• Tujuan Pembelajaran Umum Setelah membaca modul mahasiswa memahami penggunaan atau penerapan persamaan momentum untuk aliran saluran terbuka. • Tujuan Pembelajaran Khusus Setelah membaca modul dan menyelesaikan soal-soal pelatihan mahasiswa dapat menyelesaikan kegunaan persamaan momentum.
Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa momentum dari aliran melalui suatu penampang saluran sama dengan jumlah gaya–gaya yang bekerja pada elemen aliran yang ditinjau. Ambil suatu volume kontrol aliran seperti pada gambar berikut ini : 1
2
G sinθ
P1
y Pf
z 1
P2
G
L
Z
Datum
2
θ
Gambar 2.23. Sket penerapan prinsip momentum untuk suatu aliran saluran terbuka
Kembali digunakan Hukum Newton : K=m.a (2.24) Untuk aliran dalam saluran terbuka berpenampang persegi empat dengan kemiringan kecil Persamaan Newton tersebut dapat diuraikan sebagai berikut :
y
B
Gambar 2.24. Sket penampang saluran dari Gb. 2.23. berbentuk persegi empat
Dari gambar 2.23 dapat dinyatakan jumlah gaya– gaya yang bekerja di arah aliran yaitu : K = P1 - P2 + G sin θ - Pf
(2.25)
Dari hukum hidrostatika diketahui bahwa (lihat gambar 2.23) : P1 = ½ ρ g y12 B P2 = ½ ρ g y12 B
(2.26) (2.27)
Komponen berat cairan aliran di arah aliran :
( y1 + y2 ) G sin θ = ρ g B L sin θ
(2.28)
( z1 − z 2 ) sin θ =
(2.29)
2
L
Gaya geser yang bekerja sepanjang aliran adalah : Pf = T0 .O.L T0 = ρ g R i f pf = ρ g Rif O L = ρ g ROif L p f = ρ g A hf ' = ρ g B h hf ' ⎡ y + y2 ⎤ pf = ρ g B ⎢ 1 hf ' ⎥ ⎣ 2 ⎦
(2.30)
Besarnya massa aliran adalah : ⎛ V + V2 ⎞ ⎛ y1 + y 2 ⎞ m = ρ ∀ = ρ Qt = ρ ⎜ 1 ⎟t ⎟ B⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Percepatan aliran adalah : a = β (V2 − V1 ) t
(2.31)
Dengan menggabungkan persamaan (2.26 s/d 2.31 ke dalam persamaan 2.25) didapat persamaan sebagai berikut : ⎡ y + y2 ⎤ 2 2 1 2 ρ g y1 B − 1 2 ρ g y 2 B + ρ g B ⎢ 1 L sin θ + ⎥ 2 ⎣ ⎦ (V1 − V 2 ) ⎡ y + y2 ⎤ ⎡ y1 + y 2 ⎤ ( ) − ρ g B⎢ 1 y = g B t V + V ρ β f 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 1 t ⎣ 2 ⎥⎦
dibagi ρ g B persamaan tersebut menjadi : ⎡ y + y2 ⎤ ⎡ y1 + y 2 ⎤ 2 2 ( ) z z hf ' 1 2 y1 − 1 2 y 2 + ⎢ 1 − − 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎡ y1 + y 2 ⎤ 2 2 V V + β =⎢ 2 1 ⎥ g 2 ⎦ ⎣
(
)
1 2 ( y1 − y 2 )( y1 + y 2 ) + 1 2 ( y1 + y 2 )( z1 − z 2 ) − 1 2 ( y1 + y 2 )h f '
(
= 1 2 g ( y1 + y 2 )β V 2 − V1 2
2
)
dibagi ½ (y1 + y2) persamaan tersebut menjadi : y1 + y2 + z1 − z 2 − h f ' =
( V g
β
2
2
− V1
2
)
atau z1 + y1 +
βV12 2g
= z 2 + y2 +
βV2 2 2g
+ hf '
(2.32)
Persamaan tersebut tampak seperti persamaan energi, hanya saja koefisien pembagian yang digunakan adalah β bukan α, dan tinggi kehilangan energi adalah hf' = kehilangan energi eksternal yang disebabkan oleh gaya–gaya yang bekerja dari dinding dan dasar saluran pada cairan. c Dalam aliran seragam dimana gaya–gaya permukaan yang bekerja sama dengan jumlah peredaman energi maka perbedaan antara hf dan hf' tidak terjadi.
Penerapan persamaan momentum pada suatu aliran dalam saluran prismatis lurus, horisontal dan pada jarak pendek, menghasilkan persamaan sebagai berikut : 1
2
L
y
Y P 1
1
Y G 2
P 2
B
Gambar 2.25. Sket saluran prismatis lurus horisontal dan berpenampang persegi empat
Persamaan momentum di arah aliran : yQ (β 2V2 − β1V1 ) P1 + P2 + G sin θ − Pf = g
(2.33)
Karena terletak horizontal : sin θ = 0 Karena yang ditinjau jarak yang pendek Pf = 0 ( kecil sekali sehingga dapat diabaikan) P1 = 1 2 ρ g y1 B = ρ g 1 2 y1 y1 B = ρ g z1 A1 2
P2 = 1 2 ρ g y 2 B = ρ g 1 2 y 2 y 2 B = ρ g z 2 A2 2
dimana : z = jarak titik berat ke dasar saluran Dengan besaran – besaran tersebut diatas maka persamaan (2.33) menjadi : ρ g z A − ρ g z A + 0 − 0 = yQ (β V 1
2
g
2 2
− β1V1 )
dibagi ρ g atau γ, dan apabila β1 = β2 = 1 maka persamaan tersebut menjadi : Q ⎛ Q Q ⎞ Q2 Q2 z1 A − z 2 A = ⎜⎜ − ⎟⎟ = − g ⎝ A2 A1 ⎠ gA2 gA1 Q2 Q2 + zA A = + z2 A gA1 gA2
(2.34)
Apabila : 2
Q + zA = F gA
(2.35)
maka persamaan (2.34) dapat dinyatakan sebagai berikut : F1 = F2 (2.36) Persamaan (2.35) menunjukkan bahwa F merupakan fungsi dari y ( F = f(y) ), sehingga dapat dibuat suatu lengkung hubungan antara F dan y. Untuk memperjelas hal ini dapat dilihat pada contoh soal sebagai berikut :
Contoh soal 2.6 (a) Buat suatu kurva hubungan antara y dan F untuk suatu aliran saluran terbuka berpenampang persegi empat dengan lebar = 6 m dan Q = 5,4 m3/det. Disamping itu buat pula kurva hubungan antara y dan E. Letakkan dua gambar tersebut pada satu halaman sehingga dapat dilihat persamaan dan perbedaan antara dua kurva tersebut.
(b) Tentukan besarnya kedalaman kritis yc. (c) Apabila kedalaman air awal adalah y1 = 0,40 yc. berapa besar kedalaman urutannya y2 dengan menggunakan cara aljabar dan dengan kurva tersebut pada soal a) (d) Perbedaan y1 dan y2 membentuk suatu loncatan air maka hitung besarnya kehilangan energi akibat loncatan tersebut.
(a) Perhitungan harga E dan harga F untuk berbagai kedalaman air dari 0,10 m sampai dengan 1,00 m dilakukan dengan membuat tabel sebagai berikut :
Tabel 2.4. Perhitungan harga E dan harga F contoh soal 2.5 y
A=by
V = Q/A
V2/2g
E
zA
Q2/gA
F
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
0,60 1,20 1,80 2,40 3,00 3,60 4,20 4,80 5,40 6,00
9,00 4,50 3,00 2,25 1,80 1,50 1,19 1,125 1,00 0,90
4,128 1,032 0,459 0,258 0,165 0,115 0,072 0,065 0,051 0,041
4,228 1,232 0,759 0,658 0,665 0,715 0,772 0,856 0,951 1,041
0,03 0,12 0,27 0,48 0,75 1,08 1,47 1,92 2,43 3,00
4,954 2,447 1,651 1,239 0,991 0,826 0,708 0,619 0,550 0,495
4,984 2,597 1,921 1,719 1,741 1,906 2,178 2,539 2,980 3,495
Harga E dan F untuk setiap harga y diplot pada kertas milimeter dengan hasil seperti pada gambar 2.26.
y
y 1
1,0
2
y2 = 0,87
1,0 Loncatan Air
0,5
0,5
y1 = 0,18
0,5
1,0 E2 = 0,924
1,5 E1 = 1,454
E (m)
1,0
2,0
3,0 2,75
4,0
F (m³)
Gambar 2.26. Hubungan antara lengkung energi spesifik (a) dan gaya spesifik (b)
(b)Menentukan besarnya kedalaman kritis yc : (1) Dari kurva seperti pada gambar (hasil perhitungan pada pertanyaan a) didapat harga yc = 0,44 m (titik pada E dan F minimum). (2) Dengan cara aljabar Untuk saluran berpenampang persegi empat diketahui ; Q qB q Ac = B yc Æ Vc = A = By = y c
Aliran kritis :
V 2 2g
=
D 2
c
c
Untuk saluran berpenampang persegi empat : D = y berarti untuk aliran kritis ;
(q / y c )2 2g
yc = ................y c = 2
Q 5,40 q= = B 6,00 = 0,90 m 2 det
(0,9)
2
yc =
3
9,81
= 0,44 m
3
q2 g
(c) Apabila kedalaman air awal y1 = 0,40 yc = 0,40 x 0,45 m = 0,18 m. Maka untuk mencari kedalaman urutannya (sequent depth) digunakan persamaan gaya spesifik : F1 = F2 Q2 5,4 2 0 ,18 + z 1 A1 = + × 6 × 0 ,18 gA 1 9 , 81 × 6 × 0 ,18 2 = 2 , 752 + 0 , 0972 = 2 , 849 5,4 2 y F2 = 2,849 = + 2 × 6 y2 9,81× 6 y2 2 y 2 − 0 , 950 y 2 + 0 , 615 = 0 3
Dengan cara coba-coba didapat harga y2 = 0,865 m Dengan menggunakan kurva y vs E dan y vs F didapat y2 = 0,87 m Selanjutnya diambil y2 = 0,87 m 2
V1 5, 4 2 E 1 = y1 + = 0 ,18 + = 0 ,18 + 1, 274 = 1, 454 m 2 2g 2 × 9 ,81 ( 6 × 0 ,18 ) 2
V2 5, 4 2 E2 = y2 + = 0,87 + = 0,87 + 0,054 = 0,924 m 2 2g 2 × 9,81( 6 × 0,87 )
Δ E = E1 − E 2 = 1, 454 m − 0 ,924 m = 0 ,529 m
(d) Dari kurva pada Gb 2.26 didapat harga ΔE = E1 – E2 = 0,530 m Dari kurva hubungan antara F dan y yang ditunjukkan dalam soal 2.5a dapat dilihat bahwa untuk satu harga F didapat dua harga y yaitu y1 dan y2 yang merupakan kedalaman urutan (sequent depth), kecuali pada harga F minimum yang hanya mempunyai satu harga y, atau dapat dikatakan bahwa y1 = y2 = yc . Untuk membuktikan bahwa untuk F minimum, y = yc diperlukan penurunan sebagai berikut : Q2 F = + z A gA dF Q 2 dA d (z A ) = − + = 0 dA gA 2 dy dy
T dA
dy
z
Gambar 2.27. Penampang saluran berbentuk sembarang
Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa
dA =T dy
Untuk perubahan kedalaman dy perubahan d (z A) dalam static moment dari luas penampang basah terhadap permukaan air adalah : dy ⎤ ⎡ ⎢⎣ A ( z + dy ) + T dy 2 ⎥⎦ − z A atau : ⎡ dy 2 ⎤ ⎢ A ( z + dy ) + T ⎥ − zA 2 ⎦ ⎣
Apabila diferensial tingkat tinggi (dy2) dianggap sama dengan nol: d ( z A ) = A dy
sehingga :
dF Q 2 dA =− +A 2 dy gA dy
F minimum apabila Jadi :
dF =0 dy
Q 2 dA − + A=0 2 gA dy atau : Q 2T = A 2 gA V2 A = = D g T V2 D = g 2
yang berarti pada harga F minimum aliran adalah aliran kritis.
1. Suatu pelimpah amabang pendek seperti pada gambar 2.28 terletak pada suatu saluran berpenampang persegi empat Sisi miring
y1
y2
APRON
Gambar 2.28. Suatu pelimpah ambang pendek
Aliran pada sisi miring pelimpah merupakan aliran super kritis. Tinggi permukaan air di saluran hilir sedemikian sehingga alirannya subkritis. Perubahan kedalaman air dari y1 = 1,00 m ke y2 = 1,50 m menyebabkan adanya loncatan air. Dengan menggunakan persamaan momentum hitung besarnya debit tiap satuan lebar (q) dan debit aliran (Q). 2. Untuk menstabilkan loncatan air tersebut pada soal 1 pada apron dipasang suatu ambang sehingga debit aliran q = 10 m2/det dan kedalaman awal dari loncatan air y1 = 1,50 m dan kedalaman urutannya y2 = 2,50 m.
Dengan menggunakan persamaan momentum hitung tekanan pada muka ambang dalam KN/m. Sisi miring
y1
y2
AMBANG
Gambar 2.29. Suatu pelimpah pada apronnya dipasang suatu ambang
• Penerapan Hukum Momemtum dapat diturunkan persamaan gaya spesifik F yang merupakan fungsi dari kedalaman aliran. • Karena gaya spesifik meruapakan fungsi dari kedalaman aliran (F = f(y)) maka dapat digambarkan suatu kurva hubungan antara kedalaman air dan gaya spesifik. • Dari kurva F vs y tersebut dapat dilihat bahwa untuk satu harga F terdapat dua harga y. Dalam hal ini kedalaman y2 merupakan kedalaman urutan (sequence depth) dari kedalaman y1 dari suatu loncatan air.
• Kedalaman air dimana harga F minimum menunjukkan angka yang sama antara y1 dan y2 (y1 = y2) kedalaman ini disebut kedalaman kritis.
• Apabila untuk suatu debit aliran tertentu dalam suatu saluran prismatis kurva “energi spesifik” dan kurva gaya “gaya spesifik” disandingkan akan dapat digunakan untuk menentukan besarnya kehilangan energi dari suatu loncatan air yang terjadi di saluran tersebut.
