SEMESTER GENAP 2008/2009
TRANSFER MOMENTUM ALIRAN DALAM ANULUS Aliran dalam anulus adalah aliran di antara dua pipa yang segaris pusat. Jadi ada pipa besar dan ada pipa kecil. Pipa kecil berada dalam pipa besar. Ruang yang terbentuk oleh dua pipa ini disebut anulus. Pipa besar Pipa kecil
Ruang anulus
ROI RIO
ROI adalah jari-jari pipa luar bagian dalam. RIO adalah jari-jari pipa dalam bagian luar. Fluida mengalir di antara RIO dan ROI.
Untuk keperluan analisis aliran, kita tetapkan terlebih dahulu jari-jari pipa, yaitu ROI adalah jari-jari pipa luar bagian dalam. RIO adalah jari-jari pipa dalam bagian luar. Sketsa aliran fluidanya adalah seperti pada gambar berikut. Di sini fluida bergerak ke arah kanan (arah x positif).
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
44
SEMESTER GENAP 2008/2009
r
ROI
p1
Fluida: ρ , μ
p2
p1
Fluida: ρ , μ
p2
RIO
x
X=0
L
X=L
Untuk memudahkan analisis, sistem pada gambar di atas ini masih harus dijelaskan lebih lanjut dalam bentuk volume atur (Control Volume) agar kita bisa membuat neraca momentumnya. Gambarannya seperti berikut. Pipa luar Volume atur berbentuk gelang dengan ketebalan dr dan berjari-jarir r. Tekanan pada sisi yg menghadap pembaca sebesar p1 dan sebesar p2 pada sisi penampang yang menembus halaman ini.
Pipa dalam
∆r r
RIO
ROI
Fluida mengalir dari arah pembaca menuju ke arah belakang halaman ini.
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
45
SEMESTER GENAP 2008/2009
Analisis Terhadap Volume Atur Neraca Gaya: 1. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = 0 sebesar F1 = p1A; A = 2πr∆r Jadi F1 = p1[2πr∆r] 2. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = L sebesar F2 = -p2A; Jadi F2 = -p2[2πr∆r] 3. Ada gaya (viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaan dalam pada posisi r, yaitu:
[2
]
.
4. Ada Gaya (viskous) keluar dari elemen volume melalui permukaan luar pada posisi r+∆r, yaitu:
[2
∆
]
.
∆
5. Ada gaya (inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesar:
[2
∆
]
.
6. Ada momentum (gaya inersia) keluar pada penampang 2, (pada x = L), sebesar:
−[2 ays
∆
.
]
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
46
SEMESTER GENAP 2008/2009
Sekarang kita jumlahkan semua gaya: p1[2πr∆r] - p2[2πr∆r] + [2πrL. τ ]
- [2πrL. τ ]
+ [2πr∆rvx . ρvx ]
∆
- [2πr∆rvx . ρvx ]
= 0 (keadaan stedi)
Di sini suku ke-5 dan ke-6 saling meniadakan karena vx-nya sama (A sama). Sehingga kita peroleh:
p1[2πr∆r] - p2[2πr∆r] +[
.
] −[
.
]
.
] +∆ = 0
Atau:
[
.
]
−[
∆
=[2πr∆r] (p1-p2) Kita bagi dengan 2π∆rL
2π L rτrx |r+∆r – rτrx |r [2πr∆r](p1 − p2) = 2π∆rL 2π∆rL Kita peroleh:
rτrx |r+∆r – rτrx|r r (p1 − p2) = ∆r L
Kalau nilai ∆r diambil limitnya mendekati nol, maka suku sebelah kiri merupakan turunan pertama terhadap rτrx, yaitu:
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
47
SEMESTER GENAP 2008/2009
( dan ∆
=(
−
)=
∆
).
Atau:
(
)=
∆
Untuk memperoleh distribusi fluks momentum, persamaan ini kita ingtegralkan:
(
)=
∆
Kita peroleh:
∆ 1 = 2
+
atau
∆ = 2
+
Berapakah nilai C1 ?? Sayang sekali, tidak ada informasi sedikitpun tentang nilai fluksi momentum baik pada r = RIO maupun pada r = ROI. Namun masih bisa dimanipulasikan, bahwa pada posisi r tertentu terdapat kecepatan aliran yang maksimum, misalnya saja posisi yang dimaksud adalah pada jarak r = ξ ROI.
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
48
SEMESTER GENAP 2008/2009
∆r r r = ξ ROI
RIO
ROI
Pada jarak r = ξ ROI, fluksi momentumnya adalah nol. Sehingga, persamaan
=
∆ 2
+
dengan memasukkan r = ξ ROI, menjadi:
∆ 2
0=
ξ ROI
+
ξ ROI
Atau C1-nya adalah:
= − Dengan demikian:
∆ = 2 =
∆ (ξ ROI) 2
+
∆ ROI 2
−
∆ (ξ ROI) 2
−ξ
ROI
ROI Ingat bahwa ξ masih belum diketahui. Tujuan menggantikan konstanta integrasi C1 dengan ξ semata-mata karena ξ memiliki arti fisis yang cukup bermakna. ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
49
SEMESTER GENAP 2008/2009
Terapkan hukum Newton tentang viskositas:
= − maka:
=
−∆
ROI
2
−ξ
2
ROI
ROI
Atau:
=
−∆
ROI
2
ROI
−ξ
2
ROI
Integrasikan:
=
−∆
ROI
−ξ
2
2
ROI
ROI
Diperoleh:
=
−∆
2
ROI
4
ROI
− 2ξ 2 ROI ln
+ C2
Atau:
=
=
−∆
ROI
4
−∆ 4
ROI
2
2
ROI 2
2
ROI
2
− 2ξ 2 ln
− 2ξ 2 ln
+ C2
ROI
+
3
(*)
Untuk menentukan ξ dan C3, kita pergunakan syarat batas, yaitu: Pada r = RIO , Vx = 0 r = ROI , Vx = 0
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
50
SEMESTER GENAP 2008/2009
Masukkan ke pers (*) dan kita peroleh dua persamaan serentak (simultan), yaitu:
0= 0=
ROI 2
∆
RIO ROI
ROI 2
∆
ROI ROI
− 2ξ ln
RIO
− 2ξ ln
ROI
ROI
ROI
+ +
Atau:
0=
RIO
0=
ROI
ROI
ROI
− 2ξ ln
RIO
− 2ξ ln
ROI
+
ROI
+
ROI
Dikurangi dan didapat:
0=
RIO
− 1 − 2ξ ln
ROI
RIO
− 1 = 2ξ ln
ROI
=
2ξ
Dan dengan memasukkan nilai 2ξ kita dapatkan untuk C3:
0=
ays
RIO ROI
− 2ξ ln
RIO ROI
RIO ROI
ln
RIO ROI
RIO ROI
−1 RIO ROI
tersebut ke salah satu persamaan batas tsb,
+
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
51
SEMESTER GENAP 2008/2009
RIO
0=
RIO
0=
RIO
ROI
ROI
− −
ROI
ln
RIO ROI
RIO
RIO
+
ROI
+1+
ROI
Sehingga
= −1 Kemudian masukkan
=
ξ
RIO ROI
−1
2 ln
RIO ROI
kepersamaan fluksi momentum ini :
=
−∆ = 2
−∆ 2
ROI
−ξ
ROI
ROI
−
ROI
RIO ROI
2 ln
ROI
−1
ROI
RIO ROI
Untuk profil kecepatan, masukkan nilai
2ξ
=
RIO ROI
ln
−1 RIO ROI
dan
= −1 ke dalam persamaan ini:
=
−∆ 4
ROI
2
2
ROI
− 2ξ 2 ln
ROI
+
3
Diperoleh: ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
52
SEMESTER GENAP 2008/2009
=
−∆
ROI
RIO 2
2
2
4
ROI
−
ROI
ln
−1
RIO
ln
ROI
−1
ROI
Dengan batasan:
RIO ≤ r ≤ ROI Gambar berikut adalah plot ∆
ROI
2
= 100 satuan ;
vs RIO ROI
untuk nilai-nilai:
= 0,4 ; atau RIO = 4 satuan
dan ROI = 10 satuan. 20 18 16
Kecepatan, Vx
14 12 10 8 6 4 2 0 0
2
4 6 8 Jarak dari pusat pipa, r
10
12
Kecepatan maksimum terjadi pada r = ξ ROI; yaitu:
ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
53
SEMESTER GENAP 2008/2009
= ξR
=
0,4 − 1 . 10 = 2 ln 0,4
=
−1
R R
2 ln
2
= ξR
2
R R
. ROI
−0,84 . 10 = 6,77 satuan −1,833
yang kecepatan maksimumnya adalah: 18,436 satuan. Untuk menentukan kecepatan maksimum sebenarnya juga bisa diperoleh dengan terhadap
menurunkan satu kali
=
−∆ 4
ROI
dari persamaan: RIO 2
2
2
ROI
ROI
−
ln
−1
RIO
ln
ROI
−1
ROI
hingga
=0 yaitu pada :
= ξR Dengan
ξ=
R R
2 ln
2
−1
R R
Ternyata kecepatan maksimum tidak berada di tengahtengah anulus. ays
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
54
SEMESTER GENAP 2008/2009
Sekarang perhatikan sekali lagi persamaan profil kecepatan yang sudah kita peroleh:
=
−∆
ROI
RIO 2
2
2
4
ROI
ROI
−
ln
−1 ln
RIO
−1
ROI
ROI
atau
∆
=
ROI
2
2
1−
4
RIO 2 ROI
+ ROI
ln
−1 ln
RIO
ROI
ROI
atau
∆
=
ROI
2
2
1−
4
ROI
atau
=
∆ 4
ROI
(ट)2 − 1 + ln ln(ट) 2
2
1−
ROI
1−ट + ln 1 ln
ट= Maka jika menjadi:
ays
ट
mendeka
2
ट
dengan
ROI
ROI
RIO ROI
nol, persamaan profil kecepatannya
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
55
SEMESTER GENAP 2008/2009
=
∆
ROI
2
2
1−
4
ROI
yang sama saja dengan profil kecepatan dalam suatu pipa berjari-jari R sebagaimana dapat dilihat pada halaman 38 (Handout No.04), yaitu:
=
∆ 4
1−
=====================
Hingga tahap ini, untuk aliran dalam anulus kita sudah memperoleh:
Profil Shear Stress: =
−∆ 2
ROI
ट
−
ROI
2 ln
−1
ट
ROI
Profil Kecepatan: =
∆ 4
ROI
2
2
1−
ROI
1 − (ट)2 + ln 1 ln
ट
ROI
Kecepatan Maksimum terjadi pada = ξR dengan ξ=
(ट)
ट= ays
( ट)
dan
RIO ROI
HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05
56
