2 ) v kolm´e integr´aln´ı rovinˇe a metrika tak z´ısk´a tvar ds2 = gtt dt2 + 2gtφ dtdφ + gφφ dφ2 + g11 dx21 + g12 dx1 dx2 + d22 dx22 ,
(1.1)
kde metrick´e funkce gtt , gtφ , gφφ , g11 , g12 a g22 jsou funkcemi jen souˇradnic x1 a x2 , nebot’ zbyl´e dvˇe souˇradnice odpov´ıdaj´ı Killingov´ ym vektor˚ um. Vzhledem k ˇcasupodobnosti pole ξ mus´ı b´ yt gtt z´aporn´e, a tedy t bude odpov´ıdat “ˇcasov´e”souˇradnici. Ostatn´ı souˇradnice tedy budou prostorupodobn´e. O souˇradnici φ, resp. jej´ım Killingovˇe poli η, jsme prostorupodobnost postulovali jiˇz v´ yˇse. D˚ uleˇzitˇejˇs´ı je vˇsak u zb´ yvaj´ıc´ıch dvou souˇradnic. Plocha kolm´a na ξ a η mus´ı b´ yt prostorupodobn´a, a tedy (po uv´aˇzen´ı jej´ı dvourozmˇernosti) konformnˇe ploch´a. Zvolme tedy souˇradnice ρ a z tak, aby odpov´ıdaly tomuto konformn´ımu tvaru a z´ısk´ame tak Weylovy(-Lewisovy-Papapetrouovy) souˇradnice cylindrick´eho typu (t, ρ, φ, z). V nich b´ yv´a metrika zapisov´ana nejˇcastˇeji v jednom z n´asleduj´ıc´ıch tvar˚ u (1.2) ds2 = −e2ν dt2 + ρ2 B 2 e−2ν (dφ − ωdt)2 + e2µ dρ2 + dz 2 , 2k 2 2 2U −2U 2 2 2 2 ds = −e (dt + Adφ) + e e dρ + dz + W dφ . (1.3) Zde ν, ω, B a µ, resp. U , A, k a W jsou pouze funkcemi souˇradnic ρ a z. Metrika (1.2) je pouˇzita napˇr´ıklad v [1], metrika (1.3) v [8], str. 296. Porovn´an´ım obou tvar˚ u lze naj´ıt vztahy ρ2 B 2 e−2ν ω , e2ν − ρ2 B 2 e−2ν ω 2 1 U = ln e2ν − ω 2 B 2 ρ2 e−2ν , 2 W = ρB, 1 ln e2ν − ω 2 B 2 ρ2 e−2ν + µ, k = 2 A =
2
(1.4)
K tomuto pˇredpokladu se vr´ at´ıme na konci kapitoly 1.3 a uk´aˇzeme si o nˇem, ˇze v pˇr´ıpadˇe nekoneˇcnˇe tenk´eho disku bude automaticky splnˇen.
8
resp. inverzn´ı Ae4U , W 2 − e4U A2 1 ν = W + U − ln W 2 − e4U A2 , 2 W B = , ρ µ = k − U. ω =
(1.5)
D´ale budeme pracovat s tvarem metriky (1.2), jelikoˇz se budeme pˇri odvozov´an´ı Einsteinov´ ych rovnic drˇzet postupu, kter´ y je pouˇzit v pr´aci [1]. Z hlediska symetrie trajektori´ı existuje specifick´a skupina “pozorovatel˚ u”, kteˇr´ı ob´ıhaj´ı kolem d´ıry po kruhov´ ych drah´ach s konstantn´ı u ´hlovou rychlost´ı. V n´ı existuje privilegovan´a tˇr´ıda s u ´hlovou rychlost´ı Ω = ω. Pro tuto kongruenci plat´ı, ˇze m´a nulov´ y orbit´aln´ı moment 3 hybnosti (ZAMO ) (tedy jejich ˇctyˇrrychlost bude kolm´a na plochu t = const.). Pˇrirozen´ ym zp˚ usobem lze se ZAMO pozorovateli sv´azat ortonorm´aln´ı tetr´adu (budeme j´ı 4 oznaˇcovat LNRF ) s n´asleduj´ıc´ımi b´azov´ ymi vektory ∂ ∂ + ωe−ν ∂t ∂φ 1 ν ∂ = e ρB ∂φ ∂ = e−µ ∂ρ ∂ = e−µ . ∂z
e(t) = e−ν e(φ) e(ρ) e(z)
(1.6) Nyn´ı uvaˇzujme, ˇze zdrojem prostoroˇcasu je ide´aln´ı tekutina s tlakem p, hustotou ǫ a ˇctyˇrrychlost´ı u. Vzhledem k osov´e symetrii a stacion´arnosti pˇredpokl´ad´ame, ˇze p, ǫ a u jsou jen funkcemi souˇradnic ρ a z a ˇze tekutina se pohybuje jen ve smˇeru φ 5 , tedy u(ρ) = u(z) = 0. Definujme souˇradnicovou u ´hlovou rychlost tekutiny Ω=
dφ . dt
(1.7)
Jej´ı ˇctyˇrrychlost pak mus´ı b´ yt tvaru t
u=u
∂ ∂ +Ω ∂t ∂φ
,
(1.8)
kde faktor ut dopoˇcteme z normalizace |u|2 = −1. Vyjde
3
ut = q
e−ν
1 − (Ω − ω)2 ρ2 B 2 e−4ν
.
(1.9)
zero angular momentum observer locally nonrotating frame 5 T´ımto pˇredpokladem si sice zjednoduˇsujeme situaci, nicm´enˇe ve fyzik´ alnˇe zaj´ımav´ ych pˇr´ıpadech (napˇr. akreˇcn´ıch disc´ıch) b´ yv´ a splnˇen. 4
9
Nyn´ı se pod´ıvejme, jak tato ˇctyˇrrychlost vypad´a v LNRF tetr´adˇe. Rychlost u z (1.8) m˚ uˇzeme zapsat jako (1.10) u = ut eν e(t) + (Ω − ω)ρBe−2ν e(φ) .
Na chv´ıli zapomeˇ nme na normalizaˇcn´ı faktor a soustˇred’me se jen na obsah z´avorky. D´ıky normalizaci b´azov´ ych vektor˚ u tetr´ady m˚ uˇzeme rovnou tvrdit, ˇze z hlediska ZAMO pozorovatele se ˇc´astice tekutiny pohne za jednotku ˇcasu o (Ω − ω)ρBe−2ν ve smˇeru φ. Definujme tedy rychlost tekutiny v LNRF vztahem v = (Ω − ω) ρBe−2ν .
(1.11)
S jeho pomoc´ı m˚ uˇzeme tetr´adov´e sloˇzky ˇctyˇrrychlosti zapsat v u ´hlednˇejˇs´ım tvaru6 1 , 1 − v2 v = √ , 1 − v2 = 0, = 0.
u(t) = √ u(φ) u(ρ) u(z)
a tetr´adov´e sloˇzky tenzoru energie-hybnosti
T (a)(b) = (ǫ + p)u(a) u(b) + pη (a)(b) =
ǫ+pv 2 , 1−v 2 (ǫ+p)v , 1−v 2
0, 0,
(ǫ+p)v , 1−v 2 ǫv 2 +p , 1−v 2
0, 0,
0, 0, p, 0,
0 0 , 0 p
(1.12)
kde poˇrad´ı komponent tetr´ady v ˇr´adc´ıch, resp. sloupc´ıch matice je stejn´e jako bylo uˇzit´e v (1.6), tj. (t), (φ), (ρ) a (z). Tenzor energie-hybnosti prachu (tj. beztlak´e tekutiny) dostaneme dosazen´ım p = 0 do (1.12). T´ım jsme si pˇripravili vˇse, co potˇrebujeme k sestaven´ı Einsteinov´ ych rovnic. Pouˇzijeme tvar 1 (1.13) R(a)(b) = 8π T(a)(b) − T g(a)(b) , 2 (a)
kde T = Tr(T ) = T(a) je stopa tenzoru energie-hybnosti a R(a)(b) je Ricciho tenzor. Povzbudiv´e je, ˇze jen pˇet z nich je nez´avisl´ ych. Jako tuto pˇetici je vhodn´e vz´ıt urˇcit´e line´arn´ı kombinace rovnic (1.13). Kromˇe jednoduˇsˇs´ıho tvaru m˚ uˇzeme rovnice rozdˇelit do skupin po jedn´e aˇz dvou, kter´e budou urˇcovat jednotliv´e metrick´e funkce. Vyˇreˇsen´ım prvn´ı z nich, −1 −2µ (t) (φ) (t) (φ) (ρ) (z) R(t) + R(φ) = e ∇ · (ρ∇B) = 8π T(t) + T(φ) − T = −8π T(ρ) + T(z) = −16πp, ρB (1.14) najdeme funkci B. Funkce ν a ω jsou (pro jiˇz zn´am´e B) urˇceny 1 2 3 −4ν 1 −2µ ∇ · (B∇ν) − ρ B e ∇ω · ∇ω = R(t)(t) = e B 2 1 1 + v2 = 8π T(t)(t) − T g(t)(t) = 4π (ǫ + p) + 2p (1.15) 2 1 − v2 6
Okamˇzit´ y klidov´ y syst´em tekutiny a LNRF v dan´em m´ıstˇe jsou sv´ az´ any Lorentzovou transformac´ı.
10
Obr´azek 1.1: Povrchy disku a 1 2ν−2µ e ∇ · ρ2 B 3 e−4ν ∇ω = 2 2ρB v . = 8πT(t)(φ) = −8π(ǫ + p) 1 − v2 M´ısto funkce µ se obvykle zav´ad´ı ζ = µ + ν. R(t)(φ) =
Zb´ yvaj´ıc´ı dvˇe netrivi´aln´ı Einsteinovy rovnice pro ni d´avaj´ı (ρB),ρ ζ,ρ − (ρB),z ζ,z (ρB),ρ,ρ − (ρB),z,z e2µ R(ρ)(ρ) − R(z)(z) = − − ρB ρB 1 − (ν,ρ )2 + (ν,z )2 + ρ2 B 2 e−4ν (ω,ρ )2 − (ω,z )2 = 4 = e2µ 8π T(ρ)(ρ) − T(z)(z) = 0
(1.16) (1.17)
(1.18)
a
1 (ρB),ρ ζ,z + (ρB),z ζ,ρ (ρB),ρ,z − − 2ν,ρ ν,z + ρ2 B 2 e−4ν ω,ρ ω,z = ρB ρB 2 2µ = e 8πT(ρ)(z) = 0. (1.19)
e2µ R(ρ)(z) =
Vektorov´e oper´atory divergence ( ∇· ) a gradient ( ∇ ) ve v´ yˇse uveden´ ych rovnic´ıch p˚ usob´ı ve fiktivn´ım tˇr´ı-dimenzion´aln´ım eukleidovsk´em prostoru, kde ρ, φ a z jsou cylindrick´e souˇradnice. V uveden´em tvaru je moˇzno rovnice nal´ezt napˇr. v [1], str. 363, rovnice (II.12-16).
1.3
Limita tenk´ eho disku
Nyn´ı pˇredpokl´adejme, ˇze zdrojem pole je ˇcern´a d´ıra a nekoneˇcnˇe tenk´ y disk tvoˇren´ y ide´aln´ı tekutinou, kter´ y leˇz´ı v ekvatori´aln´ı rovinˇe z = 0. V limitˇe tenk´eho disku se prostorov´a hustota ǫ a “vertik´aln´ı”gradient tlaku st´avaj´ı singul´arn´ımi a tenzor energie-hybnosti nabyde 11
podoby T ab = S ab δ(z), v n´ıˇz jsou zdrojov´e ˇcleny plnˇe pops´any ploˇsn´ymi hustotami. Prostˇrednictv´ım Einsteinov´ ych rovnic souvisej´ı tyto hustoty jednoznaˇcnˇe s “vertik´aln´ı”sloˇzkou gradientu metrick´ ych potenci´al˚ u na disku. V tenk´em disku m˚ uˇze tlak p˚ usobit v azimut´aln´ım a radi´aln´ım smˇeru; v t´eto pr´aci pˇredpokl´ad´ame, ˇze radi´aln´ı sloˇzka je nulov´a. Konfigurace zdroj˚ u, kter´a n´as zaj´ım´a, je naˇcrtnuta na diagramu 1.1. Ve stˇredu se vyskytuje ˇcern´a d´ıra, dalˇs´ı hmota je rozloˇzena kolem “osy ρ”(tj. plochy z = 0) a m´a nulovou tlouˇst’ku (ve smˇeru z). Jelikoˇz pˇredpokl´ad´ame koneˇcnou hmotnost disku, bude m´ıt zdroj nutnˇe charakter δ-distribuce. I takov´ yto zdroj bychom mohli pˇr´ımo dosadit do Einsteinov´ ych rovnic a pokusit se o jejich ˇreˇsen´ı v prostoru distribuc´ı. To by ale pˇrineslo zbyteˇcnˇe mnoho komplikac´ı, proto pouˇzijeme odliˇsn´ y postup, kter´ y δ-distribuci na prav´e stranˇe rovnic odstran´ı. Vzhledem k tomu, ˇze v oblastech z 6= 0 ˇreˇs´ıme vakuov´e Einsteinovy rovnice a uvaˇzujeme stacion´arn´ı pˇr´ıpad, je pˇrirozen´e pˇredpokl´adat, ˇze metrick´e funkce jsou hladk´e (resp. alespoˇ n spojit´e v prvn´ıch dvou derivac´ıch) a ˇze existence disku je zachycena v okrajov´ ych podm´ınk´ach na nadploch´ach ξ+ a ξ−. Podobnˇe jako v elektrodynamice odpov´ıd´a i v obecn´e relativitˇe existence nabit´e (zde hmotn´e) vrstvy skok v norm´alov´e derivaci potenci´alu, zde tedy v gab,z . Pˇredpokl´adejme nav´ıc jeˇstˇe jednu symetrii7 , a to zrcadlen´ı v˚ uˇci “ekvatori´aln´ı rovinˇe”z = 0, takˇze postaˇc´ı ˇreˇsit rovnice jen v oblasti z > 0. Definiˇcn´ı obor, kter´ y n´am po tˇechto omezen´ıch zbude, je jiˇz regul´arn´ı (pokud je regul´arn´ı osa viz. kapitola 1.5), ˇc´ımˇz se mj. zjednoduˇs´ı d˚ ukaz 8 existence a jednoznaˇcnosti metrick´e funkce µ (resp. ζ) urˇcen´e rovnicemi (1.18) a (1.19). Nicm´enˇe nesm´ıme ztratit z pamˇeti, ˇze na ploˇse z = 0 nad horizontem d´ıry a mimo disk poˇzadujeme dostateˇcnou hladkost metrick´ ych funkc´ı i ve “vertik´aln´ım”smˇeru. Pro kaˇzd´ y bod (ρ, z) = (ρ0 , 0), ve kter´em chceme hladkou metriku, mus´ı tedy platit okrajov´a podm´ınka9 ∂gab (ρ, z) (1.20) ρ = ρ0 = 0. ∂z z=0
Vrat’me se ale zpˇet k diskusi samotn´eho disku. Vzhledem k symetrii mus´ı b´ yt okrajov´e podm´ınky na nadploch´ach ξ+ a ξ− stejn´e (aˇz na znam´enka lich´ ych derivac´ı). D´ıky charakteru tenzoru energie-hybnosti (tj. nespojitosti typu δ v z) a Einsteinov´ ym rovnic´ım (1.13) mus´ı m´ıt Ricciho, a tedy i Riemann˚ uv tenzor stejnou nespojitost. Tento tenzor obsahuje nejv´ yˇse druh´e derivace metriky. Pokud by δ nespojitost poch´azela od niˇzˇs´ıch neˇz druh´ ych derivac´ı metriky, nebyla by samotn´a metrika spojit´a a mˇeli bychom probl´emy jiˇz s Christoffelov´ ymi symboly. Na druhou stranu pˇredpokl´ad´ame nespojitost v prvn´ıch derivac´ıch metrick´ ych funkc´ı (diskuse proˇc tomu tak je je stejn´a jako v pˇr´ıpadˇe ploˇsn´ ych zdroj˚ u v klasick´e elektrodynamice). Z pˇredchoz´ıch u ´vah v´ıme, ˇze hustota energie mus´ı m´ıt tvar ǫ(ρ, z) = σ(ρ)δ(z),
(1.21)
kde σ(ρ) je ploˇsn´a hustota energie a δ(z) je klasick´a δ-distribuce. D´ale pˇredpokl´ad´ame, ˇze metrika je symetrick´a vzhledem k rovinˇe z = 0, tedy gab (ρ, z) = gab (ρ, |z|). Pod´ıvejme se tedy 7
Jej´ı neexistence by pˇrinesla probl´emy se spojitost´ı funkce ζ — viz. d´ ale. Aˇz na aditivn´ı konstantu, kter´ a bude odpov´ıdat ˇsk´ alov´ an´ı souˇradnic. 9 D˚ ukaz je jednoduch´ y. Cel´a metrika z´ıskan´ a pomoc´ı zrcadlen´ı je zjevnˇe spojit´a v (ρ0 , 0). V tomto bodˇe existuj´ı jednostrann´e derivace vzhledem k z ze strany z > 0 i z < 0. Ty budou m´ıt, vzhledem ke zp˚ usobu konstrukce metriky, stejnou velikost, ale opaˇcn´e znam´enko. Jelikoˇz ale poˇzadujeme i existenci prvn´ı derivace a ta existuje pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı obˇe jednostrann´e derivace a ty se sobˇe rovnaj´ı, mus´ı tato derivace b´ yt nula. 8
12
podrobnˇeji na chov´an´ı obecn´e funkce f (ρ, |z|). D´ıky absolutn´ı hodnotˇe bude m´ıt jej´ı prvn´ı derivace podle z na ploˇse z = 0 skok: ∂f (|z|, . . .) ∂f (x, . . .) = ± , ∂z± z=0 ∂x x=0 ∂f (x, . . .) ∂f (|z|, . . .) = sgn(z) , ∂z ∂x z6=0 x=|z| ∂ 2 f (|z|, . . .) ∂f (x, . . .) δ(z), = 2 ∂z 2 ∂x x=0 z=0 ∂ 2 f (|z|, . . .) ∂ 2 f (x, . . .) = (1.22) ∂z 2 ∂x2 z6=0 x=|z| ∂ znaˇc´ı parci´aln´ı derivaci podle z zprava, resp. zleva. Dosad´ıme prach (p = 0) a (1.21) kde ∂z± do (1.15) a (1.16). Srovn´an´ım ˇclen˚ uu ´mˇern´ ych δ(z) ve v´ yˇse uveden´ ych rovnic´ıch dostaneme podm´ınky 2 ∂ν 2µ 1 + v , = 2πσ e ∂z+ z=0 1 − v 2 z=0 1 2ν+2µ v ∂ω . e (1.23) = −8πσ ∂z+ z=0 ρB 1 − v 2 z=0
Obˇe jsou skuteˇcnˇe u ´mˇern´e ploˇsn´e hustotˇe energie σ. Srovn´an´ım tohoto s (1.20) dostaneme pˇrirozen´ y pˇredpoklad, ˇze v m´ıstech s nulovou hustotou energie okrajov´e podm´ınky pro disk pˇrejdou na okrajov´e podm´ınky pro vakuum. M˚ uˇzeme tedy dodefinovat σ(ρ) nulou mimo disk a podm´ınku (1.20) nemus´ıme d´ale zd˚ urazˇ novat.
Na zaˇ ca ´tku kapitoly 1.2 jsme tvrdili, ˇ ze pˇredpoklad integrability rovin kolm´ ych na ξ a η bude v pˇr´ıpadˇ e tenk´ ych disk˚ u splnˇ en. Pod´ıvejme se tedy na nˇ ej podrobnˇ eji. Jak uv´ ad´ı [8], str. 294, uvaˇ zovan´ e roviny jsou integrabiln´ı pr´ avˇ e tehdy, kdyˇ z plat´ı ξ d Rd[a ξb ηc] = 0 = η d Rd[a ξb ηc] ,
(1.24)
kde Rab znaˇ c´ı Ricciho zenzor a [abc] antisymetrizaci pˇres pˇr´ısluˇsn´ e indexy 10 . Pouˇ zit´ım Einsteinov´ ych rovnic ve tvaru (1.13) vid´ıme, ˇ ze ve vakuov´ ych oblastech plat´ı Rab = 0, a tedy (1.24) je splnˇ ena. A jak jsme uk´ azali v´ yˇse, zdroj ve tvaru tenk´ eho disku lze pˇrev´ est vakuov´ y pˇr´ıpad s dodateˇ cn´ ymi okrajov´ ymi podm´ınkami. Pod´ıvejme se jak to dopadne v pˇr´ıpadˇ e, ˇ ze se neomez´ıme na tenk´ y disk, ale budeme m´ıt tenzor energie-hybnosti ve tvaru (1.12). Z Einsteinov´ ych rovnic (1.13) dostaneme pro Ricciho tenzor vyj´ adˇren´ı » – 1 Rab = 8π (ǫ + p) ua ub + (ǫ − p) gab . 2
(1.25)
Dosazen´ım tohoto tvaru do (1.24) dostaneme 8π(ǫ + p)Xd ud u[a ξb ηc] + 4π(ǫ − p)Xd gd[a ξb ηc] = 0,
(1.26)
kde X je bud’ ξ, nebo η, podle toho, jestli uvaˇ zujeme prvn´ı, nebo druhou rovnost (1.24). Druh´ y ˇ clen v (1.26) je nulov´ y — po sn´ıˇ zen´ı indexu u X je to zˇrejm´ e. U prvn´ıho je situace trochu komplikovanˇ ejˇs´ı — m˚ uˇ ze b´ yt nulov´ y ze dvou d˚ uvod˚ u:
• •
Xd ud = 0 pro obˇ e X. Tato situace ale nem˚ uˇ ze pro re´ aln´ e tekutiny nastat — ˇ ca ´stice re´ aln´ e tekutiny mus´ı m´ıt ˇ casupodobnou ˇ ctyˇrrychlost. A jelikoˇ z ξ je ˇ casupodobn´ e Killingovo pole, mus´ı b´ yt ξ d ud 6= 0. u[a ξb ηc] = 0. Ekvivalentn´ı t´ eto podm´ınce je zˇrejmˇ ejˇs´ı u = P ξ + Qη, kde P a Q jsou nˇ ejak´ e funkce souˇradnic ρ a z. Tedy pokud m´ a tekutina jen azimut´ aln´ı rychlost (coˇ z v naˇsem pˇr´ıpadˇ e nast´ av´ a), bude splnˇ en pˇredpoklad integrability rovin i pro tlust´ e disky.
10
Rd[a ξb ηc] =
1 3!
(Rda ξb ηc + Rdb ξc ηa + Rdc ξa ηb − Rdc ξb ηa − Rdb ξa ηc − Rda ξc ηb )
13
Vrat’me se k pozn´amce o probl´emech s metrikami, kter´e nejsou symetrick´e dle ekvatori´aln´ı roviny. S funkcemi ν a ω by probl´emy nenast´avaly. Norm´alov´e derivace jednotliv´ ych funkc´ı na povrchu ξ+ bychom zv´ yˇsili a na povrchu ξ− sn´ıˇzili o stejnou funkci. T´ım bychom zachovali velikost skoku v norm´alov´ ych derivac´ıch, ale z´aroveˇ n zavedli libovolnou asymetrii v˚ uˇci ekvatori´aln´ı rovinˇe. Trochu pˇredbˇehneme a prozrad´ıme, ˇze pot´ıˇze nastanou s funkc´ı ζ. U n´ı bychom museli obˇetovat regularitu (viz. kapitola 1.5) na obou poloos´ach ρ = 0 (mohli bychom j´ı poˇzadovat jen na jedn´e) nebo spojitost v ekvatori´aln´ı rovinˇe. Kromˇe toho samotn´a integrabilita ζ (viz. kapitola 1.4) v oblasti zahrnuj´ıc´ı disk by byla diskutabiln´ı.
1.4
Integrabilita µ
Rovnice (1.18) a (1.19) urˇcuj´ı metrickou funkci ζ (a tedy i µ), ale nen´ı na prvn´ı pohled zˇrejm´e, zda mohou b´ yt splnˇeny souˇcasnˇe. Vzhledem k tomu, ˇze metrika je definovan´a jako spojit´a vˇsude a disk je nekoneˇcnˇe tenk´ y, bude staˇcit dok´azat integrabilitu tˇechto rovnic pro ˇc´ast prostoroˇcasu s kladn´ ym z. Nejdˇr´ıve uk´aˇzeme, ˇze za B m˚ uˇzeme zvolit (skoro) libovoln´e11 ˇreˇsen´ı (1.14) a metrika (1.2) bude popisovat ty sam´e fyzik´aln´ı pˇr´ıpady (jen v jin´ ych souˇradnic´ıch). D˚ ukaz je pomˇernˇe snadn´ y — dok´aˇzeme ekvivalenci metrik s nˇejak´ ymi B 6= 1 s metrikami s B = 1. Pro dan´e ′ nejednotkov´e B staˇc´ı pˇrej´ıt k souˇradnici ρ = ρB a k n´ı naj´ıt souˇradnici z ′ tak, aby ˇc´ast metriky odpov´ıdaj´ıc´ı tˇemto dvˇema souˇradnic´ım byla konformnˇe ploch´a. Nutn´a a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka na existenci takov´eto funkce z ′ je ekvivalentn´ı rovnici (1.14) s nulov´ ym tlakem na prav´e stranˇe12 , coˇz je v pˇr´ıpadˇe libovoln´eho rozloˇzen´ı prachu (a tedy i ve vakuu) splnˇeno. Analogick´ ym zp˚ usobem se uk´aˇze, ˇze existuje i inverzn´ı transformace, a t´ım jsme hotovi. Budeme tedy d´ale pracovat s vakuem a B = 1. Pˇr´ısluˇsn´a dvojice rovnic se pak zjednoduˇs´ı na 1 2 −4ν 2 2 2 2 ζ,ρ = ρ (ν,ρ ) − (ν,z ) − ρ e , (1.27) (ω,ρ ) − (ω,z ) 4 1 2 −4nu ω,ρ ω,z . (1.28) ζ,z = ρ 2ν,ρ ν,z − ρ e 2 ∂ ∂ Tyto dvˇe rovnice jsou integrabiln´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz ∂z ζ,ρ = ∂ρ ζ,z (tedy pokud parci´aln´ı derivace komutuj´ı). Podm´ınka vede po nˇekolika u ´prav´ach k rovnici 1 1 (1.29) 0 = 2ρ △ν − ρ2 e−4ν ∇ω · ∇ω − ρω,z ∇ · ρ2 e−4ν ∇ω . 2 2
Srovn´an´ım tohoto v´ yrazu s (1.15) a (1.16) s B = 1 a ǫ = p = 0 (vakuum) dospˇejeme k z´avˇeru, ˇze integrabilita ζ (resp. µ) je d˚ usledkem tˇechto rovnic.
1.5
(Ne)singul´ arnost na ose z
Jak je vysvˇetleno napˇr. v [8], str. 292, podm´ınkou pro nesingul´arnost souˇradnic (tzv. “element´arn´ı plochost”) na ose je, ˇze obvod kruˇznice kolem osy by mˇel b´ yt (alespoˇ n v prvn´ım 11
Libovoln´e kromˇe B = ρ−1 , kter´ a sice splˇ nuje (1.14), ale popisuje rovinn´e vlny a ne osovˇe symetrick´ y prostoroˇcas. Kromˇe toho nem˚ uˇze b´ yt pro B = ρ−1 splnˇena podm´ınka regularity na ose z (viz. [8], str. 296, kde je analogick´e tvrzen´ı pro metriku (1.3)). 12 Napˇr. [3], kapitola 2.2.
14
ˇr´adu rozvoje) roven 2π-n´asobku jej´ıho polomˇeru. Pˇredpokl´ad´ame-li, ˇze pro dostateˇcnˇe mal´e okol´ı ρ = 0 jsou mimo horizont ˇcern´e d´ıry funkce µ, ν, B a ω analytick´e v ρ, m˚ uˇzeme pro 13 malou kruˇznici (leˇz´ıc´ı v rovinˇe (ρ, φ) a se stˇredem na ose z) z´ıskat vztahy r = eµ |ρ=0 ρ + O ρ2 , O = 2π Be−ν ρ + O ρ2 , (1.30) ρ=0
kde r, resp. O jsou jej´ı polomˇer, resp. obvod. Srovn´an´ım tˇechto v´ yraz˚ u pro dostateˇcnˇe mal´e ρ z´ısk´ame podm´ınku regularity na ose lim [µ + ν − ln(B)] = 0,
(1.31)
lim [ζ − ln(B)] = 0.
(1.32)
ρ→0
neboli (po uv´aˇzen´ı (1.17)) ρ→0
1.6
Orbit´ aln´ı rychlost
Vzhledem k tomu, ˇze uvaˇzujeme jen gravitaci a prachov´ y (tedy beztlak´ y) disk, mus´ı se jeho a jednotliv´e ˇc´astice pohybovat po geodetik´ach. Pro jejich ˇctyˇrrychlost u tedy mus´ı platit 0 = ua;b ub = (ua,b + Γab c uc )ub ,
(1.33)
kde Γab c je Christoffel˚ uv symbol. Uv´aˇz´ıme-li, ˇze parci´aln´ı derivace dle t a φ jsou d´ıky symetri´ım nulov´e, a dosad´ıme-li za ˇctyˇrrychlost z (1.8), pˇrejde (1.33) na ˇctveˇrici rovnic 2 2 2 0 = Γat t ut + 2Γat φ ut uφ + Γaφ φ uφ = ut Γat t + 2Γat φ Ω + Γaφ φ Ω2 , (1.34)
kde a je opˇet voln´ y index. Z definice Christoffelov´ ych symbol˚ u z´ısk´ame Γa t t = − 21 gt t,a (kde jsme vynechali ˇcleny s derivac´ı dle t, nebot’ jsou nulov´e). Analogick´e vztahy lze odvodit i pro Γa t φ a Γa φ φ , a tak po sn´ıˇzen´ı indexu a m˚ uˇzeme (1.34) zapsat jako 0 = gt t,a + 2Ωgt φ,a + Ω2 gφ φ,a .
(1.35)
Zˇrejmˇe pro a = t a a = φ je tato rovnice splnˇena trivi´alnˇe. Pro a = z nem´a v ekvatori´aln´ı rovinˇe smysl — derivace metriky tam maj´ı skok. M˚ uˇzeme vˇsak pˇredpokl´adat, ˇze je splnˇena, pokud bude splnˇen pˇredpoklad symetrie metriky vzhledem k ekvatori´aln´ı rovinˇe. Zbude sloˇzka14 a = ρ, tedy ∂ (ρ2 B 2 e−2ν ω 2 − e2ν ) ∂ (ρ2 B 2 e−2ν ω) ∂ (ρ2 B 2 e−2ν ) − 2Ω + Ω2 . (1.36) ∂ρ ∂ρ ∂ρ Jelikoˇz ve vˇetˇsinˇe vztah˚ u pracujeme s rychlost´ı v, ne Ω, pˇrep´ıˇseme pˇredchoz´ı vztah pomoc´ı (1.11) na −1 ∂ω ∂ν ∂ (ln(ρB) − ν) 2 0 = v − 2vρB − , (1.37) ∂ρ ∂ρ ∂ρ a tedy pˇr´ısluˇsn´a dvˇe ˇreˇsen´ı jsou s 2 −1 ∂ω ∂ω ∂ν ∂ (ln(ρB) − ν) v± = ρB ρB + ± . (1.38) ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ 0=
13
Vyuˇzijeme zde pˇredpokladu, ˇze ˇsk´ alov´ an´ı souˇradnice φ je zvoleno tak, aby po jednom obˇehu okolo osy ρ = 0 stoupla o 2π. 14 a o stejn´ y vztah Analogie [14], vztah (32). Na ekvatori´ aln´ı rovinˇe (ve Willovˇe ˇcl´anku θ = π2 ) se jedn´ (je tˇreba si uvˇedomit, ˇze tam spl´ yv´ a ρ a Willova souˇradnice r).
15
1.7
Pouˇ zit´ a pozad´ı
Nyn´ı uvedeme z´akladn´ı prostoroˇcasy, jejichˇz malou perturbac´ı budeme posl´eze hledat pole obsahuj´ıc´ı zdroj v podobˇe tenk´eho disku.
1.7.1
Minkowsk´ eho prostoroˇ cas
Z metriky (1.2) dostaneme Minkowsk´eho prostoroˇcas napˇr´ıklad volbou B = 1 a ν = µ = = ω = 0. Pak souˇradnice t odpov´ıd´a pˇresnˇe inerci´aln´ımu ˇcasu a ρ, φ a z pˇr´ısluˇsn´ ym ∂ cylindrick´ ym souˇradnic´ım v tˇr´ırozmˇern´em eukleidovsk´em prostoru kolm´em na ∂t .
1.7.2
Curzonovo ˇ reˇ sen´ı
Ve statick´em vakuov´em pˇr´ıpadˇe s B = 1 se rovnice (1.15) redukuje na △ν = 0.
(1.39)
Jej´ım nejjednoduˇsˇs´ım netrivi´aln´ım ˇreˇsen´ım ve Weylov´ ych souˇradnic´ıch je ν = − Mr , kde r p ρ2 + z 2 . Tato volba veden ke Curzonovu ˇreˇsen´ı (viz. [8], kapitola je “polomˇer,”tj. r = 20.2). Spoˇc´ıt´ame-li pˇr´ısluˇsn´e ζ, z´ısk´ame celou Curzonovu metriku 2 2 2M − M 4ρ 2 − 2M 2 2 2 2 2 r r r ds = −e dt + e ρ dφ + e = (1.40) dρ + dz 2 ρ2 √ 2M − √ 2M − M 2 2 2 2 2 2 +z 2 )2 2 +z 2 2 +z 2 (ρ ρ ρ . dρ + dz ρ dφ + e = −e dt + e
Vˇsimnˇeme si toho, ˇze aˇc byl gravitaˇcn´ı potenci´al sf´ericky symetrick´ y, pro celou metriku uˇz 15 to neplat´ı .
1.7.3
Schwarzschildova ˇ cern´ a d´ıra
Nejstarˇs´ım zn´am´ ym ˇcernodˇerov´ ym ˇreˇsen´ım Einsteinov´ ych rovnic je Schwarzschildova metrika. Ve Schwarzschildov´ ych souˇradnic´ıch vypad´a −1 2M 2M 2 2 ds = − 1 − dt + 1 − dR2 + R2 dθ′2 + sin2 θ′ dφ2 . (1.41) R R
Pˇri pˇrepisov´an´ı t´eto metriky do tvaru (1.2) si nejdˇr´ıve vˇsimnˇeme, ˇze souˇradnice t, φ jsou ∂ ∂ a ∂φ jsou Killingovy vektory)16 . pˇr´ımo cyklick´ ymi souˇradnicemi z metrik (1.2), (1.3) (tj. ∂t Zb´ yv´a tedy naj´ıt transformaci souˇradnic R a θ′ na ρ a z. Jak jsme jiˇz uk´azali v kapitole 1.4, m˚ uˇzeme B zvolit libovolnˇe v r´amci ˇreˇsen´ı (1.14) s nulovou pravou stranou (kromˇe ˇreˇsen´ı B = ρ−1 ). Prvn´ı moˇzn´a volba je B = 1. Tato volba tak´e v´ yraznˇe zjednoduˇs´ı (1.15). Souˇradnicov´a transformace, kterou hled´ame, je pak 15
K tomuto pozorov´ an´ı lze dospˇet jeˇstˇe pˇred samotn´ ym v´ ypoˇctem ζ: Birkhoff˚ uv teor´em tvrd´ı, ˇze jedin´e vakuov´e sf´ericky symetrick´e ˇreˇsen´ı je Schwarzschildovo. 16 Pˇresnˇeji — vzhledem k symetrii Schwarzschildova prostoroˇcasu m˚ uˇzeme vˇzdy Schwarzschildovy souˇradnice zvolit tak, aby jmenovan´ a dvˇe Killingova vektorov´ a pole koincidovala s poli pouˇzit´ ymi pˇri konstrukci (1.2).
16
p ρ = R(R − 2M ) sin θ′ , z = (R − M ) cos θ′ .
(1.42)
Po nˇekolika u ´prav´ach se k n´ı nalezne i inverze d1 + d2 , 2 d2 − d1 = arccos( ), 2M
R = M+ θ′
(1.43)
kde p ρ2 + (z − M )2 , p ρ2 + (z + M )2 . =
d1 = d2
(1.44)
Metrick´e funkce z (1.2) pak maj´ı vyj´adˇren´ı
ω = 0, 1 d1 + d2 − 2M ν = ln , 2 d1 + d2 + 2M B = 1, 1 (d1 + d2 + 2M )2 µ = . ln 2 4d1 d2
(1.45)
Tohle zˇrejmˇe nen´ı tvar, se kter´ ym by se d´ale pracovalo dobˇre, zvl´aˇstˇe pokud uv´aˇz´ıme, ˇze e vstupuje do rovnice (1.16). K odvozen´ı pˇr´ıjemnˇejˇs´ıho tvaru metrick´ ych funkc´ı pouˇzijeme stejn´ y postup jako v pr´aci [14]. “Cylindrick´e”souˇradnice ρ a z nahrad´ıme “sf´erick´ ymi”souˇradnicemipr a θ pomoc´ı relac´ı, kter´ e by odpov´ıdaly tˇr´ırozmˇern´emu eukleidovsk´emu prostoru, ρ 2 2 ych souˇradnic´ıch tvar tj. r = ρ + z a θ = arctan z . Metrika (1.2) m´a v nov´ −4ν
ds2 = −e2ν dt2 + r2 B 2 e−2ν sin2 θ (dφ − ωdt)2 + e2µ dr2 + r2 dθ2 .
(1.46)
M˚ uˇzeme se samozˇrejmˇe pokusit pˇrepsat (1.44) pomoc´ı tˇechto nov´ ych souˇradnic. Z´ısk´ame tak √ d1 = r2 + M 2 − 2M r cos θ, √ d2 = r2 + M 2 + 2M r cos θ. (1.47) Aˇc tyto vztahy nejsou o nic pˇr´ıjemnˇejˇs´ı neˇz (1.44) vyj´adˇr´ıme v nov´ ych souˇradnic´ıch gravitaˇcn´ı potenci´al, ! √ √ r2 + M 2 − 2M r cos θ + r2 + M 2 + 2M r cos θ − 2M 1 √ ln √ ν = 2 r2 + M 2 − 2M r cos θ + r2 + M 2 + 2M r cos θ + 2M n+1 +∞ X −1 M = Pn (cos θ), (1.48) n+1 r n=0 n sud´e 17
kde Pn (x) znaˇc´ı n-t´ y Legender˚ uv polynom17 . Vrat’me se k alternativn´ımu vyj´adˇren´ı Schwarzschildovy metriky. Srovn´an´ım (1.46) s (1.41) se nab´ız´ı pokusit se naj´ıt B a r takov´e, aby si souˇradnice θ a θ′ odpov´ıdaly. T´ım z´ısk´ame 18 transformace “radi´aln´ıch”souˇradnic s R R r = −A+ R −A , 2 4 R =
(r + A)2 , r
(1.49)
kde A = M/2. Takto obdrˇz´ıme Schwarzschildovu metriku v isotropick´ ych souˇradnic´ıch, tj. 2 4 A r−A 2 2 (1.50) dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 , dt + 1 + ds = − r+A r a tedy metrick´e funkce z (1.2) maj´ı tvar
ω = 0,
r−A ν = ln , r+A A2 B = 1− 2, r A . µ = 2 ln 1 + r
(1.51)
Zb´ yv´a se tedy pod´ıvat, jak budou vypadat Einsteinovy rovnice v nov´ ych souˇradnic´ıch. 19 U prvn´ıch tˇr´ı, tj. (1.14), (1.15) a (1.16), bude u ´prava jednoduch´a — m´ısto vektorov´ ych oper´ator˚ u gradient a divergence v cylindrick´ ych souˇradnic´ıch (p˚ usob´ıc´ıch ve fiktivn´ım eukleidovsk´em tˇr´ırozmˇern´em prostoru) pouˇzijeme tyt´eˇz oper´atory ve sf´erick´ ych souˇradnic´ıch (p˚ usob´ıc´ı ve stejn´em prostoru) a dosad´ıme ρ = r sin θ. 17
x=
Asi nejjednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem d˚ ukazu platnosti rozkladu na Legendreovy polynomy je vyj´ adˇrit ν pomoc´ı M , tj. r ! √ √ 1 1 + x2 − 2x cos θ + 1 + x2 + 2x cos θ − 2x √ ν = ln √ , 2 1 + x2 − 2x cos θ + 1 + x2 + 2x cos θ + 2x
zderivovat ho podle x, 1 ∂ν =− ∂x 2
1 1 √ +√ 1 + x2 − 2x cos θ 1 + x2 + 2x cos θ
a n´ aslednˇe pouˇz´ıt znalost generuj´ıc´ı funkce Legendreov´ ych polynom˚ u (napˇr. [13], vztah (42)), tj. +∞ +∞ X X 1 √ (±1)n xn Pn (cos θ). xn Pn (± cos θ) = = 1 + x2 ∓ 2x cos θ n=0 n=0
Vyderivov´ an´ım ˇrady (1.48) se pˇresvˇedˇc´ıme o tom, ˇze aˇz na integraˇcn´ı konstantu mus´ı b´ yt ν vyj´ adˇren´e pomoc´ı logaritmu a pomoc´ı nekoneˇcn´e sumy stejn´e. Nulovost integraˇcn´ı konstanty dok´ aˇzeme limitou r → +∞ (tj. x → 0) sumy a logaritmick´eho vyj´ adˇren´ı ve vztahu (1.48). 18 S vhodnou volbou ˇsk´ alov´ an´ı a poˇca´tku. 19 Jelikoˇz jsme pˇri transformaci (ρ, z) → (r, θ) pouˇzili vztahy odpov´ıdaj´ıc´ı pˇrevodu cylindrick´ ych na sf´erick´e souˇradnice ve fiktivn´ımu eukleidovsk´emu prostoru, staˇc´ı v Einsteinov´ ych rovnic´ıch jen pouˇz´ıt odpov´ıdaj´ıc´ı oper´atory.
18
Obr´azek 1.2: Integraˇcn´ı cesta U zbyl´ ych dvou rovnic je pˇrechod o nˇeco komplikovanˇejˇs´ı — je sice v principu moˇzn´e pˇrepsat rovnice pˇr´ımoˇcaˇre do nov´ ych souˇradnic, nicm´enˇe je jednoduˇsˇs´ı pouˇz´ıt stejn´ y postup jako v pr´aci [14] (ten dokonce nen´ı v´az´an na konkr´etn´ı volbou B, a proto na chv´ıli opˇet uvaˇzujme libovoln´e pˇr´ıpustn´e B 6= (r sin θ)−1 ). Zvolen´ım vhodn´e integraˇcn´ı cesty (viz. diagram 1.2) si nejen uˇsetˇr´ıme pr´aci, ale z´aroveˇ n dok´aˇzeme regularitu na ose (pokud ν, B, ω a jejich prvn´ı derivace tam jsou koneˇcn´e). Zaˇcnˇeme tedy v bodˇe (r, θ) = (∞, 0), po ose z (resp. ose θ = 0) pokraˇcujme do bodu (r, θ) = (r0 , 0) (kde r0 > A, tedy dostaneme se do oblast´ı nad horizontem) a odtud po kˇrivce r = r0 do bodu (r0 , θ0 ) kter´ y n´as zaj´ım´a. Pro funkci ζ dostaneme v´ yraz Zθ0 Zr0 (1.52) ζ(r0 , θ0 ) = ζ∞ + ζ,r |θ=0 dr + ζ,θ |r=r0 dθ, 0
∞
kde ζ∞ je hodnota funkce ζ v bodˇe (r, θ) = (∞, 0). Porovn´an´ım s tvarem metriky (1.2) zjist´ıme, ˇze tato konstanta bude urˇcovat ˇsk´alov´an´ı ρ a z (resp. r v pˇr´ıpadˇe tvaru (1.46)). ζ,r |θ=0 je moˇzno vyj´adˇrit snadno. Nejdˇr´ıve si vˇsimneme, ˇze ζ,r |θ=0 = ζ,z |ρ=0 . Pak rovnici (1.19) vyn´asob´ıme ρ a poloˇz´ıme ρ = 0. Z´ısk´ame tak ζ,z −
B,z = 0. B
(1.53)
Volbou ζ∞ = lim ln (B(r, θ = 0)) se (1.52) zjednoduˇs´ı na r→∞
ζ(r0 , θ0 ) = ln(B)(r0 , 0) +
Zθ0
ζ,θ |r=r0 dθ.
(1.54)
0
ˇ v´ Ze yˇse uveden´a volba ζ∞ byla vhodn´a se pˇresvˇedˇc´ıme porovn´an´ım (1.54) s podm´ınkou regularity na ose (1.32) — zjist´ıme, ˇze je splnˇena pro libovoln´e r (resp. z).
19
Posledn´ı, co zb´ yv´a vyj´adˇrit, je ζ,θ , coˇz uˇz je z´avisl´e na volbˇe B. Pokud ho definujeme jako (1.51), dospˇejeme po nˇekolika u ´prav´ach k v´ yrazu [14], str. 523, vztah (17), 2 ν,θ2 ω,θ2 A 1 2 2 2 4 −4ν 2 2 2 ζ,θ = r cot θ 4 4 − B (ν,r ) − 2 + + ω,r − 2 r sin θB e r r 4 r # " 2 2 A2 1 A r 1+ 2 2Bν,r ν,θ − ω,r ω,θ r2 sin2 θB 2 e−4ν / 1+ 2 + B 2 cot2 θ (1.55) r 2 r
20
Kapitola 2 Metody v´ ypoˇ ct˚ u metriky s pˇ redem zadanou rychlost´ı obˇ ehu disku 2.1
Rozvoj ve hmotnosti disku
Tenzor energie-hybnosti rozloˇz´ıme na dvˇe ˇc´asti — “hmotnost disku”λ a “jej´ı rozloˇzen´ı” ǫ′ (ρ, z) tak, aby pro re´aln´ y pr˚ ubˇeh hustoty hmotnosti ǫ platil vztah ǫ(ρ, z) = λ · ǫ′ (ρ, z).
(2.1)
Tento vzorec samozˇrejmˇe nedefinuje ǫ′ a λ jednoznaˇcnˇe. Proto byly popisy tˇechto veliˇcin uv´adˇeny s uvozovkami. D˚ uvodem zaveden´ı parametru λ je pˇredpoklad, ˇze disk je v jist´em smyslu lehk´ y. Konkr´etnˇe zde to bude znamenat, ˇze metrick´e funkce, jakoˇzto funkce parametru λ, jsou analytick´e a parametr λ u disku, kter´ y n´as bude zaj´ımat, je menˇs´ı neˇz polomˇer kovnergence kaˇzd´e z ˇrad ν(ρ, z) = ω(ρ, z) = ζ(ρ, z) =
∞ X
j=0 ∞ X
j=0 ∞ X
νjλ (ρ, z)λj , ωjλ (ρ, z)λj , ζjλ (ρ, z)λj .
(2.2)
j=0
Index lambda u koeficient˚ u rozvoje v tomto pˇr´ıpadˇe neznamen´a mocnˇen´ı, ale znaˇc´ı ˇze se jedn´a o hmotnostn´ı rozvoj (v kapitole 2.2 se budeme jeˇstˇe zab´ yvat rozvojem v´ yˇse uveden´ ych funkc´ı dle pˇrevr´acen´e hodnoty polomˇeru). Nyn´ı se pod´ıvejme na to, co v´ıme o koeficientech rozvoje. Vzhledem ke smyslu parametru λ m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze ν0λ , ω0λ a ζ0λ odpov´ıdaj´ı funkc´ım ν, ω a ζ metriky, kterou povaˇzujeme za pozad´ı. Jelikoˇz vyˇsetˇrujeme disky na statick´em pozad´ı, bude platit ω0λ = 0. Jak si ˇcten´aˇr jistˇe vˇsiml, metrickou funkci B nerozv´ıj´ıme. V kapitole 1.4 jsme uk´azali, ˇze vˇsechny funkce B 6= ρ−1 vyhovuj´ıc´ı Einsteinov´ ym rovnic´ım popisuj´ı stejnou fyziku jen v jin´ ych souˇradnic´ıch. Jelikoˇz na prav´e stranˇe rovnice (1.14) je pro vakuum i prach nula, nevynucuje si pˇrid´an´ı disku zmˇenu funkce B. Jej´ım fixov´an´ım pouze odstran´ıme ˇc´ast volnosti ve volbˇe souˇradnic. 21
Dosad’me tedy ˇrady (2.2) do rovnic (1.15) a (1.16) s vakuovou pravou stranou. Jak jsme odvodili v kapitole 1.3, hmotnost disku do nich bude vstupovat jako okrajov´a podm´ınka. Jelikoˇz pˇredpokl´ad´ame nenulov´ y polomˇer konvergence tˇechto ˇrad, mus´ı platit rovnost pro koeficienty u jednotliv´ ych mocnin λ v rovnic´ıch zvl´aˇst’. Z prvn´ı z rovnic dostaneme vztahy (pro libovoln´a j ∈ N)1 B∇νjλ
∇·
j−2 j−k−1 1 2 3 −4ν0λ X X λ λ = ρB e El −4ν1λ , . . . , −4νlλ ∇ωm · ∇ωj−l−m , 2 k=0 l=1 m
kde Em (f1 , . . . , fm ) je koeficient u x v rozvoji exponeci´aly funkce f =
∞ X
(2.3)
fm xm , tedy
m=1 ∞ X
P∞
Em (f1 , . . . fm )xm = e
m=0
m=1
fm xm
.
(2.4)
Podobnˇe z rovnice (1.16) z´ısk´ame
2
3 −4ν0λ
∇· ρ B e
∇ωjλ
=−
j−1 X k=1
i h λ λ ∇ · ρ2 B 3 e−4ν0 Ek −4ν1λ , . . . , −4νkλ ∇ωm−k
(2.5)
pro libovoln´e j ∈ N. D´ale je tˇreba pˇrepsat rovnice urˇcuj´ıc´ı ζ (tedy (1.18) a (1.19)). Pro koeficienty rozvoj˚ u plat´ı vztahy j λ λ X (ρB),ρ ζj,ρ − (ρB),z ζj,z λ λ λ λ 0 = νk,ρ νj−k,ρ − νk,z νj−k,z + − ρB k=0
(2.6)
j−2 j−k−1 λ λ 1 2 2 −4ν0λ X X λ λ Ek −4ν1λ , . . . , −4νkλ ωl,ρ ωj−k−l,ρ − ωl,z ωj−k−l,z ρB e + 4 k=0 l=1
a
0 =
j λ λ X (ρB),ρ ζj,z + (ρB),z ζj,ρ λ λ νk,ρ νj−k,z + −2 ρB k=0
j−2 j−k−1 λ λ 1 2 2 −4ν0λ X X + Ek −4ν1λ , . . . , −4νkλ ωl,ρ ρB e ωj−k−l,z . 2 k=0 l=1
(2.7)
Nyn´ı k okrajov´ ym podm´ınk´am. Na povrchu disku s ohledem na (1.21) a (2.1) rozloˇzme hustotu energie na 3 ˇc´asti, ǫ(ρ, z) = λσ ′ (ρ)δ(z), (2.8) kde σ ′ bude charakterizovat “rozloˇzen´ı”ploˇsn´e hustoty energie (“rozloˇzen´ı”ve smyslu ǫ′ (2.1)). Dosazen´ım tohoto v´ yrazu do (1.23) a rozdˇelen´ım dle mocnim λ z´ısk´ame 1 + v2 ∂νjλ 2(ζ0λ −ν0λ ) λ λ λ λ ′ Ej−1 2(ζ1 − ν1 ), . . . , 2(ζj−1 − νj−1 ) = 2πσ e ∂z+ 1 − v 2 z=0 z=0 λ v ∂ωj 1 2ζ0λ λ λ ′ . e Ej−1 2ζ1 , . . . , 2ζj−1 = −8πσ (2.9) 2 ∂z+ ρB 1−v z=0 z=0
1
j mus´ı b´ yt opravdu pˇrirozen´e, tj. j 6= 0. Ne vˇsechny n´ıˇze uveden´e vztahy budou pro j = 0 platit. Toto n´ as pˇr´ıliˇs netr´ ap´ı, nebot’ pozad´ı, a tedy i absolutn´ı ˇcleny ˇrad, zn´ ame.
22
Postup pˇri ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic je nasnadˇe. Pˇredpokl´adejme, ˇze zn´ame koeficienty rozvoj˚ u (2.2) do ˇr´adu j − 1 a urˇcujeme j-t´ y ˇr´ad. Z (2.3) a okrajov´e podm´ınky (2.9) urˇc´ıme νjλ . S jeho pomoc´ı je moˇzno vyˇreˇsit (2.5) s okrajovou podm´ınkou (2.9) a t´ım z´ıskat ωjλ . Zb´ yv´a jen λ spoˇc´ıst ζj . V´ıme, ˇze rovnice (1.18) a (1.19) jsou integrabiln´ı. Ot´azka je, jak zvolit integraˇcn´ı konstantu. Tu urˇc´ıme z (1.32). Pˇredpokl´ad´ame-li, ˇze metrika, kterou povaˇzujeme za gravitaˇcn´ı pozad´ı, je na ose regul´arn´ı, dosazen´ım rozvoje ζ do podm´ınky (1.32) z´ısk´ame limity lim ζjλ = 0,
ρ→0
(2.10)
a tedy i poˇzadovanou integraˇcn´ı konstantu. Pod´ıvejme se tedy d´ale, jak vypadaj´ı tyto rovnice pro zmiˇ novan´a pozad´ı.
2.1.1
Minkowsk´ eho pozad´ı
Porucha gravitaˇ cn´ıho potenci´ alu (ν) Rovnice (2.3) bude konkr´etnˇe vypadat △νjλ
j−2 j−k−1 1 2X X λ λ = ρ El −4ν1λ , . . . , −4νlλ ∇ωm · ∇ωj−l−m . 2 k=0 l=1
K n´ı pˇr´ısluˇsn´a okrajov´a podm´ınka (2.9) na povrchu disku m´a tvar 1 + v2 ∂νjλ λ λ λ λ ′ . = 2πσ Ej−1 2(ζ1 − ν1 ), . . . , 2(ζj−1 − νj−1 ) ∂z+ 1 − v 2 z=0
(2.11)
(2.12)
z=0
Obecn´e ˇreˇsen´ı νjλ najdeme jako souˇcet tˇr´ı ˇclen˚ u
νjλ = νjPS + νjD + νjFS ,
(2.13)
kde νjPS bude partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı (2.11), νjD zaˇr´ıd´ı splnˇen´ı podm´ınky (2.12) a posledn´ı ˇc´ast νjFS bude popisovat fundament´aln´ı syst´em rovnice (2.11) s nulovou norm´alovou derivac´ı na ploˇse z = 0. νjPS se spoˇcte snadno. Jelikoˇz je k oper´atoru △ zn´ama Greenova funkce2 , m˚ uˇzeme pomoc´ı n´ı napsat partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı3 1 νjPS (ρ, z) = − 4π
Z+∞ Z+∞Z2π
−∞ 0
0
P Sj (ρ′ , z ′ ) p ρ′ dφ′ dρ′ dz ′ , (z − z ′ )2 + ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ sin φ′
(2.14)
kde P Sj (ρ, z) znaˇc´ı pravou stranu rovnice (2.11), tedy
j−2 j−k−1 1 X X λ λ El −4ν1λ , . . . , −4νlλ ∇ωm · ∇ωj−l−m . P S j = ρ2 2 k=0 l=1
(2.15)
1 1 G(~r, ~r′ ) = − 4π |~ r −~ r′ | . ′ Integr´ al podle φ v rovnici (2.14) lze samozˇrejmˇe spoˇc´ıst bez konkr´etn´ı znalosti P Sj . Zde uveden´ y z´ apis v´ ysledku ale povaˇzuji za pˇrehlednˇejˇs´ı, jelikoˇz po zintegrov´ an´ı bychom dostali eliptickou funkci. Ta je pro dalˇs´ı v´ ypoˇcty podobnˇe nepˇr´ıjemn´ a jako integr´ al, ale ztratili bychom zˇrejmost vzniku tohoto v´ yrazu. 2
3
23
Takto definovan´a νjPS m´a na ploˇse z = 0 obecnˇe nenulovou pravou derivaci podle z. Okrajov´a podm´ınka pro funkci νjD tedy zn´ı ) ( 1 + v2 ∂νjD ∂νjPS λ λ λ λ ′ − = 2πσ Ej−1 2(ζ1 − ν1 ), . . . , 2(ζj−1 − νj−1 ) . (2.16) ∂z+ 1 − v2 ∂z+ z=0
z=0
Pro explicitn´ı vyj´adˇren´ı νjD si vzpomeneme, jak jsme dostali v´ yraz pro jednostrannou derivaci 4 v kapitole 1.3. Pˇrevedeme podm´ınku (2.16) zpˇet na zdroj ve tvaru δ-distribuce a vyuˇzijeme opˇet znalosti Greenovy funkce, tedy po zintegrov´an´ı pˇres z z´ısk´ame ∂νjD Z+∞Z2π (ρ′ ) 2 ∂z+ 1 D z=0 p νj = − ρ′ dφ′ dρ′ , (2.17) ′ 2 2 ′2 ′ ′ 4π (z − z ) + ρ + ρ − 2ρρ sin φ 0
∂νjD kde za ∂z+
z=0
0
dosad´ıme z (2.16). Ze zp˚ usobu konstrukce mj. plyne, ˇze v oblasti, kter´a n´as
zaj´ım´a (tj. z > 0), plat´ı △νjD = 0, a tedy νjD tam nemˇen´ı pravou stranu rovnice (2.11). Tud´ıˇz souˇcet νjPS + νjD je partikul´arn´ım ˇreˇsen´ım (2.11) s okrajovou podm´ınkou (2.12). Zb´ yv´a jen nal´ezt fundament´aln´ı syst´em rovnice (2.11), tedy konkr´etnˇe vˇsechny funkce νjFS splˇ nuj´ıc´ı △νjFS = 0, ∂νjFS = 0. ∂z+
(2.18)
z=0
Pˇri hled´an´ı tˇechto funkc´ı pˇrejdeme opˇet ke “sf´erick´ ym”souˇradnic´ım r a θ. K popisu 5 FS obecn´eho ˇreˇsen´ı rovnice (2.18) jsou vhodnˇejˇs´ı . Funkci νj pak rozloˇz´ıme pomoc´ı sf´erick´ ych funkc´ı Yl m jako l ∞ X X FS Rj l m (r) · Yl m (θ, φ), (2.19) νj = l=0 m=−l
kde Rj l m (r) jsou funkce charakterizuj´ıc´ı νjFS . Jak se m˚ uˇzeme doˇc´ıst v r˚ uzn´e literatuˇre (napˇr. [4], Dodatek G) poˇzadavek osov´e symetrie na νjFS vylouˇc´ı vˇsechny Yl m s m 6= 0. Rozklad (2.19) se tedy zjednoduˇs´ı na r ∞ X 2l + 1 Pl (cos θ), (2.20) νjFS = Rj l (r) 4π l=0
kde jsme za Yl 0 dosadili z [4], vztah (G.19), Rj l = Rj l 0 a Pl (x) je Legendre˚ uv polynom stupnˇe l. 4
Samozˇrejmˇe je tak´e moˇzno pouˇz´ıvat od zaˇca´tku postup, kdy zdroje povaˇzujeme za rozlehl´e a limitn´ım pˇrechodem dojdeme k tenk´emu disku. T´ım bychom si o nˇeco zkomplikovali pravou stranu (2.11) (objevily by se zde zdrojov´e ˇcleny), ale nemˇeli bychom ˇza´dn´e podm´ınky na norm´alov´e derivace na ploˇse z = 0. νjλ by se skl´ adala jen ze dvou funkc´ı νjPS a νjFS . Negativem tohoto postupu je, ˇze v oblastech, kde ǫ 6= 0, nen´ı zaruˇcena integrabilita (1.18) a (1.19), proto by se muselo pracovat s ζjλ pˇred proveden´ım limitn´ıho pˇrechodu velmi opatrnˇe — mˇelo smysl jen spolu se zadanou konkr´etn´ı integraˇcn´ı cestou. 5 Jedn´ a se o to, ˇze sf´era r = const. je kompaktn´ı mnoˇzina a tedy spojit´a funkce na n´ı je i omezen´ a. Z toho pak i vych´ az´ı d˚ ukaz u ´plnosti rozkladu obecn´e funkce do sf´erick´ ych funkci.
24
Vztah △νjFS = 0 fixuje tvar funkc´ı Rj l na Rj l =
r
4π cj l rl + dj l r−l−1 , 2l + 1
(2.21)
kde cj l a dj l jsou nˇejak´e konstanty. Okrajov´a podm´ınka (2.18) pro z = 0 ve “sf´erick´ ych”souˇradnic´ıch vypad´a r ∞ ∂νjFS X 2l + 1 ∂Pl (cos θ) = rRj l (r) π = 0. ∂θ− 4π ∂(cos θ) θ= l=0
(2.22)
2
Vzhledem k tvaru funkc´ı Rj l a tomu, ˇze tato podm´ınka mus´ı platit pro libovoln´e r, mus´ı b´ yt kaˇzd´ y ˇclen sumy nulov´ y s´am o sobˇe. Pro v´ ypoˇcet derivace Legendreova polynomu v nule pouˇzijeme [4], vztah (G.2), tj. 1 dl 2 (x − 1)l . 2l l! dxl
Pl (x) = Po zderivov´an´ı a dosazen´ı z´ısk´ame dPl (x) 0 (0) = (−1)k dx 22k+1 k!
(2.23)
pro l = 2k , kde k ∈ N ∪ {0}. pro l = 2k + 1
(2.24)
Okrajov´a podm´ınka tedy vynucuje Rj l = 0 pro l lich´a, a tud´ıˇz obecn´ ym ˇreˇsen´ım rovnice (2.18) je νjFS
=
=
∞ X
cj l rl + dj l r−l−1 Pl (cos θ) =
l=0 l sud´e ∞ h X
− l+1 2
l 2
cj l (ρ2 + z 2 ) + dj l (ρ2 + z 2 )
l=0 l sud´e
(2.25)
i
Pl
z p
ρ2 + z 2
!
.
V obecn´em ˇreˇsen´ı se vyskytuj´ı voln´e konstanty cj l a dj l . Pod´ıvejme se tedy, zda jsou z fyzik´aln´ıho hlediska rozumn´e, jak´ y je pˇr´ıpadnˇe jejich smysl a kolik jich je nez´avisl´ ych (opˇet z hlediska fyziky). Nejdˇr´ıve zkontrolujme asymptotick´e chov´an´ı funkc´ı, kter´e odpov´ıdaj´ı jednotliv´ ym konstant´am. Vzhledem k povaze poruchy pˇredpokl´ad´ame, ˇze v nekoneˇcnu bude metrika pˇrech´azet ˇ asti ν FS na Minkowsk´eho prostoroˇcas. V ˇreˇci metrick´e funkce ν to znamen´a lim ν = const.6 C´ j r→0
odpov´ıdaj´ıc´ı konstant´am dj l maj´ı radi´aln´ı chov´an´ı r−l−1 , a tedy urˇcitˇe splˇ nuj´ı v´ yˇse uvedenou podm´ınku. Naopak ˇc´asti s konstantami cj l s l 6= 0 zˇrejmˇe v nekoneˇcnu diverguj´ı. Proto mus´ıme poloˇzit cj l = 0 pro l 6= 0. Zb´ yvaj´ı konstanty cj 0 . Ty jsou n´asobeny jen konstantou. Po dosazen´ı do metriky (1.2) tedy jen uprav´ı ˇsk´alov´an´ı, a tedy fyzik´alnˇe nejsou zaj´ımav´e. ´ BUNO je tedy m˚ uˇzeme povaˇzovat tak´e za nulu. 6
Pokud bychom chtˇeli Minkowsk´eho ve standardn´ım ˇsk´ alov´ an´ı, tj. ga b = diag(−1, 1, 1, 1), musela by limita lim ν b´ yt nulov´ a.
r→0
25
Vrat’me se zpˇet k dj l . Tyto konstanty, jak uk´aˇzeme d´ale, popisuj´ı pro pevnˇe zvolen´e l stejnou perturbaci metriky. Srovnejme, jak se funkce ν zmˇen´ı, pokud zmˇen´ıme dp l a dq l pro ˇ r˚ uzn´a p a q. Zaˇcnˇeme s pravou stranu rovnic (2.11). Cleny s k-tou mocninou dp l , resp. dq l 7 se zmˇen´ı analogick´ ym zp˚ usobem u prav´ ych stran rovnic s j = kp + l, resp. j = kq + l pro libovoln´e l. Nyn´ı povaˇzujme konstantu dq l za funkci λ — to si m˚ uˇzeme dovolit, jelikoˇz pˇri ˇreˇsen´ı soustavy (2.18) je dq l konstantou nez´avislou na ρ a z. Ztrat´ıme ale interpretaci νjλ jakoˇzto koeficient˚ u8 Taylorova rozvoje (2.2). St´ale ale bude ν definovan´e pomoc´ı (2.2) ˇreˇsen´ım Einsteinov´ ych rovnic. Poloˇzme dq l = λp−q γ, kde γ je nˇejak´a nov´a konstanta. Jak jsme jiˇz zm´ınili, k-t´e mocniny dq l budou v sum´ach (2.2) n´asledov´any (kq + l)-tou mocninou λ (pro nˇejak´e nez´aporn´e l). Po dosazen´ı za dq l pomoc´ı γ zjist´ıme, ˇze tato k-t´a mocnina γ ˇ bude n´asledov´ana (kp + l)-tou mocninou λ. Cleny s γ se pˇresunuly na m´ısta odpov´ıdaj´ıc´ı konstant´am dp l . Efektivnˇe m˚ uˇzeme t´ımto postupem vˇsechny konstanty dp l pˇrev´est k d1 l a uvaˇzovat νjFS = 0 pro j 6= 1. Cena za to je, ˇze z konstanty d1 l se stane funkce dl (λ) =
∞ X
dj l λj−1 .
(2.26)
j=1
Rovnice (2.26) n´am jen ˇr´ık´a, ˇze m˚ uˇzeme definovat libovoln´ y pr˚ ubˇeh pˇrid´av´an´ı fundament´aln´ıho syst´emu v z´avislosti na λ. N´as ale zaj´ım´a, jak bude vypadat urˇcit´ y disk, tedy ν pro nˇejakou pˇredem zadanou hodnotu λ = λ0 . Kdyˇz tedy dl (λ) nahrad´ıme pomoc´ı konstanty (i z hlediska λ) dl (λ0 ), dostaneme pro λ = λ0 stejnou metriku. Konstanty dp l pro p 6= 1 m˚ uˇzeme tedy poloˇzit rovny nule, aniˇz bychom ztratili nˇejak´e ˇreˇsen´ı Einsteinov´ ych rovnic. Zb´ yv´a zodpovˇedˇet, co konstanty d1 l znamenaj´ı. Pod´ıvejme se tedy na prvn´ı ˇr´ad rozvoje ˇ ν v λ 9 . Cleny odpov´ıdaj´ıc´ı d1 l , kter´e poch´azej´ı z fundament´aln´ıho syst´emu rovnice (2.11), negeneruj´ı dodateˇcn´e zdroje mimo bod r = 0. Tam ale m´ame jak souˇradnicovou singularitu, tak i nedefinovan´ y Laplace pˇr´ısluˇsn´eho ˇclenu (kter´ y zde stejnˇe diverguje). V nekoneˇcnu se tato funkce chov´a jako l-t´ y multip´ol nˇejak´eho zdroje. Pˇrirozen´e je interpretovat d1 l jako koeficienty multip´olov´eho rozvoje nˇejak´eho zdroje nach´azej´ıc´ıho se v r = 0. Porucha draggingu (ω) Dosazen´ım pozad´ı do (2.5) z´ısk´ame rovnici ∇· ρ
2
∇ωjλ
=−
j−1 X k=1
λ ∇ · ρ2 Ek −4ν1λ , . . . , −4νkλ ∇ωm−k
a z (2.9) k n´ı pˇr´ısluˇsnou okrajovou podm´ınku v ∂ωjλ λ λ ′ 1 . Ej−1 2ζ1 , . . . , 2ζj−1 = −8πσ ∂z+ ρ 1 − v 2 z=0
(2.27)
(2.28)
z=0
7
Trochu zde podv´ ad´ıme. Na toto tvrzen´ı bychom museli dopˇredu zn´ at zmˇenu ω a ζ. Jak ale zjist´ıme o nˇekolik str´ anek d´ ale, zmˇena ω, resp. ζ dle mocnin konstant dp l , resp. dq l bude vykazovat stejn´e charakym prostorov´ ym tvarem, jen teristiky jako zmˇena ν, tedy zmˇen´ı se funkce se stejnou mocninou d l a stejn´ v pˇr´ısluˇsnˇe jin´ ych j. 8 Aˇz na j!. 9 Prvn´ı ˇra´d odpov´ıd´ a pˇr´ımo tomu, ˇc´ım perturbujeme metriku, zat´ımco vyˇsˇs´ı ˇra´dy lze povaˇzovat za korekci zp˚ usobenou nelinearitu Einsteinov´ ych rovnic.
26
Greenova funkce t´eto rovnice se nalezne snadno. Pˇrepiˇsme si nejdˇr´ıve oper´ator na lev´e stranˇe rovnice do jednoduˇsˇs´ıho tvaru. Plat´ı totiˇz 1 3 λ λ ∇ · ρ2 ∇ωjλ = ρ ωj,ρ ,ρ + ρ2 ωj,z,z = ρ2 △5D ωjλ , ρ
(2.29)
kde △5D znaˇc´ı Laplace˚ uv oper´ator v pˇetirozmˇern´em eukleidovsk´em prostoru, kde ρ je polomˇer ˇctyˇrrozmˇern´e koule a z p´at´ y rozmˇer, kolm´ y na pˇredchoz´ı ˇctyˇri. K oper´atoru △5D je ale Greenova funkce zn´ama (viz. [2], str. 39). Greenovou funkc´ı oper´atoru na lev´e stranˇe rovnice (2.27) tedy je10 G(~r, ~r ′ ) = =
−1 1 1 = 2 ′2 8π ρ |~r − ~r ′ | 32
(2.30)
−1 1 , 2 8π ρ′2 [(z − z ′ )2 + ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos θ′ cos θ′ cos θ′ ] 32 1 2 3
kde θ1′ , θ2′ a θ3′ jsou u ´hlov´e promˇenn´e na ˇctyˇrrozmˇern´e sf´eˇre s rozsahy h− π2 ; π2 i pro θ1′ a θ2′ , resp. h−π; πi pro θ3′ . K vyˇrazen´ı u ´hlov´ ych promˇenn´ ych ~r jsme vyuˇzili toho, ˇze θ3 je moˇzno ztotoˇznit se souˇradnic´ı φ v podprostoru 11 θ1 = θ2 = 0 a toho, ˇze d´ıky symetrii u ´lohy m˚ uˇzeme φ zvolit libovolnˇe (tedy napˇr´ıklad 0, jak jsme to udˇelali v (2.30)). Pak n´am v Greenovˇe funkci zbudou jen u ´hlov´e promˇenn´e vektoru ~r ′ , pˇres kter´e budeme integrovat. Budeme postupovat podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe gravitaˇcn´ıho potenci´alu. ωjλ rozloˇz´ıme na tˇri ˇc´asti, ωjλ = ωjPS + ωjD + ωjFS , (2.31) kter´e budou opˇet znaˇcit postupnˇe partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı prav´e strany (ωjPS ), korekci na derivace na povrchu z = 0 (ωjD ) a fundament´aln´ı syst´em rovnice (2.27) (ωjFS ). Analogicky k (2.14) m˚ uˇzeme ps´at π
ωjPS =
−1 8π 2
π
Z+∞ Z+∞Z2 Z2 Zπ
−∞ 0 − π2 − π2 −π
P Sj (ρ′ , z ′ )ρ′ cos2 θ1′ cos θ2′ [(z−z ′ )2 +ρ2 +ρ′2 −2ρρ′ cos θ1′ cos θ2′ cos θ3′ ]
3 2
dz ′ dρ′ dθ1′ dθ2′ dθ3′ , (2.32)
kde jsme zkr´atili faktor ρ′2 a P Sj je definovan´a jako prav´a strana rovnice (2.27), tj. P Sj (ρ, z) = −
j−1 X k=1
10
λ ∇ · ρ2 Ek −4ν1λ , . . . , −4νkλ ∇ωm−k .
(2.33)
Vyj´ adˇren´ı pomoc´ı ρ, z a u ´hlov´ ych promˇenn´ ych jsme z´ıskali z eukleidovsk´e transformace pˇetirozmˇern´ ych “cylindrick´ ych”a “sf´erick´ ych”souˇradnic. 11 Lze samozˇrejmˇe zvolit libovoln´ y dvourozmˇern´ y rovinn´ y ˇrez ˇctyˇrrozmˇern´e koule. Vhodnost ˇrezu θ1 = θ2 = 0 plyne z kart´ezsk´ ych souˇradnic x1
= ρ cos θ1 cos θ2 cos θ3
x2 x3
= ρ cos θ1 cos θ2 sin θ3 = ρ cos θ1 sin θ2
x4 x5
= ρ sin θ1 = z
v uvaˇzovan´em virtu´ aln´ım pˇetidimenzion´ aln´ım prostoru.
27
D´ale je moˇzno rovnou napsat νjD . Opˇet v analogii s (2.17) plat´ı π π ∂ωjD Z+∞Z2 Z2 Zπ (ρ′ )ρ′ cos2 θ1′ cos θ2′ ∂z+ −1 D ′ ′ ′ ′ z=0 ωj = 2 (2.34) 3 dρ dθ1 dθ2 dθ3 , ′ ′ ′ ′ )2 + ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos θ cos θ cos θ ] 2 8π [(z − z 1 2 3 π π −π 0 −2 −2
kde
∂ωjD ∂z+ z=0
je definovan´a jako ∂ωjD ∂z+
z=0
= −8πσ ′
PS ∂ω 1 v j λ − Ej−1 2ζ1λ , . . . , 2ζj−1 2 ρ 1 − v z=0 ∂z+
.
(2.35)
z=0
Zb´ yv´a urˇcit fundament´aln´ı syst´em rovnice (2.27) s podm´ınkou nulov´e jednostrann´e derivace na ploˇse z = 0. Vyuˇzijeme toho, ˇze tento fundament´aln´ı syst´em je vektorov´ p ym podprostorem j´adra oper´atoru △5D (viz. (2.29)) a po transformaci do souˇradnic r = ρ2 + z 2 a t = √ 2z 2 ρ +z
12
zjist´ıme, ˇze ωjFS mus´ı splˇ novat 1 ∂ 1 1 ∂ 4 ∂ 2 2 ∂ 0 = r + 2 (1 − t ) ωjFS , 4 2 r ∂r ∂r r 1 − t ∂t ∂t FS ∂ωj 0 = . ∂t+
(2.36)
t=0
Nab´ız´ı se opˇet vyj´adˇrit ωjFS jako sumu ˇreˇsen´ı (2.36) se separovan´ ymi promˇenn´ ymi. Definujme tedy X ωjFS = Rj l (r)Tl (t), (2.37) l index
kde nez´avislost Tl (t) na j plyne z toho, ˇze rovnice (2.36) nen´ı nikde (aˇz na ωjFS samotn´e) explicitnˇe z´avisl´a na l, a tedy vektorov´ y prostor definovan´ y j´adrem oper´atoru △5D bude pro vˇsechna j stejn´ y. Konstanty, kter´e budou popisovat souˇradnice ωjFS v tomto vektorov´em prostoru, pak staˇc´ı povaˇzovat za souˇc´ast jedn´e z funkc´ı Rj l , Tj l . Druh´a z nich se pak stane na j nez´avislou. Vrat’me se ale zpˇet k urˇcov´an´ı Rj l , resp. Tl . Po dosazen´ı (2.37) do (2.36) z´ısk´ame soustavu rovnic d2 d Tl − 4t Tl + λl Tl , 2 dt dt 2 d d 0 = r2 2 Rj l + 4r Rj l − λl Rj l , dr dr dTl 0 = . dt+ 0 = (1 − t2 )
(2.38) (2.39) (2.40)
t=0
Prvn´ı z nich je Gegenbauerova diferenci´aln´ı rovnice (viz. [2], str. 206) s p = 32 13 . Ne vˇsechny Gegenbauerovy polynomy vyhovuj´ı podm´ınce (2.40). Na rozbor vˇsak budeme potˇrebovat podrobnˇejˇs´ı informace o Gegenbauerov´ ych polynomech, neˇz jsou obsaˇzeny v [2]. Ty lze nal´ezt 12
Zˇrejmˇe t = cos θ z pˇredchoz´ıho odd´ılu. λl by samozˇrejmˇe mohlo b´ yt libovoln´e. Pˇredpokl´ ad´ ame vˇsak analytiˇcnost ωjFS v cel´em prostoru aˇz na singul´arn´ı oblasti souˇradnic (r = 0). Proto mus´ı b´ yt analytick´e takt´eˇz Tl . Jelikoˇz Gegenbauerovy polynomy tvoˇr´ı b´ azi v prostoru analytick´ ych funkc´ı, bude n´ am staˇcit omezit se na λl = l(l + 3), kde l ∈ N ∪ {0}. 13
28
v [9]14 . Zkombinov´an´ım [9], vztah (11), a funkˇcn´ıch hodnot Gegenbauerov´ ych polynom˚ u v nule (kter´e je moˇzno naj´ıt napˇr. v [10]) z´ısk´ame v´ yraz15 ( 0 pro l sud´e d , (2.41) Tl = 2l+1 Γ( 2l +2) pro l lich´e dt t=0 Γ(1− 2l )Γ(l) kde Γ(z) znaˇc´ı Gama-funkci. Z toho je jasnˇe vidˇet, ˇze (2.40) je splnˇena jen pro sud´a l. Zb´ yv´a urˇcit Rj l pomoc´ı (2.39). Dosazen´ım λl = l(l + 3) z´ısk´ame obecn´e ˇreˇsen´ı ve tvaru Rj l = cj l rl + dj l r−l−3 ,
(2.42)
kde cj l a dj l jsou konstanty, a tedy obecn´e ˇreˇsen´ı (2.36) je ωjFS
∞ X
=
cj l rl + dj l r−l−3 Tl (t)
l=0 l sud´e ∞ h X
=
(2.43)
− l+3 2
l 2
cj l (ρ2 + z 2 ) + dj l (ρ2 + z 2 )
l=0 l sud´e
i
Tl
z p
ρ2 + z 2
!
.
Poˇzadavek, aby v nekoneˇcnu pˇrech´azelo nalezen´e ˇreˇsen´ı (a tedy i fundament´aln´ı syst´em) v Minkowsk´eho prostoroˇcas, vynucuje cj l = 0 pro l 6= 0. cj 0 odpov´ıd´a rotaci pozorovatele s konstantn´ı u ´hlovou rychlost´ı, a tedy transformac´ı souˇradnic φ′ = φ + Lt pro vhodnou konstantu L lze cj 0 odstranit. Proto budeme uvaˇzovat i tuto konstantu nulovou. Konstanty dj l lze podobn´ ym trikem jako u funkce ν FS pˇrev´est na funkci d1 l (λ) a poloˇzit dj l = 0 pro j 6= 1. Opˇet tato funkce odpov´ıd´a tomu, jak moc se porucha v metrice objev´ı v z´avislosti na hmotnosti disku. Pokud n´as zaj´ım´a ˇreˇsen´ı pro nˇejak´ y disk, tj. metrika pro konkr´etn´ı λ0 , m˚ uˇzeme funkci d1 l (λ) nahradit konstantou d1 l (λ0 ). Analogickou argumentac´ı, jakou jsme pouˇzili v minul´em odd´ılu, dospˇejeme k z´avˇeru, ˇze d1 l lze interpretovat jako zobecnˇen´ y multip´olov´ y rozvoj draggingu bodov´eho zdroje um´ıstˇen´eho ve stˇredu. Perturbace ζ Abychom nemuseli podobn´e u ´vahy nˇekolikr´at opakovat, budeme zde pracovat s obecnˇejˇs´ım B a d´ale v textu se na tuto ˇc´ast odk´aˇzeme. Koeficienty rozvoje ζjλ m´ame definovan´e pomoc´ı (2.6), (2.7) a podm´ınky regularity (2.10). Pod´ıv´ame-li se na Schwarzschildovu metriku ve tvaru (1.50), resp. na metrick´e funkce (1.51), zˇrejmˇe pro A = 0 metrika pˇrech´az´ı na Minkowsk´eho prostoroˇcas. Pro toto pozad´ı jsme jiˇz ale specifikovali “pˇrirozen´ y”zp˚ usob, jak integrovat rovnice (1.18) a (1.19) — je naˇcrtnut na obr´azku 1.2. Pˇrepisem rovnic (1.54) a (1.55) do poruchov´eho tvaru, tj. dosazen´ım (2.2), dostaneme pro ζjλ v´ yraz ζjλ (r, θ0 )
=
Zθ0 0
14
3
1 1+
A2 2 r2
+ B 2 cot2 θ
4
A2 cot θ + Ψλj (r, θ, ν0λ , ν1λ , . . . νjλ )+ r2
Tl (t) = Cl2 (t) z [9] . 15 Samozˇrejmˇe ˇreˇsen´ı rovnice (2.38) je moˇzno ˇsk´ alovat. V n´ asleduj´ıc´ım textu se bude pouˇz´ıvat Tl normovan´e pomoc´ı [9], vztah 10.
29
r+A + r−A kde
4 X j k=0
)
λ Ek (−4ν1λ , . . . , −4νkλ )Ξλj−k (r, θ, ω1λ , ω2λ , . . . , ωj−k ) dθ, (2.44)
j X
"
λ νkλ ,θ νj−k ,θ 2 2 λ λ λ λ λ λ −r B cot θ νk ,r νj−k ,r − Ψj (r, θ, ν0 , ν1 , . . . νj ) = 2 r k=0 A2 λ + 2 1 + 2 rBνkλ ,r νj−k ,θ r
a
Ξλj (r, θ, ω1λ , ω2λ , . . . , ωjλ )
!
+ (2.45)
j−1 X 1 A2 λ − = B r sin θ 1 + 2 ωkλ ,r ωj−k ,θ + 2 r k=1 !# λ λ ω ω 1 k ,θ j−k ,θ λ r cot θB 2 ωkλ ,r ωj−k + . ,r − 4 r2 2 3
2
(2.46)
Konkr´etn´ı v´ ysledek pro Minkowsk´eho pozad´ı (B = 1) z´ısk´ame dosazen´ım A = 0, ζjλ (r, θ0 )
Zθ0
=
0
sin2 θ Ψλj (r, θ, ν0λ , ν1λ , . . . νjλ )+
j X
+
k=0
kde Ψλj
=
j X k=0
a Ξλj
3
2
= r sin θ
j−1 X k=1
"
"
)
(2.47)
#
(2.48)
λ Ek (−4ν1λ , . . . , −4νkλ )Ξλj−k (r, θ, ω1λ , ω2λ , . . . , ωj−k ) dθ,
2
−r cot θ
λ νkλ ,r νj−k ,r
λ νkλ ,θ νj−k ,θ − 2 r
!
+
λ 2rνkλ ,r νj−k ,θ
λ ωkλ ,θ ωj−k 1 λ λ 1 ,θ λ λ − ωk ,r ωj−k ,θ + r cot θ ωk ,r ωj−k ,r − 2 2 4 r
!#
.
(2.49)
Pozn´ amka na z´ avˇ er V interpretaci konstant dp l na stranˇe 26 jsme pˇredpokl´adali chov´an´ı ˇc´ast´ı funkc´ı s k-tou mocninou dp l jako kdyby byly jen n´asobeny. Pˇri pohledu na vztahy kter´ ymi spoˇcteme νjλ , λ λ ωj , resp. ζj vid´ıme, ˇze pouˇz´ıv´ame jen n´asoben´ı — jak mezi sebou (tam vznik´a chov´an´ı vyˇsˇs´ıch mocnin dp l ), tak funkcemi nez´avisl´ ymi na dp l — sˇc´ıt´an´ı, derivov´an´ı, konvoluce a integrov´an´ı (posledn´ıch pˇet operac´ı nem´a na mocninu dp l vliv). Charakter z´avislosti dkp l n´am proto urˇcuje prvn´ı z uveden´ ych operac´ı, jak jsme uvaˇzovali.
2.1.2
Schwarzschildovo pozad´ı
Pokusme se aplikovat postup i na Schwarzschildovu ˇcernou d´ıru. Vzhledem k tomu, ˇze pˇri poruchov´em rozvoji potˇrebujeme ˇreˇsit rovnici (2.3), kde se vyskytuje gravitaˇcn´ı potenci´al pozad´ı ν0λ , nen´ı pˇr´ıliˇs vhodn´e pouˇz´ıt pˇr´ımo Weylovy souˇradnice (a tedy gravitaˇcn´ı potenci´al ve tvaru (1.45)). Mnohem slibnˇeji vypad´a pouˇzit´ı pozad´ı ve tvaru (1.51). D´ale budeme pracovat se “sf´erick´ ym´ı”souˇradnicemi (t, φ, θ, r) nebot’ l´epe odpov´ıdaj´ı isotropick´emu vyj´adˇren´ı Schwarzschildovy metriky. 30
Porucha gravitaˇ cn´ıho potenci´ alu (ν) Rovnice (2.3) bude pro dan´e B vypadat " # A2 1 − A2 1 ∂ ∂ ∂ ∂ r2 ∇ · 1 − 2 ∇νjλ = 2 (r2 − A2 ) νjλ + sin θ νjλ = r r ∂r ∂r sin θ ∂θ ∂θ
(2.50)
j−2 j−k−1 X X 1 (r + A)7 λ λ λ λ 2 = E −4ν , . . . , −4ν ∇ωm · ∇ωj−l−m . sin θ l 1 l 4 2 r (r − A) k=0 l=1
Vzhledem k tomu, ˇze zn´ame Greenovu funkci pro tuto rovnici pro B = 1 a um´ıme naj´ıt transformaci, kter´a metriku s B 6= 1 pˇrevede na metriku s B = 1, m˚ uˇzeme j´ı zkusit pouˇz´ıt k urˇcen´ı Greenovy funkce (2.50), resp. nalezen´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı. Konkr´etnˇe se jedn´a o transformaci (r,θ) → (x,y) popsanou A2 x = sin θr 1 − 2 , r A2 (2.51) y = cos θr 1 + 2 , r kde nov´e souˇradnice x a y se chovaj´ı jako “cylindrick´e”souˇradnice ρ a z v pˇr´ıpadˇe Minkowsk´eho pozad´ı. Nal´ezt k n´ı inverzi je o nˇeco komplikovanˇejˇs´ı. S vyuˇzit´ım “v´alcov´ ych”souˇradnic ρ = r sin θ a z = r cos θ po nˇekolika u ´prav´ach z´ısk´ame vztahy √ A 2 r = q , p ζ − ζ2 − 4 q p √ 2−4 ζ − ζ x 2 , p θ = arcsin (2.52) · A 2 − ζ + ζ2 − 4
kde
x2 + y 2 ζ= + 2A2
s
x2 + y 2 2A2
2
+4+2
x2 − y 2 . A2
(2.53)
Jakobi´an transformace je " # 2 2 2 D(x; y) A A 1− 2 + 4 2 sin2 θ . D(r; θ) = r r r
(2.54)
Konkr´ etnˇ e se k v´ yˇse uveden´ ym vztah˚ um m˚ uˇ zeme dopoˇ c´ıtat napˇr´ıklad takto: 2 y x Definujme P = r sin , Q = r cos a ξ = A . Jelikoˇ z m´ ame jen 2 nez´ avisl´ e souˇradnice, mus´ı mezi tˇ emito promˇ enn´ ymi 2 θ θ r existovat vztah. Vyj´ adˇr´ıme-li r pomoc´ı P a Q, z´ısk´ ame ξ= ` ´ x 2 P
A2 “ ”2 . y + Q
(2.55)
Rovnice (2.51) pak vypadaj´ı P
=
Q
=
31
1−ξ
1 + ξ.
(2.56)
Pomoc´ı nich snadno eliminujeme P a Q v (2.55). Z´ısk´ ame tak pro ξ rovnici A2
ξ= “
x 1−ξ
”2
+
“
y 1+ξ
(2.57)
”2 .
Pro body nad horizontem plat´ı, ˇ ze r ∈ (A; +∞), a z toho plyne ξ ∈ (0; 1). Pro tento rozsah m˚ uˇ zeme rovnici (2.57) pˇrepsat
na
ξ 2 + αξ + (β + 2) + αξ −1 + ξ −2 = 0,
(2.58)
kde α
=
β
=
x2 + y 2 , A2 x2 − y 2 −4 − 2 . A2 −
Nyn´ı definujme
(2.59)
1 . ξ
(2.60)
s„ « ζ 2 −1 2
(2.61)
ζ =ξ+ Uv´ aˇ zen´ım rozsahu ξ, kter´ y n´ as zaj´ım´ a, zjist´ıme, ˇ ze ξ=
ζ − 2
(druh´ e ˇreˇsen´ı (2.60) (s plus pˇred odmocninou) m´ a hodnotu vˇ etˇs´ı neˇ z 2, pokud je ζ kladn´ e, coˇ z pˇredpokl´ ad´ ame). Snadno nahl´ edneme, ˇ ze pro ξ ∈ (0; 1) bude ζ ∈ (2; +∞). Pˇrep´ıˇseme znovu (2.58) na ζ 2 + αζ + β = 0.
(2.62)
Tato rovnice m´ a samozˇrejmˇ e 2 ˇreˇsen´ı. N´ as bude zaj´ımat jen ζ=−
α + 2
r“ ” α 2 2
− β.
(2.63)
O ˇreˇsen´ı s m´ınus pˇred odmocninou lze dok´ azat (d˚ ukaz zde nebudu uv´ adˇ et — je to jen nezaj´ımav´ e technick´ e cviˇ cen´ı), ˇ ze je menˇs´ı neˇ z 2, a proto je pro n´ as nepodstatn´ e. Rovnice (2.53) je (2.63), kde jsme dosadili za α a β z (2.59). Ze znalosti ζ pomoc´ı (2.61) obdrˇ z´ıme ξ, z nˇ ej dle definice r a uv´ aˇ zen´ım (2.56) a definice Q tak´ e sin θ, a tedy rovnice (2.52).
Lev´a strana (2.50) po vyj´adˇren´ı v souˇradnic´ıch x a y vypad´a 1− Ar22 ∂ λ ∂ ∂ 1 2 2 ∂ (r − A ) ∂r + sin θ ∂θ sin θ ∂θ νj = r 2 ∂r h 2 ∂2 i λ 2 A2 ∂ ∂ A2 A2 = 1 − r2 x ∂x + ∂y2 νj . 1 − r2 + 4 r2 sin θ x1 ∂x
(2.64)
Ve vyj´adˇren´ı oper´atoru (2.64) v souˇradnic´ıch x a y je moˇzno, aˇz na multiplikativn´ı faktor, poznat Laplace˚ uv oper´ator v cylindrick´ ych souˇradnic´ıch. Jednou z Greenov´ ych funkc´ı naˇs´ı rovnice je tedy −1 −1 2 2 2 2 2 A A A ′ Z2π 1 − r′2 + 4 r′2 sin θ 1 − r′2 1 ′ ′ ′ p dφ′ , (2.65) Gxy (x, y, x , y ) = − x ′ 2 2 ′2 ′ ′ 4π (y − y ) + x + x − 2xx sin φ 0
kde za r′ a θ′ je dosazeno r, resp. θ z (2.52) v bodˇe (x′ ; y ′ ). V souˇradnic´ıch x a y je ale tato Greenova funkce ponˇekud nepraktick´a. Pˇrevodem16 zpˇet do souˇradnic r a θ m´ame 1 Grθ (r, θ, r , θ ) = − 4π ′
′
Z2π 0
16
r′2 sin θ′ p
(y −
y ′ )2
+
x2
+
x′2
−
2xx′
Dosazen´ım a vyn´ asoben´ı jakobi´ anem pˇr´ısluˇsn´e transformace, zde (2.54).
32
sin φ′
dφ′ ,
(2.66)
kde za x a y, resp. x′ a y ′ dosad´ıme z (2.51) v bodˇe (r; θ), resp. (r′ , θ′ ). Nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı Greenova funkce z minul´e ˇc´asti byla v “cylindrick´ ych”souˇradnic´ıch ρ a z, kter´e jsou ale se “sf´erick´ ymi”souˇradnicemi jednoduˇse sv´az´any. Dalˇs´ı transformac´ı tedy z´ısk´ame i2 R2π ′ h 1 z z′ ′ ′ Gρz (ρ, z, ρ , z ) = − 4π ρ z − z ′ + A2 ρ2 +z − + (2.67) 2 ρ′2 +z ′2 0
+ ρ−
A2 ρ ρ2 +z 2
2
+ ρ′ −
A2 ρ ′ ρ′2 +z ′2
2
−2 ρ−
A2 ρ ρ2 +z 2
ρ′ −
A2 ρ ′ ρ′2 +z ′2
sin φ′
− 12
dφ′ ,
D´ale budeme pokraˇcovat analogicky jako u Minkowsk´eho pozad´ı. Koeficient poruchov´eho rozvoje νjλ opˇet rozloˇz´ıme dle (2.13) na 3 ˇc´asti. Oznaˇc´ıme-li pravou stranu rovnice (2.50) jako P Sj (r, θ) =
j−2 j−k−1 X X 1 (r + A)7 λ λ λ λ 2 E −4ν , . . . , −4ν ∇ωm · ∇ωj−l−m , sin θ l 1 l 2 r4 (r − A) k=0 l=1
(2.68)
m˚ uˇzeme pro νjPS ps´at
νjPS (r, θ)
=
Z∞ Zπ A
Grθ (r, θ, r′ , θ′ )P Sj (r′ , θ′ )dθ′ dr′ .
(2.69)
0
Uv´aˇzen´ım (2.9) a νjPS pro jednostrannou derivaci νjD na povrchu z = 0 z´ısk´ame vzorec ) ( PS 2 λ ∂ν ∂νjD 1 + v (ρ + A)4 j λ λ Ej−1 2(ζ1 − ν1λ ), . . . , 2(ζj−1 − νj−1 ) − = 2πσ , (2.70) ∂z+ ρ4 1 − v2 ∂z+ z=0
z=0
a tedy
νjD (ρ, z) =
Z∞ A
∂νjD 2 ∂z+
(ρ′ )Gρz (ρ, z, ρ′ , 0)dρ′ .
(2.71)
z=0
Zb´ yv´a uˇz jen fundament´aln´ı syst´em. Pokud bychom pouˇzili “hrubou s´ılu”a pokusili se ˇreˇsit fundament´aln´ı syst´em rovnice (2.50) pˇr´ımo, dospˇeli bychom po rozkladu pomoc´ı kulov´ ych funkc´ı k hypergeometrick´ ym funkc´ım, bohuˇzel ale s argumentem vˇetˇs´ım neˇz 1, tedy mimo oblast konvergence. Alternativn´ı postup je podobn´ y jako v pˇr´ıpadˇe v´ ypoˇctu Greenovy funkce — v souˇradnic´ıch x a y oper´ator pˇrejde (aˇz na multiplikativn´ı faktor, kter´ y n´as v pˇr´ıpadˇe fundament´aln´ıho syst´emu nezaj´ım´a) na obyˇcejn´ y Laplace˚ uv oper´ator. Pokud tedy (zat´ım) neuvaˇzujeme podm´ınky nulovosti jednostrann´e derivace a asymptotick´e plochosti, m˚ uˇzeme fundament´aln´ı syst´em zapsat (analogicky k (2.25)) jako ! +∞ h i X y FS 2 2 2l 2 2 −l−1 νj = cj l (x + y ) + dj l (x + y ) 2 Pl p = (2.72) x2 + y 2 l=0 " # 2l 2 +∞ X l r A cj l A 2 = − + 4 cos2 θ + A r l=0 # −l−1 " 2 2 r A cos θ + −l−1 A r , − + dj l A 2 + 4 cos2 θ Pl q A r A r A 2 r 2 − r + 4 cos θ A 33
kde Pl znovu znaˇc´ı Legendre˚ uv polynom stupnˇe l a cj l , resp. dj l jsou libovoln´e konstanty. Z pˇredpokladu asymptotick´e plochosti ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme tvrdit cj l = 0 pro vˇsechna l ∈ N ∪ {0}. Argumentace je stejn´a jako v minul´em odd´ılu — pro l ∈ N pro r → +∞ jde ( Ar − Ar ) → +∞ a jelikoˇz ˇclen 4 cos2 θ je omezen´ y, chov´a se ˇc´ast fundament´aln´ıho syst´emu za cj l v nekoneˇcnu jako rl , tedy diverguje. Jelikoˇz jsou jednotliv´a ˇcleny v sumˇe (2.72) line´arnˇe nez´avisl´e, mus´ı b´ yt nulov´a kaˇzd´a z pˇr´ısluˇsn´ ych konstant. Pro l = 0 m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat nulovost cj l z fyziky — cj 0 by jen v nekoneˇcnu pˇreˇsk´alovala souˇradnice, a tud´ıˇz nepˇrinesla nic zaj´ımav´eho. Zb´ yv´a tedy posledn´ı omezen´ı na fundament´aln´ı syst´em — nulovost prav´e derivace podle z na ploˇse z = 0. Tato podm´ınka je ekvivalentn´ı vztahu ∂νjFS 1 ∂ FS 0= ν . (2.73) =− ∂z+ r ∂θ− j θ= π z=0
2
Dosazen´ım a uv´aˇzen´ım (2.24) zjist´ıme, ˇze tato podm´ınka je ekvivalentn´ı omezen´ı dj l = 0 pro l lich´a. Cel´ y fundament´aln´ı syst´em lze tedy zapsat # −l−1 " +∞ 2 2 r A X cos θ + −l−1 A r . (2.74) − + 4 cos2 θ dj l A 2 νjFS = Pl q A r A r A 2 r 2 − r + 4 cos θ l=0 A lsud´e
Fyzik´alnˇe m˚ uˇzeme konstanty dj l povaˇzovat za analogii multip´olov´eho rozvoje zdroje nˇejak´eho zdroje pod nebo na horizontu ˇcern´e d´ıry — v souˇradnic´ıch pˇrizp˚ usoben´ ych ˇcern´e d´ıˇre (tj. x a y) se jako multip´olov´ y rozvoj chovaj´ı a pro r → ∞ pˇrech´az´ı (x, y) na eukleidovsk´e cylindrick´e souˇradnice (ρ, z). Porucha draggingu (ω) Bohuˇzel u druh´e z rovnic, kterou potˇrebujeme ˇreˇsit, s podobn´ ym postupem neuspˇejeme Po dosazen´ı Schwarzschildovy ˇcern´e d´ıry do (2.5) dostaneme # !) ( " λ 2 7 7 ∂ω λ ∂ω sin θ ∂ (r + A) ∂ (r + A) j j + 4 sin3 θ = 3 2 2 r ∂r r (r − A) ∂r ∂θ r (r − A) sin θ ∂θ # ( " j−1 λ X ∂ω sin2 θ ∂ (r + A)7 j−k = − E (−4ν1λ , . . . , −4νkλ ) + 2 2 (r − A) k r ∂r r ∂r k=1 !) λ ∂ω ∂ (r + A)7 j−k sin3 θ . (2.75) + ∂θ r4 (r − A) sin3 θ ∂θ Greenovu funkci k oper´atoru na lev´e stranˇe se mi nepodaˇrilo naj´ıt17 . Will ve sv´em ˇcl´anku [14] ˇreˇs´ı stejnou rovnici, nicm´enˇe jeho postup, jak d´ale uvid´ıme, nelze jednoduˇse zobecnit. Pouˇzijeme-li stejnou transformaci souˇradnic jako v [14], vztah (27), tedy x = 12 Ar + Ar , po nˇekolika u ´prav´ach dospˇejeme k tvaru # !) ( " λ ∂ω sin2 θ ∂ (r + A)7 ∂ωjλ ∂ (r + A)7 j + 4 sin3 θ = r2 ∂r r2 (r − A) ∂r ∂θ r (r − A) sin3 θ ∂θ 17
Resp. podaˇrilo se mi nal´ezt ji ve tvaru nekoneˇcn´e ˇrady, kterou neum´ım seˇc´ıst. Viz. text d´ ale.
34
(2A)4 sin2 θ = 2 2 r (r − A2 )
(
" # λ ∂ω ∂ (x + 1)4 ∂ j (x2 − 1) (x + 1)4 + ∂x ∂x sin3 θ ∂θ
∂ωjλ sin3 θ ∂θ
!)
, (2.76)
√ kde na prav´e stranˇe mus´ıme dosadit za r inverzi souˇradnicov´e transformace r = A x + x2 − 1 . Na chv´ıli zapomeˇ nme na multiplikativn´ı faktor a to, ˇze hled´ame Greenovu funkci, a ˇreˇsme rovnici ∂ (x + 1)4 ∂ 2 4 ∂f (x, θ) 3 ∂f (x, θ) (x − 1) (x + 1) + sin θ = P S x (x, θ), (2.77) 3 ∂x ∂x ∂θ sin θ ∂θ kde f (x, θ) je hledan´a funkce a P S x (x, θ) je nˇejak´a obecn´a prav´a strana. S pˇr´ım´ ym ˇreˇsen´ım t´eto rovnice bychom asi pˇr´ıliˇs neuspˇeli, nicm´enˇe druh´ y ˇclen na lev´e stranˇe rovnice (2.77) n´am pˇripomene ultrasf´erickou rovnici. M˚ uˇzeme se tedy pokusit rozloˇzit jak f , tak pravou stranu pomoc´ı Gegenbauerov´ ych polynom˚ u, a t´ım ji pˇrev´est na soustavu obyˇcejn´ ych diferenci´aln´ıch rovnic. Definujme tedy f (x, θ) = P S x (x, θ) =
+∞ X
flθ (x)Tl (cos θ),
l=0 +∞ X
P Slθ (x)Tl (cos θ),
(2.78)
l=0
kde Tl (t) je l-t´ y Gegenbauer˚ uv polynom (viz. strana 28 a d´al). Uv´aˇzen´ım jejich ortogonality a normalizace [9], (10), m˚ uˇzeme ps´at (2l + 3) P Slθ (x) = 2(l + 2)(l + 1)
Zπ
P S x (x, θ)Tl (cos θ) sin3 θdθ.
(2.79)
0
Rovnice (2.77) tedy pˇrejde na soustavu rovnic d 4 d θ 2 (x + 1) fl − l(l + 3)(x + 1)4 flθ = P Slθ , (x − 1) dx dx
(2.80)
kde l ∈ N ∪ {0}. Pokud u obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice zn´ame fundament´aln´ı syst´em, m˚ uˇzeme pomoc´ı nˇej sestrojit jej´ı Greenovu funkci (viz. napˇr. [2], kapitola 6). Will ve sv´em ˇcl´anku uv´ad´ı, ˇze t´ımto fundament´aln´ım syst´emem je flθ FS = Cl Fl (x) + Dl Gl (x),
(2.81)
kde x+1 Fl (x) = 2 F1 −l, l + 3, 4; , 2 Z∞ dy x+1 , Gl (x) = 2 F1 −l, l + 3, 4; 2 [2 F1 −l, l + 3, 4; y+1 ]2 (y + 1)4 2
(2.82)
x
v nichˇz 2 F1 (a, b, c; z) znaˇc´ı hypergeometrickou funkci (viz. [11]). Jak si m˚ uˇzeme vˇsimnout Fl (x) je polynom stupnˇe l. Asymptotick´e chov´an´ı pˇr´ısluˇsn´ ych funkc´ı v nekoneˇcnu je Fl (x) ≈ xl Gl (x) ≈ x−l−3
pro x → ∞ pro x → ∞. 35
(2.83)
D´ale Will pouˇzije metodu variace konstant k nalezen´ı ˇreˇsen´ı s pravou stranou. Ta samozˇrejmˇe vede k ˇreˇsen´ı, ale jej´ı pouˇzit´ı je omezeno na prvn´ı ˇr´ad poruchy v λ. V obecn´em pˇr´ıpadˇe bychom mˇeli probl´em s rozkladem v u ´hlov´e ˇca´sti. Jelikoˇz jsou rovnice neline´arn´ı, budou se na prav´ ych stran´ach vyskytovat souˇciny Gegenbauerov´ ych polynom˚ u. Nicm´enˇe rozklad takov´eho souˇcinu zpˇet do pˇr´ısluˇsn´ ych ortogon´aln´ıch polynom˚ u obsahuje obecnˇe vˇsechny mnohoˇcleny stupnˇe menˇs´ıho ˇci rovn´eho souˇctu stupˇ n˚ u polynom˚ u v souˇcinu 18 . Tedy abychom byli schopni urˇcit pˇr´ısluˇsn´ y koeficient rozkladu prav´e strany, museli bychom uv´aˇzit vˇsechny koeficienty v niˇzˇs´ım ˇr´adu. To ale nen´ı provediteln´e. V line´arn´ım ˇr´adu poruchy v λ tato pot´ıˇz nenast´av´a, jelikoˇz na prav´e stranˇe m´ame jen niˇzˇs´ı poruchov´e ˇr´ady, tedy neporuˇsen´e pozad´ı, kter´e zn´ame pˇresnˇe. My budeme d´ale postupovat trochu odliˇsnˇe. Vytvoˇr´ıme Greenovu funkci oper´atoru na lev´e stranˇe rovnice (2.80) a tu pouˇzijeme ke konstrukci Greenovy funkce odpov´ıdaj´ıc´ı rovnici (2.77), resp. (2.76). Jak zn´amo, Greenova funkce (2.80) m´a tvar αl > (x′ )Fl (x) + βl > (x′ )Gl (x) pro x > x′ GFl (x, x′ ) = αl < (x′ )Fl (x) + βl < (x′ )Gl (x) pro x < x′ , (2.84) spojitˇe pro x = x′
kde αl > (x′ ), αl < (x′ ), βl > (x′ ) a βl < (x′ ) jsou konstanty (vzhledem k x) z´avisl´e na okrajov´ ych podm´ınk´ach. Jelikoˇz poˇzadujeme asymptoticky ploch´e ˇreˇsen´ı, z chov´an´ı funkc´ı Fl (x) v nekoneˇcnu (viz. (2.83)) plyne αl > (x′ ) = 0 19 . Toto ale jeˇstˇe Greenovu funkci nedefinuje pˇresnˇe. Principi´alnˇe tato nejednoznaˇcnost nevad´ı, jelikoˇz vˇsechny GFl (x, x′ ) vyhovuj´ıc´ı v´ yˇse uveden´emu krit´eriu se budou liˇsit o n´asobek Gl (x), a tedy i partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı vygenerovan´a pomoc´ı tˇechto Greenov´ ych funkci se budou liˇsit o nˇejak´ y n´asobek Gl (x) (obecnˇe jin´ y a z´avisl´ y na prav´e stranˇe). Vzhledem k n´asledn´emu pˇriˇc´ıt´an´ı nˇejak´e funkce z fundament´aln´ıho syst´emu (2.75) n´as nemus´ı zaj´ımat, jakou konkr´etn´ı Greenovu funkci pouˇzijeme. “Pˇrirozen´e”(a v jist´em smyslu i extr´emn´ı) volby dodateˇcn´e podm´ınky mohou b´ yt dvˇe: • βl > (x′ ) = 0, aneb dragging disku je kompenzov´an draggingem ˇcern´e d´ıry. Pˇrirozen´e je zde nam´ıtnout, ˇze uvaˇzujeme Schwarzschildovu ˇcernou d´ıru jakoˇzto pozad´ı a ta m´a nulov´ y dragging. Mus´ıme si ale uvˇedomit, ˇze kaˇzd´a perturbace, kterou provedeme, ovlivˇ nuje cel´ y prostoroˇcas, a tedy i ˇcernou d´ıru. Zbyl´e dvˇe konstanty pak vyjdou αl < (x′ ) =
βl < (x′ ) = 18
2 F1
2 F1
′
−l, l + 3, 4; x 2+1 8(1 − x′2 ) −l, l + 3, 4; x′2 − 1
Z∞
x′ +1 2
x′ +1 2
.
z4
dz , [2 F1 (−l, l + 3, 4; z)]2 (2.85)
Respektive skoro vˇsechny. Vystaˇc´ıme ale se zjednoduˇsen´ım, ˇze v rozkladu jsou vˇsechny uveden´e polynomy. Pˇresn´ ym vymezen´ım tˇech, kter´e tam jsou, bychom si jen zkomplikovali (po technick´e str´ance) argumentaci d´ ale a na z´ avˇerech by to nic nezmˇenilo. 19 Pˇresnˇeji pro l > 0 bychom nenulov´ ym αl > (x′ ) poruˇsili asymptotickou plochost. l = 0 jen pˇrid´ av´ a konstantn´ı rotaci souˇradn´eho syst´emu tvaru φ′ = φ + Ωt, kde Ω je vhodn´ a konstanta. To ale nepˇrinese fyzik´ alnˇe ´ odliˇsn´e ˇreˇsen´ı a proto m˚ uˇzeme BUNO poloˇzit α0 > (x′ ) = 0 tak´e.
36
• GFl (1, x′ ) = 0, aneb dragging disku nem´a vliv na ˇcernou d´ıru (opˇet se ale jedn´a o jakousi interpretaci dodateˇcn´e podm´ınky - v tomto pˇr´ıpadˇe toho, ˇze partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nebude mˇenit metriku na horizontu ˇcern´e d´ıry). Pˇr´ısluˇsn´e konstanty pak vyjdou ′
αl < (x ) =
βl < (x′ ) =
2 F1
2 F1
′
−l, l + 3, 4; x 2+1 8(1 − x′2 )
−l, l + 3, r; x′2 − 1
x′ +1 2
Z∞
z4
x′ +1 2
R∞
x′ +1 2
R∞ 1
dz z 4 [2 F1 (−l,l+3,4;z)]2
, dz z 4 [2 F1 (−l,l+3,4;z)]2
x′2 +1 2
βl > (x′ ) =
2 F1
−l, l + 3, r; 1 − x′2
x′ +1 2
R 1
R∞ 1
dz , [2 F1 (−l, l + 3, 4; z)]2
dz z 4 [2 F1 (−l,l+3,4;z)]2
.
(2.86)
dz z 4 [2 F1 (−l,l+3,4;z)]2
Vrat’me se ke konstrukci Greenovy funkce cel´eho oper´atoru (2.75). Dosazen´ım z (2.79) a (2.77) dostaneme ∞ X f (x, θ)=
(2l + 3) Tl (cos θ) 2(l + 2)(l + 1) l=0
Zπ Z∞ ′ GFl (x, x ) P S x (x′ , θ′ )Tl (cos θ′ ) sin3 θ′ dθ′ dx′ . (2.87) 0
1
D´ale mus´ıme vz´ıt v u ´vahu vztah x a r a faktor vytknut´ yvu ´pravˇe (2.76). T´ım, prohozen´ım integrac´ı a sumac´ı a nˇekolika drobnˇejˇs´ımi zkr´acen´ımi z´ısk´ame v´ yraz f (r, θ) =
·
Z∞ Zπ Z2π
∞ X
2l + 3 Tl (cos θ)Tl (cos θ′ ) · 4π(l + 2)(l + 1) l=0 A 0 0 ′2 2 ′2 1 A r′ r − A2 r r sin θ′ dφ′ dθ′ dr′ 1 A , + + , (2.88) GFl 2 r A 2 r′ A 2Ar′ (2A)3 ′
′
P S(r , θ )
kde P S(r, θ) je nˇejak´a prav´a strana oper´atoru (2.76). M˚ uˇzeme si vˇsimnout, ˇze ˇcitatel posledn´ıho zlomku je objemov´ ym elementem v eukleidovsk´em tˇr´ırozmˇern´em prostoru a integraˇcn´ı meze odpov´ıdaj´ı oblasti nad horizontem ˇcern´e d´ıry. Z tvaru rovnice (2.88) tak m˚ uˇzeme usoudit, ˇze Greenovou funkc´ı oper´atoru (2.76) je ∞
2l + 3 1 1 X GF (~r, ~r ) = Tl (cos θ)Tl (cos θ′ ) 3 (2A) 4π l=0 (l + 2)(l + 1) r 1 A r′ 1 A + + , , · GFl 2 r A 2 r′ A ′
r′2 − A2 2Ar′
2
· (2.89)
kde za GFl (x, x′ ) dosad´ıme z (2.84) s pˇr´ısluˇsn´ ymi “konstantami” dle zvolen´e dodateˇcn´e okra′ ′ jov´e podm´ınky. r a θ, resp. r a θ oznaˇcuj´ı pˇr´ısluˇsn´e souˇradnice vektor˚ u ~r, resp. ~r′ . Bohuˇzel tuto ˇradu se mi nepodaˇrilo seˇc´ıst. 37
Pokud bychom nˇejak´ ym zp˚ usobem z´ıskali Greenovu funkci pˇresnˇe, dalˇs´ı postup by byl analogick´ y jako u Minkowsk´eho pozad´ı. ωjλ bychom opˇet rozloˇzili dle (2.31). Se znalost´ı Greenovy funkce m˚ uˇzeme rovnou ps´at Z PS ωj (r, θ) = P S(r′ , θ′ )GF (~r, ~r′ )dV ′ , (2.90) mimo ˇcernou d´ıru
kde ~r znaˇc´ı vektor parametru ωjPS , tj. (r, θ, 0), ~r′ polohov´ y vektor integraˇcn´ıho objemov´eho ′ elementu, dV pˇr´ısluˇsn´ y objemov´ y element a P S(r, θ) pravou stranu rovnice (2.75), tj. # ( " j−1 λ X ∂ω sin2 θ ∂ (r + A)7 j−k P S(r, θ) = − + Ek (−4ν1λ , . . . , −4νkλ ) 2 2 r ∂r r (r − A) ∂r k=1 !) λ 7 ∂ω ∂ (r + A) j−k + sin3 θ . (2.91) 3 4 ∂θ r (r − A) sin θ ∂θ Dosazen´ım do (2.9) pak z´ısk´ame okrajovou podm´ınku ) ( 2 PS 2 ∂ω ∂ωjD v ρ − A j λ − Ej−1 2ζ1λ , . . . , 2ζj−1 = −8πσ ′ 2 ∂z+ ρ 1−v ∂z+ z=0
a tedy
ωjD (r, θ) =
Z∞ A
′
∂ωjD 4π ∂z+
(2.92) z=0
GF (~r, ~r′ )ρ′ dρ′ ,
(2.93)
z=0
kde ~r , resp. ~r znaˇc´ı jednotliv´e polohov´e vektory, tj.
p
ρ′2
+
z ′2 , arccos
√
z′ ρ′2 +z ′2
, 0 , resp.
(r, θ, 0). ˇ ast u Naposledy urˇcujeme fundament´aln´ı syst´em. C´ ´vah, kter´e potˇrebujeme, jsme jiˇz provedli pˇri vytv´aˇren´ı Greenovy funkce. Uv´aˇzen´ım (2.78), (2.81) a (2.82) m˚ uˇzeme rovnou ps´at j´adro oper´atoru (2.75): ωjFS
2 2 ∞ X r + A2 r + A2 cj l Fl = + dj l Gl Tl (cos θ), 2Ar 2Ar l=0
(2.94)
kde cj l a dj l jsou nˇejak´e konstanty, Fl , resp. Gl jsou funkce definovan´e vztahy (2.82) a Tl znaˇc´ı opˇet l-t´ y Gegenbauer˚ uv polynom. Z asymptotick´eho chov´an´ı radi´aln´ı ˇc´asti jednotliv´ ych ˇclen˚ u ˇrady (viz. (2.83)), plyne ˇze poˇzadavek asymptotick´e plochosti je ekvivalentn´ı cj l = 0 pro l ∈ N. Jelikoˇz cj 0 jen ztransformuje souˇradnice,20 m˚ uˇzeme bez u ´jmy na obecnosti poloˇzit cj l = 0 pro vˇsechna l ∈ N ∪ {0}. D´ale poˇzadujeme nulovost (jednostrann´e) derivace na rovinˇe z = 0. To se t´ yk´a de facto v´ yhradnˇe u ´hlov´e ˇc´asti fundament´aln´ıho syst´emu. Ta je ale stejn´a jako u Minkowsk´eho pozad´ı, 20
Opˇet transformace φ′ = φ + Ωt s vhodnou konstantou Ω.
38
a tak m˚ uˇzeme pouˇz´ıt argumentaci ze strany 29. Tak dospˇejeme k podm´ınce dj l = 0 pro l lich´a. Fundament´aln´ı syst´em tedy je 2 ∞ X r + A2 FS ωj = dj 2k G2k Tl (cos θ). (2.95) 2Ar k=0 Pokud jde o interpretaci konstant, lze zformulovat analogick´a tvrzen´ı k tˇem, kter´a platila pro Minkowsk´eho pozad´ı. Tedy pro pevn´e l odpov´ıd´a dj l “l-t´emu multip´olov´emu momentu” nˇejak´eho zdroje um´ıstˇen´eho ve stˇredu, resp. v naˇsem pˇr´ıpadˇe odpov´ıd´a perturbaci samotn´e ∞ X ˇcern´e d´ıry, kter´a je “zap´ın´ana”(v z´avislosti na λ) jako dj l λj . j=0
Perturbace ζ Vzhledem k tomu, ˇze v pˇr´ıpadˇe Minkowsk´eho prostoroˇcasu jsme si pˇripravili rovnice pro v´ ypoˇcet perturbace ζ s obecnˇejˇs´ım B, m˚ uˇzeme se odvolat na u ´vahy proveden´e na stranˇe 29, a tedy vztahem platn´ ym pro Schwarzschildovo pozad´ı je (2.44).
2.1.3
Alternativn´ı zp˚ usob zaveden´ı Schwarzschildova pozad´ı
Jak jsme naznaˇcili v minul´em odd´ıle, pr´ace se Schwarzschildov´ ym pozad´ım pˇrin´aˇs´ı probl´emy, kter´e se n´am nepodaˇrilo uspokojivˇe vyˇreˇsit. Existuje ale jin´ y zp˚ usob, jak s ˇcernou d´ırou v centru syst´emu pracovat. Pod´ıv´ame-li se na rovnici (1.15) a uv´aˇz´ıme, ˇze Schwarzschildovo ˇreˇsen´ı je vakuov´e a statick´e, mus´ı tedy splˇ novat ∇ · (BSchw ∇νSchw ) = 0,
(2.96)
kde BSchw a νSchw jsou metrick´e funkce Schwarzschildova ˇreˇsen´ı (v metrice tvaru (1.2)). D´ıky jeho symetri´ım bude ve vˇetˇsinˇe “rozumn´ ych”souˇradn´ ych syst´em˚ u platit, ˇze je metrika invariantn´ı vzhledem k zrcadlen´ı rovinou z = 0. V takov´ ych souˇradnic´ıch tedy bude Schwarzschildovo ˇreˇsen´ı patˇrit do fundament´aln´ıho syst´emu rovnice (2.3) a bude splˇ novat i poˇzadovan´e okrajov´e podm´ınky. Pokud λ nebudeme interpretovat jako hmotnost disku, ale jako parametr, kter´ ym popisu´ jeme s´ılu vazby hmoty a prostoroˇcasov´ ych deformac´ı (BUNO λ = 0 bude gravitace vypnut´a a λ = 1 popisuje vesm´ır, jak jej zn´ame),21 m˚ uˇzeme vyj´ıt z Minkowsk´eho pozad´ı, kde nem´ame probl´emy s Greenov´ ym´ı funkcemi. U nˇej jsme pouˇz´ıvali souˇradnice s B = 1, takˇze bude ˇ vhodn´e pracovat se Schwarzschildovou metrikou ve tvaru (1.45). Cernou d´ıru pak “pˇrid´ame” 22 do ˇreˇsen´ı v r´amci fundament´aln´ıho syst´emu rovnice (2.11) . Na tomto m´ıstˇe je pˇrirozen´e se pt´at, zda po seˇcten´ı poruchov´e ˇrady bude ve stˇredu skuteˇcnˇe Schwarzschildova d´ıra. V pˇr´ıpadˇe disku to bylo zˇrejmˇejˇs´ı — λ popisovala “hmotnost” disku, kter´a je vzhledem k hmotnosti d´ıry mal´a, a tedy pokud nebudou koeficienty rozvoje v´ yraznˇe divergovat, dostaneme ˇcernou d´ıru a nˇejakou malou opravu. Zde na nic podobn´eho 21
Pˇri t´eto volbˇe bude σ ′ opˇet interpretovateln´ a pˇr´ımo jako ploˇsn´ a hustota energie disku. Toto nen´ı nijak pˇrekvapiv´e tvrzen´ı. Voln´e konstanty ve fundament´ aln´ım syst´emu (2.25) jsme interpretovali jako multip´olov´ y rozvoj gravitaˇcn´ıho zdroje um´ıstˇen´eho ve stˇredu. Pokud na chv´ıl´ı odhl´edneme od existence singularity ve Schwarzschildovˇe ˇreˇsen´ı (kter´ a se zobraz´ı na u ´seˇcku ρ = 0, z ∈< −A; +A >), tak je to vakuov´e statick´e ˇreˇsen´ı, tj. mˇelo by splˇ novat rovnice s nulovou pravou stranou, a tedy mus´ı existovat jeho rozklad do Legendreov´ ych polynom˚ u. 22
39
spol´ehat nem˚ uˇzeme, nicm´enˇe ani tady k ˇz´adn´ ym probl´em˚ um nedoch´az´ı. Vystaˇc´ıme si se zjednoduˇsen´ ym n´ahledem — budeme dokazovat, ˇze vˇsechny koeficienty poruchov´eho rozvoje jsou (aˇz na ˇc´ast odpov´ıdaj´ıc´ı pozad´ı) u ´mˇern´e hmotnosti disku. D´ale budeme pro jednoduchost pˇredpokl´adat u vˇsech zmiˇ novan´ ych funkc´ı, ˇze jejich libovoln´a derivace je pˇribliˇznˇe stejnˇe velk´a jako samotn´a funkce23 . Uvaˇzujme obecnˇejˇs´ı situaci neˇz jen Schwarzschildovo pozad´ı — mˇejme statickou metriku ve tvaru (1.2) s B = 1 a gravitaˇcn´ım potenci´alem ν BG . Pomoc´ı nˇej zobecn´ıme rozklad (2.13) na νjλ = νjPS + νjD + νjFS + νjBG , (2.97) kde νjBG je ˇc´ast pozad´ı, kterou chceme pˇridat jako poruchu j-t´eho ˇr´adu. Tento rozklad pozad´ı nebude u ´plnˇe libovoln´ y — o kaˇzd´e ˇc´asti zvl´aˇst’ budeme poˇzadovat splnˇen´ı Einsteinov´ ych +∞ X rovnic, tj. △νjBG = 0 pro kaˇzd´e j. D´ale samozˇrejmˇe pˇredpokl´ad´ame, ˇze plat´ı νjBG = j=1
ν BG (resp. pˇr´ısluˇsn´a analogie, pokud bychom mˇeli gravitaci “zapnutou” pˇri λ 6= 1). Necht’ velikosti zbyl´ ych ˇc´ast´ı fundament´aln´ıch syst´em˚ u (tj. νjFS a ωjFS ) jsou u ´mˇern´e hmotnosti disku24 (oznaˇcme ji m).25 Pak νjPS , νjD , ωjPS a ωjD jsou tak´e u ´mˇern´e m a je moˇzno je interpretovat jako malou poruchu ˇcern´e d´ıry zp˚ usobenou diskem. K d˚ ukazu tohoto tvrzen´ı pouˇzijeme matematickou indukci. Pˇredpokl´adejme, ˇze ho m´ame dok´az´ano pro vˇsechna l < j (pozn. pro j = 1 je tento pˇredpoklad splnˇen trivi´alnˇe, nebot’ pro Minkowsk´eho prostoroˇcas plat´ı ν0λ = ω0λ = 0). Hned na zaˇc´atku si m˚ uˇzeme vˇsimnout, ˇze λ tento pˇredpoklad n´as opravˇ nuje tvrdit, ˇze ωl ≈ m, jelikoˇz vˇsechny 3 ˇc´asti na prav´e stranˇe (2.31) jsou u ´mˇern´e hmotnosti disku26 . Zaˇcnˇeme νjPS a νjD . K v´ ypoˇctu tˇechto funkc´ı potˇrebujeme zn´at jen niˇzˇs´ı ˇr´ady poruch. Prav´a strana rovnice (2.11) obsahuje souˇcin dvou derivac´ı ωlλ pro nˇejak´a l < j. Z indukˇcn´ıho pˇredpokladu bude tedy u ´mˇern´a alespoˇ n druh´e mocninˇe m. Proto νjPS , definovan´a jako (2.14), ∂νjD bude u ´mˇern´a hmotnosti disku. D´ıky tomu m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze ∂z+ ze vztahu (2.16) bude z=0
tak´e u ´mˇern´a m — prvn´ı ˇclen na prav´e stranˇe obsahuje σ ′ , coˇz je samo o sobˇe u ´mˇern´e m, a o druh´em ˇclenu jsme to dok´azali pˇred chv´ıl´ı. To sam´e bude platit i pro funkci νjD — tu jsme vyj´adˇrili pomoc´ı jiˇz uveden´e derivace konvoluc´ı (2.17). D˚ ukaz tvrzen´ı o ωjPS a ωjD je analogick´ y. Kaˇzd´ y ˇclen v sumˇe na prav´e stranˇe (2.5) obsahuje ωlλ pro l < j a po uˇzit´ı indukˇcn´ıho pˇredpokladu je tedy u ´mˇern´ y hmotnosti disku. T´ım ale PS ’ z´ısk´av´ame toto tvrzen´ı i o ωj , nebot dle (2.32) jde jen o konvoluci prav´e strany (2.5). Z (2.35) 23
Tj. ˇze ˇza´dn´ a funkce nebude rychle oscilovat. Pro samotn´e Schwarzschildovo ˇreˇsen´ı to plat´ı, a jak d´ ale uvid´ıme, pˇri odvozov´ an´ı dalˇs´ıch funkc´ı pouˇz´ıv´ ame ze sloˇzitˇejˇs´ıch operac´ı jen konvoluci a ta funkci sp´ıˇse vyhlazuje, takˇze toto nen´ı v praxi podstatn´e omezen´ı. 24 To nen´ı z fyzik´ aln´ıho hlediska pˇr´ıliˇs velk´e omezen´ı. Fundament´ aln´ı syst´em by mˇel hlavnˇe pokr´ yvat nejednoznaˇcnost v Greenovˇe funkci(asymptotick´ a plochost, jak jsme vidˇeli dˇr´ıve, nen´ı dostateˇcnou okrajovou podm´ınkou k tomu, abychom urˇcili ˇreˇsen´ı pˇresnˇe). Pokud tomu tak je, tak |νjFS | ≈ |νjPS | + |νjD |. Jak je d´ ale v textu uk´az´ ano, tak obˇe funkce na prav´e stranˇe jsou u ´mˇern´e hmotnosti disku. Proto lze pˇredpokl´ adat, ˇze i korekce Greenovy funkce, tj. fundament´ aln´ım syst´emem, je podobnˇe mal´ a. 25 Matematicky korektnˇejˇs´ı by bylo mluvit o tom, ˇze pˇr´ısluˇsn´e funkce klesaj´ı k nule alespoˇ n jako m (patˇr´ı do O(m)). Nˇekter´e z nich, jak uvid´ıme d´ ale jdou k nule rychleji. To urˇcitˇe interpretaci neuˇskod´ı, nicm´enˇe budeme (trochu nepˇresnˇe) st´ ale mluvit o u ´mˇernosti tˇechto funkc´ı hmotnosti disku. 26 Toto pozorov´ an´ı je pro d˚ ukaz d˚ uleˇzit´e. Bohuˇzel vyˇzaduje statiˇcnost pˇrid´ avan´e metriky a nepodaˇrilo se mi pˇrij´ıt na ˇza´dn´ y zp˚ usob, jak tento postup zobecnit na stacion´ arn´ı pozad´ı. Pokud bychom pˇrid´ avali rotuj´ıc´ı metriku analogick´ ym zp˚ usobem, objevily by se ve vyˇsˇs´ıch ˇra´dech ˇcleny u ´mˇern´e mocnin´ am hmotnosti d´ıry (a jej´ıho draggingu) a byla by ot´ azka, co bychom mˇeli jako pozad´ı ve v´ ysledn´e metrice.
40
pak plyne, ˇze i tato okrajov´a podm´ınka je u ´mˇern´a hmotnosti disku (prvn´ı ˇclen na prav´e stranˇe obsahuje σ ′ ≈ m a o druh´em jsme to pˇred chv´ıl´ı dok´azali), a tak i ωjD vyj´adˇren´a pomoc´ı (2.34) mus´ı toto splˇ novat. Zb´ yv´a rozmyslet, jak budeme Schwarzschildovu d´ıru k Minkowsk´eho prostoroˇcasu “pˇrid´avat”. Jak jsme jiˇz ve vztahu (2.97) naznaˇcili, m˚ uˇzeme (v r´amci urˇcit´ ych mez´ı) “pˇrid´avanou” metriku rozloˇzit na v´ıce ˇc´ast´ı. Z hlediska matematick´eho je tato volnost jen kosmetick´a — v´ yslednou metriku neovlivn´ı, jen zmˇen´ı jednotliv´e sˇc´ıtance v poruchov´e ˇradˇe. Idea, kterou z´ısk´ame n´ahled do tˇechto pˇresun˚ u, je stejn´a, jakou jsme pouˇzili pˇri objasˇ nov´an´ı (ne)z´avislosti a interpretace konstant fundament´aln´ıch syst´em˚ u v kapitole 2.1.1. Uvaˇzme tedy rozklady νjBG pro j 6= l BG′ νj = (2.98) BG νj + χf pro j = l pro libovoln´e pevn´e l, kde f je nˇejak´a funkce splˇ nuj´ıc´ı △f = 0 a χ je konstanta, kterou na konci poloˇz´ıme rovnou jedn´e (budeme j´ı uˇz´ıvat k rozliˇsov´an´ı jednotliv´ ych ˇclen˚ u sumy). ′ ′ V´ ysledn´e funkce ν a ω pak vyj´adˇr´ıme ′
ν = ω′ =
∞ X
j=0 ∞ X j=0
νj′λ
=
ωj′λ =
∞ X ∞ X
j=0 k=0 ∞ X ∞ X
χk νj′λk
=
χk ωj′λk =
∞ ∞ X X
k=0 j=0 ∞ ∞ X X
χk νj′λk , χk ωj′λk ,
(2.99)
k=0 j=0
j=0 k=0
kde νj′λk , resp. ωj′λk znaˇc´ı rozklad νj′λ , resp. ωj′λ dle mocnin χ. Posledn´ı rovnost plat´ı jen pokud jsou pˇr´ısluˇsn´ e ˇrady absolutnˇ ı, coˇz budeme mlˇcky pˇredpokl´adat. Potˇrebujeme P P∞e konvergentn´ ∞ ′λ ′λ dok´azat, ˇze avisl´e na l. Dok´aˇzeme dokonce silnˇejˇs´ı tvrzen´ı. j=0 νj k a j=0 ωj k jsou nez´ ′X ′X Pro libovoln´a l1 a l2 (a jim odpov´ıdaj´ıc´ı rozkladu pozad´ı (2.98)) bude platit ν(kl = ν(kl 1 +m) k 2 +m) k ′X ′X ′λ a ω(kl = ω , kde m je libovoln´ e ˇ c ´ ıslo a X znaˇ c ´ ı pˇ r ´ ısluˇ s nou ˇ c ´ a st rozkladu ν a ωj′λ j (kl2 +m) k 1 +m) k dle (2.97), resp (2.31), tj. X je FS, D, PS nebo (v pˇr´ıpadˇe ν) BG. ′FS Zaˇcnˇeme zˇrejm´ ymi ˇc´astmi. Pro fundament´aln´ı syst´emy plat´ı, ˇze νj′FS e k a ωj k jsou nenulov´ jen pro k = 0 a pro k = 0 jsou nez´avisl´e na zp˚ usobu pˇrid´av´an´ı pozad´ı. Podobnˇe jednoduch´a ′BG BG ′BG situace nast´av´a pro pozad´ı, νj 0 = νj a νl 1 = f . Ostatn´ı ˇcleny jsou nulov´e, takˇze tak´e tvrzen´ı z pˇredchoz´ıho odstavce splˇ nuj´ı. Pro zbyl´e ˇctyˇri sady funkc´ı postupujme indukc´ı dle k. Uvaˇzujme funkce odpov´ıdaj´ıc´ı rozkladu (2.98) s l1 . Zaˇcnˇeme k = 0. Ve vztaz´ıch definuj´ıc´ıch νj′PS , νj′D , ωj′PS a ωj′D ((2.14), (2.17), (2.32) a (2.34)) pomoc´ı χ v nich nikdy nedˇel´ıme a vyskytuj´ı se tam jen operace, vzhledem ke kter´ ym se χ chov´a jako konstanta. Proto mus´ı b´ yt z´avisl´e jen na νp′λ0 a ωq′λ0 pro p < j a q < j v pˇr´ıpadˇe prvn´ıch dvou sad funkc´ı, resp. p ≤ j a q < j v pˇr´ıpadˇe druh´ ych dvou, jelikoˇz mocnina u χ nem˚ uˇze v d˚ usledku uˇzit´ ych operac´ı klesnout. D´ale v´ıme, ˇze uveden´e ˇctyˇri sady funkc´ı jsou plnˇe definov´any pomoc´ı v, σ ′ , νpFS , νpBG a ωpFS pro p ≤ j. Spoj´ıme-li FS ′D ′PS ′D e jsou avis´ı jen na v, σ ′ , νpFS0 , νpBG tato tvrzen´ı, zjist´ıme, ˇze νj′PS 0 a ωp 0 , kter´ 0 , νj 0 , ωj 0 a ωj 0 z´ nez´avisl´e na l. Tud´ıˇz pro k = 0 m´ame tvrzen´ı dok´az´ano. Pro k > 0 je postup podobn´ y. Pom˚ uˇzeme si opˇet dodateˇcnou indukc´ı dle j. Pro j < kl1 , resp. j < kl2 je tvrzen´ı trivi´aln´ı, nebot’ vˇsechny 4 funkce jsou nulov´e27 . Pˇredpokl´adejme tedy, ˇze m´ame tvrzen´ı dok´az´ano pro vˇsechny menˇs´ı mocniny χ a ˇze pro χk jsme ho jiˇz dok´azali 27
To plyne snadno z pozorov´ an´ı, ˇze v modifikaci pozad´ı tvaru (2.98) se kaˇzd´e χ vyskytuje s λl1 , resp. λl2 .
41
pro niˇzˇs´ı neˇz j-t´e mocniny λ 28 . Zaˇcnˇeme s rovnic´ı (2.14). Prav´e strana obsahuje jen souˇciny a line´arn´ı oper´atory, kter´e na χ nep˚ usob´ı. Dosad´ıme tam rozklady dle mocnin χ a budeme se zaj´ımat o ˇcleny ˇr´adu k. Tak zjist´ıme, ˇze νj′PS adˇrit jako k lze vyj´ νj′PS k
=
∞ X n=1
X
P ki < k; P ni=1 ki = k li < l; ni=1 ji = j F (i) ∈ ν ′λ ; ω ′λ
ˆ n,F (i) F (1) , F (2) , . . . , F (n) , O jn k n j1 k 1 j2 k2
(2.100)
kde ki a li jsou nˇejak´e multiindexy s pˇr´ısluˇsn´ ymi omezen´ımi na souˇcet, F (i) bude urˇcovat, ˆ n,F (i) je porucha gravitaˇcn´ıho potenci´alu ˇci draggingu29 a zda tento parametr oper´atoru O ˆ n,F (i) je nˇejak´ O y oper´ator p˚ usob´ıc´ı na pˇr´ısluˇsnou kombinaci dan´ ych ˇr´ad˚ u perturbac´ı v λ, resp. χ (z´avis´ı jen na sv´ ych indexech a Minkowsk´eho prostoroˇcasu, ze kter´eho vych´az´ıme). (i) (i) Z indukˇcn´ıho pˇredpokladu ale v´ıme, ˇze F(ji ) ki pro l1 je stejn´e jako F(ji +ki (l2 −l1 )) ki pro l2 . ′PS ′PS Jelikoˇz oper´atory jsou stejn´e, mus´ı tedy platit, ˇze ν(j) e jako ν(j+k(l . k pro l1 je stejn´ 2 −l1 )) k ′D ′PS D˚ ukaz pro νj k je podobn´ y, jen vyuˇzijeme nav´ıc pr´avˇe dok´azan´e tvrzen´ı pro νj k . Analogicky ′PS postupujeme pro ωj k a ωj′Dk , kde opˇet vyuˇzijeme i ˇcerstvˇe dok´azan´e tvrzen´ı pro ˇr´ad χk λj u gravitaˇcn´ıho potenci´alu. T´ım jsme dok´azali, jak si jednotliv´e ˇcleny sum pro l1 a l2 odpov´ıdaj´ı, a tedy ˇze pˇr´ısluˇsn´e sumy v (2.99) jsou nez´avisl´e na l. M˚ uˇzeme si tedy dovolit rozloˇzit pozad´ı libovolnˇe (v kaˇzd´em ˇr´adu λ mus´ı jen pˇr´ısluˇsn´a ˇc´ast pozad´ı splˇ novat podm´ınky kladen´e na fundament´aln´ı syst´em pˇr´ısluˇsn´ ych rovnic). Nejjednoduˇsˇs´ı zp˚ usob pˇrid´an´ı Scharzchildovy ˇcern´e d´ıry je nechat vˇse v ν1BG a pro vyˇsˇs´ı ˇr´ady nechat pozad´ı nulov´e. V´ yhoda tohoto rozkladu je zˇrejm´a — konverguje nejrychleji k v´ ysledku. Pouˇzit´ı vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u by znamenalo, ˇze i pˇr´ısluˇsn´e opravy metriky by se vyskytly ve vyˇsˇs´ıch ˇr´adech poruchov´e ˇrady. Nast´av´a zde jedin´a pot´ıˇz, a to s interpretac´ı. Nezn´ame polomˇer konvergence mocninn´e ˇrady v λ. Pro λ ∈ (0; 1) dostaneme pˇrid´avanou pozad’ovou metriku tvaru λ d1 + d2 − 2M 2 ds = − dt2 + . . . , (2.101) d1 + d2 + 2M kde . . . znaˇc´ı zbytek metriky odpov´ıdaj´ıc´ı uveden´emu gravitaˇcn´ımu potenci´alu a d1 , resp. d2 jsou definov´any v (1.44). Tento gravitaˇcn´ı potenci´al ale odpov´ıd´a pomˇernˇe exotick´emu ˇreˇsen´ı. Za zm´ınku stoj´ı ale i jin´ y zp˚ usob rozkladu Schwarzshildovy metriky. Bude o nˇeco pomaleji konvergovat, ale o to rozumnˇejˇs´ı bude jeho interpretace pro λ ∈ (0; 1). Vych´az´ı ze vztahu (1.48). Definujme −1 M j Pj−1 (cos θ) pro j lich´e BG j r , (2.102) νj = 0 pro j sud´e kde Pj opˇet znaˇc´ı j-t´ y Legendre˚ uv polynom. Porovn´an´ım s (2.25) se snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze kaˇzd´ y ˇr´ad splˇ nuje podm´ınky kladen´e na fundament´aln´ı syst´em. Pod´ıvejme se podrobnˇeji, jak budou vypadat v´ ysledn´e ˇcleny po dosazen´ı do mocninn´e ˇrady v λ. U kaˇzd´eho M j bude st´at 28
To by samozˇrejmˇe nestaˇcilo, ponˇevadˇz ke konstrukci d˚ ukazu pro libovoln´e k ≥ 2 bych potˇreboval nekoneˇcnˇe mnoha krok˚ u indukce. Kdyˇz se ale pod´ıv´ ame na postup podrobnˇeji, zjist´ıme, ˇze k d˚ ukazu staˇc´ı m´ıt tvrzen´ı dok´ az´ ano pro ˇra´dy χm λn , kde (m; n) ∈ ([0; k] × [0; j] − (k; j)). Cel´ y postup je tedy moˇzno pˇrev´est na indukci v jedin´em parametru a vˇse je v poˇra´dku. (i) 29 Znaˇckou Fji ki rozum´ıme νj′λi ki , resp. ωj′λi ki pokud je F (i) = ν ′λ , resp. ω ′λ .
42
λj , a tedy pro nejedniˇckov´e λ bude pozad´ı odpov´ıdat Schwarzschildovˇe ˇcern´e d´ıˇre s hmotnost´ı λM . V tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme interpretovat λ nejen jako “s´ılu” gravitaˇcn´ı interakce, ale i jako “celkovou hmotnost syst´emu” (pˇr´ısluˇsnˇe pˇreˇsk´alovanou). Jedin´a vada na kr´ase tohoto rozkladu je, ˇze ˇcern´a d´ıra “nebude plnˇe pˇrid´ana” (bez interakc´ı) v ˇz´adn´em koneˇcn´em ˇr´adu. Stoj´ı ale za zm´ınku, ˇze tento rozklad je vhodn´ y pro Curzonovo ˇreˇsen´ı (viz. kapitola 1.7.2). Tomu odpov´ıd´a analogie (2.102), kde nenulov´ y bude jen ˇclen s j = 1.
2.2
Rozvoj dle vzd´ alenosti od ˇ cern´ e d´ıry
Jak jsme vidˇeli v minul´e kapitole rovnice, kter´e se vyskytuj´ı u rozvoje v hmotnosti disku, nejsou pˇr´ıliˇs pˇr´ıjemn´e na ˇreˇsen´ı. Kromˇe toho z˚ ust´av´a ot´azkou polomˇer konvergence ˇrad (2.2). M˚ uˇzeme zkusit jin´ y rozvoj(v pˇrevr´acen´em polomˇeru) a doufat, ˇze pokryje alespoˇ n ˇc´ast metrik, u kter´ ych pˇredchoz´ı postup selˇze. Jak poˇzadujeme, v nekoneˇcnu je prostoroˇcas ploch´ y. Uvaˇzme tedy Taylor˚ uv rozvoj v nekoneˇcnu a doufejme, ˇze polomˇer konvergence bude dostateˇcn´ y, abychom se dostali i do zaj´ımav´ ych oblast´ı. D´ale Schwarzschildovo ˇreˇsen´ı se 2 znaˇcnˇe zjednoduˇs´ı, pokud budeme pracovat s pozad´ım ve tvaru (1.51). Necht’ B = 1 − ρ2A+z2 . Pro popis nekoneˇcna ale nejsou yhodn´e. Definujme opˇet “sf´erick´e” p souˇradnice ρ a z pˇr´ıliˇ s v´ souˇradnice r a θ vztahy r = ρ2 + z 2 a θ = arctan ρz . V nich nekoneˇcnu bude odpov´ıdat r → ∞. Nicm´enˇe ani r nen´ı vhodn´e pro rozvoj. Definujme tedy novou souˇradnici x = Ar . V n´ı se nekoneˇcno zobraz´ı do nuly a horizont ˇcern´e d´ıry na sf´eru x = 1.
2.2.1
Oddˇ elen´ı pozad´ı
Samotn´e metrick´e funkce pak rozdˇel´ıme na dvˇe ˇc´asti pomoc´ı vztah˚ u ν = ν BG + δν, ω = ω BG + δω, ζ = ζ BG + δζ,
(2.103)
kde ν BG , ω BG a ζ BG je pozad’ov´a metrika (v naˇsem pˇr´ıpadˇe Schwarzschildova) a δν, δω a δζ odpov´ıdaj´ı diskov´e perturbaci. Pro pozad´ı m˚ uˇzeme rovnou z (1.51) ps´at 1−x r−A BG = ln , ν = ln r+A 1+x ω BG = 0, A2 BG ζ = ln 1 − 2 = ln(1 − x2 ). (2.104) r Dosazen´ım (2.103) a (2.104) do vakuov´ ych Einsteinov´ ych rovnic z´ısk´ame vztahy, kter´e mus´ı perturbace splˇ novat. K nim samozˇrejmˇe jeˇstˇe budeme muset pˇridat okrajov´e podm´ınky, kter´ ymi popisujeme disk. Konkr´etnˇe z (1.15) obdrˇz´ıme x4 x2 ∂δν ∂ 1 ∂ 2 ∂δν 2 0 = (1 − x ) + 2 (1 − x) (1 + x) sin θ − (1 − x) A2 ∂x ∂x A sin θ ∂θ ∂θ " 2 2 # 1 2 ∂δω ∂δω − (2.105) + sin θ(1 + x)7 e−4δν x2 2 ∂x ∂θ 43
a z (1.16) z´ısk´ame ∂ (1 + x)7 1 ∂ (1 + x)7 −4δν ∂δω 3 −4δν ∂δω 0=x + sin θe . e ∂x x2 (1 − x) ∂x 1 − x sin3 θ ∂θ ∂θ 4
(2.106)
Okrajov´e podm´ınky na povrchu disku z´ısk´ame pˇreps´an´ım vztah˚ u (1.23). Z´ısk´ame tak 2 ∂δν 2 1 + v 2(δζ−δν) ′ A (1 + x) e = −2πσ π, ∂θ− θ= π x 1 − v2 θ= 2 2 ∂δω v e−2δζ = 8πσ ′ (1 − x2 ) , (2.107) ∂θ− θ= π 1 − v2 θ= π 2
2
∂ znaˇc´ı opˇet levou parci´aln´ı derivaci dle θ. kde ∂θ− Zb´ yv´a uˇz jen dvojice rovnic pro ζ — (1.18) a (1.19). Tu nebudeme pˇrepisovat pˇr´ımo, ale vyuˇzijeme integraˇcn´ı cestu z kapitoly 1.7.3. Rovnici (1.54) spln´ıme, pokud bude platit vztah30
δζ(r0 , θ0 ) =
Zθ0
δζ,θ |r=r0 dθ,
(2.108)
0
kde δζ,θ je definovan´a pomoc´ı ( " δζ,θ
2.2.2
2 2 ! ∂δν ∂δν ∂δν = cot θ (1 − x2 )2 x2 + + + 4x2 (1 − x2 ) ∂x ∂θ ∂x # 2 2 ! A2 1 ∂δω ∂δω + − 2 sin2 θ(1 + x)8 e−4δν + (1 + x2 ) · 4 ∂x x ∂θ 2 6 ∂δω ∂δω x ∂δν 1 ∂δν 2 (1 + x) −4δν −A · 2 / − sin θ e A ∂θ 1 − x2 ∂x ∂x ∂θ (1 − x)2 / (1 + x2 )2 + (1 − x2 )2 cot2 θ . (2.109)
V´ ypoˇ cet korekce metriky
Tyto rovnice jsou st´ale pˇr´ıliˇs komplikovan´e pro pˇr´ım´e ˇreˇsen´ı. Jak jsme jiˇz na zaˇc´atku t´eto kapitoly naznaˇcili, pom˚ uˇzeme si rozkladem δν, δω a δζ do Taylorovy ˇrady dle x. Definujme δν(x, θ) =
∞ X
xj δνjx (θ),
j=0
δω(x, θ) =
∞ X
xj δωjx (θ),
j=0
δζ(x, θ) =
∞ X
xj δζjx (θ),
(2.110)
j=0
30
Integraˇcn´ı konstanta je v tomto pˇr´ıpadˇe nez´avisl´ a na r0 . Z´ avislost ζ na r na ose z je plnˇe obsaˇzena v ζ BG (resp. podm´ınce regularity (1.32)).
44
kde δνjx , δωjx a δζjx jsou pˇr´ısluˇsn´e koeficienty. D´ale budeme poˇzadovat analytiˇcnost ploˇsn´e hustoty energie σ ′ jakoˇzto funkce x. Toto omezen´ı uˇz jsme implicitnˇe poˇzadovali v definici (2.110). Pokud jsou δν, δω a δζ analytick´e, mus´ı b´ yt analytick´e i jejich derivace, tedy i jejich jednostrann´e derivace dle θ na povrchu disku. D´ıky tomu z (2.107) plyne, ˇze analytick´a mus´ı b´ yt i funkce σ ′ . Toto m˚ uˇze i nemus´ı b´ yt omezen´ı z fyzik´aln´ıho hlediska. Neanalytickou spojitou funkci lze samozˇrejmˇe dobˇre aproximovat analytickou funkc´ı. Na druhou stranu disk je omezen (urˇcitˇe alespoˇ n posledn´ı kruhovou obˇeˇznou dr´ahou), coˇz nelze analytickou funkc´ı vystihnout. Existuj´ı tedy konstanty31 σjx , pro kter´e plat´ı ′
lσ
σ (x) = x
∞ X
xj σjx ,
(2.111)
j=0
kde lσ ∈ N ∪ {0} je takov´e, ˇze σ0x 6= 0 (lσ popisuje asymptotick´e chov´an´ı hustoty energie). Nyn´ı dosad’me rozvoje (2.110) do (2.105). Rozloˇzen´ım dle koeficient˚ u u xj z´ısk´ame soustavu rovnic x ∂δνj−2 (j − 2)(j − 3) x 1 ∂ 0 = sin θ − δνj−2 + 2 A2 A sin θ ∂θ ∂θ x ∂δνj−3 1 (j − 3)(j − 4) x ∂ sin θ − δνj−3 − 2 − A2 A sin θ ∂θ ∂θ x ∂δνj−4 1 (j − 3)(j − 4) x ∂ sin θ + δνj−4 − 2 − A2 A sin θ ∂θ ∂θ x ∂δνj−5 1 (j − 4)(j − 5) x ∂ δνj−5 + 2 + sin θ − A2 A sin θ ∂θ ∂θ min(7,j) j−k j−k−l 1 2 X X X 7 − El (−4δν1x , −4δν2x , . . . , −4δνlx ) · sin θ k 2 k=0 l=0 m=0 x x ∂δω ∂δωm j−k−l−m x x · (2.112) + m(j − k − l − m)δωm δωj−k−l−m , ∂θ ∂θ kde δνpx jsou pro p < 0 dodefinovan´e nulou a El (f1 , . . . , fl ) opˇet odpov´ıd´a koeficientu z rozvoje exponenci´aly dle definice (2.4). Podobnˇe dosad’me rozvoj (2.110) do (2.106) a obdrˇz´ıme soustavu rovnic ∂δωjx 1 ∂ 3 x x x sin θ + 8(j − 1)δωj−1 − (j − 3)(j + 2)δωj−2 − 0 = j(j − 3)δωj + ∂θ sin3 θ ∂θ j x x X ∂δωj−2 ∂δνkx ∂δωj−k 1 ∂ x x 3 k(j − k)δνk δωj−k + − sin θ −4 − ∂θ ∂θ ∂θ sin3 θ ∂θ k=0 j−2 x X ∂δνkx ∂δωj−2−k x x k(j − 2 − k)δνk δωj−2−k + − 4 , (2.113) ∂θ ∂θ k=0 kde je δωpx pro p < 0 tak´e dodefinov´ano nulou. 31
σ je definovan´ a jen v rovinˇe θ =
π 2,
a proto σjx jsou konstanty, ne funkce θ jako v pˇr´ıpadˇe (2.110).
45
Z okrajov´e podm´ınky (2.107) na disku z´ısk´ame vztahy j+1 ∂δνjx 1 + v2 X x x x · + σj−k−1−l σj−k+1−lσ + 2σj−k−l = 2π σ σ 2 ∂θ− θ= π 1 − v k=0 2
·
Ek (2δζ1x − 2δν1x , 2δζ2x − 2δν2x , . . . , 2δζkx − 2δνkx )]|θ= π ,
(2.114) x x x x , E (−2δζ , −2δζ , . . . , −2δζ ) − σj−2−k−l k 1 2 k σ π 2
j X x ∂δωjx v σj−k−lσ = 8π ∂θ− θ= π 1 − v 2 k=0 2
θ= 2
kde je σpx pro p < 0 dodefinov´ano nulou. Vˇsimnˇeme si, ˇze pro v´ ypoˇcet parci´aln´ıch derivac´ı potˇrebujeme zn´at jen koeficienty s ˇr´adem o lσ − 1 niˇzˇs´ım. Samotn´ y poˇzadavek na koneˇcnost hmotnosti disku d´av´a odhad lσ > 2. K v´ ypoˇctu okrajov´e podm´ınky tedy vyˇzaduje jen niˇzˇs´ı ˇr´ady koeficient˚ u rozvoje32 . Proto pˇri ˇreˇsen´ı soustavy rovnic (2.112) a (2.113) budeme moci v kaˇzd´em ˇr´adu povaˇzovat okrajov´e podm´ınky za jiˇz zn´am´e. Samotn´a soustava rovnic (2.112) a (2.113) je na pˇr´ım´e ˇreˇsen´ı st´ale pˇr´ıliˇs komplikovan´a. Fyzika n´am vˇsak pˇri ˇreˇsen´ı v´ yraznˇe pom˚ uˇze. Jak zn´amo, v pˇr´ıpadˇe ostrovn´ıho syst´emu se v nekoneˇcnu gravitaˇcn´ı potenci´al chov´a jako ν ostrov ≈ r−1 a dragging jde k nule jako ω ostrov ≈ r−3 . Situace, se kterou pracujeme, tj. ˇcern´a d´ıra a disk, jehoˇz hustota je analytick´a v x, mimo jin´e znamen´a, ˇze disk bude sahat aˇz do nekoneˇcna. Nicm´enˇe chov´an´ı ostrovn´ıho syst´emu bude relevantn´ı i v tomto pˇr´ıpadˇe. Jelikoˇz se vzd´alenost´ı kles´a hustota energie v disku velice rychle (alespoˇ n jako r−3 s polomˇerem), zanedb´an´ım ˇc´asti disku s r > r0 , kde r0 je nˇejak´e velk´e pevn´e ˇc´ıslo, se dopust´ıme jen mal´e chyby33 . Pro zbytek uˇz pˇredpoklady o chov´an´ı ostrovn´ıho syst´emu jsou plat´ı. Lze tedy pˇredpokl´adat, ˇze asymptotick´e chov´an´ı metriky uvaˇzovan´eho disku bude podobn´e. Z hlediska rozvoj˚ u (2.111) to bude znamenat x x x x δν0 = 0 a δω0 = δω1 = δω2 = 0. Pod´ıvejme se na d˚ usledky nulovosti tˇechto koeficient˚ u na ˇreˇsen´ı z´ıskan´e soustavy rovnic. V (2.112) vid´ıme, ˇze v posledn´ı trojn´e sumˇe m˚ uˇzeme trochu v´ıce omezit meze — konkr´etnˇe min(j,7) j−k−6 j−k−l−3 X X X . V ostatn´ıch pˇr´ıpadech bude pˇr´ısluˇsn´ y ˇclen obsatrojice sum pˇrejde na k=0
l=0
m=3
hovat alespoˇ n jednu z vynulovan´ ych funkc´ı a tedy bude s´am nulov´ y. To ale znamen´a, ˇze ve zmiˇ novan´e sumˇe se vyskytuj´ı jen ˇcleny ˇr´adu maxim´alnˇe j − 3, a tedy (2.112) m˚ uˇzeme x povaˇzovat za rovnici, kterou urˇc´ıme δνj−2 . j−5 j−3 X X . , resp. posledn´ı na Analogicky v (2.113) se meze pˇredposledn´ı sumy daj´ı omezit na k=1
k=1
Na tuto rovnici tak m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na rovnici pro δωjx . Pˇri ˇreˇsen´ı postupnˇe skl´ad´ame v´ ysledek z niˇzˇs´ıch ˇra´d˚ u. Pro ˇr´ad i = 0 zn´ame v´ ysledek z fyzik´aln´ıch pˇredpoklad˚ u. Pro i > 1 pˇredpokl´adejme, ˇze zn´ame koeficienty (2.111) pro niˇzˇs´ı ˇr´ady neˇz i. Z (2.112) pro j = i + 2 a okrajov´e podm´ınky (2.114) spoˇcteme δνix . Pak pro i < 3 32
Alespoˇ n o 2, ale to nebude podstatn´e. Hmotnost, kterou t´ımto oˇr´ıznut´ım zanedb´ ame, bude u ´mˇern´ a r0−2 . Uv´ aˇz´ıme-li vzd´ alen´ y bod (r > r0 ), kter´ y neleˇz´ı v ekvatori´ aln´ı rovinˇe, bude jeho vzd´ alenost od disku alespoˇ n r0 cos θ0 , kde θ0 je azimut´ aln´ı souˇradnice uvaˇzovan´eho bodu. V takto vzd´ alen´ ych oblastech jiˇz m˚ uˇzeme pracovat s newtonovskou limitou, a tak pˇr´ıspˇevek ˇca´sti disku s r > r0 ke gravitaˇcn´ımu potenci´ alu bude u ´mˇern´ y r0−3 . Pro dragging sice jiˇz s newtonovskou limitou nevystaˇc´ıme, nicm´enˇe vzd´ alen´e ˇca´sti disku ani v tomto ohledu nenaruˇs´ı chov´ an´ı odpov´ıdaj´ıc´ı ostrovn´ımu syst´emu. 33
46
v´ıme, ˇze δωix = 0. Pro vyˇsˇs´ı ˇr´ady urˇc´ıme pˇr´ısluˇsnou funkci z (2.113), resp. z okrajov´e podm´ınky (2.114). Pod´ıvejme se na ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsn´ ych rovnic podrobnˇe. (2.112) pro j = i + 2 m´a tvar 1 ∂ ∂δνix 2 1 x −A P Si = i(i − 1)δνi + sin θ , (2.115) sin θ ∂θ ∂θ kde P Si1
= − + − ·
x ∂δνi−1 1 (i − 1)(i − 2) x ∂ sin θ − δνi−1 − 2 − A2 A sin θ ∂θ ∂θ x ∂δνi−2 (i − 1)(i − 2) x 1 ∂ sin θ + δνi−2 − 2 A2 A sin θ ∂θ ∂θ x ∂δνi−3 (i − 2)(i − 3) x 1 ∂ δνi−3 + 2 sin θ − A2 A sin θ ∂θ ∂θ min(i+2,7) i−k−4 i−k−l−1 X X X 7 1 2 El (−4δν1x , −4δν2x , . . . , −4δνlx ) · sin θ k 2 m=3 l=0 k=0 x ∂δω x ∂δωm i+2−k−l−m x x + m(i + 2 − k − l − m)δωm δωi+2−k−l−m . ∂θ ∂θ
(2.116)
Fundament´aln´ı syst´em (2.115) je dobˇre zn´am — jedn´a se o Legendreovy polynomy stupnˇe i a Legendreovy funkce druh´eho druhu (viz. [13], resp. [12]) s argumentem t = cos θ. Jak si m˚ uˇzeme vˇsimnout pr´avˇe, jedno z tˇechto ˇreˇsen´ı m´a nenulovou derivaci pro θ = π2 34 . Vhodnou volbou konstanty u tohoto ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme zˇrejmˇe dos´ahnout splnˇen´ı okrajov´e podm´ınky. Ot´azkou z˚ ust´av´a volba konstanty u ˇc´asti fundament´aln´ıho syst´emu s nulovou derivac´ı v m´ıstˇe θ = π2 . Tu nen´ı moˇzn´e urˇcit bez nˇejak´ ych dodateˇcn´ ych podm´ınek a odpov´ıd´a voln´ ym parametr˚ um ve fundament´aln´ım syst´emu v kapitole 2.1.1. Analogick´a situace nast´av´a u rovnice (2.113). Pro j = i bude m´ıt tato rovnice tvar x 1 ∂ 3 ∂δωi 2 x sin θ , (2.117) −P Si = i(i − 3)δωi + ∂θ sin3 θ ∂θ kde P Si2
x 1 ∂ 3 ∂δωi−2 = 8(i − − (i − 3)(i + − sin θ − ∂θ sin3 θ ∂θ i x X ∂δνkx ∂δωi−k x x − k(i − k)δνk δωi−k + − 4 ∂θ ∂θ k=0 i−2 x X ∂δνkx ∂δωi−2−k x x . (2.118) k(i − 2 − k)δνk δωi−2−k + − 4 ∂θ ∂θ k=0 x 1)δωj−1
x 2)δωi−2
Tentokr´at fundament´aln´ı syst´em tvoˇr´ı Gegenbauerov polynom Ti (t) stupnˇe i s λ = 34
3 2
a
Pro sud´ a i je to ˇreˇsen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı Legendreovˇe funkci druh´eho druhu, pro lich´ a i ˇreˇsen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı Legendreovˇe polynomu.
47
argumentem t = cos θ (viz. [9]), resp. funkce Gi (cos θ) definovan´a pomoc´ı vztahu35 Gi (t) = Ti (t)
Z∞ t
1 ds. (Ti (s)) (1 − s2 )2 2
(2.119)
Pro jejich derivaci v θ = π2 plat´ı podobn´e tvrzen´ı jako v pˇr´ıpadˇe fundament´aln´ıho syst´emu (2.115) — pr´avˇe jedna z uveden´ ych funkc´ı tam m´a nenulovou derivaci. Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nalezneme opˇet variac´ı konstant, pomoc´ı ˇc´asti fundament´aln´ıho syst´emu s nenulovou derivac´ı v t = 0 spln´ıme okrajovou podm´ınku a druh´a konstanta odpov´ıdaj´ıc´ı fundament´aln´ımu syst´emu z˚ ustane voln´a. Zb´ yvaj´ı rovnice (2.108), (2.109) a je tˇreba urˇcit δζjx . To samozˇrejmˇe udˇel´ame dosazen´ım (2.110) do (2.109) a pˇreps´an´ım z´ıskan´eho v´ yrazu do Taylorovy ˇrady v x. Nebudeme zde uv´adˇet ’ explicitn´ı, vyj´adˇren´ı nebot i samotn´a rovnice (2.109) je pomˇernˇe komplikovan´a a jednoduˇseji se jednotliv´e koeficienty pˇr´ımo vyj´adˇr´ı po dosazen´ı. Vrat’me se k pˇredpokladu, ˇze okrajovou podm´ınku m˚ uˇzeme povaˇzovat za zn´amou (pˇri v´ ypoˇctu dan´eho ˇr´adu rozvoje). Uv´aˇz´ıme-li asymptotick´e chov´an´ı podobn´e ostrovn´ımu syst´emu, tak z (2.109) vid´ıme, ˇze pro urˇcen´ı koeficientu u xj (tedy δζjx ) budeme potˇrebovat δνpx a δωpx pro p ≤ j. Z´aroveˇ n d´ıky koneˇcnosti celkov´e hmotnosti disku v´ıme, ˇze lσ > 1, a tedy v rovnic´ıch (2.114) pro v´ ypoˇcet okrajov´ ych podm´ınek δνjx a δωjx vystaˇc´ıme se znalost´ı δζpx pro p < j. Nakonec, po vyj´adˇren´ı δνjx a δωjx , spoˇc´ıt´ame δζjx .
35
Vych´ az´ı z obecnˇejˇs´ıho vztahu pro urˇcen´ı druh´eho ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ (x) + p(x)y ′ (x) + q(x)y(x) = 0.
Uvaˇzujme, ˇze f (x) v´ yˇse uvedenou rovnici ˇreˇs´ı. Druh´e ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme urˇcitˇe zapsat ve tvaru y(x) = f (x)g(x), kde g(x) je nˇejak´ a nezn´ am´ a funkce. Dosazen´ım do rovnice z´ısk´ ame g ′′ (x)f (x) + g ′ (x) [p(x)f (x) + 2f ′ (x)] = 0. Toto uˇz je rovnice se separovan´ ym´ı promˇenn´ ymi. Jej´ım ˇreˇsen´ım je R
e− p(x)dx g (x) = , f 2 (x) ′
a tedy cel´ y fundament´ aln´ı syst´em p˚ uvodn´ı rovnice lze vyj´ adˇrit jako y(x) = f (x)
Z
R
e− p(x)dx dx. f 2 (x)
48
Kapitola 3 Metody v´ ypoˇ ct˚ u metriky se self-konzistentn´ı rychlost´ı obˇ ehu V minul´e kapitole jsme se zab´ yvali v´ ypoˇcty metriky v pˇr´ıpadˇe, ˇze vˇsechny parametry disku byly urˇceny pˇredem. V re´aln´e situaci by dˇr´ıve uveden´ y postup staˇcil jen pro line´arn´ı perturbace. Ve vyˇsˇs´ıch ˇr´adech mus´ıme uv´aˇzit, ˇze obˇeˇzn´a rychlost prachu je z´avisl´a na metrice prostˇrednictv´ım vztahu (1.38).
3.1
Rozvoj ve hmotnosti disku
Analogicky k (2.2) vyj´adˇreme v jako ˇradu v(ρ) =
∞ X
vjλ (ρ)λj .
(3.1)
j=0
Pro jej´ı koeficienty z´ısk´ame z rovnice (1.38) vztahy
vjλ±
v !2 " #−1 u ∞ ∞ λ λ u X X ∂ω ∂ ln(ρB) ν λk k = ρB + ± Coefj t ρB − λk k ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ k=0 k=0 ∂ωjλ
! ∂ν λ λk k , ∂ρ k=0
∞ X
(3.2) kde Coefj [f (. . . , λ)] znaˇc´ı koeficient u λj v rozkladu funkce f (. . . , λ) do Taylorovy ˇrady1 . M˚ uˇzeme si vˇsimnout, ˇze vjλ je z´avisl´e jen na νpλ a ωpλ pro p ≤ j. Nyn´ı se pokusme zahrnout poruchov´ y rozvoj v do v´ ypoˇctu metriky. Jedin´e m´ısto, kde rychlost obˇehu vstupuje do v´ ypoˇct˚ u, jsou okrajov´e podm´ınky na povrchu disku. Upravme tedy (2.9) pˇr´ısluˇsn´ ym zp˚ usobem: j−1 n X ∂νjλ λ λ ′ e2(ζ0 −ν0 ) Ek 2(ζ1λ − ν1λ ), . . . , 2(ζkλ − νkλ ) · = 2πσ ∂z+ k=0 z=0 " #) P∞ m λ 2 1+ m=0 λ vm · Coefj−1−k , P∞ 2 m λ 1 − ( m=0 λ vm ) z=0
1
Form´ alnˇe m˚ uˇzeme Coefj [f ] vyj´ adˇrit jako derivaci
1 j!
49
∂ f j ∂λ j
λ=0
.
∂ωjλ ∂z+
j−1 X 1 2ζ0λ e Ek 2ζ1λ , . . . , 2ζkλ · = −8πσ ρB k=0 #) " P∞ m λ λ v m m=0 · Coefj−1−k . P 2 ∞ m λ 1 − ( m=0 λ vm ) z=0 ′
z=0
(3.3)
y postup, kter´ y Vˇsimnˇeme si, ˇze prav´a strana obsahuje jen νpλ , ωpλ , ζpλ a vpλ pro p < j. Obecn´ jsme naˇcrtli v kapitole 2.1, to nenaruˇs´ı. Staˇc´ı, kdyˇz po urˇcen´ı νjλ , ωjλ a ζjλ (kter´e jsou z´avisl´e jen na vpλ pro p < j) spoˇcteme nav´ıc vjλ z (3.2). Vˇsechny vztahy jsme zat´ım vyjadˇrovali obecnˇe. Pod´ıvejme se nyn´ı, jak budou vypadat pro pouˇzit´a pozad´ı.
3.1.1
Minkowsk´ eho pozad´ı
Dosazen´ım do (3.2) z´ısk´ame v !2 " #−1 " ∞ # u ∞ ∞ λ λ λ λ u X ∂ω X ∂ν ∂ωj 1 X k νk λk k + λk k . ± Coefj t ρ − λ vjλ± = ρ ∂ρ ∂ρ ρ k=1 ∂ρ ∂ρ k=1 k=1
(3.4)
Jak si m˚ uˇzeme vˇsimnout, v0λ± = 0, coˇz je samozˇrejm´ ym d˚ usledkem neexistence zdroje v Minkowsk´eho prostoroˇcase. Ve v´ ypoˇctu poruch metriky budeme muset zmˇenit jeˇstˇe dva vztahy — pro νjD a ωjD . Do jin´ ych uˇz obˇeˇzn´a rychlost pˇr´ımo nevstupuje, a tak je m˚ uvodn´ım tvaru. uˇzeme nechat v p˚ ∂νjD Rovnice (2.17) bude vypadat form´alnˇe stejnˇe, ale za ∂z+ nebudeme dosazovat z (2.16), z=0 ale ze vztahu ( ( j−1 X ∂νjD = 2πσ ′ Ek 2(ζ1λ − ν1λ ), . . . , 2(ζkλ − νkλ ) · ∂z+ k=0 z=0 ) " P∞ l λ 2 #) PS ∂ν 1+ λ v j l l=0 − (3.5) · Coefj−1−k . P∞ l λ 2 ∂z+ 1− λ v l l=0 z=0
Podobnˇe tomu je i v pˇr´ıpadˇe poruchy draggingu — u ´prava se bude t´ ykat jen ωjD . Vzorec (2.34) opˇet z˚ ustane form´alnˇe zachov´an, jen norm´alov´a derivace na ploˇse z = 0 (p˚ uvodnˇe ∂ωjD definovan´a vztahem (2.35)) se zmˇen´ı na ∂z+ definovanou z=0
∂ωjD ∂z+
z=0
3.1.2
= −8πσ ′ ·
( j−1 X1 k=0
Coefj−1−k
"
ρ
λ Ek−1 2ζ1λ , . . . , 2ζk−1 · P∞
m λ m=0 λ vm P m λ 2 1−( ∞ m=0 λ vm )
Schwarzschildovo pozad´ı
#)
z=0
Pro Schwarzschildovo pozad´ı m´a (3.2) v ekvatori´aln´ı rovinˇe tvar 50
∂ωjPS − ∂z+
z=0
.
(3.6)
vjλ±
" #2 X ∞ λ 2 ∂ω A A λk k ± Coefj ρ 1 − 2 = ρ 1− 2 ρ ∂ρ ρ ∂ρ k=1 " #−1 " # 12 ∞ ∞ X νλ X ∂ν λ ρ−A 2A + − + λk k λk k . 2 2 ρ(ρ + A) k=1 ∂ρ ρ −A ∂ρ k=1 2
∂ωjλ
(3.7)
Z toho pro absolutn´ı ˇclen z´ısk´ame vzorec
v0λ±
=±
√
2Aρ , ρ−A
(3.8)
kter´ y pro ρ ≫ A pˇrech´az´ı na dobˇre zn´am´ y vztah pro obˇeˇznou rychlost v Keplerovˇe u ´loze (viz. napˇr. v [6], str. 82). ∂νjD na Rovnice (2.71) z˚ ust´av´a opˇet form´alnˇe platn´a, jen se v n´ı zmˇen´ı ∂z+ z=0
∂νjD ∂z+
j−1 + A)4 X λ λ λ λ E 2(ζ − ν ), . . . , 2(ζ − ν ) · 2πσ k 1 1 k k ρ4 k=0 " ) #) P∞ m λ 2 ∂νjPS 1+ m=0 λ vm Coefj−1−k − . P m λ 2 ∂z+ 1−( ∞ m=0 λ vm ) z=0
(
= z=0
·
′ (ρ
(3.9)
Analogicky z˚ ustane zachov´ana (alespoˇ n form´alnˇe) i rovnice (2.93) (bohuˇzel i vˇcetnˇe probl´emu s Greenovou funkc´ı), ale za norm´alovou derivaci je tˇreba dosadit ∂ωjD ∂z+
3.2
= z=0
·
j−1 ρ 2 − A2 X λ Ek−1 2ζ1λ , . . . , 2ζk−1 · −8πσ ρ k=0 ) ## " P∞ PS m λ ∂ω λ v j m m=0 − Coefj−1−k P 2 ∞ m λ ∂z+ 1 − ( m=0 λ vm )
(
′
"
.
(3.10)
z=0
Rozvoj dle vzd´ alenosti od ˇ cern´ e d´ıry
Na rozd´ıl od rozvoje uˇzit´eho v pˇredchoz´ım odd´ıle se v tomto pˇr´ıpadˇe situace v´ yraznˇe zkomplikuje. Pro ilustraci uvaˇzme pˇr´ıpad, kdy ˇc´astice prachu ob´ıh´a po kruhov´e dr´aze kolem hmotn´eho bodu nerelativistickou rychlost´ı a dost daleko, aby se neuplatnily relativistick´e efekty. To je zn´am´a Keplerova u ´loha, ˇreˇsen´a ve vˇetˇsinˇe uˇcebnic klasick´e mechaniky. Pro orbit´aln´ı rychlost pak plat´ı vztah (napˇr. v [6], str. 82) r M vNewton = , (3.11) r kde M je hmotnost bodu, okolo kter´eho prachov´a ˇc´astice ob´ıh´a, a r polomˇer trajektorie. 1 Z´avislost na polomˇeru je tedy u ´mˇern´a r− 2 . To ale nen´ı moˇzno rozvojem do Taylorovy ˇrady 51
pomoc´ı promˇenn´e x = Ar postihnout. Samozˇrejmˇe by se zde dalo nam´ıtnout, ˇze tento probl´em nemus´ı v Einsteinovˇe teorii nast´avat. Bohuˇzel se podobn´a pot´ıˇz objevuje i tam. Jak zn´amo, daleko od d´ıry mus´ı Einsteinova teorie gravitace pˇrech´azet na newtonovskou. Dosazen´ım Schwarzschildovy metriky do (1.38) z´ısk´ame pro velikost rychlosti obˇehu po kruhov´e orbitˇe vztah √ 2Aρ v= , (3.12) ρ−A 1
tedy opˇet v ≈ r− 2 pro r → ∞. Souˇradnice x = Ar proto nen´ı vhodn´a na ˇreˇsen´ı uveden´e soustavy rovnic. Zaved’me tedy q novou souˇradnici y vztahem y = Ar . Jak uvid´ıme d´ale, ta uˇz bude pro rozvoj dostateˇcn´a. √ Na druhou stranu funkci y = x nen´ı moˇzn´e definovat holomorfnˇe v cel´e komplexn´ı rovinˇe — vˇzdy n´am nˇekde zbyde ˇrez. Nicm´enˇe je zn´amo, ˇze tato funkce je spojit´a na Riemannovˇe dvojploˇse. Pozdˇeji uk´aˇzeme, ˇze kaˇzd´ y list t´eto dvojplochy (resp. jeho kladn´a re´aln´a osa) bude m´ıt fyzik´aln´ı interpretaci, a tak se n´am vyplat´ı pracovat s t´ımto rozˇs´ıˇren´ım komplexn´ı roviny x.
3.2.1
Oddˇ elen´ı pozad´ı
Rozdˇelme opˇet v´ ysledn´e metrick´e funkce na poruchovou a pozad’ovou ˇc´ast dle (2.103) a dosad’me do Einsteinov´ ych rovnic. Analogicky jako (2.105) z´ısk´ame y 4 (1 − y 2 )2 (1 + y 2 ) ∂ ∂δν 1 − y 4 ∂δν y7 2 ∂ + 2 sin θ − (1 − y ) 0 = 4A2 ∂y y ∂y A sin θ ∂θ ∂θ " 2 2 # 2 1 2 ∂δω ∂δω y − + sin θ(1 + y 2 )4 e−4δν (3.13) 2 4 ∂y ∂θ a (podobnˇe jako (2.106)) (1 + y 2 )7 1 ∂ y 7 ∂ (1 + y 2 )7 −4δν ∂δω 3 −4δν ∂δω e + sin θe . 0= 4 ∂y y 5 (1 − y 2 ) ∂y 1 − y 2 sin3 θ ∂θ ∂θ
(3.14)
Okrajov´e podm´ınky k v´ yˇse uveden´ ym rovnic´ım z´ısk´ame snadno z (2.107) — staˇc´ı nahradit x za y 2 : 2 ∂δν A 2 2 1 + v 2(δζ−δν) e = −2πσ 1 + y π, ∂θ− θ= π y2 1 − v2 θ= 2 2 v ∂δω = 8πσ (1 − y 4 ) . (3.15) e−2δζ 2 ∂θ− θ= π 1−v θ= π 2
2
D´ale budeme potˇrebovat vztah pro orbit´aln´ı rychlost. Vzorec (1.38) pˇrejde na v u y 4 +1 ∂δν 2 u y ∂δω 1 2 (1−y 2 )2 ∂y 4 ∂δω t 4 2 v = − (1 − y ) − +y + (1 − y ) . 2 2 ∂δν 2 ∂y ∂y (1 − y 2 )2 4 2 y3y(y−1 2 +1) + y ∂y
(3.16)
Schv´alnˇe jsme zde vytkli y z odmocniny a vynechali ± z p˚ uvodn´ı rovnice (1.38). Jak si m˚ uˇzeme v (3.16) vˇsimnout, z´amˇena y → −y (i v derivac´ıch) jen zmˇen´ı znam´enko pˇred odmocninou, 52
tedy efektivnˇe pˇrev´ad´ı v± mezi sebou. Z´aroveˇ n jsme touto substituc´ı pˇreˇsli na druh´ y list Riemannovy plochy x. Je tedy pˇrirozen´e interpretovat ˇc´ast ˇreˇsen´ı na jednom ˇci druh´em listu2 jakoˇzto poruchu metriky pro disk rotuj´ıc´ı jedn´ım ˇci druh´ ym smˇerem 3 . Posledn´ı rovnice, kter´e zb´ yvaj´ı pˇrepsat, urˇcuj´ı δζ. Rovnici (2.108) m˚ uˇzeme nechat beze zmˇeny. Do nov´ ych souˇradnic bude tˇreba pˇrepsat jen vztah (2.109) definuj´ıc´ı δζ,θ . Ten bude vypadat ( " 2 2 ! 2 y ∂δν ∂δν ∂δν δζ,θ = cot θ (1 − y 4 )2 + + + 2y 3 (1 − y 4 ) 4 ∂y ∂θ ∂y # 2 2 ! A2 1 1 ∂δω ∂δω + − 4 sin2 θ(1 + y 2 )8 e−4δν + (1 + y 4 ) · 4 4y 2 ∂y y ∂θ 4 2 6 A ∂δω ∂δω 1 y ∂δν 1 ∂δν 2 (1 + y ) −4δν − · 2 / − sin θ e A ∂θ 1 − y 4 2y ∂y 2y ∂y ∂θ (1 − y 2 )2 / (1 + y 4 )2 + (1 − y 4 )2 cot2 θ . (3.17)
3.2.2
V´ ypoˇ cet korekce metriky
Tyto rovnice budeme opˇet ˇreˇsit rozvojem v nekoneˇcnu, tentokr´at dle y. Definujme Taylorovy ˇrady δν(y, θ) = δω(y, θ) = δζ(y, θ) =
∞ X
j=0 ∞ X
j=0 ∞ X
y j δνjy (θ), y j δωjy (θ), y j δζjy (θ)
(3.18)
j=0
a σ(y) = y
2lσ
∞ X
y j σjy ,
(3.19)
j=0
kde lσ je stejn´e a m´a i stejn´ y v´ yznam jako ve vzorci (2.111) (tedy v´ıme, ˇze lσ > 2 kv˚ uli koneˇcnosti hmotnosti disku). δνjy , δωjy , δζjy a σjy jsou jednotliv´e koeficienty rozvoje, kde prvn´ı 3 jmenovan´e jsou funkcemi θ a posledn´ı jsou konstantami. M˚ uˇzeme si vˇsimnout, ˇze (3.19) je obecnˇejˇs´ı neˇz (2.111) — je definovan´a dvojn´asobn´ ym poˇctem konstant. Souvis´ı to s definov´an´ım σ na Riemannovˇe dvojploˇse a napov´ıd´a, ˇze d´ıky (3.19) by ˇslo definovat pro kaˇzd´ y smˇer obˇehu disku jinak hustotu energie. Pod´ıvejme se podrobnˇeji, jak vypad´a rozvoj na jednotliv´ ych re´aln´ ych poloos´ach. Pˇreveden´ım (3.19) zpˇet do souˇradnice x z´ısk´ame !# " ∞ ! ∞ X X y √ y , (3.20) σ2k+1 xk σ2k xk ± x σ(x) = xlσ k=0
k=0
2
Tedy kladn´e, resp. z´ aporn´e poloose y. Je samozˇrejmˇe moˇzn´e nam´ıtnout, ˇze pozad´ı je symetrick´e, a tak smˇer rotace nemˇel hr´at ˇza´dnou roli. To je i nen´ı pravda. Podrobnˇeji se t´ımto aspektem budeme zab´ yvat po nast´ınˇen´ı zp˚ usobu ˇreˇsen´ı vznikaj´ıc´ıch rovnic, nebot’ zat´ım nem´ ame pˇripraven cel´ y apar´ at potˇrebn´ y k rozboru t´eto n´ amitky. 3
53
√ kde znam´enko pˇred x je zvoleno podle toho, kter´ y list Riemannovy plochy uvaˇzujeme. y Z tohoto vyj´adˇren´ı je jasnˇe vidˇet, ˇze p˚ uvodn´ım σkx odpov´ıdaj´ı σ2k . Z´aroveˇ n z nˇej snadno nahl´edneme, ˇze na jednotliv´ ych poloos´ach nem˚ uˇzeme hustotu energie pˇredepsat u ´plnˇe libo1 4 volnˇe . Dokonce z pˇredpokladu analytiˇcnosti pr˚ ubˇehu ploˇsn´e hustoty energie v r dost´av´ame y σ2k+1 = 0, a tedy ˇze v obou vˇetv´ıch uvaˇzujeme stejn´e rozloˇzen´ı energie. Podobnˇe jako v kapitole 2.2.2 bude platit, ˇze okrajov´e podm´ınky na povrchu disku pro j-t´ y ˇr´ad p˚ ujde vyj´adˇrit pomoc´ı poruchov´ ych koeficient˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u. Z hlediska iterativn´ıho postupu tedy budou zn´am´e. Pod´ıvejme se na toto tvrzen´ı trochu podrobnˇeji. Dosazen´ım (3.18) a (3.19) do (3.15) z´ısk´ame okrajov´e podm´ınky pro jednotliv´e koeficienty rozvoje5 (j−2l +2 σ X y ∂δνjy y y · + σ σ + 2σ = −2πA j−2l −2 j−2l +2 j−2l σ σ σ ∂θ− θ= π k=0 2
Ek (2(δζ1y − δν1y ), 2(δζ2y − δν2y ), . . . , 2(δζky − δνky ))}|θ= π − 2 ! σ +1 j−k−2lσ +1 α y j−2l i X X X Y (v ) X i − 4πA αi ! · αi ! i i l=0 k=0 αP i multiindexy α je sud´ a i i P i iαi = j − k − l − 2lσ + 2 y y y · σk+2 + 2σk + σk−2 El (2(δζ1y − δν1y ), 2(δζ2y − δν2y ), . . . , 2(δζly − δνly )) θ= π 2 ·
∂δωjy ∂θ− θ= π 2
j−2lσ j−k−2lσ X X = 8π l=0 k=0 ·
4
X
! α X Y (v y ) i i αi ! · αi ! i i
α i multiindexy P a i αi je lich´ P i iαi = j − k − l − 2lσ
y El (−2δζ1y , −2δζ2y , . . . , −2δζly ) θ= π , σky − σk−4
(3.21)
2
Toto omezen´ı plyne z implicitn´ıho pˇredpokladu holomorfnosti funkce σ na Riemannovˇe dvojploˇse, kter´ y jsme uˇcinili jiˇz ve vztahu (3.19). 5 Myˇslenka stoj´ıc´ı za “podivn´ ymi” konstrukcemi se sumami pˇres multiindexy je jednoduch´ a. Uv´ aˇz´ıme-li, ∞ X 1 v 2i (to konverguje, jelikoˇz v < c = 1), z´ısk´ ame rovnice = ˇze 1 − v2 i=0 ∞ ∞ X X 1 + v2 v 2i v a v 2i+1 . = 1 + 2 = 2 1 − v2 1 − v i=1 i=0 D´ ale ve zn´ am´em vztahu !l X X l! Y Q ck = (ck )αi αi ! i i k α1P , α2 , . . . , αk i αi = l
dosad´ıme ck = vky y k a pˇrid´ ame podm´ınku na ˇra´d y k . Dostaneme tak druhou z rovnic (3.21). V prvn´ı z nich 2 1+v jsme jeˇstˇe v rozvoji 1−v elili jedniˇcku a zbytek sumy. 2 oddˇ
54
kde opˇet pˇredpokl´ad´ame, ˇze koeficienty z´aporn´eho ˇr´adu dodefinujeme jako nulov´e. Podobnˇe jako pˇri rozvoji v x se v tˇechto okrajov´ ych podm´ınk´ach, po uv´aˇzen´ı lσ > 1, vyskytuj´ı jen νpy , ζpy a vpy s p < j. Z poˇzadavku asymptotick´eho chov´an´ı podobn´eho ostrovn´ımu syst´emu, tedy pro y → 0 (r → ∞) δν ≈ y 2 a δω ≈ y 6 , zjist´ıme, ˇze pˇri v´ ypoˇctu δζjy ,θ z (3.17) vystaˇc´ıme se znalost´ı νpy , ζpy pro p ≤ j. Analogick´e tvrzen´ı za stejn´ ych pˇredpoklad˚ u plat´ı i pro vjy definovan´e pomoc´ı (3.16). Pro ˇclen pˇred odmocninou je platnost tohoto tvrzen´ı zˇrejm´a6 , v u y 4 +1 ∂δν 2 u 2 )2 ∂y y 1 2 ∂δω ∂δω (1−y 4 )2 v + (1 − y 4 ) + − = yt (1 − y 2 2 ∂δν 2 ∂y ∂y (1 − y 2 )2 4 2 y3y(y−1 2 +1) + y ∂y √ y 2 p 1 + U (y, δν, δω) (3.22) = 1 − y2 ! ∞ ! ∞ X 1 √ X 2 U l (y, δν, δω) , 2 y 2k+1 = l k=0 l=0 kde funkcion´al U (y, δν, δω) je definov´an jako 1 U (y, δν, δω) = (1 − y 2 )4 (1 + y 2 )2 8
∂δω ∂y
2
−
y 3 (1 + y 2 + y 4 + y 6 ) ∂δν ∂y 4(y 2 − 1) + 2y 5 (y 2 + 1) ∂δν ∂y
.
(3.23)
Vˇsimnˇeme si, ˇze pro y → 0 jde prvn´ı ˇclen v definici k nule jako y 10 a druh´ y jako y 4 . To ospravedlˇ nuje posledn´ı rovnost v (3.22) — pro dost mal´e y budou obˇe ˇrady konvergentn´ı. D´ale to umoˇzn ˇuje explicitnˇe vyj´adˇrit vjy . Porovn´an´ım ˇr´ad˚ u zjist´ıme, ˇze j−1 ⌊X ⌋ ∞ 2 α 1 i X X Y 1 y 1 y (Coef [U (y, δν, δω)]) i y 2 , (3.24) vj = − δωj + δωj−4 l! 2 2 αi ! l i k=0 l=0 αi P multiindexy α = l i i P iα = j − 2k − 1 i i
kde Coefi [f (y)] znaˇc´ı opˇet koeficient u y i v Taylorovˇe rozvoji funkce f (y) v nule. Jelikoˇz U (y, δν, δω) ≈ y 4 v okol´ı nuly, mus´ı suma pˇres l obsahovat od nˇejak´eho l0 jen nulov´e sˇc´ıtance, a tedy je koneˇcn´a. D´ale je z tohoto z´apisu patrn´e, ˇze vjy je z´avisl´e jen na δνpy a δωpy pro p ≤ j, pokud lze pomoc´ı nich definovat Coefp [U (y, δν, δω)] pro p ≤ j. To je moˇzno dok´azat z definice (3.23). U prvn´ıho sˇc´ıtance je to zˇrejm´e, u druh´eho se jiˇz uˇzit´ y postup opakuje, a tak jen naznaˇc´ım postup. Opˇet zaˇcneme rozkladem (1 + w)p = ∞ X p l w , kde za w dosad´ıme −y 2 − 21 y 5 (y 2 + 1) ∂δν . S vyuˇzit´ım sumy pˇres pˇr´ısluˇsn´e mul∂y l l=0 tiindexy dostaneme explicitn´ı vyj´adˇren´ı Coefp [U (y, δν, δω)], kter´e bude z´avisl´e jen na δνpy a δωpy pro p ≤ j. 6
nuje a pˇren´ asoben´ı 1 − y 4 to nezmˇen´ı. Samotn´ y ˇclen y ∂ω ∂y ho splˇ
55
Zb´ yv´a tak nal´ezt vlastn´ı ˇreˇsen´ı rovnic (3.13) a (3.14). Dosazen´ım (3.18) do prvn´ı z nich a rozdˇelen´ım dle mocnin y z´ısk´ame soustavu y ∂δνj−4 (j − 4)(j − 6) y 1 ∂ 0 = sin θ − δνj−4 + 2 4A2 A sin θ ∂θ ∂θ y ∂δνj−6 (j − 6)(j − 8) y 1 ∂ − δνj−6 + 2 sin θ − 4A2 A sin θ ∂θ ∂θ y ∂δνj−8 1 (j − 8)(j − 12) y ∂ δνj−8 + 2 − sin θ + 4A2 A sin θ ∂θ ∂θ y ∂δνj−10 ∂ 1 (j − 10)(j − 14) y δνj−10 + 2 sin θ − + 4A2 A sin θ ∂θ ∂θ 4 j−k j−k−l 1 2 XX X 4 − El (−4δν1y , −4δν2y , . . . , −4δνly ) · sin θ k 2 k=0 l=0 m=0 y ∂δω y ∂δωm m(j − k − l − m) y y j−k−l−m δωm δωj−k−l−m + . (3.25) · 4 ∂θ ∂θ Uv´aˇz´ıme-li asymptotick´e chov´an´ı, tedy δν0y = δν1y = 0 a δω0y = δω1y = . . . = δω5y = 0, zjist´ıme, ˇze ˇc´ast rovnice za sumami obsahuje koeficienty niˇzˇs´ıho ˇr´adu neˇz j − 4, a tedy m˚ uˇzeme (3.25) tak´e zapsat (po substituci j → j + 4) ∂δνjy 1 ∂ j(j + 2) y 1y 2 δνj + −A P Sj = sin θ , (3.26) 4 sin θ ∂θ ∂θ kde P Sj1 y
= − + − ·
y ∂δνj−2 (j − 2)(j − 4) y 1 ∂ δνj−2 + 2 sin θ − 4A2 A sin θ ∂θ ∂θ y ∂δνj−4 1 (j − 4)(j − 8) y ∂ sin θ + δνj−4 + 2 4A2 A sin θ ∂θ ∂θ y ∂δνj−6 ∂ 1 (j − 6)(j − 10) y sin θ − δνj−6 + 2 4A2 A sin θ ∂θ ∂θ 4 j−k−6 j−k−l−1 1 2 X X X 4 El (−4δν1y , −4δν2y , . . . , −4δνly ) · sin θ k 2 m=5 k=0 l=0 y ∂δω y m(j − k − l − m + 4) y y ∂δωm j−k−l−m+4 . (3.27) δωm δωj−k−l−m+4 + 4 ∂θ ∂θ
Opˇet plat´ı, ˇze koeficienty rozvoje z´aporn´eho ˇr´adu jsou dodefinov´any nulou. θ Nejdˇr´ıve najdeme fundament´aln´ı syst´em rovnice (3.26). Po substituci 1+cos dostaneme 2 θ . hypergeometrickou rovnici (viz. [11]), a tedy jedn´ım ˇreˇsen´ım rovnice je 2 F1 2j , 1 − 2j , 1; 1+cos 2 Jak se dalo pˇredpokl´adat, pro sud´a j vyjdou Legendreovy polynomy parametru cos θ (viz. [13]). Jako druh´e ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme zvolit f (θ) = 2 F1
j j 1 + cos θ , 1 − , 1; 2 2 2
Z1
1+cos θ 2
56
dz z(1 − z)
2 F1
j ,1 2
− 2j , 1; z
2 .
(3.28)
Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı prav´e stranˇe −A2 P Sj1 y nalezneme pomoc´ı variace konstant. K tomu m˚ uˇzeme samozˇrejmˇe pˇriˇc´ıst line´arn´ı kombinaci dvou uveden´ ych ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice. Libovolnˇe vˇsak m˚ uˇzeme zvolit jen jednu z konstant, kterou tato ˇreˇsen´ı kombinujeme — druh´a je pak jednoznaˇcnˇe definovan´a z okrajov´e podm´ınky (3.21) kladen´e na ploˇse θ = π2 . K interpretaci voln´e konstanty se vr´at´ıme pozdˇeji. Pod´ıvejme se nyn´ı na (3.14). Pomoc´ı (3.18) ji rozloˇz´ıme na soustavu rovnic ∂δωjy j(j − 6) y 1 ∂ y 3 0 = δωj + sin θ + 4(j − 2)δωj−2 − 3 4 ∂θ sin θ ∂θ y ∂δωj−4 1 ∂ (j − 4)(j − 12) y 3 sin θ + (3.29) δωj−4 + − 4 ∂θ sin3 θ ∂θ j y y y X ∂δνky ∂δωj−k ∂δνk−4 ∂δωj−k y y y y − − k(j − k)δνk δωj−k + (k − 4)(j − k)δνk−4 δωj−k , + ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ k=0 kde koeficienty z´aporn´eho ˇr´adu opˇet povaˇzujeme za nulov´e. Za pˇredpokladu asymptotick´eho chov´an´ı podobn´eho ostrovn´ımu syst´emu, m˚ uˇzeme pˇredchoz´ı soustavu pˇrepsat na ∂δωjy j(j − 6) y 1 ∂ 2y 3 −P Sj = sin θ , (3.30) δωj + 4 ∂θ sin3 θ ∂θ kde P Sj2 y
y ∂δωj−4 1 ∂ (j − 4)(j − 12) y 3 δωj−4 + sin θ + = 4(j − − 4 ∂θ sin3 θ ∂θ j−6 y X ∂δνky ∂δωj−k y y + (3.31) − k(j − k)δνk δωj−k ∂θ ∂θ k=2 j−6 y y X ∂δωj−k ∂δνk−4 y y − + + (k − 4)(j − k)δνk−4 δωj−k . ∂θ ∂θ k=6 y 2)δωj−2
(3.32)
Pro nalezen´ı fundament´aln´ıho syst´emu (3.30) pouˇzijeme stejnou metodu jako v pˇredchoz´ım θ ji pˇ pˇr´ıpadˇe. Pomoc´ı substituce t = 1+cos 2 revedeme na hypergeometrickou rovnici. Jej´ı jedno j j 1+cos θ ˇreˇsen´ı je (viz. [11]) 2 F1 2 , 3 − 2 , 2; 2 . Pomoc´ı nˇej nalezneme i druh´e line´arnˇe nez´avisl´e ˇreˇsen´ı f (θ) = 2 F1
j 1 + cos θ j , 3 − , 2; 2 2 2
Z1
1+cos θ 2
dt (1 − t2 )2
2 F1
j ,3 2
2 . − 2j , 2; t
(3.33)
Variac´ı konstant najdeme partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı (3.30) s pravou stranou (3.31). Obecn´ y v´ ysledek je, jak zn´amo, souˇctem tohoto partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı a line´arn´ı kombinace (3.33) a hypergeometrick´e funkce ˇreˇs´ıc´ı homogenn´ı rovnici (3.30). Jednu z konstant popisuj´ıc´ı tuto kombinaci m˚ uˇzeme zvolit. Druhou pak dopoˇcteme z okrajov´e podm´ınky na rovinˇe θ = π2 ve tvaru jednostrann´e derivace dle θ (3.21). T´ımto m´ame upraven postup v´ ypoˇcetu metriky i pro pˇr´ıpad, kdy rychlost rotace disku bude konzistentn´ı s hledanou metrikou. Zb´ yv´a jen vyjasnit, co znamenaj´ı jednotliv´e konstanty a proˇc jich je oproti kapitole 2.2.2 dvojn´asobek. 57
Jak jsme jiˇz zm´ınili dˇr´ıve, komplexn´ı rovina promˇenn´e y odpov´ıd´a Riemannovˇe dvojploˇse promˇenn´e x, resp. r, kde kladn´a, resp. z´aporn´a re´aln´a poloosa y (zobrazuj´ıc´ı se na kladnou re´alnou poloosu x, resp. r) odpov´ıd´a obˇehu disku kolem ˇcern´e d´ıry jedn´ım, resp. druh´ ym smˇerem. Proto m´ame dvojn´asobek konstant — generujeme v praxi 2 ˇreˇsen´ı najednou. Bohuˇzel ale neexistuje jednoduch´a metoda, jak od sebe konstanty odpov´ıdaj´ıc´ı jednotliv´ ym smˇer˚ um rotace oddˇelit. ˇ asteˇcn´ C´ y n´ahled do v´ yznamu konstant z´ısk´ame z jiˇz dˇr´ıve uveden´e pozn´amky o vztahu jednotliv´ ych ˇreˇsen´ı. Uvaˇzujme pˇr´ıpad, kdy pro oba smˇery rotace bude rozloˇzen´ı energie stejn´e y (tj. σ2k+1 = 0 pro ∀k ∈ N ∪ {0}). Jelikoˇz ˇcernou d´ıru v pozad´ı povaˇzujeme za statickou, mˇelo by ˇreˇsen´ı vypadat tak, ˇze gravitaˇcn´ı potenci´al (ν) a konformn´ı faktor (ζ) bude nez´avisl´ y na smˇeru rotace disku a dragging (ω) bude m´ıt pro oba smˇery stejnou velikost, ale opaˇcn´e znam´enko. Skuteˇcnˇe takov´e ˇreˇsen´ı existuje. D˚ ukaz tohoto tvrzen´ı je snadn´ y — staˇc´ı pˇr´ımo y y dosadit do rovnic, pomoc´ı kter´ ych jsme vyj´adˇrili koeficienty rozvoje vj , δνj , δωjy , δζjy , okrajov´e podm´ınky na povrchu disku (a rozvojov´ ych koeficient˚ u k funkc´ım v, ν, ω a ζ). Voln´e konstanty y u δν2k m˚ uˇzeme interpretovat jako modifikaci gravitaˇcn´ıho potenci´alu ˇcern´e d´ıry. y Situace u stupˇ n˚ u volnosti u δω2k+1 je sloˇzitˇejˇs´ı. Zˇrejmˇe mˇen´ı znam´enko v z´avislosti na smˇeru rotace disku, a tedy mˇely by pˇr´ısluˇset sp´ıˇse k nˇemu a ne k ˇcern´e d´ıˇre. Mysl´ım si, ˇze tyto konstanty budou souviset s neanalytiˇcnost´ı σ v re´aln´em pˇr´ıpadˇe. Jak zn´amo, posledn´ı stabiln´ı kruhov´a trajektorie leˇz´ı nad horizontem. Proto mus´ı existovat nˇejak´e r0 , pro kter´e bude platit σ(r) = 0 pro r < r0 a σ(r) 6= 0 pro r > r0 . To ale tak´e znamen´a, ˇze funkce σ bude z nekoneˇcna analytick´a nejv´ yˇse po polomˇer r0 . Toto neanalytick´e “zakonˇcen´ı” ploˇsn´e hustoty energie nen´ı definov´ano jednoznaˇcnˇe pomoc´ı analytick´e ˇc´asti σ, ale je pˇrirozen´e pˇredpokl´adat, ˇze se projev´ı na v´ ysledku i pro velk´e polomˇery. Proto si mysl´ım, ˇze uvaˇzovan´e stupnˇe volnosti odpov´ıdaj´ı profilu hustoty energie v neanalytick´e oblasti, resp. projevu tohoto profilu na sf´eˇre odpov´ıdaj´ıc´ı hranici konvergence, neboli smysluplnosti ˇrad (3.18), resp. (3.19). Nyn´ı se vrat’me k obecnˇejˇs´ımu pˇr´ıpadu, uvaˇzujme vˇsak opˇet hustotu energie stejnou pro oba smˇery obˇehu (tj. σ(y) sud´e). Interpretaci voln´ ych konstant u sud´ ych ˇr´ad˚ u δν y a y lich´ ych ˇr´ad˚ u δω je moˇzno ponechat stejnou jako ve v´ yˇse uveden´em speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe. D´ale y se snadno interpretuje volnost v konstant´ach δω v sud´ ych ˇr´adech — vzhledem k nez´avislosti funkc´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch tˇemto konstant´am na smˇeru rotace je pˇrirozen´e pˇredpokl´adat, ˇze souvis´ı s ˇcernou d´ırou, konkr´etnˇe ˇze odpov´ıdaj´ı m´ırn´emu “roztoˇcen´ı” Schwarzschildova ˇreˇsen´ı, resp. “multip´olov´ ym”moment˚ um draggingu vytv´aˇren´eho zdrojem ve stˇredu syst´emu. Lich´e stupnˇe volnosti u δν y se mi bohuˇzel interpretovat nepodaˇrilo. Zjevnˇe jsou lich´e vzhledem k y, a tedy mˇen´ı znam´enko se smˇerem rotace disku. Mˇely by se tedy vztahovat k nˇemu, a ne pˇr´ımo k ˇcern´e d´ıˇre. L´akav´e je interpretovat je opˇet jakoˇzto relikt neanalytick´e ˇc´asti σ — ta bude urˇcitˇe nˇejak zasahovat i do gravitaˇcn´ıho potenci´alu (nejen nepˇr´ımo prostˇrednictv´ım draggingu) a v pˇr´ıpadˇe, ˇze pozad´ı bude m´ıt nˇejak´ y nenulov´ y moment hybnosti (v naˇsem pˇr´ıpadˇe skrze stupnˇe volnosti ve fundament´aln´ıch syst´emech δωky pro sud´a k), bude tento potenci´al zˇrejmˇe z´avisl´ y na tom, zda je spin d´ıry a disku paraleln´ı ˇci antiparaleln´ı. Pot´ıˇz je ale v tom, ˇze ˇc´asti fundament´aln´ıho syst´emu “pˇrid´avaj´ıc´ı”spin ˇcern´e d´ıˇre mohou b´ yt nulov´e, a pak tato interpretace selh´av´a. Dalo by se nam´ıtnout, ˇze v pˇr´ıpadˇe uvaˇzovan´e ˇc´asti fundament´aln´ıho syst´emu se objev´ı ˇcleny odpov´ıdaj´ıc´ı rotaci d´ıry v partikul´arn´ıch ˇreˇsen´ıch pˇr´ısluˇsn´ ych rovnic. Tyto ˇcleny vˇsak klesaj´ı s r k nule rychleji, a proto je(i kv˚ uli zp˚ usobu jejich vzniku) povaˇzuji za d˚ usledek nelinearity Einsteinov´ ych rovnic, konkr´etnˇeji za korekce, kter´ ymi upravujeme “line´arn´ı”ˇreˇsen´ı tak, aby jim odpov´ıdalo.
58
V pˇr´ıpadˇe obecn´eho σ se interpretace jednotliv´ ych stupˇ n˚ u volnosti dojde k prom´ıch´an´ı i v´ yˇse uveden´ ych konstant a situace se tak zkomplikuje natolik, ˇze jsem v n´ı nebyl rozumnou interpretaci schopen nal´ezt.
59
Kapitola 4 Disky sloˇ zen´ e z neinteraguj´ıc´ıch prachov´ ych sloˇ zek Zat´ım jsme se zab´ yvali disky tvoˇren´ ymi jedn´ım proudem ˇca´stic na kruhov´ ych geodetik´ach. T´ımto zp˚ usobem nen´ı moˇzn´e interpretovat jak´ykoliv tenk´ y disk, ponˇevadˇz v obecn´em pˇr´ıpadˇe obsahuje tenzor energie a hybnosti tak´e ˇcleny odpov´ıdaj´ıc´ı azimut´aln´ımu a radi´aln´ımu tlaku. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je radi´aln´ı tlak nulov´ y, tenzor energie a hybnosti diagonalizovateln´ y a azimut´aln´ı tlak kladn´ y, mohou tenk´ y disk tvoˇrit dva neinteraguj´ıc´ı proudy ˇc´astic sleduj´ıc´ıch “progr´adn´ı”, resp. “retrogr´adn´ı” geodetiky. Tyto tzv. kontra-rotuj´ıc´ı disky jsou v obecn´e relativitˇe vyˇsetˇrov´any nejˇcastˇeji (viz napˇr. [7, 5]); umoˇzn ˇuj´ı speci´alnˇe zahrnout i statick´ y pˇr´ıpad (kdy mus´ı b´ yt kontra-rotuj´ıc´ı proudy stejn´e). V t´eto ˇc´asti uk´aˇzeme, ˇze pro disk tvoˇren´ y v´ıce komponentami je moˇzno s mal´ ymi obmˇenami pouˇz´ıt stejn´ y perturbaˇcn´ı postup jako v minul´ ych kapitol´ach. Jak zn´amo, tenzor energie-hybnosti soustavy neinteraguj´ıc´ıch prachov´ ych komponent disku dostaneme jako souˇcet tenzor˚ u energie-hybnosti jednotliv´ ych sloˇzek (viz (1.12)), tedy bude tvaru X (a) (b) T (a)(b) = ǫi ui ui , (4.1) i
(a)
kde ǫi znaˇc´ı hustotu energie i-t´e sloˇzky a ui bude hustota energie ǫi ve tvaru
jej´ı ˇctyˇrrychlost. Jelikoˇz uvaˇzujeme tenk´ y disk,
ǫi (ρ, z) = σi (ρ)δ(z),
(4.2)
kde σi je ploˇsn´a hustota energie a δ(z) znaˇc´ı opˇet δ-distribuci. Stejn´ ym postupem jako v kapitole 1.3 m˚ uˇzeme opˇet singularitu v hustotˇe energie pˇrev´est na skok v norm´alov´ ych derivac´ıch metrick´ ych funkc´ı, a tak z´ısk´ame vztahy analogick´e (1.23) : # " X 1 + v 2 ∂ν i , = 2πe2µ σi 2 ∂z+ z=0 1 − v i i z=0 X ∂ω v 1 i σi = −8π e2ν+2µ ∂z+ z=0 ρB i 1 − vi2
z=0
60
.
(4.3)
4.1
Disky s pˇ redem zadanou rychlost´ı obˇ ehu
Metriky, ke kter´ ym jsme se mohli dopracovat pomoc´ı postup˚ u uveden´ ych v kapitole 2, v sobˇe jiˇz zahrnuj´ı i ˇreˇsen´ı s disky s v´ıce neinteraguj´ıc´ımi komponentami. P˚ uvodn´ı homogenn´ı disk odpov´ıdal okrajov´ ym podm´ınk´am ve tvaru (1.23). Porovn´an´ım tˇechto vztah˚ u s (4.3) si m˚ uˇzeme vˇsimnout, ˇze uvaˇzov´an´ım homogenn´ıho disku s hustotou energie a rychlost´ı obˇehu splˇ nuj´ıc´ımi vztahy X 1 + v2 1 + v2 i σ , = σi 2 1 − v2 1 − v i i X v vi σ (4.4) = σ 2 1−v 1 − vi2 i
ˇ sen´ı tˇechto rovnic nalezneme z´ısk´ame ˇreˇsen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı v´ıce prachov´ ym komponent´am. Reˇ snadno: v 2 u P P vi vi u σ σ u i i 1−vi2 i i 1−vi2 v = P 1+vi2 ± t P 1+vi2 − 1, 2 i σi 1−v2 2 i σi 1−v2 i i v 2 u #u P " vi σ X 2 i u i vi t P 1−vi 2 − 1, σ = ∓2 (4.5) σi 2 1+v 1 − vi 2 i σi 1−vi2 i i
kde znam´enka v prvn´ım a druh´em vztahu mus´ı b´ yt opaˇcn´a, ale je libovoln´e, jak´e z nich zvol´ıme. T´ımto m˚ uˇzeme ztratit interpretaci σ a v jakoˇzto ploˇsn´e hustoty energie a rychlosti obˇehu homogenn´ıho disku. Jak je vidˇet ze vztah˚ u (4.5), vznikl´e funkce nemus´ı b´ yt dokonce re´aln´e, nicm´enˇe jejich pˇr´ıpadn´a komplexn´ı ˇc´ast se ztrat´ı po dosazen´ı do vzorc˚ u pro v´ ypoˇcet metriky. Na druhou stranu ale z˚ ust´av´a zachov´ana interpretace λ, tentokr´at se vˇsak bude jednat o celkovou hmotnost disku. Jin´ y zp˚ usob, jak se na probl´em d´ıvat, je z hlediska zp˚ usobu ˇreˇsen´ı poruchov´ ych rovnic. Jak v pˇr´ıpadˇe hmotnostn´ıho rozvoje, tak v pˇr´ıpadˇe radi´aln´ıho rozvoje vstupovaly okrajov´e podm´ınky na povrchu disku jakoˇzto zn´am´e, jelikoˇz na vyj´adˇren´ı pˇr´ısluˇsn´eho koeficientu rozvoje staˇcilo zn´at koeficienty rozvoje metrick´ ych funkc´ı niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u. D´ale v´ıme, ˇze se jen okrajov´e podm´ınky na povrchu disku seˇcetly. M˚ uˇzeme tedy spoˇc´ıst okrajov´e podm´ınky pro dan´ y ˇr´ad pro kaˇzdou sloˇzku zvl´aˇst’, od toho pˇr´ıpadnˇe odeˇc´ıst jednostrannou derivaci partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı a toto pak pouˇz´ıt jako okrajovou podm´ınku pro pˇr´ısluˇsnou ˇc´ast metriky.
4.2
Disky se self-konzistentn´ı rychlost´ı obˇ ehu
Pˇri uv´aˇzen´ı geodetick´eho pohybu jednotliv´ ych ˇc´astic prachu m˚ uˇzeme pracovat jen se superpozic´ı dvou disk˚ u, kter´e se budou liˇsit smˇerem obˇehu. Jejich rychlosti odpov´ıdaj´ı jednotliv´ ym znam´enk˚ um ˇreˇsen´ı (1.38). Nicm´enˇe pro v´ ypoˇcet rychlosti obˇehu s uv´aˇzen´ım perturbovan´e metriky nen´ı tˇreba vym´ yˇslet nˇeco nov´eho. Postup, kter´ y se pouˇzije, jsme jiˇz popsali na konci minul´eho odd´ılu. Uv´aˇzen´ım, ˇze na v´ ypoˇcet okrajov´ ych podm´ınek pouˇz´ıv´ame v kaˇzd´em ˇr´adu jiˇz zn´am´e funkce a ˇze okrajov´e podm´ınky lze superponovat (viz. (4.3)), m˚ uˇzeme pro kaˇzd´ y disk spoˇc´ıst norm´alov´e derivace zvl´aˇst’ a v´ ysledky pak seˇc´ıst. 61
Zaj´ımav´e je pod´ıvat se, co se stane v pˇr´ıpadˇe radi´aln´ıho rozvoje. Jak jsme popsali v kapitole 3.2.1, m´ısto komplexn´ı roviny promˇenn´e r zde pracujeme s Riemannovou dvojplochou, abychom mohli holomorfnˇe zav´est souˇradnici y. Tak´e jsme jiˇz zm´ınili, ˇze jednotliv´e re´aln´e poloosy souˇradnice y (kter´e se zobrazuj´ı na kladnou re´alnou poloosu souˇradnice r na r˚ uzn´ ych listech), resp. metrick´e funkce na tˇechto poloos´ach je moˇzno intrepretovat jako metrick´e funkce pro disk ob´ıhaj´ıc´ı jedn´ım, resp. druh´ ym smˇerem. Nyn´ı v ˇreˇsen´ı m´ıch´ame oba smˇery rotace. Pˇrirozen´e je pt´at se, co druh´a p˚ ulka re´aln´e osy y bude znamenat ted’. Pokud bude hustota energie σ+ rotovat rychlost´ı v+ a hustota energie σ− rotovat rychlost´ı v− , dojde na z´aporn´e poloose k prohozen´ı v´ yznamu v+ a v− (jak jsme jiˇz popsali), a tedy ˇreˇsen´ı zde m˚ uˇzeme intrepretovat jako disk s hustotou σ+ rotuj´ıc´ı rychlost´ı v− spolu s diskem s hustotou σ− a rychlost´ı v+ .
62
Kapitola 5 Z´ avˇ er V t´eto pr´aci jsme se zab´ yvali moˇznostmi v´ ypoˇctu metriky v pˇr´ıpadˇe, ˇze Schwarzschildovu ˇcernou d´ıru ob´ıh´a v ekvatori´aln´ı rovinˇe prachov´ y disk. Bohuˇzel Einsteinovy rovnice jsou na pˇr´ım´e ˇreˇsen´ı pˇr´ıliˇs komplikovan´e, a tak jsme pro jejich zjednoduˇsen´ı pouˇzili rozvoj. V pˇr´ıpadˇe rozvoje dle hmotnosti disku se n´am podaˇrilo explicitnˇe vyj´adˇrit jednotliv´e koeficienty jen v pˇr´ıpadˇe, kdy jsme uv´aˇzili m´ısto Schwarzschildovy Minkowsk´eho metriku jako pozad´ı. V pˇr´ıpadˇe Schwarzchildova ˇreˇsen´ı se n´am nepodaˇrilo nal´ezt rozumn´e vyj´adˇren´ı jedn´e z Greenov´ ych funkc´ı. D´ale jsme uk´azali, ˇze postup s Minkowsk´eho pozad´ım lze upravit tak, ˇze ve v´ ysledn´e metrice se Schwarzschildova d´ıra tak´e objev´ı. Na druhou stranu tento upraven´ y postup m´a probl´em s konvergenc´ı ˇrad — na rozd´ıl od “klasick´eho”rozvoje dle hmotnosti disku jsme zde museli rozvojov´ y parametr zobecnit a vyˇzadovat po mocninn´e ˇradˇe nˇejak´ y dan´ y polomˇer konvergence, kter´ y se n´am nepodaˇrilo zaruˇcit. Alternativnˇe jsme se pokusili o rozvoj z nekoneˇcna v pˇrevr´acen´e hodnotˇe polomˇeru. Tato metoda je ale omezen´a pˇredpokladem analytiˇcnosti ploˇsn´e hustoty energie. V re´aln´em pˇr´ıpadˇe ploˇsn´a hustota energie nem˚ uˇze b´ yt analytick´a v cel´em prostoroˇcasu. Tuto metodu proto nen´ı moˇzno pouˇz´ıt pro v´ ypoˇcet metriky vˇsude. Nicm´enˇe v oblastech vzd´alenˇejˇs´ıch od horizontu ˇcern´e d´ıry budou pˇr´ısluˇsn´e ˇrady konvergovat k hledan´e metrice. N´aslednˇe jsme se zab´ yvali t´ım, jak v´ yˇse uveden´e postupy zobecnit na pˇr´ıpad, kdy uvaˇzujeme geodetick´ y pohyb ˇc´astic prachu. Jak se uk´azalo, s vˇetˇs´ımi ˇci menˇs´ımi u ´pravami bylo moˇzno pouˇz´ıt jiˇz vypracovan´e metody. Z´avˇer pr´ace se t´ yk´a zobecnˇen´ı na pˇr´ıpad, kdy je disk sloˇzen z v´ıce vz´ajemnˇe neinteraguj´ıc´ıch prachov´ ych komponent. Uk´azalo se, ˇze i tentokr´at staˇc´ı jen drobn´a modifikace dˇr´ıvˇejˇs´ıch postup˚ u.
63
Literatura [1] Bardeen J. M., Wagoner R. V.: Relativistic disks. I. uniform rotation, 1971, Astrophys. J. 167, 359-423 ˇ ak P. a kol.: Matematick´a anal´yza pro fyziky V., Matfyzpress, Praha 2003 [2] Cih´ ˇ ıˇzek P.: Weylovy prostoroˇcasy s nenulovou kosmologickou konstantou, bakal´aˇrsk´a pr´ace, [3] C´ MFF UK, Praha 2006 ´ [4] Form´anek J.: Uvod do kvantov´e teorie I., Academia, Praha 2004 [5] Gonz´ales G. A., Letelier P. S.: Rotating relativistic thin disks, 2000, Phys. Rev. D 62, 064025 [6] Havr´anek A.: Klasick´a mechanika I.: Hmotn´y bod a tuh´e tˇeleso, Karolinum, Praha 2003 [7] Ledvinka T.: Thin disks as sources of stationary axisymmetric electrovacuum spacetimes, Ph.D. Thesis, Charles Univ., Prague 1998. [8] Stephani H. et al.: Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge University Press, Cambridge 2003 [9] Weisstein E. W.: Gegenbauer Polynomial, MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/GegenbauerPolynomial.html [10] http://functions.wolfram.com/Polynomials/GegenbauerC3/ [11] Weisstein E. W.: Hypergeometric Function, MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html [12] Weisstein E. W.: Legendre Function of the Second Kind, MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/LegendreFunctionoftheSecondKind.html [13] Weisstein E. W.: Legendre Polynomial, MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html [14] Will C. M. : Perturbation of a slowly rotating black hole by a stationary axisymmetric ring of matter I. equilibrium configurations, 1974, Astrophys. J. 191, 521-531
64
