UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281

Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN IV

DAERAH INTEGRAL DAN LAPANGAN Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-8, 9, dan 10

PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III/3 SKS/MMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013

November 2013

BAB IV DAERAH INTEGRAL DAN LAPANGAN

Pada bab ini akan dijelaskan tentang dua jenis ring komutatif dengan elemen satuan, yakni daerah integral dan lapangan. Daerah integral dan lapangan diklasifikasikan dalam jenis ring khusus karena elemen-elemen dari masing-masing ring tersebut mempunyai sifat khusus. Sebelum masuk ke pembahasan daerah integral dan lapangan, pada subbab berikut ini akan dijelaskan pengertian tentang elemen pembagi nol dan elemen unit.

4.1. Latar Belakang: Munculnya Pendefinisian Elemen Pembagi Nol dan Elemen Unit Telah kita ketahui bahwa ring bilangan bulat Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } merupakan ring komutatif dengan elemen satuan 1. Jelas bahwa setiap elemen di Z memiliki invers terhadap operasi penjumlahannya, sebab (Z, +) merupakan grup Abelian. Ring bilangan bulat Z tersebut hanya terdapat dua elemen yang memiliki invers terhadap operasi perkalian, yaitu 1 dan −1, sebab 1 · 1 = 1 (invers dari 1 adalah 1) dan −1 · −1 = 1 (invers dari −1 adalah −1). Selanjutnya perhatikan pada ring (2Z, +, ·) tidak memiliki elemen satuan, hal ini tentu saja berakibat setiap elemen di ring 2Z tidak mempunyai invers terhadap perkalian. Berdasarkan fenomena-fenomena tersebut, dalam abstraksinya yaitu di sebarang ring (R, +, ·) diperoleh pernyataan-pernyataan sebagai berikut. • Setiap elemen di ring R terhadap operasi penjumlahan selalu memiliki elemen netral, sebab (R, +) merupakan grup Abelian. • Ring R tidak selalu memiliki elemen satuan dan tidak selalu pula memiliki invers (terhadap perkalian) untuk setiap elemennya, sebagai contoh ring (2Z, +, ·).

35

• Tidak semua elemen di ring R memiliki invers terhadap perkalian, sebagai contoh ring (Z, +, ·). Misal diberikan ring R dengan elemen satuan. Dari pernyataan di atas, setiap elemen di ring R belum tentu memiliki invers terhadap perkalian. Oleh karena itu, jika suatu elemen di ring R memiliki invers terhadap perkalian, maka elemen tersebut dapat diberi nama khusus yaitu elemen unit. Definisi 4.1.1. Diberikan ring R dengan elemen satuan 1R . Suatu elemen u ∈ R disebut unit di R jika u memiliki invers terhadap operasi perkalian, yaitu terdapat v ∈ R sedemikian sehingga u · v = v · u = 1R . Catatan: Elemen nol 0R dari sebarang ring R tidak mungkin menjadi unit, sebab untuk setiap r ∈ R, 0R · r = 0R . Contoh 4.1.2. Berikut ini diberikan contoh-contoh unit. 1. Unit di ring (Z, +, ·) hanya 1 dan −1. 2. Unit di ring (Z6 , +6 , ·6 ) hanya 1 dan 5.   1 2  merupakan unit di ring M2×2 (R). 3. Matriks  0 1 Diperhatikan kembali ring bilangan bulat Z. Mudah kita pahami bahwa untuk sebarang a, b ∈ Z dengan ab = 0, pasti salah satu dari elemen tersebut adalah nol, yaitu a = 0 atau b = 0. Namun fenomena tersebut berbeda ketika kita bekerja di ring Z6 . Jika a, b ∈ Z6 dengan sifat a ·6 b = 0, maka kemungkinan yang terjadi untuk nilai a dan b tersebut adalah: (1). a = 0 atau b = 0. Sebagai contoh: 0 ·6 0 = 0, 3 ·6 0 = 0, dan 0 ·6 1 = 0. (2). a 6= 0 dan b 6= 0. Sebagai contoh: 3 ·6 2 = 0. Dari kejadian (2) di atas, dapat kita buat kesimpulan bahwa ada elemen tak nol di Z6 yang jika dikalikan dengan suatu elemen tertentu tak nol di Z6 hasilnya adalah elemen nol. Fenomena ini selanjutnya diabstraksikan dalam sebarang ring, sehingga diperoleh definisi pembagi nol.

36

Definisi 4.1.3. Diberikan sebarang ring R dan elemen tak nol a ∈ R. Elemen a disebut pembagi nol jika terdapat b ∈ R, b 6= 0R , sedemikian sehingga a · b = 0R atau b · a = 0R . Contoh 4.1.4. Berikut ini diberikan contoh elemen pembagi nol. (1). Pada ring Z6 , elemen 2 dan 3 merupakan pembagi nol. Elemen 4 bukan pembagi nol di Z6 , sebab tidak ada x ∈ Z6 sedemikian sehingga 4 ·6 x = 0. (2). Pada ring Z12 , elemen 2, 3, 4, dan 6 masing-masing merupakan pembagi nol. Elemen 5 bukan pembagi nol di Z12 , sebab tidak ada y ∈ Z6 sedemikian sehingga 5 ·12 y = 0. (3). Pada ring bilangan bulat Z tidak ada elemen pembagi nol, sebab setiap elemen a, b ∈ Z dengan ab = 0 berakibat a = 0 atau b = 0.   1 0  merupakan pembagi nol, sebab terdapat (4). Pada ring M2×2 (Z), matriks  1 0        0 0 1 0 0 0 0 0   ∈ M2×2 (Z) sedemikian sehingga   = . 1 1 1 0 1 1 0 0 Terkait dengan elemen unit dan pembagi nol yang telah dijelaskan di atas, pada subbab selanjutnya akan dibahas tentang suatu jenis ring, yaitu daerah integral dan lapangan.

4.2. Daerah Integral dan Lapangan Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan bahwa pada ring bilangan bulat Z, jika a, b ∈ Z dengan sifat a · b = 0, maka a = 0 atau b = 0. Dengan demikian pada ring bilangan bulat Z tidak dapat ditemukan pembagi nol. Hal berbeda terjadi pada ring Z6 yang memiliki pembagi nol, yaitu 2 dan 3. Dari fenomena tersebut, suatu ring komutatif dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol diklasifikasikan dalam suatu jenis ring tertentu (daerah integral). Definisi 4.2.1. Suatu ring komutatif R dengan elemen satuan disebut daerah integral jika R tidak memuat pembagi nol.

37

Contoh 4.2.2. Ring Z dan Z5 masing-masing merupakan daerah integral. Berikut ini merupakan teorema yang menjelaskan hubungan antara pembagi nol dan sifat kanselasi di suatu ring. Teorema 4.2.3. Diberikan sebarang ring R. Jika R tidak memuat pembagi nol, maka hukum kanselasi berlaku di ring R, yaitu untuk setiap a, b, c ∈ R, a 6= 0R , ab = ac berakibat b = c (hukum kanselasi kiri); dan ba = ca berakibat b = c (hukum kanselasi kanan). Jika hukum kanselasi kiri atau kanan berlaku di R, maka R tidak memuat pembagi nol. Bukti. Diketahui R tidak memuat pembagi nol. Diambil sebarang a, b, c ∈ R, a 6= 0R , sedemikian sehingga ab = ac. Karena ab = ac, diperoleh ab − ac = 0R dan berdasarkan sifat distributif diperoleh a(b−c) = 0R . Mengingat R tidak memuat pembagi nol dan a 6= 0R , berakibat b − c = 0R , sehingga diperoleh b = c. Jadi, hukum kanselasi kiri berlaku. Untuk membuktikan keberlakuan kanselasi kanan dapat menggunakan cara yang analog (sebagai latihan). Misalkan diketahui hukum kanselasi kiri atau kanan berlaku di R. Akan dibuktikan bahwa R tidak memuat pembagi nol. Misalkan hukum kanselasi kiri berlaku. Diambil sebarang x, y ∈ R, x 6= 0R . Misalkan xy = 0R . Karena x0R = 0R , diperoleh xy = 0R = x0R . Karena hukum kanselasi kiri berlaku, berakibat y = 0R . Misalkan yx = 0R dan andaikan b 6= 0R . Karena y0R = 0R , diperoleh yx = y0R . Karena hukum kanselasi kiri berlaku, berakibat x = 0R . Terjadi kontradiksi dengan yang diketahui bahwa x 6= 0R . Jadi pengandaikan salah, yang benar b = 0. Dengan demikian terbukti x bukan pembagi nol di R. Karena pengambilan x sebarang di R\{0R }, terbukti bahwa R tidak memuat pembagi nol. Bukti analog jika hanya diketahui berlaku hukum kanselasi kanan (sebagai latihan).



Dari Teorema 4.2.3 di atas diperoleh akibat sebagai berikut. Akibat 4.2.4. Hukum kanselasi kiri dan kanan berlaku di daerah integral.

Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan bahwa ring bilangan bulat Z hanya memiliki dua unit, yaitu 1 dan −1. Sekarang diperhatikan ring bilangan rasional

38

Q, bahwa pada ring Q setiap elemen tak nol-nya merupakan unit. Dari fenomena tersebut, suatu ring komutatif dengan elemen satuan yang setiap elemen tak nol-nya merupakan unit diklasifikasikan dalam suatu jenis ring tertentu (lapangan).

Definisi 4.2.5. Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan 1R . Ring R disebut lapangan (field) jika setiap elemen tak nol-nya merupakan unit, yaitu untuk setiap u ∈ R\{0R } terdapat u−1 ∈ R sedemikian sehingga u · u−1 = u−1 · u = 1R . Contoh 4.2.6. Ring (Q, +, ·), (R, +, ·), dan (C, +, ·) masing-masing merupakan lapangan. Berikut ini merupakan teorema hubungan antara lapangan dan daerah integral. Teorema 4.2.7. Jika R adalah lapangan, maka R merupakan daerah integral Bukti. Diketahui R adalah lapangan. Diambil sebarang a ∈ R dengan a 6= 0. Akan dibuktikan a bukan pembagi nol di R. Diambil sebarang b ∈ R sedemikian sehingga ab = 0R . Karena a 6= 0R , terdapat a−1 ∈ R sedemikian sehingga a−1 a = 1R . Dengan demikian diperoleh ab = 0R ⇔ a−1 ab = a−1 0R ⇔ b = 0R . Jadi, x bukan pembagi nol di R. Karena untuk setiap x ∈ R, x 6= 0, bukan pembagi nol di R, diperoleh kesimpulan bahwa R merupakan daerah integral.



Perhatikan bahwa konvers dari Teorema 4.2.7 belum tentu berlaku. Sebagai contoh, ring Z merupakan daerah integral tetapi bukan lapangan. Teorema 4.2.8. Diberikan ring komutatif R. Jika R adalah ring komutatif berhingga yang memiliki lebih dari satu elemen dan tidak memuat pembagi nol, maka R merupakan lapangan. Bukti. Misalkan R mempunyai elemen sebanyak n ≥ 1 dan a1 , a2 , · · · , an masingmasing merupakan elemen yang berbeda. Diambil sebarang a ∈ R dengan a 6= 0R . Perhatikan bahwa untuk setiap i = 1, 2, · · · , n, aai ∈ R dan {aa1 , aa2 , · · · , aan } ⊆

39

R. Andaikan aai = aaj , untuk sebarang i, j = 1, 2, · · · , n, i 6= j. Berdasarkan Teorema 4.2.3 diperoleh ai = aj , kontradiksi dengan yang diketahui bahwa a1 , a2 , · · · , an masing-masing merupakan elemen yang berbeda di R. Jadi pengandaian salah, yang benar aai 6= aaj , untuk sebarang i, j = 1, 2, · · · , n, i 6= j. Akibatnya aa1 , aa2 , · · · , aan masing-masing merupakan elemen yang berbeda di R dan berakibat juga {aa1 , aa2 , · · · , aan } = R. Karena a ∈ R, terdapat dengan tunggal k ∈ {1, 2, · · · , n} sedemikian sehingga a = aak . Diambil sebarang b ∈ R, berarti terdapat at ∈ R sedemikian sehingga b = aat . Perhatikan bahwa bak = ak b = ak (aat ) = (ak a)at = aat = b. Akibatnya, ak merupakan elemen satuan di R, dan dapat kita notasikan ak = 1R . Karena 1R ∈ R = {aa1 , aa2 , · · · , aan }, salah satu dari perkalian tersebut, katakan aaj , harus sama dengan 1R . Dengan sifat komutatif, diperoleh aaj = aj a = 1R . Jadi, setiap elemen tak nol di R mempunyai invers. Dengan kata lain, R merupakan 

lapangan.

Telah kita ketahui bahwa daerah integral merupakan ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol. Oleh karena itu, setiap daerah integral memiliki lebih dari satu elemen (paling tidak memuat elemen nol 0R dan elemen satuan 1R ). Sebagai akibat dari Teorema 4.2.8 diperoleh sifat sebagai berikut. Akibat 4.2.9. Jika R adalah daerah integral berhingga, maka R merupakan lapangan. Dengan demikian konvers dari Teorema 4.2.7 dapat berlaku, namun dengan penambahan syarat.

4.3. Pembentukan Lapangan Hasil Bagi dari suatu Daerah integral Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan hubungan antara daerah integral dan lapangan. Sebagai kelanjutan dari pembahasan tersebut, pada subbab ini akan dibahas pembentukan suatu lapangan dari suatu daerah integral. Namun sebelum masuk ke pokok bahasan tersebut, akan dijelaskan terlebih dahulu tentang penyisipan ring ke suatu ring.

40

Diperhatikan himpunan semua bilangan bulat Z dan himpunan semua bilangan rasional Q. Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat n ∈ Z dapat dinyatakan sebagai n =

b ∈Z 1 ∈Z

∈ Q, sehingga Z ⊆ Q. Dari sini terlihat bahwa terdapat pemetaan α : Z −→ Q n n −→ . 1

Secara struktur telah kita ketahui bahwa Z merupakan daerah integral dan Q merupakan lapangan. Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan α tersebut merupakan monomorfisma dari ring Z ke ring Q. Dalam abstraksinya, eksistensi suatu momomorfisma dari suatu ring R1 ke suatu ring R2 tersebut dikenal sebagai penyisipan ring ke suatu ring. Definisi 4.3.1. Suatu ring R dikatakan dapat disisipkan (embedded) di suatu ring S jika terdapat suatu momomorfisma dari R ke S. Dari Definisi 4.3.1 kita juga dapat mengatakan bahwa suatu ring R dapat di sisipkan di suatu ring S jika terdapat subring T dari S sedemikian sehingga R ∼ = T. Diberikan R dan S masing-masing adalah ring. Misal elemen-elemen di R merupakan obyek yang berbeda dengan elemen-elemen di S, serta terdapat suatu monomorfisma dari R ke S. Berdasarkan Definisi 4.3.1 dapat kita katakan bahwa R dapat disisipkan di ring S. Dengan adanya penyisipan tersebut, kita dapat mengatakan bahwa R ⊆ S (walaupun elemen-elemen di R merupakan obyek-obyek yang berbeda dengan elemen-elemen di S). Perhatikan kembali daerah integral Z dan lapangan Q. Dari pembahasan sebelumnya telah terlihat bahwa Z ⊆ Q sehingga Z merupakan subring dari Q. Dalam struktur abstrak, muncul pertanyaan apakah dari sebarang daerah integral D selalu dapat dibuat suatu lapangan, katakan QD , sedemikian sehingga D ⊆ QD , yaitu D merupakan subring dari QD . Jawaban atas pertanyaan tersebut akan dibahas dalam subbab ini. Pada lapangan Q, kita ketahui bahwa 1 2 4 = = = ··· 2 4 8

41

2 4 8 = = = ··· . 3 6 12 Perhatikan bahwa

1 2

umum, untuk setiap

=

2 4

4 6

sebab 2 · 6 = 4 · 3. Secara

p1 p2 = ⇔ p1 · q2 = p2 · q1 . q1 q2

(4.1)

sebab 1 · 4 = 2 · 2, dan

p1 p2 , q1 q2

2 3

=

∈ Q,

Dari daerah integral Z dapat dibentuk himpunan Z × Z∗ = {(p, q) | p ∈ Z, q ∈ Z∗ } dengan Z∗ = Z\{0}. Dengan meniru dari Persamaan (4.1), didefinisikan relasi ∼ pada Z × Z∗ , yaitu untuk setiap (p1 , q1 ), (p2 , q2 ) ∈ Z × Z∗ , (p1 , q1 ) ∼ (p1 , q1 ) ⇔ p1 · q2 = q2 · q1 . Mudah ditunjukkan bahwa relasi ∼ merupakan relasi ekuivalensi. Selanjutnya dilakukan proses abstraksi dari pendefinisian relasi di atas. Diberikan sebarang daerah integral (D, +·). Dibentuk himpunan D × D∗ = {(p, q) | p ∈ D, q ∈ D∗ }, dengan D∗ = D\{0D }. Didefinisikan relasi ∼ pada D × D∗ , yaitu untuk setiap (p1 , q1 ), (p2 , q2 ) ∈ D × D∗ , (p1 , q1 ) ∼ (p1 , q1 ) ⇔ p1 · q2 = q2 · q1 . Relasi ∼ merupakan relasi ekuivalensi (buktikan sebagai latihan). Sudah diketahui dari ”MK. Pengantar Logika Matematika dan Himpunan (PLMH)” bahwa jika relasi ∼ merupakan relasi ekuivalensi pada D × D∗ , maka pada himpunan D × D∗ terbentuk kelas-kelas ekuivalensi yang saling asing. Misal diambil suatu elemen (a, b) ∈ D×D∗ . Kelas ekuivalensi yang memuat (a, b) adalah K(a,b) = {(x, y) ∈ D × D∗ | (x, y) ∼ (a, b)}. Untuk selanjutnya, kelas ekuivalensi K(a,b) dinotasikan dengan ab . Himpunan semua kelas ekuivalensi yang terbentuk tersebut merupakan partisi dari D × D∗ , yaitu K∼ = {K(a,b) | (a, b) ∈ D × D∗ } =

42

na b

o | a ∈ D, b ∈ D∗ .

Untuk selanjutnya, himpunan K∼ dinotasikan dengan QD . Didefinisikan operasi † dan ? pada QD , yaitu untuk setiap

p1 p2 , q1 q2

∈ QD ,

p1 p2 p1 q 2 + p2 q 1 † = q 1 q2 q 1 q2 p 1 p2 p1 p 2 ? = . q1 q2 q1 q 2 Dapat ditunjukkan: (sebagai latihan) (i). operasi † dan ? well defined, (ii). (QD , †, ?) merupakan lapangan, (iii). terdapat monomorfisma dari D ke QD . Karena terdapat monomorfisma dari D ke QD , berdasarkan Definsi 4.3.1 dapat dikatakan bahwa D dapat disisipkan di QD , sehingga dapat kita katakan juga bahwa D ⊆ QD . Dengan demikian daerah integral D berada di lapangan QD sebagaimana Z berada di lapangan Q. Jadi, untuk sebarang daerah integral D dapat dibentuk lapangan QD sedemikian sehingga D ⊆ QD . Lapangan QD inilah yang disebut sebagai lapangan hasil bagi.

4.4. Ideal Prima dan Ideal Maksimal Sebelum masuk ke definisi ideal prima dan ideal maksimal, perlu dipahami terlebih dahulu definisi perkalian ring dan suatu elemen, serta perkalian dua buah ideal. Diberikan ring R dan a, b ∈ R. Perhatikan bahwa Ra = {ra | r ∈ R} merupakan ideal kiri dan aR = {ar | r ∈ R} merupakan ideal kanan, lebih lanjut R(aR) yang dinotasikan RaR, didefinisikan RaR = {ras | r, s ∈ R}, merupakan ideal. Didefinisikan himpunan aRb = {arb | r ∈ R} dan AB = {a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn | ai ∈ A, bi ∈ B, i = 1, 2, · · · , n, n ∈ N} dengan A dan B ideal di R. Diperhatikan ring bilangan bulat Z. Telah kita ketahui bahwa semua ideal di Z berbentuk nZ = hni, dengan n ∈ N. Misal diambil 6 ∈ Z dan dibentuk ideal P = h6i = 6Z. Perhatikan bahwa perkalian ideal h2i dan h3i termuat di h6i, yaitu

43

h2i h3i ⊆ P . Mudah dipahami bahwa 2 ∈ h2i dan 3 ∈ h3i tetapi 2 ∈ / P dan 3 ∈ / P. Oleh karena itu, tampak bahwa h2i * P dan h3i * P . Berbeda halnya jika diambil ideal P = h2i. Diambil sebarang ideal I dan J di Z sedemikian sehingga IJ ⊆ P . Karena I dan J masing-masing merupakan ideal di Z, terdapat a, b ∈ Z sedemikian sehingga I = hai dan J = hbi. Dengan demikian diperoleh abZ = hai hbi ⊆ P . Mudah dipahami bahwa hki ⊆ h2i = P jika dan hanya jika k merupakan bilangan kelipatan dua. Oleh karena itu, tampak bahwa ab merupakan bilangan kelipatan dua sehingga diperoleh a ∈ P atau b ∈ P . Hal ini berakibat hai ⊆ P atau hbi ⊆ P . Jadi, keistimewaan dari ideal P = h2i adalah untuk setiap ideal I dan J di Z dengan IJ ⊆ P berakibat I ⊆ P atau J ⊆ P . Selanjutnya dilakukan proses abstraksi pada sebarang ring R dan ideal P di R, sehingga diperoleh definisi ideal prima sebagai berikut. Definisi 4.4.1. Suatu ideal P dari suatu ring R disebut ideal prima jika untuk setiap dua ideal A dan B di R dengan AB ⊆ P berakibat A ⊆ P atau B ⊆ P . Contoh 4.4.2. Pada ring Z, ideal h3i merupakan ideal prima. Berikut ini merupakan syarat perlu dan cukup suatu ideal dari suatu ring merupakan ideal prima. Teorema 4.4.3. Diberikan ring R dan ideal P di R. Ideal P merupakan ideal prima jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ R dengan aRb ⊆ P berakibat a ∈ P atau b ∈ P . Bukti. (⇒). Diketahui P adalah ideal prima di R. Diambil sebarang a, b ∈ R dengan sifat aRb ∈ P . Misalkan A = RaR dan B = RbR. Diperoleh bahwa AB = (RaR)(RbR) ⊆ R(aRb)R ⊆ RP R ⊆ P . Karena P ideal prima, berakibat A ⊆ P atau B ⊆ P . Misalkan A ⊆ P , maka diperoleh hai3 ⊆ RaR = A ⊆ P. Karena P merupakan ideal prima, berakibat hai ⊆ P sehingga diperoleh a ∈ P . Secara analog dapat ditunjukkan jika B ⊆ P maka b ∈ P . Dengan demikian diperoleh bahwa a ∈ P atau b ∈ P . (⇐). Diketahui untuk setiap a, b ∈ R dengan aRb ⊆ P berakibat a ∈ P atau

44

b ∈ P . Diambil sebarang dua ideal A dan B dengan AB ⊆ P . Misalkan A * P , maka terdapat a ∈ A sedemikian sehingga a ∈ / P . Misal diambil b ∈ B. Diperoleh bahwa aRb = (aR)b ⊆ AB ⊆ P . Dari yang diketahui berakibat a ∈ P atau b ∈ P . Karena a ∈ / P , berakibat b ∈ P . Jadi diperoleh B ⊆ P.



Khusus untuk ring R yang komutatif, diperoleh syarat perlu dan cukup sebagai berikut. Akibat 4.4.4. Diberikan ring komutatif R dan ideal P di R. Ideal P merupakan ideal prima jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ R dengan ab ⊆ P berakibat a ∈ P atau b ∈ P . Bukti. (⇒). Sudah jelas. (⇐). Diketahui untuk setiap a, b ∈ R dengan ab ⊆ P berakibat a ∈ P atau b ∈ P . Diambil sebarang ideal a, b ∈ R dengan sifat aRb ⊆ P . Karena R merupakan ring komutatif, diperoleh bahwa ab ∈ abR ⊆ aRb ⊆ P . Dari yang diketahui berakibat bahwa a ∈ P atau b ∈ P . Berdasarkan Teorema 4.4.3 diperoleh kesimpulan bahwa P marupakan ideal prima.



Telah kita ketahui bahwa untuk sebarang ideal P di ring R dapat dibentuk . ring faktor R P . Berikut ini merupakan sifat yang menjelaskan hubungan antara ideal prima dan ring faktor yang terbentuk dari ideal prima tersebut. Teorema 4.4.5. Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan 1R dan ideal . R P 6= R di R. Ideal P merupakan ideal prima di R jika dan hanya jika P merupakan daerah integral. Bukti. (⇒). Diketahui P ideal prima di R. Karena R adalah ring komutatif dengan . elemen satuan, berakibat R P juga merupakan ring komutatif dengan elemen satu. an. Tinggal ditunjukkan R P tidak memuat pembagi nol. Karena P 6= R, berakibat . R P 6= {0R + P }. Selanjutnya, berdasarkan Akibat 1.2.6 diperoleh bahwa ele. men satuan 1 + P dari R P berbeda dengan elemen nol 0R + P . Diambil sebarang . a + P, b + P ∈ R P sedemikian sehingga (a + P )(b + P ) = 0R + P . Karena (a + P )(b + P ) = 0R + P , diperoleh ab + P = 0R + P yang ekuivalen dengan ab ∈ P . Mengingat P adalah ideal prima, berakibat a ∈ P atau b ∈ P , yang ekuiv-

45

. alen dengan a + P = 0R + P atau b + P = 0R + P . Oleh karena itu, R P tidak . memuat pembagi nol. Jadi terbukti bahwa R P merupakan daerah integral. . (⇐). Diketahui R P adalah daerah integral. Diambil sebarang a, b ∈ R sedemikian sehingga ab ∈ P . Karena ab ∈ P , diperoleh 0R + P = ab + P = (a + P )(b + P ). . Karena R P merupakan daerah integral, maka a+P = 0R +P atau b+P = 0R +P , yang ekuivalen dengan a ∈ P atau b ∈ P . Jadi, P merupakan ideal prima. 

Perhatikan kembali ring bilangan bulat Z. Diambil ideal 2Z di ring Z. Telah kita ketahui bahwa semua ideal di ring Z berbentuk nZ, dengan n ∈ N. Mudah dipahami bahwa 2Z ⊃ 4Z ⊃ 6Z ⊃ · · · . Dari fakta tersebut berakibat bahwa tidak ada ideal I 6= Z yang lebih besar dari 2Z. Dari fenomena ini, memberikan motivasi untuk didefinisikannya ideal maksimal. Definisi 4.4.6. Diberikan ring R dan ideal M di R. Ideal M disebut ideal maksimal jika M 6= R dan tidak ada ideal I di R sedemikian sehingga M ⊂ I ⊂ R. Contoh 4.4.7. Pada ring Z6 , ideal M1 = {0, 2, 4} dan M2 = {0, 3} masing-masing merupakan ideal maksimal. Telah kita ketahui bahwa untuk sebarang ideal M di ring R dapat dibentuk . R ring faktor M . Berikut ini merupakan sifat yang menjelaskan hubungan antara ideal maksimal dan ring faktor yang terbentuk dari ideal maksimal tersebut. Teorema 4.4.8. Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan 1R dan ideal M . di R. Ideal M merupakan ideal maksimal jika dan hanya jika R M merupakan lapangan. Bukti. (⇒). Diketahui M adalah ideal maksimal. Karena R adalah ring komutatif . dengan elemen satuan, berakibat R M juga merupakan ring komutatif dengan ele. men satuan. Diambil sebarang a + M ∈ R M dengan a + M 6= 0R + M , berarti a∈ / M . Dibentuk ideal hM ∪ ai, yaitu ideal yang dibangun oleh M ∪ {a}. Karena a∈ / M , diperoleh M ⊂ hM, ai. Mengingat M adalah ideal maksimal di R, berakibat hM, ai = R. Oleh karena itu, terdapat m ∈ M dan r ∈ R sedemikian sehingga 1R = m + ra. Akibatnya, diperoleh 1R + M = (m + M )+(ra + M ). Karena

46

m + M = 0M + M , diperoleh (r + M )(a + M ) = ra + M = 1R + M , sehingga . . a + M mempunyai invers di R M . Jadi, setiap elemen tak nol di R M mempunyai . . invers di R M . Terbukti bahwa R M merupakan lapangan. . (⇐). Diketahui R M adalah lapangan, berarti M 6= R. Diambil sebarang ideal I di R sedemikian sehingga M ⊂ I ⊆ R. Karena M ⊂ I, terdapat a ∈ I sedemikian sehingga a ∈ / M . Selanjutnya karena a ∈ / M , diperoleh a + M 6= 0R + M . . . Mengingat R M adalah lapangan, terdapat r + M ∈ R M sedemikian sehingga ar + M = (a + M )(r + M ) = 1R + M . Akibatnya, diperoleh 1R − ar ∈ M . Oleh karena itu, terdapat m ∈ M sedemikian sehingga 1R = m + ar. Perhatikan bahwa 1R = m + ar ∈ M + I ⊆ I. Hal ini berakibat I = R. Jadi, M merupakan ideal 

maksimal.

Teorema berikut ini menjelaskan hubungan antara ideal maksimal dan ideal prima. Teorema 4.4.9. Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan dan ideal I di R. Jika I adalah ideal maksimal, maka I merupakan ideal prima. Bukti. Diketahui I adalah ideal maksimal. Akan dibuktikan I merupakan ideal prima. Diambil sebarang a, b ∈ R sedemikian sehingga ab ∈ I dan a ∈ / I. Dibentuk hI ∪ {a}i = {u + ra | u ∈ I, r ∈ R}, yaitu ideal yang dibangun oleh I ∪ {a}. Karena a ∈ / I, berakibat I ⊂ hI, ai. Selanjutnya karena I ideal maksimal, berakibat hI, ai = R. Oleh karena itu, terdapat u ∈ I dan r ∈ R sedemikian sehingga 1 = u + ra. Dengan demikian diperoleh b = ub + rab ∈ I. Jadi, I merupakan ideal 

prima.

Konvers dari Teorema 4.4.9 belum tentu berlaku. Sebagai counter examplenya, ideal {0} di ring bilangan bulat Z merupakan ideal prima tetapi bukan ideal maksimal. Untuk keberlakuan konvers dari Teorema 4.4.9 perlu adanya syarat tambahan (R harus merupakan daerah ideal utama, yang akan dijelaskan pada Bab VI). Selanjutnya akan ditunjukkan eksistensi ideal maksimal dari suatu ring. Teorema 4.4.10. Diberikan ring R dengan elemen satuan 1R . Setiap ideal sejati dari R selalu termuat di suatu ideal maksimal dari R,

47

Bukti. Diambil sebarang ideal I di R. Dibentuk A = {J | I ⊆ J, J ideal sejati di R}. Jelas bahwa A = 6 ∅, sebab I ∈ A. Mudah dipahami bahwa A merupakan himpunan terurut parsial, dengan urutan parsialnya adalah ⊆. Akan ditunjukkan bahwa setiap rantai di A mempunyai batas atas di A. Misalkan C = {Jα | α ∈ ∆} sebarang rantai di A, dengan ∆ adalah suatu himpunan indeks. Karena I ⊆ Jα untuk setiap [ [ α ∈ ∆, diperoleh I ⊆ Jα . Diambil sebarang r ∈ R dan a, b ∈ Jα , beα∈∆

α∈∆

rarti a ∈ Jα1 dan b ∈ Jα2 , untuk suatu α1 , α2 ∈ ∆. Karena C merupakan rantai, diperoleh Jα1 ⊆ Jα2 atau Jα2 ⊆ Jα1 . Misalkan Jα1 ⊆ Jα2 , berakibat a, b ∈ Jα2 . [ Karena Jα2 ideal di R, diperoleh a − b ∈ Jα2 ⊆ Jα . Karena Jα1 ideal di R, α∈∆ [ [ diperoleh ra, ar ∈ Jα1 ⊆ Jα . Jadi, Jα merupakan ideal di R. Jelas bahwa α∈∆ α∈∆ [ [ Jα 6= R, sebab jika 1R ∈ Jα maka 1R ∈ Jβ , untuk suatu β ∈ ∆, dan α∈∆ α∈∆ [ Jα meruberakibat Jβ = R (kontradiksi dengan Jβ 6= R). Dengan demikian α∈∆ [ Jα ∈ A. Mudah dipahami pakan ideal sejati di R dan memuat I, sehingga α∈∆ [ Jα merupakan batas atas dari C. Berdasarkan Lemma Zorn, berakibat bahwa α∈∆

A mempunyai elemen maksimal, katakan M . Tinggal ditunjukkan M adalah ideal maksimal di R. Andaikan terdapat ideal K di R sedemikian sehingga M ⊂ K ⊂ R, berarti K ∈ A dan berakibat M bukan ideal maksimal (kontradiksi). Jadi, ideal M merupakan ideal maksimal di R.



Akibat 4.4.11. Diberikan sebarang ring R dengan elemen satuan 1R dan misalkan a ∈ R. Elemen a termuat di suatu ideal maksimal di R jika dan hanya jika a bukan elemen unit. Bukti. (⇒). Diketahui a termuat di suatu ideal maksimal di R, katakan M . Andaikan a merupakan elemen unit di R. Akibatnya, 1 = aa−1 ∈ M dan terjadi kontradiksi dengan yang diketahui bahwa M adalah ideal maksimal di R. Jadi pengandaian salah, yang benar a merupakan elemen unit di R. (⇐). Diketahui a bukan elemen unit, berarti hai ⊂ R. Berdasarkan Teorema 4.4.10 diperoleh bahwa terdapat suatu ideal maksimal M di R sedemikian sehingga hai ⊆ M . Oleh karena itu, a ∈ hai ⊆ M .



48

Akibat 4.4.12. Jika R adalah ring dengan elemen satuan, maka R memiliki suatu ideal maksimal. Bukti. Perhatikan bahwa ring R selalu mempunyai ideal, yaitu paling tidak mempunyai ideal trivial {0R }. Berdasarkan Teorema 4.4.10, terdapat suatu ideal maksimal M di R dengan {0R } ⊆ M .



4.5. Latihan Kerjakan soal-soal latihan berikut ini.   1 1  di ring matriks M2×2 (Z) merupakan elemen 1. Buktikan bahwa elemen  2 2 pembagi nol ! 2. Untuk sebarang bilangan prima p, buktikan bahwa Z merupakan lapangan ! 3. Diberikan daerah integral D = Z. Tentukan lapangan hasil bagi QD ! 4. Diberikan ring (R = {(a, b) | a, b ∈ Z}, +, ·) dengan definisi operasi + dan · sebagai berikut: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac, bd) untuk setiap (a, b), (c, d) ∈ R. Misalkan I = {(a, 0) | a ∈ Z}. Buktikan bahwa I merupakan ideal prima di R, tetapi bukan ideal maksimal di R! Hint: I ⊂ hI, (0, 2)i ⊂ R. 5. Perhatikan kembali ring R pada soal no.1. Buktikan bawa I = {(5n, m) | n, m ∈ Z} merupakan ideal maksimal dari R. 6. Carilah semua ideal maksimal dan ideal prima dari ring Z10 ! 7. Diberikan daerah integral R. Buktikan jika setiap ideal di R adalah ideal prima, maka R merupakan lapangan!

49

8. Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan, A dan B masing-masing merupakan ideal maksimal dari R yang berbeda. Buktikan bahwa AB = A ∩ B! 9. Diberikan ring R dan ideal I dari R. Buktikan bahwa kedua pernyataan berikut ini ekuivalen. a). I adalah ideal prima. b). Jika a, b ∈ R\I, maka terdapat c ∈ R sedemikian sehingga acb ∈ R\I! 10. Diberikan ring R = C[0, 1] = {f : [0, 1] −→ R | f fungsi kontinu}. Misalkan T ⊆ [0, 1] dan I(T ) = {f ∈ R | (∀x ∈ T )f (x) = 0}. a). Buktikan I(T ) merupakan ideal dari R ! b). Jika x ∈ [0, 1] dan Mx = I({x}), maka buktikan Mx merupakan ideal . maksimal di R dan R Mx ∼ =R!

50