Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

ˇ Martin Svec Oceˇ nov´ an´ı opc´ı Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky

Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Doc. RNDr. Jan Hurt, CSc. Studijn´ı program: Matematika Obor: Finanˇcn´ı matematika

2008

R´ad bych na tomto m´ıstˇe podˇekoval sv´emu vedouc´ımu bakal´aˇrsk´e pr´ace doc. RNDr. Janu Hurtovi, CSc. za odborn´e veden´ı a cenn´e pˇripom´ınky k t´eto pr´aci. D´ale bych chtˇel podˇekovat m´ym rodiˇc˚ um, kteˇr´ı mˇe pˇri studiu plnˇe podporuj´ı a poskytuj´ı mi potˇrebn´e z´azem´ı.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakal´aˇrskou pr´aci napsal samostatnˇe a v´yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcov´an´ım pr´ace a jej´ım zveˇrejˇ nov´an´ım. ˇ Martin Svec

V Praze dne 2.8.2008

2

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Obchodov´an´ı s deriv´aty a u ´ˇcely sjedn´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Opce 2.1 Typy opc´ı . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Americk´a opce a evropsk´a opce . . . 2.3 Opce v penˇez´ıch, na penˇez´ıch a mimo 2.4 Podkladov´a aktiva . . . . . . . . . .

. . . . . . . . pen´ıze . . . .

3 Hodnocen´ı opc´ı 3.1 Znaˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Faktory ovlivˇ nuj´ıc´ı cenu opce . . . . . 3.2.1 Cena podkladov´eho akcie . . . . 3.2.2 Realizaˇcn´ı cena . . . . . . . . . ˇ do vyprˇsen´ı . . . . . . . . . 3.2.3 Cas 3.2.4 Bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra . . . . 3.2.5 Volatilita akcie . . . . . . . . . 3.2.6 Oˇcek´av´an´e vyplacen´ı dividendy 3.3 PUT-CALL parita . . . . . . . . . . . 3.4 Hranice pro ceny opc´ı . . . . . . . . . . 3.5 Black-Scholes˚ uv model . . . . . . . . . 3.5.1 Pˇredpoklady a odvozen´ı . . . . 3.5.2 Black-Scholesova rovnice . . . . 3.5.3 Vliv dividend . . . . . . . . . . 3.5.4 Americk´e opce . . . . . . . . . . 3.6 Binomick´y model oceˇ nov´an´ı opc´ı . . . 3.7 Opˇcn´ı charakteristiky . . . . . . . . . . 3.7.1 Delta . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Gamma . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Theta . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Rho . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Vega . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 4 Oceˇ nov´ an´ı opc´ı v syst´ emu Wolfram Mathematica 6.0

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7

. . . .

10 10 11 11 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 15 15 15 16 16 16 16 17 17 20 20 23 24 25 26 32 32 32 33 33 34 35

5 Z´ avˇ er

36

Literatura

37

Pˇ r´ıloha

38

4

N´azev pr´ace: Oceˇ nov´an´ı opc´ı ˇ Autor: Martin Svec Katedra (´ ustav): Katedra pravdˇepodobnosti a matematick´e statistiky Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Doc. RNDr. Jan Hurt, CSc. e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: V pˇredloˇzen´e pr´aci studujeme opce a metody jejich oceˇ nov´an´ı. Uvedeme si z´akladn´ı informace o opc´ıch, rozdˇel´ıme si je podle typu a zm´ın´ıme se o moˇznostech vyuˇzit´ı opc´ı. Hlavn´ı n´apln´ı t´eto pr´ace bude nalezen´ı spr´avn´e hodnoty opce. Nejdˇr´ıve si uvedeme hraniˇcn´ı hodnoty, kter´ych opce m˚ uˇze nab´yvat, a pot´e se zamˇeˇr´ıme na dva nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı modely oceˇ nov´an´ı opc´ı, Black-Scholes˚ uv a binomick´y model. Pr´ace zahrnuje zjednoduˇsen´e odvozen´ı obou model˚ u. V pˇr´ıloze na CD jsou v syst´emu R

Wolfram Mathematica 6.0 naprogramov´any oba modely oceˇ nov´an´ı opc´ı a v tomto softwaru byly tak´e vytvoˇreny obr´azky, kter´ymi je tento text doplnˇen. Kl´ıˇcov´a slova: Opce, Oceˇ nov´an´ı opc´ı, Black-Scholes˚ uv model, Binomick´y model

Title: Options pricing ˇ Author: Martin Svec Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Doc. RNDr. Jan Hurt, CSc. Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: In the present thesis we study options and methods of options pricing. We introduce basic information about options, type of options and applications. Main contents of this work will be finding the price of option. At first we introduce natural boundaries, then we focus on two most important models, BlackScholes model and binomial model. This work includes short development both of models. In appendix on CD are programmed both of options pricing models in R Wolfram Mathematica 6.0. The pictures were created using the same system. Keywords: Option, Option Pricing, Black-Scholes model, Binomial model

5

Kapitola 1 ´ Uvod T´ematem t´eto bakal´aˇrsk´e pr´ace jsou opce a metody jejich oceˇ nov´an´ı. Opce spolu s dalˇs´ımi finanˇcn´ımi deriv´aty jako jsou forwardy, futures a swapy patˇr´ı dnes k velice vyuˇz´ıvan´ym a velmi obl´ıben´ym finanˇcn´ım n´astroj˚ um. Co jsou to finanˇcn´ı deriv´aty? Finanˇcn´ı deriv´at m˚ uˇze b´yt definov´an jako finanˇcn´ı n´astroj, jehoˇz hodnota z´avis´ı na ˇ cenˇe podkladov´eho aktiva (bazick´eho instrumentu). Casto je podkladov´ym aktivem cenn´y pap´ır, komodita, mˇena, u ´ rokov´a m´ıra atd. Jedn´a se o term´ınovan´y obchod, tj. ˇcas vypoˇr´ad´an´ı nast´av´a pozdˇeji neˇz ˇcas uzavˇren´ı. Za sjedn´an´ı deriv´atu plat´ı kupuj´ıc´ı vystaviteli vˇetˇsinou malou ˇc´astku ve srovn´an´ı s hodnotou podkladov´eho aktiva. Svou pr´avn´ı i ekonomickou podstatou se deriv´aty povaˇzuj´ı za s´azky a hazardn´ı hry. Sjedn´an´ı deriv´atu pro jeho tv˚ urce je s´azka, jak se bude v budoucnosti vyv´ıjet cena podkladov´eho aktiva. Pˇri sjedn´av´an´ı deriv´at˚ u je velice d˚ uleˇzit´e, aby osoby, kter´e za spoleˇcnost deriv´at sjedn´avaj´ı, dokonale porozumˇeli fungov´an´ı dan´eho deriv´atu a umˇeli si dan´y deriv´at ocenit. Pokud tˇemto deriv´at˚ um nerozum´ı ˇci nedok´aˇzou pˇresnˇe stanovit re´alnou hodnotu, potom nem˚ uˇzou tento deriv´atov´y obchod uzav´ırat. Z takto uzavˇren´ych deriv´at˚ u plynou vˇetˇsinou obrovsk´e ztr´aty. V n´asleduj´ıc´ım textu se sezn´am´ıme s opcemi a jejich problematikou. Uvedeme si typy a vyuˇzit´ı opc´ı. Pˇrev´aˇznou ˇc´ast t´eto pr´ace vˇenujeme z´akladn´ım metod´am oceˇ nov´an´ı opc´ı – Black-Scholesovˇe a binomick´emu modelu, porovn´ame oba modely a vyhodnot´ıme jejich v´yhody a nev´yhody. Nejdˇr´ıve si uvedeme struˇcnou historii deriv´at˚ uau ´ˇcely jejich vyuˇzit´ı.

1.1

Historie

Finanˇcn´ı deriv´aty maj´ı bohatou a pˇrekvapivˇe dlouhou historii. Jak tvrd´ı Kohout [6], ˇ ˇ ıny, kde se opce vyskytovaly. prvn´ı zm´ınky o opc´ıch poch´az´ı jiˇz ze star´eho Recka a C´ 1 Aristotel´es ve sv´em d´ıle Politika napsal pˇr´ıbˇeh o matematikovi a filosofovi Thal´etovi2 1 2

* 384 pˇr. n. l. – † 322 pˇr. n. l., ˇreck´ y filosof * okolo 624 pˇr. n. l – † okolo 548 pˇr. n. l.

6

z Mil´etu, kter´y byl d´ıky sv´e chudobˇe pro sm´ıch. Chtˇel tedy vˇsem uk´azat, ˇze je schopen svoj´ı moudrost´ı vydˇelat velk´e pen´ıze, a t´ım dok´azat, ˇze moudrost je pro nˇej d˚ uleˇzitˇejˇs´ı neˇz majetek. Proto na konci zimy obeˇsel vˇsechny majitele lis˚ u na olivy v okol´ı a za velmi malou sumu koupil pr´avo na prvn´ı pouˇzit´ı lis˚ u po sklizni. Kdyˇz zaˇcala sklizeˇ n oliv, prodal Th´ales tato pr´ava majitel˚ um olivov´ych plant´aˇz´ı za velk´e pen´ıze. Na poˇc´atku 17. stolet´ı se rozv´ıjelo vyuˇz´ıv´an´ı opc´ı v Holansku, kde se nab´ızely opce na cibulky tulip´an˚ u. Ve Florencii a v Ben´atsk´e republice se na zaˇc´atku novovˇeku objevuj´ı opce jako souˇc´ast jin´ych cenn´ych pap´ır˚ u, tzv. vloˇzen´e opce. Ty zaruˇcovaly moˇznost svol´an´ı tˇechto cenn´ych pap´ır˚ u. Tento zp˚ usob byl pozdˇeji vyuˇzit tak´e v Anglii a slouˇzil ke svol´an´ı st´atn´ıch perpetuit – cenn´ ych pap´ır˚ u, kter´e zajiˇst’ovaly nekoneˇcn´e pravideln´e platby. S nˇekter´ymi se dodnes obchoduje na burz´ach. Ve Spojen´ych st´atech se opce objevily po vzniku Newyorsk´e burzy (zaloˇzena 1792). V t´e dobˇe ale nikdo nedok´azal spr´avnˇe ocenit jejich hodnotu, proto u investor˚ u doch´azelo k velk´ym ztr´at´am a klesaj´ıc´ı oblibˇe. K velk´emu rozmachu obchodov´an´ı s opcemi doˇslo aˇz v roce 1973, kdy trojice Scholes, Black a Merton publikovala svoje pr´ace na t´ema oceˇ nov´an´ı opc´ı. Od t´eto doby se trh s opcemi mnohon´asobnˇe zvˇetˇsil, k ˇcemu tak´e napomohl vznik CBOE (Chicago Board Options Exchange) v roce 1973. Z poˇc´atku se na CBOE obchodovalo pouze s CALL opcemi, od ˇcervna roku 1977 se pˇridaly tak´e PUT opce. Dnes dosahuje trh s opcemi obrovsk´ych objem˚ u a st´ale roste. V roce 2004 byl objem opˇcn´ıch obchod˚ u na CBOE $165,8 mld., v roce 2005 ˇcinil $202,7 mld. a v roce 2006 dokonce $311,7 mld.3 . ˇ e republice na Burze cenn´ych pap´ıru Praha, a.s. Obchodov´an´ı s deriv´aty v Cesk´ (BCPP) zaˇcalo v srpnu roku 2001, kdy BCPP bylo udˇeleno povolen´ı od Komise pro cenn´e pap´ıry organizovat veˇrejn´y trh s opcemi a futures.

1.2

Obchodov´ an´ı s deriv´ aty a u ´ˇ cely sjedn´ an´ı

Ve svˇetˇe se s deriv´aty obchoduje jak na burz´ach, tak i na trz´ıch OTC (pˇres pˇrep´aˇzku, over-the-counter markets). Burzovn´ı trh s deriv´aty podl´eh´a siln´e regulaci. Deriv´aty, kter´e se zde obchoduj´ı, jsou vysoce standardizov´any (je stanovena splatnost, realizaˇcn´ı cena, podkladov´e aktivum, atd.). V´yhodou burzovn´ıch trh˚ u je vysok´a transparentnost a syst´em trˇzn´ıho pˇreceˇ nov´an´ı, kter´y eliminuje kreditn´ı riziko. Burzovn´ı deriv´aty slouˇz´ı pˇredevˇs´ım ke spekulaci ˇci zajiˇstˇen´ı finanˇcn´ıch rizik. To uˇz ale neplat´ı o OTC deriv´atech, kter´e nejsou nijak specifikov´any burzou a z´aleˇz´ı na kupuj´ıc´ım a prod´avaj´ıc´ım, na jak´ych parametrech se dohodnou. U mimoburzovn´ıch deriv´at˚ u je tak´e podstatnˇe vyˇsˇs´ı riziko nedodrˇzen´ı smlouvy. U tˇechto deriv´atov´ych obchod˚ u sjedn´avan´ych na OTC trz´ıch je snadn´e manipulovat s cenou, a proto jsou tyto deriv´aty pˇrev´aˇznˇe vyuˇz´ıv´any finanˇcn´ımi podvodn´ıky, kter´ym slouˇz´ı k maximalizaci zisku finanˇcn´ıch instituc´ı, kr´acen´ı dan´ı a tunelov´an´ı spoleˇcnost´ı. Napˇr´ıklad firmy mohou s vyuˇzit´ım deriv´at˚ u odsouvat v´ynosy do budoucnosti a t´ım se vyh´ybat placen´ı dan´ı z pˇr´ıjmu, veden´ı m˚ uˇze z´amˇernˇe uzav´ırat za u ´ platek velice nev´yhodn´e a 3

Zdroj: www.cboe.com

7

ztr´atov´e deriv´aty a t´ım poˇskozovat akcion´aˇre spoleˇcnosti. Jak tvrd´ı J´ılek [5], zvl´aˇst’ v´yznamn´e byly a jsou tunel´aˇrsk´e praktiky pomoc´ı deriv´at˚ u ve st´atn´ıch a polost´atn´ıch organizac´ı, ve kter´ych nen´ı efektivn´ı kontrola majitel˚ u nad hospodaˇren´ım spoleˇcnosti a veden´ı vˇetˇsinou preferuje vlastn´ı z´ajmy. Proto by tyto instituce, vˇcetnˇe mˇest a obc´ı, nemˇely sjedn´avat deriv´atov´e obchody v˚ ubec. Ztr´aty z tˇechto operac´ı jsou vˇzdycky vˇetˇs´ı neˇz pˇr´ıpadn´y uˇzitek. Mimoburzovn´ı deriv´aty se samozˇrejmˇe tak´e jako burzovn´ı vyuˇz´ıvaj´ı pro spekulace a zajiˇst’ov´an´ı finanˇcn´ıch rizik, ale tyto zp˚ usoby uˇzit´ı jsou aˇz na posledn´ım m´ıstˇe. Z v´yˇse uveden´ych informac´ı je n´am jasn´e, ˇze OTC trhy jsou nˇekolikan´asobnˇe vˇetˇs´ı neˇz burzovn´ı. Jak bylo zm´ınˇeno jiˇz v´yˇse, jedn´ım z u ´ˇcel˚ u sjedn´an´ı je zajiˇ stˇ en´ı (hedging). Zajiˇst’ovac´ı deriv´at je deriv´at splˇ nuj´ı podm´ınky podle u ´ˇcetn´ıch pˇredpis˚ u, at’ se jedn´a o u ´ˇcetn´ı z´asady US GAAP, mezin´arodn´ı u ´ˇcetn´ı standardy IFRS ˇci ˇcesk´e u ´ˇcetn´ı standardy. Jedn´a se vlastnˇe o urˇcit´y druh pojiˇstˇen´ı na ochranu hodnoty urˇcit´eho aktiva pˇri nepˇr´ızniv´em v´yvoji u ´ rokov´ych mˇer, mˇenov´ych kurz˚ u, akciov´eho trhu ˇci cen komodit. Zajiˇst’ovatel je vystaven urˇcit´emu riziku a snaˇz´ı se prostˇrednictv´ım n´akup˚ u deriv´at˚ u na deriv´atov´ych trz´ıch toto riziko sn´ıˇzit. Zajiˇstˇen´ı m˚ uˇze riziko pouze sn´ıˇzit, nem˚ uˇze ho ale u ´ plnˇe eliminovat. To plyne z arbitr´aˇze, kterou efektivn´ı trh, kter´y mi budeme pˇredpokl´adat, neumoˇzn ˇ uje. Arbitr´ aˇ z (arbitrage) je vyuˇzit´ı rozd´ıln´ych re´aln´ych hodnot stejn´ych aktiv na r˚ uzn´ych trz´ıch ve stejn´y ˇcasov´y okamˇzik, a to za u ´ˇcelem dosaˇzen´ı zisku. Dosahovat zisku bez vynaloˇzen´ı jak´ykoliv investic a bez rizika nen´ı na efektivn´ım trhu, kter´y pˇri oceˇ nov´an´ı deriv´at˚ u budeme pˇredpokl´adat, dlouhodobˇe moˇzn´e. Efektivn´ı trh a sami investoˇri rychle odstran´ı tyto moˇznosti pro bezrizikov´y v´ynos. Metoda arbitr´aˇze funguje tak, ˇze pokud m´ame dvˇe aktiva, oznaˇcme si je A a B, a aktivum A poskytuje sv´emu majiteli vˇzdy ve stejn´em ˇcase vˇetˇs´ı v´ynos jako aktivum B pˇri stejn´em riziku, potom nutnˇe mus´ı m´ıt aktivum A vˇetˇs´ı hodnotu neˇz aktivum B. Pokud by tomu tak nebylo a aktivum B by bylo draˇzˇs´ı, potom by ˇz´adn´y investor toto aktivum nedrˇzel a prodal by jej ˇci by jej v˚ ubec nekoupil. Za utrˇzen´e pen´ıze by nakoupil aktivum A, kter´e by mu pˇrin´aˇselo vˇetˇs´ı v´ynosy pˇri stejn´em riziku. Proto arbitr´aˇz pˇri oceˇ nov´an´ı opc´ı a deriv´at˚ u obecnˇe nen´ı dlouhodobˇe moˇzn´a a pokud budeme m´ıt dvˇe portfolia A a B, z nichˇz A bude d´avat vˇetˇs´ı v´ynosy neˇz B, obˇe aktiva budou stejnˇe rizikov´a, mus´ı m´ıt A vˇetˇs´ı hodnotu neˇz B. Spekulace (speculation) spoˇc´ıv´a v tom, ˇze investor se snaˇz´ı vydˇelat na v´yvoji kurzu podkladov´ych aktiv a t´ım dos´ahnout zisku. Spekulant vytv´aˇr´ı otevˇren´e pozice, tj. otev´ır´a u ´ rokov´e, akciov´e, komoditn´ı a mˇenov´e pozice a akceptuje zv´yˇsen´e riziko sv´eho portfolia. Spekulant m´a urˇcitou pˇredstavu o budouc´ım pohybu cen nebo u ´ rokov´ych mˇer a spekulaˇcn´ı deriv´at pˇredstavuje pro nˇej jakousi s´azku na budouc´ı v´yvoj kurzu podkladov´eho aktiva. Deriv´atov´y trh tedy pˇredstavuje pro spekulanta obrovskou hernu ˇci s´azkovou kancel´aˇr. Dalˇs´ım zp˚ usobem vyuˇzit´ı m˚ uˇze b´yt deriv´ at jako forma odmˇ eny pro zamˇ estnance (remuneration derivative). Tyto deriv´aty nejsou sjedn´av´any za trˇzn´ıch podm´ınek. Re´aln´a hodnota v dobˇe sjedn´an´ı je pro zamˇestnance vˇzdy kladn´a, tj. pˇredstavuje pro nˇej odmˇenu. Pro spoleˇcnost je re´aln´a hodnota ve stejn´e v´yˇsi z´aporn´a. 8

Nejbˇeˇznejˇs´ım typem tˇechto deriv´at˚ u je opce na n´akup vlastn´ıch akci´ı, kter´a je spoleˇcnostmi vˇetˇsinou poskytov´ana ˇclen˚ um statut´arn´ıch org´an˚ u a umoˇzn ˇ uje jim v budoucnu koupit akcie spoleˇcnosti za realizaˇcn´ı cenu m´ırnˇe vyˇsˇs´ı neˇz trˇzn´ı cenu v den sjedn´an´ı opce. Toto m´a slouˇzit jako motivace managementu k dobr´ym hospod´aˇrsk´ym v´ysledk˚ um.

9

Kapitola 2 Opce Opce (option) je deriv´at, kter´y d´av´a kupuj´ıc´ımu opce (vlastn´ık opce - holder, buyer) pr´avo prodat (prodejn´ı opce - put option) nebo koupit (kupn´ı opce - call option) podkladov´e aktivum (underlying asset) za pevnˇe stanovenou cenu (realizaˇcn´ı cena - exercise price, strike price) v pevnˇe stanoven´e dobˇe (expiration time) a povinnost prod´avaj´ıc´ıho opce (vystavitel opce - seller, writer) prodat nebo koupit dan´e podkladov´e aktivum za stejn´ych podm´ınek, pokud bude opce majitelem uplatnˇena. Kupuj´ıc´ı opce za to plat´ı prod´avaj´ıc´ımu pˇredem stanovenou ˇc´astku, kter´a se naz´yv´a opˇcn´ı pr´emie (premium). Opˇcn´ı pr´emie je obvykle splatn´a v okamˇziku sjedn´an´ı opce nebo nˇekdy tak´e pozdˇeji, nejˇcastˇeji v okamˇziku splatnosti opce. Opce d´avaj´ı sv´ym majitel˚ um pr´avo, nikoliv povinnost dan´y obchod uzavˇr´ıt. Pokud je moˇzn´e opci uplatnit po celou dobu existence opce, tj. kdykoliv od doby sjedn´an´ı opce po den jej´ı expirace, jedn´a se o americkou opci. Jestliˇze m˚ uˇze b´yt uplatnˇena pouze v den expirace, mluv´ıme o opci evropsk´e.

2.1

Typy opc´ı

Call opce - kupn´ı opce Call opce je pr´avo koupit dan´e podkladov´e aktivum za pevnˇe stanovenou cenu v pˇredem stanoven´e dobˇe. Pisatel opce, poskytovatel pr´ava, m´a povinnost prodat podˇ a na kladov´e aktivum a je v pozici ˇcekatele, v kr´atk´e pozici (short position). Cek´ rozhodnut´ı majitele opce, kter´y je v dlouh´e pozici (long position), jestliˇze danou opci vyuˇzije a koup´ı podkladov´e aktivum. Put opce - prodejn´ı opce Put opce je pr´avo prodat dan´e podkladov´e aktivum za pevnˇe stanovenou cenu v pˇredem stanoven´e dobˇe. Pisatel opce m´a povinnost koupit podkladov´e aktivum, pokud se majitel rozhodne opci uplatnit. Stejnˇe jako u call opc´ı je jej´ı majitel v dlouh´e pozici - rozhoduje, zda se obchod uskuteˇcn´ı, a pisatel opce v kr´atk´e pozici, tj. ˇcek´a na rozhodnut´ı majitele, jestli toto pr´avo vyuˇzije. 10

2.2

Americk´ a opce a evropsk´ a opce

Americkou a evropskou opci m˚ uˇzeme kdykoliv bˇehem jej´ıho ˇzivota koupit ˇci prodat. Rozd´ıl je ve zp˚ usobu jejich uplatnˇen´ı. Americk´a opce m˚ uˇze b´yt uplatnˇena kdykoliv bˇehem sv´eho ˇzivota, evropsk´a opce pouze v den jej´ı expirace. Americk´a opce m´a tedy nav´ıc moˇznost uplatnˇen´ı po celou dobu ˇzivota. Je tedy logick´e, ˇze pokud budeme m´ıt dvˇe stejn´e opce (tj. na stejn´e podkladov´e aktivum, se stejnou realizaˇcn´ı cenou a se stejn´ym dnem expirace) s t´ım rozd´ılem, ˇze jedna bude americk´a a druh´a evropsk´a, bude cena americk´e opce rovna nebo vyˇsˇs´ı neˇz cena opce evropsk´e. Stejnou hodnotu budou m´ıt v dobˇe expirace. Rozd´ıl v cenˇe bˇehem ˇzivota opc´ı by se mˇel rovnat hodnotˇe pr´ava kdykoliv tuto opci uplatnit.

2.3

Opce v penˇ ez´ıch, na penˇ ez´ıch a mimo pen´ıze

Podle vztahu aktu´aln´ı ceny akcie St v ˇcase t a realizaˇcn´ı ceny K rozliˇsujeme: • opce v penˇez´ıch (in the money) - St > K pro call opci, St < K pro put opci, • opce na penˇez´ıch (at the money) - St = K pro call i put opci, • opce mimo pen´ıze (out of the money) - St < K pro call , St > K pro put. Pˇri uplatnˇen´ı opce v penˇez´ıch z´ısk´a majitel pen´ıze - vnitˇrn´ı hodnotu opce. Vnitˇrn´ı hodnota opce (intrinsic value) je ˇc´astka, kterou majitel z´ısk´a pˇri uplatnˇen´ı opce a je definov´ana jako: • max(St − K, 0) pro call opci, • max(K − St , 0) pro put opci. Opci mimo pen´ıze v ˇcase t, pokud m˚ uˇze b´yt v tomto ˇcase uplatnˇena, neuplatn´ıme. Obecnˇe, jestliˇze do ˇcasu expirace zb´yv´a jeˇstˇe nˇejak´y ˇcas (t < T ) a opce je v ˇcase t mimo pen´ıze, nen´ı tato opce bezcenn´a. M´a urˇcitou ˇcasovou hodnotu (time value), kter´a pˇredstavuje ocenˇenou moˇznost, ˇze bˇehem zb´yvaj´ıc´ıho ˇzivota opce cena podkladov´e akcie vzroste (v pˇr´ıpadˇe call opce) nebo klesne (u put opce). S pˇribliˇzuj´ıc´ı se dobou expirace ˇcasov´a hodnota kles´a. V dobˇe expirace m´a opce pouze vnitˇrn´ı hodnotu. Trˇzn´ı cena opce se tedy skl´ad´a z vnitˇrn´ı hodnoty a ˇcasov´e hodnoty.

11

2.4

Podkladov´ a aktiva

Opce je kontrakt s pr´avem v´ymˇeny podkladov´ych n´astroj˚ u k urˇcit´emu datu v budoucnosti. T´ımto podkladov´ym n´astrojem m˚ uˇzou b´yt napˇr´ıklad: • akcie, • dluhopisy, • u ´ rokov´e m´ıry, • ciz´ı mˇeny, • futures, • komodity, • burzovn´ı indexy a dalˇs´ı. Akciov´ a opce (equity option) je opce, kter´a d´av´a sv´emu majiteli pr´avo na v´ymˇenu pevn´e ˇc´astky - realizaˇcn´ı ceny - za akcie. (Jedn´a o n´asobek akci´ı, vˇetˇsinou sto akci´ı na jeden kontrakt.) ´ erov´ Uvˇ a opce (credit option) je opce na v´ymˇenu pevn´e ˇc´astky hotovosti v jedn´e mˇenˇe za nezn´amou ˇc´astku hotovosti ve stejn´e mˇenˇe. Budouc´ı ˇc´astka z´avis´ı na rizikov´e u ´ rokov´e m´ıˇre urˇcit´eho subjektu. ´ Urokov´ a opce (interest rate option) je opce na v´ymˇenu pevn´e ˇc´astky v jedn´e mˇenˇe za nezn´amou ˇc´astku hotovosti, dluhov´y cenn´y pap´ır nebo pohled´avku, a to ve stejn´e mˇenˇe. Tato nezn´am´a ˇc´astka na rozd´ıl od u ´ vˇerov´e opce nez´avis´ı na rizikov´e u ´ rokov´e m´ıˇre obou partner˚ u a z´avis´ı pouze na budouc´ı spotov´e bezrizikov´e u ´ rokov´e m´ıˇre. Kupuj´ıc´ı call opce pˇredpokl´ad´a rostouc´ı u ´ rokovou m´ıru, zat´ımco kupuj´ıc´ı put opce se domn´ıv´a, ˇze u ´ rokov´a m´ıra bude klesat. Vyuˇzit´ım u ´rokov´ych opc´ı si m˚ uˇzeme sv´e pohl´ed´avky ˇci z´avazky zajistit proti zmˇen´am u ´ rokov´ych sazeb Mˇ enov´ a opce (currency option) je opce, kter´a d´av´a pr´avo na v´ymˇenu pˇredem stanoven´e ˇc´astky v jedn´e mˇenˇe za jinou mˇenu v pˇredem dohodnut´em kurzu k urˇcit´emu datu v budoucnosti. Realizaˇcn´ı cena je v tomto pˇr´ıpadˇe dohodnut´y mˇenov´y kurz realizaˇcn´ı kurz. Opce na futures (futures option) je opce, kde podkladov´ym n´astrojem je futures, tj. standardizovan´y forward - deriv´at s vypoˇr´ad´an´ım obou podkladov´ych n´astroj˚ uv budoucnosti, s kter´ym se obchoduje na burze. Vypoˇr´ad´an´ı futures prob´ıh´a vˇetˇsinou zanedlouho po expiraci opce. Komoditn´ı opce (commodity option) je opce na v´ymˇenu pˇredem stanoven´e ˇc´astky 12

hotovosti za komoditn´ı n´astroj (obilniny, ropa, plyn, maso atd.) k urˇcit´emu datu v budoucnosti. V´yˇse jsme si uvedli nˇekolik informac´ı o hlavn´ıch podkladov´ych aktivech. Pˇri oceˇ nov´an´ı opc´ı plat´ı jedna velmi d˚ uleˇzit´a vˇec a to, ˇze zp˚ usob oceˇ nov´an´ı opc´ı nez´avis´ı na typu podkladov´eho aktiva. Zp˚ usob oceˇ nov´an´ı je tedy aˇz na urˇcit´e pˇr´ıpady (napˇr. mˇenov´e opce) stejn´y. U tˇechto speci´aln´ıch pˇr´ıpad˚ u mus´ıme vzorce nepatrnˇe upravit.

13

Kapitola 3 Hodnocen´ı opc´ı Hlavn´ım a tak´e nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım u ´ kolem jak´ekoliv opˇcn´ı teorie je nalezen´ı spr´avn´e hodnoty opce. Dneˇsn´ı oceˇ novac´ı modely jsou d´ıky poˇc´ıtaˇcov´e technice velice dobˇre pouˇziteln´e a pro investory velice d˚ uleˇzit´e. Nen´ı totiˇz moˇzn´e uzav´ırat deriv´atov´y obchod, kter´y si nem˚ uˇzeme spr´avnˇe a pˇresnˇe ohodnotit. Mezi z´akladn´ı pˇr´ıstupy pro urˇcen´ı teoretick´e hodnoty opc´ı patˇr´ı binomick´y model. Tento model v ˇcasopisu Journal of Financial Economics v roce 1979 prezentovali p´anov´e Cox, J., Ross, S. a Rubinstein, M. Jedn´a se o jednoduˇsˇs´ı, pˇresto velice d˚ uleˇzit´y model, kter´y za jist´ych pˇredpoklad˚ u konverguje k Black-Scholesovˇe modelu. Tento model umoˇzn ˇ uje ocenit americkou put opci, u kter´e nen´ı moˇzn´e pouˇz´ıt BlackScholes˚ uv model. Black-Scholes˚ uv model byl zveˇrejnˇen v roce 1973 v ˇcasopisu Journal of Political Economy a pˇredstavoval nov´y n´astroj pro investory. Do t´eto doby bylo urˇcov´an´ı hodnoty opc´ı velice riskantn´ı a vzhledem k povaze opc´ı obt´ıˇzn´e. Autory byli p´anov´e Fischer Black a Myron Scholes. Robert Merton n´aslednˇe tento model zobecnil a uvolnil nˇekter´e pˇredpoklady a omezen´ı. Myron Scholes a Robert Merton obdrˇzeli v roce 1997 Nobelovu cenu za ekonomii pr´avˇe za sv˚ uj pˇr´ıspˇevek k oceˇ nov´an´ı opc´ı. Fischer Black se t´eto ceny nedoˇzil. V t´eto pr´aci se zamˇeˇr´ıme na oceˇ nov´an´ı opc´ı, jejichˇz podkladov´ym aktivem jsou akcie. Neˇz si uvedeme oba dva oceˇ novac´ı modely, zamˇeˇr´ıme se na faktory ovlivˇ nuj´ıc´ı cenu opce a na vztah mezi put a call opcemi, tzv. put-call paritu.

3.1

Znaˇ cen´ı

V t´eto pr´aci budeme znaˇcit S cenu podkladov´eho akcie, u kter´e budeme pˇredpokl´adat, ˇze v pr˚ ubˇehu ˇzivota opce nebude vyplacena ˇz´adn´a dividenda, K realizaˇcn´ı cenu, r bezrizikovou u ´ rokovou m´ıru, kter´a je shodn´a pro vyp˚ ujˇcov´an´ı i p˚ ujˇcov´an´ı kapit´alu a T dobu do expirace. Symbolem c budeme znaˇcit cenu evropsk´e call opce a p cenu evropsk´e put opce. Podobnˇe symbolem C cenu americk´e call opce a P cenu americk´e put opce. Symbolem St budeme znaˇcit cenu podkladov´e akcie v ˇcase t, podobnˇe ct , pt atd. Ceny v ˇcase vyprˇsen´ı ST , podobnˇe cT , pT atd. 14

3.2

Faktory ovlivˇ nuj´ıc´ı cenu opce

Faktor˚ u ovlivˇ nuj´ıc´ıch cenu opce je cel´a ˇrada. Mezi ˇsestici nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch patˇr´ı: 1. St – cena podkladov´e akcie v ˇcase t, 2. K – realizaˇcn´ı cena, 3. (T − t) – ˇcas zb´yvaj´ıc´ı do vyprˇsen´ı, 4. r – bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra, 5. σ – volatilita (rizikovost) akcie, 6. oˇcek´avan´e vyplacen´ı dividendy. Tyto faktory maj´ı na cenu opc´ı z´asadn´ı vliv. Vˇetˇsina dalˇs´ıch faktor˚ u p˚ usob´ı na cenu opc´ı pouze okrajovˇe a ˇcasto je tˇeˇzk´e tyto faktory nˇejak´ym zp˚ usobem spr´avnˇe kvantifikovat, aby se daly pouˇz´ıt. Mezi okrajov´e faktory patˇr´ı napˇr. daˇ nov´e z´akony, trˇzn´ı podm´ınky, regulaˇcn´ı podm´ınky atd. Z´avislost hodnoty opce na jednotliv´ych rizikov´ych faktorech , tzv. opˇcn´ı charakteristiky (The Greeks), si uvedeme v ˇc´asti 3.7.

3.2.1

Cena podkladov´ eho akcie

Cena podkladov´e akcie je hlavn´ı faktor ovlivˇ nuj´ıc´ı cenu opce. Call opce je pr´avo koupit podkladovou akcii za pˇresnˇe stanovenou realizaˇcn´ı cenu. Jestliˇze akcie na trhu podraˇz´ı, mus´ı stoupnout cena call opce a naopak, jestliˇze cena akcie klesne, mus´ı i cena call opce klesnout. Call opce n´am tedy pˇrin´aˇs´ı vˇetˇs´ı v´ynosy, pokud cena akcie roste, a menˇs´ı v´ynosy, pokud kles´a. U put opce je tomu pˇresnˇe naopak. Jestliˇze cena podkladov´e akcie roste, cena put opce kles´a, pokud ale cena akcie kles´a, cena put opce bude m´ıt pro n´as vˇetˇs´ı hodnotu, nebot’ pr´avo prodat akcii za urˇcitou realizaˇcn´ı cenu pˇri niˇzˇs´ı cenˇe akcie je pro n´as v´yhodn´e a pˇrin´aˇs´ı n´am zisk. Plat´ı tedy: S1 ≤ S2 ⇒ ct (S1 ) ≤ ct (S2 ) a pt (S1 ) ≥ pt (S2 ),

S1 ≤ S2 ⇒ Ct (S1 ) ≤ Ct (S2 ) a Pt (S1 ) ≥ Pt (S2 ).

3.2.2

Realizaˇ cn´ı cena

Realizaˇcn´ı cena je cena dohodnut´a pˇredem pˇri vyps´an´ı opce. Pokud vlastn´ıme call opci, je pro n´as v´yhodnˇejˇs´ı n´ıˇzˇs´ı realizaˇcn´ı cena. Nakupovat levnˇeji je pro n´as v´yhodn´e. ˇ ım niˇzˇs´ı je realizaˇcn´ı cena, t´ım vyˇsˇs´ı mus´ı b´yt i cena call opce. U put opce je tomu C´ naopak. Prodat za vyˇsˇs´ı cenu je pro majitele put opce v´yhodnˇejˇs´ı, takˇze ˇc´ım vyˇsˇs´ı je realizaˇcn´ı cena u put opce, t´ım draˇzˇs´ı je tato opce. K1 ≤ K2 ⇒ ct (K1 ) ≥ ct (K2 ) a pt (K1 ) ≤ pt (K2 ),

K1 ≤ K2 ⇒ Ct (K1 ) ≥ Ct (K2 ) a Pt (K1 ) ≤ Pt (K2 ). 15

3.2.3

ˇ do vyprˇ Cas sen´ı

ˇ zb´yvaj´ıc´ı do realizace opce m´a vliv na hodnotu opce. S klesaj´ıc´ı dobou do Cas vyprˇsen´ı se zmenˇsuje pravdˇepodobost v´yrazn´e zmˇeny ceny podkladov´e akcie. Americk´a put a call opce m´a vˇetˇs´ı hodnotu, jestliˇze ˇcas zb´yvaj´ıc´ı do vyprˇsen´ı roste. M´ame dvˇe stejn´e americk´e opce s r˚ uznou dobou expirace, jednu kr´atkodobou a jednu dlouhodobou. Dlouhodob´a opce n´am pˇrin´aˇs´ı stejn´e moˇznosti jako opce kr´atkodob´a a jeˇstˇe nˇeco nav´ıc - moˇznost uplatnˇen´ı v dobˇe n´asleduj´ıc´ı po expiraci kr´atkodob´e opce. Prostor pro zmˇeny kurzu akcie je vˇetˇs´ı. Proto mus´ı b´yt dlouhodob´a opce draˇzˇs´ı. U evropsk´ych opc´ı vˇetˇsinou plat´ı, ˇze s rostouc´ı dobou do expirace roste jejich cena. Ale nen´ı to vˇzdy pravidlo. Delˇs´ı put opce za jinak stejn´ych parametr˚ u nemus´ı b´yt vˇzdy draˇzˇs´ı.

3.2.4

Bezrizikov´ au ´ rokov´ a m´ıra

Ke srovn´av´an´ı r˚ uzn´ych investiˇcn´ıch pˇr´ıleˇzitost´ı n´am slouˇz´ı bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra. Zmˇena u ´ rokov´e m´ıry bude m´ıt jin´y vliv na call opci a jin´y vliv na put opci. U call ˇ ım vyˇsˇs´ı je opce si drˇzitel moˇzn´a v budoucnu koup´ı akcii za realizaˇcn´ı cenu K. C´ u ´ rokov´a m´ıra, t´ım dnes potˇrebuje menˇs´ı ˇc´astku k uloˇzen´ı, aby v budoucnu mˇel k dispozici pr´avˇe K. Hodnota call opce se mus´ı s rostouc´ı u ´ rokovou m´ırou zvˇetˇsovat. Pˇri uplatnˇen´ı put opce z´ısk´a majitel ˇc´astku v budoucnosti. Pˇri rostouc´ı u ´ rokov´e m´ıˇre se souˇcasn´a hodnota t´eto ˇc´astky sniˇzuje a cena put opce tedy kles´a. Zmˇena bezrizikov´e u ´ rokov´e m´ıry p˚ usob´ı na zmˇenu cen opc´ı z t´eto ˇsestice faktor˚ u nejm´enˇe.

3.2.5

Volatilita akcie

Volatilita akcie (smˇerodatn´a odchylka v´ynos˚ u z akcie) je m´ıra, jak neoˇcek´avanˇe se bude v budoucnosti vyv´ıjet cena akcie. Akcie maj´ı typicky volatilitu mezi 20% aˇz 50%. U spoleˇcnosti, jej´ıˇz akcie maj´ı n´ızkou volatilitu, se d´a pˇredpovˇedˇet v´yvoj kurzu akcie pro budouc´ı obdob´ı. U tˇechto spoleˇcnost´ı se ned´a pˇredpokl´adat v´yrazn´a zmˇena kurzu akcie. Cena opce na akcie t´eto spoleˇcnosti bude relativnˇe n´ızk´a. Pokud ale akcie spoleˇcnosti maj´ı na burze velk´e v´ykyvy, m˚ uˇze majitel opce dos´ahnout obrovsk´ych zisk˚ u, ale tak´e velk´ych ztr´at. Cena opce mus´ı b´yt proto vyˇsˇs´ı neˇz u akci´ı s n´ızkou volatilitou.

3.2.6

Oˇ cek´ av´ an´ e vyplacen´ı dividendy

U evropsk´e call opce na akcii, kter´a bude v pr˚ ubˇehu ˇzivota vypl´acet dividendu, nem´a na tuto dividendu majitel opce n´arok. Den, podle kter´eho se bude vypl´acet dividenda (tzv. ex-dividend date) je dˇr´ıve, neˇz den, kdy m˚ uˇze tuto opci uplatnit. Cena akcie po v´yplatˇe dividendy urˇcitˇe klesne. Cena evropsk´e call opce na akcii, kter´a ponese dividendu, bude niˇzˇs´ı, neˇz cena opce bez dividendy s jinak stejn´ymi parametry. Cena evropsk´e put opce na akcii s dividendou bude naopak vyˇsˇs´ı neˇz bez dividendy za jinak 16

stejn´ych podm´ınek. Cena akcie po v´yplatˇe dividendy na trhu urˇcitˇe klesne a majitel m´a pr´avo ji prodat za realizaˇcn´ı cenu, kter´a je pravdˇepodobnˇe vyˇsˇs´ı neˇz cena na trhu. U americk´ych opc´ı je to o nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı. Vliv dividendy u americk´ych opc´ı si vysvˇetl´ıme n´ıˇze v ˇc´asti 3.4.

3.3

PUT-CALL parita

I kdyˇz maj´ı call a put opce mnoho r˚ uzn´ych vlastnost´ı, funguje mezi nimi urˇcit´y vztah. Nyn´ı si tento vztah, tzv. put-call paritu vysvˇetl´ıme mezi evropskou call a put opc´ı. M´ame tedy dvˇe evropsk´e opce, jednu put a jednu call. Obˇe dvˇe maj´ı stejn´e parametry (stejn´a podkladov´a akcie, stejn´a realizaˇcn´ı cena a stejn´y je i ˇcas zb´yvaj´ıc´ı do vyprˇsen´ı). Podle postupu vyloˇzen´eho v Dupaˇcov´a a kol. (2002) si sestav´ıme portfolio, kter´e se skl´ad´a z akcie a z put opce na tuto akcii, kter´e vlastn´ıme (dlouh´a pozice), a z prodan´e call opce na tuto akcii (kr´atk´a pozice). Toto portfolio si oznaˇc´ıme π. Hodnota tohoto portfolia v ˇcase t je πt = St + pt − ct .

(3.1)

V dobˇe expirace bude hodnota portfolia πT = ST + max(K − ST , 0) − max(ST − K, 0).

(3.2)

Jestliˇze v ˇcase T bude ST ≤ K, tj. cena akcie bude niˇzˇs´ı neˇz realizaˇcn´ı cena, potom hodnota portfolia bude πT = ST + K − ST − 0 = K, pokud ST ≥ K, potom πT = ST + 0 − (ST − K) = K. Portfolio m´a tedy v ˇcase T hodnotu rovnu realizaˇcn´ı cenˇe K (πT = K) a poskytuje tedy bezrizikov´y v´ynos K. Efektivn´ı trh, kter´y pˇredpokl´ad´ame, neumoˇzn ˇ uje arbitr´aˇz. Z tohoto d˚ uvodu mus´ı m´ıt naˇse portfolio v ˇcase t stejnou hodnotu jako je hodnota budouc´ı ˇc´astky K v ˇcase t, tj. hodnotu Ke−r(T −t) , kde r je bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra. Z tohoto dost´av´ame vztah pro put-call paritu pro evropsk´e opce bez dividend St + pt = ct + Ke−r(T −t) . (3.3) Tento vztah lze pouˇz´ıt pouze pro evropsk´e opce bez dividend. Pro evropsk´e opce s dividendou a pro americk´e opce plat´ı vzahy jin´e. Ty jsou uvedeny napˇr. v [1].

3.4

Hranice pro ceny opc´ı

V ˇc´asti 3.2 jsme uvedli z´avislosti hodnoty opc´ı na zmˇenˇe faktor˚ u. Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na horn´ı a doln´ı hranice pro hodnotu opc´ı. Opce je pr´avo koupit nebo prodat urˇcit´e aktivum za pˇredem stanovenou cenu. Toto pr´avo tedy urˇcitˇe nebude bezcenn´e. Z´akladn´ı vlastnost´ı opc´ı tedy je, ˇze americk´e i evropsk´e call i put opce maj´ı nez´apornou hodnotu, tj. ct ≥ 0, pt ≥ 0, Ct ≥ 0, Pt ≥ 0. (3.4) 17

Americk´a opce m´a stejn´e vlastnosti jako opce evropsk´a. Nav´ıc m˚ uˇze b´yt uplatnˇena kdykoliv do doby expirace. Americk´a opce mus´ı b´yt draˇzˇs´ı nebo alespoˇ n stejnˇe drah´a jako opce evropsk´a. Rozd´ıl v cenˇe se bude rovnat hodnotˇe tohoto pr´ava kdykoliv opci uplatnit: C t ≥ ct , P t ≥ p t . (3.5)

Cena americk´e i evropsk´e call opce je maxim´alnˇe rovna cenˇe podkladov´e akcie. Pokud by tomu tak nebylo a cena podkladov´e akcie by byla vyˇsˇs´ı jak cena opce, staˇcilo by call opci prodat a koupit akcii. T´ım bychom utrˇzili zisk a nebyli bychom vystaveni ˇz´adn´emu riziku. Tato strategie by n´am bez rizika poskytovala zaruˇcen´y v´ynos a to bez jak´ekoliv poˇc´ateˇcn´ı investice. To jsme ale vylouˇcili pˇredpokladem nemoˇznosti arbitr´aˇze. c t ≤ St , C t ≤ St . (3.6)

Cena americk´e i evropsk´e put opce je maxim´alnˇe rovna realizaˇcn´ı hodnotˇe. Jestliˇze by cena americk´e put opce byla vyˇsˇs´ı jak realizaˇcn´ı cena, zaujmeme bezrizikovou pozici tak, ˇze prod´ame put opci. Pokud by majitel tuto put opci uplatnil, z´ıskan´e prostˇredky z prodeje opce n´am pokryj´ı n´aklady na koupi podkladov´e akcie a jeˇstˇe n´am z˚ ustane urˇcit´y obnos, coˇz je ve sporu s pˇredpokladem nemoˇznosti arbitr´aˇze. pt ≤ K, Pt ≤ K.

(3.7)

Pro evropskou put opci m˚ uˇzeme upˇrestnit vztah (3.7). Plat´ı, ˇze pt ≤ Ke−r(T −t) .

(3.8)

Pokud by vztah (3.8) neplatil, staˇc´ı zvolit n´asleduj´ıc´ı strategii: prod´ame put opci za cenu pt a koup´ıme diskontn´ı dluhopis za cenu Ke−r(T −t) . V dobˇe expirace jsou dvˇe moˇznosti: 1. S < K, put opce bude uplatnˇena a my jsme nuceni koupit akcii za cenu K. Prostˇredky ke koupi n´am d´av´a zakoupen´y diskontn´ı dluhopis, kter´y v ˇcase T maturuje a pˇrin´aˇs´ı n´am pr´avˇe K. Zisk z t´eto operace je ve v´yˇsi minim´alnˇe S. 2. S ≥ K, put opce nebude uplatnˇena a n´am z˚ ustav´a minim´alnˇe ˇc´astka K. Opˇet je tu spor s pˇredpokladem nemoˇznosti arbitr´aˇze a vztah (3.8) plat´ı. Pro hodnotu evropsk´e call a put opce plat´ı: ct ≥ max(St − Ke−r(T −t) , 0),

(3.9)

pt ≥ max(Ke−r(T −t) − St , 0).

(3.10)

Tyto dva vztahy vypl´yvaj´ı pˇr´ımo ze vzorce put-call parity (3.3) dosazen´ım pt ≥ 0 a ct ≥ 0.

Pro americkou call i put opci plat´ı, ˇze jejich hodnota mus´ı b´yt vˇetˇs´ı nebo alespoˇ n stejnˇe velk´a jako jejich vnitˇrn´ı hodnota, tj. Ct ≥ max(St − K, 0), Pt ≥ max(K − St , 0). 18

(3.11)

Pokud by pro americkou call opci platilo, ˇze Ct < St − K, pak bychom mohli prodat akcii za cenu St a koupit call opci na tuto akcii. N´aslednˇe bychom tuto opci uplatnili a koupili akcii za realizaˇcn´ı cenu K. V´ysledn´y zisk t´eto bezrizikov´e operace by ˇcinil St − K − Ct . Podobnˇe pro put opci. Pokud by pro americkou put opci platilo Pt < K − St , koupili bychom akcii za cenu St a put opci na tuto akcii. N´aslednˇe bychom tuto opci uplatnili a prodali akcii za realizaˇcn´ı cenu K. V´ysledn´y zisk by byl ve v´yˇsi K − St − Pt . Obˇe dvˇe moˇznosti jsou v rozporu s bezarbitr´aˇzn´ım principem.

V ˇc´asti 3.2.6 jsme si objasnili vliv dividendy na cenu evropsk´ych opc´ı. Nyn´ı si uprav´ıme vzorec (3.9) a (3.10). Pro evropskou call a put opci na akcii nesouc´ı dividendu plat´ı: ct ≥ max(St − Ke−r(T −t) − D, 0), (3.12) pt ≥ max(Ke−r(T −t) − St + D, 0),

(3.13)

kde D je souˇcasn´a hodnota vˇsech dividend, na jejichˇz v´yplatu m´a majitel akcie n´arok do doby expirace. U americk´ych opc´ı na akcii s dividendou je situace o nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı. Majitel americk´e call opce m˚ uˇze tuto opci uplatnit kdykoliv v pr˚ ubˇehu jej´ıho ˇzivota. M´a tedy pˇr´ıstup k vypl´acen´e dividendˇe. Nyn´ı zvol´ıme postup odvozen´ı hodnoty americk´e call opce vyloˇzen´y v [1]. Z (3.5) a (3.12) pro opce na akcii s dividendou plat´ı, ˇze Ct ≥ ct ≥ St − Ke−r(T −t) − D.

(3.14)

Pro opce na akcii bez dividendy z (3.5) a (3.9) plat´ı Ct ≥ ct ≥ St − Ke−r(T −t) > St − K.

(3.15)

Hodnota americk´e call opce na akcii bez dividendy je tedy vˇzdy vˇetˇs´ı neˇz jej´ı vnitˇrn´ı hodnota. Americk´ a call opce na akcii, kter´ a nenese dividendu nebude nikdy uplatnˇ ena pˇ red ˇ casem expirace. Pro majitele bude vˇzdy v´yhodnˇejˇs´ı opci prodat, neˇz realizovat. Pokud bude hodnota vyplacen´e dividendy D dostateˇcnˇe mal´a, potom bude platit: St − Ke−r(T −t) − D > St − K.

(3.16)

Hodnota call opce bude st´ale vˇetˇs´ı neˇz jej´ı realizaˇcn´ı hodnota. V tomto pˇr´ıpadˇe ´ nebude call opce uplatnˇena. Upravou nerovnosti (3.16) dostaneme K(er(T −t) − 1) > Der(T −t) .

(3.17)

Kdyby tedy tuto opci majitel uplatnil, mus´ı vynaloˇzit ˇca´stku K, za kterou koup´ı akcii. Ztr´ac´ı tak u ´ roky ve v´yˇsi K(er(T −t) − 1), kter´e by mu obnos K vydˇelal, kdyby opci uplatnil aˇz v ˇcas expirace. Naopak ale z´ısk´a pr´avo na dividendu. T´ım z´ısk´a ˇc´astku Der(T −t) , nebot’ mus´ıme pˇriˇc´ıst tak´e u ´ roky, kter´e n´am dividenda vynese do konce expirace. 19

Americk´a call opce na akcii nesouc´ı dividendu nebude urˇcitˇe v ˇcase t uplatnˇena, pokud u ´ rok z investice K za dobu T − t pˇri u ´ rokov´e m´ıˇre r je vˇetˇs´ı neˇz hodnota vyplacen´e dividendy D s u ´ roky za dobu T − t. Pokud u ´ rok z investice je menˇs´ı neˇz hodnota vyplacen´e dividendy s u ´ roky, opce m˚ uˇze b´yt uplatnˇena. Pro amerikou put opci na akcii s dividendou z (3.5) a (3.13) plat´ı: Pt ≥ pt ≥ Ke−r(T −t) + D − St .

(3.18)

Neexistuje ˇz´adn´a jednoduch´a podm´ınka pro uplatnˇen´ı put opce, jak tomu bylo u call opce. Majitel americk´e put opce na akcii s dividendou ji uplatn´ı vˇetˇsinou v pˇr´ıpadˇe, ˇze kurz akcie na trhu je podstatnˇe menˇs´ı neˇz je realizaˇcn´ı hodnota.

3.5

Black-Scholes˚ uv model

Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na odvozen´ı Black-Scholesova modelu pro hodnocen´ı evropsk´e call opce na akcii, kter´a nenese dividendu. Toto odvozen´ı je pomˇernˇe sloˇzit´e a vede ke konstrukci a ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice. V t´eto pr´aci si cestu k Black-Scholesovˇe rovnici zjednoduˇs´ıme a o nˇekter´ych pouˇzit´ych metod´ach se bez pˇredchoz´ıho odvozen´ı pouze zm´ın´ıme. Podrobn´e odvozen´ı a d˚ ukazy najdeme napˇr. v [4]. Po odvozen´ı rovnice pro evropskou call opci na akcii bez dividendy se zamˇeˇr´ıme na vztah pro evropskou put opci na akcii bez dividendy. N´aslednˇe si uvedeme vliv dividendy na hodnotu evropsk´ych opc´ı a moˇznosti pro hodnocen´ı americk´ych opc´ı.

3.5.1

Pˇ redpoklady a odvozen´ı

Black-Scholes˚ uv model je zaloˇzen na pˇredpokladu existence dokonal´eho (efektivn´ıho) trhu. Na tomto trhu neexistuje moˇznost arbitr´aˇze, tj. situace, kdy je moˇzn´e s nulovou poˇc´ateˇcn´ı investic´ı a s nenulovou pravdˇepodobnost´ı dos´ahnout kladn´eho zisku v budoucnosti. D´ale se pˇredpokl´ad´a, ˇze neexistuj´ı ˇz´adn´e transakˇcn´ı n´aklady a danˇe a vˇsechny akcie na trhu jsou neomezenˇe dˇeliteln´e - je moˇzno koupit jakoukoliv ˇc´ast akcie. Bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra je jen jedna a je stejn´a pro p˚ ujˇcov´an´ı i vyp˚ ujˇcov´an´ı kapit´alu. Obchodov´an´ı prob´ıh´a spojitˇe a subjekty nejsou nasyceny, tj. preferuj´ı v´ıce pˇred m´enˇe. Cena podkladov´e akcie z´asadnˇe ovlivˇ nuje hodnotu opce. Pro cenu akcie - n´ahodnou veliˇcinu S - pˇredpokl´ad´ame, ˇze se ˇr´ıd´ı geometrick´ym Brownov´ ym pohybem1 . Tento stochastick´y proces pˇredpokl´ad´a, ˇze se pohyb kurzu akcie skl´ad´a z konstantn´ı zmˇeny (driftu) a n´ahodn´e fluktuace (odchylky). Konstantn´ı zmˇ ena Model pˇredpokl´ad´a, ˇze cena podkladov´e akcie bud’ konstatnˇe roste nebo kles´a. Je-li St cena podkladov´e akcie v ˇcase t, oˇcek´avan´a zmˇena ceny akcie za ˇcas δt je 1

Jedn´a se o modifikaci standardn´ıho Wienerova procesu, v´ıce a odvozen´ı kap. 11.2 v [4].

20

µSt δt, kde µ je konstantn´ı parametr - m´ıra v´ynosnosti akcie za ˇcas δt, vyj´adˇren´a ve tvaru pod´ılu. Pokud m´a akcie nulovou volatilitu a cena akcie jen konstantˇe roste nebo kles´a, bude pro tento stochastick´y model platit rovnice δSt = µSt δt.

(3.19)

N´ ahodn´ a fluktuace Ve skuteˇcnosti kaˇzd´a akcie v ˇcase vykazuje urˇcitou volatilitu2 . Bude tedy n´ahodnˇe oscilovat kolem sv´e konstatn´ı zmˇeny. Velikost t´eto odchylky akcie v hodnotˇe St za ˇcas δt model pˇredpokl´ad´a ve tvaru √ σSt ǫ δt, (3.20) kde konstanta σ je volatilita √ a ǫ je n´ahodn´a promˇenn´a s normovan´ym norm´aln´ım rozdˇelen´ın N[0, 1]. V´yraz ǫ δt znaˇc´ı pˇr´ır˚ ustek standardn´ıho Wienerova procesu za mal´y ˇcasov´y okamˇzik δt. Spojen´ım (3.19) a (3.20) z´ısk´av´ame diskr´etn´ı pravdˇepodobnostn´ı model geometrick´eho Brownova pohybu - model chov´an´ı ceny podkladov´e akcie √ (3.21) δSt = St+δt − St = µSt δt + σSt ǫ δt nebo

√ δSt (3.22) = µδt + σǫ δt, St kde µ je oˇcek´avan´a m´ıra v´ynosnosti akcie na jednotku ˇcasu a σ je volatilita akcie. Oba tyto parametry budeme pˇredpokl´adat konstantn´ı. V´ynosy ze dvou nepˇrekr´yvaj´ıc´ıch se obdob´ı jsou vz´ajemnˇe nez´avisl´e. Lev´a strana rovnice (3.22) znaˇc´ı v´ynos√akcie za kr´atkou dobu δt. V´yraz µδt je oˇcek´avan´a hodnota tohoto v´ynosu a σǫ δt je stochastick´a ˇc´ast v´ynosu. Rozptyl t´eto ˇc´asti, a proto i cel´eho v´ynosu je σ 2 δt. N´ahodn´a t veliˇcina δS m´a tedy norm´aln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou µδt a smˇerodatnou St √ odchylkou σ δt. D´a se dok´azat, ˇze plat´ı ln St+δt ∼ N[ln St + (µ −

√ σ2 )δt, σ δt]. 2

(3.23)

Z toho plyne, ˇze n´ahodn´a veliˇcina rozdˇelen´ı kurz˚ u akcie St+δt m´a logaritmickonorm´aln´ı rozdˇelen´ı. Toto pˇredstavuje n´avod, jak vypoˇc´ıtat interval hodnot, ve kter´em se bude pohybovat cena akcie za ˇcas δt na urˇcit´e hladinˇe spolehlivosti. Ze vztahu (3.23) plyne pˇredevˇs´ım zp˚ usob pro odvozen´ı odhadu roˇcn´ı volatility σ pomoc´ı namˇeˇren´ych historick´ych hodnot (tzv. historick´a volatilita). Pokud jsme z dat kurzu 2

V praxi totiˇz kaˇzd´ y investor m´a rozd´ıln´e preference na m´ıru v´ ynosnosti akcie pˇri cenˇe akcie 1000 Kˇc, jak pˇri cenˇe 5000 Kˇc.

21

akcie St za ˇcas δt odhadli smˇerodatnou odchylku s hodnot ln(St+δt /St ), potom roˇcn´ı odhad volatility σ b je: s σ b=√ , (3.24) δt kde δt je ˇcas vyj´adˇren ve tvaru pod´ılu (napˇr. pokud budeme m´ıt data za 1 mˇes´ıc, bude δt = 1/12). Volatilitu lze tak´e spoˇc´ıtat pomoc´ı Black-Scholesova vzorce. T´ım dost´av´ame tzv. implicitn´ı volatilitu. Konstrukce diferenci´aln´ı rovnice, jej´ımˇz ˇreˇsen´ım bude Black-Scholes˚ uv vzorec pro hodnotu evropsk´e call opce, je zaloˇzena na sestrojen´ı portfolia sloˇzen´eho z prodan´e call opce a koupen´ych akci´ı v takov´em pomˇeru, aby toto portfolio bylo imunn´ı v˚ uˇci mal´e zmˇenˇe hodnoty akcie za velmi kr´atk´y ˇcasov´y interval δt. Podle postupu vyloˇzen´em v Hull (2002) toto optim´aln´ı porfolio obsahuje: • jednu prodanou call opce na akcii, •

∂c ∂S

tˇechto akci´ı.

∂c Parci´aln´ı derivace hodnoty call opce c podle S, ∂S = ∆c , se naz´yv´a delta call a vyjadˇruje, jak se zmˇen´ı hodnota call opce, pokud se zmˇen´ı kurz podkladov´e akcie. Delta call plat´ı ale jen pro velmi mal´e zmˇeny kurzu.

Pro hodnotu Π tohoto portfolia plat´ı: Π = −c +

∂c S. ∂S

(3.25)

Pro zmˇenu hodnoty portfolia δΠ za kr´atk´y ˇcasov´y interval δt plat´ı: δΠ = −δc +

∂c δS. ∂S

(3.26)

Uˇzit´ım Itoova lemmatu, kter´e je ve stochastick´em diferenci´aln´ı poˇctu obdobou klasick´eho tot´aln´ıho diferenci´alu (v´ıce kap. 11.6 v [4]) a pro zmˇenu ceny call (ale i put) opce m´a v diskr´etn´ı verzi tvar δc = (

√ ∂c ∂c 1 ∂ 2 c 2 2 ∂c µS + + σ S )δt + σSǫ δt, ∂S ∂t 2 ∂S 2 ∂S

(3.27)

a dosazen´ım diskr´etn´ıho modelu chov´an´ı ceny podkladov´e akcie (3.21) do (3.26) dost´av´ame ∂c 1 ∂ 2 c 2 2 δΠ = (− − σ S )δt. (3.28) ∂t 2 ∂S 2 Portfolio Π je bezrizikov´e a pokud se za ˇcasov´y okamˇzik δt zmˇen´ı hodnota portfolia, mus´ı b´yt tato zmˇena stejn´a jako u bezrizikov´eho aktiva. Je-li r bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra, potom plat´ı δΠ = Πrδt. (3.29)

22

Dosazen´ım (3.25) a (3.28) do (3.29) a zkr´acen´ım δt dost´av´ame z´akladn´ı BlackScholes-Mertonovu diferenci´aln´ı rovnici ∂c 1 ∂ 2 c 2 2 ∂c + σ S + rS − rc = 0. ∂t 2 ∂S 2 ∂S

(3.30)

Rovnice (3.30) m´a obecnˇe mnoho ˇreˇsen´ı3 . V pˇr´ıpadˇe evropsk´e call opce v ˇcase expirace plat´ı, ˇze cT = max(ST − K, 0). (3.31) Diferenci´aln´ı rovnice (3.30) s okrajov´ymi podm´ınkami (3.31) m´a jednoznaˇcn´e ˇreˇsen´ı a t´ım je Black-Scholes˚ uv vzorec.

3.5.2

Black-Scholesova rovnice

Pro cenu evropsk´e call opce na akcii, kter´a nenese dividendu plat´ı: ct = St Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 ), kde d1 =

(3.32)

ln(St /K) + (r + σ 2 /2)(T − t) √ , σ T −t

√ ln(St /K) + (r − σ 2 /2)(T − t) √ . d2 = d1 − σ T − t = σ T −t Funkce Φ(d) je distribuˇcn´ı funkce normovan´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı, tedy pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodn´a veliˇcina s norm´aln´ım rozdˇelen´ım N[0, 1] bude menˇs´ı neˇz d. Z d −x2 1 Φ(d) = √ e 2 dx. 2π −∞ Odvozen´ı Black-Scholesovy formule pro evropskou put opci m˚ uˇzeme prov´est pomoc´ı put-call parity (3.3). Pˇripomˇen ˇ me, ˇze pro evropskou put a call opci plat´ı vztah: St + pt = ct + Ke−r(T −t) . Dosad´ıme-li do v´yˇse uveden´eho vzorce rovnici (3.32), dostaneme po u ´ pravˇe: pt = St (Φ(d1 ) − 1) − Ke−r(T −t) (Φ(d2 ) − 1). ´ Pro norm´aln´ı rozdˇelen´ı plat´ı Φ(d) = 1−Φ(−d). Upravou pˇredchoz´ı rovnice dost´av´ame rovnici pro hodnotu evropsk´e put opce na akcii bez dividendy: pt = Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) − St Φ(−d1 ). 3

(3.33)

Parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice jsou obt´ıˇznˇe ˇreˇsiteln´e, naˇstˇest´ı tato rovnice je v´ yjimkou. Jak je uvedeno v Slaˇc´alek (1998), pomoc´ı substituce lze tuto rovnici pˇrev´est na rovnici veden´ı tepla, kter´ a je analyticky ˇreˇsiteln´a.

23

Mezi velk´e probl´emy Black-Scholesova modelu patˇr´ı volatilita, jej´ıˇz mˇeˇritelnost je nejobt´ıˇznˇejˇs´ı. Volatilitu m˚ uˇzeme odhadnout pomoc´ı historick´ych kurz˚ u akcie (historick´a volatilita), nebo vyuˇz´ıt Black-Scholes˚ uv vzorec (implicitn´ı volatilita). O historick´e volatilitˇe jsme se jiˇz zm´ınili v ˇc´asti 3.5.1. Implicitn´ı volatilitu vypoˇc´ıt´ame n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem. Pokud je napˇr. call opce obchodovateln´a na trhu a zn´ame jej´ı cenu ct , m˚ uˇzeme tuto cenu spolu s parametry St , K, r, T dosadit do rovnice pro cenu call opce: ct = St Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 ). (3.34) Jej´ım vyˇreˇsen´ım dostaneme hodnotu σ. Rovnici (3.34) mus´ıme ˇreˇsit numericky iteraˇcn´ı metodou, protoˇze tato rovnice nen´ı analyticky ˇreˇsiteln´a. Druh´ym probl´emem volatility je pˇredpoklad jej´ı konstantn´ı hodnoty. V re´aln´em svˇetˇe nen´ı volatilita v´ynos˚ u konstantn´ı a objevuje se u n´ı nˇekolik poruch. V´ıce o probl´emech volatility najedeme v kap. 15 v [4].

3.5.3

Vliv dividend

Dosud jsme pˇredpokl´adali, ˇze akcie, na kterou je opce vyps´ana, nenese dividendu. Na akcie je ale velmi ˇcasto vypl´acena dividenda a my si nyn´ı uprav´ıme vztah (3.32) a (3.33) tak, aby platil i pro opce na akcii, kter´a v pr˚ ubˇehu ˇzivota opce vypl´ac´ı dividendu. Dividenda b´yv´a vˇetˇsinou vypl´acena jedenkr´at roˇcnˇe a opce jsou nejˇcastˇeji kr´atkodob´e. Pokud bude na akcii vypl´acena dividenda mimo obdob´ı ˇzivota opce, nebude m´ıt tato dividenda vliv na hodnotu opce a v´ypoˇcet pro evropsk´e opce bude podle pˇredchoz´ıho vztahu. Pˇredpokl´adejme, ˇze zn´ame v´yˇsi vypl´acen´ych dividend a i jejich term´ın. Cena akcie na trhu se v tomto pˇr´ıpadˇe skl´ad´a ze dvou ˇc´ast´ı. Prvn´ı bezrizikov´a ˇc´ast se skl´ad´a z budouc´ıch vyplacen´ych dividend. Bezrizikov´a ˇc´ast v ˇcase t je souˇcasn´a hodnota vˇsech budouc´ıch vyplacen´ych dividend bˇehem ˇzivota opce diskontovan´a bezrizikovou u ´ rokovou m´ıro r z data, podle kter´eho je vypl´acena dividenda (tzv. ex-dividend date) k ˇcasu t. Druh´a rizikov´a ˇc´ast je vlastn´ı kurz akcie. V dobˇe expirace opce T jiˇz byly vyplaceny oˇcek´av´an´e dividendy a kurz akcie mus´ı b´yt tedy o hodnotu vyplacen´ych dividend niˇzˇs´ı. Black-Scholes˚ uv model poˇc´ıt´a pouze s rizikovou sloˇzkou. Mus´ıme tedy od aktu´aln´ı ceny podkladov´e akcie St odeˇc´ıst souˇcasnou hodnotu bezrizikov´e ˇc´asti. V´yˇse t´eto souˇcasn´e hodnoty P Vt (d1 , ..., dn ) v ˇcase t pro n vyplacen´ych dividend d1 , ..., dn s ˇcasem v´yplaty t1 , ...., tn , je P Vt (d1 , ..., dn ) =

n X

dj e−r(tj −t) .

(3.35)

j=1

Cena podkladov´e akcie, kterou pouˇzijeme k v´ypoˇctu hodnoty opce podle rovnice (3.32) ˇci (3.33), je rovna St = St∗ − P Vt (d1 , ..., dn ), (3.36)

kde St∗ je cena akcie na trhu.

24

3.5.4

Americk´ e opce

V pˇr´ıpadˇe americk´e call opce na akcii bez dividendy jsme si v ˇc´asti 3.4 uk´azali, ˇze tato opce nebude uplatnˇena dˇr´ıve neˇz v ˇcas expirace. Pro tento pˇr´ıpad plat´ı vztah (3.32). Hodnota americk´e call opce na akcii nesouc´ı dividendu, kter´a nebude uplatnˇena podle (3.16), je stejn´a jako hodnota evropsk´e call opce za stejn´ych podm´ınek a vypoˇc´ıt´a se podle vztahu pro evropskou call opci na akcii s dividendou. Pro americk´e call opce na akcie vypl´acej´ıc´ı dividendu vztah (3.32) neplat´ı. Je moˇzn´e pouˇz´ıt binomick´y model, kter´y si vysvˇetl´ıme d´ale. Tak´e pro tento pˇr´ıpad existuj´ı speci´aln´ı v´ypoˇcetn´ı postupy, kter´e se pokouˇs´ı hodnotu odhadnout. Napˇr. Fisher Black vytvoˇril aproximaci, pˇri kter´e oceˇ nuje americkou call opci pomoc´ı dvou evropsk´ych call opc´ı s r˚ uznou dobou expirace za jinak stejn´ych podm´ınek (v´ıce kap. 12.13 a v pˇr´ıloze 12B v [4]). Pro put opce je situace jeˇstˇe sloˇzitˇejˇs´ı. Americk´e put opce s dividendou jsou draˇzˇs´ı neˇz bez dividendy a d´a se uk´azat, ˇze vhodn´y ˇcas pro uplatnˇen´ı opce je tˇesnˇe po datu v´yplaty dividendy.

25

3.6

Binomick´ y model oceˇ nov´ an´ı opc´ı

Pˇredpoklady binomick´eho modelu jsou stejn´e jako u Black-Scholesova modelu. Trh je efektivn´ı, neuvaˇzujeme ˇz´adn´e transakˇcn´ı n´aklady, danˇe ani poplatky, existuje jedin´a bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra, kter´a je stejn´a pro p˚ ujˇcov´an´ı i vyp˚ ujˇcov´an´ı kapit´alu, akcie jsou nekoneˇcnˇe ˇstˇepiteln´e a nevypl´ac´ı dividendu. Binomick´y model je zaloˇzen na pˇredpokladu, ˇze se cena akcie S mˇen´ı jen v ekvidistantn´ıch ˇcasov´ych okamˇzic´ıch d´elky δt. Tyto ˇcasov´e intervaly jsou vˇzdy stejnˇe dlouh´e a m˚ uˇzou to b´yt napˇr. mˇes´ıce, dny, hodiny ˇci minuty. Model zmˇeny ceny podkladov´e akcie je jednoduch´y. Pˇredpokl´adejme, ˇze cena akcie St v ˇcase t se v n´asleduj´ıc´ım ˇcasov´em okamˇziku s pravdˇepodobnost´ı p zmˇen´ı na hodnotu uSt a s pravdˇepodobnost´ı 1 − p na hodnotu dSt . Plat´ı tedy: P (St+δt = uSt |St ) = p, P (St+δt = dSt |St ) = 1 − p.

(3.37)

Situaci vystihuje n´asleduj´ıc´ı obr´azek: u St p

St

1-p d St

Obr´azek 3.1: Moˇzn´e ceny akcie v ˇcase t + δt ˇ Pˇredpokl´ad´ame, ˇze d je menˇs´ı zmˇena a u je zmˇena vˇetˇs´ı. Casto se pˇredpokl´ad´a, ˇze d < 1 < u. Cena akcie tedy bud’ proporcion´alnˇe vzroste o u − 1 s pravdˇepodobnost´ı p, nebo klesne o 1 − d s pravdˇepodobnost´ı 1 − p. Pro bezrizikovou u ´ rokovou m´ıru r mus´ı z pˇredpokladu nemoˇznosti arbitr´aˇze platit, ˇze r + 1 < u. Kdyby tento vztah neplatil a platilo by r + 1 > u, vyplatilo by se uloˇzit pen´ıze do st´atn´ıch dluhopis˚ u za bezrizikovou u ´ rokovou m´ıru a akcie by nikdo nekupoval. Nyn´ı si zkonstruujeme binomick´y model pro evropskou call opci. Pokud do konce ˇzivota opce zb´yv´a pouze jedno obdob´ı a opce maturuje v ˇcase t + δt, oznaˇc´ıme si cut+δt hodnotu call opce v dobˇe expirace, pokud za toto obdob´ı cena akcie vzroste na uSt , a cdt+δt hodnotu opce, pokud cena akcie klesne na dSt . V´yplata v ˇcase t + δt je rovna: cut+δt = max(uSt − K, 0) s pravdˇepodobnost´ı p, (3.38) cdt+δt = max(dSt − K, 0) s pravdˇepodobnost´ı 1 − p. 26

(3.39)

Nyn´ı prozkoum´ame oˇcek´avanou hodnotu ceny akcie. Pˇredpokl´adejme, ˇze se nach´az´ıme v bezrizikov´em prostˇred´ı. V tomto prostˇred´ı jsou vˇsechny oˇcek´avan´e v´ynosnosti rovny bezrizikov´e u ´ rokov´e m´ıˇre a budouc´ı penˇeˇzn´ı toky jsou zde oceˇ nov´any diskontov´an´ım bezrizikovou u ´ rokovou m´ırou jejich oˇcek´avan´ych hodnot. Oˇcek´avan´a cena akcie, kter´a se chov´a podle naˇsich v´yˇse uveden´ych pˇredpoklad˚ u, je rovna: E(St+δt |St ) = puSt + (1 − p)dSt .

(3.40)

V rizikovˇe neutr´aln´ım prostˇred´ı mus´ı tedy b´yt v´yˇse v´ynosnosti akcie stejn´a jako v´ynosnost bezrizikov´eho kapit´alu. Plat´ı tedy: puSt + (1 − p)dSt = erδt St ,

(3.41)

ˇ sen´ım rovnice (3.41) je: kde erδt je v´ynosnost kapit´alu za obdob´ı δt. Reˇ erδt − d p= . u−d

(3.42)

Jelikoˇz plat´ı erδt < u (v´ynosnost akci´ı mus´ı b´yt vyˇsˇs´ı jak v´ynosnost st´atn´ıch dluhopis˚ u), je p pravdˇepodobnost a naz´yv´a se rizikovˇe neutr´aln´ı pravdˇepodobnost zmˇeny hodnoty akcie o u − 1 v bezrizikov´em prostˇred´ı. Rozptyl ceny akcie, kter´a se chov´a podle naˇsich pˇredpoklad˚ u, je roven var(St+δt |St ) = pu2 St2 + (1 − p)d2 St2 − (pu + (1 − p)d)2 St2 .

(3.43)

Ze vztahu (3.23) pro cenu akcie, kter´a se ˇr´ıd´ı stochastick´ym procesem, plyne, ˇze rozptyl ceny akcie s volatilitou σ za mal´y ˇcasov´y okamˇzik δt je σ 2 δt. Chceme-li srovnat volatilitu akcie s parametry binomick´eho modelu, plat´ı: pu2St2 + (1 − p)d2 St2 − (pu + (1 − p)d)2 St2 = σ 2 δtSt2 .

(3.44)

´ Upravou pˇredchoz´ıho vztahu a dosazen´ım (3.42) dost´av´ame rovnici: erδt (u + d) − ud − e2rδt = σ 2 δt.

(3.45)

Tˇret´ı podm´ınkou, kterou pˇridali Cox, Ross a Rubinstein, je 1 u= . d

(3.46)

Zanedb´an´ım mocnin δt vyˇsˇs´ıch jak 1 maj´ı rovnice (3.41) a (3.45) s pˇredchoz´ı podm´ınkou ˇreˇsen´ı, kter´e lze aproximovat n´asleduj´ıc´ımi rovnicemi: u = eσ

√

d = e−σ

δt

√

,

(3.47)

δt

(3.48)

.

Pˇri takto zvolen´ych parametrech d´av´a binomick´y model stejn´e v´ysledky jako model Black-Scholes˚ uv. Nyn´ı si odvod´ıme rovnici pro v´ypoˇcet hodnoty evropsk´e call opce, pokud v n´asleduj´ıc´ım obdob´ı opce expiruje. 27

Sestav´ıme dvˇe portfolia: • portfolio 1 obsahuje ∆ akci´ı a vyp˚ ujˇcen´e pen´ıze za bezrizikovou u ´ rokovou m´ıru ve v´yˇsi L, • portfolio 2 obsahuje call opci na akcii z portfolia 1. Poˇzadujeme, aby se hodnota portfolia 1 na konci prvn´ıho obdob´ı v ˇcase t + δt rovnala hodnotˇe portfolia 2 bez ohledu na to, jestli cena akcie vzroste nebo klesne. Mus´ı tedy platit: ∆uSt + erδt L = cut+δt , (3.49) ∆dSt + erδt L = cdt+δt .

(3.50)

ˇ sen´ım soustavy rovnic (3.49) a (3.50) dost´av´ame: Reˇ cut+δt − cdt+δt ∆= , St (u − d)

(3.51)

cdt+δt − cut+δt . erδt (u − d)

(3.52)

L=

Portfolio jsme zkonstruovali stejn´ym zp˚ usobem jako u Black-Scholesova modelu. Jak jsme jiˇz dˇr´ıve uvedli, ∆ je d˚ uleˇzit´a opˇcn´ı charakteristika, kter´a ud´av´a rychlost zmˇeny ceny opce pˇri zmˇenˇe ceny podkladov´eho aktiva. Cena call opce s rostouc´ı cenou podkladov´e akcie roste, plat´ı: cut+δt ≥ cdt+δt . Proto L ≤ 0 a znamen´a to vyp˚ ujˇcen´e pen´ıze ve v´yˇsi L. Pokud bude naˇse portfolio obsahovat ∆ akci´ı a vyp˚ ujˇcenou ˇc´astku L, na konci obdob´ı bude m´ıt vˇzdy stejnou hodnotu jako call opce bez ohledu na v´yvoj kurzu akcie. Z pˇredpokladu neexistence arbitr´aˇze tato portfolia mus´ı m´ıt i stejnou souˇcasnou hodnotu: ct = ∆St + L. (3.53) Dosazen´ım (3.51) a (3.52) do pˇredchoz´ıho vztahu a jednoduchou u ´ pravou dost´av´ame: erδt − d u u − erδt d ct = ( ct+δt + ct+δt )/erδt . u−d u−d

(3.54)

Tuto rovnici vyuˇzit´ım vztahu (3.42) uprav´ıme na v´ysledn´y tvar: ct = (pcut+δt + (1 − p)cdt+δt )/erδt .

(3.55)

Souˇcasn´a hodnota call opce ct je tedy oˇcek´avan´a hodnota opce v ˇcase t + δt diskontovan´a k ˇcasu t.

28

Nyn´ı si tento model zobecn´ıme pro v´ıce obdob´ı. Pro dvˇe obdob´ı, kter´a zb´yvaj´ı do doby expirace opce, vystihuje situaci n´asleduj´ıc´ı obr´azek:

p

u 2 St

u St p 1-p St

u d St p

1-p d St

1-p

d 2 St

Obr´azek 3.2: Moˇzn´e ceny akcie v ˇcase t + 2δt Cena akcie v ˇcase t+2δt m˚ uˇze b´yt u2 St , udSt nebo d2 St . Hodnoty pravdˇepodobnost´ı jednotliv´ych cen vyjadˇruj´ı n´asleduj´ıc´ı vztahy: P (St+2δt = u2 St |St ) = p2 , P (St+2δt = udSt |St ) = 2p(1 − p), P (St+2δt = d2 St |St ) = (1 − p)2 .

(3.56)

Moˇzn´e hodnoty opce na konci druh´eho obdob´ı v ˇcase t + 2δt budou ve v´yˇsi (cuu t+2δt znaˇc´ı hodnotu call opce, pokud cena akcie dvakr´at proproci´alnˇe vzroste o (1 − u), atd.): 2 cuu epodobnost´ı p2 , t+2δt = max(u St − K, 0) s pravdˇ

cud epodobnost´ı 2p(1 − p), t+2δt = max(udSt − K, 0) s pravdˇ

2 cdd epodobnost´ı (1 − p)2 . t+2δt = max(d St − K, 0) s pravdˇ

(3.57)

Nyn´ı vypoˇc´ıt´ame hodnoty call opce na konci prvn´ıho obdob´ı, tedy hodnoty cut+δt a cdt+δt . Pˇri tomto v´ypoˇctu vyuˇzijeme rovnici (3.55), kter´a vyjadˇruje, ˇze hodnota opce se d´a vypoˇc´ıtat pomoc´ı hodnot opce v obdob´ı n´asleduj´ıc´ım. ud Pˇredpokl´adejme, ˇze v ˇcase t + 2δt jsou hodnoty opce cuu t+2δt a ct+2δt . Pro hodnotu podle rovnice (3.55) plat´ı:

cut+δt

ud rδt cut+δt = (pcuu t+2δt + (1 − p)ct+2δt )/e .

29

(3.58)

ud d Pokud v ˇcase t + 2δt jsou hodnoty opce cdd ı: t+2δt a ct+2δt , pro hodnotu ct+δt plat´ dd rδt cdt+δt = (pcud t+2δt + (1 − d)ct+2δt )/e .

(3.59)

Jiˇz v´ıme hodnoty opc´ı na konci prvn´ıho obdob´ı, tedy v ˇcase t + δt. Aplikujeme tedy rovnici (3.55) na tyto hodnoty. T´ım z´ısk´ame cenu opce v ˇcase t, tedy hodnotu ct : ct = (pcut+δt + (1 − p)cdt+δt )/erδt .

(3.60)

Dosazen´ım vypoˇc´ıtan´ych hodnot z (3.58) a (3.59) m˚ uˇzeme rovnici (3.60) upravit na tvar: ud 2 dd 2rδt ct = (p2 cuu . (3.61) t+2δt + 2p(1 − p)ct+2δt + (1 − p) ct+2δt )/e

Nyn´ı dosad’me do t´eto rovnice hodnoty z (3.57). Dost´av´ame rovnici:

ct = (p2 max(u2 St −K, 0)+2p(1−p) max(udSt −K, 0)+(1−p)2 max(d2 St −K, 0))/e2rδt , (3.62) kterou m˚ uˇzeme pˇrepsat do tvaru: ct =

2 X j=0

2! pj (1 − p)2−j max(uj d2−j St − K, 0)/e2rδt . (2 − j)!j!

(3.63)

Pokud do konce ˇzivota opce zb´yv´a n obdob´ı (T = t + nδt) a v tˇechto n obdob´ıch cena akcie j kr´at vzroste o (1 − u) a (n − j) kr´at klesne o (1 − d), je v´ysledn´a pravdˇepodobnost t´eto zmˇeny rovna: P (ST = uj dn−j |St ) =

n! pj (1 − p)n−j , j = 0, ..., n. (n − j)!j!

(3.64)

Cena akcie, kter´a se chov´a podle naˇsich pˇredpoklad˚ u, m´a tedy binomick´e rozdˇelen´ı. Rozˇs´ıˇren´ım vztahu (3.63) dost´av´ame vztah pro hodnotu evropsk´e call opce vypoˇc´ıtanou pomoc´ı binomick´eho modelu: ct =

n X j=0

n! pj (1 − p)n−j max(uj dn−j St − K, 0)/enrδt , (n − j)!j!

(3.65)

kde p je rizikovˇe neutr´aln´ı pravdˇepodobnost zmˇeny hodnoty akcie o (1 − u) v bezrizikov´em prostˇred´ı vypoˇc´ıtan´a podle vztahu (3.42). V´yraz max(uj dn−j St − K, 0) vyjadˇruje cenu pˇri expiraci. Tato cena nebude nulov´a a opce skonˇc´ı v penˇez´ıch, pokud uj dn−j St > K. Oznaˇcme si J nejmenˇs´ı hodnotu j, pro kterou plat´ı uj dn−j St > K. J>

ln K/dn St , J ∈ N. ln(u/d)

(3.66)

Sumu ve vzorci (3.65) m˚ uˇzeme sˇc´ıtat od j = J, nebot’ ˇcleny sumy pro j < J jsou nulov´e. Pro tyto j > J je v´yraz max(uj dn−j St − K, 0) = uj dn−j St − K. Pouˇz´ıt´ım pˇredchoz´ıch u ´ vah a rozn´asoben´ım dost´av´ame: c t = St

n X j=J

n

X n! n! pj (1 − p)n−j uj dn−j /enrδt − K pj (1 − p)n−j /enrδt . (n − j)!j! (n − j)!j! j=J

(3.67)

30

Zavedeme novou promˇennou p¯, pro kterou plat´ı: p¯ =

up . erδt

(3.68)

Nyn´ı vyuˇzijeme vztah (3.42) pro rizikovˇe neutr´aln´ı pravdˇepodobnost zmˇeny hodnoty akcie p. Z tohoto vztahu plyne: 1 − p¯ =

d(1 − p) . erδt

(3.69)

Dosad´ıme-li (3.68) a (3.69) do rovnice (3.67), dostaneme: c t = St

n X j=J

n

X n! n! p¯j (1 − p¯)n−j − K pj (1 − p)n−j /enrδt . (n − j)!j! (n − j)!j! j=J

(3.70)

Oznaˇc´ıme-li si: BiJ [n, p¯] = BiJ [n, p] =

n X j=J n X j=J

n! p¯j (1 − p¯)n−j , (n − j)!j! n! pj (1 − p)n−j , (n − j)!j!

(3.71)

m˚ uˇzeme vyj´adˇrit rovnici (3.70) ve zkr´acen´em tvaru: ct = St BiJ [n, p¯] − Ke−nrδt BiJ [n, p].

(3.72)

Pokud bychom chtˇeli binomick´y model pro evropskou put opci, m˚ uˇzeme stejnˇe jako u Black-Scholesova modelu vyuˇz´ıt put-call paritu. Binomick´y model je tedy velice jednoduch´y n´astroj, kter´y je v podstatˇe jedin´y moˇzn´y pro ocenˇen´ı americk´e put opce jak bez dividendy, tak s n´ı. Oceˇ nov´an´ı americk´ych opc´ı a opc´ı vypl´acej´ıc´ıch dividendu je zaloˇzeno na rozdˇelen´ı doby ˇzivota trv´an´ı opce do mal´ych ˇcasov´ych u ´ sek˚ u, ve kter´ych sledujeme v´yvoj kurz˚ u a ceny opce. V kaˇzd´em oddob´ı ovˇeˇrujeme, zda nen´ı vhodn´a doba pro uplatnˇen´ı opce. Postup oceˇ nov´an´ı americk´ych opc´ı najdeme napˇr. v [4]. Dalˇs´ı v´yhodou je jeho pˇresnost. Pˇri vhodnˇe zvolen´ych parametrech u a d konverguje pro n → ∞ binomick´y model k Black-Scholesovˇe modelu. Abychom dos´ahli pˇribliˇznˇe stejn´ych hodnot, staˇc´ı zvolit poˇcet obdob´ı n dostateˇcnˇe velk´e.

31

3.7

Opˇ cn´ı charakteristiky

V ˇc´asti 3.2 jsme si uvedli parametry, kter´e cenu opce ovlivˇ nuj´ı nejv´ıce. Zopakujme, ˇze pro opci na akcii, kter´a nenese dividendu, to jsou: cena podkladov´e akcie St , realizaˇcn´ı cena K, bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra r, volatilita akcie σ a ˇcas zb´yvaj´ıc´ı do realizace (T − t) =: τ . V t´eto ˇc´asti se zamˇeˇr´ıme na z´avislost hodnoty opce na zmˇenˇe jednoho parametru, na tzv. opˇcn´ı charakteristiky (The Greeks). Mezi tyto charakteristiky patˇr´ı jiˇz zm´ınˇen´e delta call ∆c , kter´e jsme pˇri odvozen´ı Black-Scholesovi rovnice vyuˇzili k vytvoˇren´ı bezrizikov´eho portfolia. Znalosti tˇechto charakteristik je tedy pˇredevˇs´ım moˇzn´e vyuˇz´ıt k tvorbˇe zajiˇstˇen´ych portfoli´ı. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze opce je evropsk´a, nenese dividendu a je ocenˇena pomoc´ı Black-Scholesovi rovnice.

3.7.1

Delta

Delta ∆ je jedna z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch a nejpouˇz´ıvan´ych opˇcn´ıch charakteristik. Je definov´ana jako parci´aln´ı derivace ceny opce podle ceny podkladov´e akcie: ∂ct , ∂St ∂pt ∆p = . ∂St ∆c =

(3.73) (3.74)

Delta mˇeˇr´ı z´avislost hodnoty opce na zmˇenˇe ceny podkladov´e akcie. D´a se dok´azat, ˇze: ∆c = Φ(d1 ), ∆p = Φ(d1 ) − 1 = −Φ(−d1 ) = ∆c − 1. (3.75) Ze vztahu ∆p = ∆c − 1 plyne, ˇze zmˇena ceny akcie p˚ usob´ı na hodnotu call opce opaˇcnˇe neˇz na hodnotu put opce. S rostouc´ı cenou podkladov´e akcie roste cena call opce, proto 0 < ∆c < 1 a kles´a cena put opce, proto −1 < ∆p < 0.

Delta n´am tak´e ud´av´a zajiˇst’ovac´ı pomˇer (hedge ratio). Portfolio, kter´e se skl´ad´a z ∆c akci´ı a jedn´e call opce na tuto akcii, bude imunn´ı v˚ uˇci mal´ym zmˇen´am ceny podkladov´e akcie.

3.7.2

Gamma

Gamma Γ je druh´a derivace ceny opce podle ceny podkladov´e akcie a mˇeˇr´ı z´avislost ∆c a ∆p na zmˇenˇe ceny podkladov´e akcie: ∂∆c ∂ 2 ct = , ∂St ∂St2 ∂∆p ∂ 2 pt Γp = = . ∂St ∂St2 Γc =

32

(3.76) (3.77)

Pokud je Γ mal´e, ∆ se mˇen´ı pomalu a nen´ı nutn´e ˇcasto pomˇer akci´ı a opce v naˇsem portfoliu upravovat. Pokud je ale Γ velk´e, ∆ je citliv´e na zmˇenu ceny akcie a my budeme nuceni ˇcastˇeji upravovat pomˇer akci´ı a opce. V´ypoˇcet Γ je stejn´y pro call i put opci: Γc = Γp = kde ϕ(d) =

3.7.3

−d √1 e 2 2π

2

ϕ(d1 ) √ , St σ T − t

(3.78)

je hustota normovan´eho norm´aln´ı rozdˇelen´ı N[0, 1].

Theta

Theta Θ mˇeˇr´ı z´avislost ceny opce na ˇcase zb´yvaj´ıc´ım do doby expirace (T − t) =: τ . V ˇc´asti 2.3 jsme si uvedli, ˇze hodnota opce se skl´ad´a z vnitˇrn´ı a ˇcasov´e hodnoty a s ub´yvaj´ıc´ım ˇcasem do splatnosti se ˇcasov´a hodnota sniˇzuje. Parametr theta je definov´ana jako z´aporn´a derivace ceny opce podle ˇcasu zb´yvaj´ıc´ıho do realizace: ∂ct Θc = − , (3.79) ∂τ ∂pt . (3.80) Θp = − ∂τ Derivov´an´ım lze odvodit, ˇze: σSt Θc = − √ ϕ(d1 ) − Kre−rτ Φ(d2 ). (3.81) 2 τ Jelikoˇz jsou oba dva ˇcleny v´yˇse uveden´e rovnice z´aporn´e, je Θc vˇzdy z´aporn´a. S ub´yvaj´ıc´ı dobou do splatnosti hodnota call opce kles´a. Derivov´an´ım put-call parity (3.3) podle t a vyuˇzit´ım pˇredchoz´ıho vztahu dost´av´ame pro Θp rovnici: σSt Θp = Θc + rKe−rτ = − √ ϕ(d1 ) + rKe−rτ Φ(−d2 ). (3.82) 2 τ Theta put opce tedy nemus´ı b´yt vˇzdy z´aporn´a, ale ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpadech tak tomu je.

3.7.4

Rho

Rho ρ mˇeˇr´ı z´avislost zmˇeny ceny opce na zmˇenˇe u ´ rokov´e m´ıry. ∂ct ρc = , ∂r ∂pt ρp = . ∂r Derivov´an´ım lze opˇet odvodit, ˇze: ρc = K(T − t)e−r(T −t) Φ(d2 ), −r(T −t)

ρp = −K(T − t)e

Φ(−d2 ).

(3.83) (3.84)

(3.85) (3.86)

Rho call opce je vˇzdy kladn´e a rho put opce z´aporn´e. Pokud tedy poroste bezrizikov´a u ´ rokov´a m´ıra, bude se hodnota call opce zvyˇsovat. U put opce je tomu pˇresnˇe naopak. 33

3.7.5

Vega

Pˇredpokl´adali jsme, ˇze volatilita σ je konstantn´ı. Jiˇz ale v´ıme, ˇze tomu tak nen´ı. Volatilita se v re´aln´em svˇetˇe s ˇcasem mˇen´ı a m´a tedy smysl mˇeˇrit z´avislost zmˇeny hodnoty opce na zmˇenˇe volatility. Tato charakteritika se naz´yv´a vega a znaˇc´ı se ˇreck´ym p´ısmenem ν: ∂ct , ∂σ ∂pt νp = . ∂σ νc =

Pro evropskou call i put opci bez dividendy plat´ı: √ νc = νp = St T − t ϕ(d1). Vliv zmˇeny volatility akcie na cenu opce je tedy pro call i put opci stejn´y.

34

(3.87) (3.88)

(3.89)

Kapitola 4 Oceˇ nov´ an´ı opc´ı v syst´ emu R Wolfram Mathematica 6.0 Hlavn´ı obsah t´eto kapitoly je na pˇriloˇzen´em CD. Na nˇem se nach´az´ı soubor ocenovaniopci.nb, k jehoˇz spuˇstˇen´ı mus´ıme m´ıt na poˇc´ıtaˇci nainstalovan´y vynikaj´ıc´ı R matematick´y software Wolfram Mathematica . Tento soubor je v textov´e podobˇe jako pˇr´ıloha souˇc´ast´ı t´eto pr´ace. V tomto souboru je naprogramovan´y Black-Scholes˚ uv a binomick´y model pro evropsk´e opce. Kromˇe samotn´eho v´ypoˇctu pro hodnotu opce jsou tak´e naprogramov´any funkce pro v´ypoˇcet opˇcn´ıch charakteristik a implicitn´ı volatility. Z´avislost hodnoty opce na r˚ uzn´ych parametrech lze tak´e zobrazit pomoc´ı graf˚ u. Po kaˇzd´e definici d˚ uleˇzit´e funkce ˇci grafu si zp˚ usob vol´an´ı uk´aˇzeme na pˇr´ıkladech.

35

Kapitola 5 Z´ avˇ er Opce jsou v dneˇsn´ı dobˇe ned´ılnou souˇc´ast´ı finanˇcn´ıch trh˚ u a obchodov´an´ı s opcemi nab´yv´a kaˇzd´ym rokem na objemu. Pro spr´avn´e rozhodov´an´ı pˇri n´akupu tˇechto finanˇcn´ıch deriv´at˚ u a pˇri obchodov´an´ım s nimi je nesm´ırnˇe d˚ uleˇzit´e si danou opci spr´avnˇe a pˇresnˇe ocenit. Jak jsme si uvedli, k ocenˇen´ı opc´ı slouˇz´ı pˇredevˇs´ım BlackScholes˚ uv a binomick´y model. Oba dva modely jsou pˇri spr´avnˇe zvolen´ych parametrech stejnˇe pˇresn´e a kvalitn´ı, coˇz jsme si uk´azali na pˇr´ıkladu v kapitole 4. Pˇri spr´avn´em zvolen´ı parametr˚ u se tedy hodnoty pˇribliˇznˇe rovnaj´ı. Black-Scholes˚ uv model vyuˇzijeme pˇredevˇs´ım u evropsk´ych opc´ı a lze ho tak´e ˇc´asteˇcnˇe pouˇz´ıt u americk´e call opce. Pro americkou put opci a tak´e call opci je v´yhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt binomick´y model. V´yhodou tohoto modelu je rozdˇelen´ı doby ˇzivota opce na kr´atk´e ˇcasov´e u ´ seky, ve kter´ych sledujeme v´yvoj kurz˚ u akcie a hodnoty opce a testujeme, zda nen´ı vhodn´a doba pro uplatnˇen´ı opce.

36

Literatura [1] Ambroˇz, L.: Oceˇ nov´an´ı opc´ı, 1. vyd´an´ı, C. H. Beck, Praha, 2002. ˇ ep´an, J.: Stochastic Modeling in Economics and Fi[2] Dupaˇcov´a, J., Hurt, J., Stˇ nance, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002. [3] Hurt, J.: V´ypoˇcetn´ı prostˇredky finanˇcn´ı a pojistn´e matematiky LS 2007/2008, http://www.karlin.mff.cuni.cz/∼ hurt/VPFPM2008.nb. [4] Hull, J.: Options, Futures and Other Derivatives, 5. vyd´an´ı, Prentice Hall, New Jersey, 2002. [5] J´ılek, J.: Finanˇcn´ı a komoditn´ı deriv´ aty, Grada, Praha, 2005. ˇ e [6] Kouhout, P.: Nobelova cena za ekonomii 1997: Oceˇ nov´ an´ı opc´ı, Semin´aˇr Cesk´ spoleˇcnosti ekonomick´e, Praha, 1998. [7] Sl´aˇc´alek, J.: Black˚ uv-Scholes˚ uv model oceˇ nov´ an´ı opc´ı, Diplomov´a pr´ace, FSV UK, Praha, 1998.

37