PENERAPAN PERSAMAAN VERHULST UNTUK MENGHITUNG MAHASISWA AKTIF UNIVERSITAS

PENERAPAN PERSAMAAN VERHULST UNTUK MENGHITUNG MAHASISWA AKTIF UNIVERSITAS Rojali1 ABSTRACT To know population of active students in a university is very important because this matter assists the management in preparing facilities, resources and others. This study focuses on calculating the population of active students majoring in Information System in a university by using Verhulst equation. Result of calculation indicates that the number of active students taking Information System as major will reach around 3661 or more in the year 2007. Keywords: Verhulst equation, population dynamics, active students

ABSTRAK Mengetahui populasi jumlah mahasiswa aktif suatu Universitas menjadi penting karena dengan diketahuinya hal tersebut dapat membantu manajemen dalam hal penyediaan fasilitas, sumber daya, dan lainnya. Artikel membahas perhitungan populasi jumlah mahasiswa aktif jurusan sistem informasi suatu universitas menggunakan persamaan Verhulst. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa jumlah mahasiswa aktif jurusan tersebut akan menuju kestabilan sekitar 3661 mahasiswa pada tahun 2007 atau lebih. Kata kunci: persamaan Verhulst, dinamika populasi, mahasiswa aktif

1

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara, Jl. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480, [email protected]

Penerapan Persamaan Verhulst … (Rojali)

149

PENDAHULUAN Pemakaian persamaan diferensial sudah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang aplikasi. Misalnya dalam bidang fisika untuk meneliti kecepatan gerak benda, kimia dalam proses peluruhan radiaktif, biologi dalam proses populasi bakteri, hewan dan lain sebagainya. Dalam makalah ini diuraikan penggunaan persamaan diferensial dalam dunia pendidikan untuk mengetahui populasi jumlah mahasiswa aktif. Untuk penyederhanaan model maka digunakan pemodelan dinamika populasi untuk mengetahui populasi mahasiswa aktif jurusan sistem informasi di suatu Universitas. Dengan diketahuinya populasi mahasiswa aktif jurusan ini maka setidaknya pengelola jurusan bisa mengambil langkah langkah kedepan untuk kemajuan jurusan, misalnya penyediaan fasilitas, sumberdaya dan lain sebagainya.

DINAMIKA POPULASI Pemodelan dinamika populasi memperlihatkan hubungan populasi dengan laju perubahan populasi dan parameter lainnya. Pada permasalah ini, perubahan populasi terjadi karena adanya individu yang lahir maupun yang mati. Misalnya populasi terjadi saat t = 0 ditulis sebagai P(t). Asumsi dasarnya adalah P(t) merupakan fungsi kontinu dari populasi sebenarnya. L(t) dan M(t) masing-masing menyatakan banyaknya individu yang lahir dan mati pada saat t. Tingkat kelahiran λ(t) dan tingkat kematian μ(t) adalah jumlah kelahiran dan kematian dalam satuan waktu dan satuan populasi. Secara matematis dinyatakan sebagai berikut

1 L(t + h) − L(t ) 1 dL = h → 0 P (t ) h P dt

λ (t ) = lim μ (t ) = lim h→0

Maka

1 M (t + h) − M (t ) 1 dM = P(t ) h P dt

P(t + h) − P(t ) h→0 h

Ρ1 (t ) = lim

⎛ [ L(t + h) − L(t )] − [ M (t + h) − M (t )] ⎞ dL dM − P1 (t ) = lim⎜ ⎟= h →0 h dt ⎝ ⎠ dt Dengan demikian

Ρ 1 ( t ) = [ λ ( t ) − μ ( t )] P ( t ). .. ………………………...................................…. Suku

(1)

P1 (t ) = λ (t ) − μ (t ) menyatakan laju perubahan populasi per individu populasi yang lazim P(t )

disebut tingkat pertumbuhan populasi, ditulis r(t) = λ(t) - μ(t). Model populasi yang paling sederhana terjadi bila tingkat kelahiran dan kematian keduanya tetap atau konstan sehingga

150

Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. 2 Juli 2008: 149-157

dP = [λ − μ ]P = rP. dt

P ( t ) = P0 e rt ..…………............………………........…….......…..

Sehingga

(2)

untuk model ini populasi tumbuh secara eksponensial. Maka model (2) ini disebut model pertumbuhan eksponensial. Sedangkan (1) disebut model atau persamaan populasi umum. Pada kenyataannya, tingkat kelahiran dan tingkat kematian, λ(t) dan μ(t), tidak diketahui, bahkan seringkali bergantung kepada P(t), fungsi yang justru sedang ditentukan. Maka, kemungkinan model populasi lainnya adalah model persamaan (1) dengan λ(t) dan μ(t) adalah fungsi dari P Jika λ(t) fungsi linear terhadap P(t), yaitu λ = λ0 + λ1P, dimana λ 0 , λ1 > 0. dan Bila μ = μ 0 + μ1 P maka diperoleh model dP = [( λ 0 + λ 1 P ) − ( μ 0 + μ 1 P )] P = kP ( D − P ) ...............................…….............………...... dt

dimana k = μ1 − λ1 dan D =

λ 0− μ 0 μ 1 − λ1

(3)

Misalnya λ 0 > μ 0 dan λ1 < μ1 sehingga D> 0.

Persamaan ini dinamakan persamaan Verhulst atau persamaan logistik. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel dP

∫ P( D − P) = ∫ kdt Jawabnya adalah

P (t ) =

DP0 P0 + ( D − P0 )e − kDt

…….……….................................................................

4)

dengan lim P (t ) = D dan P (0) = P0, t →∞

Populasi hasil dari persamaan ini tidak lagi tumbuh eksponensial seperti pada model (2). Bilangan D dapat diartikan sebagai daya dukung lingkungannya. Jika P0 > D, maka dari (3) didapat akibatnya P’ < 0. Maka P(t) turun menuju D. Sedangkan bila P0 < D , maka P(t) naik menuju D. Turunan kedua adalah

⎛ dP' ⎞ ⎟⎟ P' = (kD − 2kP)(kP( D − P)) ………..……….....…. P" (t ) = ⎜⎜ (5) ⎝ dp ⎠ D D < D, titik belok ini hanya Sehingga grafik P(t) mempunyai titik belok pada P = . Karena 2 2 D tecapai, yaitu pada terjadi bila grafik P naik menuju D, yaitu pada kasus P0 < D. Sesudah P(t) = 2 saat t = to maka p(t) akan menaik dengan laju menurun. Perhatikan gambar 1 ⎛ P0 ⎞ ⎟ ln⎜⎜ D − P0 ⎟⎠ ⎝ t0 = − kD


151

Gambar 1 Kestabilan populasi mahasiswa aktif dengan populasi berbeda

Terdapat fenomena yang berkaitan dengan kestabilan. Setiap solusi dengan P0 ≠ 0, secara asimptotik menuju nilai D, seakan-akan menjauhi nilai 0. Tapi bila Ρ0 = 0 , maka solusinya adalah P(t) = 0. Solusi P(t) = D disebut solusi stabil (secara asimptotik), titik D juga disebut titik stabil asimptotik sedangkan P(t) = 0 disebut solusi tidak stabil dan juga P0 = 0 disebut titik tidak stabil. Dari Gambar dapat pula terlihat bahwa untuk interval range (0,D/2) maka grafik akan naik dan cekung ke atas, sedangkan pada range interval (D/2,D) grafik akan naik dan cekung ke bawah, serta garfik akan turun cekung ke atas pada interval range [D,∝).

DATA DAN ANALISIS PENGUKURAN Berikut ini akan ditampilkan jumlah mahasiswa baru , lulus dan populasi mahasiswa aktif jurusan sistem informasi dari periode tahun ajaran 1995 hingga 2006 pada tabel 1 dan juga ditampilkan grafik ketiga data, dalam gambar L1 ,L2 dan L3.

152


Tabel 1 Data historis mahasiswa masuk, lulus dan populasi aktif 1995-2006 Tahun

Mahasiswa Baru

Mahasiswa Lulus

Mahasiswa Aktif

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

463 756 717 917 1230 1413 1051 937 774 649 709 789

124 241 400 271 222 238 608 518 1445 1528 3625 2184

4257 4442 4698 5864 7546 9135 9771 9785 9048 6258 6206 4985

Lulusan Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi 1995 - 2006

1500

Jum lah Mahasiswa

Jumlah M ahasiswa

Mahasiswa Masuk Jurusan Sistem Informasi 1995-2006

1000 500 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1

Tahun

3

5

7

9

11

Tahun

Gambar L2 : Grafik kelulusan mahasiswa

Gambar L1 : Grafik mahasiswa baru

J u m la h M a h a s is w a

Populasi Mahasiswa aktif Jurusan Sistem Informasi 1995-2006 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 1

3

5 7 9 Tahun

11

Gambar L3 : Grafik Populasi mahasiswa aktif

Pendekatan fungsi parabolis jumlah mahasiswa baru terhadap waktu dipergunakan teorema regresi kuadratis yang berformula

y = a + bx + cx 2


153

Dimana nilai a,b dan c dinyatakan dalam persamaan berikut :

∑ y = na + b∑ x + c∑ x ∑ xy = a∑ x + b∑ x + c∑ x ∑ x y = a ∑ x + b∑ x + c ∑ x 2

2

3

2

2

3

4

Sehingga dihasilkan 10405 = 12 A + 78 B + 650 C 67998 = 78 A + 650 B + 6084 C 544696 = 650 A + 6084 B + 60710 C Setelah diselesaikan diperoleh jawab A = 312.75 B =233 C=-17.73 Sehingga persamaan regresinya menjadi y = 312.75 + 233 x − 17.73x 2 Untuk menguji persamaan regresi tersebut bisa digunakan

∑ (Y - Y ) − ∑ (Y - Yˆ ) = ∑ (Y - Y )

2

2

R

2 y.x.x 2 ... x k

2

Harga-harga untuk menghitung

R y.x.x 2 ... x k

ˆ = 312.75 + 233 t - 17.73 t 2 Berdasarkan Y Tabel 3: Pengujian korelasi mahasiswa masuk terhadap tahun

(Y - Yˆ )

Y−Y

(Y − Y )

4227.6004

-404.08333

163283.34

48.17

2320.3489

-111.08333

12339.507

852.18

-135.18

18273.6324

-150.08333

22525.007

917

961.07

-44.07

1942.1649

49.916667

2491.6736

1230

1034.5

195.5

38220.25

362.91667

131708.51

1413

1072.47

340.53

115960.681

545.91667

298025.01

1051

1074.98

-23.98

575.0404

183.91667

33825.34

937

1042.03

-105.03

11031.3009

69.916667

4888.3403

774

973.62

-199.62

39848.1444

-93.083333

8664.5069

649

869.75

-220.75

48730.5625

-218.08333

47560.34

709

730.42

-21.42

458.8164

-158.08333

24990.34

789

555.63

233.37

54461.5569

-78.083333

6097.0069

Y

ˆ Y

463

528.02

-65.02

756

707.83

717

ˆ Y -Y

Total

2

336050.1

2

756398.9

R 2y.x.x 2 = 0.555724 sehingga R y.x.x 2 = 0.745

154


Berdasarkan dari ketiga grafik diatas maka apabila dilakukan pendekatan fungsi parabolis untuk ketiga fungsi diatas didapat fungsi sebagai berikut :

M(t) = 312.75 + 223 t - 17.73 t 2 dengan R y.x.x 2 = 0.745 dan Se = 516.93 L(t) = 502.27 - 233.42 t + 36.28 t 2 dengan R y.x.x 2 = 0.887 dan Se = 183.31 P(t) = 722.47 + 2256.14 t - 157.92 t 2 dengan R y.x.x 2 = 0.884 dan dan Se = 1024.27 Di mana M(t) adalah fungsi populasi mahasiswa masuk , L(t) fungsi populasi mahasiswa lulus dan P(t) fungsi populasi mahasiswa aktif.Untuk menghasilkan fungsi tingkat penambahan mahasiswa baru λ(t) dan tingkat kelulusan mahasiswa μ(t) dalam satuan waktu dan satuan populasi dinyatakan sbb: Tabel 4: Fungsi tingkat penambahan mahasiswa baru λ(t) dalam satuan waktu

dM dt

λ (t )

4257

-

-

756

4442

293

0.0659613

3

717

4698

-39

-0.0083014

4

917

5864

200

0.0341064

5

1230

7546

313

0.0414789

6

1413

9135

183

0.0200328

7

1051

9771

-362

-0.0370484

8

937

9785

-114

-0.0116505

9

774

9048

-163

-0.018015

10

649

6258

-125

-0.0199744

11

709

6206

60

0.0096681

12

789

4985

80

0.0160481

Tahun

λ

(t ) =

Sehingga dihasilkan 0.092305 326 186181

1 P

Masuk

Populasi

M

P

1

463

2

Δ M Δ t

= 11 a + 77738 b + 592191600 c = 77738 a + 592191600 b + 4,80341 x 1012 c = 592191600 a + 4,80341 x 1012 b + 4,08839x1016 c

diperoleh a = 0.0154 b = 0.000006 c = -9x10-10 sehingga λ (t ) = 0.0154 + 0.000006 P − 0.00000000009 P 2 Karena koefisen P 2 terlalu kecil maka didekati

λ (t ) = 0.0154 + 0.000006 P


155

dengan cara yang sama diperoleh μ ( t ) = -0.768 + 0.00022 P – 0.15 x 10-7 P2 Karena koefisien P2 terlalu kecil maka didekati μ (t ) = −0.768 + 0.00022 P , sehingga

dP dt dP dt dP dt dP dt

= [λ - μ ] P

[

]

= 0.0154 + 0.6 x 10 -5 P + 0.768- 0.00022 P P = [0.7843 - 0.000214 P ] P = 0.000214 P (3660.748 - P )

dengan k = 0.000214 dan D =3660.748 setelah diselesaikan. Sehingga penyelesaian persamaan 4 menjadi

P (t ) =

3661P0 P0 + (3661 − P0 )e −0.000214*3661*t

Dimana D = 3660,75 atau didekati menjadi 3661 mahasiswa dengan P0 = 4985 dan k = 0.000214. Penggambaran grafik populasi ini digambarkan dalam gambar 2 sebagai berikut.

Gambar 2 Grafik Populasi mahasiswa

Berdasarkan gambar diatas terlihat populasi aktif mahasiswa akan terjadi pada tahun 2015.

156


PENUTUP Populasi jumlah mahasiswa aktif Universitas Bina Nusantara Jurusan Sistem Informasi akan menuju kestabilan sekitar 3661 mahasiswa pada tahun 2015 atau lebih. Kemudian penulis menemukan beberapa saran yang kiranya dapat berguna yaitu data yang dikumpulkan lebih banyak, agar diperoleh grafik dan persamaan yang lebih baik dan kiranya perlu dilakukan pengujian pada model-model lain untuk membuktikan kebenaran hasilnya lebih baik.

DAFTAR PUSTAKA Chapra , S. C. dan Canale, R.,P. (1991) Metode Numerik Untuk Teknik. UIP.Jakarta. Kartono. (1994). Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset. Yogyakarta. Lindfield, G. & Penny, J. (1995). Numerical Methods Using MATLAB. Ellis Horwood. USA. Lukas, S. (1999). Penggunaan Persamaan Differensial Orde–1 Masalah Dinamika Populasi, Seminar penerapan matematika di FMIPA Universitas Bina Nusantara, Jakarta. Manurung, A. D. (1990). Teknik Peramalan Bisnis Dan Ekonomi. Rineka. Jakarta. Sudjana. (1992). Teknik Analisis Regresi Dan Korelasi. Tarsito. Bandung. Tarumingkeng, R. C. (1994) Dinamika Populasi. Pustaka Sinar Harapan. Jakarta.


157

PENERAPAN PERSAMAAN VERHULST UNTUK MENGHITUNG MAHASISWA AKTIF UNIVERSITAS

Recommend Documents