Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikáln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

2008

ˇ y Jakub Cern´

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikáln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

ˇ y Jakub Cern´ Odhady Value at Risk pro trˇ zn´ı a kreditn´ı riziko Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky

Vedouc´ı bakal´ aˇ rsk´ e pr´ ace: RNDr. Jiˇr´ı Witzany, Ph.D. Studijn´ı program: Matematika Studijn´ı pl´ an: Finanˇcn´ı matematika 2008

Rád bych podˇekoval hlavnˇe vedouc´ımu mé bakaláˇrské práce RNDr. Jiˇr´ımu Witzanymu, Ph.D., za ˇcas a ochotu, se kterou se mi vˇenoval, za poskytnuté materiály, cenné rady a pˇripom´ınky k textu. Dále Lukáˇsovi Kopeckému za pomoc pˇri tvorbˇe obrázk˚ u.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakaláˇrskou práci napsal samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcován´ım práce a jej´ım zveˇrejˇ nován´ım. ˇ y Jakub Cern´

V Praze dne 11.12.2008

2

Obsah ´ 1 Uvod

5

2 Teoretick´ aˇ c´ ast 2.1 Definice a vymezen´ı pojm˚ u. . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Statistická ˇcást . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Finanˇcn´ı ˇcást . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Absolutn´ı VaR . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Relativn´ı VaR . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Parametrick´ y a neparametrick´ y VaR . . . 2.3 Trˇzn´ı VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Metoda variance a kovariance . . . . . . . 2.3.2 Historická simulace . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Metoda Monte Carlo . . . . . . . . . . . . 2.4 Kreditn´ı VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Kreditn´ı riziko a VaR . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Pravdˇepodobnost selhán´ı a kreditn´ı rating 2.4.3 V´ ynosové kˇrivky a recovery rate . . . . . . 2.4.4 Kreditn´ı migrace a korelace . . . . . . . . 2.5 Nejznámˇejˇs´ı metody mˇeˇren´ı kreditn´ıho VaR . . . 2.5.1 CreditMetrics . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 CreditRisk+ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 KMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Riziko a kapitálová pˇrimˇeˇrenost . . . . . . . . . . 2.6.1 Basel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Basel II . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Analytick´ aˇ c´ ast 3.1 Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Vybrané burzovn´ı indexy . . . . . . . . . . . 3.1.2 Sloˇzen´ı portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Nezávislost transformovan´ ych dat . . . . . . 3.1.4 Rozdˇelen´ı a normalita transformovan´ ych dat 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 6 9 11 11 11 12 13 13 17 20 21 21 22 22 24 25 25 29 30 31 31 33

. . . . .

37 37 37 37 38 39

3.2

3.3

V´ yhody a nev´ yhody VaR . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Celkové riziko a kapitálová pˇrimˇeˇrenost 3.2.2 Málo pravdˇepodobné ztráty . . . . . . 3.2.3 Subaditivita . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Statické portfolio . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Pohled do budoucna . . . . . . . . . . Shrnut´ı v´ ysledk˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Doporuˇcen´ y postup pro investora . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

44 44 44 46 46 47 47 47

4 Z´ avˇ er

48

Literatura

49

4

Název práce: Odhady Value at Risk pro trˇzn´ı a kreditn´ı riziko ˇ y Autor: Jakub Cern´ Katedra (´ ustav): Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı bakaláˇrské práce: RNDr. Jiˇr´ı Witzany, Ph.D. e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: Tato práce studuje statistické odhady trˇzn´ıho a kreditn´ıho rizika pomoc´ı m´ıry rizika Value at Risk. Teoretická ˇcást popisuje definici Value at Risk, odhad Value at Risk pro trˇzn´ı riziko varianˇcnˇe kovarianˇcn´ı metodou, metodou historické simulace, metodou simulace Monte Carlo a odhad Value at Risk pro kreditn´ı riziko nejznámˇejˇs´ımi metodami CreditMetrics, CreditRisk+ a KMV. Tato ˇcást je zakonˇcena historick´ ym v´ yvojem a v´ ypoˇctem kapitálové pˇrimˇeˇrenosti. Analytická ˇcást práce rozeb´ırá hlavn´ı v´ yhody a nev´ yhody Value at Risk na pˇr´ıkladu portfolia sloˇzeného z cenn´ ych pap´ır˚ u vázan´ ych na reálné burzovn´ı indexy. C´ılem této práce je popsat Value at Risk jako celek, popsat jej´ı v´ yhody a analyzovat nev´ yhody. Kl´ıˇcová slova: Value at Risk, Trˇzn´ı VaR, Kreditn´ı VaR, Kapitálová pˇrimˇeˇrenost

Title: Estimations of market and credit Value at Risk ˇ y Author: Jakub Cern´ Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: RNDr. Jiˇr´ı Witzany, Ph.D. Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: This present work studies statistical estimations of market and credit risk by measure of risk called Value at Risk. Theoretical part of this work describes the defintion of Value at Risk, estimations of Value at Risk for market risk by the variance and covariance method, by historical simulation method, by Monte Carlo simulation method and estimations of Value at Risk for credit risk by the most widely known methods CreditMetrics, CreditRisk+ and KMV. This part ends by historical development and calculation of capital adequacy. The analytical part of the work analyses main advantages and disadvantages of Value at Risk on the example of portfolio compact of exchange-traded funds. The aim of this work is to describe Value at Risk as a whole, describe its advantages and analyse disadvantages. Keywords: Value at Risk, Market VaR, Credit VaR, Capital adequacy

5

Kapitola 1 ´ Uvod ˇ ızen´ı rizik je velmi d˚ R´ uleˇzité pro existenci a dobré fungován´ı podnik˚ u, zvláˇst’ bank a finanˇcn´ıch instituc´ı, u kter´ ych by pˇr´ıpadn´ y krach znamenal naruˇsen´ı finanˇcn´ıho systému a ekonomiky celkovˇe, nemluvˇe o u ´jmˇe vkladatel˚ u. Koncept hodnoty v riziku (Value at Risk) se v posledn´ıch dvou desetilet´ıch stal základn´ım kamenem ˇr´ızen´ı jak trˇzn´ıho, tak i kreditn´ıho rizika. Value at Risk (zkr. VaR) jako odhad maximáln´ı pravdˇepodobné ztráty je pro veden´ı bank a finanˇcn´ıch instituc´ı shrnut´ı veˇsker´ ych rizik do jediného ˇc´ısla, které jiˇz nevyˇzaduje hlubˇs´ı matematické a statistické znalosti. Vedle toho má VaR i svá u ´skal´ı, která bude tato práce rozeb´ırat. Celá práce je rozdˇelena na dvˇe hlavn´ı kapitoly, na teoretickou ˇcást a analytickou ˇcást. V teoretické ˇcásti jsou vysvˇetleny základn´ı pojmy statistiky a finanˇcn´ı matematiky, definice VaR, odhady trˇzn´ıho VaR pomoc´ı simulaˇcn´ıch a analytick´ ych metod, nejznámˇejˇs´ı metody odhadu kreditn´ıho VaR. Odhad kreditn´ıho rizika pomoc´ı metodologie CreditMetrics je rozebrán detailnˇeji. Závˇer teoretické ˇcásti patˇr´ı popisu kapitálov´ ych poˇzadavk˚ u Basel I a Basel II. V analytické ˇcásti práce se zamˇeˇr´ıme na v´ yhody, ale hlavnˇe nev´ yhody VaR demonstrované na pˇr´ıkladu s reáln´ ymi daty a moˇzné alternativy této m´ıry rizika v podobˇe koherentn´ıch mˇer nebo tzv. conditional VaR (zkr. CVaR). Pro anal´ yzu dat pouˇzijeme program R.

6

Kapitola 2 Teoretick´ aˇ c´ ast 2.1

Definice a vymezen´ı pojm˚ u

V této kapitole si zadefinujeme pojmy z teorie pravdˇepodobnosti a finaˇcn´ı matematiky, které budeme v následuj´ıc´ım textu bˇeˇznˇe pouˇz´ıvat. Znalost tˇechto pojm˚ u je k pochopen´ı dalˇs´ıho studia odhad˚ u VaR (a rizika obecnˇe) kl´ıˇcová. Pˇredpokladem jsou základn´ı znalosti matematické anal´ yzy, lineárn´ı ´ algebry a teorie m´ıry. Upln´ y aparát teorie pravdˇepodobnosti je popsán v [10].

2.1.1

Statistick´ aˇ c´ ast

Definice 1 (Rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny) Rozdˇelen´ım n´ ahodné veliˇciny X rozum´ıme m´ıru (∀B ∈ B) PX (B) = P {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = P [X ∈ B],

(2.1.1)

kde ω ∈ Ω je elementárn´ı jev a B je borelovská σ-algebra podmnoˇziny R. Definice 2 (Distribuˇ cn´ı funkce) Distribuˇcn´ı funkce F náhodné veliˇciny X je (∀x ∈ R) F (x) = P [X < x]. (2.1.2) Definice 3 Distribuˇcn´ı funkci F naz´ yváme absolutnˇe spojitou, pokud existuje nezáporná borelovsky mˇeˇritelná funkce f taková, ˇze (∀x ∈ R) F (x) =

Zx

f (u)du

−∞

Pozn´ amka: Funkci f naz´ yváme hustota náhodné veliˇciny.

7

(2.1.3)

Definice 4 (Kvantilov´ a funkce a kvantil) Necht’ náhodná veliˇcina X má distribuˇcn´ı funkci F (x), x ∈ R Funkce F −1 (u) = inf {x : F (x) ≥ u}, 0 ≤ u ≤ 1.

(2.1.4)

se naz´ yvá kvantilová funkce. Hodnoty kvantilové funkce se naz´ yvaj´ı kvantily. Napˇr. α-kvantil je hodnota −1 F (α). Definice 5 (Stˇ redn´ı hodnota) Stˇredn´ı hodnota náhodné veliˇciny X je definovaná pˇredpisem Z Z (2.1.5) E[X] = X(ω)dP (ω) = xdF (x), Ω

R

Stˇredn´ı hodnota sama o sobˇe nemá velkou vypov´ıdac´ı schopnost. Stˇredn´ı hodnota je reálné ˇc´ıslo, okolo kterého hodnoty náhodné veliˇciny kol´ısaj´ı. My pro u ´ˇcely mˇeˇren´ı rizik potˇrebujeme znát i odchylku od stˇredn´ı hodnoty. Definice 6 (Rozptyl) Rozptyl náhodné veliˇciny je definován pˇredpisem 2 var[X] = E[X − E[X]]2 = σX .

Smˇerodatná odchylka σX = Definice 7 (Kovariance)

p var[X].

(2.1.6) (2.1.7)

cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ]

(2.1.8)

var[X ± Y ] = var[X] + var[Y ] ± 2cov(X, Y ).

(2.1.9)

Speciálnˇe cov(X, X) = var[X]. Definice 8 (Korelace) Necht’ X, Y ∈ L2 , var[X] > 0, var[Y ] > 0. Korelaˇcn´ı koeficient veliˇcin X a Y se znaˇc´ı ρ(X, Y ) nebo cor(X, Y ) a je definován vztahem cov(X, Y ) ρ(X, Y ) = p . (2.1.10) var[X] · var[Y ] Definice 9 (Mnohorozmˇ ern´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı) Necht’ Z = (Z1 , . . . , Zr )T , kde Z1 , . . . , Zr jsou nezávislé náhodné veliˇcny, Zi ∼ N (0, 1), i = 1, . . . , r. Necht’ A je matice typu n×r. Vezmˇeme X = AZ+µ, kde µ∈ Rn . Pak ˇr´ıkáme, ˇze X má mnohorozmˇerné norm´ aln´ı rozdˇelen´ı s parametry µ a Σ = AAT . Znaˇc´ıme X ∼ Nn (µ, Σ). 8

Kovarianˇcn´ı matici m˚ uˇzeme pˇrepsat jako Σ = E[(X − EX)(X − EX)T ]   2 σ11 cov12 . . . cov1n  cov21 σ 2 . . . cov2n  22   Σ =  .. .. ..  ...  . . .  2 covn1 covn2 . . . σnn

Definice 10 (Markov˚ uv ˇ retˇ ezec) Posloupnost celoˇc´ıseln´ ych náhodn´ ych ∞ veliˇcin {Xn }n=0 se naz´ yvá Markov˚ uv ˇretˇezec, jestliˇze P (Xn+1 = j|Xn = i, Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 ) = P (Xn−1 = j|Xn = i), pro kaˇzdé n ∈ N, j, i, in−1 , . . . , i0 ∈ S, S ⊂ Z je mnoˇzina stav˚ u ˇretˇezce. Definice 11 (Pravdˇ epodobnost pˇ rechodu) Necht’ n ∈ N0 , potom se pij (n, n + 1) = P (Xn+1 = j, Xn = i) naz´ yvá pravdˇepodobnost pˇrechodu ze stavu i (v ˇcase n) do stavu j (v ˇcase n + 1). Pokud pij (n, n + 1) = pij nezávis´ı na n, naz´ yvá se Markov˚ uv ˇretˇezec homogenn´ı. Definice 12 (Matice pˇ rechodu) Necht’ pro kaˇzdé i ∈ S existuje n ∈ N0 tak, ˇze P (Xn = i) > 0 a tak pravdˇepodobnost P (Xn+1 = j|Xn = i) = pij je pro kaˇzdé j ∈ S definována, pak m˚ uˇzeme ze vˇsech tˇechto pravdˇepodobnost´ı sestavit ˇctvercovou matici P. Symbolicky zap´ıˇseme P = {pij }i,j∈S a naz´ yváme matic´ı pravdˇepodobnost´ı pˇrechodu. Vˇ eta 1 (Cholesk´ eho rozklad) Pro kaˇzdou symetrickou, pozitivnˇe definitn´ı n×n matici V ∈ R (∀x 6= 0, x ∈ Rn , xT Vx > 0) existuje právˇe jedna doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice L takov´ a, ˇze V = LT L,

(2.1.11)

kde diagonáln´ı prvky matice L jsou vˇetˇs´ı neˇz nula a n ∈ N. D˚ ukaz se provede indukc´ı.

9

2.1.2

Finanˇ cn´ı ˇ c´ ast

V této ˇcásti se budeme vˇenovat pojm˚ um finanˇcn´ı matematiky. Narozd´ıl od statistiky se ve finanˇcn´ı matematice nedá vˇse striktnˇe a jednoznaˇcnˇe zadefinovat. Proto budeme pouˇz´ıvat kromˇe definic i obecná oznaˇcen´ı, která mohou b´ yt interpretována r˚ uznˇe. Dále v textu budeme portfolio chápat jako soubor aktiv a pasiv s urˇcitou hodnotou, která se v ˇcase mˇen´ı. Definice 13 (Relativn´ı a absolutn´ı ztr´ ata) Necht’ Vt je hodnota portfolia v ˇcase t = 0, 1, . . . , T , kde VT je hodnota v ˇcase T a V0 je poˇcáteˇcn´ı hodnota. Potom XT = VT − EVT , (2.1.12) je relativn´ı ztr´ ata (resp. zisk) v ˇcase T , pokud je XT záporn´ y (resp. kladn´ y). Podobnˇe XT = VT − V0 (2.1.13)

je absolutn´ı ztr´ ata (resp. zisk) v ˇcase T , pokud je XT záporn´ y (resp. kladn´ y). Riziko Pod pojmem rizika rozum´ıme budouc´ı moˇznost ztrát. Tuto moˇznost m˚ uˇzeme charakterizovat rozdˇelen´ım ztrát, které mohou nastat. Trˇ zn´ı riziko Trˇzn´ı riziko je rozdˇelen´ı ztrát, které jsou funkc´ı trˇzn´ıch faktor˚ u. Hlavn´ımi trˇzn´ımi faktory jsou: u ´rokové sazby, mˇenové kurzy, ceny akci´ı, ceny komodit a ceny podkladov´ ych instrument˚ u. Kreditn´ı riziko Kreditn´ı riziko je rozdˇelen´ı ztrát, které jsou funkc´ı kreditn´ıch faktor˚ u. Jedn´ım z hlavn´ıch kreditn´ıch faktor˚ u je ohodnocen´ı protistrany (rating). Kreditn´ı riziko m˚ uˇze vzniknout, nebo se zmˇenit v závislosti na ratingu dvˇema zp˚ usoby: 0-1 zp˚ usob a zp˚ usob zmˇeny ratingu. 0-1 zp˚ usob ohodnocuje pouze na selhal-neselhal (tzv. default mode). Zp˚ usob zmˇeny ratingu ohodnocuje podle toho, v jaké ratingové kategorii se protistrana nacház´ı (tzv. mark-to-market mode). Z toho plyne, ˇze mark-to-market mode zahrnuje default mode. Definice 14 (Line´ arn´ı a neline´ arn´ı portfolio) Necht’ P1 , P2 , . . . , Pn jsou ceny (náhodné veliˇciny) jednotliv´ ych aktiv Ai , i = 1, 2, . . . , n. Lineárn´ım portfolio je kaˇzdé portfolio, jehoˇz cena (hodnota) je jeho lineárn´ı kombinac´ı w1 P1 + w2 P2 + · · · + wn Pn , kde wi je váha i-tého aktiva v portfoliu. Pokud portfolio nen´ı lineárn´ı kombinac´ı váˇzen´ ych cen, naz´ yváme ho nelineárn´ı. 10

Definice 15 (Kovarianˇ cn´ı matice v´ ynos˚ u) Necht’ i, j ∈ N, σj je standartn´ı odchylka denn´ı relativn´ı zmˇeny trˇzn´ıho faktoru j a ρi,j je korelace relativn´ıch denn´ıch zmˇen trˇzn´ıch faktor˚ u i a j. Potom se Vi,j = σi σj ρi,j , naz´ yvá kovarianˇcn´ı matice výnos˚ u. Definice rizika, kterou jsme si uvedli, je pouze jednou z mnoha. Proto existuj´ı i r˚ uzné m´ıry rizika jako napˇr. standartn´ı odchylka, Value at Risk nebo CVaR. Definice 16 (Smˇ erodatn´ a (standartn´ı) odchylka) Necht’ RT je relativn´ı zmˇena ceny v ˇcase T vyjádˇrená jako RT =

VT − V0 V0

a zároveˇ n je RT náhodná veliˇcina. Potom p σ(RT ) = var(RT ),

(2.1.14)

je riziko vyjádˇrené smˇerodatnou (standartn´ı) odchylkou. Ve finanˇcn´ı oblasti se takto vyjádˇrené smˇerodatné odchylce nˇekdy také ˇr´ıká volatilita. M´ırou Value at Risk se budeme zab´ yvat ve zb´ yvaj´ıc´ım textu. V analytické ˇcásti rozebreme CVaR jako ˇreˇsen´ı pˇri nedostateˇcném pokryt´ı málo pravdˇepodobn´ ych ztrát m´ırou Value at Risk.

11

2.2

Value at Risk

2.2.1

Absolutn´ı VaR

Za pomoc´ı pojm˚ u z kapitoly 2 si jiˇz m˚ uˇzeme formulovat slovn´ı i matematickou definici Value at Risk (dále jen VaR). Pro dané portfolio aktiv a pasiv, v ˇcasovém horizontu t a s pravdˇepodobnost´ı α, pˇredstavuje VaRt,α maximáln´ı potenciáln´ı ztrátu X v˚ uˇci poˇcáteˇcn´ı hodnotˇe, ke které m˚ uˇze doj´ıt v ˇcasovém horizontu t s pravdˇepodobnost´ı 1−α. Tedy s pravdˇepodobnost´ı α bude ztráta niˇzˇs´ı neˇz X a s pravdˇepodobnost´ı 1 − α ztráta bude X a v´ıce. Definice 17 (Value at risk) Necht’ α ∈ (0, 1) je hladina spolehlivosti a X je ztráta, potom VaRabs t,α = −inf {x ∈ R : F (x) ≥ 1 − α}. naz´ yváme absolutn´ı VaR. Jin´ ymi slovy je VaR kvantil rozdˇelen´ı ztráty (dle rovnice (2.1.4)).

VaRabs t,a Ztráta

(1-α) kvantil

0 µ

Zisk

Obr´ azek 2.1: Grafick´ e zn´ azornˇ en´ı absolutn´ı VaR

2.2.2

Relativn´ı VaR

Pouˇz´ıvá se i tzv. relativn´ı hodnota v riziku VaRrel a jako t,α definovan´ abs VaRrel t,α = E[X] + VaRt,α

(2.2.1)

Relativn´ı VaR je v´ıce vyuˇz´ıvaná neˇz absolutn´ı VaR, jak se budeme moci pˇresvˇedˇcit u metody variance a kovariance (kapitola 2.3.1). Budeme uvaˇzovat portfolio s hodnotou P0 a m´ıru zisku jako náhodnou veliˇcinu R pˇres ˇcasov´ y interval se stˇredn´ı hodnotou µ. A (1−α)-kvantil náhodné veliˇciny R oznaˇc´ıme jako R∗ . Potom je ∗ (2.2.2) VaRabs t,α = −P0 R 12

a relativn´ı hodnota abs ∗ ∗ VaRrel t,α = µP0 + VaRt,α = P0 µ − P0 R = P0 (µ − R ).

(2.2.3)

VaRrel t,a Ztráta

(1-α) kvantil

µ

Zisk

Obr´ azek 2.2: Grafick´ e zn´ azornˇ en´ı relativn´ı VaR Dále nebudeme horn´ı index u oznaˇcen´ı VaR pouˇz´ıvat, pokud nebude pˇredem ˇreˇceno jinak, jedná se o relativn´ı VaR.

2.2.3

Parametrick´ y a neparametrick´ y VaR

Zp˚ usob, jak´ ym jsme si zadefinovali VaR, se op´ırá o distribuˇcn´ı funkci. Ze skuteˇcnosti, ˇze máme k dispozici jen omezen´ y poˇcet historick´ ych dat, plyne, ˇze neznáme pˇresnou distribuˇcn´ı funkci a t´ım pádem ani VaR. Avˇsak my si m˚ uˇzeme distribuˇcn´ı funkci odhadnout tak, ˇze odhadnutá distribuˇcn´ı funkce se bude bl´ıˇzit k té skuteˇcné. Posloupnost nezávisl´ ych stejnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin Xi pro i = 1, . . . , n se naz´ yvá n´ ahodný výbˇer. Pro statistické zpracován´ı vˇsak nejsou k dispozici náhodné veliˇciny X1 , . . . , Xn , ale jejich skuteˇcnˇe napozorované hodnoty x1 , . . . , xn , které oznaˇcujeme jako pozorován´ı náhodného v´ ybˇeru. Oznaˇcme skuteˇcnou distribuˇcn´ı funkci náhodn´ ych veliˇcin Xi jako F0 . Tuto distribuˇcn´ı funkci neznáme. Mus´ıme stanovit model, tj. mnoˇzinu F vˇsech rozdˇelen´ı, kter´ ych pozorován´ı xi mohou nab´ yvat. Mus´ı platit F0 ∈ F.

Moˇznosti pro model F:

(i) mnoˇzina vˇsech rozdˇelen´ı na R s koneˇcnou stˇredn´ı hodnotou nebo koneˇcn´ ym rozptylem. Pak odhadujeme napˇr. EXi , varXi a naz´ yváme neparametrick´ y model. Neparametrick´ y model nám poslouˇz´ı pˇri odhadu tzv. neparametrického VaR, na kterém jsou zaloˇzeny simulaˇcn´ı metody. Napˇr. metoda historické simulace (kapitola 2.3.2) a metoda simulace Monte Carlo (kapitola 2.3.3). 13

(ii) mnoˇzina rozdˇelen´ı urˇcitého typu, napˇr. F = {vˇsechna exponenciáln´ı rozdˇelen´ı s parametrem λ > 0} F = {vˇsechna normáln´ı rozdˇelen´ı s parametry µ ∈ R, σ 2 > 0} µ a naz´ yváme parametrick´ y Pak odhadujeme parametr λ, nebo σ2 model. Parametrick´ y model slouˇz´ı k odhadu tzv. parametrického VaR, na kterém jsou zaloˇzeny parametrické metody. Napˇr. metoda variance a kovariance.(kapitola 2.3.1)

2.3

Trˇ zn´ı VaR

Trˇzn´ı VaR je m´ırou trˇzn´ıho rizika. Metody v této kapitole nejsou urˇceny pouze pro mˇeˇren´ı trˇzn´ıho VaR, ale pro VaR obecnˇe. Uvád´ım ho v této kapitole, protoˇze VaR byl zaveden v prvn´ı ˇradˇe pro mˇeˇren´ı trˇzn´ıho rizika a regulátoˇri povoluj´ı intern´ı metody mˇeˇren´ı trˇzn´ıho rizika, z nichˇz nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı a nejv´ıc regulátory akceptovaná je právˇe VaR. Základn´ı pˇr´ıstupy ke statistické anal´ yze VaR jsou: • parametrick´ y pˇr´ıstup - Metoda variance a kovariance • empirick´ y (v´ ybˇerov´ y) pˇr´ıstup - Historická simulace • celková anal´ yza - Metoda Monte Carlo a stress testing VaR je pˇr´ıkladem statistického mˇeˇren´ı cenového rizika. Je to statistick´ y odhad, ve kterém je potenciáln´ı ztráta portfolia reprezentována jedn´ım ˇc´ıslem (jej´ı hodnotou) na urˇcité hladinˇe spolehlivosti. ˇ Casto se pro mˇeˇren´ı VaR pˇredpokládá tzv. statické portfolio. To znamená, ˇze mˇeˇr´ıme potenciáln´ı ztrátu hodnoty portfolia na nˇejaké hladinˇe spolehlivosti s danou mnoˇzinou potenciáln´ıch ztrát vzhledem k trˇzn´ım sazbám vypoˇc´ıtan´ ym za podm´ınky, ˇze sloˇzen´ı portfolia se nezmˇen´ı. VaR je obvykle mˇeˇrena jako potenciáln´ı ztráta hodnoty statického portfolia vzhledem ke zmˇenám v trˇzn´ıch sazbách. Pro mnoho, ne-li vˇetˇsinu, portfoli´ı obchodovateln´ ych produkt˚ u se pro pˇresné nebo realistické mˇeˇren´ı trˇzn´ıho rizika po dobu delˇs´ı neˇz 1 den vyˇzaduje modelován´ı VaR v r˚ uzn´ ych ˇcasov´ ych horizontech a stress testing.

2.3.1

Metoda variance a kovariance

U metody variance a kovariance pˇredpokládáme, ˇze zisky a ztráty maj´ı sdruˇzené normáln´ı rozdˇelen´ı. Dále pˇredpokládáme, ˇze portfolio (jednotlivé 14

instrumenty) se dá rozloˇzit na jednotlivé finanˇcn´ı toky a tento rozklad je lineárn´ı. Takˇze souˇcasná hodnota oceˇ nuj´ıc´ı portfolio (pozici v portfoliu) je lineárn´ı funkce souˇcasn´ ych hodnot jednotliv´ ych finanˇcn´ıch tok˚ u. Z tˇechto pˇredpoklad˚ u plyne, ˇze tato lineárn´ı funkce má sdruˇzené normáln´ı rozdˇelen´ı. To nám zjednoduˇs´ı v´ ypoˇcet, protoˇze potom je VaR násobek smˇerodatné odchylky portfolia. Pro odhadnut´ı VaR mus´ıme znát kovarianˇcn´ı matici v´ ynos˚ u a váhy jednotliv´ ych pozic v portfoliu. Z tˇech urˇc´ıme smˇerodatnou odchylku, kterou vynásob´ıme poˇcáteˇcn´ı hodnotou portfolia a kvantilem normáln´ıho rozdˇelen´ı, kter´ y urˇc´ıme dle hladiny spolehlivosti. Kdyˇz se vrát´ıme zpˇet k rovnic´ım (2.2.2) a (2.2.3) a budeme pˇredpokládat, ˇze m´ıra zisku má normáln´ı rozdˇelen´ı (R ∼ N (µ, σ 2 )). Pak se (1 − α)-kvantil R vyjádˇr´ı jako R ∗ = µ − σ · uα , (2.3.1) kde

−u1−α = uα .

(2.3.2)

VaRt,α = −P0 · (µ − σuα )

(2.3.3)

VaRt,α = P0 (µ − (µ − σuα )) = P0 σuα ,

(2.3.4)

Pro absolutn´ı VaR tedy plat´ı

a pro relativn´ı

coˇz pˇresnˇe odpov´ıdá definici jednodenn´ıho VaR pro portfolio o jednom instrumentu. Pˇredpoklad normáln´ıho rozdˇelen´ı nám umoˇzn ˇuje snadné pˇrechody mezi r˚ uzn´ ymi hladinami spolehlivosti. Dle statistick´ ych tabulek si m˚ uˇzeme dohledat pˇr´ısluˇsn´ y kvantil a VaR snadno pˇrepoˇc´ıtat. Hladina spolehlivosti Kvantil 90% 1.282 95.4% (Citibank) 1.695 95% (Riskmetrics) 1.644 99% (BIS Requirements) 2.326 ˇ Tabulka 2.1: Casto pouˇ z´ıvan´ e kvantily pro v´ ypoˇ cet VaR Jednodenn´ı VaR na hladinˇe 95% spoˇc´ıtáme jako: VaR1,0.95 = P0 · 1.644 · σ1 Pˇri v´ ypoˇctu VaR se pˇredpokládá realistiˇctˇejˇs´ı pr˚ umˇerná doba drˇzen´ı t aktiva (napˇr. t = 10, 20, 250). A nás zaj´ımá VaR právˇe za toto obdob´ı. D´ıky pˇredpokladu nezávislosti m˚ uˇzeme rozptyl odhadnout jako σt2 = t · σ12 . 15

(2.3.5)

Z toho plyne, ˇze smˇerodatná odchylka je √ σt = tσ1 .

(2.3.6)

V pˇr´ıpadˇe, ˇze bychom nemˇeli k dispozici jednodenn´ı volatilitu, ale volatility v ˇcasech t1 , t2 , pak m˚ uˇzeme pˇrepsat (2.3.6) jako √ t1 σ1 , σt1 = √ σt2 = t2 σ1 , coˇz je σt2 =

r

t2 σt . t1 1

Následnˇe aplikujeme na vzorec (2.3.4) r t2 VaRt2 ,α = VaRt1 ,α . t1

(2.3.7)

(2.3.8)

Jin´ ymi slovy m˚ uˇzeme VaR upravit podle r˚ uzn´ ych period drˇzen´ı pouze zmˇenou pomˇeru druh´ ych odmocnin tˇechto period. Takˇze pˇredpoklad normáln´ıho rozdˇelen´ı nám ˇr´ıká o VaR s jak´ ymikoliv kombinacemi hladin spolehlivosti a dobami drˇzen´ı u ´plnˇe vˇse. Jiˇz jsme si ˇrekli, ˇze banky podléhaj´ı kapitálov´ ym poˇzadavk˚ um (CAD) 1 (kapitola 2.6). Komise poˇzaduje od banky alespoˇ n desetidenn´ı volatilitu a hladinu spolehlivosti 99%. V [11] je hladina spolehlivosti 95% a jednodenn´ı volatilita. Takˇze plat´ı jednoduch´ y vztah √ . . 2.326 . VaRCAD = 2.326 · σ10 · P0 = · σ1 · 10 · P0 = 4.5 · VaRRiskM etrics . 1.644 Veˇskeré v´ ypoˇcty metodou variance a kovariance, které jsme si zde ukázali se zab´ yvaj´ı pouze jedn´ım aktivem. Abychom mohli poˇc´ıtat VaR celého portfolia (jedná se o lineárn´ı portfolio viz Definice 14), potˇrebujeme dalˇs´ı vstup do v´ ypoˇctu a t´ım jsou korelace mezi jednotliv´ ymi rizikov´ ymi faktory a také vzájemné korelace mezi pozicemi v portfoliu. Necht’ portfolio obsahuje k aktiv a Pi je hodnota investovaná do i-tého aktiva, potom m˚ uˇzeme zobecnit v´ ypoˇcet rozptylu jako v u k k uX X σ=t Pi Pj σi σj ρij , (2.3.9) i=1 j=1

1

Basel Comitee

16

coˇz m˚ uˇzeme jeˇstˇe upravit 2

σ =

k X

Pi2 σi2

+2

i=1

k X X

ρij Pi Pj σi σj .

(2.3.10)

i=1 j
Potom m˚ uˇzeme zobecnit i v´ ypoˇcet VaR p VaRt,α = P × V × PT ,

(2.3.11)

kde P = (u1−α · P1 , . . . , u1−α · Pk ) a V je kovarianˇcn´ı matice. Doposud jsme se zab´ yvali tzv. lineárn´ım modelem. Nejjednoduˇsˇs´ı aplikac´ı lineárn´ıho modelu je portfolio bez derivát˚ u obsahuj´ıc´ı pouze pozice v ciz´ı mˇenˇe, akci´ıch, komoditách a dluhopisech (dluhopisy pˇri zanedbán´ı konvexity). Jin´ ymi slovy je naˇse portfolio lineárn´ı, tedy v´ ynosy portfolia jsou lineárnˇe závislé na v´ ynosech jednotliv´ ych aktiv tvoˇr´ıc´ıch portfolio. Pˇr´ıkladem derivátu v lineárn´ım modelu je forwardov´ y kontrakt ke koupi ciz´ı mˇeny, na kter´ y m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na smˇenu ciz´ıho bezkupónového dluhopisu s domác´ım bezkupónov´ ym dluhopisem. Pro u ´ˇcely v´ ypoˇctu VaR je forward upraven tak, ˇze dlouhá pozice je pro ciz´ı dluhopis a krátká pozice pro domác´ı dluhopis. Jako dalˇs´ı pˇr´ıklad m˚ uˇzeme uvaˇzovat u ´rokov´ y swap. Na ten m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na smˇenu dluhopisu s pohyblivou sazbou s dluhopisem s fixn´ı sazbou. Nyn´ı budeme uvaˇzovat lineárn´ı model se zahrnut´ım opc´ı. Pˇredpokládejme portfolio obsahuj´ıc´ı opci na jedinou akcii, jej´ıˇz cena je S. Potom je ∆=

δP δS

(2.3.12)

m´ıra zmˇeny hodnoty portfolia S, kde δS je jednodenn´ı zmˇena ceny akcie a δP je jednodenn´ı zmˇena hodnoty portfolia. Pak m˚ uˇzeme definovat δx =

δS , S

(2.3.13)

jako jednodenn´ı zmˇenu ceny. Nyn´ı m˚ uˇzeme zmˇenu ceny lineárnˇe aproximovat δP = ∆ · S · δx.

(2.3.14)

Pro pozice v k podkladov´ ych trˇzn´ıch promˇenn´ ych zahrnuj´ıc´ıch opce m˚ uˇzeme odvodit lineárn´ı vztah mezi δP a δxi , i = 1, . . . , k analogicky δP =

k X i=1

Si · ∆i · δxi , 17

(2.3.15)

kde Si je hodnota i-té trˇzn´ı promˇenné a ∆i m´ıra zmˇeny hodnoty portfolia vzhledem k i-té trˇzn´ı promˇenné. Pokud vˇsak budeme uvaˇzovat portfolio s opcemi, bude lineárn´ı model pouhou aproximac´ı. Model, kter´ y jsme si uvedli v´ yˇse, se také naz´ yvá delta normáln´ı aproximace. Delta je zde m´ıra zmˇeny hodnoty portfolia vzhledem k podkladovému aktivu (trˇzn´ı promˇenné) oznaˇcena jako ∆. Pro zpˇresnˇen´ı naˇsich v´ ypoˇct˚ u budeme pouˇz´ıvat kvadratick´ y model, tzv. delta gamma aproximaci. Gamma je v tomto pˇr´ıpadˇe m´ıra zmˇeny delty vzhledem k trˇzn´ı promˇenné a budeme ji znaˇcit Γ. Γ má velk´ y vliv na v´ ypoˇcet VaR, protoˇze mˇen´ı ˇsikmost pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı podle znaménka a v´ ypoˇcet VaR je závisl´ y na levém konci tohoto rozdˇelen´ı. Pokud budeme porovánat rozdˇelen´ı portfolia s hustotou normáln´ıho rozdˇelen´ı, pak má negativn´ı (resp. pozitivn´ı) Γ tendenci k tˇeˇzˇs´ımu chvostu (resp. ménˇe tˇeˇzkému chvostu). Potom z pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı bude VaR velmi malá (resp. velká). Pˇredpokládejme portfolio o jednom aktivu, jehoˇz hodnota je S. Potom zlepˇsen´ı delta normáln´ı metody za pomoc´ı Taylorova rozvoje m˚ uˇzeme zapsat rovnic´ı 1 δP = ∆δS + Γ(δS)2 . (2.3.16) 2 Dle rovnice (2.3.13) m˚ uˇzeme upravit 1 δP = S∆δx + ΓS 2 (δx)2 . 2

(2.3.17)

Pro portfolio o k podkladov´ ych aktivech, kde kaˇzd´ y z instrument˚ u v portfoliu je závisl´ y pouze na jedné z trˇzn´ıch promˇenn´ ych, m˚ uˇzeme rovnici (2.3.16) pˇrepsat k k X 1X Γi Si (δxi )2 , (2.3.18) δP = ∆i Si δxi + 2 i=1 i=1 kde Si je hodnota i-té trˇzn´ı promˇenné a ∆i a Γi jsou m´ıry vzhledem k ité promˇenné. V´ ypoˇcet pro lineárn´ı a kvadratick´ y model je pˇrevzat z [8]. Podrobnˇejˇs´ı popsán´ı kvadratického modelu lze naj´ıt v [6].

2.3.2

Historick´ a simulace

Metoda historické simulace je zaloˇzena na tom, ˇze máme k dispozici dostateˇcnˇe velk´ y objem dat. Pak m˚ uˇzeme pomoc´ı této metody odhadovat VaR. Postupujeme tak, ˇze si shromáˇzd´ıme data (v´ ynosy jednotliv´ ych instrument˚ u portfolia) z minulého obdob´ı (nebo minul´ ych obdob´ı - záleˇz´ı na instituci, napˇr. banky odhaduj´ı VaR dennˇe). Do ˇcasové ˇrady, která nám vznikne zapoˇc´ıtáme i souˇcasn´ y stav portfolia. Z tˇechto dat odhadneme VaR jako kvantil hustoty rozdˇelen´ı (Definice 17). 18

Z této metody vypl´ yvá, ˇze riziko se mˇeˇr´ı pomoc´ı cenov´ ych zmˇen: absolutn´ı zmˇenou, relativn´ı zmˇenou a logaritmickou zmˇenou v cenˇe. Pokud je zmˇena ceny definována jako relativn´ı k nˇejaké poˇcáteˇcn´ı cenˇe, pak této zmˇenˇe ˇr´ıkáme v´ ynos (m´ıra návratnosti). Jednodenn´ı obdob´ı Necht’ je Pt cena v ˇcase t. Nyn´ı t reprezentuje jeden obchodn´ı den. Absolutn´ı m´ıra zisku mezi obdob´ımi t a t − 1 je Dt = Pt − Pt−1 .

(2.3.19)

Relativn´ı m´ıra zisku, nebo v´ ynos, Rt pro stejné ˇcasové obdob´ı je Rt =

Pt − Pt−1 . Pt−1

Logaritmická m´ıra zisku odpov´ıdá Pt rt = ln = ln (1 + Rt ). Pt−1

(2.3.20)

(2.3.21)

Dále v textu budeme u metody historické simulace vyuˇz´ıvat relativn´ı m´ıru zisku. Pro logaritmickou se vˇsechny v´ ypoˇcty a odvozen´ı provedou analogicky. k-denn´ı obdob´ı Jak je v´ yˇse uvedeno, tak Rt je popsán jako jednodenn´ı v´ ynos. Nyn´ı ukáˇzeme, jak ho vyuˇz´ıt k v´ ypoˇctu v´ ynos˚ u za v´ıce jak jednodenn´ı obdob´ı. k-denn´ı v´ ynos je definován: Rt (k) =

Pt − Pt−k . Pt−k

(2.3.22)

Dle v´ ypoˇctu zmˇeny za jeden den m˚ uˇzeme vyjádˇrit v´ ynos 1+Rt (k) pomoc´ı souˇcinu v´ ynos˚ u za kaˇzd´ y den. 1 + Rt (k) = (1 + Rt )(1 + Rt−1 ) . . . (1 + Rt−k−1 ) Pt−k−1 Pt Pt−1 · · ··· · = Pt−1 Pt−2 Pt−k Pt = . Pt−k

(2.3.23)

Necht’ t = 1, . . . , T jsou jednotlivá obdob´ı. Kdyˇz je lineárn´ı portfolio tvoˇreno N aktivy, pak Rj,t je v´ ynos j-tého aktiva v obdob´ı t a wj,T jsou jednotlivé souˇcasné váhy j-tého aktiva v tomto portfoliu. Potom v´ ynos portfolia Rp,t v obdob´ı t m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat jako Rp,t =

N X j=1

19

wj,T Rj,t .

(2.3.24)

Hodnoty spoˇc´ıtané pomoc´ı rovnice (2.3.24) si seˇrad´ıme podle velikosti Rp,(1) < Rp,(2) < · · · < Rp,(T −1) < Rp,(T ) . A urˇc´ıme empirick´ y (1 − α)-kvantil, 0 < α < 1 (tzv. “cut off point”) R(⌊T (1−α)⌋+1) , pokud T (1 − α) ∈ /Z (2.3.25) u e(1−α) = 1 (R(T (1−α)) + R(T (1−α)+1) ), pokud T (1 − α) ∈ Z 2

vzhledem k dané hladinˇe spolehlivosti. To jest hodnotu, kterou nepˇresáhnou pˇredpokládané ztráty. Absolutn´ı VaR vypoˇcteme jako V aRt,α = −e u(1−α) · P0 .

(2.3.26)

Postup pro v´ ypoˇcet cut off pointu je pˇrevzat z [5]. Odhad VaR pomoc´ı historické simulace pro portfolio nelineárn´ıch instrument˚ u se od odhadu pro lineárn´ı portfolio liˇs´ı. Identifikujeme jednotlivé trˇzn´ı faktory, které ovlivˇ nuj´ı portfolio. Potom shromáˇzd´ıme data zmˇen tˇechto trˇzn´ıch promˇenn´ ych bˇehem nˇejakého daného ˇcasového obdob´ı t, tentokrát je t = 0, . . . , T . Pro nelineárn´ı portfolio si vytvoˇr´ıme dnes (j-t´ y den) T scénáˇr˚ u toho, jak se veliˇcina bude chovat z´ıtra (j + 1 den) podle historického v´ yvoje ˇcasové ˇrady. Definice 18 Necht’ Vik je hodnota k-té trˇzn´ı promˇenné (k = 1, . . . , n) v i-t´ y den (i = 1, . . . , m). Pˇredpokládejme, ˇze dnes je j-t´ y den. Potom i-t´ y scénáˇr hodnoty trˇzn´ı promˇenné z´ıtra (v j + 1 dni) se rovná k Vj+1,i = Vjk

Vik . k Vi−1

(2.3.27)

Dopoˇc´ıtáme celkovou hodnotu portfolia pro kaˇzd´ y scénáˇr a oznaˇc´ıme ji 1 n Pj+1,i = f (Vj+1,i , . . . , Vj+1,i ),

(2.3.28)

kde f je funkce trˇzn´ıch promˇenn´ ych. Vypoˇc´ıtáme relativn´ı zmˇenu Rp,i =

Pj+1,i − Pj , Pj

(2.3.29)

kde Pj je hodnota portfolia v j-t´ y den. Dále postupujeme stejnˇe jako u lineárn´ıho portfolia. Z toho plyne, ˇze lineárn´ı portfolio je speciáln´ım pˇr´ıpadem portfolia nelineárn´ıho.

20

2.3.3

Metoda Monte Carlo

Alternativou k pˇr´ıstup˚ um, které jsme si v´ yˇse zm´ınili je pˇr´ıstup zaloˇzen´ y na vyuˇzit´ı simulace Monte Carlo. U metody historické simulace jsme si zm´ınili, ˇze jej´ı nev´ yhodou je pˇredpoklad velkého objemu dat. Metoda Monte Carlo je simulace v´ yvoje hodnoty portfolia vyuˇz´ıvaj´ıc´ı historická data k odhadu parametr˚ u trˇzn´ıch faktor˚ u, jejich následné simulace, t´ım pádem i simulace hodnoty portfolia a v´ ysledek v podobˇe zisku nebo ztráty. Simulujeme náhodné procesy, které pak udávaj´ı ceny jednotliv´ ych aktiv vytváˇrej´ıc´ıch portfolio. Metoda Monte Carlo nám pomáhá ocenit i tˇeˇzko ocenitelné finanˇcn´ı instrumenty. D´ıky pˇrizp˚ usobivosti této metody ji m˚ uˇzeme aplikovat na r˚ uzná dalˇs´ı rizika (napˇr. kreditn´ı). V textu budeme pouˇz´ıvat pojem náhodná ˇc´ısla, je vˇsak nutné si uvˇedomit, ˇze poˇc´ıtaˇcem generovaná ˇc´ısla jsou pseudonáhodná. Pˇri aplikaci této metody si nejdˇr´ıve zvol´ıme model specifikuj´ıc´ı chován´ı jednotliv´ ych instrument˚ u portfolia a odhadneme parametry. M˚ uˇzeme volit napˇr. model náhodné procházky, Brown˚ uv pohyb (Wiener˚ uv proces). Budeme pouˇz´ıvat pˇr´ır˚ ustkov´ y model rovnice Brownova pohybu ceny akcie St jako √ St+∆t − St = St (µ∆t + σ ∆tεt ), (2.3.30) kde µ je bezriziková m´ıra zisku trˇzn´ı ceny akcie, σ je volatilita trˇzn´ı ceny akcie, εt ∼ N (0, 1) v ˇcase t a ∆t je pˇr´ır˚ ustek ˇcasu. Pokud budeme uvaˇzovat ∆t = 1, potom St+1 − St = St (µ + σεt ), (2.3.31) Z rovnice (2.3.30) si m˚ uˇzeme vyjádˇrit stˇredn´ı hodnotu E(St+∆t − St |St ) = St µ∆t a smˇerodatná odchylka p √ var(St+∆t − St |St ) = St σ ∆tεt .

(2.3.32)

(2.3.33)

Pokud aplikujeme simulaci Monte Carlo na portfolio o v´ıce sloˇzkách, mus´ıme odhadnout i korelaˇcn´ı strukturu v´ ynos˚ u jednotliv´ ych aktiv portfolia. M˚ uˇzeme vyuˇz´ıt kovarianˇcn´ı matici (Definice 15) a upravit si ji dosazen´ım (Definice 8). Vznikne nám korelaˇcn´ı matice   1 ρ12 . . . ρn1  .. ..  . (2.3.34) Cor =  ... . .  ρn1 ρn2 . . . 1

V mnohorozmˇerném pˇr´ıpadˇe je simulace náhodn´ ych vektor˚ u ε = (ε1 , . . . , εn ) ∼ Nn (0, Cor) mnohem sloˇzitˇejˇs´ı neˇz v pˇr´ıpadˇe jednorozmˇerném. My si vˇsak 21

pom˚ uˇzeme mnohorozmˇern´ ym normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım Nn (0, I), kde 0 je nulov´ y vektor a I je jednotková matice. Budeme simulovat náhodné vektory η = (η1 , . . . , ηn ) ∼ Nn (0, I), které jsou navzájem nezávislé. Jiˇz v´ıme, ˇze kovarianˇcn´ı matice je pozitivnˇe semidefinitn´ı, z toho plyne, ˇze i korelaˇcn´ı matice je pozitivnˇe semidefinitn´ı. Takˇze m˚ uˇzeme provést Choleského rozklad T Cor = AA , kde A = aij (Vˇeta 1). Potom touto transformac´ı dostaneme poˇzadovan´ y vektor ε ε1 = a11 η1 , ε2 = a21 η1 + a22 η2 , .. . εn = an1 η1 + an2 η2 + · · · + ann ηn ,

(2.3.35)

coˇz lze zapsat maticovˇe jako ε = Aη.

(2.3.36)

Pro dvourozmˇern´ y pˇr´ıpad (dvˇe aktiva) vypadá matice A takto 1 p 0 A= , ρ 1 − ρ2

z toho plyne, ˇze

ε 1 = η1 , p ε2 = ρη1 + 1 − ρ2 η2 .

Pouˇzit´ım vhodného generátoru a modelu nasimulujeme rozdˇelen´ı ceny portfolia a pomoc´ı v´ ystupu v podobˇe histogramu m˚ uˇzeme jiˇz naj´ıt VaR.

2.4 2.4.1

Kreditn´ı VaR Kreditn´ı riziko a VaR

Potenciáln´ım selhán´ım nebo zmˇenou d˚ uvˇeryhodnosti (ratingu) dluˇzn´ık˚ u, protistran v transakc´ıch s deriváty a emitent˚ u dluhopis˚ u vzniká a roste velmi v´ yznamné kreditn´ı riziko bank a jin´ ych finanˇcn´ıch instituc´ı, jehoˇz m´ırou rizika je právˇe kreditn´ı VaR. Pro velk´ y v´ yznam kreditn´ıho rizika se vˇetˇsina finanˇcn´ıch instituc´ı vˇenuje mˇeˇren´ı a ˇr´ızen´ı kreditn´ıho rizika. Regulátoˇri vyˇzaduj´ı od bank, aby udrˇzovaly takov´ y kapitál, kter´ y kreditn´ı riziko pokryje. Pro v´ ypoˇcet trˇzn´ıho rizika povoluje Komise vyuˇz´ıt plnˇe intern´ı systémy a modelován´ı banky. U kreditn´ıho rizika Komise povoluje bankám pouze intern´ı v´ ypoˇcty rating˚ u, jinak je v´ ypoˇcet kreditn´ıho rizika striktnˇe definován právˇe Komis´ı. 22

2.4.2

Pravdˇ epodobnost selh´ an´ı a kreditn´ı rating

Pravdˇepodobnost kreditn´ıho selhán´ı (pravdˇepodobnost defaultu) je pravdˇepodobnost toho, ˇze protistrana nedodrˇz´ı platebn´ı podm´ınky dané smlouvou. Tyto pravdˇepodobnosti vˇetˇsinou oceˇ nuj´ı kreditn´ı oddˇelen´ı na základˇe informac´ı o d˚ uvˇeryhodnosti klienta (finanˇcn´ı v´ ykazy, u ´vˇerov´ y návrh, jeho p˚ usoben´ı v minulosti). Vyuˇz´ıvaj´ı sv˚ uj vlastn´ı ohodnocovac´ı systém, tzv. kreditn´ı rating. Mimo tyto intern´ı postupy je moˇzné vyuˇz´ıt (napˇr. pro d˚ uleˇzitˇejˇs´ı klientelu) vnˇejˇs´ı ratingy poskytované specializovan´ ymi agenturami jako napˇr. Standart & Poor’s nebo Moody’s. Ratingové agentury Moody’s nebo Standart & Poor’s (dále jen S&P) vytváˇrej´ı ratingy, popisuj´ıc´ı u ´vˇeruschopnost podnikov´ ych cenn´ ych pap´ır˚ u (dále jen CP). Pokud pouˇzijeme systém ratingu S&P, nejlepˇs´ı ohodnocen´ı je AAA. CP s t´ımto ratingem jsou povaˇzovány za neschopné selhán´ı (defaultu). Druh´ y nejlepˇs´ı rating je AA, dále následuje A, BBB, BB, . . . ,Default (nˇekdy také znaˇcené jako D). Pˇriˇcemˇz pouze rating BBB a lepˇs´ı spadaj´ı do tzv. investiˇcn´ıho stupnˇe. Ratingy agentury Moody’s koresponduj´ı s ratingy S&P, takˇze AAA, AA, A, BBB, BB odpov´ıdaj´ı Aaa, Aa, A, Baa, Ba. Abychom mohli vytvoˇrit lepˇs´ı ohodnocen´ı cenn´ ych pap´ır˚ u, vytvoˇrily agentury jeˇstˇe podskupiny tˇechto rating˚ u. S&P rozdˇeluje A rating na A+, A, A-, stejnˇe bychom mohli rozdˇelit vˇsechny ostatn´ı. Moody’s rozdˇeluje A rating na A1, A2, A3. Dle mého názoru je zvyˇsován´ı poˇctu rating˚ u správné, protoˇze jsou velké rozd´ıly mezi jednotliv´ ymi protistranami. Na druhou stranu bude jejich poˇcet vˇzdy shora omezen´ y.

2.4.3

V´ ynosov´ e kˇ rivky a recovery rate

Obchodn´ıci s cenn´ ymi pap´ıry vyvinuli procedury pro zahrnut´ı kreditn´ıho rizika do sv´ ych v´ ypoˇct˚ u pˇri oceˇ nován´ı podnikov´ ych cenn´ ych pap´ır˚ u. Shroma ’ ˇzd uj´ı trˇzn´ı data aktivnˇe obchodovan´ ych CP pro v´ ypoˇcet bezkupónové v´ ynosové kˇrivky pro kaˇzdou ratingovou kategorii. CCC

Výnos

AA

AAA

Splatnost

Obr´ azek 2.3: Spreadov´ e kˇ rivky Prvn´ım krokem odhadu pravdˇepodobnost´ı defaultu z cen CP je spoˇc´ıtat 23

oˇcekávané ztráty zp˚ usobené defaultem podnikov´ ych CP s r˚ uzn´ ymi dobami splatnosti. To zahrnuje porovnán´ı cen podnikov´ ych CP s cenou bezrizikov´ ych CP se stejnou dobou splatnosti a stejn´ ym kupónem. Obvykl´ y pˇredpoklad je, ˇze souˇcasná hodnota náklad˚ u na default se rovná rozd´ılu mezi cenami bezrizikov´ ych CP a podnikov´ ych cenn´ ych pap´ır˚ u. To znamená, ˇze vyˇsˇs´ı v´ ynos podnikov´ ych CP je odˇskodnˇen´ı moˇzn´ ych ztrát z defaultu. Cena bezrizikového CP se spoˇc´ıtá dle bezrizikové v´ ynosové kˇrivky. Pˇrirozená volba bezrizikové kˇrivky je kˇrivka státn´ıch CP (pokladniˇcn´ıch poukázek). V následuj´ıc´ıch v´ ypoˇctech pˇredpokládejme rizikovˇe neutráln´ı prostˇred´ı. Definice 19 Necht’ yT je v´ ynos podnikového bezkupónového CP na T let. Necht’ y T je bezrizikov´ y v´ ynos podnikového bezkupónového CP na T let. Potom cena bezrizikového bezkupónového CP s dobou splatnosti T let s nomináln´ı hodnotou PN H je PN H e−yT T . a diskontovaná oˇcekávaná ztráta z defaultu je PN H (e−yT T − e−yT T ). Oznaˇcme pravdˇepodobnost defaultu PD (t) v ˇcase t, kde t = 0, 1, . . . , T . Pokud nepˇredpokládáme ˇzádnou návratnost v okamˇziku defaultu, je v´ ypoˇcet PD (t) snadn´ y. ’ Necht je PD (T ) pravdˇepodobnost, ˇze podnikové CP budou m´ıt hodnotu nula v dobˇe splatnosti a pravdˇepodobnost 1-PD (T ), ˇze hodnota bude PN H . Hodnota CP je nyn´ı PD (T ) · 0 + (1 − PD (T ))PN H e−y(T )T = PN H (1 − PD (T ))e−y(T )T . V´ ynos CP je y(T ), tedy PN H e−y(T )T = PN H (1 − PD (T ))e−y(T )T , z toho plyne PD (T ) = 1 − e−(y(T )−y(T ))T

(2.4.1)

Nyn´ı jsme nepˇredpokládali návratnost v okamˇziku defaultu, to ovˇsem nen´ı realistické.Pokud protistrana selˇze, potom má vˇeˇritel právo vymáhat své pohledávky na aktivech, která prostistranˇe jeˇstˇe zbyla. V´ yˇsi vymáhané ˇcástky (pˇredem dané procento z celkové v´ yˇse nárok˚ u) si zadefinujeme jako recovery rate, kterou vˇeˇritel obdrˇz´ı v okamˇziku defaultu. Pˇri zvyˇsován´ı recovery rate se kreditn´ı riziko sniˇzuje, nikoliv zaniká. Oznaˇcme si RR jako recovery rate, potom hodnota CP je (1 − PD (T ))PN H e−y(T )T + PD (T ) · PN H · RR · e−y(T )T , 24

takˇze PN H e−y(T )T = (1 − PD (T ))PN H e−y(T )T + PD (T ) · PN H · RR · e−y(T )T , coˇz dává PD (T ) =

2.4.4

1 − e−(y(T )−y(T ))T . 1 − RR

Kreditn´ı migrace a korelace

Jiˇz jsme se zm´ınili o tom, ˇze kreditn´ı riziko nen´ı pouze rizikem selhán´ı protistrany, ale také zmˇena ratingu protistrany. Za urˇcité obdob´ı maj´ı nˇekteré CP tendenci mˇenit sv˚ uj rating. To se naz´ yvá migrace kreditn´ıch rating˚ u (angl. credit ratings migration). Z historick´ ych dat se, napˇr. pomoc´ı Markovovsk´ ych ˇretˇezc˚ u (Definice 10), vytvoˇr´ı pˇrechodová matice rating˚ u (Definice 12) , jej´ıˇz sloˇzky jsou pravdˇepodobnosti pˇrechodu (Definice 11) z jedné kategorie do jiné za dané obdob´ı. Obvykle se pro potˇreby mˇeˇren´ı kreditn´ıho rizika pouˇz´ıvá perioda jeden rok. Term´ın korelace defaultu se pouˇz´ıvá k popsán´ı vzájemné závislosti selhán´ı dvou spoleˇcnost´ı v nˇejakém dostateˇcnˇe krátkém intervalu. Existuje spousta d˚ uvod˚ u, proˇc tato korelace nen´ı nulová. Spoleˇcnosti mohou podnikat ve stejném odvˇetv´ı, ve stejném regionu, mohou b´ yt stejnˇe zasaˇzeny nˇejakou mimoˇrádnou událost´ı. Pˇredpokládejme dvˇe spoleˇcnosti X a Y. Ratingové agentury obvykle poˇc´ıtaj´ı korelaˇcn´ı koeficient takto PX,Y (t) − PX (t)PY (t) ρX,Y (t) = p , [PX (t) − PX (t)2 ][PY (t) − PY (t)2 ]

(2.4.2)

kde PX,Y (t) je sdruˇzená pravdˇepodobnost toho, ˇze X a Y selˇzou v ˇcase t = 0, . . . , T a PX (t) je pravdˇepodobnost selhán´ı spoleˇcnosti X v ˇcase t, analogicky pro spoleˇcnost Y. Funkce ρX,Y je závislá na ˇcase a obvykle se korelaˇcn´ı koeficient s pˇrib´ yvaj´ıc´ım ˇcasem zvyˇsuje. Dalˇs´ı metoda mˇeˇren´ı korelaˇcn´ıho koeficientu vyuˇz´ıvá pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı doby do selhán´ı. Pˇredpokládejme tX a tY jsou doby do selhán´ı spoleˇcnost´ı X a Y. Promˇenné tX a tY nemaj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı. Nicménˇe zX (tX ) = Φ−1 [PX (tX )]

a

zY (tY ) = Φ−1 [PY (tY )]

jsou funkcemi tX a tY , které uˇz maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe pˇredpokládáme, ˇze zX (tX ) a zY (tY ) maj´ı dvojrozmˇerné normáln´ı rozdˇelen´ı. Takˇze sdruˇzené pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı dob do selhán´ı lze vyjádˇrit pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım PX (tX ) promˇenné tX , pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım PY (tY ) promˇenné tY a korelaˇcn´ıho koeficientu mezi ρX,Y (tX , tY ). Tento pˇredpoklad nás vede k pouˇz´ıván´ı tzv. Gaussovské kopule. 25

Gaussovská kopule m˚ uˇze b´ yt rozˇs´ıˇrena na libovolnˇe koneˇcnˇe velké mnoˇzstv´ı spoleˇcnost´ı. Pˇredpokládejme k spoleˇcnost´ı a ti je doba do selhán´ı i-té spoleˇcnosti. Definujme Pi (ti ) jako pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı ti a zi (ti ) = Φ−1 [Pi (ti )],

(2.4.3)

pro 1 ≤ i ≤ k a pˇredpokládáme, ˇze zi (ti ) maj´ı mnohorozmˇerné normáln´ı rozdˇelen´ı. Pˇr´ıstup Gaussovské kopule je velmi uˇziteˇcn´ y zp˚ usob jak reprezentovat korelaˇcn´ı strukturu mezi promˇenn´ ymi, které nejsou normálnˇe rozdˇelené. Umoˇzn ˇuje oddˇelen´ y odhad korelac´ı promˇenn´ ych z jejich margináln´ıch rozdˇelen´ı. Aˇckoliv jednotlivé promˇenné nemaj´ı mnohorozmˇerné normáln´ı rozdˇelen´ı, jejich transformace normálnˇe rozdˇelené jsou.

2.5 2.5.1

Nejzn´ amˇ ejˇ s´ı metody mˇ eˇ ren´ı kreditn´ıho VaR CreditMetrics

V roce 1997 vyvinula banka J.P. Morgan metodu zvanou CreditMetrics pro v´ ypoˇcet kreditn´ıho VaR. Tato práce vyˇsla rok poté, co J.P. Morgan uvedl svou prvn´ı stˇeˇzejn´ı práci o v´ ypoˇctu trˇzn´ıho VaR zvanou RiskMetrics. Tento model patˇr´ı do kategorie mark-to-market, coˇz znamená, ˇze nerozdˇelujeme stav protistrany pouze na selhal-neselhal, ale za urˇcité obdob´ı zjiˇst’ujeme, v jaké ratingové kategorii se dluˇzn´ık nacház´ı, napˇr. i v Defaultu. CreditMetrics zahrnuje odhad pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı kreditn´ıch ztrát simulován´ım zmˇen kreditn´ıch rating˚ u pro kaˇzdou protistranu. Pˇredpokládejme, ˇze chceme stanovit pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı ztrát bˇehem jednoho roku. Pˇri kaˇzdé simulaci stanovujeme zmˇenu kreditn´ıho ratingu protistrany a také zmˇeny trˇzn´ıch promˇenn´ ych. Pˇreceˇ nujeme naˇse nezaplacené pohledávky pˇri stanoven´ı celkov´ ych kreditn´ıch ztrát ze selhán´ı a zmˇen kreditn´ıho ratingu. Tento pˇr´ıstup je mnohem komplikovanˇejˇs´ı neˇz CreditRisk+, kter´ y modeluje pouze okamˇziky selhán´ı. CreditMetrics m˚ uˇze sledovat zmˇeny kreditn´ıho ratingu bˇehem kratˇs´ıho obdob´ı, napˇr. mˇes´ıc, coˇz usnadˇ nuje zpˇresnˇen´ y pˇrehled o potenciáln´ıch kreditn´ıch ztrátách za cel´ y rok a poskytuje lepˇs´ı informovanost o protistranˇe. M˚ uˇzeme zahrnout podm´ınku, ˇze ztráta nastane pouze kdyˇz se protistrana dostane ze svého stávaj´ıc´ıho ratingu, napˇr. A, pˇr´ımo na Default. Pro stanoven´ı kreditn´ıch ztrát, kreditn´ıch zmˇen pro r˚ uzné protistrany, bychom nemˇeli pˇredpokládat vzájemnou nezávislost. CreditMetrics vyuˇz´ıvá Gaussovské kopule k modelován´ı zmˇen rating˚ u mnoha r˚ uzn´ ych protistran. Vyˇzadujeme pˇredpoklad, ˇze korelace mezi dvˇema normáln´ımi náhodn´ ymi 26

promˇenn´ ymi odpov´ıdaj´ıc´ı dvˇema protistranám je stejná, jako korelace mezi cenami jejich akci´ı. V pˇr´ıpadˇe portfolia dvou nebo v´ıce obligac´ı pro analytick´ y v´ ypoˇcet smˇerodatné odchylky staˇc´ı znát pravdˇepodobnostn´ı tabulku spoleˇcn´ ych migrac´ı. Pravdˇepodobnosti spoleˇcn´ ych migrac´ı lze urˇcit na základˇe historické tabelace, historick´ ych trˇzn´ıch spread˚ u a nebo na základˇe opˇcn´ıho modelu kreditn´ıho rizika spolu s historick´ ymi daty. Credit at Risk CreditMetrics je komplexn´ı pˇr´ıstup k odhadován´ı Credit at Risk (dále jen CaR). Odhad CaR je aplikac´ı m´ıry VaR na odhad kreditn´ıho rizika. Asymetrické pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı zisk˚ u a ztrát je d˚ usledkem existence kreditn´ıho rizika. Asymetrie je zp˚ usobena t´ım, ˇze pravdˇepodobnost zmˇeny ratingu protistrany vykazuj´ıc´ı ztrátu je mnohem vˇetˇs´ı, neˇz pravdˇepobnost zmˇeny ratingu vykazuj´ıc´ı zisk. A proto je normáln´ı rozdˇelen´ı jeˇstˇe ménˇe informativn´ı (ménˇe pouˇzitelné), neˇz tomu bylo u trˇzn´ıho rizika. Takˇze metoda variance a kovariance pro kreditn´ı riziko CaRt,α = uα σt P0

(2.5.1)

je jen hrub´ ym odhadem opravdového rizika, kterému je banka vystavena. Nyn´ı si rozebereme postup, jak´ ym CreditMetrics odhaduje CaR pro jednu obligaci. 1. V naˇsem modelu vzniká riziko nejen ze selhán´ı, ale i ze zmˇeny kreditn´ıho ratingu. Proto si nejdˇr´ıve urˇc´ıme pravdˇepodobnost selhán´ı i r˚ uzné pravdˇepodobnosti migrace do jin´ ych ratingov´ ych kategori´ı. Napˇr. pro obligaci s ratingem BBB.

BBB

BBB rating 0.02% 0.33% 5.95% 86.93% 5.30% 1.17% 0.12% 0.18% 100.00%

AAA AA A BBB BB B CCC D

Obr´ azek 2.4: Migrace obligace BBB2 2. V prvn´ım kroku jsme si urˇcili pravdˇepodobnosti migrace. V dalˇs´ım kroku urˇc´ıme procento z celkové ˇcástky, které bude vˇeˇriteli vyplaceno 2

Obr´ azek 2.4 je pˇrevzat z [12].

27

v pˇr´ıpadˇe defaultu. To znamená, ˇze ohodnot´ıme klienta na základˇe r˚ uzn´ ych podklad˚ u, jak uˇz bylo zm´ınˇeno. CreditMetrics nab´ız´ı 5 moˇzn´ ych kategori´ı ohodnocen´ı klienta podle jejich závislosti na defaultu - Senior Secured, Senior Unsecured, Senior Subordinated, Subordinated, Junior Subordinated. 3. Dále vypoˇc´ıtáme tabulku alternativn´ıch hodnot pro sestup (resp. vzestup) na jin´ y ratingov´ y stupeˇ n. Tabulka nám ˇr´ıká, jaká by byla cena obligace, kdyby zmˇenila sv˚ uj rating na jin´ y. Pˇri v´ ypoˇctu tˇechto cen se pouˇz´ıvaj´ı nulové sazby bekupónov´ ych obligac´ı, které jsou kategorizovány dle splatnosti a ratingu. 4. Nyn´ı máme vˇsechny informace, které jsme potˇrebovali znát k odhadu volatility. Známe-li cenu obligace pro kaˇzd´ y rating a pravdˇepodobnost migrace kaˇzdého ratingu, pak m˚ uˇzeme pouˇz´ıt v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty ceny obligace vzhledem k r˚ uzn´ ym scénáˇr˚ um (v naˇsem pˇr´ıpadˇe 8 scénáˇr˚ u) E[S] = pAAA SAAA + · · · + pCCC SCCC + pD SD ,

(2.5.2)

kde pi je pravdˇepodobnost zmˇeny ratingu na rating i a Si je cena obligace pˇri z´ıskán´ı ratingu i. A rozptyl tohoto rozdˇelen´ı !2 X X 2 2 (2.5.3) Srating prating , σ (S) = Srating prating − rating

rating

potom m˚ uˇzeme CaR odhadnout jako CaRt,α = uα σt S0 ,

(2.5.4)

kde S0 je poˇcáteˇcn´ı hodnota. V´ yˇse uveden´ y postup je pouze pro jednu obligaci, nyn´ı budeme pˇredpokládat portfolio o dvou obligac´ıch. 1. Stejnˇe jako u portfolia o jedné obligaci si sestroj´ıme tabulku migrace, ale tentokrát zde budou sdruˇzené migraˇcn´ı pravdˇepodobnosti. Z definice nezávislosti náhodn´ ych veliˇcin plyne, ˇze pokud jsou dvˇe náhodné veliˇciny nezávislé, potom se sdruˇzené pravdˇepodobnosti rovnaj´ı souˇcinu pravdˇepodobnost´ı margináln´ıch. Pokud jsou tyto veliˇciny korelované, potom CreditMetrics uˇz´ıvá techniku dˇel´ıc´ıch bod˚ u. Pokud nejsou korelované, m˚ uˇzeme se sdruˇzen´ ymi pravdˇepodobnostmi, které známe, postupovat jako v pˇr´ıpadˇe pro jednu obligaci. Stˇredn´ı hodnotu vypoˇc´ıtáme jako E[X +Y ] = pA,A (XA +YA )+pA,BBB (XA +YBBB )+· · ·+pD,D (XD +YD ), 28

kde pi,j je sdruˇzená pravdˇepodobnost s ratingem i pro cenu X a ratingem j pro cenu Y . Pro i rating˚ u je tedy i2 sˇc´ıtanc˚ u. Obdobnˇe pro rozptyl plat´ı σ 2 (X + Y ) = E[(X + Y )2 ] − (E[X + Y ])2 . CaR odhadneme jako

CaRt,α = uα σt (X0 + Y0 ).

(2.5.5)

2. Pˇredpokládejme, ˇze se zmˇen´ı trˇzn´ı hodnota aktiv protistrany (emiˇ ım vyˇsˇs´ı (resp.niˇzˇs´ı) je tenta), potom se zmˇen´ı rating protistrany. C´ hodnota aktiv, t´ım lepˇs´ı (resp. horˇs´ı) rating. CreditMetrics vycház´ı z pásem pro hodnotu aktiv urˇcuj´ıc´ı rating S&P, které odpov´ıdaj´ı statistick´ ym pravdˇepodobnostem zmˇen ratingu. Pˇresnˇeji ˇreˇceno, je-li σ smˇerodatná odchylka (roˇcn´ı) zmˇeny hodnoty aktiv podniku s ratingem napˇr. BB, je dáno jaká zmˇena RA hodnoty aktiv vyjádˇrená jako násobek σ zp˚ usob´ı zhorˇsen´ı nebo zlepˇsen´ı ratingu. Oznaˇcme si jednotlivá pásma jako Z = (ZAAA , ZAA , . . . , ZD ), která maj´ı následuj´ıc´ı vlastnosti RA < ZD ⇒ selhán´ı protistrany .. . ZAA < RA < ZAAA ⇒ zmˇena ratingu na AA ZAAA < RA ⇒ zv´ yˇsen´ı ratingu na AAA.

Dále necht’ pravdˇepodobnosti, se kterou nastanou zmˇeny ratingu jsou popsány v´ ybˇerov´ ymi pravdˇepodobnostmi P = (PAAA , PAA , . . . , PD ). Symbolicky zap´ıˇseme ZD RA PD = P > , σ σ .. . RA ZAAA ZAA < < , PAA = P σ σ σ ZAAA RA PAAA = P , < σ σ podle definice distribuˇcn´ı funkce a oznaˇcen´ı distribuˇcn´ı funkce normáln´ıho rozdˇelen´ı m˚ uˇzeme psát ZD PD = Φ , σ .. . ZA ZAA PAA = Φ −Φ , σ σ ZAAA PAAA = 1 − Φ . σ 29

Postup na BBB

Snížení na B

Společnost zůstane BB

Selhání společnosti

Z CCC

ZB

ZBBB

ZA

Z AA

Z AAA

Obr´ azek 2.5: Rozdˇ elen´ı v´ ynos˚ u s dˇ el´ıc´ımi body. Zde si m˚ uˇzeme povˇsimnout, ˇze pro zmˇenu ratingu je urˇcuj´ıc´ı tzv. standartizovaná zmˇena RσA ∼ N (0, 1). Ty jsou odvozeny z tabulky migraˇcn´ıch pravdˇepodobnost´ı. Pro v´ıce protistran je tˇreba znát pouze korelace zmˇen jejich aktiv, stejné korelace maj´ı totiˇz standardizované zmˇeny, jejichˇz smˇerodatné odchylky jsou rovny 1. 3. Jiˇz jsme zm´ınili, ˇze pro v´ıce protistran je tˇreba znát korelace. Tu nem˚ uˇzeme odhadnout pˇr´ımo z pozorovan´ ych dat. Korelace m˚ uˇzeme odhadnout na základˇe trˇzn´ı hodnoty aktiv protistrany, napˇr. cen akci´ı nebo pomoc´ı jednoho ˇci v´ıce sektorov´ ych index˚ u. Známe-li tedy v´ ychoz´ı rating vˇsech protistran z naˇseho portfolia, korelace roˇcn´ıch zmˇen jejich aktiv, migraˇcn´ı tabulku, potom pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı lze jiˇz jednoduˇse urˇcit pomoc´ı simulace Monte Carlo, popˇr. analytick´ ym odhadem. Pˇri simulaci nejprve generujeme moˇzné budouc´ı standardizované zmˇeny hodnoty aktiv naˇsich protistran. Pˇritom vycház´ıme z dan´ ych korelac´ı. V kaˇzdém scénáˇri pak urˇc´ıme rating vˇsech protistran a hodnotu naˇseho portfolia. Omezit shora poˇcet scénáˇr˚ u, které je poˇc´ıtaˇc schopen generovat, je pˇri rychlém v´ yvoji techniky tˇeˇzké, ale pˇredpokládejme, ˇze v ˇrádu 107 . Na základˇe tˇechto v´ ypoˇct˚ u sestav´ıme histogram a odeˇcteme poˇzadované parametry - stˇredn´ı hodnotu, smˇerodatnou odchylku, kvantily, VaR,. . . V praxi je zapotˇreb´ı uvaˇzovat portfolio o obecnˇe o N obligac´ıch, kde N ≥ 2. Tento problém se dá vyˇreˇsit pomoc´ı transformace na problém portfoli´ı o dvou sloˇzkách, kter´ y je rozebrán v [3].

2.5.2

CreditRisk+

Druh´ y pˇr´ıstup je zaloˇzen na metodologii navrhnuté bankou Credit Suisse Financial Products v roce 1997 a byl pojmenován CreditRisk+ (také Credit Risk Plus). Tento pˇr´ıstup vyuˇz´ıvá postupy zavedené v pojiˇst’ovnictv´ı (napˇr.

30

bonusové a malusové systémy v pojiˇstˇen´ı automobil˚ u). Je to model spadaj´ıc´ı do kategorie default-mode. Pˇredpokládejme, ˇze banka, nebo finanˇcn´ı instituce, má N protistran urˇcitého typu a pravdˇepodobnost jejich selhán´ı je p v ˇcase T . Pˇredpokládan´ y poˇcet selhán´ı celého portfolia je ϑ = N · p. Dále pˇredpokládejme, ˇze selhán´ı jsou nezávislé a p << 1. Pravdˇepodobnost k selhán´ı je dána hustotou Poissonova rozdˇelen´ı s parametrem ϑ jako P (N = k) =

e−ϑ ϑk . k!

(2.5.6)

To m˚ uˇzeme jeˇstˇe spojit s pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım minul´ ych ztrát na jednotliv´ ych dluˇzn´ıc´ıch, abychom obdrˇzeli pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı veˇsker´ ych ztrát ze selhán´ı. K zpˇresnˇen´ı odhadu pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı ztrát z jednotliv´ ych selhán´ı m˚ uˇzeme jeˇstˇe zahrnout pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı kreditn´ı expozice a pˇrizp˚ usobit vzhledem k historick´ ym recovery rates. Pokud jsou splnˇeny tyto pˇredpoklady, potom m˚ uˇze b´ yt pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı celkov´ ych ztrát analyticky spoˇcteno. Pro zaveden´ı obecnˇejˇs´ıch pˇredpoklad˚ u m˚ uˇzeme k v´ ypoˇctu vyuˇz´ıt jiˇz zm´ınˇenou metodu Monte Carlo u trˇzn´ıho VaR. V praxi je pro banku nezbytné posuzovat nˇekolik kategori´ı protistran. Takˇze anal´ yza pradvˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı se mus´ı aplikovat na kaˇzdou kategorii zvláˇst’ a v´ ysledky se potom slouˇc´ı. T´ım dostaneme celkovou ztrátu portfolia. Problém spoˇc´ıvá v tom, ˇze kreditn´ı VaR se narozd´ıl od trˇzn´ıho mˇeˇr´ı jednou za rok. To implikuje velkou zmˇenu v default rates, která mezi roky 1979 a 1990 ˇcinila v´ıce jak 3% (uvedeno v [8]).

2.5.3

KMV

S modelem KMV pˇriˇsla spoleˇcnost KMV Corporation. KMV také patˇr´ı do skupiny model˚ u default-mode, coˇz znamená, ˇze kreditn´ı riziko plyne pˇr´ımo ze selhán´ı. Pravdˇepodobnost selhán´ı je spojena se strukturou aktiv a pasiv protistrany. Od ostatn´ıch model˚ u se KMV liˇs´ı t´ım, ˇze neodhaduje ekonomick´ y kapitál pomoc´ı VaR, ale na základˇe anal´ yz. Zásadn´ım pojmem KMV je oˇcekávaná frekvence selhán´ı (angl. expected default frequency), coˇz je pravdˇepodobnost selhán´ı jednotliv´ ych protistran. Pro odhadnut´ı této frekvence je zapotˇreb´ı odhadnout bod selhán´ı, kter´ y je dán souˇctem krátkodob´ ych a poloviny dlouhodob´ ych dluh˚ u. Pokud se protistrana udrˇz´ı nad touto hranic´ı, nedocház´ı k selhán´ı. Bod selhán´ı se dá také definovat jako kvantil. KMV odhaduje vzdálenost od bodu selhán´ı, která se rovná rozd´ılu mezi oˇcekávanou hodnotou aktiva a hodnotou pˇri které doˇslo k selhán´ı. Coˇz

31

m˚ uˇzeme statisticky interpretovat jako rozd´ıl mezi stˇredn´ı hodnotou a kvantilem. Na základˇe mnoha historick´ ych dat je urˇcen vztah mezi vzdálenost´ı do selhán´ı a oˇcekávanou frekvenc´ı selhán´ı. KMV také urˇc´ı oˇcekávanou souˇcasnou hodnotu penˇeˇzn´ıch tok˚ u pro jednotlivá aktiva, korelaci v´ ynosnosti aktiv a odhad rozdˇelen´ı ztrát, ze kterého spoˇc´ıtá kreditn´ı riziko zadaného portfolia.

2.6 2.6.1

Riziko a kapit´ alov´ a pˇ rimˇ eˇ renost Basel I

Basilejská komise pˇripravila prvn´ı verzi návrhu Smlouvy o kapitálové pˇrimˇeˇrenosti jiˇz v prosinci 1987. Byl to v´ ysledek dlouholeté spolupráce s centráln´ımi bankami zem´ı G10. V ˇcervenci 1988 byla vydána koneˇcná verze Basel I1 . Smlouva mˇela platnost jiˇz od svého vydán´ı, pˇriˇcemˇz vˇsechna pravidla a poˇzadavky mˇely b´ yt zavedeny do roku 1992 (tzv. ,,pˇrechodné obdob´ı“). D˚ uvodem vytvoˇren´ı pravidel pro minimáln´ı kapitál banky byla zm´ınˇená snaha zv´ yˇsit spolehlivost a rovnováhu mezinárodn´ıho bankovn´ıho systému. Dalˇs´ım d˚ uvodem bylo rovné podnikán´ı se stejn´ ymi podm´ınkami pro vˇsechny banky. Basel I mˇel b´ yt pouˇziteln´ y pro banky v zem´ıch celého svˇeta a zároveˇ n mˇela b´ yt pravidla v r˚ uzn´ ych zem´ıch konzistentn´ı a neumoˇzn ˇovat velké konkurenˇcn´ı nerovnosti mezi jednotliv´ ymi bankami. Poˇzadavky Basilejské smlouvy se t´ ykaj´ı pˇredevˇs´ım bank v ˇclensk´ ych zem´ıch Basilejské komise. Nyn´ı plat´ı i pro zemˇe EU, která Baselu I vyuˇzila ve své direktivˇe. Smlouva z roku 1988 vyˇzaduje od mezinárodnˇe aktivn´ıch bank zem´ı G10, aby udrˇzely kapitál minimálnˇe na 8% celkov´ ych aktiv mˇeˇren´ ych r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby vzhledem k jejich rizikovosti (RWA) - tzv. kapitálová pˇrimˇeˇrenost (CAD). Kapit´ al CAD = ≥ 8% (2.6.1) RW A Definice kapitálu je stanovena (obecnˇe) dvˇema vrstvami (angl. tiers). Tier 1 je vlastn´ı kapitál akcionáˇr˚ u a zadrˇzené pˇr´ıjmy. Tier 2 jsou dodateˇcné vnitˇrn´ı a vnˇejˇs´ı zdroje dostupné bance. Banka mus´ı udrˇzet alespoˇ n polovinu mˇeˇreného kapitálu v Tier 1 (minimálnˇe tedy 4%). Basel I jeˇstˇe nekategorizuje pohledávky podle extern´ıch rating˚ u, které zavád´ı aˇz pokroˇcilejˇs´ı Basel II. Basel I pˇriˇrazuje rizikové váhy jednoduˇseji, napˇr. podniky, banky, ale i zemˇe r˚ uzn´ ych skupin. Jiˇz zm´ınˇen´ y minimáln´ı kapitál je hranic´ı, pod kterou nesm´ı kapitál banky za ˇzádn´ ych okolnost´ı klesnout. Oˇcekává se, ˇze banky budou udrˇzovat vyˇsˇs´ı neˇz poˇzadovanou hladinu kapitálu, aby se vyhnuly náhlému navyˇsován´ı za nepˇr´ıznivého v´ yvoje rizikového profilu banky. Basel I ponechává regulátor˚ um 1

cel´ ym n´ azvem ”International Convergence of Capital Measurements and Capital Standards”

32

pravomoc poˇzadovat vyˇsˇs´ı kapitál, pokud dojdou k závˇeru, ˇze tomu rizikov´ y profil banky odpov´ıdá. K zásadn´ı u ´pravˇe v Basel I doˇslo v roce 1996, kdy byla vydána koneˇcná verze dodatku2 . Na základˇe tohoto dodatku byly obchodn´ı aktivity banky vyjmuty z kreditn´ıho rizika a byl pro nˇe vytvoˇren speciáln´ı kapitálov´ y poˇzadavek. Basilejská komise se snaˇzila zohlednit odliˇsnost mezi kreditn´ım a trˇzn´ım rizikem a lépe tak propojit kapitálov´ y poˇzadavek se skuteˇcn´ ym rizikem banky. Banky toto musely zavést do konce roku 1997. Trˇzn´ı riziko bylo v dodatku zadefinováno jako riziko ztráty v rozvahov´ ych i podrozvahov´ ych pozic´ıch z d˚ uvodu pohybu trˇzn´ıch cen. Upraven´ y kapitálov´ y poˇzadavek tak pokr´ yvá zejména obchody s finanˇcn´ımi instrumenty, které jsou vázané na u ´rokové sazby, obchody s CP aj. Rizikovost banky je hodnocena na základˇe velikosti otevˇren´ ych pozic v tˇechto instrumentech. Tento dodatek umoˇznil bankám k v´ ypoˇctu kapitálové pˇrimˇeˇrenosti pouˇz´ıt své vnitˇrn´ı pˇr´ıstupy. Vytvoˇren´ı tohoto dodatku je prvn´ım momentem v historii v´ ypoˇctu kapitálové pˇrimˇeˇrenosti, kdy je bankám dána moˇznost vyuˇz´ıt své intern´ı pˇr´ıstupy. Na rozd´ıl od kreditn´ıho rizika, kde je zp˚ usob v´ ypoˇctu kapitálového poˇzadavku striktnˇe nadefinován Basilejskou komis´ı. U trˇzn´ıho rizika je bankám ponechána moˇznost si zvolit mezi dvˇema metodami. Standardizovaná metoda pouˇz´ıvá podobn´ y pˇr´ıstup jako u kreditn´ıho rizika. Pokroˇcilá metoda umoˇzn ˇuje bankám vyuˇz´ıvat své v´ ypoˇcty a modely. Banky musej´ı splnit ˇradu poˇzadavk˚ u na kvalitu tˇechto model˚ u i na vyspˇelost ˇr´ızen´ı rizik. Intern´ı modely jsou vˇetˇsinou zaloˇzeny na metodˇe VaR. Vzhledem k rychlému v´ yvoji se Basel I dostal do konfliktu se sofistikovanˇejˇs´ımi zp˚ usoby v´ ypoˇct˚ u a modelován´ı rizik. Hlavn´ımi faktory ve v´ yvoji rizika bank jsou pˇredevˇs´ım rostouc´ı nab´ıdka poskytovan´ ych produkt˚ u a sluˇzeb, komplexita finanˇcn´ıch transakc´ı, propojenost bankovn´ıho sektoru a nové metody ˇr´ızen´ı vˇsech druh˚ u rizik. V okamˇziku, kdy se tyto okolnosti staly ned´ılnou souˇcást´ı bankovn´ıho prostˇred´ı, v´ ypoˇcet kapitálového poˇzadavku nejjednoduˇsˇs´ı metodou rizikovˇe váˇzen´ ych aktiv se stal velmi nepˇresn´ ym odhadem skuteˇcného rizika banky. Tyto nepˇresnosti jsou také zp˚ usobeny t´ım, ˇze Basel I pokr´ yvá hlavnˇe kreditn´ı riziko, které je pro banku dominantn´ı, takˇze se pˇredpokládalo, ˇze prostˇredky na pokryt´ı kreditn´ıho rizika pokryj´ı i vˇsechna ostatn´ı rizika. Ta se ale v budoucnu ukázala b´ yt velmi v´ yznamn´ ymi. Dalˇs´ı problém spojen´ y s v´ yvojem ˇr´ızen´ı rizik v ˇcase je n´ızká motivace ke zlepˇsován´ı ˇr´ızen´ı veˇsker´ ych rizik, v´ yvoji sv´ ych intern´ıch systém˚ u. Zaˇcal se také prohlubovat rozd´ıl mezi ekonomick´ ym a regulatorn´ım kapitálem. 2

v celém znˇen´ı ”Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks”

33

2.6.2

Basel II

C´ıle nové smlouvy Basel II - jak je navrhnuto Basilejskou komis´ı - jsou: • Podpora ochrany a spolehlivosti finanˇcn´ıho sytému • Zv´ yˇsit konkurenˇcn´ı rovnost • Stanovit v´ıce komplexn´ı pˇr´ıstup ke zmiˇ novan´ ym rizik˚ um • Rozvinout pˇr´ıstupy ke kapitálové pˇrimˇeˇrenosti, které jsou náleˇzitˇe citlivé ke stupni pˇr´ısluˇsného rizika bankovn´ıch pozic a aktivit • Zamˇeˇren´ı se na mezinárodnˇe aktivn´ı banky a zároveˇ n zachovat základn´ı principy pouˇzitelné pro aplikaci na banky r˚ uzn´ ych u ´rovn´ı komplexnosti a informovanosti. K dosaˇzen´ı tˇechto c´ıl˚ u Basel II mˇeˇr´ı kapitálovou pˇrimˇeˇrenost následuj´ıc´ım vztahem: CAD =

Kapitál Kreditn´ı riziko + Trˇzn´ı riziko + Operaˇcn´ı riziko

(2.6.2)

s r˚ uzn´ ymi pˇr´ıstupy k mˇeˇren´ı jednotliv´ ych rizik. Zp˚ usob, jak´ ym je Basel II strukturován, se soustˇred’uje na mˇeˇren´ı rizik, kter´ ym banka ˇcel´ı, a hodnocen´ı pravdˇepodobnosti insolvence. Basel II pˇredstavuje pokroˇcilejˇs´ı metody v´ ypoˇctu kreditn´ıho rizika a kapitálov´ y poˇzadavek na operaˇcn´ı riziko (napˇr. riziko zkolabován´ı poˇc´ıtaˇcové s´ıtˇe, podvody,. . . ). V dneˇsn´ı dobˇe mnoho bank alokuje 20% nebo i v´ıc ze svého kapitálu právˇe na pokryt´ı tohoto rizika. V Basel II jsou váhy rizika pˇredefinovány odkazem na rating pˇripraven´ y extern´ı u ´vˇerovou vymˇeˇrovac´ı instituc´ı (ratingová agentura), která vyhovuje pˇr´ısn´ ym standard˚ um, nebo spolehnut´ım se na intern´ı pokroˇcilé pˇr´ıstupy k metodám v´ ypoˇctu (tzv. IRB pˇr´ıstupy), u kter´ ych banky pˇripravuj´ı vstupy pro váhy rizik. Portfoliov´ y pˇr´ıstup byl pˇrevzat mˇeˇren´ım rizik, tzn. aktiva rozdˇelit do 4 skupin (0%, 20%, 50% a 100%) vzhledem ke kategorii protistrany (standartizovan´ y pˇr´ıstup). ´ er.kvalita AAA do AA- A+ do A- BBB+ do BB- Pod BB- Neohodnoc. Uvˇ V´ ahy rizika 20% 50% 100% 150% 100%

Tabulka 2.2: Rizikov´ e v´ ahy pro podnikov´ e expozice To znamená, ˇze nˇejaká aktiva (v podstatˇe banky drˇz´ıc´ı vládn´ı aktiva jako pokladniˇcn´ı poukázky - T-Bills a dluhopisy ) nemaj´ı kapitálové poˇzadavky. IRB pˇr´ıstup (Internal Ratings Based Approach), jak plyne z názvu, je systém ratingu, kter´ y si internˇe banka vypracuje pod dohledem regulátora. 34

Pˇredpis v´ ypoˇctu IRB je vytvoˇren pro portfolia p˚ ujˇcek velk´ ych mezinárodn´ıch bank. Banka rozdˇel´ı svá aktiva do 14 r˚ uzn´ ych tˇr´ıd a aplikuje v´ ypoˇcet IRB na 13 z nich (vˇsechny kromˇe kmenov´ ych akci´ı). Banky dále rozdˇel´ı tyto tˇr´ıdy podle ratingu dluˇzn´ık˚ u, ale musej´ı regulátor˚ um prokázat, ˇze jejich postupy jsou dostateˇcnˇe robustn´ı. Pro kaˇzd´ y rating si banka pˇriprav´ı kl´ıˇcové promˇenné, které pak dosad´ı do rovnice v´ ypoˇctu IRB. Zjednoduˇsenˇe m˚ uˇzeme tuto rovnici zapsat jako CADIRB = LGD · CADV · M, (2.6.3) kde LGD je m´ıra ztráty pˇri selhán´ı - pod´ıl ztracen´ ych aktiv pˇri selhán´ı (angl. Loss Given Default). M je upravená pr˚ umˇerná splatnost p˚ ujˇcky a CADV je celkov´ y poˇzadovan´ y kapitál v podobˇe procenta z aktiv stanoven´ y tzv. Vaˇs´ıˇckovou formul´ı definovanou jako −1 √ Φ (PD ) + Φ−1 (α) ρV √ CADV = Φ , (2.6.4) 1 − ρV kde α je hladina spolehlivosti, PD je pravdˇepodobnost selhán´ı a ρV je korelace v´ ynos˚ u aktiv dluˇzn´ık˚ u v portfoliu. Vaˇs´ıˇckova formule urˇcuje hladinu kapitálu tak, aby byla banka chránˇena pˇred bankrotem v jednom roce s pravdˇepodobnost´ı bankrotu ne v´ıce neˇz (1 − α). Regulátoˇri stanovuj´ı hladinu spolehlivosti α = 99.9% pro pokroˇcilé IRB pˇr´ıstupy. IRB pˇr´ıstupy vyuˇz´ıvaj´ı princip Gaussovské kopule (podobnˇe jako CreditMetrics), kter´ y jsme si zavedli v rovnici (2.4.3). V´ ypoˇcet M z rovnice (2.6.3) lze naj´ıt v [7] a v´ıce o u ´vˇerov´ ych modelech v [9]. Basel II se skládá ze tˇr´ı pil´ıˇru: 1. Minimáln´ı kapitálové poˇzadavky 2. Proces dohledu 3. Transparentnost a trˇzn´ı discipl´ına Dohromady tyto tˇri pil´ıˇre pˇrisp´ıvaj´ı k vyˇsˇs´ı u ´rovni zabezpeˇcen´ı a spolehlivosti finanˇcn´ıho systému. Prvn´ı pil´ıˇr Definice kapitálu v Basel II se nezmˇenila a minimáln´ı kapitálov´ y poˇzadavek (viz rovnice (2.6.1)) zahrnuj´ıc´ı operaˇcn´ı a trˇzn´ı riziko (viz rovnice (2.6.2)) z˚ ustává 8% vzhledem k celkovému kapitálu. Kapitál Tier 2 je stále limitován do 100% kapitálu Tier 1. Hlavn´ı zmˇeny pˇricházej´ı ze zahrnut´ı operaˇcn´ıho rizika a pˇr´ıstupy k mˇeˇren´ı r˚ uzn´ ych druh˚ u rizik. Operaˇcn´ı riziko v kapitálové pˇrimˇeˇrenosti je rozebráno v [13]. Následuj´ıc´ı v´ yˇcet shrnuje tyto pˇr´ıstupy:

35

Kapitál :

Nezmˇenˇen

Kreditn´ı riziko : Standartizovan´ y pˇr´ıstup (modifikace existuj´ıc´ıho zp˚ usobu) Základn´ı intern´ı pˇr´ıstupy (IRB) Pokroˇcilé intern´ı pˇr´ıstupy (IRB) Trˇzn´ı riziko :

Standartizovan´ y pˇr´ıstup Modely vnitˇrn´ıch pˇr´ıstup˚ u

Operaˇcn´ı riziko :

Pˇr´ıstup základn´ıho ukazatele Standartizovan´ y pˇr´ıstup Pˇr´ıstup vnitˇrn´ıch mˇeˇren´ı

Hlavn´ım c´ılem je vytvoˇrit standardizovan´ y pˇr´ıstup, kter´ y v pr˚ umˇeru minimáln´ı kapitál mezinárodnˇe aktivn´ıch bank nesn´ıˇz´ı ani nezv´ yˇs´ı. U pokroˇcilejˇs´ıch metod je c´ılem zajistit minimáln´ı kapitál na pokryt´ı rizik a poskytnut´ı bankám kapitálové podnˇety ve srovnán´ı se standardizovan´ ym pˇr´ıstupem (v´ıce k v´ ypoˇct˚ um kapitálové pˇrimˇeˇrenosti v [2]). Basel II pˇrináˇs´ı zmˇeny i do stanoven´ı kapitálového poˇzadavku pro kreditn´ı riziko. Nab´ız´ı pouˇzit´ı intern´ıch rating˚ u banky a pouˇzit´ı portfoliov´ ych model˚ u kreditn´ıch rizik. Banka si m˚ uˇze vybrat, zda bude sv˚ uj kapitálov´ y poˇzadavek urˇcovat standardizovanou metodu nebo základn´ı a pokroˇcilou metodou intern´ıch rating˚ u podle sv´ ych technick´ ych moˇznost´ı, ale jej´ı v´ ybˇer bude posuzovat regulátor. Veˇskeré zm´ınˇené metody by mˇely klást d˚ uraz na kvalitu ˇr´ızen´ı rizik banky a na metody sniˇzován´ı rizika. Druhý pil´ıˇr Druh´ ym pil´ıˇrem Basel II je dohled nad celkovou kapitálovou pˇrimˇeˇrenost´ı a to zejména u mezinárodnˇe aktivn´ıch bank. Na základˇe prvn´ıho pil´ıˇre si banka vypoˇcte sv˚ uj poˇzadovan´ y minimáln´ı kapitál, zat´ımco pˇredmˇetem druhého pil´ıˇre je dohled regulátora, zda tento kapitál byl stanoven ve v´ yˇsi, která je odpov´ıdaj´ıc´ı skuteˇcnému rizikovému profilu banky. Bude posuzována robustnost postup˚ u pouˇzité bankou, kvalita intern´ıch proces˚ u, stabilita trˇzn´ıho prostˇred´ı, práce intern´ıch a extern´ıch auditor˚ u, kvalita oddˇelen´ı ˇr´ızen´ı rizik a dalˇs´ı faktory maj´ıc´ı vliv na celkov´ y rizikov´ y profil banky. Vˇetˇsina bank mˇeˇr´ı svá rizika pomoc´ı metodologie VaR. V Tabulce 2.1 si m˚ uˇzeme povˇsimnout, ˇze hladiny spolehlivosti jednotliv´ ych instituc´ı se liˇs´ı. A proto maj´ı regulátoˇri pravomoc vynásobit bankou vypoˇc´ıtan´ y VaR konstantou 3 nebo 4. V Basel II si banky m˚ uˇzou vybrat z nab´ıdky pˇr´ıstup˚ u mˇeˇren´ı kreditn´ıho, trˇzn´ıho a operaˇcn´ıho rizika. Tento proces v´ ybˇeru pˇr´ıstupu vyˇzaduje dohled dostupnosti minimáln´ıch poˇzadavk˚ u k zaveden´ı vybraného pˇr´ıstupu. Nav´ıc k tomu v IRB pˇr´ıstupech jsou rizikové váhy vypoˇc´ıtány ze vstup˚ u banky (napˇr. pravdˇepodobnost nesplacen´ı). V pˇr´ıpadˇe nutnosti je zapotˇreb´ı se pˇresvˇedˇcit, 36

zda bankovn´ı vstupy jsou mˇeˇreny nebo odhadovány správn´ ym a robustn´ım zp˚ usobem. Tˇret´ı pil´ıˇr Tˇret´ım pil´ıˇrem je transparentnost a trˇzn´ı discipl´ına. T´ımto pil´ıˇrem jsou na banky kladeny nároky na transparentnost podnikán´ı a zveˇrejˇ nován´ı informac´ı. Komise spoléhá na to, ˇze veˇrejnosti bude usnadnˇeno povˇedom´ı o bezpeˇcnosti a rizikovosti banky zveˇrejˇ nován´ım v´ıce informac´ı bankou. Finanˇcn´ı instituce tak budou nuceny udrˇzet si natolik silnou kapitálovou základnu, aby ukázaly svoji schopnost pokr´ yvat pˇr´ıpadnou ztrátu právˇe t´ımto kapitálem, aniˇz by t´ım zp˚ usobily zásadn´ı dopad na stabilitu banky. Z tohoto d˚ uvodu chce Komise rozˇs´ıˇrit spektrum informac´ı, které budou banky povinné zveˇrejˇ novat, napˇr´ıklad o zp˚ usob v´ ypoˇctu kapitálového poˇzadavku. Jeˇstˇe v´ıce informac´ı bude poˇzadováno od bank, které vyuˇz´ıvaj´ı vlastn´ı pokroˇcilé metody v´ ypoˇct˚ u.

37

Kapitola 3 Analytick´ aˇ c´ ast V této ˇcásti práce budeme analyzovat v´ yhody, ale hlavnˇe nev´ yhody VaR na reáln´ ych datech. U kaˇzdé analyzované nev´ yhody je uvedeno i jej´ı potenciáln´ı ˇreˇsen´ı. Nejv´ yznamˇejˇs´ım rozˇs´ıˇren´ım VaR, které zde zadefinujeme a rozebreme, je CVaR, která jako alternativa VaR zahrnuje i málo pravdˇepodobné ztráty, a koherenci m´ıry rizika.

3.1 3.1.1

Data Vybran´ e burzovn´ı indexy

Budeme uvaˇzovat investora, kter´ y chce investovat P = 90 mil. CZK do CP vázan´ ych na v´ yvoj tˇr´ı burzovn´ıch index˚ u - S&P 500 (v USD), Nikkei 225 (v JPY) a PX (v CZK). Dále má investor k dispozici ˇcasové ˇrady 500 denn´ıch pozorován´ı uzav´ırac´ıch cen vˇsech tˇr´ı index˚ u - S&P 500 (27.4.2006 22.4.2008), Nikkei 225 (11.4.2006 - 22.4.2008), PX (21.4.2006 - 22.4.2008). Mˇenové kurzy k 22.4.2008 byly 1 USD = 15.243 CZK a 100 JPY = 15.730 CZK. CP, které obvykle kop´ıruj´ı v´ yvoj indexu se naz´ yvaj´ı exchange-traded ´ funds (zkrácenˇe ETFs). Udaje o ˇcasov´ ych ˇradách indexu S&P 500 a Nikkei 225 jsou z internetového serveru (http://finance.yahoo.com), kurz PX z internetového serveru Praˇzské burzy (http://www.pse.cz) a mˇenové kurzy ˇ ze serveru CNB (http://www.cnb.cz). CP vázané na indexy budeme dále znaˇcit A1 pro S&P 500, A2 pro Nikkei 225 a A3 pro PX.

3.1.2

Sloˇ zen´ı portfolia

Sloˇzen´ı portfolia je uvedeno v následuj´ıc´ı tabulce, kde wi jsou jednotlivé váhy CP v portfoliu a ni je poˇcet CP, i = 1, 2, 3.

38

CP A1 A2 A3 celkem

ni wi 5 8 · 10−6 2421 0.0422 54923 0.9577 57349 1

ˇ c´ astka v CZK 100 tis. 5 mil. 84.9 mil. 90 mil.

Tabulka 3.1: Sloˇ zen´ı porfolia V´ yvoj ˇcasové ˇrady portfolia zjist´ıme u ´pravou dle Definice 14. Investor chce odhadnout riziko portfolia m´ırou VaR. Je tedy zapotˇreb´ı jeˇstˇe ˇcasové ˇrady transformovat tak, abychom zjistili denn´ı v´ ynosy podle (2.3.20). Pˇredpokládejme, ˇze portfolio je kurzovˇe zajiˇstˇené.

3.1.3

Nez´ avislost transformovan´ ych dat

Pro budouc´ı v´ ypoˇcet VaR budeme potˇrebovat znát standartn´ı odchylku v´ ynos˚ u, tedy i závislost (resp. nezávislost) mezi jednotliv´ ymi v´ ynosy ˇcasov´ ych ˇrad. Nezávislost m˚ uˇzeme ovˇeˇrit v´ ybˇerovou korelaˇcn´ı matic´ı A1 A2 A3

A1 A2 A3 1 0.01102568 0.04371957 , 0.01102568 1 0.04064497 0.04371957 0.04064497 1

ze které vid´ıme, ˇze nejvˇetˇs´ı závislost je mezi A1 a A3 . Jelikoˇz z v´ ybˇerové korelaˇcn´ı matice nen´ı nezávislost zˇrejmá, provedeme test nulovosti korelace, tzv. Pearson˚ uv test(v programu R Pearson’s product-moment correlation). Ve v´ ystupu tohoto testu v programu R jsou: názvy zadan´ ych dat (SP500, Nikkei225, PX), testová statistika (t), poˇcet stupˇ n˚ u volnosti (df, v naˇsem pˇr´ıpadˇe df = 497), p-hodnota (p-value, tj. nejmenˇs´ı hodnota na které zam´ıtáme nulovost korelace), alternativn´ı hypotéza, 95% interval spolehlivosti a v´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient, kter´ y je jiˇz uveden v korelaˇcn´ı matici. Test nezávislosti A1 a A2 data: SP500 and Nikkei225 t = 0.2458, df = 497, p-value = 0.806 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.07682716 0.09870863 sample estimates: cor 0.01102568. Uˇz z v´ ybˇerové korelaˇcn´ı matice bylo vidˇet, ˇze korelace mezi v´ ynosy tˇechto dvou index˚ u je nejmenˇs´ı a tomu také odpov´ıdá p-hodnota, která je velmi 39

vysoká (80.6%), takˇze nulovost na hladinˇe spolehlivosti 99% nezam´ıtáme. Test nezávislosti A1 a A3 data: SP500 and PX t = 0.9756, df = 497, p-value = 0.3297 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.04422865 0.13099534 sample estimates: cor 0.04371957. Zm´ınili jsme se o tom, ˇze v´ ybˇerová korelace v´ ynos˚ u tˇechto dvou index˚ u je nejvyˇsˇs´ı ze vˇsech, tomu odpov´ıdá i n´ızká p-hodnota. Ale i pˇresto nulovost korelace nezam´ıtáme na hladinˇe spolehlivosti 99%. Test nezávislosti A2 a A3 data: Nikkei225 and PX t = 0.9069, df = 497, p-value = 0.3649 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.04730228 0.12796690 sample estimates: cor 0.04064497. Zde je v´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient bl´ızk´ y koeficientu z pˇredchoz´ıho testu, tedy i p-hodnota je n´ızká, ale i tak je na dané hladinˇe spolehlivosti dost vysoká. M˚ uˇzeme konstatovat, ˇze na základˇe testu v´ ybˇerov´ ych korelaˇcn´ıch koeficient˚ u na hladinˇe spolehlivosti 99% jsou v´ ynosy ˇcasov´ ych ˇrad index˚ u mezi sebou nezávislé.

3.1.4

Rozdˇ elen´ı a normalita transformovan´ ych dat

V´ ybˇerové rozdˇelen´ı v´ ynos˚ u jednotliv´ ych index˚ u a portfolia zjist´ıme na základˇe histogramu.

40

30 20 0

10

Pravdepodobnost

40

50

Histogram portfolia

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

Portfolio

Obr´ azek 3.1: V´ ybˇ erov´ e rozdˇ elen´ı v´ ynos˚ u portfolia Na Obr´ azku 3.1 si m˚ uˇzeme prohlédnout histogram v´ ynos˚ u portfolia, kter´ y je proloˇzen v´ ybˇerovou hustotou.

41

60 40 20 0

Pravdepodobnost

80

Histogram indexu S&P 500

−0.02

0.00

0.02

0.04

SP500

30 20 10 0

Pravdepodobnost

40

Histogram indexu Nikkei 225

−0.06

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

Nikkei225

30 20 10 0

Pravdepodobnost

40

Histogram indexu PX

−0.05

0.00

0.05 PX

Obr´ azek 3.2: V´ ybˇ erov´ e rozdˇ elen´ı v´ ynos˚ u jednotliv´ ych index˚ u Nyn´ı známe v´ ybˇerové rozdˇelen´ı celého portfolia, ale potˇrebujeme znát i v´ ybˇerová rozdˇelen´ı jednotliv´ ych index˚ u, která jsou zobrazena na Obr´ azku 3.2. Pro v´ ypoˇcet VaR metodou variance a kovariance (kapitola 2.3.1) je zapotˇreb´ı ovˇeˇrit, zda maj´ı v´ ynosy index˚ u i portfolia normáln´ı rozdˇelen´ı.

42

40 30 20 0

10

Pravdepodobnost

50

60

Rozdeleni indexu S&P 500

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.02

0.04

0.02

0.04

SP500

30 20 10 0

Pravdepodobnost

40

Rozdeleni indexu Nikkei 225

−0.04

−0.02

0.00 Nikkei225

30 20 0

10

Pravdepodobnost

40

Rozdeleni indexu PX

−0.04

−0.02

0.00 PX

Obr´ azek 3.3: Hustota v´ ynos˚ u index˚ u a hustota norm´ aln´ıho rozdˇ elen´ı

43

50

Rozdeleni portfolia

30 20 0

10

Pravdepodobnost

40

Normalni rozdeleni Empiricke rozdeleni

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

Portfolio

Obr´ azek 3.4: Hustota v´ ynos˚ u portfolia a hustota norm´ aln´ıho rozdˇ elen´ı Kdyˇz se pod´ıváme na Obr´ azky 3.3 a 3.4, mohlo by se zdát, ˇze tato v´ ybˇerová rozdˇelen´ı jsou normáln´ı, ale nen´ı tomu tak. Normalitu ovˇeˇr´ıme v programu R jednov´ ybˇerov´ ym Kolmogorovov´ ym - Smirnovov´ ym testem (One-sample Kolmogorov-Smirnov test ), kter´ y porovnává v´ ybˇerovou distribuˇcn´ı funkci, u které odhadneme stˇredn´ı hodnotu a rozptyl, s distribuˇcn´ı funkc´ı normáln´ıho rozdˇelen´ı se stejn´ ym rozptylem a stˇredn´ı hodnotou. V´ ystup testu obsahuje název zadan´ ych dat, testovou statistiku (D), p-hodnotu (pvalue) a alternativn´ı hypotézu. Test normality A1 data: SP500 D = 0.0872, p-value = 0.001015 alternative hypothesis: two-sided Podle p-hodnoty bychom museli uvaˇzovat hladinu spolehlivosti 99.9% a vyˇsˇs´ı, aby nebyla zam´ıtnuta normalita. V tomto pˇr´ıpadˇe normalitu zam´ıtáme. Test normality A2 data: Nikkei225 D = 0.0635, p-value = 0.03582 alternative hypothesis: two-sided Pˇri v´ ypoˇctu VaR metodou variance a kovarinace budeme hlavnˇe pˇredpokládat hladinu spolehlivosti 99%. Normalitu na této hladinˇe spolehlivosti nezam´ıtáme. 44

Test normality A3 data: PX D = 0.0627, p-value = 0.03935 alternative hypothesis: two-sided Tento test opˇet nulovou hypotézu na hladinˇe spolehlivosti 99% nezam´ıtá. Test normality portfolia data: Portfolio D = 0.0608, p-value = 0.04985 alternative hypothesis: two-sided Podle p-hodnoty bychom mohli uvaˇzovat hladinu spolehlivosti 95.1% a vyˇsˇs´ı pro nezam´ıtnut´ı normality. Dle vˇsech v´ yˇse uveden´ ych test˚ u nen´ı splnˇena normalita v´ ynos˚ u indexu S&P 500 na hladinˇe spolehlivosti 99%, a proto nen´ı splnˇena ani sdruˇzená normalita.

3.2 3.2.1

V´ yhody a nev´ yhody VaR Celkov´ e riziko a kapit´ alov´ a pˇ rimˇ eˇ renost

V pr˚ ubˇehu této práce jsme si jiˇz zm´ınili, ˇze ve v´ ysledku je VaR pouze jedno ˇc´ıslo shrnuj´ıc´ı celkové riziko. VaR se od poˇcátku devadesát´ ych let rozˇs´ıˇril z trˇzn´ıho rizika i na rizika ostatn´ı, jmenujme napˇr´ıklad kreditn´ı riziko nebo operaˇcn´ı riziko, které teprve zaˇc´ıná nab´ yvat na d˚ uleˇzitosti pˇri ˇr´ızen´ı rizik banky i ostatn´ıch finanˇcn´ıch instituc´ı. VaR zahrnuje i v´ ypoˇcet rizika pro nelineárn´ı instrumenty jako jsou finanˇcn´ı deriváty ˇci opce. Pˇri splnˇen´ı normality se v´ ypoˇcet VaR zjednoduˇsuje na zjiˇstˇen´ı kvantilu normáln´ıho rozdˇelen´ı. VaR je povoleno pouˇz´ıt pro intern´ı v´ ypoˇcty kapitálové pˇrimˇeˇrenosti banky pro trˇzn´ı riziko. Banka si tak m˚ uˇze ˇr´ızen´ı sv´ ych trˇzn´ıch rizik pˇrizp˚ usobit ,,na m´ıru“. Uˇz´ıván´ı intern´ıho v´ ypoˇctu je vˇsak povoleno pouze pro trˇzn´ı riziko. Pro odhad kreditn´ıho rizika m˚ uˇzou banky v rámci kapitálové pˇrimˇeˇrenosti pouˇz´ıvat pouze vlastn´ı kreditn´ı rating. Ale podle v´ yvoje kapitálov´ ych poˇzadavk˚ u m˚ uˇzeme do budoucna pˇredpokládat, ˇze regulátoˇri povol´ı i intern´ı modely pro odhad kreditn´ıho rizika.

3.2.2

M´ alo pravdˇ epodobn´ e ztr´ aty

Velkou nev´ yhodou VaR jsou málo pravdˇepodobné ztráty. To jest ztráty, které nastanou aˇz za zvolen´ ym kvantilem. Tyto ztráty mohou velmi v´ yznamnˇe pˇrevyˇsovat VaR, ale také zp˚ usobuj´ı to, ˇze dvˇe banky s r˚ uzn´ ym rizikov´ ym profilem maj´ı stejnou VaR, coˇz m˚ uˇze vést ke skr´ yván´ı nebo umˇelému sniˇzován´ı 45

skuteˇcného rizika portfolia. Podobné chován´ı bylo v historii zaznamenáno a vedlo k velmi nebezpeˇcn´ ym a rizikov´ ym strategi´ım. Proto maj´ı regulátoˇri právo vynásobit VaR mˇeˇren´ y na 99% hladinˇe spolehlivosti konstantou 3 aˇz 4. V naˇsem pˇr´ıkladu bylo portfolio sestaveno u ´myslnˇe tak, aby vznikly málo pravdˇepodobné ztráty.

50

Rozdeleni portfolia

30 20 10

Pravdepodobnost

40

Normalni rozdeleni Empiricke rozdeleni

0

VaR 95%

VaR 99% −0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

Portfolio

Obr´ azek 3.5: Kvantily norm´ aln´ıho rozdˇ elen´ı Na Obr´ azku 3.5 jsou oznaˇceny 95% a 99% kvantil normáln´ıho rozdˇelen´ı v porovnán´ı s v´ ybˇerovou hustotou. Pˇri zm´ınˇen´ ych tˇeˇzk´ ych chvostech m˚ uˇzeme normáln´ı rozdˇelen´ı nahradit t-rozdˇelen´ım, které má chvost tˇeˇzˇs´ı neˇz normáln´ı rozdˇelen´ı. Nyn´ı se vrát´ıme zpˇet k naˇsemu pˇr´ıkladu, budeme poˇc´ıtat VaR na hladinˇe spolehlivosti 99%. Metodou historické simulace je VaR1,0.99 = 2 672 501 CZK, metodou variance a kovarince VaR1,0.99 = 2 140 613 CZK. Metoda historické simulace nám poskytla reálnˇejˇs´ı odhad rizika a vid´ıme, ˇze rozd´ıl v ˇcástkách nen´ı zanedbateln´ y, coˇz je zp˚ usobeno hlavnˇe t´ım, ˇze nebyl splnˇen pˇredpoklad sdruˇzené normality. Dalˇs´ı m´ırou rizika je modifikace m´ıry VaR tzv. conditional VaR (dále jen CVaR). Definice 20 (CVaR) Conditional VaR na hladinˇe α ∈ [0, 1] , ozn. CVaRt,α , odpov´ıdaj´ıc´ı náhodné ztrátˇe X je zadefinován jako CVaRt,α = −E [X|X ≤ −VaRt,α (X)] . 46

(3.2.1)

Definice 20 definuje absolutn´ı CVaR. Pro z´ıskán´ı relativn´ı CVaR mus´ıme pˇriˇc´ıst stˇredn´ı hodnotu. Aplikujeme m´ıru CVaR na portfolio investora vzhledem k VaR vypoˇc´ıtané pomoc´ı historické simulace a metodou variance a kovariance. Následuj´ıc´ı tabulka je shrnut´ım v´ ypoˇctu a porovnán´ı metod v´ ypoˇctu VaR a CVaR, ne vˇsak mˇer mezi sebou. Metoda VaR1,0.99 CVaR1,0.99 historická simulace 2 672 501 CZK 3 233 268 CZK varianˇcnˇe-kovarianˇcn´ı 2 140 613 CZK 2 791 282 CZK Rozd´ıl 531 888 CZK 441 986 CZK Tabulka 3.2: VaR a CVaR portfolia Na tomto pˇr´ıkladu m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze málo pravdˇepodobné ztráty jsou velk´ ym kamenem u ´razu VaR.

3.2.3

Subaditivita

Definice 21 (Koheretn´ı m´ıra) Necht’ M je mnoˇzina reáln´ ych náhodn´ ych veliˇcin, pak funkci ρ : M → R ˇr´ıkáme koherentn´ı m´ıra rizika, pokud splˇ nuje následuj´ıc´ı vlastnosti (i) X, Y ∈ M , X ≥ Y ⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y ), (ii) X, Y, X + Y ∈ M ⇒ ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ), (iii) X ∈ M, k ∈ R+ , kX ∈ M ⇒ ρ(kX) = kρ(X), (iv) X ∈ M, i ∈ R ⇒ ρ(X + i) = ρ(X) − i. Pokud zisky a ztráty z portfolia nejdou popsat normáln´ım, log-normáln´ım nebo Studentov´ ym t-rozdˇelen´ım, potom nen´ı VaR subaditivn´ı, nesplˇ nuje (ii). To znamená, ˇze diverzifikace rizik portfolia na souˇcet rizik subportfoli´ı neomez´ı celkové riziko. Subaditivita je jedn´ım ze ˇctyˇr kritéri´ı, kter´ y by mˇela splˇ novat koherentn´ı m´ıra rizika. Z toho plyne, ˇze VaR obecnˇe nen´ı koheretn´ı m´ırou rizika. V tomto smyslu nen´ı VaR ,,správnou“ m´ırou rizika, protoˇze odrazuje investora od diverzifikace sv´ ych rizik, coˇz by ,,správná“ m´ıra rizika nemˇela. V´ıce o koheretn´ıch m´ırách lze naj´ıt v [1].

3.2.4

Statick´ e portfolio

Na zaˇcátku u trˇzn´ıho VaR jsme zavedli pˇredpoklad statického portfolia. Pˇredpokládáme, ˇze sloˇzen´ı portfolia se bˇehem obdob´ı, v kterém mˇeˇr´ıme VaR, nezmˇen´ı. To m˚ uˇze zp˚ usobit problémy napˇr. obchodn´ık˚ um, kteˇr´ı bˇehem dne 47

obchoduj´ı a ke konci dne odhaduj´ı VaR sv´ ych uzavˇren´ ych pozic. Odhad VaR ˇ sen´ım tohoto problému je tzv. tak m˚ uˇze podhodnocovat maximáln´ı ztrátu. Reˇ dynamick´ y VaR, kter´ y simuluje scénáˇre pohybu trˇzn´ıch sazeb v závislosti na ˇcase a podle toho pak upravuje jednotlivé pozice v portfoliu a vyhodnocuje v´ yvoj portfolia.

3.2.5

Pohled do budoucna

,,Odhadovat VaR je stejné jako sledovat cestu zpˇetn´ ym zrcátkem“, uvád´ı Kevin Dowd (viz [4]). Tento citát trefnˇe vystihuje odhad VaR v praxi. I v naˇsem pˇr´ıkladˇe investor vycház´ı z historick´ ych ˇcasov´ ych ˇrad. Pˇredpokládáme, ˇze pˇri dostateˇcném mnoˇzstv´ı historick´ ych u ´daj˚ u se rozdˇelen´ı v´ ynos˚ u v budoucnosti bude chovat stejnˇe jako v nedávné minulosti. Tento pˇredpoklad je velmi siln´ y, protoˇze trh se neustále vyv´ıj´ı. Pokud nastane nˇejaká mimoˇrádná událost (pˇr´ırodn´ı katastrofa, teroristick´ y u ´tok, politick´ y pˇrevrat, finanˇcn´ı krize,. . . ), nen´ı historické rozdˇelen´ı v´ ynos˚ u pouˇzitelné. Pro oˇsetˇren´ı tˇechto nepˇr´ızniv´ ych jev˚ u je VaR doplnˇen testován´ım teoretick´ ych stresov´ ych situac´ı (tzv. stress testingem) vytvoˇren´ ych napˇr. na základˇe generován´ı, pozic v portfoliu, nebo zkuˇsenost´ı.

3.3 3.3.1

Shrnut´ı v´ ysledk˚ u Doporuˇ cen´ y postup pro investora

Pod´ıváme-li se na v´ yˇcet jednotliv´ ych v´ yhod a nev´ yhod VaR, vid´ıme, ˇze náˇs v´ ypoˇcet byl velmi zjednoduˇsuj´ıc´ı. Investor mˇel portfolio kurzovˇe zajiˇstˇené. Kdyby tomu tak nebylo, spoˇc´ıtali bychom mˇenovovou VaR. Vzhledem k tomu, ˇze investované ˇcástky v ciz´ı mˇenˇe jsou v´ yraznˇe menˇs´ı neˇz v CZK, nebyla by mˇenová VaR tak v´ yznamná. Dále jsme pˇredpokládali statické portfolio, takˇze by investor mˇel udrˇzovat nemˇenné portfolio, aby se odhadnuté riziko bl´ıˇzilo riziku skuteˇcnému. Veˇskeré v´ ypoˇcty v´ ybˇerového rozdˇelen´ı jsme provedli na základˇe ˇcasov´ ych ˇrad, z toho plyne, ˇze jakákoliv mimoˇráná situace by mohla maximáln´ı potenciáln´ı ztrátu v´ yraznˇe ovlivnit. Ovˇeˇren´ı normality nedopadlo dle oˇcekáván´ı a zaznamenali jsme málo pravdˇepodobnou ztrátu, tud´ıˇz nelze doporuˇcit metodu variance a kovariance. Odhad metodou historické simulace pokr´ yvá, v naˇsem konkrétn´ım pˇr´ıpadˇe alespoˇ n ˇcásteˇcnˇe, málo pravdˇepodobné ztráty. Proto by bylo bylo vhodnˇejˇs´ı doporuˇcit investorovi v´ ypoˇcet pomoc´ı m´ıry CVaR vzhledem k VaR odhadnutou metodou historické simulace, která se nejv´ıce bl´ıˇz´ı reálnému riziku portfolia.

48

Kapitola 4 Z´ avˇ er C´ılem této práce bylo popsat VaR jako celek. Rozebrali jsme statistické vlastnosti VaR a jednotlivé metody odhadu pro trˇzn´ı i kreditn´ı riziko. Zamˇeˇrili jsme se i na v´ ypoˇcet kapitálov´ ych poˇzadavk˚ u, které striktnˇe definuj´ı v´ ypoˇcet kreditn´ıho rizika narozd´ıl od rizika trˇzn´ıho, které je moˇzné odhadovat vlastn´ımi v´ ypoˇcty. Doplˇ nkem teoretické ˇcásti je pˇr´ıklad VaR pro trˇzn´ı riziko, na kterém jsme demonstrovali v´ yhody a hlavnˇe nev´ yhody VaR, abychom si ucelili pohled na VaR. Ukázali jsme si, jak´ y v´ yznam má nezávislost a normalita v´ ynos˚ u. Pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu se sice zab´ yváme v´ ypoˇctem v´ ybˇerov´ ych korelac´ı, ale nen´ı zd˚ uraznˇena jejich d˚ uleˇzitost. Korelace velmi v´ yznamnˇe ovlivˇ nuj´ı VaR pro trˇzn´ı riziko (viz [14]) i kreditn´ı riziko (viz [12]). Pˇri práci s reáln´ ymi daty se nám vˇetˇsinou nepovede splnit veˇskeré pˇredpoklady, tento pˇr´ıklad nebyl v´ yjimkou. Koneˇcn´ y v´ ypoˇcet celkového rizika ukázal, ˇze je zapotˇreb´ı rozˇs´ıˇrit VaR na CVaR právˇe kv˚ uli extrémn´ım situac´ım, které nastávaj´ı. Aˇckoliv pˇrevaˇzuje poˇcet nev´ yhod oproti v´ yhodám, stává se VaR stále obl´ıbenˇejˇs´ım nástrojem v rukou risk manager˚ u bank a finanˇcn´ıch instituc´ı.

49

Literatura [1] Artzner P.: Coherent measures of risk, Mathematical Finance (1999) 3 (9) 203–228. [2] Cipra T.: Kapit´ alov´ a pˇrimˇeˇrenost ve financ´ıch a solventnost v pojiˇst’ovnictv´ı, Ekopress, Praha, 2002. ˇ ızen´ı port[3] Dˇedek O.: Ohroˇzen´ a hodnota, Studijn´ı text ˇc. 2 k pˇredmˇetu R´ folia a finanˇcn´ıch rizik, FSV UK, 2007. [4] Dowd K.: Beyond Value at Risk: the new science of risk management, John Wiley & sons, Chichester, 1998. ˇ epán J.: Stochastic Modeling in Economics and [5] Dupaˇcová J., Hurt J., Stˇ Finance, Kluwer Academic Publisher, 2002 [6] Glasserman P.: Portfolio Value at Risk with heavy tailed risk factors, Management science (2002) 3 (12) 239–269. [7] Hugh T.,Wang Z.Interpreting the Internal Ratings-Based Capital Requirements in Basel II, working paper, Hong Kong, 2004 [8] Hull J.C.: Options, futures and other derivatives, 5th edition, PrenticeHall, Englewood Cliffs, 2003. [9] Kadlˇcáková N., S˚ uvová H.: Pˇrehled u ´vˇerových model˚ u, Bankovnictv´ı 18.4.2002 strana 26, rubrika Mˇenová politika. [10] Lachout P.: Teorie pravdˇepodobnosti, Karolinum, Praha, 2004. [11] Morgan J.P.: RiskMetricsTM -Technical document, New York, 1996. [12] Morgan J.P.: CreditMetricsTM -Technical document, New York, 1997. [13] Raková K.: Operaˇcn´ı riziko v Basilejské dohodˇe o kapit´ alové pˇrimˇeˇrenosti, diplomová práce, IES FSV UK, 2004. [14] Strnad P.: Mˇeˇren´ı trˇzn´ıch rizik pomoc´ı metody Value at Risk, ˇcasopis Ekonomie+Management 2 (2005).

50

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Recommend Documents