UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281
Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN V
RING SUKU BANYAK Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-11 dan 12
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III/3 SKS/MMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013
November 2013
BAB V RING SUKU BANYAK
Suku banyak, atau yang biasa disebut dengan polinomial, telah kita kenal di jenjang pendidikan sekolah menengah. Kita mungkin mempunyai pemahaman bahwa suku banyak adalah suatu bentuk jumlahan a0 + a1 x + · · · + an xn , dengan x merupakan suatu simbol dan ai merupakan suatu koefisien bernilai bilangan real; atau mungkin mempunyai pemahaman bahwa suku banyak sebagai suatu fungsi f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn . Dari dua macam pemahaman tersebut pastinya akan memunculkan beberapa pertanyaan. Bagaimanakah pengertian yang sebenarnya tentang suku banyak dari kaca mata orang matematika khususnya aljabar? Apakah simbol x tersebut? Mengapa dua suku banyak a0 + a1 x + · · · + an xn dan b0 + b1 x + · · · + bm xm dikatakan sama jika dan hanya jika n = m dan ai = bi , i = 1, 2, · · · , n? Pertanyaan-pertanyaan tersebut akan terjawab dalam pembahasan bab ini.
5.1. Suku Banyak atas Ring Suku banyak yang biasa orang awam pahami adalah suku banyak dengan koefisien bilangan real, atau disebut suku banyak atas bilangan real. Telah kita ketahui bahwa himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur ring (lapangan). Oleh karena itu, dapat dilakukan abstraksi pada struktur himpunan semua kemungkinan koefisien suku banyak tersebut, yaitu diabstraksikan menjadi sebarang ring. Dengan demikian pembahasan tentang suku banyak pada bab ini akan lebih luas, yaitu suku banyak atas sebarang ring. Dari kaca mata aljabar, suku banyak atas ring R didefinisikan sebagai suatu barisan tak hingga (a0 , a1 , a2 , · · · ) di R yang mempunyai aturan tertentu. Secara langsung definisi suku banyak ini tampak berbeda dengan suku banyak yang telah orang awam ketahui, karena tidak melibatkan simbol x dalam definisi suku banyak tersebut. Hal ini tidak perlu dikhawatirkan, sebab makna dari suku banyak yang didefinisikan sebagai barisan dan suku banyak yang didefinisikan dengan meli-
51
batkan simbol x sebenarnya sama. Penjelasan lebih lanjut tentang hal tersebut akan dibahas pada subbab selanjutnya. Definisi 5.1.1. Diberikan sebarang ring R. Misalkan R[x] adalah himpunan semua barisan tak hingga (a0 , a1 , a2 , · · · ), dengan ai ∈ R, i = 0, 1, 2, · · · , dan terdapat suatu bilangan bulat n ≥ 0 (bergantung pada barisan (a0 , a1 , a2 , · · · )) sedemikian sehingga untuk setiap k ≥ n, ak = 0. Elemen-elemen dari R[x] disebut suku banyak (polynomials) atas ring R. Contoh 5.1.2. Diberikan ring R. Barisan (5, 3, 0, 0, · · · ) merupakan suku banyak atas ring R. Barisan (5, 5, 5, · · · ) dan (5, 0, 5, 0, 5, · · · ) masing-masing bukan suku banyak atas ring R. Perhatikan bahwa barisan (a0 , a1 , a2 , · · · ) pada Definisi 5.1.1 dapat juga dipandang sebagai suatu pemetaan f : Z≥0 −→ R, dengan Z≥0 = {0, 1, 2, · · · } dan f (t) 6= 0 untuk sebanyak berhingga bilangan bulat non negatif t. Sebagai contoh, suku banyak (a0 , a1 , a2 , a3 , · · · ) = (5, 3, 0, 0, · · · ) atas ring R dapat dipandang sebagai pemetaan f : Z≥0 −→ R dengan f (0) = a0 = 5, f (1) = a1 = 3, dan f (k) = ak = 0 untuk setiap k ≥ 2. Oleh karena itu, himpunan semua suku banyak atas ring R dapat kita tuliskan sebagai berikut: R[x] = {(a0 , a1 , a2 , · · · ) | ai ∈ R dan (∃n ∈ Z≥0 )(∀k ∈ Z≥0 , k ≥ n)ak = 0} = {(a0 , a1 , · · · , an−1 , 0, 0, · · · ) | ai ∈ R, n ∈ Z≥0 } = {f : Z≥0 −→ R | f pemetaan dan f (t) 6= 0 sebanyak berhingga bilangan bulat non negatif t}.
5.2. Ring Suku Banyak atas Ring Diberikan sebarang ring R dan dibentuk himpunan semua suku banyak R[x]. Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada R[x] sebagai berikut. Untuk
52
setiap (a0 , a1 , a2 , · · · ), (b0 , b1 , b2 , · · · ) ∈ R[x], (a0 , a1 , a2 , · · · ) + (b0 , b1 , b2 , · · · ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , · · · ) dan (a0 , a1 , a2 , · · · ) · (b0 , b1 , b2 , · · · ) = (c0 , c1 , c2 , · · · ) dengan ck =
k X
ai bk−i , k = 0, 1, 2, · · · . Operasi perkalian · antara dua suku
i=0
banyak yang didefinisikan seperti di atas disebut perkalian konvolusi. Dapat ditunjukkan R[x] terhadap operasi penjumlahan dan perkalian tersebut merupakan ring (sebagai latihan), yaitu harus ditunjukkan: 1. (R[x], +) merupakan grup Abelian ( dengan elemen nol (0, 0, 0, · · · ) ) 2. (a). operasi · tertutup di R[x] (b). operasi · bersifat asosiatif (c). berlaku sifat distribusi kiri dan kanan. Selanjutnya ring (R[x], +, ·) disebut ring suku banyak atas ring R. Dapat ditunjukkan juga bahwa jika R komutatif, maka R[x] juga komutatif (sebagai latihan); jika R mempunyai elemen satuan, maka R[x] juga mempunyai elemen satuan (sebagai latihan). Selanjutnya diperhatikan pemetaan α :R −→ R[x] a −→ (a, 0, 0, · · · ). Pemetaan α merupakan monomorfisma dari R ke R[x]. Dengan demikian R dapat disisipkan (embedded) di ring R[x] dan berakibat R dapat dianggap sebagai subring dari R[x]. Oleh karena itu, elemen a dan (a, 0, 0, · · · ) dapat dianggap sebagai elemen yang sama di R[x]. Untuk kemudahan penulisan suatu suku banyak, didefinisikan notasi yang lebih ringkas dan familiar sebagai berikut: (a, 0, 0, 0, · · · ) dinotasikan a = ax0 (0, a, 0, 0, · · · ) dinotasikan ax = ax1 (0, 0, a, 0, · · · ) dinotasikan ax2 .. .
53
Berdasarkan definisi operasi penjumlahan suku banyak, untuk sebarang suku banyak (a0 , a1 , · · · , an , 0, 0, · · · ) ∈ R[x] dapat ditulis (a0 , a1 , · · · , an , 0, 0, · · · ) = (a0 , 0, 0, · · · ) + (0, a1 , 0, · · · ) + · · · + (0, · · · , 0, an , 0, · · · ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n . Jika R mempunyai elemen satuan 1R , maka (0, 1R , 0, 0, · · · ) = 1R x dan selanjutnya 1R x cukup dituliskan x. Dengan demikian diperoleh himpunan semua suku banyak atas ring R yang telah familiar kita gunakan, yaitu R[x] = {a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn | n ∈ Z≥0 , ai ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}. Simbol x disebut indeterminate atas R dan elemen-elemen a0 , a1 , · · · , an disebut koefisien dari a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . Mengingat suku banyak a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn merupakan suatu pemetaan f : Z≥0 −→ R, suku banyak a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn tersebut dapat dinotasikan dengan f (x). Akan tetapi perlu ditekankan bahwa notasi f (x) tersebut bukanlah notasi fungsi dari R ke R, melainkan notasi suatu suku banyak f : Z≥0 −→ R dengan indeterminate x. Pada bagian awal bab ini telah disinggung pertanyaan tentang kesamaan dua polinomial. Dua polinomial f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm ∈ F [x] dikatakan sama jika dan hanya jika n = m dan ai = bi untuk setiap i = 0, 1, 2, · · · . Hal ini disebabkan karena fungsi f : Z≥0 −→ F dan g : Z≥0 −→ F merupakan fungsi yang sama jika dan hanya jika f (i) = ai = bi = g(i), untuk setiap i ∈ Z≥0 . Dengan demikian pertanyaan-pertanyaan pada awal bab ini telah terjawab. Definisi 5.2.1. Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan dan f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x]. Untuk setiap r ∈ R, didefinisikan f (r) = a0 + a1 r + · · · + an rn . Elemen r ∈ R disebut akar dari f (x) jika f (r) = 0.
54
Pada Definisi 5.2.1 secara langsung tampak bahwa f (r) merupakan suatu elemen di R yang diperoleh dengan cara mensubstitusikan r ke x di suku banyak f (x). Dengan demikian kita dapat secara bebas menggunakan definisi tersebut seolah-olah mensubtitusikan r ke x. Akan tetapi kita perlu berhati-hati ketika R tidak komutatif. Misalkan diberikan f (x) = a − x, g(x) = b − x ∈ R[x] dengan R tidak komutatif. Misal h(x) = f (x)g(x) = (a − x)(b − x) = ab − (a + b)x + x2 . Untuk sebarang c ∈ R, diperoleh h(c) = ab − (a + b)c + c2 = ab − ac − bc + c2 dan f (c)g(c) = (a − c)(b − c) = ab − ac − cb − c2 . Dari sini kita tidak bisa menyimpulkan bahwa h(c) = f (c)g(c) ketika R tidak komutatif. Definisi 5.2.2. Diberikan sebarang ring R dan f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , an 6= 0, suku banyak di R[x]. Bilangan n disebut derajat (degree) dari f (x), dinotasikan deg(f (x)), dan an disebut leading coefficient dari f (x). Misalkan R mempunyai elemen satuan 1R . Suku banyak f (x) disebut suku banyak monik (monic polynomial) jika f (x) mempunyai leading coefficient an = 1R . Berdasarkan Definisi 5.2.2 di atas, mudah dipahami bahwa untuk setiap suku banyak di R[x] yang merupakan elemen di R\{0} mempunyai derajat 0. Khusus untuk suku banyak 0 ∈ R[x], didefinisikan deg(0) = −∞. Elemen-elemen di R disebut skalar atau suku banyak konstan. Contoh 5.2.3. Diberikan ring R dan dua suku banyak f (x) = 2x3 + x2 + 10x + 1 dan g(x) = x2 + 5x + 1. Derajat dari f (x) adalah 3 dan derajat dari g(x) adalah 2. Suku banyak g(x) merupakan suku banyak monik.
Lemma 5.2.4. Diberikan sebarang ring komutatif R. Untuk sebarang suku banyak f (x), g(x) ∈ R[x] berlaku (i). deg (f (x) + g(x)) ≤ max {deg(f (x)), deg(g(x))}, (ii). deg(f (x) · g(x)) ≤ deg(f (x)) + deg(g(x)), dan (iii). kesamaan pada (ii) dipenuhi jika leading coefficient dari f (x) atau g(x) bukan pembagi nol.
55
Bukti. (i). Jika deg(f (x)) 6= deg(g(x)), maka deg(f (x)+g(x)) = max{deg(f (x)), deg(g(x))}. Jika deg(f (x)) = deg(g(x)), maka kemungkinan yang terjadi adalah f (x) + g(x) = 0 atau deg(f (x) + g(x)) < max{deg(f (x)), deg(g(x))}). (ii). Jika f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn dan g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm , maka f (x)g(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + · · · + an bm xn+m . Jika f (x)g(x) 6= 0, maka paling tidak ada satu koefisien dari f (x)g(x) yang tak nol. Misalkan an bm 6= 0, diperoleh deg(f (x)g(x)) = n + m = deg(f (x)) + deg(g(x)). Misalkan an bm = 0 (kasus ini hanya dapat ditemui ketika R mempunyai pembagi nol), diperoleh deg(f (x)g(x)) < deg(f (x)) + deg(g(x)). (iii). (sebagai latihan) Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari ring suku banyak atas ring R. Sifatsifat yang akan dibahas juga meliputi sifat dalam kejadian khusus ketika ring R merupakan daerah integral ataupun lapangan. Teorema 5.2.5. Diberikan sebarang ring R. (i). Jika R adalah ring komutatif dengan elemen satuan 1R , maka R[x] juga merupakan ring komutatif dengan elemen satuan 1R . (ii). Jika R adalah daerah integral, maka R[x] juga merupakan daerah integral. Bukti. (i). Harus dibuktikan perkalian sebarang dua suku banyak bersifat komutatif dan ring R[x] mempunyai elemen satuan yaitu 1R .
56
(ii). Cukup ditunjukkan R[x] tidak memuat pembagi nol. Diambil sebarang f (x), g(x) ∈ R[x] dengan f (x) 6= 0 dan g(x) 6= 0. Mengingat R adalah daerah integral dan berdasarkan Lemma 5.2.4 diperoleh deg(f (x)g(x)) = deg(f (x)) + deg(g(x)) ≥ 0 > −∞. Akibatnya, f (x)g(x) 6= 0. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa R[x] merupakan daerah integral. Akibat 5.2.6. Diberikan sebarang daerah integral R. Setiap elemen unit di R[x] juga merupakan elemen unit di R. Bukti. Diambil sebarang elemen unit f (x) di R[x], berarti terdapat g(x) ∈ R[x] sedemikian sehingga f (x)g(x) = 1R . Berdasarkan Lemma 5.2.4 diperoleh deg(f (x)) + deg(g(x)) = deg(f (x)g(x)) = deg(1R ) = 0. Oleh karena itu, f (x) dan g(x) masing-masing merupakan suku banyak dengan derajat 0, yaitu f (x), g(x) ∈ R. Jadi, elemen unit di R[x] juga merupakan elemen unit di R.
Teorema 5.2.7. Jika F adalah lapangan, maka F [x] merupakan daerah integral. Bukti. Telah kita ketahui bahwa F [x] merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Tinggal ditunjukkan bahwa setiap elemen tak nol di F [x] bukan merupakan
pembagi nol. (sebagai latihan)
5.3. Algoritma Pembagian di Ring Suku Banyak Pada subbab ini akan dibahas tentang algoritma pembagian untuk ring suku banyak atas ring. Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan. Misal f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x]
57
dan g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm−1 xm−1 + bm xm adalah suatu suku banyak di R[x] dengan leading coefficient bm merupakan unit di R dan m ≥ 1. Jika n ≥ m, maka n−m dapat dibentuk q1 (x) = b−1 ∈ R[x] dan m an x
f1 (x) = f (x) − g(x)q1 (x) n−m = a0 + a1 x + · · · + an xn − (b0 + · · · + bm−1 xm−1 + bm xm )b−1 m an x
n−m n−1 = a0 + a1 x + · · · + an xn − (b0 b−1 + · · · + bm−1 b−1 + an x n ) m an x m an x n n−m = a0 + a1 x + · · · + an−m−1 xn−m−1 + (an−m − b0 b−1 + ··· m a )x n−1 + (an−1 − bm−1 b−1 + (an − an )xn m an )x n n−m = a0 + a1 x + · · · + an−m−1 xn−m−1 + (an−m − b0 b−1 + ··· m a )x n−1 + (an−1 − bm−1 b−1 m an )x
dengan deg(f1 (x)) ≤ n − 1. Jika deg(f1 (x)) ≥ m, maka ulangi proses tersebut, yaitu peran f (x) digantikan oleh f1 (x), sehingga diperoleh suku banyak q2 (x) dan f3 (x) di R[x]. Proses dilanjutkan sampai diperoleh suatu suku banyak fs (x) pertama dengan deg(fs (x)) < m. Proses tersebut pasti terdiri dari berhingga (s) langkah, sebab derajat dari f (x) berhingga. Dibentuk q(x) = q1 (x) + q2 (x) + · · · + qs (x) dan r(x) = f (x) − g(x)q(x). Dengan demikian diperoleh persamaan suku banyak f (x) = g(x)q(x) + r(x) dengan deg(r(x)) < deg(g(x)). Proses seperti di atas dikenal sebagai algoritma pembagian untuk suku banyak. Teorema 5.3.1. (Algoritma Pembagian) Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan. Jika f (x) ∈ R[x] dan g(x) adalah suatu suku banyak di R[x] dengan leading coefficient dari g(x) merupakan unit di R, maka terdapat dengan tunggal suku banyak q(x) dan r(x) di R[x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f (x) = g(x)q(x) + r(x). Bukti. Proses di atas merupakan bukti eksistensi suku banyak q(x) dan r(x) di R[x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f (x) = g(x)q(x) + r(x). Dengan demikian tinggal ditunjukkan ketunggalan dari suku banyak q(x) dan r(x) tersebut. Misal terdapat dua bentuk dekomposisi f (x) = g(x)q(x) + r(x) dan f (x) = g(x)p(x) + t(x)
58
dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) dan deg(t(x)) < deg(g(x)). Dari dua bentuk dekomposisi tersebut, diperoleh bahwa g(x)(q(x) − p(x)) = t(x) − r(x). Karena leading coefficient dari g(x) merupakan unit (yang berakibat bukan pembagi nol), berdasarkan Lemma 5.2.4 (iii) diperoleh deg(g(x)) + deg(q(x) − p(x)) = deg(t(x) − r(x)) < deg(g(x)). Dari sini diperoleh deg(g(x))+deg(q(x)−p(x)) < deg(g(x)). Akibatnya, deg(q(x)− p(x)) = −∞, yaitu q(x)−p(x) = 0, yang berarti q(x) = p(x). Karena q(x) = p(x), berakibat t(x) = f (x) − g(x)q(x) = f (x) − g(x)p(x) = r(x). Jadi, terbukti ketunggalan suku banyak q(x) dan r(x).
Contoh 5.3.2. Diberikan ring suku banyak Z6 [x]. Misalkan f (x) = 2x3 + 3x2 + 1 dan g(x) = 5x2 + 2 masing-masing adalah suku banyak di Z6 [x]. Akan dicari suku banyak q(x), r(x) ∈ Z6 [x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f (x) = g(x)q(x) + r(x). Untuk mendapatkan suku banyak q(x) dan r(x) tersebut dapat menggunakan proses yang telah dijelaskan sebelumnya, atau dapat lebih mudah menggunakan metode yang dikenal dengan nama ’poro gapit’ sebagai berikut: 5x2 + 2 2x3 + 3x2 + 1 4x + 3 = q(x) 2x3 + 2x 3x2 + 4x + 1 3x2 4x + 1 = r(x). Dengan demikian diperoleh suku banyak q(x) = 4x + 3 dan r(x) = 4x + 1 di Z6 [x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f (x) = g(x)q(x)+r(x), yaitu 2x3 + 3x2 + 1 = (5x2 + 2)(4x + 3) + (4x + 1). Akibat 5.3.3. Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan. Untuk setiap a ∈ R dan f (x) ∈ R[x] terdapat q(x) ∈ R[x] sedemikian sehingga f (x) = (x − a)q(x) + f (a).
59
Bukti. Diambil sebarang a ∈ R dan f (x) ∈ R[x]. Misal x − a = g(x) ∈ R[x]. Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat dengan tunggal q(x), r(x) ∈ R[x] sedemikian sehingga f (x) = g(x)q(x) + r(x), dengan deg(r(x)) ≤ 0. Oleh karena itu, r(x) merupakan suku banyak konstan, katakan r(x) = d. Selanjutnya dengan mensubstitusikan a untuk x, diperoleh f (a) = (a − a)q(a) + d = d. Jadi, didapat f (x) = (x − a)q(x) + d = (x − a)q(x) + f (a). Akibat 5.3.4. Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan, f (x) ∈ R[x], dan a ∈ R. Suku banyak x − a membagi habis f (x) jika dan hanya jika a merupakan akar dari suku banyak f (x). Bukti. Diambil sebarang f (x) ∈ R[x] dan a ∈ R. (⇒). Diketahui suku banyak x−a membagi habis f (x), berarti terdapat q(x) ∈ R[x] sedemikian sehingga f (x) = (x − a)q(x). Oleh karena itu, f (a) = (a − a)q(a) = 0 sehingga diperoleh bahwa a merupakan akar dari f (x). (⇐). Diketahui a merupakan akar dari suku banyak f (x), berarti f (a) = 0. Berdasarkan Akibat 5.3.3, terdapat q(x) ∈ R[x] sedemikian sehingga f (x) = (x − a)q(x) + f (a) = (x − a)q(x) + 0 = (x − a)q(x). Oleh karena itu, terbukti bahwa x − a membagi habis f (x).
Teorema 5.3.5. Diberikan sebarang daerah integral R. Jika f (x) ∈ R[x]\{0} dengan deg(f (x)) = n, maka suku banyak f (x) mempunyai paling banyak n akar di R. Bukti. Diketahui f (x) ∈ R[x]\{0} dengan deg(f (x)) = n. Jika n = 0, maka f (x) merupakan suku banyak konstan, katakan f (x) = c 6= 0. Dari sini jelas bahwa f (x) tidak mempunyai akar di R, sebab untuk setiap a ∈ R, f (a) 6= 0. Selanjutnya akan ditunjukkan teorema benar untuk n > 0 menggunakan metode induksi matematika. Diasumsikan Teorema benar untuk semua suku banyak di R[x] dengan derajat kurang dari n. Akan ditunjukkan teorema benar untuk suku banyak
60
f (x) dengan deg(f (x)) = n. Jika f (x) tidak mempunyai akar di R, maka teorema benar. Misalkan r ∈ R merupakan akar dari f (x). Berdasarkan Akibat 5.3.4, terdapat suku banyak q(x) ∈ R[x] sedemikian sehingga f (x) = (x−r)q(x), dengan deg(q(x)) = n − 1. Misalkan ada akar yang lain dari f (x), katakan s ∈ R, berarti 0 = f (s) = (s − r)q(s). Karena s 6= r dan R merupakan daerah integral, diperoleh q(s) = 0. Oleh karena itu, setiap akar yang lain dari f (x) juga merupakan akar dari q(x). Karena f (x) = (x − r)q(x), setiap akar dari q(x) merupakan akar dari f (x). Dari fakta deg(q(x)) = n − 1 dan dari asumsi bahwa teorema benar untuk suku banyak di R[x] dengan derajat kurang dari n, diperoleh kesimpulan bahwa q(x) mempunyai paling banyak n − 1 akar di R. Akibatnya, f (x) = (x − r)q(x) mempunyai paling banyak n akar di R.
5.4. Latihan Kerjakan latihan-latihan soal berikut! 1. Diberikan ring suku banyak Z8 [x]. a). Buktikan bahwa 2x + 1 dan 4x + 3 masing-masing merupakan unit di Z8 [x]! b). Buktikan bahwa 4x2 + 2x + 4 merupakan pembagi nol di Z8 [x]! 2. a). Misalkan f (x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 2 dan g(x) = x2 + 2x + 1 masingmasing merupakan suku banyak di Q[x]. Tentukan suku banyak q(x) dan r(x) di Q[x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f (x) = g(x)q(x) + r(x) ! b). Misalkan f (x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 2 dan g(x) = x2 + 2x + 1 masingmasing merupakan suku banyak di Z5 [x]. Tentukan suku banyak q(x) dan r(x) di Z5 [x] dengan deg(r(x)) < deg(g(x)) sedemikian sehingga f (x) = g(x)q(x) + r(x) ! 3. Jika I adalah suatu ideal dari ring R, maka buktikan I[x] merupakan ideal dari R[x]! 4. Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan 1R .
61
a). Tentukan/deskripsikan hxi, yaitu ideal dari R[x] yang dibangun oleh x! b). Misalkan f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 adalah suatu suku banyak di R[x]. Tentukan/deskripsikan hf (x)i, yaitu ideal dari R[x] yang dibangun oleh f (x)! c). Misalkan g(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn adalah suatu suku banyak di R[x] dengan derajat n > 0. Tentukan/deskripsikan hg(x)i, yaitu ideal dari R[x] yang dibangun oleh g(x)! 5. Diberikan lapangan F dan suku banyak f (x) di F [x] dengan derajat n > 0. . Buktikan setiap elemen dari ring faktor F [x] hf (x)i berbentuk p(x) + hf (x)i, dengan p(x) adalah suatu suku banyak dengan derajat paling besar n − 1 ! . 6. Diberikan ring R dengan elemen satuan 1R . Buktikan bahwa R[x] hxi ∼ = R!
7. Diberikan ring R dan dibentuk F (R, R) = {f : R −→ R | f fungsi}. Himpunan F (R, R) merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi, yaitu untuk setiap r ∈ R, (f + g)(r) = f (r) + g(r) dan (f g)(r) = f (r)g(r). Didefinisikan fungsi ψ :R[x] −→ F (R, R) f (x) −→ ψ(f (x)) dengan ψ(f (x))(r) = f (r), untuk setiap r ∈ R. Buktikan: a). Jika R adalah suatu daerah integral tak berhingga, maka ψ bersifat injektif. b). Jika R adalah suatu daerah integral berhingga, maka ψ tidak bersifat injektif.
62
