Prinsip ketetapan energi dan k t t ketetapan momentum t merupakan k d dasar penurunan persamaan aliran saluran terbuka disamping ketetapan momentum. Dengan persamaan energi dan persamaan momentum dapat dibedakan tipe aliran sub-kritis, aliran kritis dan aliran superkritis.
Persamaan-persamaan tersebut P Persamaant b t sangatt diperlukan untuk perencanaan saluran t b k terbuka. Di dalam modul ini akan dibahas kriteria dan perhitungan aliran kritis d dengan menggunakan k persamaan energi spesifik dan gaya spesifik. Agar mahasiswa memahami penggunaan persamaan-persamaan dasar energi dan momentum, di akhir suatu pokok bahasan diberi contoh soal dan latihan yang y g berupa pekerjaan j rumah dan dibahas pada awal kuliah berikutnya.
(1) Menjelaskan prinsip energi dan momentum agar mahasiswa memahami penggunaan hukum ketetapan energi (energy concervation) dan hukum ketetapan momentum dalam penurunan persamaan energi dan persamaan momentum yang memegang peran penting di dalam analisa li gerak k air i (aliran).
(2) Memberi contoh penggunaan persamaan energi dan persamaan momentum dalam perhitungan aliran saluran terbuka yang melalui bangunanbangunanbangunan air. air (3) Memberi contoh agar mahasiswa memahami terjadinya kehilangan energi di dalam aliran saluran terbuka.
(1) Penggunaan hukum ketetapan energi dalam penurunan Persamaan Energi di sepanjang garis arus (Persamaan Euler). Euler) ((2)) Penurunan Persamaan Bernoulli dan Persamaan Energi dari Persamaan Euler. Euler. (3) Penjelasan Persamaan Energi untuk aliran saluran terbuka dan aliran saluran tertutup dan contoh penggunaannya. (4) Penjelasan Persamaan Momentum dan contoh p penggunaannya. gg y
y Tujuan Pembelajaran Umum
Setelah membaca modul mahasiswa memahami prinsip ketetapan energi dan penggunaannya. penggunaannya y Tujuan Pembelajaran Khusus
Setelah membaca modul dan menyelesaikan soal soal–soal soal latihan mahasiswa dapat menjelaskan penggunaan hukum energi untuk aliran saluran l tterbuka. b k
y Penetapan p hukum ketetapan p energi g
di sepanjang garis arus dapat dijelasakan sebagai berikut: Ambil suatu filamen kecil sekali pada suatu garis arus dengan luas penampang melintang/tegak lurus arah aliran sebesar dA dan panjangnya adalah ds di arah garis arus. arus. Gaya Gaya--gaya yang bekerja pada sisisisi-sisi filamen dan gaya berat filamen merupakan jumlah gaya gaya yang bekerja terhadap filamen tersebut. tersebut. Di arah aliran (arah s) jumlah gaya gaya--gaya yang bekerja adalah :
s
dz
P.dA
θ
ρ.g.dA.ds
Gambar 2.1 2 1 Uraian gayagaya- gaya yang bekerja pada filamen kecil sekali pada suatu garis arus Dari gambar tersebut dapat diturunkan persamaan sebagai berikut : ∂p ⎛ ⎞ F s = p . dA − ⎜ p + ds ⎟ dA − ρ g . dA . ds . cos θ ∂s ⎝ ⎠
Fs
∂p = − dA . ds − ρ g . dA . ds . cos θ ∂s
Menurut Hukum Newton : F = m.a Dimana: F = jumlah gaya gaya yang bekerja pada d suatu t b benda. d m = massa benda. a = percepatan gerak benda. Dalam hal filamen pada gambar di atas : ∂p F = − dA.ds − ρg .dA.ds. cos θ ∂s
m = ρ .dA.ds ∂V a = ∂t
, dimana V=kecepatan
(2.1) (2.2) (2.3)
Karena kecepatan V merupakan fungsi dari tempat (s) dan waktu (t), atau dalam suatu persamaan dinyatakan dalam V = f (s,t), maka: ∂V ∂V dt dV = ds + ∂s ∂t dV dt
∂ V ds ∂ V dt ∂V ∂V = + = a =V + ∂ s dt ∂ t dt ∂s ∂t
Apabila Pers Pers..(2.1), ) (2.2), ) dan (2.3) digabung maka diperoleh persamaan sebagai berikut berikut::
∂p ⎛ ∂V ∂V ⎞ − dA.ds − ρg .dA.ds. cos θ = ρ .dA.ds⎜V + ⎟ ∂s ⎝ ∂s ∂t ⎠
dan apabila persamaan tersebut di atas dibagi i i dengan ρ dA dA..ds, akan menjadi menjadi: j i: −
1 ∂p ∂V ∂V − g . cos θ = V + ∂s ∂t ρ ∂s
(2 4) (2.4)
dari gambar (2.1) dapat dilihat bahwa dz ∂z , jadi persamaan (2.4) menjadi cos θ = = ds ∂s −
1 ∂p ∂z ∂V ∂V − g −V − =0 ρ ∂s ∂s ∂s ∂t
Untuk aliran tetap yaitu aliran yang tidak berubah menurut waktu maka semua penurunan (deferensiasi) terhadap waktu menjadi j sama dengan g nol, sehingga gg p persamaan tersebut di atas menjadi: −
∂z ∂V 1 ∂p − g −V =0 ∂s ∂s ρ ∂s
(2.5)
Kemudian karena perubahan hanya terhadap tempat, tempat maka Pers Pers.(2.5) (2 5) dapat diubah menjadi: 1 dp dz ∂V ∂V + g +V =0 ρ ds ds ∂s
(2.6)
Pers..(2.6) disebut Persamaan gerak dari Euler. Pers
Pers.(2.6) Pers (2 6) tersebut diatas adalah persamaan dasar dari Euler yang kemudian apabila g menjadi: j diintegrasikan V2 + gz + = C (konstan) , atau dapat dinyatakan ρ 2 pula sebagai berikut : p
p V2 +z+ =H ρg 2g
atau biasanya ditulis sebagai berikut:
p V2 z+ + = H ρg 2 g
= Konstan
(2 7) (2.7)
Dimana : i i lletak k di k d diukur darii d datum z = tinggi (tinggi potensial) dalam ft atau m. p = tinggi tekanan (tinggi hidraulik) ρg dalam ft atau m. V2 2g
= tinggi kecepatan dalam ft atau m.
H = tinggi energi dalam ft atau m. Pers.2.7 disebut Persamaan Bernoulli. Dalam hal ini tinggi energi dapat dinyatakan sebagai energi tiap satuan berat. Setiap suku dari Pers.(2.7) tersebut di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
Suku pertama adalah energi potensial tiap satuan massa. massa W
z
Datum W
Gambar 2.2. Sket definisi energi potensial
Dari sket definisi seperti pada Gb.2.2 tersebut di atas dapat dijelaskan bahwa “jumlah kerja” yang diperlukan di l k untuk t k mengangkat benda seberat W Newton ke jarak z dari datum adalah Wz. Karena jumlah massa benda tersebut g kg, g maka adala ρ = W/g besarnya energi potensial adalah:
W .z Nm = gz W g kg
Suku kedua adalah kerja aliran atau energi aliran tiap satuan waktu. k Kerja j aliran adalah jumlah kerja netto yang dilakukan oleh elemen cairan pada benda di sekitarnya pada saat cairan mengalir Misalnya mengalir. suatu aliran air yang menggerakkan b li baling b baling li suatu turbine (lihat Gb.2.3) seperti sepe t be berikut ut ini.
H
Turbin
Gambar 2.3. Sket definisi aliran yang mengenai balingbalingbaling suatu turbin
Baling-baling turbin bergerak/berputar Karena adanya y aliran y yang g menggerakkannya gg y dan membuat putaran (torque) pada porosnya. Kerja yang dilakukan dalam hal ini adalah sebesar:
p.dA.ds
B Besarnya k j tiap kerja ti satuan t massa adalah d l h:
p.dA.ds p = = energi aliran ρ .dA.ds ρ dimana: dimana: p = tekanan t k rotor t dA = luas bidang tekan ds = jarak dari pusat gaya sampai sumbu rotor
Suku ketiga diinterpertasikan sebagai berikut : Energi kinetik dari suatu pertikel dari suatu massa adalah : δmV 2 2
Untuk mengungkapkannya dalam satuan massa maka harga tersebut dibagi δm, sehingga menjadi: δmV 2 V 2 = 2δm 2
Penggunaan Hukum P H k Bernoulli antara dua titik pada satu garis arus adalah sebagai berikut:
p1 V1 p2 V2 z1 + + = z2 + + ρg 2 g ρg 2 g = tetap (constant)
(2 8) (2.8)
Penerapan Hukum Bernoulli pada suatu t aliran li saluran l tterbuka b k yang g sederhana dapat dilihat pada contoh sebagai berikut berik t (lihat Gb. Gb 2.4). 2 4)
H1
z1=0
V2 1 2g
V2 2 2g
p 1 ρ .g
p 2 . ρg
Δz
z2
H1=H2
Datum
Gambar 2.4. Penampang p g memanjang j g suatu aliran melalui suatu dasar saluran yang menanjak
Apabila aliran dari penampang 1 ke penampang 2 tidak menyebabkan kehilangan energi maka tinggi energi di penampang 1 (H1) sama dengan tinggi energi di penampang 2 (H2). Dalam hal ini penerapan Hukum Bernoulli menghasilkan persamaan : 2
2
p1 V1 p2 V2 H1 = z1 + + = z2 + + = H2 ρg 2 g ρg 2 g
(2.9)
Karena adanya kenaikan elevasi dasar saluran l sebesar b Δz maka k penampang aliran li di penampang 2 menjadi lebih kecil daripada penampang 1. 1
Dengan demikian maka kecepatan aliran di penampang 2 menjadi j di llebih bih b besar daripada kecepatan aliran di penampang 1 (lihat hukum kontinuitas). 1. kontinuitas) Ini berarti tinggi kecepatan di penampang 2 lebih besar daripada tinggi kecepatan di penampang 1.
⎛ V2 2 V12 ⎞ ⎜ ⎟ 〉 ⎜ 2g 2g ⎟ ⎝ ⎠ dan oleh karena itu permukaan air di penampang 2 lebih rendah daripada permukaan air di penampang 1.
Penurunan gerak dari Euler yang dil j k dilanjutkan d dengan penurunan persamaan Bernoulli mengambil asumsi bahwa cairan tidak berkekentalan, sehingga tidak ada kehilangan energi karena geseran yang diperhitungkan di hi k d dalam l penurunan tersebut. Oleh karena itu Hukum Bernoulli hanya berlaku dalam batas: ((1). ) Cairan tidak berkekentalan (tidak ada geseran), (2). Tidak ada kehilangan energi. (3). Persamaan berlaku hanya sepanjang garis arus.
Hukum pertama dari termodinamika mengatakan bahwa untuk sembarang system yang diketahui, perubahan energi (ΔE) sama dengan selisih antara panas yang dipindahkan (ditransfer) ke system (Q) dan kerja yang dilakukan oleh sistem ke sekitarnya (W) dalam suatu interval waktu tertentu.
Mengacu pada prinsip energi tersebut jumlah energi total dari system adalah jumlah dari energi potensial, potensial energi kinetik, dan energi internal (molekuler). Dalam aplikasi hydraulik, nilai energi seringkali dikonversikan ke energi tiap satuan berat yang menghasilkan tinggi energi g y yang g mempunyai p y satuan panjang. Dengan menggunakan ekuvalensi panjang tersebut para praktisi teknik hydraulik akan mempunyai feeling lebih baik pada perilaku il k d darii system. t
Bilamana menggunakan ekuvalensi panjang tersebut maka energi dinyatakan dalam tingginya (head). Tinggi energi pada sembarang titik dalam suatu system hydraulik selalu dinyatakan dalam tiga bagian yaitu: - Ti Tinggii letak l k (elevation l i h head d) z - Tinggi Tekanan (pressure head) p/γ - Tinggi Kecepatan (velocity head) V2/2g
Dimana:
z p γ
V
= elevasi lokasi yang ditinjau (ft atau m)) (f = tekanan (lbs/ft2 atau N/m2) = berat jjenis (lbs/ft3 atau N/m3) = kecepatan ( ft/s atau m/s)
Disamping elevation head, pressure head, dan velocity head, dimungkinkan terdapat pula energi yang ditambahkan ke dalam system t ((seperti ti pompa)) d dan/atau / t energii yang diambil dari system ( karena geseran atau gangguan lain). lain) Perubahan dalam energi disebut tambahan atau kehilangan energi. energi Perbedaan besarnya energi antara dua titik di dalam system,dinyatakan system dinyatakan dalam Hukum Energi sebagai berikut:
p1
2
2
V1 p2 V2 z1 + + + H G = z2 + + + HL γ 2g γ 2g
((2.10))
Dimana:
z = elevasi lokasi yang ditinjau ft atau m) p = tekanan ((lbs/ft2 atau N/m2) γ
= berat jenis (lbs/ft3 atau N/m3)
V = kecepatan ( ft/s atau m/s) g = percepatan gravitasi (ft/s2 atau m/s2) HG= tambahan tinggi energi(ft atau m) [karena kerja pompa] HL = Kehilangan tinggi energi (ft atau m) [akibat geseran geseran,perubahan perubahan penampang aliran,kerja turbin]
Tinggii Hydraulik Ti H dr lik atau t Tinggi Ti i Tekanan Tk ( Hydraulic y Grade G ) Tinggi hydraulik (hydraulic grade) adalah jumlah dari tinggi letak (z) dan tinggi tekanan( p/γ ). Untuk aliran saluran terbuka, tinggi tekanan adalah elevasi permukaan air (karena tekanan di permukaan adalah sama dengan g nol/ diukur terhadap tekanan atmosfer). Apabila elevasi tersebut di gambar di disepanjang j permukaan k saluran l akan k didapat garis tekanan (hydraulic grade line), ) atau HGL. HGL
Tinggi Energi ( Energy Grade ) Tinggi energi (energy grade) adalah jumlah d i ti dari tinggii lletak, t k ti tinggii ttekanan k d dan ti tinggii kecepatan atau tinggi hydraulik ditambah tinggi kecepatan (V2/2g). Ini adalah elevasi dimana air akan naik dalam kolom Pipa Pitot yang diletakkan di dalam aliran ( suatu alat yang sama d dengan alat l t yang di disebut b t piezometer). Apabila digambarkan sepanjang aliran maka akan didapat garis energi (energy grade line), atau EGL. Pada suatu danau atau waduk (reservoir) dimana kecepatan aliran sama dengan nol maka garis energi berimpit dengan garis tekanan ( EGL sama dengan HGL). HGL)
Kehilangan Energi ( Energy Losses ) Tinggi kehilangan energi (HL) di dalam suatu system merupakan kombinasi dari beberapa faktor. Kehilangan utama adalah karena geseran sepanjang aliran baik antara partikel-partikel cairan selama bergerak maupun antara cairan dengan lapisan padat d t yang membatasinya. b t i Y Yang k kedua d adalah karena turbulensi atau gangguan gangguan gangguanlokal pada aliran.
Penampang memanjang dari suatu aliran dan letak garis energi dan garis tekanan serta kehilangan energi antara dua penampang dari prinsip energi dapat dilihat pada Gb. Gb 2 2.5 5 sebagai berikut:
V2 1 2g
V2 2 2g
HL
p 1 γ
p 2
1
γ
2 z1
z2 Datum
Gambar 2.5. Prinsip energi
Contoh Soal 2.1 : Dengan melihat gambar definisi seperti di bawah ini (Gb.2.6) buktikan bahwa debit aliran teoritis untuk aliran saluran terbuka dapat dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut: Q = A2
2 g (Δy − h f )
1 − ( A2 A1 )
2
V
2
1
2g
y
1 =
p
1 ρ .g
ΔH=hf V
2
Δy
2
2g
y
p
2 =
2 ρ .g
Datum
Gambar 2.6. Sket definisi persamaan energi antara dua penampang di suatu penampang memanjang j aliran li
Apabila persamaan energi diterapkan pada aliran dalam volume kontrol (control volume) antara penampang 1 sampai penampang 2 maka didapat persamaan sebagai berikut : 2
2
p1 V1 p2 V2 z1 + + = z2 + + + hf ρg 2 g ρg 2 g
atau ⎛ V1 V2 p ⎞ ⎛ p ⎞ − = −⎜⎜ z 2 + 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ z1 + 1 ⎟⎟ + h f 2g 2g γ ⎠ ⎝ γ ⎠ ⎝ 2
2
(i)
apabila : ⎛ p2 ⎞ ⎛ p1 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ z1 + ⎟⎟ = −Δy ⎜⎜ z 2 + ρg ⎠ ⎝ ρg ⎠ ⎝
= penurunan (selisih) tinggi antara permukaan air di penampang 1 dan penampang 2. 2 maka k pers (i) menjadi j di : 2
2
V1 V2 − = Δy + h f 2g 2g
(ii)
Dengan menggunakan Hukum kontinuitas didapat p hubungan g antara V1 dan V2 sebagai berikut : Q = A1V1 = A2V2 A2 V1 = V2 A1
(iii)
Apabila Pers (iii) dimasukkan ke dalam Pers (ii) didapat persamaan sebagai berikut : ⎛ A2 ⎞ ⎜⎜ V2 ⎟⎟ 2 ⎝ A1 ⎠ − V2 = −Δy + hf 2g 2g
atau ⎡⎛ A ⎞ 2 ⎤V 2 ⎢ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1 ⎥ 1 = Δ y + h f A ⎥⎦ 2 g ⎣⎢ ⎝ 1 ⎠
(i ) (iv)
Karena Q/A2 Pers (iv) menjadi : ⎡⎛ A ⎞ 2 ⎤ Q 2 ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥ = −Δy + h f 2 ⎢⎣⎝ A1 ⎠ ⎥⎦ 2 g A2
atau
(v)
2 gA2 (Δy − h f ) 2
Q = 2
(1 − ( A
2
Q = A2
A1 )
2
)
2 g (Δ y − h f
1 − ( A2 A1 )
(terbukti)
)
2
(vi)
Dari persamaan (vi) dapat dilihat bahwa debit aliran Q dapat dihitung apabila luas penampang, selisih tinggi permukaan antara hulu (penampang 1) dan hilir (penampang 2), dan selisih tinggi energi antara hulu dan hilir diketahui. Bagaimana apabila luas penampang 1 sama dengan luas penampang 2. Diskusikan hal ini pada kuliah yang akan datang.
Contoh Soal 2 2.2 2: Suatu saluran terbuka mempunyai penampang persegi empat dengan lebar B1 = 2 m dan kedalaman air sebesar y1 = 2,40 , m,, mengalirkan g air sebesar: Q = 11,52 m3/s. Pada muaranya air mengalir ke saluran berikutnya yang mempunyai elevasi lebih rendah melalui suatu “got got miring”(shute) seperti tampak pada gambar berikut ini :
V12 2g p
1
y =ρ 1 .g
ΔH
V22
z1
2g
Datum
p y = 2 2 ρ.g
Gambar 2.7. Sket penampang memanjang aliran melalui got miring (contoh soal)
1)) Apabila g got miring g tersebut dan saluran kedua
yang ada di hilirnya mempunyai lebar yang sama dengan saluran pertama, dan diharapkan k d l kedalaman air i di saluran l k kedua d adalah d l h y2 dengan kecepatan aliran V2 = 9,60 m/s, serta tidak terjadi kehilangan energi energi, maka berapa perbedaan elevasi dasar saluran antara saluran pertama dan saluran kedua (z1=?).
2)) Apabila p besarnya y kehilangan g energi g akibat
gerseran dan belokan-belokan di sepanjang got miring diperhitungkan sama dengan 0,50 V12/2g /2 m , maka k b berapa b besar perbedaan b d elevasi l i dasar saluran pertama dan kedua tersebut (z1=?). =?)
1) Tidak ada kehilangan energi - Karena K tidak tid k ada d kehilangan k hil energi maka dapat digunakan Hukum Bernoulli. - Penggunaan Hukum Bernoulli antara penampang 1 dan penampang 2 (lihat Gb Gb. 2.7) 2 7) p p V − V1 V − V1 z1 + z 2 = 2 − 1 + 2 = y2 − y1 + 2 ρg ρg 2g 2g 2
2
2
2
2
2
p V p V z1 + 1 + 1 = z 2 + 2 + 2 ρg 2 g ρg 2 g
(i)
Q 11,52 m 3 det V1 = = 2,4 m det = 2 A1 2 × 2,4m
Q 11,52 m 3 det A2 = = = 1,2m 2 V2 9,6 m det d t
A2 1,2m 2 y2 = = = 0,6m B 2m
Kembali ke pers (i) 9 ,6 2 − 2 , 4 2 z 1 − z 2 = 0 , 60 − 2 , 4 + = 2 ,6 m 2 × 9 ,8
Apabila datumnya diambil pada dasar saluran hilir dimana z2 = 0, maka z1=2,6 m dari datum.
2)Bila ada kehilangan energi Karena ada kehilangan energi maka yang digunakan adalah Hukum Energi. 2
2
p V p V z1 + 1 + 1 = z 2 + 2 + 2 + ΔH ρg 2 g ρg 2 g
atau : p2 p1 V2 − V1 z1 + z 2 = − + + ΔH ρg ρg 2g 2
2
Q 11,52 m 3 det V1 = = = 2,4 m det 2 A1 2 × 2,4 m
V2 0,5 × 2,4 2 ΔH = 0,5 = = 0,147 m 2g 2 × 9,8
Q 11 , 52 m 3 det A2 = = = 1, 2 m 2 V2 9 , 6 m det
y2
A2 1, 2 m = = B 2m
2
= 0 ,6 m
9 ,6 2 − 2 , 4 2 Δ z = z1 − z 2 = 0,6 − 0, 24 + + 0,147 2 × 9,8 = 2,747 m
1.Suatu saluran terbuka berpenampang persegi empat mengalirkan air dengan kecepatan 2,4 m/det dan kedalaman 1,2 m ke suatu saluran lain y yang g lebih rendah melalui suatu got miring. Kedalaman air di saluran hilir adalah 0 6 m dan 0,6 d kecepatannya k t 1 1,2 2 m/det. /d t Apabila kehilangn energi diabaikan berapa beda tinggi antara dasar saluran tersebut dan dasar saluran hilir. 2 Apabila dari saluran ke got miring dan 2.Apabila dari got miring ke saluran hilir dari soal no 1 terdapat kehilangan energi masing-masing sebesar 0,30 V12/2g maka g gambar g garis energi g p pada aliran tersebut.
y Persamaan gerak dari Euler yang
diturunkan dari ketetapan energi disepanjang garis arus menghasilkan hukum Bernoulli. y Hukum Bernoulli berlaku disepanjang
garis arus untuk cairan tidak berkekentalan dan tidak ada kehilangan energi.
y Tinggi energi adalah energi tiap satuan
berat.
y Tinggi gg energi g total terdiri dari jjumlah
tinggi letak, tinggi tekanan dan tinggi kecepatan. y Energi yang dihasilkan dari selisih
tinggi letak disebut energi potensial. potensial Energi yang dihasilkan dari perbedaan tinggi gg kecepatan p disebut energi g potensial. Energi yang dihasilkan dari perbedaan tekanan disebut energi aliran (internal energy). ) y Kehilangan energi dapat diakibatkan
oleh geseran, perubahan penampang saluran kerja j pompa p p atau kerja j turbin.
