Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005
´ formule De Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule staat in tien meter hoge letters op het gebouw van de Centrale Opslag voor Radioactief Afval (covra) in Borssele, aangebracht door beeldend kunstenaar William Verstraeten. Iedereen kent de formule. Weinigen weten wat hij betekent. Bijna niemand kent Einsteins stuk waarin de formule wordt bewezen, ook professionele natuurkundigen niet. Geen wonder dus dat voor bijna iedereen dat piepkleine stukje wiskunde het symbool is van de totale onbegrijpelijkheid van de moderne natuurkunde. Grappig genoeg is het idee achter deze formule niet moeilijk te bevatten. Buitengewoon vreemd is het wel, maar daarvoor is het nu eenmaal natuurkunde. We kunnen inzien dat massa en energie iets met elkaar te maken moeten hebben, door zonder vrees te kijken naar de twee vreemde gevolgen van de invariante lichtsnelheid die wij reeds tegenkwamen. Ten eerste: de lichtsnelheid is absoluut, dus is tijd relatief. Ten tweede: de lichtsnelheid is de grootst mogelijke snelheid. De redenering gaat als volgt: Stap 1. In de klassieke mechanica werd ‘massa’ ingevoerd als een maat voor de weerstand tegen versnelling, de traagheid. Stap 2. De lichtsnelheid is maximaal, dus als ik een voorwerp steeds weer een duw geef, gaat het nooit sneller dan c, maar krijgt het wel steeds meer energie. Stap 3. Dus neemt de traagheid van een voorwerp steeds toe naarmate de energie toeneemt. Stap 4. Omdat massa een maat is voor die traagheid, neemt massa toe met energie. Dat hieruit precies E = mc2 volgt, kun je zonder een beetje algebra niet bewijzen, maar dat massa en energie sterk met elkaar verbonden zijn is zo wel aannemelijk te maken. In de klassieke mechanica blijkt het nodig een maat te geven aan de hoeveelheid materie in de deeltjes, de massa. Wat dat precies is, kan men binnen de mechanica niet zeggen. Massa is een maat voor de weerstand die een voorwerp biedt tegen verandering van zijn snelheid, een maat voor de traagheid. Als een voetballer een strafschop neemt, krijgt de bal een versnelling en raast met zekere snelheid op het doel af. Precies dezelfde 1
trap zou, als de bal met zand gevuld was, een veel kleinere snelheid opleveren. Neem nu een bal en geef hem een schop. De bal krijgt een zekere hoeveelheid snelheid en energie. Ga met de bal meebewegen zodat de bal stilstaat ten opzichte van je voet. Geef de bal opnieuw eenzelfde schop, waardoor energie en snelheid van de bal evenveel toenemen als toen je de eerste trap gaf. Ga weer met de bal meebewegen en herhaal dit recept steeds weer. De som van het aantal schoppen geeft ons de totale aan de bal toegevoegde energie. Ga nu terug naar het punt vanwaar je de bal de eerste schop gaf. De bal nakijkend zou je, als de klassieke mechanica correct was, zien dat elke schop de energie van de bal met dezelfde hoeveelheid heeft doen toenemen, want energie is een behouden grootheid en in een afgesloten systeem is de som van alle energie¨en constant. De snelheid die de bal heeft gekregen kun je berekenen uit de energie. Als je de energie door voortdurend schoppen steeds groter maakt, blijft ook de snelheid toenemen. Maar in de relativistische wereld is dat niet meer zo. Immers, de lichtsnelheid is de grootst mogelijke snelheid en reeds na de eerste schop doet de tweede de snelheid net niet meer zoveel toenemen als de eerste keer. In het begin merk je dat nog niet, maar naarmate de snelheid van de bal de lichtsnelheid begint te naderen merk je: nog meer schoppen doen de snelheid niet meer zo sterk toenemen als in het begin. Hoe meer je schopt, hoe minder de snelheid verandert, want boven c kom je nooit uit. Toch neemt de energie van de bal bij elke schop weer toe, want energie is een behouden grootheid. Ga weer terug naar het punt vanwaar je de bal de eerste schop gaf. De bal nakijkend zie je, in de relativistische wereld van ons Heelal, dat elke schop de energie van de bal met dezelfde hoeveelheid heeft doen toenemen, maar dat de snelheid van de bal nooit de waarde c bereikt. De conclusie is opmerkelijk: bij elke schop neemt de weerstand van de bal tegen verandering van zijn snelheid toe. Met andere woorden, de traagheid van de bal wordt groter als de energie van de bal groter wordt. Of, nog anders gezegd: de massa van de bal neemt toe met toenemende energie. Hiermee hebben wij niet bewezen dat de energie E en de massa m gehoorzamen aan de formule E = mc2 , maar hebben we wel aannemelijk gemaakt dat massa en energie meer dan een oppervlakkige relatie met 2
elkaar hebben. Licht in een doos Ondanks de vrees die de formule bij veel mensen opwekt, is E = mc2 niet eens echt moeilijk te bewijzen, althans voor lichtstralen. De basis van het idee is – hoe kan het anders – gelegd door Einstein in 1906. Grappig genoeg heeft Einstein in die berekening een fout gemaakt, maar die is eenvoudig recht te zetten. Hier geef ik een opgelapte versie die laat zien hoe het bewijs werkt. De berekening vind je in Deel 2 en ook die is eigenlijk niet zo lastig.
Fig. 1-1 Denkbeeldig filmpje van een gedachten-experiment, waarmee wordt aangetoond dat licht met een energie E overeenkomt met een massa m volgens de beroemde regel E = mc2 . De tijd loopt op van beneden naar boven. Aan weerszijden van een deeltje (cirkel) worden twee identieke fotonen losgelaten (pijlen). Het deeltje staat iets links van het punt dat midden tussen de fotonen ligt. Eerst wordt het linker foton geabsorbeerd en van de weeromstuit gaat het deeltje naar rechts bewegen. Als het rechter foton het deeltje treft, komt het weer tot stilstand.
Plaats twee identieke lichtstralen aan weerszijden van een puntvormig deeltje. Elke lichtstraal heeft een energie E. Beide stralen worden langs 3
een rechte lijn op het deeltje gericht. Het deeltje staat niet precies midden tussen de vertrekpunten van de stralen, maar iets naast het midden (links in het getekende voorbeeld). Laat de stralen gelijktijdig los, zodat ze met snelheid c op het deeltje afgaan. Eerst botst de linkerlichtstraal op het deeltje, omdat dat iets links van het midden staat. Van de weeromstuit gaat het deeltje naar rechts bewegen. Even later botst de rechterlichtstraal op het deeltje. Omdat beide lichtstralen precies dezelfde energie E hebben, komt het deeltje weer tot stilstand. Ten eerste: hieruit kunnen wij ongeveer begrijpen waar de traagheid van een voorwerp vandaan komt. In hoofdstuk 4 zagen we, dat deeltjes zich van elkaar onderscheiden door een eigenschap die massa is genoemd. De massa is een maat voor de ‘weerstand tegen versnelling’: hoe groter de massa, hoe kleiner de snelheid die het deeltje krijgt als je er een tik tegen geeft. Die weerstand heet traagheid. Ik schreef: “Wat dat precies is, kan men binnen de klassieke mechanica niet zeggen.” Hoe het komt dat traagheid en massa iets puur relativistisch zijn, kunnen we alsvolgt inzien. Stel dat ik een blokje heb met een zekere lengte. Geef ik daar een tik tegen (laten we zeggen: van links), dan gaat het einde dat is geraakt bewegen, maar het andere (rechter) einde nog niet omdat het nieuws van de tik niet sneller kan bewegen dan het licht. Wanneer de tik ook het rechter einde heeft versneld, beweegt het linker einde al enige tijd met zekere snelheid. Nu weten we dat een stilstaande waarnemer een bewegende klok langzamer ziet lopen (hoofdstuk 7). Bij een versnelling onstaat dus een tijdsverschil tussen het linker en het rechterdeel van het blokje. Dit verschil is in principe meetbaar, en daarom is de versnelling (en dus de traagheid) een absoluut meetbare grootheid. Dit in tegenstelling tot de snelheid, die altijd relatief is. Ten tweede: het deeltje gaat bewegen door de inslag van het licht. Dat is net zoiets als wanneer het deeltje door een ander deeltje getroffen zou worden. Uit de mechanica weten we dat een deeltje bij een botsing alleen van snelheid kan veranderen als het getroffen wordt door een ander deeltje met een zekere massa. Het ligt dus voor de hand te denken dat ook de lichtstraal een bepaalde massa vertegenwoordigt. Immers, bij de absorptie van het licht gaat het deeltje bewegen. In de mechanica wordt de heftigheid van de inslag bepaald door de impuls. Het ligt dus ook voor de hand te denken dat de lichtstraal eveneens een zekere impuls bezit. Dit zijn wel veronderstellingen, maar die zijn gerechtvaardigd als we zo min 4
mogelijk van de bestaande mechanische theorie willen slopen. We hebben bij dit experiment dus te maken met drie grootheden: de energie, de massa en de impuls. In een afgesloten systeem, zoals dat van het gedachten-experiment, zijn die drie allemaal onveranderlijk, omdat er geen contact met de buitenwereld is waardoor de totale energie, de totale impuls en de totale massa kunnen veranderen. Drie grootheden zijn behouden en we hebben twee gebeurtenissen: het deeltje krijgt een klap van links en vervolgens een tik van rechts. Omdat twee condities niet genoeg is om drie behouden grootheden te bepalen, moet er een verband zijn tussen twee van de drie. Om gelijktijdig massa, impuls en energie te behouden, moeten massa en energie evenredig zijn, althans voor fotonen. Die hebben een equivalente massa m die voldoet aan de beroemdste formule aller tijden: E = mc2 .
5
