UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Matematicko fyzikální fakulta

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Matematicko–fyzik´ aln´ı fakulta

´ PRACE ´ DIPLOMOVA

Pavel Koudelka Metody v´ ypoˇ ctu re´ aln´ e hodnoty penzijn´ıho pˇ ripojiˇ stˇ en´ı se st´ atn´ım pˇ r´ıspˇ evkem

Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı diplomové práce: RNDr. Pavel Finfrle, PhD. Studijn´ı program: Matematika Studijn´ı obor: Finanˇcn´ı a pojistná matematika

Dˇekuji t´ımto RNDr. Pavlu Finfrlemu, PhD. za ˇcas vˇenovan´ y konzultac´ım a za podnˇetné návrhy a pˇripom´ınky, které mi pˇri psan´ı této práce poskytl.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou diplomovou práci napsal samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcován´ım práce. V Praze dne 20. dubna 2006 Pavel Koudelka

Obsah ´ Uvod

6

1 Penzijn´ı pˇ ripojiˇ stˇ en´ı se st´ atn´ım pˇ r´ıspˇ evkem 8 1.1 Vznik a v´ yvoj penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Zákon o penzijn´ım pˇripojiˇstˇen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Penzijn´ı plán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Oceˇ nov´ an´ı re´ alnou hodnotou 2.1 Souˇcasn´ y stav a zámˇery v IFRS . . . . . . . . . . 2.2 Metoda nejlepˇs´ıho odhadu . . . . . . . . . . . . . 2.3 Reálná hodnota v IFRS . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rizikovˇe neutráln´ı v´ ypoˇcty . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Základn´ı pojmy a oznaˇcen´ı . . . . . . . . . 2.4.2 Rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıra 2.5 Problémy s aplikac´ı na pojistn´ y trh . . . . . . . . 3 Model penzijn´ıho fondu 3.1 Finanˇcn´ı model . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Modelován´ı u ´rokov´ ych mˇer . . . . . . . 3.1.2 Modelován´ı ceny akci´ı . . . . . . . . . 3.2 V´ yvoj penzijn´ıho fondu . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Demografie . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 V´ yvoj aktiv . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 V´ yvoj pasiv . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Dˇelen´ı zisku . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Reálná hodnota závazk˚ u . . . . . . . . . . . . 3.4 V´ ysledky modelován´ı . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Základn´ı nastaven´ı a vstupy . . . . . . 3.4.2 Varianty modelu . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Pr˚ ubˇeh modelován´ı . . . . . . . . . . . 3.4.4 V´ ysledky . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Srovnán´ı s deterministick´ ym v´ ypoˇctem Z´ avˇ er

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

15 15 16 17 17 18 19 21

. . . . . . . . . . . . . . .

23 24 24 25 26 26 27 27 28 30 31 31 35 36 37 42 44

A Popis programu A.1 Vstupy modelu . . . . . . . . . . . . A.2 Bˇeh programu . . . . . . . . . . . . . A.3 V´ yvoj pasiv . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Prostˇredky u ´ˇcastn´ık˚ u . . . . . A.3.2 Základn´ı jmˇen´ı, rezervn´ı fond A.4 V´ yvoj aktiv . . . . . . . . . . . . . . A.5 Závˇereˇcné poznámky . . . . . . . . . Literatura

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

45 45 47 48 49 51 52 52 54

4

Abstrakt N´ azev pr´ ace: Metody v´ ypoˇctu reálné hodnoty penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem Autor: Pavel Koudelka Katedra: Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı diplomov´ e pr´ ace: RNDr. Pavel Finfrle, PhD. e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: Penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem je specifick´ y produkt naˇseho pojistného trhu, kter´ y ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u splˇ nuje definici pojistné smlouvy podle Mezinárodn´ıch u ´ˇcetn´ıch standard˚ u. Tato diplomová práce popisuje penzijn´ı ˇ pˇripojiˇstˇen´ı v Ceské republice a souˇcasn´ y stav a zámˇery Mezinárodn´ıch u ´ˇcetn´ıch standard˚ u pro u ´ˇctován´ı o pojistn´ ych smlouvách – konkrétnˇe u ´ˇctován´ı o závazc´ıch v reálné hodnotˇe. Dále je zm´ınˇen rizikovˇe neutráln´ı pˇr´ıstup, kter´ y se uˇz pomˇernˇe dlouhou dobu uˇz´ıvá pro oceˇ nován´ı instrument˚ u obchodovan´ ych na finanˇcn´ıch trz´ıch. Ten tvoˇr´ı základ pro navrˇzen´ y model v´ ypoˇctu reálné hodnoty závazk˚ u penzijn´ıho fondu, kdyˇz pro modelován´ı okamˇzité u ´rokové intenzity je konkrétnˇe pouˇz´ıván dvoufaktorov´ y normáln´ı model. Kl´ıˇ cov´ a slova: penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem, reálná hodnota, rizikovˇe neutráln´ı pˇr´ıstup

Abstract Title: The methods of the fair value calculation of the supplementary pension insurance with state contribution Author: Pavel Koudelka Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: RNDr. Pavel Finfrle, PhD. Supervisor’s e-mail adress: [email protected] Abstract: The supplementary pension insurance with state contribution is a specific product of our insurance market which fulfills the definition of the insurance contract according to the International Accounting Standards in almost all cases. This diploma thesis describes the pension insurance in the Czech Republic and the present state and plans of the International Accounting Standards for accounting concerning insurance contracts – specially accounting concerning fair value of liabilities. Further, we mentioned the risk neutral approach which has been used for pricing of financial market instruments for a quite long time. This is the basis for the suggested model of the fair value calculation of the liabilities of a pension fund where two-factor model of the instantaneous intensity of the interest rate is used. Key words: supplementary pension insurance with state contribution, fair value, risk neutral approach

´ Uvod V souˇcasné dobˇe je ˇcasto zmiˇ novan´ ym tématem reforma penzijn´ıho systému. A to nejen u nás. V podstatˇe celá Evropˇe se dnes pot´ yká s nar˚ ustaj´ıc´ım nepomˇerem mezi populac´ı v produktivn´ım a poproduktivn´ım vˇeku. Nen´ı pochyb o tom, ˇze tento trend by dˇr´ıve ˇci pozdˇeji zp˚ usobil kolaps souˇcasn´ ych d˚ uchodov´ ych systém˚ u zaloˇzen´ ych na solidaritˇe mezi generacemi. Na ˇcem se vˇsak uˇz odborn´ıci, veˇrejnost a hlavnˇe politikové neshoduj´ı je, jak by taková reforma d˚ uchodového systému mˇela vypadat. Moˇzn´ ym ˇreˇsen´ım, jak se s t´ımto problémem u nás nˇejak vypoˇrádat, bylo v roce 1994 zaveden´ı penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem. Je to dobrovolná forma spoˇren´ı na stáˇr´ı funguj´ıc´ı na komerˇcn´ım principu a podporovaná státem. Vznikly prvn´ı penzijn´ı fondy a následnˇe, v souvislosti se zavádˇen´ım modern´ıch oceˇ novac´ıch postup˚ u v pojiˇst’ovnách a v penzijn´ıch fondech, vyvstala otázka, jak správnˇe ocenit jejich závazky vypl´ yvaj´ıc´ı ze smluv penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı. Poˇc´ınaje rokem 2005 maj´ı vˇsechny spoleˇcnosti emituj´ıc´ı cenné pap´ıry kótované na burzách zem´ı Evropské unie povinnost provádˇet u ´ˇcetn´ı závˇerku podle Mezináˇ e republiky. Cesk´ ˇ e rodn´ıch u ´ˇcetn´ıch standard˚ u a toto naˇr´ızen´ı se tedy t´ yká i Cesk´ u ´ˇcetnictv´ı sice povolilo u ´ˇctován´ı o reálné hodnotˇe, ale v koncepˇcn´ım rámci IASC [10] byla stanovena pouze obecná definice reálné hodnoty – metoda, jak ji poˇc´ıtat vˇsak zat´ım nen´ı urˇcena. Poˇzadavky vznáˇsené v odborn´ ych materiálech prozat´ım smˇeˇruj´ı k tomu, aby byla stanovena zp˚ usobem konzistentn´ım s t´ım, jak´ ym se oceˇ nuj´ı instrumenty obchodované na finanˇcn´ıch trz´ıch. V této práci navrhneme model ocenˇen´ı závazk˚ u z penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem reálnou hodnotou tak, aby odpov´ıdal obecné definici podle koncepˇcn´ıho rámce IASC [10] a splˇ noval základn´ı poˇzadavky kladené na reálnou hodnotu. V prvn´ı ˇcásti pop´ıˇseme vznik a v´ yvoj penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı u nás a podm´ınky stanovené legislativou. V druhé kapitole shrneme souˇcasn´ y stav v´ yvoje Mezinárodn´ıch u ´ˇcetn´ıch standard˚ u, konkrétnˇe standardu IFRS4 pro pojistné smlouvy, zm´ın´ıme obecnou definici reálné hodnoty a pˇribl´ıˇz´ıme si rizikovˇe neutráln´ı v´ ypoˇcty, z nichˇz budeme dále vycházet. V tˇret´ı ˇcásti potom navrhneme model

6

pro v´ ypoˇcet reálné hodnoty závazk˚ u penzijn´ıho fondu a ukáˇzeme a zhodnot´ıme dosaˇzené v´ ysledky pro r˚ uzná vstupn´ı nastaven´ı. V pˇr´ıloze je uveden popis programu k modelu penzijn´ıho fondu. Model penzijn´ıho fondu byl vytvoˇren v aplikaci MS Excel a m˚ uˇzeme ho nalézt na pˇriloˇzeném CD vˇcetnˇe programu pro simulaci u ´rokov´ ych mˇer a cen akci´ı, vytvoˇreného ve v´ yvojovém prostˇred´ı Free Pascal [7].

7

Kapitola 1 Penzijn´ı pˇ ripojiˇ stˇ en´ı se st´ atn´ım pˇ r´ıspˇ evkem Ve vˇetˇsinˇe vyspˇel´ ych zem´ı existuj´ı propracované systémy pojistné ochrany, které by mˇely zajistit udrˇzen´ı dosaˇzeného ˇzivotn´ıho standardu i ve stáˇr´ı. Obvykle jde o systémy op´ıraj´ıc´ı se o tzv. tˇri pil´ıˇre: (1) sociáln´ı pojiˇsten´ı, (2) penzijn´ı pojistˇen´ı, (3) individuáln´ı pojiˇstˇen´ı a spoˇren´ı.

Prvn´ı pil´ıˇ r : jedná se o tradiˇcn´ı oporu systému pojistné ochrany obˇcan˚ u a vyuˇz´ıvá ´ ho veˇskerá populace. Uˇcast na nˇem je povinná a jsou odvádˇeny povinné pˇr´ıspˇevky. V drtivé vˇetˇsinˇe se jedná o systémy s pr˚ ubeˇzným financov´ an´ım 1 . Zahrnuje nejen d˚ uchodové pojiˇstˇen´ı (tj. v´ yplatu starobn´ıch d˚ uchod˚ u, invalidn´ıch d˚ uchod˚ u apod.), ale i r˚ uzné druhy sociáln´ı podpory (v pˇr´ıpadˇe mateˇrstv´ı apod.) Druh´ y pil´ıˇ r : vˇetˇsinou jde o systémy kolektivn´ıho pojiˇstˇen´ı, které jsou organizovány bud’ v podnic´ıch pro vlastn´ı zamˇestnance, nebo napˇr´ıklad ve skupinách sdruˇzuj´ıc´ıch r˚ uzné profese (napˇr. advokáty, lékárn´ıky apod.). Jedná se o ˇcasovˇe odloˇzen´ y pˇr´ıjem, kter´ y se má v budoucnu pod´ılet na financován´ı d˚ uchodu. 1

Pr˚ ubˇeˇzné financován´ı (pay-as-you-go) je zaloˇzeno na solidaritˇe mezi generacemi, kdy dnes vypl´ acené penze jsou hrazeny z pˇr´ıspˇevk˚ u dneˇsn´ıch v´ ydˇeleˇcnˇe ˇcinn´ ych obˇcan˚ u. To znamená, ˇze vˇsechny prostˇredkyjdouc´ı do systému jsou okamˇzitˇe redisribuovány a nijak se nezhodnocuj´ı.

8

Tˇ ret´ı pil´ıˇ r : tento doplˇ nkov´ y a dobrovoln´ y zdroj pojistné ochrany plnˇe vycház´ı ze soukromé iniciativy obˇcana a je vˇetˇsinou zaloˇzen na komerˇcn´ım principu (napˇr. individuáln´ı ˇzivotn´ı ˇci d˚ uchodové pojiˇstˇen´ı). ˇ y d˚ Cesk´ uchodov´ y systém se skládá ze dvou ˇcást´ı. Prvn´ım pil´ıˇrem je povinné základn´ı d˚ uchodové pojiˇstˇen´ı, které je d´ avkovˇe definované 2 a pr˚ ubˇeˇznˇe financované. Vedle toho existuje dobrovolné doplˇ nkové, pˇr´ıspˇevkovˇe definované 3 , kapitálovˇe financované 4 penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem. Penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem je moˇzno povaˇzovat za tˇret´ı pil´ıˇr d˚ uchodového systému. D˚ uchody pˇriznávané ze tˇret´ıho pil´ıˇre se zat´ım pod´ılej´ı na pˇr´ıjmech d˚ uchodc˚ u zanedbatelnou mˇerou. V ˇclensk´ ych státech EU obvykl´ y druh´ y pil´ıˇr (tedy zamˇestnavatelské penzijn´ı systémy) v ˇceském d˚ uchodovém systému neexistuje. V´ıce o penzijn´ım pojiˇstˇen´ı a jeho v´ ypoˇcetn´ıch aspektech lze nalézt napˇr´ıklad v Cipra [3]. Penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem (dále jen penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı“) ” je forma spoˇren´ı podporovaná státem. Základn´ım c´ılem je zajiˇstˇen´ı dostatku finanˇcn´ıch prostˇredk˚ u na d˚ uchodov´ y vˇek. V d˚ uchodu pak nen´ı nutné se spoléhat v´ yhradnˇe na státn´ı systém d˚ uchodového zabezpeˇcen´ı, kter´ y bude jiˇz v bl´ızké budoucnosti ˇcelit závaˇzn´ ym problém˚ um. Penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı je, oproti jin´ ym formám zhodnocen´ı, v´ yhodnˇejˇs´ı v tom, ˇze lze z´ıskat nav´ıc státn´ı pˇr´ıspˇevek a moˇznost daˇ nov´ ych u ´lev (jak pro u ´ˇcastn´ıka, tak pˇr´ıpadnˇe pro jeho zamˇestnavatele). Souˇcasnˇe je ale také moˇzné, za podm´ınek dan´ ych zákonem, vyuˇz´ıt ˇcást naspoˇren´ ych prostˇredk˚ u i dˇr´ıve.

1.1

Vznik a v´ yvoj penzijn´ıho pˇ ripojiˇ stˇ en´ı

Devadesátá léta minulého stolet´ı znamenala pomˇernˇe bouˇrliv´ y v´ yvoj mimo jiné v oblasti ekonomiky a finanˇcn´ıch trh˚ u. Stranou nez˚ ustal ani trh penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı. Jeho vznik znamenalo v roce 1994 pˇrijet´ı zákona ˇc. 42/1994 Sb., o penzijn´ım pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem (dále jen zákon“), kter´ y nabyl u ´ˇcinnosti ” dne 21. bˇrezna 1994. V roce 1994 obdrˇzely prvn´ı penzijn´ı fondy licence k poskytován´ı penzijn´ıho ˇ Cesk´ ˇ a republika se tak stala prvn´ı zem´ı b´ pˇripojiˇstˇen´ı v CR. yvalého v´ ychodn´ıho bloku, která zavedla doplˇ nkov´ y penzijn´ı pil´ıˇr na kapitálovém principu. Jiˇz bˇehem roku 1994 a 1995 vzniklo celkem 44 penzijn´ıch fond˚ u a v roce 1997 dalˇs´ı 2 fondy. 2

Dávkovˇe definované penzijn´ı systémy jsou takové, kde je pˇredem stanovena v´ yˇse dávek a na základˇe n´ı je vypoˇctena v´ yˇse pˇr´ıspˇevk˚ u. 3 Pˇr´ıspˇevkovˇe definovan´ y systém znamená, ˇze v´ yˇse dávek závis´ı na naspoˇrené ˇcástce. 4 Narozd´ıl od pr˚ ubˇeˇzného financován´ı se zde zaplacené pˇr´ıspˇevky zhodnocuj´ı, takˇze koneˇcná v´ yˇse penze je potom urˇcena na základˇe zaplacen´ ych pˇr´ıspˇevk˚ u a jejich zhodnocen´ı.

9

Dnes jich z˚ ustalo 11 a jsou reprezentovány 9 skupinami akcionáˇr˚ u. V´ yvoj poˇctu penzijn´ıch fond˚ u v jednotliv´ ych letech názornˇe ukazuje graf 1.1.

Obrázek 1.1: V´ yvoj poˇctu penzijn´ıch fond˚ u v letech 1994 - 2004

Celkem 20 penzijn´ıch fond˚ u, tedy pˇreváˇzná ˇca´st, zaniklo v rámci f´ uz´ı s jin´ ymi fondy. Tˇri penzijn´ı fondy zanikly bez u ´ˇcastn´ık˚ u a dva fondy zanikly s plnou náhradou vloˇzen´ ych prostˇredk˚ u. Pˇet fond˚ u bylo likvidováno s ˇca´steˇcnou náhradou vloˇzen´ ych prostˇredk˚ u. Zp˚ usoby, jak´ ymi penzijn´ı fondy zanikaly, m˚ uˇzeme vidˇet v grafu 1.2. Likvidované PF - s plnou náhradou vložených prostĜedkĤ 4,5% Zaniklé penzijní fondy bez úþastníkĤ 6,8%

Zfúzované penzijní fondy 45,5%

Likvidované PF - s þásteþnou náhradou vložených prostĜedkĤ 15,9%

Existující penzijní fondy 27,3%

Obrázek 1.2: Zp˚ usoby zániku penzijn´ıch fond˚ u ˇ e pojiˇst’ovny, a.s. Posledn´ı dvˇe f´ uze nastaly v roce 2004 (Penzijn´ı fond Cesk´ ˇ se slouˇcil s ABN AMRO Penzijn´ım fondem, a.s.) a v roce 2005 (Ceskoslovensk´ a obchodn´ı banka, a.s. se v ˇr´ıjnu stala nov´ ym majitelem Hornického penzijn´ıho fondu Ostrava, a.s.).

10

Popularita penzijn´ıho spoˇren´ı byla dána i parametry, které nastavil stát a pˇr´ısluˇsná legislativa. Zv´ yˇsen´ı státn´ıho pˇr´ıspˇevku, zaveden´ı daˇ nového zv´ yhodnˇen´ı a rozˇs´ıˇren´ı investiˇcn´ıch moˇznost´ı – to byly v´ yznamné faktory, které vytvoˇrily pˇr´ıznivé klima a podpoˇrily poptávku po penzijn´ım pˇripojiˇstˇen´ı. Dalˇs´ı zásadn´ı zmˇeny a impulzy pro souˇcasn´ y systém soukromého spoˇren´ı na penzi m˚ uˇze pˇrinést aˇz komplexn´ı d˚ uchodová reforma, která je nyn´ı aktuáln´ım politicko–ekonomick´ ym i sociáln´ım tématem.

Souˇ casn´ y stav ˇ e republiky APF CR ˇ [1] poˇcet u Podle u ´daj˚ u Asociace penzijn´ıch fond˚ u Cesk´ ´ˇcastn´ık˚ u penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı na konci roku 2005 ˇcinil 3 284 430, coˇz je pˇres 60 % ekonomicky aktivn´ı populace a jde o u ´roveˇ n v´ıce neˇz srovnatelnou s vyspˇelejˇs´ımi evropsk´ ymi státy. Prostˇredky evidované ve prospˇech u ´ˇcastn´ık˚ u tvoˇrily 113 mld. Kˇc. Skladba portfolia penzijn´ıch fond˚ u byla následuj´ıc´ı: dluhopisy tvoˇrily 74,3 %, pen´ıze na u ´ˇctech 8,4 %, pokladniˇcn´ı poukázky 8,1 %, akcie a pod´ılové listy tvoˇrily 7,7 % portfolia a 1,5 % bylo investováno jinak. Ve vˇekové struktuˇre u ´ˇcastn´ık˚ u penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı pˇrevládá vˇeková kategorie v rozmez´ı 50–59 let. Naproti tomu mlad´ı u ´ˇcastn´ıci ve vˇeku 18–29 let nejsou ˇ je vyˇsˇs´ı neˇz v´ yraznˇe zapojeni. Jednak je to dáno t´ım, ˇze pr˚ umˇern´ y vˇek obyvatel CR ˇ to interpretuje i tak, ˇze právˇe ve starˇs´ıch vˇekov´ 39 let, ale APF CR ych skupinách zájem o zabezpeˇcen´ı ve stáˇr´ı nab´ yvá na v´ yznamu. Pro tuto skupinu u ´ˇcastn´ık˚ u se vˇsak sp´ıˇse jedná o v´ yhodnou variantu stˇrednˇedobého spoˇren´ı, zat´ımco pro mladˇs´ı u ´ˇcastn´ıky se jedná o druh spoˇren´ı s velmi dlouh´ ym a nejasn´ ym horizontem. ˇ z poloviny roku 2005 ˇcinil pr˚ Dle u ´daj˚ u Ministerstva financ´ı CR umˇern´ y pˇr´ıspˇevek u ´ˇcastn´ıka, na kter´ y bylo poˇza´dáno o státn´ı pˇr´ıspˇevek, 379 Kˇc. To je stále jen pˇres 2 % pr˚ umˇerné hrubé mzdy a v´ yˇse pˇr´ıspˇevku u ´ˇcastn´ıka tak z˚ ustává nejvˇetˇs´ı slabinou naˇseho systému. Pr˚ umˇern´ y pˇr´ıspˇevek zamˇestnavatele vzrostl na 476 Kˇc ´ a pob´ıralo ho 28 % klient˚ u. Uroveˇ n zapojen´ı zamˇestnavatel˚ u tak zat´ım nen´ı pˇr´ıliˇs vysoká. R˚ ust poˇctu u ´ˇcastn´ık˚ u a jejich pˇr´ıspˇevk˚ u v letech 1994–2004 m˚ uˇzeme vidˇet na grafu 1.3.

1.2

Z´ akon o penzijn´ım pˇ ripojiˇ stˇ en´ı

Penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem je upraveno zákonem ˇc. 42/1994 Sb., ´ castn´ıkem m˚ v platném znˇen´ı. Uˇ uˇze b´ yt fyzická osoba starˇs´ı 18 let s trval´ ym ˇ pobytem na u ´zem´ı Ceské republiky nebo na u ´zem´ı jiného ˇclenského státu Evropské

11

Obrázek 1.3: Pˇr´ıspˇevky a poˇcty u ´ˇcastn´ık˚ u v penzijn´ıch fondech v letech 1994 2004 unie, pokud je u ´ˇcastna d˚ uchodového pojiˇstˇen´ı nebo veˇrejného zdravotn´ıho pojiˇstˇen´ı ˇ ´ v Ceské republice. Uˇcast na penzijn´ım pˇripojiˇstˇen´ı je dobrovolná, lze b´ yt pˇripojiˇstˇen pouze u jednoho fondu v jeden okamˇzik. Penzijn´ı fond mus´ı m´ıt formu akciové spoleˇcnosti se základn´ım jmˇen´ım minimálnˇe 50 milion˚ u Kˇc tvoˇreného jen z penˇeˇzit´ ych vklad˚ u a mus´ı m´ıt s´ıdlo na u ´zem´ı ˇ CR. Souˇcást´ı ˇza´dosti o povolen´ı k ˇcinnosti mus´ı b´ yt i návrhy statutu, stanov a penzijn´ıho plánu penzijn´ıho fondu. Statut fondu stanovuje rozsah ˇcinnosti fondu, zamˇeˇren´ı a c´ıle investiˇcn´ı politiky, zásady hospodaˇren´ı, zp˚ usob pouˇzit´ı zisku, obchodn´ı firmu a s´ıdlo depozitáˇre (banka, která vede fondu vˇsechny bˇeˇzné u ´ˇcty) a zp˚ usob zveˇrejˇ nován´ı zpráv o hospodaˇren´ı s majetkem. Statut mus´ı b´ yt kaˇzdému pˇr´ıstupn´ yau ´ˇcastn´ık s n´ım mus´ı b´ yt seznámen pˇred podpisem smlouvy. V´ yˇ se pˇ r´ıspˇ evku u ´ˇcastn´ıka se stanov´ı na kalendáˇrn´ı mˇes´ıc a nesm´ı b´ yt niˇzˇs´ı, neˇz je ˇca´stka zakládaj´ıc´ı nárok na státn´ı pˇr´ıspˇevek. Stát poskytuje státn´ı pˇr´ıspˇevky, které se vyplác´ı u ´ˇcastn´ıkovi v závislosti na v´ yˇsi mˇes´ıˇcn´ı splátky. Hodnota státn´ıho pˇr´ıspˇevku se pohybuje od 50 do 150 Kˇc. Zákon podrobnˇe vymezuje, jak mohou b´ yt prostˇredky penzijn´ıho fondu investovány, a hospodaˇren´ı penzijn´ıho fondu podléhá státn´ımu dozoru. Dˇ elen´ı zisku prob´ıhá tak, ˇze nejménˇe 5 % pˇripadá do rezervn´ıho fondu a nejv´ıce 10 % se rozdˇeluje podle rozhodnut´ı valné hromady. Zbylá ˇca´st se pouˇzije ve prospˇech u ´ˇcastn´ık˚ u a osob, jejichˇz penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı zaniklo v roce, za kter´ y se zisk rozdˇeluje. Pokud hospodaˇren´ı penzijn´ıho fondu skonˇc´ı ztrátou, pouˇzije se ke kryt´ı ztráty nerozdˇelen´ y zisk z minul´ ych let a rezervn´ı fond. Nestaˇc´ı-li tyto zdroje, mus´ı b´ yt ztráta kryta

12

sn´ıˇzen´ım základn´ıho kapitálu. Za liberáln´ı m˚ uˇzeme povaˇzovat zp˚ usob pˇrechodu k jinému penzijn´ımu fondu. Staˇc´ı m´ıt souhlas pˇr´ısluˇsného penzijn´ıho fondu.

1.2.1

Penzijn´ı pl´ an

Penzijn´ı plán pˇredstavuje dokument, v nˇemˇz se stanovuj´ı pˇredevˇs´ım druhy penz´ı a ostatn´ıch dávek poskytovan´ ych z penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı, podm´ınky nároku na dávky a jejich v´ yplaty, zp˚ usob v´ ypoˇctu dávek, d˚ uvody vypovˇezen´ı smlouvy, minimáln´ı v´ yˇse pˇr´ıspˇevk˚ uu ´ˇcastn´ık˚ u a zp˚ usob jejich placen´ı, podm´ınky pˇreruˇsen´ı nebo odkladu placen´ı pˇr´ıspˇevk˚ u a zásady, podle kter´ ych se u ´ˇcastn´ıci pod´ılej´ı na v´ ynosech fondu. Penzijn´ı plán mus´ı b´ yt souˇca´st´ı smlouvy o penzijn´ım pˇripojiˇstˇen´ı. Penzijn´ı plány musej´ı b´ yt sestavovány jako pˇr´ıspˇevkovˇe definované (jedinˇe invalidn´ı penze m˚ uˇze b´ yt za urˇcit´ ych podm´ınek definována dávkovˇe). Základn´ı podm´ınky pˇriznáván´ı dávek jsou vymezeny zákonem, avˇsak u jednotliv´ ych penzijn´ıch plán˚ u se mohou liˇsit. To je dáno hlavnˇe t´ım, jak byl zákon postupnˇe novelizován a podm´ınky j´ım dané se mˇenily. V následuj´ıc´ım textu tedy struˇcnˇe pop´ıˇseme podm´ınky dané souˇcasnˇe platn´ ym zákonem. Mezi poskytovan´ e d´ avky patˇr´ı: Penze, kterou se rozum´ı doˇzivotn´ı pravidelná v´ yplata penˇeˇzn´ı ˇcástky. V´ yˇse penze závis´ı na u ´hrnu pˇr´ıspˇevk˚ u zaplacen´ ych ve prospˇech u ´ˇcastn´ıka, pod´ılu u ´ˇcastn´ıka na v´ ynosech hospodaˇren´ı penzijn´ıho fondu a vˇeku, od kterého se poskytuje penze. Stanov´ı se podle pojistnˇe matematick´ ych zásad. Moˇzné typy penz´ı jsou - starobn´ı: Základn´ı dávka, mus´ı b´ yt sjednána vˇzdy. Podm´ınky nároku jsou dosaˇzen´ı minimálnˇe 60-ti let vˇeku a placen´ı pˇr´ıspˇevk˚ u po dobu nejménˇe 60-ti mˇes´ıc˚ u (dále jen pojiˇstˇená doba“). ” - invalidn´ı: Podm´ınkou je pˇriznán´ı plného invalidn´ıho d˚ uchodu z d˚ uchodového pojiˇstˇen´ı a pojiˇstˇená doba mus´ı b´ yt nejménˇe 60 mˇes´ıc˚ u. - v´ ysluhová: Podm´ınkou nároku je, aby pojiˇstˇená doba ˇcinila nejménˇe 180 mˇes´ıc˚ u. - poz˚ ustalostn´ı: Je vyplácena v pˇr´ıpadˇe u ´mrt´ı u ´ˇcastn´ıka urˇcené osobˇe. Pojiˇstˇená doba mus´ı ˇcinit nejménˇe 36 mˇes´ıc˚ u. ´ˇcastn´ıkovi m´ısto penze. Jeho v´ yˇse se stanov´ı Jednor´ azov´ e vyrovn´ an´ı náleˇz´ı u jako u ´hrn pˇr´ıspˇevk˚ u zaplacen´ ych ve prospˇech u ´ˇcastn´ıka a odpov´ıdaj´ıc´ım pod´ıl˚ um na v´ ynosech hospodaˇren´ı.

13

Odbytn´ e náleˇz´ı u ´ˇcastn´ıkovi, kter´ y zaplatil pˇr´ıspˇevky alespoˇ n na 12 kalendáˇrn´ıch mˇes´ıc˚ u a jehoˇz penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı zaniklo v´ ypovˇed´ı, nebo dohodou, pokud mu nen´ı vyplácena penze a nedoˇslo k pˇrevodu prostˇredk˚ u do jiného penzijn´ıho fondu. Dále náleˇz´ı fyzick´ ym osobám urˇcen´ ym ve smlouvˇe, pokud u ´ˇcastn´ık zemˇrel a nebyla mu vyplácena penze nebo vyplaceno jednorázové vyrovnán´ı a pokud nevznikl nárok na poz˚ ustalostn´ı penzi. V´ yˇse odbytného se stanov´ı jako u ´hrn pˇr´ıspˇevk˚ u zaplacen´ ych u ´ˇcastn´ıkem a pod´ılu na v´ ynosech hospodaˇren´ı ˇ astky penzijn´ıho fondu odpov´ıdaj´ıc´ıho v´ yˇsi j´ım zaplacen´ ych pˇr´ıspˇevk˚ u. C´ státn´ıho pˇr´ıspˇevku je penzijn´ı fond povinen vrátit Ministerstvu financ´ı.

14

Kapitola 2 Oceˇ nov´ an´ı re´ alnou hodnotou ´ rodn´ıch standard˚ ˇn´ıV této kapitole shrneme souˇcasn´ y stav Mezina u financ 1 ´ ´ ho vykaznictvı (IFRS ), pˇriˇcemˇz nás bude zaj´ımat pˇredevˇs´ım standard IFRS4, t´ ykaj´ıc´ı se u ´ˇcetn´ıch standard˚ u pro pojiˇst’ovac´ı ˇcinnost. Dále zm´ın´ıme, jak´ y je nejbliˇzˇs´ı oˇcekávan´ y v´ yvoj v této oblasti a jak´ y je souˇcasnˇe asi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı zp˚ usob v´ ypoˇctu závazku z pojistné smlouvy. Nakonec se podrobnˇeji pod´ıváme, jak je v IFRS definována re´ aln´ a hodnota (fair value) a pˇribl´ıˇz´ıme si v´ ypoˇcty pˇri rizikovˇe neutráln´ı m´ıˇre.

2.1

Souˇ casn´ y stav a z´ amˇ ery v IFRS

´ rodn´ı u ć ˇetn´ı standardy (IAS2 ) zaˇcala vydávat v roce 1973 Komise Mezina ´ rodn´ı u ć ˇetn´ı standardy (IASC3 ), která sdruˇzuje profesn´ı organipro mezina ´bor pro zace z celého svˇeta. V souvislosti s reformou se IASC pˇrejmenovala na Vy 4 ´ ´ ´ ˇ ´ mezinarodnı ucetnı standardy (IASB ) a vydávané standardy se naz´ yvaj´ı IFRS. V roce 2002 schválil Evropsk´ y parlament usnesen´ı, které poˇc´ınaje rokem 2005 ukládá vˇsem spoleˇcnostem emituj´ıc´ım cenné pap´ıry kótované na burzách zem´ı Evropské unie povinnost provádˇet u ´ˇcetn´ı závˇerku podle IAS/IFRS a t´ yká se tedy ˇ i Ceské republiky. Nás zaj´ımá hlavnˇe standard IFRS4 (IASB [9]), t´ ykaj´ıc´ı se u ´ˇcetnictv´ı pojiˇst’oven a potaˇzmo tedy i penzijn´ıch fond˚ u. Smlouvy o penzijn´ım pˇripojiˇstˇen´ı totiˇz ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u splˇ nuj´ı definici pojistné smlouvy dle v´ yˇse zm´ınˇeného standardu. 1

International International 3 International 4 International 2

Financial Reporting Standards Accounting Standards Accounting Standards Committee Accounting Standards Board

15

Nejprve byl v roce 1999 vytvoˇren materiál Issues Paper (Steering Committee on Insurance [12]), kde byly formulovány základn´ı problémy a zásady. Komise se zde jasnˇe pˇriklonila ke konceptu reálné hodnoty závazku z pojistné smlouvy. Bylo také stanoveno velké mnoˇzstv´ı poˇzadavk˚ u na tuto hodnotu, aniˇz by byl bl´ıˇze urˇcen zp˚ usob jej´ıho v´ ypoˇctu. Cel´ y tento materiál byl pˇredloˇzen k diskuzi aktuársk´ ym organizac´ım a byly zpracovány pˇripom´ınky. Následnˇe byl v roce 2001 vytvoˇren návrh Draft Statement of Principles (Steering Committee on Insurance [13]). Ten vˇsak nebyl pˇrijat pˇr´ıznivˇe pojiˇst’ovnami a aktuársk´ ymi organizacemi. V roce 2002 IASB pˇriznal, ˇze lh˚ utu pˇrijatou Evropsk´ ym parlamentem (rok 2005) nelze dodrˇzet a cel´ y projekt byl rozdˇelen na dvˇe fáze. V kvˇetnu 2003 byl vydán znaˇcnˇe redukovan´ y koncept standardu – Exposure Draft 5 (IASB [8]), na kterém se mˇelo ovˇeˇrit jeho uˇz´ıván´ı. Následnˇe byl v bˇreznu 2004 vydán standard IFRS4, kde byl koncept jeˇstˇe dále omezen, ale byla splnˇena lh˚ uta daná EP. Tento standard mˇen´ı národn´ı ´ u ´ˇcetnictv´ı jen velmi málo. Ustˇredn´ı pojmy tvoˇr´ı aktiva (assets) a závazky (liabilities). Vˇsechny d˚ uleˇzité c´ıle byly pˇresunuty do fáze dvˇe. V´ ybor se zaˇcal seznamovat s u ´ˇctován´ım o pojistn´ ych smlouvách znovu od zaˇcátku. Jedn´ım z hlavn´ıch c´ıl˚ u, které byly odloˇzeny do druhé fáze, je zaveden´ı u ´ˇctován´ı o závazc´ıch z pojiˇstˇen´ı pomoc´ı reálné hodnoty.

2.2

Metoda nejlepˇ s´ıho odhadu

Momentálnˇe asi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ım zp˚ usobem oceˇ nován´ı závazk˚ u z pojistn´ ych smluv je ocenˇen´ı metodou nejlepˇs´ıho odhadu (tzv. best estimates“). Pojiˇst’ovna kromˇe ” v´ ypoˇcetn´ıch podklad˚ u 1. ˇra´du (pouˇzit´ ych pˇri v´ ypoˇctu rezerv) disponuje také v´ ypoˇcetn´ımi podklady 2. ˇra´du, coˇz jsou právˇe best estimates – vlastn´ı oˇcekáván´ı budouc´ıho v´ yvoje. V´ ypoˇcet na základˇe nejlepˇs´ıch odhad˚ u je tedy vlastnˇe v´ ypoˇcet s jedin´ ym scénáˇrem budouc´ıho v´ yvoje. To pˇredstavuje metodu relativnˇe jednoduchou, co se t´ yˇce jak nároˇcnosti v´ ypoˇctu, tak nutnosti pouˇzit´ı sloˇzité teorie, ale o to vˇetˇs´ı problémy s sebou nese. Stanoven´ı vstupn´ıch nejlepˇs´ıch odhad˚ u nen´ı jasnˇe definováno a ani z´ıskan´ y v´ ysledek nen´ı moˇzno interpretovat jako charakteristiku nˇejaké náhodné veliˇciny. A co je nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı – metoda nen´ı schopná ocenit garance a opce obsaˇzené v pojistn´ ych smlouvách a vede k s trhem nekonzistentn´ımu ocenˇen´ı aktiv a závazk˚ u. Zanedbává totiˇz existenci trˇzn´ıch rizikov´ ych pˇriráˇzek k jednotliv´ ym rizik˚ um, coˇz pak v d˚ usledku zp˚ usobuje, ˇze vˇetˇs´ı zastoupen´ı rizikov´ ych aktiv v portfoliu vede i k vyˇsˇs´ımu oˇcekávanému v´ ynosu z tˇechto aktiv (typicky plat´ı napˇr´ıklad pro akcie). Jak odstranit tyto nedostatky? Jednou z moˇznost´ı je uvaˇzovat v´ıce scénáˇr˚ u budouc´ıho v´ yvoje. Ale opˇet se nevyhneme nepˇr´ıjemn´ ym vlastnostem. V pˇr´ıpadˇe ne-

16

existence jednotné metodiky, jak tyto scénáˇre sestavovat, pozb´ yvá v´ ypoˇcet v podstatˇe jak´ ykoliv smysl. Volbou scénáˇr˚ u pak totiˇz m˚ uˇzeme manipulovat s pˇr´ısluˇsnou hodnotou. A ani v´ ysledn´ y pr˚ umˇer, stanoven´ y z hodnot vypoˇcten´ ych pomoc´ı jednotliv´ ych scénáˇr˚ u, nen´ı moˇzné dobˇre interpretovat. Také byly provádˇeny v´ ypoˇcty se stochastick´ ym v´ yvojem finanˇcn´ıch parametr˚ u. Avˇsak které parametry stochasticky modelovat? A jak volit pˇr´ısluˇsnou diskontn´ı m´ıru? Asi nen´ı u ´plnˇe vhodná metoda pouˇz´ıvaná pro nˇekterá rozˇs´ıˇren´ı implicitn´ı hodnoty, tj. na jedné stranˇe uvaˇzovat deterministickou rizikovou diskontn´ı m´ıru a na stranˇe druhé pˇredpokládat stochastick´ y v´ yvoj cen a v´ ynos˚ u z aktiv. Popis dalˇs´ıch souˇcasnˇe uˇz´ıvan´ ych metod pro v´ ypoˇcet reálné hodnoty závazku m˚ uˇzeme naj´ıt napˇr´ıklad v Finfrle [6].

2.3

Re´ aln´ a hodnota v IFRS

Sjednotit souˇcasnˇe uˇz´ıvané metody v´ ypoˇctu závazku z pojistné smlouvy a odstranit jejich neduhy by mˇelo právˇe zaveden´ı reálné hodnoty. Ta by mˇela zavést s trhem konzistentn´ı zp˚ usob oceˇ nován´ı závazk˚ u z pojistn´ ych smluv. V koncepˇcn´ım rámci IASC [10] je definována reálná hodnota jako ˇca´stka, za kterou lze vymˇenit akti” vum nebo vyrovnat závazek mezi znal´ ymi, souhlas´ıc´ımi a nezávisl´ ymi stranami“. Odtud je odvozen poˇzadavek na ocenˇen´ı závazku technikami podobn´ ymi tˇem, které se uˇz´ıvaj´ı k ocenˇen´ı instrument˚ u finanˇcn´ıch trh˚ u. Z této obecné definice se pak odv´ıjely konkrétn´ı poˇzadavky na ocenˇen´ı reálnou hodnotou, které vycházely pˇredevˇs´ım z metodologie rizikovˇe neutráln´ıch výpoˇct˚ u. Zásadn´ı zmˇenou je, ˇze od v´ ypoˇctu pomoc´ı nejlepˇs´ıho odhadu pˇrejdeme k v´ ypoˇctu stˇredn´ı souˇcasné hodnoty budouc´ıch penˇeˇzn´ıch tok˚ u pˇr´ısluˇsn´ ych dané pojistné smlouvˇe. Pˇredpokládáme idealizovan´ y trh bez transakˇcn´ıch náklad˚ u. Ohodnocen´ı rizika nen´ı vyjádˇreno rizikovou diskontn´ı m´ırou, ale rizikov´ ymi pˇriráˇzkami k jednotliv´ ym rizik˚ um. K diskontován´ı se potom pouˇzije bezriziková u ´roková m´ıra.

2.4

Rizikovˇ e neutr´ aln´ı v´ ypoˇ cty

Pˇri v´ ypoˇctu reálné hodnoty budeme vycházet z metodiky rizikovˇe neutráln´ıch v´ ypoˇct˚ u, jej´ıˇz základy zformulovali v 70. letech 20. stolet´ı Merton, Black a Scholes jako prostˇredek k oceˇ nován´ı aktiv a závazk˚ u obchodovan´ ych na finanˇcn´ıch trz´ıch, resp. k oceˇ nován´ı aktiv a závazk˚ u závisl´ ych na tˇechto trz´ıch. Základn´ı myˇslenka

17

této metody je, ˇze trh oceˇ nuje závazek jako stˇredn´ı souˇcasnou hodnotu pˇr´ısluˇsného penˇeˇzn´ıho toku. M´ısto pˇrirozené pravdˇepodobnostn´ı m´ıry P, vyjadˇruj´ıc´ı skuteˇcná oˇcekáván´ı trhu, se stˇredn´ı hodnota poˇc´ıtá pˇri ekvivalentn´ı rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıˇre Q, která vyjadˇruje rizikové pˇriráˇzky poˇzadované trhem pro obchodovaná aktiva. Pro nás budou konkrétnˇe kl´ıˇcové modely zamˇeˇrené na u ´rokové m´ıry. Tato metodika byla ˇsiroce akceptována finanˇcn´ımi trhy pro oceˇ nován´ı finanˇcn´ıch derivát˚ u a proto je povaˇzována za nejvhodnˇejˇs´ı v´ ychodisko pˇri v´ ypoˇctu reálné hodnoty. Základn´ım pˇredpokladem v metodologii rizikovˇe neutráln´ıch v´ ypoˇct˚ u je ne5 existence arbitr´ aˇze . Právˇe kdyˇz je splnˇen tento pˇredpoklad, je zaruˇcena existence pravdˇepodobnostn´ı m´ıry Q ekvivalentn´ı s pˇrirozenou pravdˇepodobnostn´ı m´ırou P. Pˇri Q je stˇredn´ı hodnota v´ ynosu vˇsech obchodovateln´ ych aktiv stejná, bez ohledu na volatilitu tohoto v´ ynosu a jeho rozdˇelen´ı. To je také d˚ uvod, proˇc se Q naz´ yvá rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıra. Podrobnˇeji dále.

2.4.1

Z´ akladn´ı pojmy a oznaˇ cen´ı

Oceˇ nován´ı finanˇcn´ıch nástroj˚ u se provád´ı na základˇe informace, která je v daném ˇcase k dispozici. Matematicky nám pˇredstavu ˇcasového v´ yvoje informace bude reprezentovat neklesaj´ıc´ı soustava jevov´ ych pol´ı F = {Ft , t ≥ 0} (tzv. filtrace). Pˇredstavuje soubor náhodn´ ych jev˚ u, o nichˇz je v ˇcase t známo, zda nastaly ˇci nenastaly. Dále uvaˇzujme pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, F, P), kde P je pˇrirozená pravdˇepodobnostn´ı m´ıra, charakterizuj´ıc´ı skuteˇcná oˇcekáván´ı trhu. Definujme náhodn´ y proces W = {Wt , t ≥ 0} vzhledem k m´ıˇre P takto: 1. Pro t ≥ 0, s > 0 maj´ı pˇr´ır˚ ustky Wt+s − Wt pˇri P rozdˇelen´ı N (0, s). 2. Pro libovolné ˇcasy 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn jsou pˇr´ır˚ ustky Wt2 − Wt1 , Wt3 − Wt2 , ..., Wtn − Wtn−1 vzájemnˇe nezávislé náhodné veliˇciny. 3. W0 = 0 a Wt má spojité trajektorie. Takto definovan´ y proces se naz´ yvá Wiener˚ uv proces vzhledem k m´ıˇ re P. Dále se omez´ıme na interval [0, T ] a filtrac´ı F = {Ft , 0 ≤ t ≤ T } bude vˇzdy m´ınˇena filtrace generovaná Wienerov´ ym procesem Wt , tedy Ft = σ {Ws , 0 ≤ s ≤ t}. 5 Arbitráˇz znamená, ˇze lze sestavit portfolio s nulovou investic´ı v ˇcase 0, pro které ztráta nastane s nulovou pravdˇepodobnost´ı a s kladnou pravdˇepodobnost´ı existuje bezrizikov´ y zisk.

18

Metodologii rizikovˇe neutráln´ıch v´ ypoˇct˚ u si ukáˇzeme na Black-Scholesovˇe modelu. Ten vycház´ı z následuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u: (1) Trh bez arbitráˇzn´ıch pˇr´ıleˇzitost´ı. (2) Neuvaˇzuj´ı se transakˇcn´ı poplatky. (3) Podkladové aktivum nevyplác´ı ˇza´dné dividendy a jeho cena se chová jako logaritmick´ y Brown˚ uv pohyb (ten je definován rovnic´ı (2.1)). (4) Bezriziková u ´roková m´ıra a volatilita podkladového aktiva jsou známé funkce ˇcasu po celou dobu trván´ı procesu. (5) Obchodován´ı s podkladov´ ym aktivem m˚ uˇze prob´ıhat nepˇretrˇzitˇe. y prodej na krátko, aktivum je libovolnˇe dˇelitelné. (6) Je moˇzn´ Uvaˇzujme tedy portfolio tvoˇrené akci´ı, která pˇredstavuje jeho rizikovou ˇcást, a bankovn´ım u ´ˇctem pˇredstavuj´ıc´ım bezrizikovou ˇcást portfolia. Jejich hodnoty St a Bt v ˇcase t ≥ 0 na prostoru (Ω, F, P) se ˇr´ıd´ı rovnicemi: ½ ¾ 1 2 St = exp σ Wt + (µ − σ ) t , S0 = 1, (2.1) 2 Bt = ert , kde σ je koeficient dif´ uze (volatilita, kol´ısán´ı kolem trendu), µ koeficient lokáln´ıho posunut´ı (trend) a r je bezriziková intenzita u ´roˇcen´ı, nezávislá na ˇcase. Dále zavedeme integrovatelnou v´ yplatn´ı funkci X(T ), která bude reprezentovat hodnotu naˇseho závazku v ˇcase T v závislosti na hodnotˇe aktiva v tomtéˇz ˇcase. ´ Ukolem je urˇcit souˇcasnou oˇcekávanou hodnotu daného závazku, tj. nalézt cenu replikaˇcn´ıho portfolia 6 .

2.4.2

Rizikovˇ e neutr´ aln´ı pravdˇ epodobnostn´ı m´ıra

K ocenˇen´ı závazku X(T ) je tˇreba naj´ıt pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, F, Q), kde Q je ekvivalentn´ı7 k pˇrirozené m´ıˇre P a vzhledem k n´ıˇz je proces diskontované ceny 6

Replikaˇcn´ı portfolio je samofinancuj´ıc´ı se portfolio poskytuj´ıc´ı replikaci v´ yplaty oceˇ novaného instrumentu. Jeho hodnota v kaˇzdém okamˇziku t ∈ [0, T ] je rovna hodnotˇe závazku v tomtéˇz ˇcase. 7 Pravdˇepodobnostn´ı m´ıry Q a P jsou ekvivalentn´ı, jestliˇze jsou definovány na stejném prostoru Ω a plat´ı: A ∈ Ω, Q(A) > 0 ⇔ P(A) > 0.

19

akcie Zt = Bt−1 St martingalem. Spojit´ y proces je martingalem vzhledem k m´ıˇre Q právˇe tehdy, kdyˇz 1. EQ (|Zt |) < ∞ 2. EQ (Zt | Fs ) = Zs

pro vˇsechna t, pro 0 ≤ s ≤ t.

Vyjádˇreme si diferenciál procesu diskontované ceny akcie ³ ´ dZt = Zt σ dWt + (µ − r) dt

a oznaˇcme γ = (µ − r)/σ trˇzn´ı cenu rizika. Náˇs model splˇ nuje pˇredpoklady Cameron-Martin-Girsanovovy vˇ ety (Baxter, Rennie [2]) a tedy existuje m´ıra ft = Wt + γt je Wienerov´ Q ekvivalentn´ı k m´ıˇre P taková, ˇze proces W ym procesem vzhledem k m´ıˇre Q. Diferenciál procesu Zt splˇ nuje ft dZt = σZt dW ft , je martingalem vzhledem k a proces Zt , ˇr´ızen´ y transformovan´ ym procesem W m´ıˇre Q. M´ıra Q je hledaná rizikovˇe neutráln´ı m´ıra a je daná vztahem ½ Z T ¾ dQ 1 2 = exp − γ dWt − γ T . dP 2 0 Jej´ı jednoznaˇcnost zaruˇcuje kompletnost trhu 8 .

Shrnut´ı : Na kompletn´ım trhu bez arbitráˇze existuje právˇe jedna rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıra a vice versa.

Pozn´ amky • Bohuˇzel, v námi uvaˇzovan´ ych modelech se velice ˇcasto dostaneme k práci s nekompletn´ım trhem. Za této situace existuje v´ıce rizikovˇe neutráln´ıch mˇer a je nutné nˇejak´ ym zp˚ usobem zvolit konkrétn´ı rizikovˇe neutráln´ı m´ıru Q. To se obvykle ˇreˇs´ı volbou rizikové pˇriráˇzky odpov´ıdaj´ıc´ı netrˇzn´ım” rizik˚ um. ” 8

Trh je kompletn´ı, pokud je moˇzné pro vˇsechny v´ yplatn´ı funkce sestavit replikaˇcn´ı portfolio.

20

• Pro u ´plnost dodejme, ˇze jako alternativa k v´ ypoˇct˚ um pˇri rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıˇre se pouˇz´ıvá i pˇr´ıstup pomoc´ı stochastických deflátor˚ u, coˇz nen´ı nic jiného, neˇz pˇrechod k v´ ypoˇct˚ um za pˇrirozené pravdˇepodobnosti pomoc´ı Radon–Nikodymovy derivace pravdˇepodobnostn´ı m´ıry Q vzhledem k P. Je tedy moˇzné ˇr´ıct, ˇze pro existenci a jednoznaˇcnost deflátoru plat´ı stejné podm´ınky jako pro rizikovˇe neutráln´ı m´ıru a ˇze ke kaˇzdému deflátoru existuje rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıra a naopak. Deflátor je tedy moˇzno chápat jako technick´ y nástroj k v´ ypoˇct˚ um za pˇrirozené pravdˇepodobnosti.

2.5

Probl´ emy s aplikac´ı na pojistn´ y trh

Je mnoho d˚ uvod˚ u, proˇc v´ yvoj problematiky reálné hodnoty postupuje pomalu. Kromˇe odporu nˇekter´ ych v´ yznamn´ ych pojiˇst’oven k zveˇrejˇ nován´ı informac´ı o svém obchodu jsou hlavn´ı pˇr´ıˇciny patrnˇe následuj´ıc´ı: • velká r˚ uznorodost pojistn´ ych smluv, • asymetrická pozice pojistn´ıka vzhledem k pojistiteli, která v podstatˇe neumoˇzn ˇuje pouˇz´ıt pˇredpoklad bezarbitráˇzn´ıho primárn´ıho trhu pojistn´ ych smluv, • problematická volba pˇriráˇzek za riziko u aktiv neobchodovateln´ ych na finanˇcn´ıch trz´ıch. Právˇe vzhledem k velké r˚ uznorodosti pojistn´ ych smluv se zdá pravdˇepodobné, ˇze jednotná metoda pro v´ ypoˇcet reálné hodnoty ani nebude stanovena a jednotlivá odvˇetv´ı budou pouˇz´ıvat odliˇsné modely. Jednou z nejproblémovˇejˇs´ıch oblast´ı pˇri ohodnocován´ı reálnou hodnotou jsou smlouvy tradiˇcn´ıho ˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı. Jejich chován´ı totiˇz nen´ı, narozd´ıl od vˇetˇsiny finanˇcn´ıch produkt˚ u, explicitnˇe vázáno na nˇejaké trˇzn´ı ukazatele nebo na v´ yvoj nˇejakého jasnˇe definovaného pod´ılového ˇci investiˇcn´ıho fondu. Také je do jisté m´ıry ovlivnˇeno zvolenou u ´ˇcetn´ı metodou a rozhodnut´ım managementu. Rozhodován´ı managementu ovlivˇ nuje i pˇripisovan´ y pod´ıl na hospodáˇrském v´ ysledku u smluv penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı. Avˇsak ne tak v´ yrazn´ ym zp˚ usobem jako u tradiˇcn´ıho ˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı (napˇr. systémy odloˇzen´ ych pod´ıl˚ u na zisku), coˇz je dáno hlavnˇe 9 t´ım, ˇze pravidla pro rozdˇelován´ı zisku jsou u penzijn´ıch fond˚ u pomˇernˇe striktnˇe nastavena zákonem. Penzijn´ı fondy se tak doposud pˇri rozdˇelován´ı zisku s mal´ ymi odchylkami vˇetˇsinou ˇr´ıd´ı krajn´ımi mezemi dan´ ymi zákonem – 5 % zisku jde do 9

Bl´ıˇze je o rozdˇelován´ı zisku v penzijn´ıch fondech pojednáno v kapitole 1.2.

21

rezervn´ıho fondu, 10 % se vyplác´ı na dividendách a zbyl´ ych 85 % se pˇrip´ıˇse u ´ˇcastn´ık˚ um. Pˇri ohodnocován´ı finanˇcn´ıch aktiv a závazk˚ u se obvykle vycház´ı z pˇredpokladu ekonomické racionality obou stran – pˇredpokládá se, ˇze pˇri rozhodován´ı zvol´ı kterákoliv strana pro ni v tu chv´ıli nejv´ yhodnˇejˇs´ı variantu z hlediska souˇcasné trˇzn´ı hodnoty souvisej´ıc´ıch tok˚ u plateb. Tento pˇredpoklad vˇsak zdaleka neplat´ı pro primárn´ı trh pojistn´ ych smluv. Pojistn´ıci se neˇr´ıd´ı trˇzn´ı hodnotou, ale vlastn´ı uˇzitkovou funkc´ı, která nadhodnocuje rizika souvisej´ıc´ı s u ´mrt´ım, resp. pˇreˇzit´ım pojiˇstˇené osoby. Nav´ıc je obvyklé, ˇze pojistn´ık ˇcasto ani nezná d˚ uleˇzité informace o povaze pˇr´ısluˇsného pojistného produktu, natoˇz aby byl schopen jejich porovnán´ı. Abychom nalezli trˇzn´ı cenu, je tˇreba vyj´ıt z pˇredstavy, ˇze hledáme hodnotu, za kterou pˇrevezme tˇret´ı strana od pojistitele vˇsechny budouc´ı závazky a pohledávky vypl´ yvaj´ıc´ı z oceˇ novaného svazku pojistn´ ych smluv. Souˇcasnˇe poˇzadujeme také splnˇen´ı vˇsech podm´ınek definice reálné hodnoty z koncepˇcn´ıho rámce IASC [10]. Takové transakce jsou vˇsak v reálu pomˇernˇe neobvyklé. Nemáme tedy vod´ıtko pro stanoven´ı cen rizika odpov´ıdaj´ıc´ı rizik˚ um neobchodovan´ ym na veˇrejn´ ych trz´ıch. Tato pˇrekáˇzka je nˇekdy pˇrekonávána stanoven´ım pˇriráˇzek pomoc´ı doporuˇcen´ ych ˇ hodnot. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt postup Ceské spoleˇcnosti aktuár˚ u, která stanovila ˇ doporuˇcené minimáln´ı rizikové pˇriráˇzky v Odborné smˇernici ˇc. 3 (CSpA [4]).

22

Kapitola 3 Model penzijn´ıho fondu V následuj´ıc´ı kapitole se budeme vˇenovat modelu penzijn´ıho fondu vytvoˇreného pro u ´ˇcely v´ ypoˇctu reálné hodnoty jeho závazk˚ u. Uvedeme z ˇceho jsme pˇri modelován´ı vycházeli, jak´ ym zp˚ usobem modelován´ı prob´ıhalo a na závˇer kapitoly porovnáme a zhodnot´ıme dosaˇzené v´ ysledky. Pˇri konstrukci modelu budeme vycházet z konceptu rizikovˇe neutráln´ıch v´ ypoˇct˚ u popsaného v kapitole 2.4. Budeme pˇredpokládat existenci rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıry pouˇz´ıvané pro ocenˇen´ı závazk˚ u obˇema stranami transakce z definice reálné hodnoty podle koncepˇcn´ıho rámce IASC [10]. Dále pˇredpokládáme, ˇze pˇreb´ıraj´ıc´ı strana pˇrevezme jak portfolio aktiv kryj´ıc´ı prostˇredky ze smluv penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı, tak i pravidla pro rozdˇelován´ı zisku, tzn. ˇze nedocház´ı k jakémukoliv poruˇsen´ı kontinuity systému dˇelen´ı zisku. Oceˇ nujeme tedy závazky vˇcetnˇe budouc´ıch oprávnˇenˇe oˇcekávan´ ych pod´ıl˚ u na zisku bez ohledu na pˇr´ıpadnou existenci právn´ıho nároku na tyto pod´ıly – tj. vycház´ıme z konceptu konstruktivn´ıho závazku 1 . Naˇs´ım c´ılem je navrhnout takov´ y model, aby byl dostateˇcnˇe jednoduch´ y a pouˇziteln´ y v praxi, ale aby souˇcasnˇe vystihoval hlavn´ı závislosti chován´ı smluv penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı, potaˇzmo chován´ı penzijn´ıho fondu. Stochasticky tedy nebudeme modelovat tzv. specifické netrˇzn´ı faktory a omez´ıme se pouze na modelován´ı v´ yvoje finanˇcn´ıch trh˚ u. To znamená, ˇze nebudeme modelovat ty faktory, které jsou specifické pro obˇe smluvn´ı strany, speciálnˇe pak pro pojistn´ıka (jako jsou napˇr´ıklad u ´mrt´ı ˇci pˇreˇzit´ı pojiˇstˇeného, jeho aktuáln´ı finanˇcn´ı situace, zdravotn´ı 1

Konstruktivn´ı závazek (constructive obligation) vzniká (dle IAS 37) tehdy, kdyˇz minul´ ymi ˇciny, ohláˇsenou politikou nebo jin´ ym specifick´ ym v´ ykazem dala spoleˇcnost najevo, ˇze bude akceptovat urˇcitou zodpovˇednost, a v d˚ usledku toho vzbudila oprávnˇená oˇcekáván´ı ostatn´ıch stran, ˇze této zodpovˇednosti dostoj´ı.

23

stav apod.). Takov´ yto pˇr´ıstup odpov´ıdá pˇr´ıstupu penzijn´ıho fondu, kter´ y obvykle po uzavˇren´ı smlouvy nesleduje v´ yvoj zdravotn´ıho stavu pojistn´ıka ˇci jeho finanˇcn´ı situaci. Oceˇ nován´ı v závislosti na faktorech specifick´ ych pro pojistn´ıky by vedlo k velmi komplikovan´ ym v´ ypoˇct˚ um a souˇcasnˇe by vyˇzadovalo shromáˇzdˇen´ı velkého mnoˇzstv´ı dat o situaci pojistn´ık˚ u.

3.1

Finanˇ cn´ı model

ˇ [1] jsou dluhopisy (tvoˇr´ı Hlavn´ı sloˇzky portfoli´ı penzijn´ıch fond˚ u podle APF CR zdaleka nejvˇetˇs´ı pod´ıl – kolem 75 %), pokladniˇcn´ı poukázky, pen´ıze na u ´ˇctech a akcie. Zamˇeˇr´ıme se tedy na modelován´ı právˇe tˇechto skupin aktiv, pˇriˇcemˇz pokladniˇcn´ı poukázky, jako krátkodobé cenné pap´ıry, zahrneme pro zjednoduˇsen´ı do kategorie pen´ıze na u ´ˇctech.

3.1.1

Modelov´ an´ı u ´ rokov´ ych mˇ er

Pro modelován´ı v´ yvoje u ´rokov´ ych mˇer budeme pouˇz´ıvat modely postavené na dif´ uzn´ıch procesech s normáln´ım rozdˇelen´ım u ´rokové intenzity. Nejprve si zavedeme oznaˇcen´ı nˇekter´ ych modelovan´ ych hodnot • r(t). . . okamˇzitá u ´roková intenzita v ˇcase t, • B(t). . . hodnota bankovn´ıho u ´ˇctu v ˇcase t (tedy hodnota jednotkového vkladu uloˇzeného v ˇcase 0 a u ´roˇceného pomoc´ı okamˇzité u ´rokové intenzity r(t)), která je definována vztahem: ½Z t ¾ B(t) = exp r(s) ds . (3.1) 0

Popisy nˇekter´ ych dif´ uzn´ıch model˚ u okamˇzité u ´rokové intenzity m˚ uˇzeme naj´ıt napˇr. v Mandl [11] nebo v Finfrle [6]. Jako nejvhodnˇejˇs´ı pro naˇse u ´ˇcely jsme zvolili obecn´ y dvoufaktorov´ y model okamˇzité u ´rokové intenzity. Chován´ı v´ ynosové 2 kˇrivky je zde urˇceno dvˇema Uhlenbeck-Ornsteinovy procesy , takˇze se d´ıky vlastnosti navracen´ı se k p˚ uvodn´ı hodnotˇe vyhneme nepˇr´ıjemnˇe divokému chován´ı u ´rokov´ ych sazeb pˇri dlouh´ ych horizontech (speciálnˇe marginalizujeme moˇznost 2

Uhlenbeck-Ornstein˚ uv proces lze charakterizovat jako Brown˚ uv pohyb s dostˇredivou tendenc´ı. Oznaˇc´ıme-li X(t) velikost v´ ychylky z rovnováˇzné polohy, lze potom zapsat chován´ı procesu X(t) pomoc´ı diferenciál˚ u jako dX(t) = −a X(t) dt + dW (t), a ≥ 0, kde a urˇcuje rychlost navracen´ı se do rovnováˇzné polohy.

24

záporn´ ych u ´rokov´ ych sazeb). Tento model také umoˇzn ˇuje vˇerohodnˇejˇs´ı modelován´ı cen dluhopis˚ u neˇz nˇekteré jednoduˇsˇs´ı modely (napˇr. Hull-White model). K posun˚ um totiˇz docház´ı po celé délce v´ ynosové kˇrivky a jsme tedy schopni modelovat i dlouhodobé obligace, coˇz je v pˇr´ıpadˇe penzijn´ıho fondu rozhodnˇe d˚ uleˇzitá schopnost, a také umoˇzn ˇuje pˇresnˇejˇs´ı kalibraci podle strukrury volatilit imlikované trhem u ´rokov´ ych derivát˚ u. Hodnota okamˇzité u ´rokové intenzity r(t) je v tomto modelu dána souˇctem r(t) = φ(t) + x(t) + y(t),

(3.2)

kde φ(t) je funkce zajiˇst’uj´ıc´ı kalibraci modelu vzhledem k v´ ynosové kˇrivce v ˇcase 0 a x(t) a y(t) jsou stochastické procesy s nulovou hodnotou na poˇca´tku a se stochastick´ ymi diferenciály f1 (t), dx(t) = −a1 x(t) dt + σ1 dW f2 (t), dy(t) = −a2 y(t) dt + σ2 dW f1 (t) a W f2 (t) jsou Wienerovy procesy kde a1 , a2 , σ1 , σ2 jsou kladné konstanty a W pˇri rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıˇre Q s korelac´ı danou vztahem f1 (t) dW f2 (t) = ρ dt, dW kde ρ je konstanta z intervalu [-1,1]. Tento model nám umoˇzn´ı modelovat v´ yvoj cen bezrizikov´ ych dluhopis˚ u s r˚ uznou dobou do splatnosti a také v´ ynos z hotovosti na bˇeˇzném u ´ˇctu. K tomu, abychom dokázali modelovat v´ ynos vˇsech námi uvaˇzovan´ ych sloˇzek portfolia aktiv penzijn´ıho fondu, uˇz tedy chyb´ı pouze model v´ yvoje cen akci´ı.

3.1.2

Modelov´ an´ı ceny akci´ı

V této ˇcásti uvedeme model pouˇzit´ y pro modelován´ı v´ ynos˚ u z akci´ı. Budeme pˇredpokládat, ˇze v´ ynos z akci´ı je dán zmˇenou ceny indexu reprezentuj´ıc´ıho tuto skupinu aktiv. Opˇet vyjdeme z pˇredstavy logaritmicko–normáln´ıho trhu. V´ yvoj ceny akcie je dán stochastickou diferenciáln´ı rovnic´ı ³ ´ e dS(t) = S(t) r(t) dt + ω dZ(t) , e kde ω je volatilita nadv´ ynosu oproti bankovn´ımu u ´ˇctu a Z(t) je Wiener˚ uv proces pˇri rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıˇre Q. Dále je moˇzné uvaˇzovat, ˇze v´ ynosy z akci´ı jsou závislé na v´ yvoji u ´rokové m´ıry. Potom je nutné zavést korelaci s v´ yvojem u ´rokové intenzity danou vztahem e dW fi (t) = ρî dt , dZ(t)

25

(3.3)

fi (t), i = 1, 2 jsou v´ kde W yˇse zavedené procesy ˇr´ıd´ıc´ı v´ yvoj u ´rokové intenzity. Nyn´ı máme zavedeny vˇsechny stochastické procesy potˇrebné pro modelován´ı aktiv penzijn´ıho fondu.

3.2

V´ yvoj penzijn´ıho fondu

Modelován´ı v´ yvoje penzijn´ıho fondu je specifické t´ım, ˇze od sebe nelze oddˇelit modelován´ı jednotliv´ ych smluv, jako je to moˇzné napˇr´ıklad u ˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı. To je dáno t´ım, ˇze zhodnocen´ı se u ´ˇcastn´ık˚ um pˇripisuje jako ˇca´st z celkového zisku fondu na konci roku. Budeme se tedy zab´ yvat v´ ypoˇctem hodnoty závazku penzijn´ıho fondu jako celku.

3.2.1

Demografie

U smluv ve spoˇr´ıc´ı fázi uvaˇzujeme dva zp˚ usoby ukonˇcen´ı: odkup na ˇza´dost u ´ˇcastn´ıka a vyplacen´ı jednorázového vyrovnán´ı resp. ˇzádost o v´ yplatu penze. Oba dekrementy závis´ı na dobˇe trván´ı smlouvy a na vˇeku u ´ˇcastn´ıka. u z d˚ uvodu 1) Odkupy – do této kategorie zahrneme jak vyplacen´ı prostˇredk˚ v´ ypovˇedi na ˇzádost u ´ˇcastn´ıka, tak i pˇr´ıpadné odchody u ´ˇcastn´ık˚ u do jin´ ych penzijn´ıch fond˚ u ˇci u ´mrt´ı u ´ˇcastn´ıka. Toto zjednoduˇsen´ı si m˚ uˇzeme dovolit, protoˇze z hlediska penzijn´ıho fondu maj´ı zm´ınˇené pˇr´ıpady totoˇzn´ yu ´ˇcinek – dojde k vyplacen´ı vˇsech prostˇredk˚ u veden´ ych ve prospˇech u ´ˇcastn´ıka z penzijn´ıho fondu a nepotˇrebujeme rozliˇsovat, zda dostane vˇsechny prostˇredky u ´ˇcastn´ık ˇci zda se napˇr´ıklad státn´ı pˇr´ıspˇevky vrac´ı Ministerstvu financ´ı. Pˇr´ıpadné nevrácen´ı v´ ynosu z hospodaˇren´ı se státn´ımi pˇr´ıspˇevky zanedbáme. 2) Jednorázové vyrovnán´ı – zde jsou zahrnuty ˇzádosti o v´ yplatu jednorázového vyrovnán´ı, resp. ˇza´dosti o zahájen´ı v´ yplaty starobn´ı penze. Pokud totiˇz u ´ˇcastn´ıkovi vznikne nárok na jednorázové vyrovnán´ı, m˚ uˇze poˇza´dat bud’ o jednorázovou v´ yplatu vˇsech prostˇredk˚ u veden´ ych v jeho prospˇech, nebo o v´ yplatu starobn´ı penze. Obecnˇe pˇredpokládáme, ˇze odkupy lze provést jen do okamˇziku, kdy vznikne nárok na jednorázové vyrovnán´ı. Budeme také uvaˇzovat pouze penzi starobn´ı (pro jednoduchost jen doˇzivotn´ı typ v´ yplaty), ostatn´ı typy penz´ı zanedbáme (v´ ysluhová, invalidn´ı a poz˚ ustalostn´ı), nebot’ na chod penzijn´ıho fondu nemaj´ı takov´ y vliv jako penze starobn´ı.

26

U smluv ve fázi v´ yplaty starobn´ı penze nastane ukonˇcen´ı v pˇr´ıpadˇe u ´mrt´ı u ´ˇcastn´ıka.

3.2.2

V´ yvoj aktiv

Jak jsme uˇz zm´ınili v u ´vodu kapitoly 3.1, budeme pˇredpokládat, ˇze portfolio aktiv penzijn´ıho fondu obsahuje dluhopisy, pen´ıze na beˇzném u ´ˇctu a akcie. Na zaˇca´tku modelován´ı zvol´ıme jejich pod´ıl v portfoliu a po celou dobu v´ yvoje fondu ho drˇz´ıme konstantn´ı. To pˇribliˇznˇe odpov´ıdá souˇcasnému chován´ı penzijn´ıch fond˚ u. Dluhopisy, které jsou v portfoliu penzijn´ıho fondu na poˇca´tku modelován´ı drˇz´ıme do splatnosti, a zhodnocen´ı je dáno jejich v´ ynosem do splatnosti. Dále pro zjednoduˇsen´ı budeme pˇredpokládat, ˇze prostˇredky novˇe investované do dluhopis˚ u bˇehem v´ yvoje penzijn´ıho fondu se investuj´ı jen do pˇetilet´ ych bezrizikov´ ych dluhopis˚ u a ty jsou drˇzeny do splatnosti. Modelován´ı dluhopisové ˇcásti portfolia tak odpov´ıdá u ´ˇcetn´ı amortizaci dluhopis˚ u metodou efektivn´ı u ´rokové m´ıry. V´ ynos z akci´ı se realizuje kaˇzd´ y rok (tzn. i pˇri poklesu cen akci´ı – m˚ uˇze se tedy stát, ˇze v´ ynos bude záporn´ y). Penzijn´ı fondy o akci´ıch u ´ˇctuj´ı jen v pˇr´ıpadˇe, ˇze jejich trˇzn´ı hodnota klesne pod nákupn´ı cenu. Pak se za´ uˇctuje v´ ysledkovˇe ztráta. Jinak se akcie drˇz´ı v jejich nákupn´ı hodnotˇe. Chován´ı penzijn´ıch fond˚ u v praxi tedy m˚ uˇze b´ yt takové, ˇze prodej akci´ı se realizuje v pˇr´ıpadˇe, ˇze trˇzn´ı hodnota akci´ı je vyˇsˇs´ı neˇz nákupn´ı a souˇcasnˇe hroz´ı penzijn´ımu fondu ztráta. Akcie v takovém pˇr´ıpadˇe vystupuj´ı v roli, ˇreknˇeme, vyrovnáván´ı ztrát. Náˇs zp˚ usob nakládán´ı s akciemi tedy neodpov´ıdá realitˇe, ale implementovat do modelu nˇejaké manaˇzerské pravidlo v´ yˇse uvedeného typu by nebylo u ´plnˇe jednoduché.

3.2.3

V´ yvoj pasiv

Prostˇredky u ´ˇcastn´ık˚ u ve spoˇr´ıc´ı fázi evidujeme ve fondu klienta (pˇrijaté pojistné a v´ ynosy z nˇej) a fondu státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u (pˇrijaté státn´ı pˇr´ıspˇevky a v´ ynosy z nich). Státn´ı pˇr´ıspˇevky tvoˇr´ı pˇredem dan´ y pomˇer z placeného pojistného (liˇs´ıc´ı se smlouvu od smlouvy). Prostˇredky u ´ˇcastn´ık˚ u ve fázi v´ yplaty penze jsou vedeny ve fondu penz´ı. Ten je kaˇzdoroˇcnˇe upravován tak, aby v nˇem byly dostateˇcné prostˇredky na v´ yplatu penz´ı, tj. aby jeho v´ yˇse odpov´ıdala rezervˇe vypoˇctené podle aktuársk´ ych pravidel k Vx

= P (k) a ¨m x+k ,

27

kde k Vx je v´ yˇse rezervy na v´ yplatu penz´ı, P (k) je aktuáln´ı v´ yˇse vyplácené penze a a ¨m je souˇ c asn´ a hodnota pˇ r edlh˚ u tn´ ıho jednotkov´ e ho d˚ u chodu vypláceného m-krát x+k roˇcnˇe osobˇe ve vˇeku x + k. Velikost doˇzivotn´ı starobn´ı penze v okamˇziku poˇza´dán´ı o v´ yplatu d˚ uchodu vypoˇcteme zp˚ usobem znám´ ym ze ˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı P =

OP , a ¨m x

kde OP je objem prostˇredk˚ u shromáˇzdˇen´ ych na u ´ˇctu u ´ˇcastn´ıka bˇehem spoˇr´ıc´ı fáze, tj. prostˇredky z fondu klienta a z fondu státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u. V´ yˇse penze nem˚ uˇze b´ yt bˇehem trván´ı v´ yplaty sn´ıˇzena, avˇsak m˚ uˇze b´ yt valorizována. Jej´ı v´ yˇse je potom P (k) = valk P, kde v´ yˇse valorizaˇcn´ıho koeficientu valk je spoˇc´ıtána na základˇe pod´ılu ze zisku urˇceného u ´ˇcastn´ık˚ um pob´ıraj´ıc´ım d˚ uchod. V´ıce o zp˚ usobu dˇelen´ı zisku (a o stanoven´ı valorizaˇcn´ıho koeficientu) je pojednáno n´ıˇze. Základn´ı jmˇen´ı spoleˇcnˇe s rezervn´ım fondem (a pˇr´ıpadné dalˇs´ı prostˇredky, které nelze modelovat s jednotliv´ ymi smlouvami – napˇr´ıklad prostˇredky na neaktivn´ıch ˇci stornovan´ ych smlouvách) modelujeme oddˇelenˇe od prostˇredk˚ uu ´ˇcastn´ık˚ u.

3.2.4

Dˇ elen´ı zisku

K rozdˇelován´ı zisku docház´ı vˇzdy na konci kalendáˇrn´ıho roku. Základn´ı pravidla jsou pomˇernˇe pˇresnˇe stanovena zákonem (viz kapitola 1.2). V u ´vodu této kapitoly jsme uvedli, ˇze strana pˇreb´ıraj´ıc´ı závazky penzijn´ıho fondu pˇrevezme jak portfolio aktiv kryj´ıc´ı prostˇredky ze smluv penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı, tak i pravidla pro rozdˇelován´ı zisku, tzn. ˇze nedocház´ı k jakémukoliv poruˇsen´ı kontinuity systému dˇelen´ı zisku. Budeme tedy pˇredpokládat, ˇze zisk penzijn´ıho fondu se bude dˇelit po celou dobu v´ yvoje následuj´ıc´ım zp˚ usobem - 85 % ve prospˇech u ´ˇcastn´ık˚ u, - 10 % na v´ yplatu dividend, - 5 % do rezervn´ıho fondu. Co uˇz vˇsak zákon nestanov´ı je, jak se má rozdˇelit onˇech 85 % zisku mezi u ´ˇcastn´ıky ve spoˇr´ıc´ı fázi a ty, kteˇr´ı pob´ıraj´ı penzi. Rozhodli jsme se, ˇze v prvé ˇradˇe se z tˇechto

28

prostˇredk˚ u bude dotovat fond penz´ı (dotace na pod´ umrtnost nebo technickou u ´rokovou m´ıru v pˇr´ıpadˇe pˇr´ısluˇsn´ ych garanc´ı v penzijn´ım plánu). A aˇz podle toho, zda nˇejaké prostˇredky z˚ ustanou, se zbytek zisku rozdˇel´ı mezi plat´ıc´ı u ´ˇcastn´ıky a na valorizaci vyplácen´ ych penz´ı (a to na základˇe pomˇeru objem˚ u prostˇredk˚ u evidovan´ ych ve prospˇech obou skupin u ´ˇcastn´ık˚ u). Valorizaˇcn´ı koeficient valk v k-tém roce v´ yvoje penzijn´ıho fondu se urˇc´ı jako valk =

ˇca´st zisku pˇripadaj´ıc´ı na valorizaci . objem prostˇredk˚ u evidovan´ ych ve prospˇech penzist˚ u

Stanovili jsme tedy následuj´ıc´ı pravidla dˇelen´ı zisku (pˇriˇcemˇz v prvé ˇradˇe závis´ı na tom, zda je hospodáˇrsk´ y v´ ysledek na konci roku záporn´ y nebo kladn´ y): • záporn´ y hospodáˇrsk´ y v´ ysledek → sn´ıˇz´ıme rezervn´ı fond (popˇr. základn´ı jmˇen´ı) o záporn´ y hospodáˇrsk´ y v´ ysledek a o pˇr´ıpadnou dotaci do fondu penz´ı, y hospodáˇrsk´ y v´ ysledek • kladn´ → vyplat´ı se dividendy jako 10 % zisku, → zadotujeme rezervn´ı fond ve v´ yˇsi 5 % zisku, ´ˇcastn´ık˚ um → ze zisku jdouc´ıho u 1) se prioritnˇe dotuje fond penz´ı (pokud je to tˇreba) → pokud prostˇredky nestaˇc´ı, pak jde zbytek k t´ıˇzi rezervn´ıho fondu popˇr. základn´ıho jmˇen´ı, 2) pokud nˇejaká ˇca´st zisku z˚ ustala, pak se tyto prostˇredky rozdˇel´ı mezi pˇr´ıjemce penz´ı a plat´ıc´ı u ´ˇcastn´ıky zp˚ usobem popsan´ ym v´ yˇse. Zp˚ usob˚ u, jak nastavit dˇelen´ı zisku existuje urˇcitˇe mnoho. Flexibilnˇejˇs´ı variantou by napˇr´ıklad mohlo b´ yt stanovován´ı v´ yˇse dividend resp. pˇr´ıpisu do rezervn´ıho fondu kaˇzdoroˇcnˇe podle aktuáln´ı situace – tj. pokud by napˇr´ıklad hrozily vysoké dotace do fondu penz´ı, tak nerozdˇelovat tolik na dividendách, ale sp´ıˇse zv´ yˇsit dotaci do rezervn´ıho fondu. Implementace takov´ ych pravidel do programu by vˇsak uˇz byla znaˇcnˇe obt´ıˇznˇejˇs´ı. Také bylo potˇreba rozhodnout, co dˇelat v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz hodnota základn´ıho jmˇen´ı klesne pod zákonem stanovenou doln´ı hranici 50 mil. Kˇc. Tuto situaci jsme se rozhodli vyˇreˇsit tak, ˇze v takovém pˇr´ıpadˇe akcionáˇr poskytne penzijn´ımu fondu kapit´ alovou dotaci aˇz do v´ yˇse potˇrebn´ ych 50 mil.

29

3.3

Re´ aln´ a hodnota z´ avazk˚ u

Na tomto m´ıstˇe zformulujeme model pro v´ ypoˇcet reálné hodnoty závazku z penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı. S pˇrihlédnut´ım k tomu, ˇze zp˚ usob v´ ypoˇctu reálné hodnoty stále nen´ı mezinárodn´ımi u ´ˇcetn´ımi standardy pˇresnˇe stanoven, definovali jsme reálnou hodnotu závazku z penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı jako souˇcet oˇcekávan´ ych souˇcasn´ ych hodnot souvisej´ıc´ıch finanˇcn´ıch tok˚ u. Necht’ (Ω, F, P) je pravdˇepodobnostn´ı prostor s filtrac´ı F = {Ft , t ≥ 0}. Pro jednoduchost uvaˇzujeme diskrétn´ı veliˇciny s hodnotami v jednotliv´ ych letech. Vzhledem k tomu, ˇze budeme poˇc´ıtat reálnou hodnotu závazk˚ u, budou m´ıt toky z penzijn´ıho fondu kladn´ e znaménko a toky do penzijn´ıho fondu znaménko z´ aporn´ e. Zavedeme si oznaˇcen´ı sledovan´ ych tok˚ u: • P enzOut(k). . . v´ yplaty plnˇen´ı – starobn´ı penze, • OstOut(k). . . v´ yplaty ostatn´ıch plnˇen´ı – jednorázové vyrovnán´ı a odbytné, • N aklSp(k). . . správn´ı náklady, • N aklAkv(k). . . akviziˇcn´ı náklady, • P ojIn(k). . . hodnota zaplaceného pojistného (záporn´ y tok), • StatIn(k). . . v´ yˇse pˇrijat´ ych státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u (záporn´ y tok), kde k znaˇc´ı hodnotu veliˇciny za k-t´ y rok v´ ypoˇctu. Souˇcasná hodnota penˇeˇzn´ıch tok˚ u je pak dána vztahem n ³ X P resentV alue = P enzOut(k) + OstOut(k) + N aklSp(k) + k=0

´ + N aklAkv(k) + P ojInk(k) + StatInk(k) B −1 (k) ,

kde B(k) je hodnota bankovn´ıho u ´ˇctu definovaná vztahem (3.1) a n je délka uvaˇzovaného obdob´ı. Za pˇredpokladu existence rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıry Q ekvivalentn´ı s P definujeme reálnou hodnotu závazku z penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı jako stˇredn´ı souˇcasnou hodnotu pˇri Q: F airV alue = EQ (P resentV alue).

30

3.4

V´ ysledky modelov´ an´ı

Nyn´ı pop´ıˇseme konkrétn´ı realizaci v´ yˇse popsaného modelu. Ukáˇzeme, jak jsme nastavili vstupn´ı parametry modelu a jaké jsme zvolili varianty vstupn´ıch veliˇcin, abychom mohli porovnat, jak´ y vliv budou m´ıt na velikost závazku penzijn´ıho fondu. Nakonec zhodnot´ıme dosaˇzené v´ ysledky.

3.4.1

Z´ akladn´ı nastaven´ı a vstupy

Modelujeme imaginárn´ı penzijn´ı fond, jehoˇz hodnota pasiv (resp. aktiv) na poˇcátku ˇcin´ı 800 mil. Kˇc. Z toho 50 mil. tvoˇr´ı základn´ı jmˇen´ı, v rezervn´ım fondu je vloˇzeno 10 mil., na neaktivn´ıch ˇci stornovan´ ych smlouvách je 30 mil. prostˇredk˚ u a zbylé prostˇredky (710 mil. Kˇc) pˇripadaj´ı na modelované smlouvy penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı (zm´ınˇeno dále). Skladba portfolia aktiv penzijn´ıho fondu v základn´ı variantˇe je následuj´ıc´ı: pen´ıze na beˇzném u ´ˇctu tvoˇr´ı 15 % portfolia (tj. 120 mil. Kˇc) a dluhopisy tvoˇr´ı 85 % portfolia (680 mil. Kˇc). Správn´ı náklady jsme stanovili na 50 Kˇc za smlouvu a mˇes´ıc, inflace správn´ıch náklad˚ u je 3 % roˇcnˇe. Náklady na provize jsou stanoveny jako pod´ıl z roˇcn´ıho pojistného v závislosti na stáˇr´ı smlouvy. Uvaˇzujeme je pouze v prvn´ıch dvou letech trván´ı smlouvy – v prvn´ım roce tvoˇr´ı 10 % roˇcn´ıho pojistného, v druhém pak 5 %. V´ yvoj penzijn´ıho fondu modelujeme vˇzdy na 60 let dopˇredu. Tuto dobu jsme zvolili s ohledem na to, aby se dostateˇcnˇe ukázal vliv d˚ uchod˚ u. Nov´ y obchod v pr˚ ubˇehu modelován´ı neuvaˇzujeme – naˇs´ım u ´kolem je totiˇz odhadnout velikost souˇcasn´ ych závazk˚ u penzijn´ıho fondu.

Datab´ aze smluv Modelová databáze obsahuje 20 000 smluv a je setˇr´ıdˇená podle roku vstupu do penzijn´ıho fondu (1995 aˇz 2005), vˇeku u ´ˇcastn´ıka pˇri vstupu (v kaˇzdém roce pˇredpokládáme deset generac´ı u ´ˇcastn´ık˚ u ve vˇec´ıch 21, 26, 30, 36, 41, 47, 52, 58, 62 a 65 let; zvoleny tak, aby byly pˇribliˇznˇe pokryty vˇsechny vˇeky d˚ uleˇzité pro modelován´ı penzijn´ıho fondu) a typu penzijn´ıho plánu. Uvaˇzujeme dva typy penzijn´ıch plán˚ u: ´rokové • ST – tento typ penzijn´ıho plánu v sobˇe obsahuje garance technické u ´ ´ m´ıry (2 %) (dále TUM”) a u ´mrtnostn´ıch tabulek (dále UT”) pro v´ ypoˇcet ” ” 31

penz´ı. Pro uplatnˇen´ı opce na v´ yplatu starobn´ı penze, resp. v´ yplatu jednorázového vyrovnán´ı, plat´ı tzv. pravidlo ˇsedes´ at, coˇz znamená, ˇze minimáln´ı doba placen´ı pˇr´ıspˇevk˚ u je 60 mˇes´ıc˚ u a minimáln´ı vˇek ˇcin´ı 60 let. To odpov´ıdá souˇcasnému znˇen´ı zákona. ´ a TUM. ´ • TT – tento penzijn´ı plán je bez garanc´ı UT Technická u ´roková m´ıra se stanov´ı na základˇe uváˇzen´ı penzijn´ıho fondu aˇz v okamˇziku v´ ypoˇctu penze a do u ´mrtnostn´ıch tabulek lze zapoˇc´ıtat pˇr´ıpadnou pod´ umrtnost kmene. Také pro tento penzijn´ı plán plat´ı pravidlo ˇsedesát.

Odchody z penzijn´ıho fondu Pro odkupy jsme zvolili rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı, které je definované tabulkou 3.1. V pr˚ ubˇehu prvn´ıho roku stornuje ménˇe u ´ˇcastn´ık˚ u, pak mnoˇzstv´ı odkup˚ u stáˇr´ı smlouvy pst odkupu stáˇr´ı smlouvy pst odkupu

0 8.00 % 6 7.50 %

1 9.00 % 7 7.50 %

2 9.00 % 8 7.50 %

3 9.00 % 9 7.00 %

4 9.00 % 10 6.00 %

5 8.00 % ... 6.00 %

Tabulka 3.1: Pravdˇepodobnosti odkup˚ u stoupne na 9 %, aˇz nakonec od pátého roku postupnˇe klesá na 6 %, kter´ ymi je vektor prodlouˇzen do doby, neˇz vznikne nárok na jednorázové vyrovnán´ı resp. starobn´ı penzi (ten se liˇs´ı podle typu penzijn´ıho plánu). Po vzniku tohoto nároku se odchody (resp. u penze je to vlastnˇe jen zmˇena stavu – u ´ˇcastn´ık nadále z˚ ustává v penzijn´ım fondu, ale uˇz neplat´ı ˇza´dné pˇr´ıspˇevky, pouze pob´ırá penzi) ˇr´ıd´ı vektorem dan´ ym tabulkou 3.2. Ten vyjadˇruje pod´ıl u ´ˇcastn´ık˚ u, kteˇr´ı v daném roce od rok od vzniku nároku pst uplatnˇen´ı opce

0 45 %

1 20 %

2 12 %

... ...

9 12 %

10 100 %

Tabulka 3.2: Pravdˇepodobnosti uplatnˇen´ı opce na jednorázové vyrovnán´ı resp. v´ yplatu starobn´ı penze okamˇziku vzniku nároku budou cht´ıt uplatnit jednu z opc´ı – bud’ jednorázov´ y v´ ybˇer penˇez nebo poˇza´daj´ı o v´ yplatu starobn´ı penze. Odpov´ıdá tomu, ˇze nejv´ıce u ´ˇcastn´ık˚ u uplatn´ı opci hned v tom roce, kdy na ni vznikne nárok, a dále je pod´ıl uˇz pˇribliˇznˇe rovnomˇern´ y. Pˇredpokládáme, ˇze vˇsichni u ´ˇcastn´ıci vyuˇzij´ı jednu z tˇechto opc´ı nejpozdˇeji do jedenáctého roku od okamˇziku vzniku nároku.

32

D˚ uchody K v´ ypoˇctu veliˇcin souvisej´ıc´ıch s penzemi (napˇr. v´ yˇse penze, rezerva na penze) potˇrebujeme znát pˇr´ısluˇsné u ´mrtnostn´ı tabulky, technickou u ´rokovou m´ıru, procento u ´ˇcastn´ık˚ u berouc´ıch si penzi, frekvenci vyplácen´ı penze a pod´ıl muˇz˚ u a ˇzen mezi u ´ˇcastn´ıky. ´ ´ (penzijn´ı plán • Umrtnostn´ ı tabulky: K v´ ypoˇctu penz´ı s garantovanou UT ˇ ym statistick´ ST) pouˇz´ıváme populaˇcn´ı u ´mrtnostn´ı tabulky vydané Cesk´ ym ´ u ´ˇradem v roce 2004. Pro d˚ uchody s negarantovanou UT (penzijn´ı plán TT) pouˇz´ıváme jako základn´ı vstup tyto tabulky upravené o 40 % pod´ umrtnost (a tˇemi se v obou penzijn´ıch plánech ˇr´ıd´ı i u ´mrtnost penzist˚ u). Pˇredpokládáme, ˇze o doˇzivotn´ı d˚ uchod budou ˇza´dat hlavnˇe lidé, kteˇr´ı budou ˇz´ıt déle neˇz bˇeˇzná populace (lidé, kter´ ym z rodinné anamnézy plyne, ˇze se nedoˇz´ıvaj´ı vysok´ ych vˇek˚ u, zvol´ı sp´ıˇse jednorázové vyrovnán´ı). Z tohoto d˚ uvodu se dá oˇcekávat v´ yrazná antiselekce v kmeni penzist˚ u. Nav´ıc docház´ı k zlepˇsován´ı u ´mrtnosti v ˇcase s t´ım, jak roste kvalita poskytované zdravotnické péˇce i vzhledem k zdravˇejˇs´ımu ˇzivotn´ımu stylu. ´ poˇc´ıtáme s 2 %, v pˇr´ı• Technická u ´roková m´ıra: V pˇr´ıpadˇe garantované TUM ´ stanov´ıme jej´ı hodnotu jako minimum z poloviny padˇe negarantované TUM v´ ynosu pˇetiletého dluhopisu v daném roce a zhodnocen´ı 2 %. • Penze: Poˇcet u ´ˇcastn´ık˚ u, kteˇr´ı poˇzádaj´ı o v´ yplatu doˇzivotn´ı starobn´ı penze (urˇcuje se z tˇech u ´ˇcastn´ık˚ u, kteˇr´ı v daném roce chtˇej´ı uplatnit opci na jednorázové vyrovnán´ı resp. v´ yplatu penze ! – jejich poˇcet je dán v´ yˇse zm´ınˇenou tabulkou 3.2) jsme zadali s ohledem na to, ˇze lidé tuto opci zat´ım pˇr´ıliˇs nevyuˇz´ıvaj´ı: do roku 2010 pˇredpokládáme, ˇze pravdˇepodobnost bude 0,9 %, pak ˇcekáme nár˚ ust o 0,7 % roˇcnˇe do roku 2020 a dále nárust o 0,5 % roˇcnˇe. Následnˇe ukáˇzeme i pesimistiˇctˇejˇs´ı scénáˇre. Prozat´ım existuje málo historick´ ych dat, ze kter´ ych by se dalo pˇri modelován´ı vycházet. Penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı u nás totiˇz existuje teprve nˇeco málo pˇres 10 let. A nejsp´ıˇs by ani nebylo dobré v tomto pˇr´ıpadˇe dˇelat nˇejaké závˇery do budoucna z historick´ ych dat, nebot’ tento vstup ovlivˇ nuje pˇr´ıliˇs mnoho faktor˚ u, které se nedaj´ı dost dobˇre odhadnout. Jedná se napˇr´ıklad o nastaven´ı pˇr´ısluˇsné legislativy, která m˚ uˇze chován´ı u ´ˇcastn´ık˚ u velmi v´ yraznˇe ovlivnit (jmenujme napˇr´ıklad v´ yˇsi státn´ıho pˇr´ıspˇevku ˇci daˇ nové u ´levy). Nav´ıc je ˇ k problematice zabezpemoˇzné oˇcekávat zmˇenu v pˇr´ıstupu obyvatelstva CR ˇcen´ı na stáˇr´ı (s ohledem na budouc´ı zmˇeny v systému státn´ıho d˚ uchodového zabezpeˇcen´ı). uchodu, • Frekvence vyplácen´ı penze: Zvolili jsme mˇes´ıˇcn´ı frekvenci vyplácen´ı d˚ coˇz odpov´ıdá logice starobn´ı penze – má eliminovat dopady ukonˇcen´ı pracovnˇe-ˇcinné ˇca´sti ˇzivota a t´ım ukonˇcen´ı pob´ırán´ı pravidelné mˇes´ıˇcn´ı mzdy.

33

• Zastoupen´ı pohlav´ı: Budeme vycházet z pˇredpokladu, ˇze obˇe pohlav´ı jsou zastoupena stejnˇe, coˇz zhruba odpov´ıdá souˇcasnému stavu na trhu.

Parametry stochastick´ eho modelov´ an´ı Vstupn´ı v´ ynosová kˇrivka byla zadána Nelson-Siegelovou kˇrivkou N S(t) = β0 + (β1 + β2 )

1 − e−t/γ − β2 e−t/γ , t/γ

t ≥ 0,

ˇ jej´ıˇz parametry jsme z´ıskali z kˇrivky bezrizikov´ ych u ´rokov´ ych mˇer vydávané Ceskou spoleˇcnost´ı aktuár˚ u. Jsou uvedeny v tabulce 3.3. Jej´ı pr˚ ubˇeh vid´ıme v grafu 3.1. β0 0.04426075945352

β1 -0.02480043489903

β2 0.00016633575805

γ 1.538138857675

Tabulka 3.3: Parametry vstupn´ı v´ ynosové kˇrivky

4.4%

4.2%

4.0%

3.8%

3.6% r

3.4%

3.2%

3.0%

2.8%

2.6%

2.4%

0

10

20

30 t

40

50

60

Obrázek 3.1: Vstupn´ı forwardová intenzita u ´rokové m´ıry (r-´ uroková intenzita, tpoˇcet let)

Parametry obecného dvoufaktorového modelu okamˇzité u ´rokové intenzity definovaného rovnic´ı (3.2) jsme pˇrevzali z Finfrle [6]. Jsou uvedeny v tabulce 3.4. Nakonec bylo nutné jeˇstˇe stanovit parametry volatility ω a korelace ρî , i = 1, 2, procesu

34

σ1 0.004

a1 σ1 0.030 0.008

a2 0.200

ρ 0.300

Tabulka 3.4: Parametry obecného dvoufaktorového modelu

akci´ı definovaného vztahem (3.3). Korelaˇcn´ı koeficienty mezi procesy ˇr´ıd´ıc´ımi v´ yvoj u ´rokové m´ıry a procesem ˇr´ıd´ıc´ım v´ yvoj ceny akcie zvol´ıme nulové. Jednak z d˚ uvodu zjednoduˇsen´ı v´ ypoˇctu, ale hlavnˇe by se jejich hodnota pomˇernˇe obt´ıˇznˇe stanovovala. Hodnotu parametru ω jsme zvolili podle stejné literatury jako parametry dvoufaktorového obecného modelu okamˇzité u ´rokové intenzity a to ω = 0.15.

3.4.2

Varianty modelu

Pro porovnán´ı vliv˚ u parametr˚ u modelu (konkrétnˇe parametry pod´ umrtnosti, uplatnˇen´ı opce na v´ yplatu starobn´ıho d˚ uchodu a zmˇena portfolia aktiv) jsme zvolili následuj´ıc´ı varianty naznaˇcené schématem 3.2. Pro kaˇzdou z tˇechto variant jsme pen.plán ST, TT zákl. varianta

PODÚMRTNOST

+ 20%

zákl. varianta

DģCHOD

zákl. varianta

+ 50%

+ 50%

AKCIE v portfoliu

0%

10%

0%

10%

0%

10%

0%

10%

varianta þ.:

1

2

3

4

5

6

7

8

Obrázek 3.2: Schéma zvolen´ ych variant pro simulace. provedli simulace pro oba penzijn´ı plány (ST a TT – viz odd´ıl 3.4.1). Intuitivn´ı oznaˇcen´ı jednotliv´ ych variant je pak ST2, TT5 apod.

35

3.4.3

Pr˚ ubˇ eh modelov´ an´ı

Modelov´ an´ı finanˇ cn´ıch vstup˚ u V kapitole 3.1 jsme zavedli modely u ´rokové m´ıry a ceny akcie. Tyto veliˇciny jsou modelovány spojit´ ymi náhodn´ ymi procesy definovan´ ymi stochastick´ ymi diferenciáln´ımi rovnicemi. Pro pouˇzit´ı metody Monte Carlo k simulaci tˇechto proces˚ u mus´ıme pˇrej´ıt k jejich diskrétn´ımu vyjádˇren´ı. Vyjdeme ze stochastické diferenciáln´ı rovnice dX(t) = a(t) dt + b(t) dW (t), (3.4) kde a(t) a b(t) jsou F(t)-adaptované náhodné procesy3 , a oznaˇc´ıme si tn a tn+1 dva sousedn´ı ˇcasové okamˇziky v simulaci. Potom se v´ ypoˇcet hodnoty procesu X(t), daného diferenciáln´ı rovnic´ı (3.4), v ˇcase t provád´ı pˇredpisem p X(tn+1 ) = X(tn ) + a(tn )(tn+1 − tn ) + b(tn ) tn+1 − tn Zn , (3.5) kde Zn , n = 1, 2, . . . je posloupnost nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin s normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım. Diskretizaˇcn´ı pˇrepis (3.5) se naz´ yvá Eulerovo schéma. Pro modelován´ı jsme zvolili 480 ekvidistantn´ıch krok˚ u na rok, tzn. 28 800 interval˚ u na zvolenou dobu v´ yvoje 60 let. Tak jsme z´ıskali scénáˇre v´ yvoje v´ ynos˚ u a cen jednotliv´ ych finanˇcn´ıch instrument˚ u, které jsme následnˇe pouˇzili pro modelován´ı v´ yvoje penzijn´ıho fondu.

Modelov´ an´ı v´ yvoje penzijn´ıho fondu Pro kaˇzd´ y jednotliv´ y scénáˇr v´ yvoje finanˇcn´ıch parametr˚ u jsme provedli simulaci v´ yvoje penzijn´ıho fondu na 60 let do budoucna. S ohledem na velkou ˇcasovou nároˇcnost v´ ypoˇct˚ u jsme se dále rozhodli provést 500 tˇechto simulac´ı pro kaˇzdou variantu modelu (varianty modelu viz 3.4.2). Obrázek 3.3 dokládá, ˇze zvolen´ y poˇcet simulac´ı je dostaˇcuj´ıc´ı (i kdyˇz napˇr´ıklad pˇridán´ı akci´ı do portfolia penzijn´ıho fondu konvergenci simulace k v´ ysledku zpomalovalo).

Prostˇ red´ı pro implementaci Program pro simulaci v´ yvoje finanˇcn´ıch vstup˚ u byl napsán v programovac´ım jazyce (respektive v´ yvojovém prostˇred´ı) Free Pascal [7] a to pˇredevˇs´ım s ohledem na ¡ ¢ Budeme ˇr´ıkat, ˇze S(t), t ∈ [0, T ] je F(t)-adaptovaný proces, kdyˇz S(t) jsou F(t)-mˇeˇritelné reálné náhodné veliˇciny pro kaˇzdé t ∈ [0, T ]) a (F(t), t ∈ [0, T ]) je filtrace. 3

36

710

700

Fair Value

690

680

670

660

650 1

51

101

151

201

251

301

351

401

451

Poþet simulací

Obrázek 3.3: Konvergence pr˚ ubˇehu simulac´ı (pro variantu ST1) pˇr´ıpadné praktické pouˇzit´ı, nebot’ tento kompilátor a v´ yvojové prostˇred´ı jsou volnˇe pˇr´ıstupné na internetu. Samotn´ y model penzijn´ıho fondu byl vytvoˇren v aplikaci MS Excel a jeho bliˇzˇs´ı popis lze naj´ıt v pˇr´ıloze A. Oba programy m˚ uˇzeme nalézt na pˇriloˇzeném CD.

3.4.4

V´ ysledky

V tabulkách 3.5 a 3.6 jsou uvedeny dosaˇzené v´ ysledky pro penzijn´ı plán ST a tabulky 3.7 a 3.8 obsahuj´ı dosaˇzené v´ ysledky pro penzijn´ı plán TT. Oba penzijn´ı plány jsou podrobnˇeji popsány v sekci 3.4.1. Na schématu 3.2 je znázornˇeno, ˇc´ım se liˇs´ı jednotlivé varianty modelu. Pro finanˇcn´ı toky pˇr´ısluˇsej´ıc´ı reálné hodnotˇe pouˇz´ıváme oznaˇcen´ı zavedené v ˇcásti 3.3. P´ısmena PV pak znaˇc´ı, ˇze se jedná o souˇcasnou oˇcekávanou hodnotu daného finanˇcn´ıho toku pˇri rizikovˇe neutráln´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıˇre Q. Vˇsechny uvedené hodnoty jsou v tis´ıc´ıch Kˇc. Jako doplˇ nuj´ıc´ı informace je v posledn´ıch ˇra´dc´ıch tabulek s v´ ysledky vˇzdy uvedena souˇcasná oˇcekávaná hodnota tok˚ u mezi akcionáˇrem a penzijn´ım fondem. Jedná se o rozd´ıl mezi t´ım, co akcionáˇr z´ıská na dividendách (ozn. PVdivid ) a t´ım, co naopak poskytl penzijn´ımu fondu jako kapitálovou dotaci4 pˇri poklesu 4

O kapitálové dotaci je bl´ıˇze pojednáno v závˇeru ˇcásti 3.2.4 vˇenované rozdˇelován´ı zisku penzij-

37

základn´ıho jmˇen´ı pod 50 mil. (ozn. PVdotace). Tok akcionáˇre tedy vyjadˇruje hodnotu portfolia a definujeme jej jako PVakcionar = PVdivid − PVdotace . V ˇza´dné z variant nemˇen´ıme demografické parametry u u ´ˇcastn´ıku ve spoˇr´ıc´ı fázi a hodnoty pˇrijatého pojistného a státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u (PVPojIn a PVStatIn) by tak mˇely b´ yt stejné ve vˇsech pˇr´ıpadech. U variant s vyˇsˇs´ım uplatnˇen´ım opce na d˚ uchod (tj. varianty s ˇc´ısly 3, 4, 7, 8) jsou ale niˇzˇs´ı z toho d˚ uvodu, ˇze ti u ´ˇcastn´ıci, kteˇr´ı uplatn´ı opci na v´ yplatu penze tak v naˇsem modelu pro zjednoduˇsen´ı uˇcin´ı hned na poˇca´tku roku, kdeˇzto o jednorázové vyrovnán´ı ˇza´daj´ı u ´ˇcastn´ıci rovnomˇernˇe bˇehem roku a tak v tom pˇr´ıpadˇe do fondu zaplat´ı jeˇstˇe pr˚ umˇernˇe p˚ ulroˇcn´ı pojistné. tok \ varianta PVPenzOut PVOstOut PVNaklSp PVNaklAkv PVPojIn PVStatIn FAIR VALUE PVakcionar

ST1 95 605 1 599 861 113 087 3 284 -936 446 -191 439 683 953 61 923

ST2 98 950 1 613 249 113 087 3 284 -936 446 -191 439 700 685 63 291

ST3 133 002 1 559 337 115 425 3 284 -936 029 -191 356 683 663 63 087

ST4 137 814 1 572 154 115 425 3 284 -936 029 -191 356 701 293 63 929

Tabulka 3.5: V´ ysledky simulac´ı pro penzijn´ı plán ST, varianty 1 aˇz 4 tok \ varianta PVPenzOut PVOstOut PVNaklSp PVNaklAkv PVPojIn PVStatIn FAIR VALUE PVakcionar

ST5 98 667 1 595 868 113 378 3 284 -936 446 -191 439 683 312 62 231

ST6 102 239 1 609 264 113 378 3 284 -936 446 -191 439 700 281 63 413

ST7 136 766 1 554 460 115 861 3 284 -936 029 -191 356 682 986 63 395

ST8 141 907 1 567 311 115 861 3 284 -936 029 -191 356 700 979 63 939

Tabulka 3.6: V´ ysledky simulac´ı pro penzijn´ı plán ST, varianty 5 aˇz 8

Vliv garanc´ı penzijn´ıho pl´ anu Podle oˇcekáván´ı je vyˇsˇs´ı reálná hodnota závazk˚ u u vˇsech variant v penzijn´ım plánu ST, kter´ y poskytuje garance u ´mrtnostn´ıch tabulek a technické u ´rokové m´ıry. Rozd´ıl n´ıho fondu.

38

tok \ varianta PVPenzOut PVOstOut PVNaklSp PVNaklAkv PVPojIn PVStatIn FAIR VALUE PVakcionar

TT1 76 586 1 617 318 113 087 3 284 -936 446 -191 439 682 391 61 738

TT2 79 214 1 630 576 113 087 3 284 -936 446 -191 439 698 276 63 763

TT3 108 372 1 581 600 115 424 3 284 -936 029 -191 356 681 295 63 096

TT4 112 093 1 594 172 115 424 3 284 -936 029 -191 356 697 588 65 085

Tabulka 3.7: V´ ysledky simulac´ı pro penzijn´ı plán TT, varianty 1 aˇz 4


TT5 75 786 1 617 016 113 378 3 284 -936 446 -191 439 681 579 61 953

TT6 78 451 1 630 258 113 378 3 284 -936 446 -191 439 697 487 63 978

TT7 107 181 1 581 337 115 861 3 284 -936 029 -191 356 680 279 63 398

TT8 110 950 1 593 892 115 861 3 284 -936 029 -191 356 696 602 65 374

Tabulka 3.8: V´ ysledky simulac´ı pro penzijn´ı plán TT, varianty 5 aˇz 8

39

ale nen´ı tak v´ yrazn´ y. Tyto garance totiˇz maj´ı vliv jen na u ´ˇcastn´ıky poˇza´daj´ıc´ı o v´ yplatu penze a je tˇreba upozornit, ˇze pod´ıl u ´ˇcastn´ık˚ u berouc´ıch si d˚ uchod je pomˇernˇe mal´ y a pˇr´ıtomnost garanc´ı tud´ıˇz nezp˚ usob´ı tak v´ yraznou zmˇenu v´ yˇse závazk˚ u. Vliv pˇr´ıtomnosti garanc´ı se mnohem v´ıce ukáˇze u pesimistick´ ych scénáˇr˚ u, které zm´ın´ıme dále.

Vliv opce na d˚ uchod Kdyˇz vˇzdy v rámci jednoho penzijn´ıho plánu porovnáme vzájemnˇe jen ty varianty, kdy se zv´ yˇs´ı pod´ıl u ´ˇcastn´ık˚ u vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch opci na d˚ uchod s odpov´ıdaj´ıc´ı variantou bez zv´ yˇsen´ı (tedy TT1–TT3, TT2–TT4, TT7–TT8 a stejnˇe pro penzijn´ı plán ST), v´ yˇse závazk˚ u je v pˇr´ıpadech v´ıce vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch opci paradoxnˇe dokonce niˇzˇs´ı! Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe vlivu garanc´ı to zp˚ usobuje hlavnˇe fakt, ˇze z celkového u ´ˇcastn´ık˚ um vyplaceného objemu penˇez tvoˇr´ı d˚ uchody pouze zanedbatelnou ˇca´st – u penzijn´ıho plánu TT je to 4,48 % aˇz 6,51 % a u penzijn´ıho plánu ST tvoˇr´ı 5,64 % aˇz 8,30 % – takˇze sice naroste objem vyplácen´ ych d˚ uchod˚ u, ale souˇcasnˇe v´ıce klesne objem prostˇredk˚ u vyplacen´ ych na jednorázové vyrovnán´ı. V souˇctu tak finaˇcn´ı toky vyzn´ı ve prospˇech sn´ıˇzen´ı závazk˚ u. Druh´ y faktor, kter´ y se pod´ıl´ı na sn´ıˇzen´ı závazku, je systém rozdˇelován´ı zisku, kdy se v prvé ˇradˇe ze zisku u ´ˇcastn´ık˚ u dotuje fond penz´ı a na plat´ıc´ı u ´ˇcastn´ıky tak z˚ ustává ménˇe. To bude zm´ınˇeno jeˇstˇe dále.

Vliv akci´ı Z mˇenˇen´ ych parametr˚ u má na v´ yˇsi závazk˚ u zdaleka nejvˇetˇs´ı vliv pˇr´ıtomnost akci´ı v portfoliu. Ve vˇsech variantách, kde se vyskytovaly akcie v portfoliu závazek v´ yraznˇe vzrostl. Velké kol´ısán´ı cen akci´ı zp˚ usobuje, ˇze se sice na jedné stranˇe m˚ uˇze zv´ yˇsit celkové zhodnocen´ı portfolia a t´ım i hospodáˇrsk´ y v´ ysledek, ale na druhé stranˇe mnohem ˇcastˇeji nastává pˇr´ıpad záporného hospodáˇrského v´ ysledku a t´ım i pokles hodnoty základn´ıho jmˇen´ı pod zákonem stanovenou hranici 50 mil. Kˇc. Akcionáˇr pak mus´ı poskytnout penzijn´ımu fondu kapitálovou dotaci a to sniˇzuje tok akcionáˇre.

Vliv pod´ umrtnosti Kdyˇz porovnáme odpov´ıdaj´ıc´ı varianty se zv´ yˇsen´ım pod´ umrtnosti s tˇemi beze zmˇeny (tedy ST5–ST1, ST6–ST2, ST8-ST4) u penzijn´ıho plánu s garancemi (ST), tak ve vˇsech pˇr´ıpadech se zv´ yˇsen´ı pod´ umrtnosti sice projev´ı zv´ yˇsen´ım závazku

40

plynouc´ıho z v´ yplaty penz´ı, ale celkov´ y závazek penzijn´ıho fondu se sn´ıˇz´ı! V´ yraznˇeji neˇz vzrostla v´ yplata penz´ı se totiˇz sn´ıˇz´ı v´ yplata prostˇredk˚ u na odbytné a jednorázové vyrovnán´ı. To je zp˚ usobeno systémem dˇelen´ı zisku. Penzijn´ı fond sice produkuje vˇetˇs´ı v´ ynosy (dokumentuje to vyˇsˇs´ı tok akcionáˇre), protoˇze penzisté, a t´ım i jejich prostˇredky, z˚ ustávaj´ı ve fondu déle, ale nastaven´ y systém rozdˇelován´ı zisku spolu s garancemi v penzijn´ım plánu zp˚ usobuje, ˇze podstatnˇe vˇetˇs´ı ˇcást zisku putuje ve prospˇech penzist˚ u. O to ménˇe se tedy pˇrip´ıˇse (a nakonec i vyplat´ı) u ´ˇcastn´ık˚ um ve spoˇr´ıc´ı fázi, kteˇr´ı posléze poˇzádaj´ı o v´ yplatu odbytného ˇci jednorázového vyrovnán´ı. Vˇsichni plat´ıc´ı u ´ˇcastn´ıci tak vlastnˇe v prvé ˇradˇe financuj´ı ze svého” zisku ” dotaci fondu penz´ı. Stejn´ y je v´ ysledek i v pˇr´ıpadˇe penzijn´ıho plánu TT, avˇsak efekt je ménˇe v´ yrazn´ y d´ıky absenci garanc´ı. Abychom lépe ukázali vliv d˚ uchodové opce a garanc´ı v penzijn´ım plánu, rozhodli jsme se jeˇstˇe provést v´ ypoˇcty pro v tomto smyslu podstatnˇe pesimistiˇctˇejˇs´ı nastaven´ı parametr˚ u. Stanovili jsme si tedy jeˇstˇe dvˇe dalˇs´ı varianty. Oproti základn´ı variantˇe (popsána v ˇcásti 3.4.1) jsou v nich tyto zmˇeny: Varianta worst” – ” - sn´ıˇzeny pravdˇepodobnosti odkup˚ u o 50 %, - d˚ uchodovou opci bude kaˇzd´ y rok vyuˇz´ıvat 90 % z tˇech u ´ˇcastn´ık˚ u, kteˇr´ı na ni maj´ı právo, - pod´ umrtnost zv´ yˇsena o 50 %. Varianta worst2” – ” - sn´ıˇzeny pravdˇepodobnosti odkup˚ u na 0 %, tj. odkupy se nebudou realizovat v˚ ubec, uchodovou opci bude kaˇzd´ y rok vyuˇz´ıvat 90 % z tˇech u ´ˇcastn´ık˚ u, kteˇr´ı - d˚ na ni maj´ı právo, - pod´ umrtnost beze zmˇeny oproti základn´ı variantˇe. V´ ypoˇcet provedeme pro oba penzijn´ı plány a varianty si oznaˇc´ıme ST1worst, TT1worst a ST1worst2, TT1worts2. Nebudeme uvaˇzovat pˇr´ıtomnost akci´ı v portfoliu, kol´ısán´ı jejich cen pˇr´ıliˇs ovlivˇ nuje v´ ysledek. V´ ysledky simulac´ı jsou shrnuty v tabulce 3.9. Pro penzijn´ı plán bez garanc´ı (TT) se dle oˇcekáván´ı v obou variantách, oproti té základn´ı, zv´ yˇsily zisky akcionáˇre a poklesly hodnoty závazk˚ u. Pokud neuvaˇzujeme odchody z d˚ uvodu odkupu, tedy v základn´ı variantˇe dominantn´ı ˇcást v´ yplat, prostˇredky u ´ˇcastn´ık˚ u ve fondu déle z˚ ustávaj´ı a fond generuje vˇetˇs´ı zisky. Ty se

41


ST1worst 1 254 050 612 708 274 208 3 471 -1 181 309 -242 895 720 232 24 840

TT1worst 1 081 688 684 730 274 208 3 471 -1 181 309 -242 895 619 893 119 475

ST1worst2 1 940 159 193 453 381 561 3 662 -1 572 165 -324 975 621 695 120 418

TT1worts2 1 831 716 221 384 381 561 3 662 -1 572 165 -324 975 541 182 196 202

Tabulka 3.9: V´ ysledky simulac´ı pro pesimistické nastaven´ı parametr˚ u (varianty worst” a worst2”) ” ” sice rozdˇeluj´ı stejn´ ym zp˚ usobem jako pˇredt´ım, ale d´ıky neexistenci garanc´ı uˇz nejde pˇreváˇzná ˇca´st zisku na dotaci penz´ı. D˚ uchod˚ u pˇribude, ale v´ yplaty penz´ı nepˇreváˇz´ı vˇetˇs´ı pˇr´ıjmy z pojistného a ménˇe v´ yplat jednorázov´ ych vyrovnán´ı. Pro penzijn´ı plán ST uˇz je v tomto pˇr´ıpadˇe vliv penz´ı a jim pˇr´ısluˇsn´ ych garanc´ı jasnˇe patrn´ y. U varianty worst” podstatnˇe narostly závazky penzijn´ıho fondu a ” tok akcionáˇre klesl na 25 mil. oproti 62 mil. v základn´ı variantˇe. Závazky z penz´ı vzrostly v´ıce neˇz desetinásobnˇe. U varianty worst2” sice naopak klesla reálná hodnota celkov´ ych závazk˚ u a témˇeˇr ” dvojnásobnˇe vzrostl zisk akcionáˇre. Ale to je zp˚ usobeno hlavnˇe vyˇsˇs´ım pˇr´ıjmem z pojistného a chybˇej´ıc´ımi v´ yplatami odkupného. Tato pro fond v´ yhodná situace by vˇsak reálnˇe jen tˇeˇzko nastala. Vˇse se totiˇz dˇeje na u ´kor u ´ˇcastn´ık˚ u ve spoˇr´ıc´ı fázi. Ti by v takovém pˇr´ıpadˇe rychle pochopili, ˇze vlastnˇe jen dotuj´ı penzisty a dostávaj´ı podstatnˇe menˇs´ı pod´ıly na zisku a fond by zaˇcali rychle opouˇstˇet. To by pak vedlo ke katastrofáln´ı situaci, kdy by fond nemˇel z ˇceho dotovat aktuálnˇe vyplácené penze.

3.4.5

Srovn´ an´ı s deterministick´ ym v´ ypoˇ ctem

Na závˇer jsme provedli srovnán´ı s v´ ypoˇctem, kde zhodnocen´ı aktiv portfolia penzijn´ıho fondu bylo zadáno deterministicky. Nasimulovali jsme si jeden scénáˇr zhodnocen´ı, pˇriˇcemˇz parametry volatility Wienerov´ ych proces˚ u (kapitola 3.1) v simulovan´ ych veliˇcinách jsme nastavili nulové. Pro jasnˇejˇs´ı porovnán´ı jsme zvolili variantu modelu ST2, kde je penzijn´ı plán s garancemi a pod´ıl akci´ı v portfoliu tvoˇr´ı 10 %. V´ ysledky jsou uvedeny v tabulce 3.10. Tento zp˚ usob v´ ypoˇctu nen´ı schopen ohodnotit garance a opce dané penzijn´ım

42


determin 96 349 1 598 596 112 966 3 284 -936 072 -191 358 683 764 60 575

Tabulka 3.10: V´ ysledky simulac´ı s deterministick´ ym zadán´ım v´ ynos˚ u z aktiv

plánem a pˇredevˇs´ım vede k podcenˇen´ı závazku. Hodnota kapitálov´ ych dotac´ı byla v tomto pˇr´ıpadˇe nulová, protoˇze nenastalo kol´ısán´ı cen akci´ı.

43

Z´ avˇ er Navrhli jsme model pro ocenˇen´ı závazk˚ u penzijn´ıho fondu, vypl´ yvaj´ıc´ıch ze smluv penzijn´ıho pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem, kter´ y vyhovuje definici reálné hodnoty podle koncepˇcn´ıho rámce IASC [10]. Ukázali jsme, jak´ y vliv má investiˇcn´ı strategie – pod´ıl akci´ı v portfoliu zp˚ usobil v´ yrazn´ y nár˚ ust v´ yˇse závazk˚ u. Dále jsme ukázali, ˇze garance a opce v penzijn´ıch plánech maj´ı podstatn´ y vliv na v´ yˇsi závazk˚ u penzijn´ıho fondu. Speciálnˇe v pˇr´ıpadˇe, ˇze by u ´ˇcastn´ıci zaˇcali v´ıce vyuˇz´ıvat garantovanou d˚ uchodovou opci, mohlo by to ohrozit solventnost penzijn´ıho fondu. Zkoumali jsme totiˇz také citlivost na zmˇeny v (trhem oˇcekávaném) chován´ı pojistn´ık˚ u. Aktuálnˇe vyplácené d˚ uchody by se v takovém pˇr´ıpadˇe dotovaly ze zisku u ´ˇcastn´ık˚ u a aktivnˇe plat´ıc´ı u ´ˇcastn´ıci by t´ım pˇricházeli o ˇca´st v´ ynosu. To by zp˚ usobovalo jejich odchod z penzijn´ıho fondu. V d˚ usledku by to pak znamelo, ˇze by penzijn´ı fond nemˇel z ˇceho dotovat garantované penze. Velkou roli zde vˇsak hraje zp˚ usob, jak´ ym penzijn´ı fond v naˇsem modelu rozdˇeluje zisk, pˇredevˇs´ım pak ˇca´st pˇripadaj´ıc´ı u ´ˇcastn´ık˚ um. V´ ysledky model˚ u tedy nen´ı moˇzné pˇreceˇ novat. Pokud vˇsak je nˇejak´ y zp˚ usob rozdˇelován´ı zisku garantovan´ y ve starˇs´ıch penzijn´ıch plánech, potom tento zp˚ usob ovlivn´ı i smlouvy podle nov´ ych penzijn´ıch plán˚ u. Penzijn´ı fondy totiˇz pracuj´ı s celkov´ ym hospodáˇrsk´ ym v´ ysledkem a nevytváˇrej´ı ziskové svazky.

44

Dodatek A Popis programu Na tomto m´ıstˇe pop´ıˇseme model penzijn´ıho fondu vytvoˇren´ y v aplikaci MS Excel pro u ´ˇcely v´ ypoˇctu reálné hodnoty závazk˚ u penzijn´ıho fondu. Makra, která ˇr´ıd´ı bˇeh celého modelu jsou naprogramovány v programovac´ım jazyce MS Visual Basic. Odkazy na jednotlivé listy modelu v Excelu jsou uvádˇeny kurz´ıvou a v uvozovkách, pokud nebude ˇreˇceno jinak. Model m˚ uˇzeme nalézt na pˇriloˇzeném CD vˇcetnˇe programu pro simulaci u ´rokov´ ych mˇer a cen akci´ı, vytvoˇreného ve v´ yvojovém prostˇred´ı Free Pascal [7].

A.1

Vstupy modelu

Vˇsechny zde uvedené vstupn´ı parametry lze jednoduˇse mˇenit na jednotliv´ ych listech v Excelu. Jméno pˇr´ısluˇsného listu je uvedeno hned za názvem vstupu. Pro jasné vymezen´ı bunˇek, které lze mˇenit, jsou tyto oznaˇceny svˇetle ˇzlutou barvou.

Datab´ aze smluv ( Buss-Ex”) ” Pouˇz´ıvanou databázi pojistn´ ych smluv je potˇreba setˇr´ıdit podle roku uzavˇren´ı pojistné smlouvy, vˇeku u ´ˇcastn´ıka pˇri vstupu a podle typu penzijn´ıho plánu. Jednu takto sgrupovanou jednotku budeme naz´ yvat modelpoint. Oznaˇcen´ı modelpointu pouˇz´ıvané v programu je tedy ˇretˇezec sloˇzen´ y z roku vstupu, typu penzijn´ıho plánu a vˇeku u ´ˇcastn´ıka pˇri vstupu (ve tvaru napˇr. 1996ST47”), pomoc´ı nˇejˇz jednotlivé ” modelpointy snadno rozliˇs´ıme a také si d´ıky nˇemu vˇzdy snadno dohledáme vˇsechny

45

dalˇs´ı potˇrebné informace pro modelován´ı. Dalˇs´ı nutné u ´daje, které mus´ı databáze obsahovat pro kaˇzd´ y modelpoint jsou poˇcet pojistn´ ych smluv, pojistné, objem prostˇredk˚ u ve fondu klienta a ve fondu státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u (bl´ıˇze zm´ınˇeny v sekci 3.2.3). Dále se potom pracuje s pr˚ umˇery tˇechto veliˇcin na smlouvu v modelpointu.

Ostatn´ı pasiva ( Vstupy-pasiva”) ” Dalˇs´ımi voliteln´ ymi vstupy na poˇcátku jsou: hodnota základn´ıho jmˇen´ı a rezervn´ıho fondu a hodnota pasiv nepˇriˇrazen´ ych k jednotliv´ ym smlouvám (napˇr´ıklad prostˇredky na neaktivn´ıch ˇci stornovan´ ych smlouvách – u tˇech pˇredpokládáme rozpuˇstˇen´ı do tˇr´ı let). Dále na tomto listu m˚ uˇzeme vloˇzit hodnoty správn´ıch a z´ıskatelsk´ ych náklad˚ u, které zadáváme na smlouvu a mˇes´ıc. Pˇr´ıpadnˇe, pokud budeme uvaˇzovat, ˇze u ´ˇcastn´ık˚ um na penzijn´ı pˇripojiˇstˇen´ı pˇrisp´ıvá i zamˇestnavatel, lze zadat i pomˇer, jak´ y ˇcin´ı pˇr´ıspˇevek zamˇestnavatele ku celkovému pojistnému, a dobu, po kterou zamˇestnavatel zamˇestnanc˚ um pˇrisp´ıvá.

Portfolio aktiv ( Portfolio-aktiva”) ” Na tomto listu zadáváme pˇredpokládané sloˇzen´ı portfolia aktiv penzijn´ıho fondu. Typicky m˚ uˇze obsahovat term´ınované vklady, akcie a dluhopisy. To jsou hlavn´ı ˇ [1]. sloˇzky portfoli´ı vˇetˇsiny penzijn´ıch fond˚ u podle APF CR Tyto aktiva jsou po celou dobu v´ yvoje fondu drˇzeny v nemˇenném pomˇeru daném poˇca´teˇcn´ım objemem prostˇredk˚ u investovan´ ym do jednotliv´ ych skupin aktiv, coˇz také pˇribliˇznˇe odpov´ıdá souˇcasnému chován´ı penzijn´ıch fond˚ u. Je tˇreba dát pozor, aby hodnota aktiv penzijn´ıho fondu na poˇcátku modelován´ı odpov´ıdala pasiv˚ um. U term´ınovan´ ych vklad˚ u a u akci´ı slouˇz´ı jako vstupn´ı parametr jejich u ´ˇcetn´ı resp. trˇzn´ı hodnota. U dluhopis˚ u zadáváme u ´ˇcetn´ı cenu, nominál, kupónovou sazbu, datum kupónu a datum maturity dluhopisu a z tˇechto u ´daj˚ u nám potom makro Dluhopisy dopoˇc´ıtá jejich v´ ynos do splatnosti (je potˇreba zadat, na kter´ ych ˇra´dc´ıch se dluhopisy nacházej´ı), kter´ y potˇrebujeme znát pro amortizaci pˇr´ısluˇsného dluhopisu bˇehem dalˇs´ıho v´ yvoje penzijn´ıho fondu (v´ ynos do splatnosti je potom uveden ve sloupci efektivn´ı u ´rok ).

46

Odchody z penzijn´ıho fondu ( Odchody”) ” Pro vyjádˇren´ı odchod˚ uu ´ˇcastn´ık˚ u (co uvaˇzujeme pod pojmem odchody je vysvˇetleno v kapitole 3.2.1) z penzijn´ıho fondu jsme pouˇzili tabulku závislou na vstupn´ım vˇeku u ´ˇcastn´ıka, na stáˇr´ı pˇr´ısluˇsné pojistné smlouvy a typu penzijn´ıho plánu. V tabulce je vˇzdy uveden pod´ıl u ´ˇcastn´ık˚ u, kteˇr´ı fond opust´ı. Na listu staˇc´ı vyplnit jen vektory oznaˇcené Odkupy a JV, tabulky uˇz se potom vypln´ı podle zadan´ ych u ´daj˚ u samy.

Zhodnocen´ı aktiv ( Vstupy-aktiva”) ” K projekci do budoucna potˇrebujeme znát zhodnocen´ı aktiv nacházej´ıc´ıch se v naˇsem portfoliu, tj. zhodnocen´ı term´ınovan´ ych vklad˚ u, dluhopis˚ u a akci´ı, v následuj´ıc´ıch letech. Zat´ım známe jen zhodnocen´ı dluhopis˚ u, které jsou momentálnˇe v portfoliu. Do budoucna vˇsak potˇrebujeme znát i zhodnocen´ı novˇe nakoupen´ ych ’ dluhopis˚ u v dalˇs´ıch letech. Zhodnocen´ı bud m˚ uˇzeme doplnit do tabulky sami dle uváˇzen´ı, nebo pokud vyuˇzijeme zhodnocen´ı nasimulovaného Pascalem, tak vˇsechny potˇrebné u ´daje dopln´ı a spoˇc´ıtaj´ı makra NahrejSimulace (vytvoˇr´ı list Simulace”, ” do kterého nahraje vˇsechny nasimulované náhodné procesy) a VyplnZhodnoceni (spoˇc´ıtá z nasimulovan´ ych proces˚ u pˇr´ısluˇsná zhodnocen´ı). V makru je tˇreba pouze vyplnit, kde se nacház´ı pˇr´ısluˇsn´ y textov´ y soubor s v´ ystupy z Pascalu.

Vstupy souvisej´ıc´ı s d˚ uchody ( Penze”) ” K v´ ypoˇctu veliˇcin souvisej´ıc´ıch s penzemi (napˇr. v´ yˇse penze, rezerva na penze) potˇrebujeme znát pˇr´ısluˇsné u ´mrtnostn´ı tabulky, technickou u ´rokovou m´ıru, pod´ıl u ´ˇcastn´ık˚ u berouc´ıch si penzi, frekvenci vyplácen´ı penze a pod´ıl muˇz˚ u a ˇzen mezi u ´ˇcastn´ıky. Vˇsechny tyto u ´daje m˚ uˇzeme zadat na zm´ınˇeném listu. U verz´ı s penzijn´ım plánem TT (jednotlivé typy penzijn´ıch plán˚ u jsou rozebrány v odd´ıle 3.4.1 – odstavec Databáze smluv”) se technická u ´roková m´ıra vol´ı kaˇzd´ y rok automaticky ” podle pravidla stanoveného ve stejném odd´ıle. Pro penzijn´ı plán ST je nutno jej´ı v´ yˇsi pro jednotlivé roky zadat pˇred zaˇca´tkem v´ ypoˇctu.

A.2

Bˇ eh programu

Hlavn´ı makro Výpoˇcet (nacház´ı se v modulu Main), které ˇr´ıd´ı cel´ y bˇeh programu, funguje zp˚ usobem naznaˇcen´ ym n´ıˇze (podrobnˇejˇs´ı poznámky lze nalézt jako komen-

47

táˇre pˇr´ımo ve Visual Basicu). • Nahrajeme si z pˇr´ısluˇsného souboru Pascalem nasimulované procesy u ´rok˚ u a cen pouˇz´ıvan´ ych aktiv (procedura NahrejSimulace). • Pro kaˇzdou z nahran´ ych simulac´ı probˇehne následuj´ıc´ı cyklus: 1) Z dané simulace spoˇc´ıtáme zhodnocen´ı uvaˇzovan´ ych aktiv (procedura VyplnZhodnoceni ). 2) S t´ımto zhodnocen´ım spust´ıme projekci penzijn´ıho fondu do budoucna s roˇcn´ım krokem. (Makro Projekce je asi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı makro celého programu a nacház´ı se v modulu ModulProjekce. Kompletnˇe ˇr´ıd´ı projekci aktiv a pasiv penzijn´ıho fondu na pˇredem dan´ y poˇcet let.) a) Naˇcteme databázi smluv z listu Buss-Ex” do pole ve Visual ” Basicu a provedeme zvláˇst’ prvn´ı rok projekce (uˇz´ıvá se pˇredevˇs´ım list Vyvoj-pasiva(2)”). ” b) Provedeme následuj´ıc´ı cyklus pro pˇredem zadan´ y poˇcet let (uˇz´ıvá se pˇredevˇs´ım list Vyvoj-pasiva”): ” ∗ Zjist´ıme pr˚ umˇerné platby z a do fondu bˇehem roku, abychom mohli spoˇc´ıtat roˇcn´ı zhodnocen´ı (list Vyvoj-aktiva”, podrob” nˇeji zm´ınˇen v sekci A.4). ∗ Spoˇc´ıtáme celkov´ y zisk a zjist´ıme pr˚ umˇernou v´ yˇsi fond˚ uu ´ˇcastn´ık˚ u bˇehem roku. ym modelpoint˚ um a uloˇz´ıme spoˇc´ıtané ∗ Rozdˇel´ıme zisk jednotliv´ hodnoty z jednotliv´ ych sloupc˚ u listu Vyvoj-pasiva” (tento list ” bl´ıˇze rozebrán v sekci A.3). 3) Uloˇz´ıme hodnoty sledovan´ ych veliˇcin na listy Vysledky-FairValue” ” (souˇcasné hodnoty tok˚ u pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch reálné hodnotˇe) a Vysledky-CashFlows” (hodnoty vybran´ ych finanˇcn´ıch tok˚ u v jednot” liv´ ych letech projekce). • Nakonec spoˇcteme pr˚ umˇer z veliˇcin ukládan´ ych na list Vysledky-FairValue” ” za vˇsechny simulace.

A.3

V´ yvoj pasiv

Rozliˇsujeme dva základn´ı typy pasiv. Pasiva odpov´ıdaj´ıc´ı prostˇredk˚ um na jednotliv´ ych smlouvách a pasiva nepˇriˇrazená k jednotliv´ ym smlouvám. Do prvn´ı kategorie náleˇz´ı vˇsechny prostˇredky vedené ve prospˇech u ´ˇcastn´ık˚ u – tj. pˇr´ıspˇevky klient˚ u a státu a v´ ynosy z nich. Do druhé kategorie náleˇz´ı pasiva, která je tˇreba

48

modelovat zvláˇst’ – tedy základn´ı jmˇen´ı a rezervn´ı fond, dále zde uvaˇzujeme jeˇstˇe prostˇredky napˇr. z neaktivn´ıch ˇci stornovan´ ych smluv.

A.3.1

Prostˇ redky u ´ˇ castn´ık˚ u

Na tomto m´ıstˇe pop´ıˇseme, jak´ ym zp˚ usobem modelujeme prostˇredky u ´ˇcastn´ık˚ u. Stˇeˇzejn´ı jsou zde listy Vyvoj-pasiva(2)” – pro prvn´ı rok projekce a Vyvoj-pasiva” ” ” – pro následuj´ıc´ı roky. Prvn´ı rok je nutné modelovat zvláˇst’, protoˇze nemus´ıme m´ıt vˇzdy data ze zaˇca´tku roku. V tom pˇr´ıpadˇe je potˇreba list Vyvoj-pasiva(2)” ” manuálnˇe upravit podle toho, z jaké ˇca´sti roku máme data. V dalˇs´ıch letech modelován´ı se pak uˇz vycház´ı vˇzdy ze zaˇca´tku roku. Prvn´ı rok projekce je specifick´ y i v tom, ˇze mus´ıme nejprve naˇc´ıst naˇsi databázi smluv do pole ve Visual Basicu, kde se s n´ı dále pracuje. Následnˇe vˇzdy, kdyˇz potˇrebujeme pracovat s dan´ ym modelpointem, vloˇz´ıme základn´ı u ´daje o nˇem do ˇra´dku v jednom z uveden´ ych list˚ u a na základˇe vzorc˚ u vyplnˇen´ ych v buˇ nkách se dopoˇc´ıtaj´ı hledané hodnoty, které pak zpˇet uloˇz´ıme do pole ve Visual Basicu. Tento postup je sice nároˇcnˇejˇs´ı na v´ ypoˇcetn´ı ˇcas, neˇz kdyby vˇsechny v´ ypoˇcty prob´ıhaly pˇr´ımo ve Visual Basicu, ale na druhou stranu je to mnohem transparentnˇejˇs´ı pˇr´ıstup, protoˇze v listu se dá velmi snadno zjistit, jak na sebe vzorce navazuj´ı a co se z ˇceho poˇc´ıtá. Uˇz známe základn´ı princip, na jakém model pracuje. Pojd’me se tedy vˇenovat bl´ıˇze zde zm´ınˇen´ ym v´ ypoˇcetn´ım list˚ um, které jsou ˇclenˇeny do logické struktury odpov´ıdaj´ıc´ı jednotliv´ ym modelovan´ ym celk˚ um.

Demografie V této ˇca´sti sledujeme, v jakém stavu se nacház´ı u ´ˇcastn´ıci z daného modelpointu. Nejsnáze to naznaˇc´ıme schématem: • Platné smlouvy ve spoˇr´ıc´ı fázi. • Odchody z penzijn´ıho fondu (ˇci zmˇena stavu) – – v´ yplata jednorázového vyrovnán´ı, – odkup, – poˇza´dán´ı o v´ yplatu doˇzivotn´ı starobn´ı penze. yplaty d˚ uchodu (oddˇelené pro muˇze a ˇzeny) – • Smlouvy ve stavu v´

49

– platné, – novˇe pˇribylé, – u ´mrt´ı. Odchody se ˇr´ıd´ı pravidly popsan´ ymi v ˇca´sti 3.4.1 – odstavec Odchody z penzij” n´ıho fondu”. Poˇcet u ´mrt´ı je dán upraven´ ymi u ´mrtnostn´ımi tabulkami popsan´ ymi ve stejné kapitole – odstavec D˚ uchody”. ” V´ yvoj pojistky Zde modelujeme v´ yˇsi fondu klienta a fondu státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u. Jak napov´ıdaj´ı názvy, fond klienta v sobˇe kumuluje zaplacené pojistné a v´ ynosy z nˇej, fond státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u stejnˇe kumuluje pˇripsané státn´ı pˇr´ıspˇevky a v´ ynosy z nich. V daném roce tedy vˇzdy potˇrebujeme znát v´ yˇsi zaplaceného pojistného, potom kolik bude z fondu vyplaceno odchoz´ım u ´ˇcastn´ık˚ um a také pˇripsané v´ ynosy z hospodáˇrského v´ ysledku. V´ yˇsi státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u poˇc´ıtáme jako pomˇer ze zaplaceného pojistného. Ten je urˇcen na zaˇca´tku z u ´daj˚ u ve vstupn´ı databázi jako pod´ıl fondu klienta a fondu státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u zvláˇst’ pro kaˇzd´ y modelpoint. Pˇredpokládáme ho konstatn´ı po celou dobu ˇzivota pojistky. Dále pˇredpokládáme, ˇze u ´ˇcastn´ıci opuˇst´ı fond rovnomˇernˇe bˇehem roku. Objem prostˇredk˚ u, kter´ y bude odchoz´ım u ´ˇcastn´ık˚ um vyplacen je dán pomˇerem odchoz´ıch u ´ˇcastn´ık˚ u bˇehem roku ku poˇctu platn´ ych smluv na poˇca´tku roku (tyto poˇcty se sleduj´ı v ˇcásti Demografie). U u ´ˇcastn´ık˚ u, kteˇr´ı se rozhodli pro starobn´ı penzi jednoduˇse pˇredpokládáme, ˇze tak uˇcinili hned na zaˇca´tku roku. Tud´ıˇz se jim odpov´ıdaj´ı ˇca´st prostˇredk˚ u z fondu klienta a fondu státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u oddˇel´ı hned na poˇcátku roku a uˇz od nich ten rok nepˇrijde do fondu ˇza´dné pojistné. M´ısto toho se jim hned tent´ yˇz rok zaˇcne vyplácet penze. V´ ynosy z hospodáˇrského v´ ysledku se na konci roku rozdˇel´ı mezi platné smlouvy a odchoz´ı na základˇe pr˚ umˇern´ ych stav˚ u jejich fond˚ u bˇehem roku (v´ıce o dˇelen´ı zisku v naˇsem modelu viz kapitola 3.2.1). A nakonec spoˇcteme stav fond˚ u klienta a fondu státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u na konci roku, coˇz bude souˇcasnˇe poˇca´teˇcn´ı hodnota roku následuj´ıc´ıho.

50

Penze Tato ˇcást slouˇz´ı hlavnˇe k v´ ypoˇctu v´ yˇse d˚ uchodu. Jako základ nám k tomu poslouˇz´ı objem prostˇredk˚ u náleˇzej´ıc´ı penzist˚ um po oddˇelen´ı z fond˚ u zm´ınˇen´ ych v´ yˇse. Tuto ˇcástku rozdˇel´ıme na základˇe zadaného pomˇeru mezi muˇze a ˇzeny. Podle typu penzijn´ıho plánu (ten rozliˇs´ı, jaké u ´mrtnostn´ı tabulky k v´ ypoˇctu pouˇzijeme) a zadané frekvence vyplácen´ı penz´ı potom spoˇcteme v´ yˇsi penze (zp˚ usob v´ ypoˇctu je v kapitole 3.2.3). Dále zde evidujeme v´ yˇsi doposud vyplácené penze. Ale protoˇze u ´ˇcastn´ıky uˇz v jednom modelpointu v´ıce nerozliˇsujeme, je potˇreba stanovit novou, jednotnou v´ yˇsi d˚ uchodu pro vˇsechny u ´ˇcastn´ıky v daném modelpointu aktuálnˇe pob´ıraj´ıc´ı penzi. Tu stanov´ıme váˇzen´ ym pr˚ umˇerem staré a nové penze (jako váhy pˇritom uˇzijeme poˇcty nov´ ych” a star´ ych” penzist˚ u). Nakonec urˇc´ıme v´ yˇsi penze pro ” ” dalˇs´ı rok, coˇz bude právˇe vypoˇctená penze zv´ yˇsená o pˇr´ıpadnou valorizaci.

Fond penz´ı V ˇcásti nazvané Fond penz´ı sledujeme aktuáln´ı v´ yˇsi prostˇredk˚ u vˇsech aktivn´ıch penzist˚ u. Stará v´ yˇse fondu se vˇzdy na zaˇcátku roku dopln´ı o prostˇredky nov´ ych penzist˚ u. Bˇehem roku se pak fond penz´ı sn´ıˇz´ı o vyplacené penze. Na konci roku se potom podle zp˚ usobu vyloˇzeném v kapitole 3.2.3 vypoˇcte rezerva penz´ı a fond penz´ı se dopln´ı dotac´ı ze zisku penzijn´ıho fondu na jej´ı v´ yˇsi. Nakonec se jeˇstˇe v´ yˇse fondu m˚ uˇze zvednout o pˇr´ıpadné prostˇredky na valorizaci penz´ı (valorizace penz´ı je popsána ve stejné kapitole). T´ımto dosaˇzen´ y stav na konci roku je potom souˇcasnˇe poˇca´teˇcn´ım stavem roku následuj´ıc´ıho.

V´ ykaz zisk˚ u a ztr´ at Ve v´ ykazu zisku a ztrát sledujeme vˇsechny náklady a v´ ynosy pˇr´ısluˇsné pojistn´ ym smlouvám a vzniklé bˇehem roku. Z náklad˚ u modelujeme správn´ı a provizn´ı, do v´ ynos˚ u pak poˇc´ıtáme v´ ynosy z fond˚ u (klienta a státn´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u), z pˇr´ıspˇevk˚ u klienta a státu, z náklad˚ u a z fondu penz´ı.

A.3.2

Z´ akladn´ı jmˇ en´ı, rezervn´ı fond

Tyto pasiva se modeluj´ı oddˇelenˇe od prostˇredk˚ u u ´ˇcastn´ık˚ u na zvláˇstn´ım listu Vyvoj-pasiva(3)”. Na tomto listu sledujeme v´ yˇsi základn´ıho jmˇen´ı a rezervn´ıho ” 51

fondu (poˇc´ıtáme dohromady) a stav prostˇredk˚ u na neaktivn´ıch smlouvách. Z tˇechto prostˇredk˚ u poˇc´ıtáme v´ ynos, kter´ y pak na konci roku pˇriˇcteme k v´ ynos˚ um z jednotliv´ ych smluv. Dále zde sledujeme pˇripsané pod´ıly na zisku do rezervn´ıho fondu a pˇr´ıpadné zv´ yˇsen´ı základn´ıho jmˇen´ı o kapitálovou podporu poskytnutou akcionáˇrem. O kapitálové dotaci je v´ıce ˇreˇceno v kapitole 3.2.4.

A.4

V´ yvoj aktiv

V´ yvoj aktiv se modeluje na listu odpov´ıdaj´ıc´ıho názvu – Vyvoj-aktiva”. V jednot” liv´ ych sloupc´ıch sledujeme v prvn´ı ˇca´sti stavy modelovan´ ych aktiv a v druhé ˇcásti v´ ynosy z nich. Mnoˇzstv´ı jednotliv´ ych aktiv je stále drˇzeno v konstantn´ıch pomˇerech stanoven´ ych na zaˇca´tku v´ ypoˇctu, takˇze vˇzdy na poˇcátku roku je jejich stav pomˇernˇe upraven vzhledem k v´ yˇsi pasiv z konce pˇredcházej´ıc´ıho roku, tak aby byla zachována rovnost v´ yˇse pasiv = v´ yˇse aktiv. Ve sloupci Staré dluhopisy se sleduje hodnota dluhopis˚ u, které byly v portfoliu na poˇca´tku modelován´ı. Jsou drˇzeny do splatnosti (jako ostatnˇe i novˇe nakoupené dluhopisy) a postupnˇe amortizovány. Novˇe investované prostˇredky do dluhopis˚ u se investuj´ı do dluhopis˚ u s pevnˇe stanovenou délkou 5 let. V´ ynosy z aktiv zjednoduˇsenˇe poˇc´ıtáme tak, ˇze se drˇz´ıme pˇredstavy, ˇze se po cel´ y rok zhodnocuje objem aktiv z poˇca´tku roku. Stavy aktiv se totiˇz upravuj´ı vˇzdy aˇz na poˇcátku dalˇs´ıho roku podle stavu pasiv, jak uˇz bylo zm´ınˇeno v´ yˇse. Abychom nˇejak´ ym zp˚ usobem zahrnuli do poˇc´ıtán´ı v´ ynos˚ u i toky, které prob´ıhaj´ı v penzijn´ım fondu bˇehem roku, stanovili jsme k tomuto u ´ˇcelu sloupec nazvan´ y Do´ uroˇcen´ı volných penˇez. Tyto prostˇredky se zhodnocuj´ı stejnˇe jako prostˇredky na bˇeˇzném u ´ˇctu a jejich v´ yˇse se stanovuje jako pr˚ umˇerné platby z a do fondu bˇehem roku – tj. pr˚ umˇerné pˇrijaté pojistné a státn´ı pˇr´ıspˇevky m´ınus pr˚ umˇerné vyplacené prostˇredky (odbytné, jednorázové vyrovnán´ı, penze). Jejich v´ yˇse tak m˚ uˇze b´ yt i záporná. Celkové roˇcn´ı zhodnocen´ı portfolia aktiv se vypoˇcte jako celkové v´ ynosy z aktiv bˇehem roku ku stavu pasiv na poˇcátku roku.

A.5

Z´ avˇ ereˇ cn´ e pozn´ amky

Vˇsechny sledované parametry penzijn´ıho fondu za kaˇzd´ y rok v´ ypoˇctu jsou znázornˇeny na listu Suma” – vˇzdy je zde uveden pˇr´ısluˇsn´ y souˇcet pˇres vˇsechny model”

52

pointy. List Summary” potom znázorˇ nuje pˇrehlednˇeji vybrané toky a také slouˇz´ı k ” v´ ypoˇctu reálné hodnoty závazk˚ u penzijn´ıho fondu. Na listech Vysledky-FairValue” ” a Vysledky-CashFlows” se bˇehem v´ ypoˇctu pr˚ ubˇeˇznˇe zobrazuj´ı v´ ysledky simu” lac´ı podle jednotliv´ ych scénáˇr˚ u zhodnocen´ı aktiv nasimulovan´ ych Pascalem – tj. na listu Vysledky-FairValue” jsou to toky pˇr´ısluˇsné reálné hodnotˇe a na listu ” Vysledky-CashFlows” pak hodnoty vybran´ ych tok˚ u za kaˇzdou simulaci. ”

53

Literatura ˇ e republiky: http://www.apfcr.cz [1] Asociace penzijn´ıch fond˚ u Cesk´ [2] Baxter, M., Rennie, A. (1996): Financial calculus. An introduction to derivative pricing. University Press, Cambridge. [3] Cipra, T. (1996): Penzijn´ı pojiˇstˇen´ı a jeho výpoˇcetn´ı aspekty. Edice HZ, Praha. ˇ a spoleˇcnost aktuár˚ [4] Cesk´ u: http://www.actuaria.cz [5] Finfrle, P. (2001): Modelov´ an´ı zisku penzijn´ıho fondu. Semináˇr z aktuársk´ ych vˇed 2000/01, Matfyzpress, Praha. [6] Finfrle, P. (2005): Model výpoˇctu re´ alné hodnoty závazku ze ˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı. Dizertaˇcn´ı práce, MFF UK, Praha. [7] Free Pascal Home Page : http://www.freepascal.org [8] International Accounting Standardisation Board (2003): Exposure Draft 5 – Insurance Contracts, IASB, London. [9] International Accounting Standardisation Board (2004): International Finacial Reporting Standard 4 – Insurance Contracts, IASB, London. [10] International Accounting Standardisation Committee (1989): The framework for the preparation and presentation of financial statements, IASC, London. [11] Mandl, P. (2003): Stochastické finanˇcn´ı modely. Semináˇr z aktuársk´ ych vˇed 2002/03, 80-108, Matfyzpress, Praha. [12] Steering Committee on Insurance (1999): An Issue Paper issued for the comment, IASC, London. [13] Steering Committee on Insurance (1999): Draft Statement of Principles, IASC, London. [14] Zákon ˇc.42/1994 Sb., o penzijn´ım pˇripojiˇstˇen´ı se státn´ım pˇr´ıspˇevkem, v ˇ platném znˇen´ı, MF CR.

54

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Matematicko fyzikální fakulta

Recommend Documents