UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281
Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN II
IDEAL DAN RING FAKTOR Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-3, 4, dan 5
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III/3 SKS/MMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013
November 2013
BAB II IDEAL DAN RING FAKTOR
Pada teori grup, telah kita ketahui bahwa dari suatu grup dapat dibentuk grup baru dengan memanfaatkan suatu subgrup normal. Grup yang terbentuk tersebut dinamakan grup faktor. Sejalan dengan ide pembentukan grup faktor tersebut, pada bab ini akan dijelaskan pembentukan ring faktor. Dalam proses pembentukan ring faktor ini memotivasi munculnya definisi ideal dari suatu ring.
2.1. Latar Belakang Munculnya Definisi Ideal Dari Bab I telah diketahui bahwa jika S merupakan merupakan subring dalam ring R maka S merupakan subgrup dalam grup Abelian (R, +), sehingga S merupakan subgrup normal. Dari teori grup (Pengantar Struktur Aljabar I), ter. bentuklah grup faktor R S , + yang juga merupakan grup Abelian, dengan . R = {r | r ∈ R} = {r + S | r ∈ R}. S Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasi perkalian . . . ·:R S×R S →R S . R sedemikian hingga S , +, · juga merupakan ring. . Diambil sebarang r1 , r2 ∈ R S maka diperoleh r1 , r2 ∈ R. Dengan demikian r1 r2 ∈ R, dan dari kenyataan ini didefinisikan r1 ·r1 = r1 r2 untuk setiap r1 , r2 ∈ R.
Mengingat operasi · merupakan operasi antar koset (kelas), maka sebelum menunjukkan aksioma-aksioma ring dipenuhi atau tidak terlebih dahulu harus dicek . apakah operasi tersebut well-defined atau tidak. Misalkan r1 , r2 , r10 , r20 ∈ R S dengan r1 = r10 , dan r2 = r20 . Akan dicek apakah r1 · r2 = r10 · r20 yang artinya r1 r2 = r10 r20 .
11
Dengan menggunakan makna dari kesamaan koset yang sudah dibahas dalam teori grup, permasalahan diatas ekuivalen dengan mengecek apakah jika r1 −r10 ∈ S dan r2 − r20 ∈ S akan diperoleh r1 r2 − r10 r20 ∈ S. Hal ini ekuivalen dengan menunjukkan apakah jika r1 − r10 = s1 dan r2 − r20 = s2 untuk suatu s1 , s2 ∈ S, apakah akan berakibat r1 r2 − r10 r20 = s3 untuk suatu s3 ∈ S. Dengan demikian akan diperoleh r1 r2 − r10 r20 = (s1 + r10 )(s2 + r20 ) − r10 r20 = (s1 s2 + s1 r20 + r10 s2 + r10 r20 ) − r10 r20
(2.1)
= s1 s2 + s1 r20 + r10 s2 . Mengingat S merupakan subring maka s1 s2 ∈ S, namun s1 r20 dan r10 s2 belum tentu berada dalam S, sehingga secara keseluruhan r1 r2 − r10 r20 = s1 s2 + s1 r20 + r10 s2 juga belum tentu berada dalam S sebab r1 dan r2 adalah elemen-elemen dalam R yang belum tentu berada dalam S. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa operasi · . pada R S belum tentu well-defined. Dari kenyataan ini didefinisikan pengertian ideal sebagai berikut: Definisi 2.1.1. Misalkan R suatu ring dan ∅ 6= I ⊆ S. Subset I disebut ideal dari R jika (i). (∀s1 , s2 ∈ I)s1 − s2 ∈ I dan (ii). (∀s1 ∈ I)(∀r ∈ R)s1 r, rs1 ∈ I. Contoh 2.1.2.
1. Subset 2Z merupakan ideal di ring Z. Secara umum, untuk
setiap k ∈ N, kZ merupakan ideal di ring Z. 2. Subset M2×2 (2Z) merupakan ideal di ring M2×2 (Z). Setiap ring R selalu mempunyai ideal, yaitu paling tidak mempunyai ideal {0R } dan R. Kedua ideal tersebut dinamakan ideal trivial. Mengingat pada ring R tidak disyaratkan bersifat komutatif terhadap perkalian maka untuk sebarang subset tak kosong I ⊆ R, s1 ∈ I, dan r ∈ R, jika s1 r berada di dalam I belum tentu rs1 berada dalam I, begitu juga sebaliknya. Mengingat hal tersebut dapat didefinisikanlah pengertian ideal kiri dan ideal kanan sebagai berikut:
12
Definisi 2.1.3. Misalkan R suatu ring dan I ⊆ S. 1. Subset I disebut ideal kiri jika (a) (∀s1 , s2 ∈ I)s1 − s2 ∈ I (b) (∀s1 ∈ I)(∀r ∈ R)rs1 ∈ I. 2. Subset I disebut ideal kanan jika (a) (∀s1 , s2 ∈ I)s1 − s2 ∈ I (b) (∀s1 ∈ I)(∀r ∈ R)s1 r ∈ I. Contoh 2.1.4. Diberikan ring matriks M2×2 (R). Misalkan 0 a a 0 | a, b ∈ R . | a, b ∈ R dan I2 = I1 = 0 b b 0 Ideal I1 merupakan ideal kiri di M2×2 (R) dan I2 merupakan ideal kanan di M2×2 (R).
Berdasarkan Definisi 2.1.1 dan Definisi 2.1.3, mudah dipahami bahwa himpunan bagian tak kosong I dari ring R disebut ideal di R jika I merupakan ideal kiri sekaligus ideal kanan di R.
2.2. Pembentukan Ring Faktor dari Suatu Ideal Dari uraian pada latar belakang munculnya pengertian ideal diatas dapat disimpulkan bahwa, jika I merupakan ideal maka I merupakan subring dan operasi . R · pada I merupakan operasi well-defined. Perlu diperhatikan jika I hanya meru. pakan ideal kiri atau hanya ideal kanan saja, maka belum tentu operasi · pada R I well-defined. Dengan menggunakan aksioma-aksioma ring R dapat ditunjukkan . bahwa R I merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian koset-koset sebagaimana dinyatakan dalam sifat sebagai berikut. . Teorema 2.2.1. Jika I merupakan ideal dalam ring R maka R I merupakan ring terhadap operasi (i). penjumlahan + yang didefinisikan sbb.: r1 +r2 =r1 + r2
13
(ii). perkalian · yang didefinisikan sbb.: r1 ·r2 =r1 · r2 . untuk setiap r1 , r2 ∈ R I . . R Bukti. Dari teori grup, diperoleh bahwa ( I , +) merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan. Sehingga cukup ditunjukkan bahwa terhadap perkalian bersi-
fat asosiatif, distributif kiri, dan distributif kanan. Diambil sebarang r1 , r2 , r3 ∈ . R , artinya r1 , r2 , r3 ∈ R, dengan demikian akan diperoleh: I 1. Sifat asosiatif:
r1 + (r2 + r3 ) = r1 + (r2 + r3 ) = r1 + (r2 + r3 ) = (r1 + r2 ) + r3 = r1 + r2 + r3 = (r1 + r2 ) + r3 . Jadi, terbukti · bersifat asosiatif. 2. Sifat distributif kiri:
r1 · (r2 + r3 ) = r1 · (r2 + r3 ) = r1 · (r2 + r3 ) = (r1 + r2 ) + r3 = r1 · r2 + r1 · r3 = r1 · r2 + r1 · r3 = r1 · r2 + r1 · r3 . Jadi, terbukti · bersifat distributif kiri terhadap +. Secara analog dapat dibuktikan · bersifat distributif kanan terhadap +. . R Ring I , +, · selanjutnya disebut Ring Faktor yang dibentuk dari ideal I dalam ring R. Dengan mudah akan dapatditunjukan bahwa jika R merupakan . ring komutatif maka ring faktor R I , +, · juga bersifat komutatif, dan jika R . merupakan ring dengan elemen satuan 1 maka ring faktor R I , +, · juga mempunyai elemen satuan 1. Berikut sifat-sifat ideal yang akan dipakai pada subbab berikutnya yakni dalam pembentukan ideal terkecil yang memuat suatu himpunan.
14
Teorema 2.2.2. Misalkan R merupakan ring. Jika I1 dan I2 masing-masing merupakan ideal di R, maka (i). I1 ∩ I2 merupakan ideal di R (ii). I1 + I2 = {a + b | a ∈ I1 dan a ∈ I2 } merupakan ideal di R (iii). (I1 ∪ I2 ) ⊆ I1 + I2 . Bukti. Diketahui I1 dan I2 masing-masing merupakan ideal di R. (i). Akan dibuktikan I1 ∩ I2 merupakan ideal di R. Diambil sebarang r ∈ R dan x, y ∈ I1 ∩ I2 , artinya x, y ∈ I1 dan x, y ∈ I2 . Karena I1 dan I2 ideal, diperoleh • x − y ∈ I1 dan x − y ∈ I2 , • rx ∈ I1 dan xr ∈ I1 , • rx ∈ I2 dan xr ∈ I2 . Dengan demikian diperoleh x − y ∈ I1 ∩ I2 , rx ∈ I1 ∩ I2 , dan xr ∈ I1 ∩ I2 . Jadi, dapat disimpulkan bahwa I1 ∩ I2 merupakan ideal di R. (ii). Akan dibuktikan I1 + I2 merupakan ideal di R. Diambil sebarang r ∈ R dan x, y ∈ I1 +I2 , artinya x = a1 +a2 dan y = b1 +b2 , untuk suatu a1 , b1 ∈ I1 dan a2 , b2 ∈ I2 . Karena I1 dan I2 merupakan ideal di R, diperoleh a1 − b1 ∈ I1 dan a2 − b2 ∈ I2 , sehingga x − y = a1 + a2 − (b2 + b2 ) = (a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) ∈ I1 + I2 . Karena I1 dan I2 merupakan ideal di R, diperoleh juga ra1 ∈ I1 , a1 r ∈ I1 , ra2 ∈ I2 , dan a2 r ∈ I2 , sehingga rx = r(a1 + a2 ) = ra1 + ra2 ∈ I1 + I2 dan xr = (a1 + a2 )r = a1 r + a2 r ∈ I1 + I2 . Jadi, I1 + I2 merupakan ideal di R.
15
(iii). Akan dibuktikan (I1 ∪ I2 ) ⊆ I1 + I2 . Diambil sebarang x ∈ I1 ∪ I2 , artinya x ∈ I1 atau x ∈ I2 . Jika x ∈ I1 , maka mengingat 0R ∈ I2 diperoleh x = x + 0R ∈ I1 + I2 . Jika x ∈ I2 , maka mengingat 0R ∈ I1 diperoleh x = 0R + x ∈ I1 + I2 . Jadi, terbukti bahwa I1 ∪ I2 ⊆ I1 + I2 . Berikut ini merupakan generalisasi dari Teorema 2.2.2 (i). Teorema 2.2.3. Diberikan R adalah ring dan ∆ adalah himpunan indeks. Misalkan I = {Iα | α ∈ ∆} dengan Iα adalah ideal di R untuk setiap α ∈ ∆. Irisan semua ideal-ideal dalam I, yaitu \
Iα ,
α∈∆
merupakan ideal di R.
Bukti. (sebagai latihan)
2.3. Ideal Terkecil yang Memuat Himpunan Jika diberikan ring R dan himpunan X ⊆ R, maka X bisa merupakan ideal di R atau X bukan merupakan ideal di R. Jika X bukan merupakan ideal di R, maka selalu dapat dibentuk ideal yang memuat X, yakni paling tidak ring R itu sendiri. Namun ideal R merupakan ideal terbesar dan ideal yang trivial. Oleh karena itu, muncul pertanyaan, bagaimana mencari ideal terkecil yang memuat X. Berikut diberikan langkah-langkah mencari ideal terkecil yang memuat X. a). Dikumpulkan semua ideal yang memuat X, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan IX , yaitu IX = {I | I ideal di R dan X ⊆ I}. Dengan demikian dapat kita tuliskan IX = {Iα | α ∈ ∆} dengan ∆ adalah suatu himpunan indeks dan Iα adalah ideal di R yang memuat X, untuk setiap α ∈ ∆.
16
b). Dibentuk irisan dari semua ideal di dalam IX , yaitu \
I=
\
Iα .
α∈∆
I∈IX
T Berdasarkan sifat ideal diperoleh bahwa Iα merupakan ideal di R. Karena α∈∆ T T T X ⊆ Iα ⊆ Iβ untuk setiap β ∈ ∆, diperoleh bahwa I = Iα α∈∆
I∈IX
α∈∆
merupakan ideal terkecil yang memuat X. Perhatikan bahwa pada kejadian khusus ketika X = ∅, ideal {0R } merupakan ideal yang memuat X. Oleh karena itu, {0R } ∈ IX sehingga diperoleh ideal terkecil yang memuat X adalah \
I = {0R }.
I∈IX
Selanjutnya, muncul pertanyaan bagaimanakah bentuk elemen-elemen di T I, dengan X 6= ∅. Misalkan X adalah himpunan bagian tak kosong dalam I∈IX
dari R. T T I, sebab X ⊂ I. Dengan 1. Jelas elemen-elemen dari X berada di I∈I I∈I X X T T demikian, diperoleh y ∈ I, untuk setiap y ∈ X. Mengingat I ideal I∈IX I∈I X T I. Lebih dari itu, di R, untuk setiap k ∈ Z dan y ∈ X berlaku ky ∈ I∈IX
untuk setiap t ∈ N, kj ∈ Z, yj ∈ X, j = 1, · · · , t, berlaku t X
kj yj ∈
j=1
\
I.
I∈IX
T
I ideal di R, maka untuk setiap r ∈ R dan x ∈ X diperoleh T T rx juga berada di I. Selanjutnya, mengingat I ideal di R, maka
2. Mengingat
I∈IX
I∈IX
I∈IX
untuk setiap r0 ∈ R diperoleh rxr0 = (rx)r0 ∈
\
I.
I∈IX
3. Mengingat
T
Ii ideal di R, maka untuk setiap n ∈ N, ri , ri0 ∈ R, dan
Ii ∈IX
xi ∈ X, i = 1, · · · , n, n X
(ri xi ri0 ) ∈
i=1
\ I∈IX
17
I.
T
4. Dari (1) dan (3), serta mengingat
I ideal di R, diperoleh
I∈IX n X
(ri xi ri0 )
+
i=1
Jika semua bentuk
n X
(ri xi ri0 )+
i=1
t X
(kj yj ) ∈
j=1 t X
\
I.
I∈IX
(kj yj ) dengan ri , ri0 ∈ R dan xi , yj ∈ X
j=1
dikumpulkan menjadi satu, yaitu dibentuk himpunan yang dinotasikan dengan hXi sebagai berikut ( n ) t X X hXi = (ri xi ri0 ) + (kj yj ) | n, t ∈ N, kj ∈ Z, ri , ri0 ∈ R, xi , yj ∈ X , i=1
j=1
maka akan diperoleh suatu teorema sebagai berikut. Teorema 2.3.1. Diberikan sebarang ring R. Jika X adalah himpunan bagian tak T kosong dari R dan IX = {I | I ideal dan X ⊆ I}, maka berlaku I = hXi. I∈IX
Bukti. (sebagai latihan) (a). Harus dibuktikan hXi merupakan ideal di R. (b). Harus dibuktikan X ⊆ hXi. (c). Langkah terakhir harus dibuktikan hXi merupakan ideal terkecil di R yang memuat X. Definisi 2.3.2. Diberikan ring R dan himpunan bagian tak kosong X ⊆ R. Ideal hXi disebut ideal yang dibangun oleh X. Untuk sebarang ring R dan himpunan bagian tak kosong X ⊆ R, jelas bahwa hXi ⊆ R tetapi belum tentu berlaku hXi = R. Jika hXi = R, maka munculah definisi ring yang dibangun oleh suatu himpunan sebagai berikut. Definisi 2.3.3. Diberikan ring R dan himpunan bagian tak kosong X ⊆ R. Ring R disebut ring yang dibangun oleh X jika hXi = R.
18
Khusus untuk ring R dengan elemen satuan (katakan 1R ), jika ∅ = 6 X⊆R maka untuk setiap n ∈ Z dan x ∈ X, diperoleh: (i). Jika n = 0, maka nx = 0R . (ii). Jika n > 0, maka def.
nx = n(1R x) = 1R x + 1R x + · · · + 1R x = (1R + 1R + · · · + 1R )x = sx = sx1R , | {z } | {z } n kali
n kali
untuk suatu s ∈ R. (iii). Jika n < 0, maka def.
nx = n(1R x) = 1R x + 1R x + · · · + 1R x = (1R + 1R + · · · + 1R )x = tx = tx1R | {z } | {z } |n| kali
|n| kali
untuk suatu t ∈ R. Akibatnya, ideal terkecil di R yang memuat X adalah ( n ) X hXi = (ri xi ri0 ) | n ∈ N, ri , ri0 ∈ R, xi ∈ X .
(2.2)
i=1
Khusus untuk ring R yang komutatif, ideal terkecil yang memuat X adalah ) ( n t X X hXi = (ri xi ) + (kj yj ) | n, t ∈ N, ki ∈ Z, ri ∈ R, xi , yj ∈ X . (2.3) i=1
j=1
(Silahkan dibuktikan sebagai latihan) Kasus yang lebih khusus lagi, jika R adalah ring komutatif dengan elemen satuan maka berdasarkan (2.2) dan (2.3) diperoleh ( n ) X hXi = (ri xi ) | n ∈ N, ri ∈ R, xi ∈ X . i=1
Contoh 2.3.4. Diberikan ring bilangan bulat Z dan X = {2, 3}. Ideal yang dibangun oleh X adalah hXi =
( n X
) (2r + 3s) | n ∈ N, r, s ∈ Z .
i=1
19
Diberikan sebarang ring R dan X himpunan bagian tak kosong dari R. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ideal kiri terkecil yang memuat X yang dinotasikan dengan hXil tidak lain akan berbentuk ( n ) t X X hXil = (ri xi ) + (kj yj ) | n, t ∈ N, ki ∈ Z, ri ∈ R, xi , yj ∈ X . i=1
j=1
Ideal kanan terkecil yang memuat X yang dinotasikan dengan hXir tidak lain akan berbentuk hXir =
( n X
(xi ri0 ) +
i=1
t X
) (kj yj ) | n, t ∈ N, ki ∈ Z, ri0 ∈ R, xi , yj ∈ X
.
j=1
Tentu saja jika R merupakan ring komutatif setiap ideal kiri akan merupakan ideal kanan, sehingga hXil = hXir . Diberikan sebarang ring R. Jika X ⊆ R hanya terdiri dari satu elemen, misalkan X = {a}, maka hXi = h{a}i akan sama dengan hXi = {rar0 + ka | r, r0 ∈ R, k ∈ Z} , dan selanjutnya disebut ideal yang dibangun oleh a. Jika x = {0} maka kan diperoleh ideal yang dibangun oleh {0} tidak lain adalah ideal {0} itu sendiri, sedangkan jika R adalah ring yang memuat elemen satuan 1R maka ideal yang dibangun oleh 1R tidak lain adalah R sendiri. Jika R merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, maka h{a}i = {ra | r ∈ R} = {ar | r ∈ R}, dan selanjutnya dinotasikan dengan aR. Selanjutnya, jika diberikan ring R serta ideal I1 dan I2 di R maka I1 ∪ I2 belum tentu membentuk ideal di R. Sebagai contoh pada ring bilangan bulat Z, himpunan 2Z dan 3Z masing-masing merupakan ideal, namun 2Z ∪ 3Z tidak merupakan ideal, sebab 2, 3 ∈ 2Z ∪ 3Z tetapi 2 + 3 = 5 6∈ 2Z ∪ 3Z. Mengingat I1 ∪ I2 merupakan himpunan bagian tak kosong dari R, dapat dibentuk ideal terkecil di R yang memuat I1 ∪ I2 , yaitu hI1 ∪ I2 i. Teorema 2.3.5. Diberikan sebarang ring R. Jika I1 dan I2 masing-masing merupakan ideal di R, maka hI1 ∪ I2 i = I1 + I2 .
20
Bukti. Cukup dibuktikan I1 + I2 merupakan ideal terkecil di R yang memuat I1 ∪ I2 . Berdasarkan Teorema 2.2.2 (ii) telah diketahui bahwa I1 + I2 merupakan ideal di R. Berdasarkan Teorema 2.2.2 (iii), diperoleh ideal I1 + I2 memuat I1 ∪ I2 . Dengan demikian telah terbukti bahwa I1 + I2 merupakan ideal di R yang memuat I1 ∪ I2 . Diambil sebarang ideal K di R sedemikian sehingga (I1 ∪ I2 ) ⊆ K. Akan ditunjukkan (I1 + I2 ) ⊆ K. Diambil sebarang x ∈ I1 + I2 , artinya x = a + b untuk suatu a ∈ I1 dan b ∈ I2 . Mengingat (I1 ∪ I2 ) ⊆ K, berakibat a, b ∈ K. Karena K ideal, diperoleh x = a + b ∈ K. Oleh karena itu diperoleh (I1 + I2 ) ⊆ K dan terbukti I1 + I2 merupakan ideal terkecil di R yang memuat I1 ∪ I2 . Jadi, terbukti hI1 ∪ I2 i = I1 + I2 .
2.4. Latihan Kerjakan soal-soal latihan berikut ini. 1. Buktikan bahwa sebarang ideal di ring Z memiliki bentuk nZ, untuk suatu n ∈ N ∪ {0} ! a 2. Diberikan ring T2×2 (Z) = 0 0 (a). Buktikan bahwa I = 0 0 (b). Buktikan bahwa J = 0
b | a, b, d ∈ Z . d
| b, d ∈ Z merupakan ideal di T2×2 (Z) ! d b | b ∈ Z merupakan ideal di T2×2 (Z) ! 0 . . (c). Tentukan ring faktor T2×2 (Z) I dan T2×2 (Z) J ! b
3. Buktikan bahwa I = {0, 8, 16} merupakan ideal di Z24 ! Selanjutnya ten. tukan ring faktor Z24 I ! 4. Misalkan I dan J masing-masing adalah ideal di ring R. Didefinisikan perkalian dua ideal sebagai berikut: IJ = {a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn | n ∈ N, ai ∈ I, bi ∈ J}. Buktikan bahwa IJ merupakan ideal di R !
21
5. Diberikan sebarang ring R. Jika I ideal kanan di R dan J ideal kiri di R, maka buktikan IJ ⊆ I ∩ J ! 6. Misalkan I adalah ideal di suatu ring komutatif R. Didefinisikan annihilator dari I, yaitu Ann(I) = {r ∈ R | ra = 0R untuk setiap a ∈ I}. Buktikan bahwa Ann(I) merupakan ideal di R ! 7. Pada ring Z20 , buktikan bahwa I = {n | n genap} merupakan ideal! Tentukan Ann(I) ! 8. Misalkan I adalah ideal di suatu ring komutatif R dan a ∈ R. Buktikan bahwa hI ∪ {a}i = {x + ra + na | x ∈ I, r ∈ R, n ∈ Z} ! 9. Misalkan I1 dan I2 masing-masing adalah ideal di suatu ring R. Buktikan bahwa I1 ∪ I2 merupakan ideal di R jika dan hanya jika I1 ⊆ I2 atau I2 ⊆ I2 ! . 10. Misalkan I adalah ideal di suatu ring R. Buktikan bahwa ring faktor R I komutatif jika dan hanya jika ab − ba ∈ I untuk setiap a, b ∈ R !
22
