SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 T-6
Penurunan Persamaan Perpetuitas dan Anuitas Budi Frensidy Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Indonsia
Abstrak— Mahasiswa bisnis dan akuntansi, debitor bank, dan investor memerlukan persamaan-persamaan matematika keuangan untuk menghitung nilai sekarang atau nilai akan datang dari perpetuitas dan anuitas. Semua utang dengan pelunasan secara angsuran dan skedulnya memerlukan konsep anuitas nilai sekarang (PV). Apakah itu kredit pemilikan rumah (KPR), kredit pemilikan apartemen (KPA), kredit multi guna, atau utang leasing. Dalam akuntansi, menghitung amortisasi agio atau disagio obligasi juga berhubungan dengan konsep anuitas nilai sekarang (PV). Sementara konsep perpetuitas digunakan investor untuk valuasi seperti valuasi saham, properti, dan usaha. Terakhir, konsep anuitas nilai akan datang (FV) banyak diterapkan untuk perencanaan keuangan seperti penyusunan sinking fund atau untuk akumulasi dana untuk pensiun, biaya pendidikan anak, dan lainnya. Dengan manipulasi matematika, kita dapat menurunkan semua persamaan untuk perpetuitas dan anuitas yang biasa digunakan dari persamaan dasar. Kata kunci: Anuitas, Nilai akan datang, Nilai sekarang, Perpetuitas, Persamaan dasar.
I.
PERSAMAAN DASAR
Ada banyak variasi anuitas dan perpetuitas dalam bisnis dan akuntansi (Frensidy, 2010). Beberapa di antaranya adalah persamaan nilai sekarang (PV) untuk anuitas & perpetuitas biasa, anuitas & perpetuitas di muka, anuitas & perpetuitas ditunda, dan anuitas & perpetuitas bertumbuh. Selain itu, masih ada persamaan nilai akan datang untuk anuitas biasa, anuitas di muka, dan anuitas bertumbuh. Mengingat ada belasan persamaan nilai sekarang dan nilai akan datang untuk anuitas dan perpetuitas ini, mahasiswa bisnis dan praktisi keuangan memandang perlu menghafal persamaan-persamaan tersebut. Dengan matematika keuangan, usaha menghafal ini sejatinya tidak diperlukan. Seperti matematika lainnya, dengan manipulasi sederhana dan hanya bermodalkan persamaan dasar, kita dapat menurunkan semua persamaan anuitas dan perpetuitas yang ada. Persamaan dasar yang diperlukan dalam matematika keuangan adalah persamaan yang dikembangkan Irving Fisher sejak tahun 1930-an (Fisher, 1930) untuk menghitung nilai sekarang (PV) dari sebuah nilai akan datang (FV) pada periode n dengan menggunakan tingkat diskonto i.
FV PV (1 i) n sehingga PV
FV FV (1 i) n n (1 i)
Contoh 1 (Menghitung Present Value) Seorang karyawan bermaksud membeli produk investasi untuk biaya pendidikan yang bernilai Rp150.000.000 pada tahun ke-8. Jika return investasi tersebut adalah 6% per tahun, berapakah dana yang harus ia investasikan saat ini? Jawab: FV = Rp150.000.000 n = 8 i = 6%
PV FV (1 i) n PV = Rp150.000.000 (1+0,06)-8
MT 31
ISBN. 978-602-73403-1-2
PV = Rp94.111.855,7
Contoh 2 (Menghitung Future Value) Pak Hadi menginvestasikan uang senilai Rp200.000.000 pada sebuah bank yang memberikan suku bunga bersih 7% per tahun selama 10 tahun. Jika suku bunga tersebut tidak berubah selama periode investasi, berapakah jumlah uang Pak Hadi pada akhir periode investasi? Jawab: PV = Rp200.000.000 i = 7% n = 10
FV PV (1 i) n FV = Rp200.000.000 (1+0,07)10 FV = Rp393.430.271,5 II.
PEMBAHASAN
A. Perpetuitas Perpetuitas adalah rangkaian arus kas sebesar A yang terus menerus dari periode 1 (atau 1 periode lagi) hingga periode tak hingga dengan interval waktu yang sama, dan dapat digambarkan sebagai berikut:
0
A
A
A
A
A
1
2
3
4
∞
Nilai sekarang atau PV dari perpetuitas di atas (disebut juga perpetuitas biasa) adalah:
PV
A A A A 2 3 (1 i) (1 i) (1 i) (1 i)
Ini adalah deret geometri dengan faktor pengali atau rasio r =
(1)
1 . 1 i
Jika Persamaan (1) di atas kita
kalikan dengan (1/faktor pengali) atau (1+i) di kedua ruas kiri dan kanan, kita akan mendapatkan Persamaan (2) sebagai berikut:
PV (1 i) A
A A A 2 (1 i) (1 i) (1 i)
(2)
Jika Persamaan (2) dikurangi dengan Persamaan (1), maka akan diperoleh hasil sebagai berikut. PV (1+i) – PV = A PV (1+i – 1) = A PV (i) = A
PV
A i
(3)
Inilah persamaan present value untuk perpetuitas biasa. Contoh 3 (Perpetuitas Biasa) Sebuah produk investasi menawarkan imbal hasil sebesar Rp10.000.000 per tahun seumur hidup. Jika suku bunga diasumsikan tetap sebesar 6% per tahun, berapakah nilai sekarang dari investasi tersebut?
MT 32
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
Jawab: A i
= Rp10.000.000 = 6%
PV
A i
Rp10.000.000 6%
PV =
PV = Rp166.666.666,7 B. Anuitas Arus kas dalam perpetuitas dibayarkan atau diterima terus-menerus mulai periode 1 hingga periode tak hingga (∞). Jika periode arus kas ternyata terbatas, katakan mulai periode 1 hingga periode n atau selama n kali, kita menyebutnya dengan anuitas. Dengan kata lain, anuitas, atau biasa disebut anuitas biasa, adalah rangkaian arus kas sebesar A dengan interval waktu yang sama misalnya bulanan atau tahunan mulai dari periode 1 hingga periode n. Anuitas biasa sejatinya adalah selisih dua perpetuitas yaitu perpetuitas biasa seperti yang dijelaskan di atas dan perpetuitas ditunda yaitu perpetuitas yang dimulai pada periode n+1. Oleh karena itu, persamaan untuk anuitas biasa dapat diturunkan sebagai selisih dua perpetuitas di atas yaitu perpetuitas 1 dan perpetuitas 2. Perpetuitas 1 merupakan perpetuitas biasa.
0
A
A
A
A
A
1
2
N
N+1
∞
Sebagaimana hasil yang diturunkan di atas, nilai sekarang
PV
A (Persamaan 3). i
Perpetuitas 2 merupakan perpetuitas ditunda yaitu perpetuitas yang arus kasnya dimulai pada periode n+1 sampai periode ∞. Hingga periode n, tidak ada arus kas dan dapat digambarkan sebagai berikut.
0
1
Dengan PVn =
2
N
A
A
N+1
∞
A A i , nilai sekarang (PV) pada periode 0 atau PV0 = i (1 i ) n
(4)
Jika Perpetuitas 1 dikurangi Perpetuitas 2, kita akan memperoleh anuitas dengan arus kas A mulai dari periode 1 hingga periode n.
0
A
A
A
A
1
2
3
N
Untuk mendapatkan persamaan untuk nilai sekarang (PV) dari anuitas di atas, kita akan mengurangi Persamaan (3) dengan Persamaan (4). Karenanya, nilai sekarang dari anuitas biasa adalah:
MT 33
ISBN. 978-602-73403-1-2
A A i – i (1 i ) n
PV =
A 1 1 i (1 i) n A -n PV= 1-(1+i) i PV =
(
)
(5)
Contoh 4 (Perpetuitas Ditunda) Sebuah produk investasi menawarkan anuitas sebesar Rp10.000.000 per tahun seumur hidup, yang dimulai dari tahun ke–5. Jika imbal hasil yang diharapkan diasumsikan tetap sebesar 6% per tahun, berapakah nilai sekarang dari investasi tersebut? Jawab: A = Rp10.000.000 i = 6% n+1 = 5, dengan demikian n = 4
A i PV = (1 i ) n Rp10.000.000 6% PV = (1 6%) 4 PV = Rp132.015.610,5 Contoh 5 (Present Value untuk Anuitas Biasa) Berapakah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp10.000.000 yang dimulai dari tahun ke–1 sampai dengan tahun ke–4, jika imbal hasil yang diharapkan selama periode tersebut adalah 6%? Jawab: A i n
= Rp10.000.000 = 6% = 4
PV = PV =
(
)
A 1-(1+i)-n i Rp10.000.000 -4 1- (1+ 6%) 6%
(
)
PV = Rp34.651.056,1 Nilai sebesar Rp34.651.056,1 ini sama dengan selisih dari Contoh Soal 3 dan 4 (Rp166.666.666,7 – Rp132.015.610,5). Hal ini menunjukkan bahwa anuitas biasa dapat diperoleh dari selisih perpetuitas biasa dan perpetuitas ditunda. Sementara untuk memperoleh persamaan anuitas untuk nilai akan datang (future value) diberikan nilai sekarang, kita akan menggunakan persamaan dasar. FV =
A PV (1 i) n = 1 (1 i) n (1 i) n i
MT 34
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
A (1 i) n 1 i
FV =
(6)
Contoh 6 (Future Value untuk Anuitas Biasa) Wira menyisihkan dari penghasilannya Rp1.000.000 per bulan selama 25 tahun untuk bekal pensiunnya. Jika return yang diperolehnya adalah 6% p.a., berapakah nilai investasinya pada akhir tahun ke–25? Jawab: A
= Rp1.000.000
6% 12
i
=
n
= 25 tahun x 12 bulan = 300 bulan
FV = FV =
= 0,5%
A (1 i) n 1 i Rp1.000.000 300 (1+ 0, 5%) -1 0, 5%
(
)
FV = Rp692.993.962,4 C. Perpetuitas Bertumbuh Perpetuitas bertumbuh berbeda dari perpetuitas biasa dalam hal adanya pertumbuhan sebesar g setiap periode yang tidak ada dalam perpetuitas biasa atau g = 0 pada perpetuitas biasa. Karenanya, jika rangkaian arus kas dalam perpetuitas biasa adalah sama besar yaitu A; dalam perpetuitas bertumbuh, arus kas ini bertumbuh yaitu mulai dari A satu periode lagi menjadi A(1+g) pada periode kedua, A(1+g)2 pada periode ketiga, dan seterusnya. Rangkaian arus kas dalam perpetuitas bertumbuh dapat digambarkan sebagai berikut.
A 0
1
A(1+g) A(1+g)2 2
A(1+g)n-1 A(1+g)n N
3
N+1
A(1+g)
∞ –1
∞
Nilai sekarang atau present value dari perpetuitas bertumbuh dapat diperoleh dari manipulasi matematika menggunakan dua persamaan sebagai berikut. Persamaan berikut merupakan nilai sekarang (PV) dari rangkaian arus kas sebuah perpetuitas bertumbuh.
PV=
A A(1 g ) A(1 g ) 2 A(1 g ) 1 (1 i) (1 i) 2 (1 i) 3 (1 i)
(7)
1 g . Faktor pembeda antara nilai suku 1 i 1 g pertama dan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga, dan seterusnya adalah . Jika 1 i 1 g Persamaan (7) di atas dikalikan dengan faktor pembeda ini yaitu di kedua ruasnya yaitu kiri dan 1 i Ini adalah sebuah deret geometri dengan rasio pengali
kanan, akan diperoleh persamaan berikut.
MT 35
ISBN. 978-602-73403-1-2
A(1 g ) A(1 g ) 2 A(1 g ) 1 g = (1 i) 2 (1 i) 3 (1 i) 1 i
PV
(8)
Jika Persamaan (7) dikurangi dengan Persamaan (8), akan diperoleh hasil sebagai berikut.
1 g 1 i 1 g PV 1 1 i (1 i) (1 g ) PV 1 i i g PV 1 i PV – PV
= = = =
A (1 i ) A (1 i ) A (1 i ) A (1 i )
PV (i g )
=
A
PV
=
A (i g )
(9)
Ini adalah persamaan nilai sekarang untuk perpetuitas bertumbuh. Contoh 7 (Perpetuitas Bertumbuh) Sebuah investasi menawarkan arus kas sebesar Rp20.000.000 tahun depan yang akan meningkat 5% per tahun untuk seumur hidu[. Jika tingkat diskonto yang relevan adalah 7% per tahun, berapakah nilai sekarang investasi tersebut? Jawab: A g i
= Rp20.000.000 = 5% = 7%
PV =
A (i g )
PV =
Rp20.000.000 7%- 5%
PV = Rp1.000.000.000 D. Anuitas Bertumbuh Berbeda dengan perpetuitas bertumbuh dengan periode hingga tak terhingga, periode dalam anuitas bertumbuh terbatas yaitu hanya sampai periode n. Sama seperti persamaan anuitas biasa yang merupakan selisih dari perpetuitas biasa dikurangi perpetuitas ditunda, persamaan untuk anuitas bertumbuh juga dapat diperoleh dari pengurangan perpetuitas bertumbuh ditunda dari perpetuitas bertumbuh biasa. Perpetuitas bertumbuh biasa mempunyai arus kas seperti di bawah ini.
MT 36
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
0
A(1+g)n-1 A(1+g)n
A(1+g) A(1+g)2
A 1
2
N
3
A(1+g) ∞
N+1
Sebagaimana sudah diturunkan di atas, nilai sekarangnya atau PV =
∞ –1
A (Persamaan 9). (i g )
Sementara perpetuitas bertumbuh yang ditunda selama n periode atau perpetuitas yang dimulai dari periode n+1 dapat digambarkan dan dihitung nilai sekarang pada periode n (PVn) sebagai berikut.
A(1+g)n 0
1
2
N
3
N+1
A(1+g)
∞ –1
∞
Untuk mendapatkan nilai sekarang (PV) pada periode 0, kita kembali menggunakan persamaan dasar
A(1 g ) n (i g ) Sehingga PV0 = (1 i ) n
(10)
Jika dua rangkaian arus kas di atas kita kurangi, maka akan diperoleh rangkaian arus kas sebagai berikut.
0
A
A(1+g)
A(1+g)2
1
2
3
A(1+g)n-1 N
Nilai sekarang dari anuitas bertumbuh dengan rangkaian arus kas seperti di atas adalah dengan menghitung selisih kedua persamaannya yaitu Persamaan (9) – Persamaan (10).
A(1 g ) n A (i g ) PV = – (i g ) (1 i ) n
A (i g )
PV=
(1 g ) n 1 (1 i ) n
(11) Contoh 8 (Perpetuitas Bertumbuh Ditunda) Sebuah investasi menawarkan arus kas mulai dari Rp20.000.000 tahun depan yang meningkat 5% per tahun untuk seumur hidup. Jika tingkat diskonto yang relevan adalah 7% per tahun, berapakah nilai sekarang investasi tersebut? Jawab: A n+1 g i
= = = =
Rp20.000.000 5, dengan demikian n = 4 5% 7%
MT 37
ISBN. 978-602-73403-1-2
A(1 g ) n (i g ) (1 i ) n
PV =
Rp20.000.000 (1+ 5%)4 (7%- 5%) (1+ 7%)4
PV =
PV = Rp927.303.898,3 Contoh 9 (Present Value Anuitas Bertumbuh) Berapakah nilai sekarang dari arus kas Rp20.000.000 pada tahun ke–1 yang meningkat 5% per tahun sampai dengan tahun ke–4, jika tingkat diskonto yang relevan adalah 7%? Jawab: A n g i
= = = =
Rp20.000.000 4 5% 7%
(1 g ) n 1 (1 i ) n Rp20.000.000 æ (1+ 5%)4 ö PV = ç1÷ (7% - 5%) è (1+ 7%)4 ø PV =
A (i g )
PV = Rp72.696.101,7 Nilai sebesar Rp72.696.101,7 ini sama dengan selisih dari Contoh Soal 7 dan 8 (Rp1.000.000.000– Rp927.303.898,3). Hal ini menunjukkan bahwa anuitas bertumbuh dapat diperoleh dari selisih perpetuitas bertumbuh biasa dan perpetuitas bertumbuh ditunda. Sementara untuk mendapatkan persamaan nilai akan datang dari anuitas bertumbuh, kita kembali menggunakan persamaan dasar.
A (1 g ) n A 1 (1 i) n = FV = PV (1 i ) = n (1 i ) (i g ) (i g ) A FV= (1 i) n (1 g ) n (i g ) n
(1 i ) n (1 g ) n (1 i) n n (1 i) (12)
Contoh 10 (Future Value Anuitas Bertumbuh) Selama 10 tahun Anna akan menyisihkan penghasilannya untuk ditabung, mulai dari Rp24.000.000 tahun depan dengan pertumbuhan sesuai dengan peningkatan gaji tahunannya. Jika pertumbuhan gaji Anna sebesar 6% dan suku bunga relevan 8% per tahun, berapakah nilai tabungan Anna pada tahun ke–10? Jawab: A n g i
= = = =
Rp24.000.000 10 6% 8%
A (1 i) n (1 g ) n (i g ) Rp24.000.000 10 (1+ 8%)10 - (1+ 6%) FV = (8%- 6%) FV =
(
MT 38
)
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
FV = Rp441.692.760,9 E. Perpetuitas di Muka Variasi lain dari perpetuitas adalah perpetuitas di muka. Perpetuitas di muka berbeda dari perpetuitas biasa dalam hal periode untuk arus kas pertama. Dalam perpetuitas biasa, arus kas pertama ini terjadi pada periode 1, sedangkan dalam perpetuitas di muka, arus kas mulai periode 0 atau hari ini. Sementara periode untuk arus kas lainnya sama. Dengan demikian, perpetuitas di muka adalah perpetuitas biasa ditambah arus kas periode 0 sebesar A.
A
A
A
A
A
A
0
1
2
3
4
∞
PV Perpetuitas di Muka
PVDue
= PV Perpetuitas Biasa + A =
A A i
(13)
Contoh 11 (Perpetuitas di Muka) Sebuah perusahaan bermaksud menawarkan produk investasi yang memberikan arus kas sebesar Rp500.000 per bulan yang dimulai sejak dibelinya investasi tersebut. Jika return yang relevan diasumsikan 9% per tahun, berapakah harga wajar produk investasi tersebut? Jawab: A
= Rp500.000
i
=
PVDue =
9% = 0,75% 12 A A i Rp500.000 + Rp500.000 0, 75%
PVDue
=
PVDue
= Rp67.166.666,7
F. Anuitas di Muka Menggunakan analogi yang hampir sama seperti untuk perpetuitas di muka, kita juga dapat menurunkan persamaan nilai sekarang untuk anuitas di muka dari persamaan nilai sekarang anuitas biasa. Kedua anuitas ini mempunyai kesamaan dalam hal ada n kali arus kas sebesar A. Perbedaannya, dalam anuitas biasa, periode arus kas itu mulai periode 1 hingga periode n. Dalam anuitas di muka, periodenya mulai periode 0 atau hari ini hingga periode n–1. Anuitas biasa digambarkan sebagai berikut.
0
A
A
A
A
A
1
2
3
N-1
N
Anuitas di muka digambarkan sebagai berikut.
MT 39
ISBN. 978-602-73403-1-2
A
A
A
A
A
0
1
2
3
N-1
N
Dengan kata lain, perbedaan kedua anuitas hanyalah A pada periode n dalam anuitas biasa diganti dengan A pada periode 0 dalam anuitas di muka, sementara untuk (n-1) arus kas lainnya sama. Karenanya, persamaan nilai sekarang untuk anuitas di muka adalah: PVDue
= PVAnuitas biasa sampai periode n-1 + A
A 1 (1 i) n1 A i
PVDue =
(14)
Contoh 12 (Present Value Anuitas di Muka) Kayla bermaksud mengambil KPR dengan besar cicilan maksimal sebesar Rp5.000.000 per bulan yang dimulai pada saat tanda tangan perjanjian selama 10 tahun. Jika suku bunga diasumsikan tetap 12% per tahun, berapakah plafon pinjaman maksimal yang dapat diperoleh Kayla? Jawab: A
= Rp5.000.000
12% 12
i
=
= 1% per periode
n
= 10 tahun x 12 bulan = 120 bulan
A 1 (1 i) n1 A i Rp5.000.000 PV = 1- (1+1%)-120+1 + Rp5.000.000 1% PV =
(
)
PV = Rp351.987.636,3 Terakhir, kita juga dapat menurunkan persamaan nilai akan datang (FV) untuk anuitas di muka dari persamaan nilai akan datang untuk anuitas biasa dengan sedikit modifikasi. Mengingat arus kas pertama pada anuitas di muka adalah hari ini atau periode 0, maka nilai akan datang (FV) dalam persamaan anuitas biasa sudah tercapai pada periode n–1 (angsuran terakhir) dalam anuitas di muka. Gambar dari dua anuitas di atas adalah sebagai berikut. Anuitas Biasa
0
A
A
A
A
A
1
2
3
N-1
N
Anuitas di Muka
MT 40
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
A
A
A
A
A
FV=?
0
1
2
3
N-1
N
Berdasarkan pemahaman ini, jika diminta menghitung nilai akan datang (FV) pada periode n, kita cukup menambahkan bunga dalam periode terakhir yaitu FV(i). Dengan demikian, persamaan nilai akan datang (FV) untuk anuitas di muka adalah: FVDue
= FV (1+i)
FVDue =
A (1 i) n 1 (1 i) i
(15)
Contoh 13 (Future Value Anuitas di Muka) Rano ingin memiliki dana cadangan yang dapat digunakan saat pensiun. Untuk itu, Rano menyisihkan penghasilannya sebesar Rp750.000 per bulan dimulai hari ini, selama 20 tahun. Jika imbal hasil yang dapat diperolehnya adalah 9% p.a., berapakah nilai investasinya pada akhir tahun ke-20? Jawab: A
= Rp750.000
9% 12
i
=
n
= 20 tahun x 12 bulan = 240 bulan
A (1 i) n 1 (1 i) i Rp750.000 (1+ 0, 75%)240 -1) (1+ 0, 75%) = ( 0, 75%
FVDue= FVDue
= 0,75%
FVDue = Rp504.672.016,1 lain dari perpetuitas adalah perpetuitas di muka. Perpetuitas di muka berbeda dari perpetuitas biasa dalam hal periode untuk arus kas pertama. bertumbuh berbeda dari perpetuitas biasa dalam hal adanya pertumbuhan sebesar g setiap periode yang tidak ada dalam bertumbuh berbeda dari perpetuitas biasa dalam hal adanya pertumbuhan sebesar g setiap periode yang tidak ada kas dalam perpetuitas dibayarkan atau diterima terus-menerus mulai periode 1 hingga periode tak hingga (∞). Jika periode arus kas ternyata terbatas, katakan mulai periode 1 hingga periode n atau selama n kali, kita menyebutnya dengan anuitas. Dengan kata lain, anuitas, atau biasa disebut anuitas biasa, adalah rangkaian arus kas sebesar A dengan interval waktu yang sama misalnya bulanan atau tahunan mulai dari periode 1 hingga periode n.
III.
SIMPULAN
Persamaan-persamaan perpetuitas banyak digunakan untuk valuasi dan menghitung kebutuhan uang pensiun. Sedangkan persamaan-persamaan anuitas nilai sekarang (PV) diperlukan untuk urusan semua kredit yang dilunasi dengan angsuran termasuk penyusunan skedulnya. Sementara aplikasi persamaanpersamaan anuitas nilai akan datang adalah dalam perencanaan keuangan seperti penyusunan sinking fund dan akumulasi dana untuk tujuan keuangan tertentu.
MT 41
ISBN. 978-602-73403-1-2
Mahasiswa bisnis dan akuntansi serta praktisi keuangan hanya perlu menguasai persamaan dasar FV = PV (1+i)n untuk dapat menurunkan semua persamaan perpetuitas dan anuitas. Dengan manipulasi sederhana dan logika matematika keuangan, persamaan nilai sekarang untuk perpetuitas dan anuitas baik biasa, ditunda, di muka, dan bertumbuh dapat diperoleh. Jika persamaan nilai sekarang untuk anuitas biasa, anuitas bertumbuh, dan anuitas di muka sudah diperoleh, persamaan nilai akan datangnya dapat dengan mudah diturunkan dengan mengalikan faktor compounding (1+i)n sesuai persamaan dasar FV = PV (1+i)n.
DAFTAR PUSTAKA [1]
Frensidy, Budi, “Matematika Keuangan edisi 3 Revisi,” Penerbit Salemba Empat, 2010.
[2]
Fisher, Irving, “The Theory of Interest,” The Macmillan Company, 1930.
MT 42
