>s i de hoek die de as van het viaduct maakt met de as van de te kruisen richting.
Een hoek van 9 0 ° betekent dus een haakse hoek en dus een recht viaduct.
Figuur 2.2.1 - Bepaling hoek van scheefheid Als eerste zullen de modellen v a n 9 0 ° w o r d e n b e r e k e n d . Deze k u n n e n dan o n d e r l i n g w o r d e n vergeleken en dienen als basis v o o r de scheefstaande m o d e l l e n . Bij het uitvoeren van de b e r e k e n i n g zullen de overspanningen gelijk blijven en steeds alleen de scheefstand w o r d t gewijzigd. N a d a t de invloed van scheefstand op het m o m e n t e n v e r l o o p is o n d e r z o c h t , zal w o r d e n gekeken naar een m e t h o d e o m de w a p e n i n g s m o m e n t e n te bepalen en het w a p e n e n te vergemakkelijken. Dit laatste zal gebeuren d o o r net als in de utiliteitsbouw [NEN 6 7 2 0 ] het plaatveld op te delen in stroken en per strook de w a p e n i n g te bepalen. M e t behulp van een niet lineaire b e r e k e n i n g zal de uiterste grenstoestand en de bijbehorende belastingfactor w o r d e n b e p a a l d . Hierna zal n o g w o r d e n gekeken naar een manier o m het hele proces te automatiseren en de w a p e n i n g volgens een andere m e t h o d e te bepalen. Dit automatiseren is o n d e r andere bedoeld o m niet alleen b u i g e n d e m o m e n t e n , maar o o k m e m b r a a n k r a c h t e n mee te n e m e n bij het bepalen van de w a p e n i n g . In eerste instantie zal alleen w o r d e n gekeken naar b u i g e n d e m o m e n t e n . Z o d o e n d e k u n n e n de resultaten w o r d e n vergeleken met die volgens de [ N E N 6 7 2 0 ] . 2.3
Uitgangspunten
O m een goede indruk v a n d e invloed van scheefstand o p het m o m e n t e n v e r l o o p te krijgen, is het van b e l a n g dat deze niet w o r d t beinvloed d o o r andere o o r z a k e n d a n de scheefstand alleen. D o o r bij ieder m o d e l uit te gaan v a n dezelfde u i t g a n g s p u n t e n , k u n n e n deze invloeden zo g o e d mogelijk w o r d e n ondervangen.
7
2.4
Geometrie
In eerste instantie w o r d t v o o r de geometrie uitgegaan van de b r u g over het Wilhelminakanaal in rijksweg 5 0 nabij de plaats Son. Dit is een reeds o n t w o r p e n en g e b o u w d e constructie met een scheefstand van ± 7 9 ° . D o o r uit te gaan van een bestaande constructie h o e f t niet eerst een viaduct te w o r d e n gedimensioneerd en kan w o r d e n uitgegaan van realistische w a a r d e n . Hieronder w o r d t schematisch de geometrie van de constructie weer gegeven. 2.5
Schematisering van de constructie
I,
=
0,80 18,37 26,33 18,90
[m] [m] [m] [m]
r
a:
C
\
\
Figuur 2 . 5 . 1 - B o v e n a a n z i c h t i
i
i
mnm*m\ l
1
:i
! w
l
y4
HP Is
2
l
11
2
Figuur 2 . 5 . 2 - Zijaanzicht O p een aantal plaatsen zijn d o o r s n e d e n en aanzichten gemaakt. Deze zijn n o d i g v o o r de invoer van de geometrie. Hiermee w o r d t ook een indruk gekregen in het verloop van de geometrie. In het b o v e n - en zijaanzicht lijkt alles recht te lopen. Uit de d o o r s n e d e n en aanzichten blijkt dat er grote verschillen bestaan tussen de o p l e g g i n g e n (A - A ' , C - C ' ) en het veld (B - B')- V o o r a l de aansluiting tussen de t r a p e z i u m v o r m i g e d o o r s n e d e van het veld en die van het tussensteunpunt zorgt voor een verloop in z o w e l dwars als langsrichting. 18900 250
Figuur 2 . 5 . 3 - A a n z i c h t steunpunt
(A-A')
500 14620 18900 )|250 • 350
Figuur 2 . 5 . 4 - D o o r s n e d e veld ( B - B')
15900 18900 Figuur 2.5.5 - A a n z i c h t randbalk ( C - C ' )
J^600
8
2.6
Materialen
Naast de geometrie m o e t e n ook de toegepaste materialen en h u n eigenschappen b e k e n d zijn o m een b e r e k e n i n g te k u n n e n uitvoeren. De constructie w o r d t vervaardigd uit b e t o n . V o o r de w a p e n i n g w o r d t gebruik gemaakt van staal. Hierbij kan een onderscheid w o r d e n gemaakt tussen betonstaal en voorspanstaal. Gezien de ontwikkelingen o p materiaal gebied is deze omschrijving niet toereikend en zullen v o o r het rekenproces aanvullende eigenschapen n o d i g zijn. Hieronder staan de eigenschappen v o o r de g e n o e m d e en toegepaste materialen g e g e v e n . beton:
B65 E = 38500 [ N / m m ] 0 = 0,15 [-] p = 2500 [kg/m ] f „ = 39 [N/mm ] 2
3
2
staal: F e B 5 0 0 E= 2-10 [N/mm ] o = 0,2 [-] p = 7850 [kg/m ] f, = 4 3 5 [N/mm ] 5
2
3
2
voorspanstaal: F e P 1 8 6 0 E = 2- 1 0 [ N/mm ] i> = 0,2 [-] [kg/m ] p = 7850 f =1690 [N/mm ] 5
2
3
2
D
De hierboven omschreven eigenschappen geven een beperkt beeld van het werkelijke materiaalgedrag. Bij de uit te voeren niet lineaire berekening dienen de eigenschappen n a u w k e u r i g e r te w o r d e n o m s c h r e v e n . 2.7
Belasting
In eerste instantie bestaat de belasting uit het eigen g e w i c h t van de constructie. Bij beton constructies v o r m t dit meestal het grootste deel van de totale belasting. O m de belasting te c o m p e n s e r e n w o r d t o o k een tegengestelde belasting aangebracht met behulp van v o o r s p a n n i n g . O v e r i g e belastinggevallen zijn afhankelijk van de situatie en gebruikseisen. Deze zullen d a a r o m in eerste instantie a c h t e r w e g e w o r d e n gelaten. Een verdere u i t w e r k i n g van de belasting kan eventueel later w o r d e n uitgevoerd v o o r een verdere detaillering, maar zal waarschijnlijk w e i n i g m e e r w a a r d e opleveren. 2.7.7
eigen
gewicht
Bij het vergroten van de hoek van scheefstand (o» zal de overspanninglengte t o e n e m e n . O m dit effect tegen te gaan en d e belasting d o o r het eigen g e w i c h t gelijk te h o u d e n v o o r alle gevallen, w o r d t de o v e r s p a n n i n g aangepast. Naast de o v e r s p a n n i n g moet o o k de breedte w o r d e n aangepast o m hetzelfde ruimtelijk profiel te bieden aan het verkeer. M e t een zelfde dikte v o o r alle gevallen blijft hierdoor de i n h o u d en dus o o k de belasting v o o r alle gevallen gelijk. H i e r d o o r w o r d t het m o m e n t e n v e r l o o p niet beinvloed d o o r verschillen in belasting. Een bijkomend voordeel is dat er snel een globale controle kan plaatsvinden van de resultaten. De som van de reactiekrachten m o e t e n namelijk v o o r alle gevallen hetzelfde zijn.
5O80
75
70
66
60
55
60
46
h o e k (40 [graden]
Grafiek 2 . 7 . 1 - T o e n a m e van de o v e r s p a n n i n g 2.7.2
voorspanning
D o o r d a t de slankheid van de geometrie e r g h o o g is met een dikte van 6 0 0 [mm] en een h o o f d o v e r s p a n n i n g van ± 2 6 [m] ( 1 / 4 0 0 I), spreekt het v o o r zich dat er v o o r s p a n n i n g a a n w e z i g is. Deze v o r m t een belasting tegengesteld aan die van het eigen gewicht. A a n g e z i e n het hier voornamelijk gaat o m het bepalen van het m o m e n t v e r l o o p en de w a p e n i n g s m o m e n t e n zal de v o o r s p a n n i n g niet v o o r alle gevallen v o l l e d i g w o r d e n uitgewerkt. V o o r a l v o o r de scheve gevallen kan de v o o r s p a n n i n g grote invloed h e b b e n o p de krachtswerking en vergt een volledige u i t w e r k i n g v o o r die gevallen veel tijd. 2.8
Randvoorwaarden
Naast de eerder gestelde v o o r w a a r d e n aan de constructie en de geometrie w o r d t v o o r de o p l e g g i n g e n uit g e g a a n van starre o p l e g g i n g e n . Er zal geen sprake zijn van z o g e n a a m d e " p o w e r c o p l i n g " z o a l s in het uitgevoerde o n t w e r p [de Boer] en de studie v a n [Meijenburg]. W a n n e e r bij het bepalen van d e w a p e n i n g o o k de membraankrachten w o r d e n m e e g e n o m e n , zal tevens de invloed v a n deze v o r m van o n d e r s t e u n e n k u n n e n w o r d e n b e k e k e n . Keuzes met b e t r e k k i n g tot de r a n d v o o r w a a r d e n die w o r d e n gedaan tijdens het modelleren zullen in het betreffende h o o f d s t u k 3 M o d e l l e r e n w o r d e n toegelicht.
9
3
Modelleren
Het berekenen van een constructie kan op verschillende manieren w o r d e n uitgevoerd. V o o r een ligger b e r e k e n i n g en zelfs die van een plaat kan de berekening vaak met de hand w o r d e n uitgevoerd. O m een g r o o t aantal gevallen te bekijken z o u dit echter te veel tijd in beslag n e m e n . Een b e r e k e n i n g met behulp van een c o m p u t e r levert dan grote tijdwinst o p . T e g e n w o o r d i g bestaan er c o m p u t e r p r o g r a m m a ' s w a a r m e e c o m p l e x e constructies k u n n e n w o r d e n berekend. V o o r het modelleren zal d a a r o m van een p r o g r a m m a ( D I A N A ) gebruik w o r d e n gemaakt. De constructie zal w o r d e n gemodelleerd met behulp van de eindige elementen m e t h o d e . 3.1
Het programma
V o o r het modelleren van de constructie zal gebruik w o r d e n gemaakt van het p r o g r a m m a D I A N A (Displacement method AUMyser). Dit p r o g r a m m a is een eindig elementen m e t h o d e (EEM) pakket gebaseerd o p de verplaatsingsmethode en sinds 1 9 7 2 ontwikkeld d o o r T N O . Het p r o g r a m m a w o r d t niet alleen in Nederland gebruikt maar o o k in een g r o o t aantal andere landen wereldwijd. Zoals gebruikelijk bij software is het p r o g r a m m a steeds in o n t w i k k e l i n g . De huidige mogelijkheden van het p r o g r a m m a (versie 7.2) zijn echter ruim toereikend o m de te o n d e r z o e k e n gevallen te k u n n e n modelleren. Het modelleren is in een aantal stappen uitgevoerd. Hieronder staat omschreven h o e het modelleren is uitgevoerd. 3.2
Opbouw
Zoals eerder omschreven zullen eerst de modellen van 9 0 ° w o r d e n b e k e k e n . Gezien de o n b e k e n d h e i d met het p r o g r a m m a is het belangrijk o m in stappen tot het uiteindelijke m o d e l te k o m e n . D o o r een hierarchische o p b o u w toe te passen met v o l d o e n d e t e r u g k o p p e l i n g k u n n e n f o u t e n v o o r een g r o o t deel w o r d e n o n d e r v a n g e n en vaak makkelijker w o r d e n o p g e s p o o r d en opgelost. Hierbij m o e t bijvoorbeeld w o r d e n gedacht aan controles op de invoer van de geometrie, de belastingen en de uitgevoerde berekening. Als eerst zal daarom het liggermodel van 9 0 ° w o r d e n ingevoerd. Dit m o d e l is namelijk e e n v o u d i g te controleren met een handberekening. Hierna kan het plaatmodel van 9 0 ° w o r d e n ingevoerd en k u n n e n de resultaten w o r d e n vergeleken met die van het liggermodel. Indien beide modellen g o e d e resultaten opleveren kan w o r d e n b e g o n n e n met het modelleren van een scheve variant. A a n g e z i e n de o p b o u w van g r o o t b e l a n g is zullen de opzet van de t w e e modellen v o o r 9 0 ° eerst uitgebreid w o r d e n b e s p r o k e n . V a n de scheve modellen zal de nadruk voornamelijk liggen bij de resultaten. 3.3 3.3.1
Ligger 90 Invoer
geometrie
De geometrie van het viaduct verloopt in een aantal richtingen. Z o zijn niet alleen de d o o r s n e d e n bij het veld en het steunpunt t r a p e z i u m v o r m i g . De aansluiting van die t w e e d o o r s n e d e n o p elkaar verloopt ook geleidelijk. O m de constructie in te voeren dienen dan een g r o o t aantal d o o r s n e d e n te w o r d e n gedefinieerd o m het verloop van de geometrie g o e d te k u n n e n v o l g e n . V o o r de drie eerder a a n g e g e v e n d o o r s n e d e n en aanzichten vinden w e .
2
A [m ] IJm ] z[m] x
4
Randbalk 11,34 0,340 0,300
Veld 10,82 0,318 0,291
Tussensteunpunt 13,11 0,599 0,358
Tabel 3.3.1 - D o o r s n e d e g r o o t h e d e n v o o r m a a t g e v e n d e d o o r s n e d e n
Hierin is A , het oppervlak van de d o o r s n e d e , l het t r a a g h e i d s m o m e n t en z de afstand van het z w a a r t e p u n t tot de b o v e n k a n t van de d o o r s n e d e . V o o r het verlopende deel van de geometrie bij de o v e r g a n g van het veld en het tussensteunpunt z o u een g e m i d d e l d e d o o r s n e d e k u n n e n w o r d e n bepaald. Het p r o g r a m m a biedt echter o o k een andere mogelijkheid. Namelijk het w e r k e n m e t zones. y
10
Bij het invoeren van zones w o r d t de d o o r s n e d e ten opzichte van de neutrale lijn gedefinieerd d o o r het geven van t w e e coordinaten in het y-z-vlak van het element assenstelsel. De t w e e punten w o r d e n dan gespiegeld in de y as o m z o d o e n d e een d o o r s n e d e te v o r m e n . Alle eigenschappen van de gedefinieerde d o o r s n e d e n zoals g e w i c h t en buigstijfheid w o r d e n dan d o o r het p r o g r a m m a b e r e k e n d . De d o o r s n e d e kan zelfs verlopend over de elementlengte w o r d e n i n g e v o e r d . Deze optie is o n d e r andere n o d i g bij de o v e r g a n g v a n het veld naar het steunpunt. y A a n g e z i e n w e te maken h e b b e n met een t r a p e z i u m v o r m i g e d o o r s n e d e en de definitie plaatsvindt met t w e e p u n t e n in het element assenstelsel, kan bijvoorbeeld de d o o r s n e d e in het veld w o r d e n o p g e b o u w d uit t w e e zones. Figuur 3 . 3 . 1 - Z o n e indeling De zones dienen w e l g e k o p p e l d te w o r d e n aan een element. V o o r het maken van t w e e zones m o e t e n dus t w e e elementen w o r d e n ingevoerd en g e k o p p e l d . De t w e e elementen k u n n e n makkelijk w o r d e n ingevoerd op dezelfde piek d o o r dezelfde coordinaten te gebruiken en v o o r het koppelen bestaat een apart c o m m a n d o binnen D I A N A ("compos"). D o o r de k o p p e l i n g v o r m e n de t w e e zones een d o o r s n e d e . Bij de invoer van de zones dient er w e l op te w o r d e n gelet dat ze w o r d e n ingevoerd ten opzichte van het z w a a r t e p u n t van de gezamenlijke d o o r s n e d e . V o o r de drie d o o r s n e d e n vinden w e de v o l g e n d e w a a r d e n . V a n w e g e symmetrie redenen h o e f t slechts de helft van de constructie te w o r d e n g e m o d e l l e e r d . Dit bespaart invoer en rekentijd. D o o r de verminderde invoer w o r d t deze overzichtelijker en k u n n e n sneller aanpassingen w o r d e n gemaakt. De h o o f d o v e r s p a n n i n g w o r d t d a a r o m op de symmetrielijn d o o r g e s n e d e n en ter plaatse w o r d e n de r a n d v o o r w a a r d e n ingesteld. De rand kan daar in alle richtingen vrij b e w e g e n , alleen de rotatie o m de globale y-as w o r d t uitgeschakeld. In feite w o r d t op die piek een i n k l e m m i n g die kan transleren aangebracht. 3.3.2 Element keuze V o o r de berekening w o r d t gebruik gemaakt van een L 7 B E N elementen. Dit is een "class II straight 2 D b e a m element " m e t t w e e nodes. Binnen D I A N A w o r d e n drie klassen o n d e r s c h e i d e n . D e eerste klasse kan w o r d e n gebruikt v o o r lineaire en geometrisch niet lineaire b e r e k e n i n g e n . De t w e e d e kan daarnaast n o g w o r d e n gebruikt v o o r fysisch niet lineaire berekeningen en is een uitbreiding van het klasse I element. Klasse III is een z o g e n a a m d M i n d l i n b e a m element. Dit laatste type element is van een hogere o r d e en gebaseerd o p de M i n d l i n - R e i s s n e r theorie. D o o r d a t het element meer dan t w e e k n o p e n over zijn lengte heeft, kan hij een g e k r o m d verloop h e b b e n en is eveneens geschikt v o o r lineair elastische als fysisch -en geometrisch niet lineaire berekeningen. V o o r het uitvoeren van een liggerberekening z o u een klasse een element volstaan, alleen d o o r d a t gebruik w o r d t gemaakt van zones dient een klasse t w e e element te w o r d e n toegepast. D o o r d a t de constructie een recht verloop kent h o e f t geen gebruik te w o r d e n g e m a a k t van g e k r o m d e elementen en volstaat het straight element. De 2 D a a n d u i d i n g slaat o p het feit dat het element dan de vrijheid heeft o m te transleren in het elementen x-y-vlak. Het p r o g r a m m a bepaalt dan zelf de orientatie van het elementen assenstelsel aan de hand van de invoer. De z-as w o r d t dan gebruikt o m de orientatie in het globale assenstelsel te bepalen.
11
3.3.3
Voorspanning
M e t behulp van v o o r s p a n n i n g kan een tegengestelde belasting aan het eigen g e w i c h t w o r d e n aangebracht op de constructie. D o o r de v o o r s p a n kabel een g e k r o m d verloop te geven kan een k r o m m i n g s d r u k w o r d e n gecreeerd. W o r d t in het veld en bij het steunpunt de kabel excentrisch ten opzichte van de neutrale lijn gelegd, dan w o r d t een buigend m o m e n t gecreeerd. Het verloop van de kabel en de grootte van de kracht k u n n e n nu zo w o r d e n aangepast dat het buigend m o m e n t dat hierdoor ontstaat, tegengesteld is aan het buigend m o m e n t d o o r het eigen gewicht. Hiermee kan de belasting d o o r het eigen gewicht v o o r een g r o o t deel w o r d e n g e c o m p e n s e e r d . A a n g e z i e n bij b e t o n n e n constructies het eigen g e w i c h t een g r o o t deel van de totale belasting v o r m t , levert dit grote constructieve voordelen o p . H i e r d o o r w o r d t het mogelijk o m met slanke constructies te w e r k e n . De v o o r s p a n n i n g zal niet helemaal w o r d e n gedetailleerd, maar w e l globaal w o r d e n gedimensioneerd. O m geen buigende m o m e n t e n bij de uiteinden van de constructie te krijgen dient de v o o r s p a n n i n g zich daar ter h o o g t e van de neutrale lijn te bevinden. Ter plaatse van een g r o o t buigend m o m e n t bijvoorbeeld in het v e l d m i d d e n en bij het steunpunt, dient de v o o r s p a n n i n g zich zo ver mogelijk van de neutrale lijn te bevinden o m een zo g r o o t mogelijk tegengesteld buigend m o m e n t te creeren. D o o r de kabel in een p a r a b o o l v o r m te laten lopen w o r d t een gelijkmatige k r o m m i n g en dus ook een gelijkmatige opwaartse of neerwaartse kracht verkregen. Bij de steunpunten verloopt het m o m e n t sterk en ontstaat een piek. Het kabelverloop z o u bij het steunpunt een zeer sterke k r o m m i n g moeten hebben o m dit te c o m p e n s e r e n . V o o r de k r o m m i n g van de kabel geldt echter een minimale kromtestraal. Deze minimale kromtestraal en de meest excentrische ligging ten opzichte van de neutrale lijn bepalen het kabelverloop. M e t behulp van [Bouvy] kan het parabolisch verloop w o r d e n bepaald. Daarin staat omschreven h o e de t o p p a r a b o o l van het s t e u n p u n t kan w o r d e n aangesloten op de dalparabool van het veld. Het verloop bestaat uit een recht stuk, een dal parabool in het eerste v e l d , een top parabool bij het steunpunt en dan een dalparabool in het t w e e d e veld. De o o r s p r o n g van het assenstelsel bevindt zich in de o p l e g g i n g bij de randbalk. Dit verklaart ook de negatieve x-afstand bij het eerst punt. De eigenschappen die het verloop van de kabel bepalen zijn de maximale excentriciteit ten opzichte van de neutrale lijn en de kleinste kromtestraal die toegepast m a g w o r d e n . V o o r de maximale excentriciteit in het h o o f d v e l d w o r d t 1 6 6 [mm] a a n g e h o u d e n [de Boer] en v o o r de kleinste straal R = 2 8 [m] [Bouvy]. M e t behulp van deze eigenschappen kan het verloop w o r d e n bepaald. Dit levert de v o l g e n d e d w a n g p u n t e n op (tabel 3.3.2).
Deel Inleiding Randveld
Tussensteunpunt
Middenveld
nummer
Punt
1 2 2 3 4 4 5 6 6 7
begin eind begin midden eind begin midden eind begin midden eind
8
x-coordinaat [m] -0,800 2,688 2,688 9,752 16,815 16,815 18,286 19,757 19,757 25,646 31,535
y-coordinaat [m] 0,000 -0,091 -0,091 -0,131 0,117 0,117 0,160 0,126 0,126 -0,093 -0,166
recht
boog
boog
boog
Tabel 3.3.2 - d w a n g p u n t e n kabelverloop Dat in de w a a r d e n v o o r de x-coordinaat in de bovenstaande tabel niet de steunpunten zijn t e r u g te v i n d e n , heeft te maken met de invoer in het p r o g r a m m a en w o r d e n later toegelicht. M e t behulp van de in tabel 3.3.2 gegeven coordinaten kan nu het verloop w o r d e n w e e r g e g e v e n in een figuur.
12
Verloop van de voorspanning
Randveld
Afstand [m]
Figuur 3.3.2 - V e r l o o p van de v o o r s p a n n i n g samengesteld uit parabolen en inleiding Als het verloop is bepaald kan met behulp van de kracht en het aantal kabels de o p w a a r t s e kracht zo g o e d mogelijk w o r d e n aangepast aan dat van het eigen gewicht. V o o r het invoeren van het verloop in het p r o g r a m m a k u n n e n parabolen w o r d e n gebruikt. Deze w o r d e n gedefinieerd d o o r drie p u n t e n . Het p r o g r a m m a evalueert zelf het verloop van de parabool en plaatst de kabel in de elementen. De stijfheid van de kabel en het element v o r m e n dan samen de totale stijfheid. Hierbij is het van b e l a n g dat de horizontale afstanden tussen de ingevoerde p u n t e n van de parabool gelijk zijn aan elkaar. W o r d t het verschil in de horizontale afstanden te g r o o t dan kan het p r o g r a m m a het verloop niet meer exact bepalen en k u n n e n er fouten bij de evaluatie o p t r e d e n . D o o r het kabelverloop met behulp van vergelijkingen te bepalen k u n n e n op ieder p u n t de coordinaten w o r d e n bepaald. H i e r d o o r kan o o k r e k e n i n g w o r d e n g e h o u d e n met de horizontale afstand tussen de drie in te voeren p u n t e n . Zijn de horizontale afstanden tussen de drie p u n t e n v a n de parabool steeds exact gelijk dan treden geen f o u t e n op bij de evaluatie. Het basis kabel systeem en de hoeveelheid v o o r s p a n n i n g zijn in eerste instantie o v e r g e n o m e n uit het rapport [de Boer].
13
3.3.4
Controle
invoer en
Resultaten
M e t behulp van de grafische interface F E M G V k u n n e n makkelijk controles w o r d e n uitgevoerd o p d e invoer, zoals bijvoorbeeld de plaats en richting van de o p l e g g i n g e n o f het verloop van de z a k k i n g . A l s deze er allemaal g o e d uit zien kan w o r d e n b e g o n n e n met de berekening. Hieronder staan een zes tal controlles weergegeven. NB: •
De w e e r g e g e v e n k n o o p n u m m e r s zijn de plaatsen w a a r de uitvoer van de plaat vergeleken zal w o r d e n met die van de ligger.
•
V e r p l a a t s i n g d o o r de v o o r s p a n n i n g m o e t o n g e v e e r even g r o o t en tegengesteld zijn aan die d o o r het eigen g e w i c h t
~V—nr~—2ir
—3
lm
50
°64
M2
M2
M2
BE3
BE3
BE3
M1 BE2
39 M1 BE2
BE3
M2
M2
BE3
BE3 M1 BE2
M1 BE2
y
? r-
M1 BE2
M2 j
7
x
Figuur 3.3.3 - Plaats en richting van d e o p l e g g i n g e n en de r a n d v o o r w a a r d e n
V
Figuur 3.3.4 - M a t e r i a l e n en elementtype bij het tussensteunpunt
In figuur 3.3.3.is in groen de systeemlijn van de constructie a a n g e g e v e n . Hier is ook duidelijk het v e r l o o p bij het tussensteunpunt te zien (punt 3 9 ) . De zwarte s y m b o l e n geven de plaats en de richting van d e o p l e g g i n g weer. Bij p u n t 3 is de constructie in verticale (y) en horizontale (x) richting o p g e l e g d . H e t tussensteunpunt bij p u n t 3 9 levert alleen een verticale o n d e r s t e u n i n g . De rotatie b e p e r k i n g bij de symmetrielijn w o r d t bij p u n t 6 4 w e e r g e g e v e n d o o r het vierkantje. Figuur 3.3.4 geeft de verschillende materialen en element typen weer. De materialen w o r d e n a a n g e d u i d met M 1 en M 2 . Waarbij M 1 staat v o o r het beton en M 2 v o o r het voorspanstaal. De plaats van het steunpunt is t e r u g te vinden bij het p u n t 3 9 en de daar g e l d e n d e r a n d v o o r w a a r d e n . De a a n d u i d i n g e n BE2 en BE3 slaan o p het element type. De a f k o r t i n g staat v o o r Beam Element en het getal geeft het aantal k n o p e n a a n . Zoals bij de v o o r s p a n n i n g §3.3.3 b e s p r o k e n , w o r d e n d e b o g e n van d e v o o r s p a n n i n g met 3 p u n t e n gemodelleerd.
Modal: B A C K Q E L C I : Load Element EL MX G MZ Max/Kin values plotted: Ymax - 15E9 Ymin = - 8 0 9 E 7 Xmax = 32.3 Xmin = 0
Model: V E R S L A LC1:
Load case 1
Nodal D T X . . G D T Y Max/Min on model set: Max=
I
146E-2
,
\
Min = - 3E-1 Factor =
100
— —
i — i —
Variation along a line
—i •
—2^—— 1 —
Figuur 3.3.5 - Verticale verplaatsing (zakking) t.g.v. het eigen g e w i c h t
—
Figuur 3.3.6 - M o m e n t e n l i j n ( M ) t.g.v. d e eigen g e w i c h t belasting z
Figuur 3.3.5 geeft in het r o o d d e verticale verplaatsing van de constructie weer. De g r o e n e lijn is d e o n v e r v o r m d e systeemlijn. De n u m m e r s zijn van d e k n o p e n ter plaatse en geven aan w a a r de uitvoer w o r d t bepaald en later vergeleken m e t die van het plaatmodel. Daarnaast w o r d t in figuur 3.3.6 de m o m e n t e n lijn gegeven t.g.v. de eigen g e w i c h t belasting. Het verloop is zoals v e r w a c h t en w e v i n d e n een s t e u n p u n t m o m e n t van . 1 5 * 1 0 [Nm] en een m o m e n t in de h o o f d o v e r s p a n n i n g van - . 8 0 9 * 1 0 [ N m ] 8
7
14
Model: V E R S L A LC2: L o a d c a s e 2 Nodal D T X . . . . G D T Y Max/Min on model s< Max = 282E-1
Figuur 3.3.7 - Geometrie van de v o o r s p a n n i n g
Figuur 3.3.8 - Verticale verplaatsing t.g.v. de v o o r s p a n belasting
Het verloop van de geometrie van de v o o r s p a n n i n g w o r d t w e e r g e g e v e n in f i g u u r 3.3.7. Hierin is net als in f i g u u r 3.3.3 de systeemlijn van de constructie w e e r g e g e v e n . D o o r het verloop van de v o o r s p a n n i n g in verticale richtring op te rekken w o r d t het verloop beter w e e r g e g e v e n . Figuur 3.3.8 geeft de verplaatsing w e e r die optreedt d o o r de voorspanbelasting. A a n g e z i e n de belasting d o o r de v o o r s p a n n i n g o n g e v e e r even h o o g is als die van het eigen gewicht, moeten de verplaatsingen o o k o n g e v e e r even g r o o t zijn en hetzelfde verloop h e b b e n . De rode lijn geeft de v e r v o r m d e constructie w e e r en de groene de o n v e r v o r m d e . H o e w e l de figuren een g o e d beeld geven van het krachten v e r l o o p , w o r d e n hieronder n o g een aantal numerieke w a a r d e n g e g e v e n . In eerste instantie is gecontroleerd of de som van de reactiekrachten en die v a n de " s u m of l o a d s " overeen k o m e n met die van het eigen gewicht.
Model
^(reactiekrachten) [Nl S u m of loads [Nlj
| ligger 9 0
-8,76E-f06
-8.764E+06
Tabel 3 . 3 . 3 - C o n t r o l e van de reactiekrachten en s u m of loads t.g.v. de e.g belasting
Hieronder is v o o r de in de k n o p e n in de eerder w e e r g e g e v e n figuren (3.3.3 t / m 3.3.8) de verticale verplaatsing en het b u i g e n d e m o m e n t ter plaatse w e e r g e g e v e n . doorsnede
xfml
Dtv fml
M z [Nml
1
0.80
0.0000
8.900E+04
2
4,28
-0,0056
-3.977E+06
3
0,09
-0.0070
-4.228E+06
4
14,19
-0.0012
2.045E+O6
5
19,17
0.0000
1.496E+07
6
25.23
-0,0160
-1.397E406
7
32,34
-0,0300
-8.092E+06
Tabel 3.3.4 - Verticale verplaatsingen en b u i g e n d e m o m e n t e n v o o r Iigger90 t.g.v. de e.g.belasting 3.3.5
Handberekening
De g e v o n d e n w a a r d e n uit de berekening k u n n e n w o r d e n gecontroleerd met een h a n d b e r e k e n i n g (zie bijlage 1 ). M e t behulp van hoekveranderingsvergelijkingen (vergeet-me-nietjes) w o r d e n de onderstaande w a a r d e n g e v o n d e n . D e w a a r d e n k o m e n g o e d overeen.
I
| M o m e n t e n [kNm]
ligger 9 0 14960
handberekening 14237
verschil 5%
Tabel 3 . 3 . 5 - C o n t r o l e van de resultaten
15
3.4 3.4.7
Plaat 90 Invoer
geometrie
H o e w e l dezelfde geometrie w o r d t ingevoerd als bij het liggermodel gaat dit toch op een andere manier. Het grote verschil is dat er nu niet met een lijnvormige constructie w o r d t gewerkt, maar met en plaat. A a n de elementen in de plaat moet een geometriegrootheid v o o r de dikte w o r d e n t o e g e k e n d . M e t behulp van de grafische user interface F E M G V , kan het liggermodel w o r d e n gebruikt v o o r het creeren van het plaatmodel. Als namelijk de systeemlijn van het liggermodel voor dit geval in y - r i c h t i n g w o r d t g e k o p i e e r d , creeert het p r o g r a m m a automatisch een vlak. D o o r d a t w e te maken hebben met een vlak, ontstaat nu o o k een " s y s t e e m v l a k " in plaats van een systeemlijn. Bij de verlopende delen van de geometrie dient deze het verloop in het systeemvlak te v o l g e n . Hierdoor k o m t het systeemvlak o p s o m m i g e plekken hoger te liggen dan o p andere plaatsen. Dit is g o e d te zien in figuur 3.4.2. Bij de overstekken in het veld zal het systeemvlak in de d w a r s d o o r s n e d e o m h o o g lopen en bij de dikkere doorsnede bij het steunpunt zal in de langsrichting het systeemvlak iets zakken. Dit zakken was ook al te zien bij het liggermodel (figuur 3.3.7)
„ _ „ —
HI
MMI
~~
Figuur 3 . 4 . 1 - G e o m e t r i e o p g e d e e l d in vlakken In figuur 3.4.1 is een bovenaanzicht gegeven van de verschillende oppervlakken. De verlopende geometrie bij het tussensteunpunt en de overstekken in het veld w o r d t d o o r meerdere vlakken g e v o l g d . De vlakken samen v o r m e n het systeemvlak en k u n n e n w o r d e n opgedeeld in elementen. A a n dit systeemvlak van elementen w o r d t de geometrie van de verschillende doorsneden o p g e h a n g e n (zie figuur 3.4.2 & 3.4.3).
Figuur 3 . 4 . 2 - Randgeometrie bij het veld met de dikte per vlak in [mm]
Figuur 3.4.3 - Randgeometrie bij het tussensteunpunt met de dikte per vlak in [mm]
In de bovenstaande figuren is een schematische d o o r s n e d e van de geometrie in het veld en bij het tussensteunpunt g e g e v e n . De getallen geven de dikte aan en de stippellijn in het m i d d e n geeft het verloop van het systeemvlak weer. De verticale lijnen bij het overstek k o m e n overeen met de o p d e l i n g in vlakken zoals w e die in figuur 3.4.1 zien. D o o r d a t systeemvlak en geometrie o p andere plaatsen w o r d e n ingevoerd en ze een zeer sterke s a m e n h a n g hebben dient de invoer g o e d te w o r d e n gecontroleerd. Eventuele afwijkingen k u n n e n w o r d e n g e v o n d e n d o o r de resultaten te vergelijken met die van het liggermodel (zie § 3 . 4 & §3.5). Er is v o o r g e k o z e n o m de x-as parallel te laten lopen met de lengte richting van het viaduct en de y-as met die van de breedte. De positieve z-as wijst daarmee naar b e n e d e n . H i e r d o o r vinden zakkingen van de constructie in positieve richting plaats. Dit is een gebruikelijke orientatie v a n het assenstelsel en levert z o d o e n d e een v e r t r o u w d beeld o p . 3.4.2
overgang
van overstek
veld in
eindbalk
Bij het l a n d h o o f d vindt een abrupte o v e r g a n g in de geometrie plaats. De t r a p e z i u m v o r m i g e d o o r s n e d e gaat daar namelijk over in een rechthoekige. De rechthoekige v o r m k o m t onder andere d o o r d a t zich daar de e i n d o p l e g g i n g bevindt. Bij het invoeren van het m o d e l is dat o p de v o l g e n d e manier g e b e u r d .
16
3.4.2.1
ligger 9 0
V o o r het liggermodel h o e f t alleen de systeem lijn te w o r d e n g e g e v e n . Hieraan kan dan de d o o r s n e d e van het viaduct w o r d e n g e k o p p e l d . Bij de abrupte o v e r g a n g van de trapezium v o r m ige d o o r s n e d e van het veld in de rechthoekige d o o r s n e d e van de eindbalk vindt er een s p r o n g plaats in de neutrale lijn. H o e w e l de v o r m van de t w e e d o o r s n e d e n e r g verschilt, ligt de neutrale lijn o p bijna gelijke h o o g t e (verschil = 8,9 [mm]). Dit verschil is verwaarloosbaar klein en is d a a r o m niet mee g e m o d e l l e e r d . 3.4.2.2
plaat 9 0
Bij het plaatmodel w o r d t de systeemlijn een systeemvlak. Het verloop m o e t over het hele plaatelement w o r d e n gegeven. Bij de o v e r g a n g in d o o r s n e d e van het l a n d h o o f d en het eerst veld ontstaat nu echter een niet verwaarloosbaar verschil. De doorsnede van het l a n d h o o f d is namelijk r e c h t h o e k i g en die van het veld is t r a p e z i u m v o r m i g . H o e w e l het z w a a r t e p u n t o n g e v e e r overeen k o m t ontstaan er grote verschillen bij de t o e l o p e n d e overstekken. Het systeemvlak in de rechthoekige d o o r s n e d e blijft g e w o o n op dezelfde h o o g t e liggen, maar die in de t r a p e z i u m v o r m loopt o p met de t o e l o p e n d e zijkant. |MODEL: C0N99 |
MODEL: C0N98
Figuur 3.4.4 - Systeemvlak (1) en uitvergroot aansluiting met de randbalk (2 & 3) inclusief s y m b o o l o p l e g g i n g (2) en k n o o p n u m m e r s (3) O m d e t w e e d o o r s n e d e n g o e d o p elkaar te laten aansluiten kan gebruik w o r d e n g e m a a k t v a n d e D I A N A tabel tyings. Dit is een tabel w a a r b i n n e n de relatieafhankelijkheid tussen k n o p e n 'TYINGS' kan w o r d e n gedefinieerd. Er w o r d t dan onderscheid gemaakt tussen master -en ECCENT TR 1 2 slave nodes waartussen een specifieke aansluiting kan w o r d e n o p g e g e v e n met 413 14 463 17 behulp van vrijheidsgraden. In dit geval zijn de beperkingen vrij e e n v o u d i g . De 430 15 d o o r s n e d e loopt g e w o o n d o o r , dus het is van b e l a n g dat de verschillende 512 36 nodes dezelfde verplaatsingen en rotaties o n d e r g a a n . Deze b e p e r k i n g blijft 245 225 gelijk v o o r alle andere gevallen van scheefstand. 278 226 228 222 3.4.3 Element keuze 348 223 Bij een ander soort m o d e l h o o r t een ander soort element. D I A N A biedt een EQUAL TR 3 RO 1 2 3 keuze uit een g r o o t aantal verschillende e l e m e n t e n . D o o r d a t er gekeken w o r d t 413 14 naar z o w e l buigende m o m e n t e n als normaalkrachten, kan geen gebruik w o r d e n 463 1 7 g e m a a k t van slechts een plate b e n d i n g element of alleen een plane stress 430 15 element. Binnen D I A N A z o u dan gebruik k u n n e n w o r d e n gemaakt van een 512 36 z o g e n a a m d flat shell element die een combinatie is van de t w e e eerder 245 225 g e n o e m d e element t y p e n . Een v o o r w a a r d e v o o r het toepassen v a n een flat 278 226 228 222 shell element is dat de dikte van het element klein m o e t zijn ten opzichte van de 348 223 breedte en lengte van het element. Hierdoor w o r d t het onmogelijk o m de v e r l o p e n d e delen met dit type element g o e d te modelleren. De geometrie verloopt dan namelijk over een kleine lengte en breedte. Hierdoor w o r d t de v e r h o u d i n g ten opzichte van de dikte groot.
Tabel 3.4.1 - D I A N A tabel Tyings
17
D a a r o m m o e t een shell element type w o r d e n toegepast met een geometrische t o e v o e g i n g van flat shell. Verder heeft het bovenaanzicht van de geometrie een rechte v o r m en hierdoor kan gebruik w o r d e n gemaakt van rechthoekige elementen. N a de keuze v o o r een rechthoekig curved shell element k o m e n er t w e e typen in a a n m e r k i n g ( C Q 4 0 S en C Q 4 0 L ) . De laatstgenoemde is een element dat is o p g e d e e l d in lagen die allemaal een afzonderlijke materiaaleigenschap m o g e n h e b b e n . Dit element w o r d t toegepast v o o r het modelleren van gelamineerde constructies. Hierbij kan gedacht w o r d e n aan gelamineerd h o u t of vezelversterkte kunststoffen. V o o r de uit te voeren b e r e k e n i n g is deze optie echter o v e r b o d i g . D a a r o m is uiteindelijk het C Q 4 0 S element gebruikt. 3.4.4
Voorspanning
Bij het liggermodel w e r d de v o o r s p a n n i n g als een bundel b e s c h o u w d . V o o r het plaatmodel k u n n e n de kabels w o r d e n ingevoerd volgens h u n werkelijke ligging. Het geometrisch verloop van de v o o r s p a n n i n g blijft hierbij hetzelfde, alleen w o r d t de ligging nu ook over de breedte i n g e v o e r d . De v o o r s p a n n i n g k o m t in het m i d d e n gedeelte van de d w a r s d o o r s n e d e te liggen (zie figuur 2.5.3 en 2.5.4). V o o r het veld is dit gedeelte 6 0 0 [mm]. In de t o e l o p e n d e zijkanten verliest de v o o r s p a n n i n g aan effectiviteit d o o r de geringere constructiehoogte en belasting die daar optreedt in de v o r m van eigen gewicht. D o o r het grotere overstek bij het steunpunt, k o m e n aan weerskanten de buitenste kabels in het overstek te l o p e n . D o o r d a t de kabels zich hier bovenin bevinden levert dit geen problemen op v o o r het v e r l o o p . De kabel k o m t niet buiten de constructie te l o p e n . W e l neemt daar d o o r de geringere excentriciteit de effectiviteit van de kabel iets af. 3.4.5
Randvoorwaarden
De manier van opleggen w o r d t hetzelfde g e h o u d e n als bij het l i g g e r m o d e l , namelijk een vrije o p l e g g i n g . Alleen zijn de o p l e g g i n g e n nu geen p u n t e n , maar w o r d e n ze verdeeld over een lijn. De o p l e g g i n g bij het tussensteunpunt is namelijk smaller d a n de viaductbreedte. H i e r d o o r zullen er verschillen o p t r e d e n bij het vergelijken van de z a k k i n g e n . Per definitie w o r d e n er daar bij het liggermodel namelijk geen verplaatsingen g e v o n d e n . Het plaatmodel w o r d t echter niet over de volledige breedte o n d e r s t e u n d en de overstekken kunnen dus w e l een verticale verplaatsing o n d e r g a a n . Bij de symmetrielijn w o r d t w e e r de rotatie verhinderd. O m te v o o r k o m e n dat de constructie in zijn geheel een verplaatsing kan o n d e r g a a n , w o r d t er in de as van het viaduct een aantal k n o o p p u n t e n vast gemaakt in x- en y-richting.
18
3.4.6
Controle
invoer en
resultaten
Het w o r d t uit de plaatjes meteen duidelijk dat w e hier te maken h e b b e n met een ander m o d e l dan het v o o r g a a n d e liggermodel. NB: • Bij het v o o r a a n z i c h t van de v o o r s p a n n i n g (figuur 3.4.9) is g o e d te zien dat deze zich hoofdzakelijk in het middengedeelte bevindt. De verticale streepjes zijn een projectie van het h o o g t e v e r l o o p over de lengte van de v o o r s p a n k a b e l . • De w a a r d e n v o o r de maximale -en minimale verplaatsing in de figuren 3.4.8 & 3 . 4 . 1 0 zijn extremen en geven niet de g e m i d d e l d e verplaatsing over de gehele plaatbreedte weer. • Resultaten van de verticale verplaatsingen en de buigende m o m e n t e n w o r d e n g e g e v e n bij de vergelijking tussen ligger 9 0 en plaat 9 0 in §3.5
Figuur 3.4.5 - Plaats en richting van de
Figuur 3.4.6 - Systeemvlak met elementenverdeling
o p l e g g i n g e n en de r a n d v o o r w a a r d e n In figuur 3.4.5 zijn w e e r de zwarte symbolen g e g e v e n die de plaats en de richting van de o p l e g g i n g w e e r g e v e n . W e kijken nu b o v e n op de constructie. De o p l e g g i n g e n w o r d e n nu a a n g e g e v e n met blokjes. W e zien daarbij dat de o p l e g g i n g bij het tussensteunpunt nu niet meer over de volledige breedte loopt. De rotatie langs de symmetrielijn w o r d t nu o o k d o o r een ander s y m b o o l w e e r g e g e v e n . In de cirkel in de as van het viaduct w o r d t 1 p u n t v a s t g e h o u d e n o m te v o o r k o m e n dat de hele constructie z o u k u n n e n verplaatsen. Dit p u n t w o r d t o o k n o g in (x) en (y) richting v a s t g e h o u d e n . Figuur 3.4.6 geeft een plaatje van het systeemvlak. Hierin is het verloop bij de randen en het s t e u n p u n t te zien en de abrupte o v e r g a n g bij de randbalk. Nodal DTX.. . . G D T Z
Element EL.MXX.L MXX Max/Min on model sat: Max • 748ES Min S - . 1 0 8 E T
11 • » • • • • • • • _ • • •
Max/Min on model set:
M a x = 34E-1 Min = -.155E-2 Factor = 100
• • • • • l l l t l l l l l
• • •
•
ill •:•[•;• i • « • ' • • ; • • • • • • • n n « • » . • • i m iii i n • •:•••'•"•'• • • • • • • n n • • » • • • • • •
hi •"«'«"•"•'•"« • ; • i u m
» »iiii»» « • • • • • »
ill ••:•!• dtfWinrailW • • i m n •••• in• i • » • i • m i » p i m n n i !!!•••«• • • • • • • •* » sjtmmmmjtmm D OC i l l • : • • • • «i mm M m a
Figuur 3.4.7 - C o n t r o l e uitvoer en onderlinge aansluiting van de elementen
Figuur 3.4.8 - Verticale verplaatsing (zakking) t.g.v. de eigen g e w i c h t belasting
D e controle in figuur 3.4.7 is bedoeld v o o r de onderlinge aansluiting en de uitvoer van de e l e m e n t e n . D o o r d a t het hier o m het b u i g e n d e m o m e n t in d e x - r i c h t i n g gaat k u n n e n w e aan het kleur v e r l o o p globaal controleren of dit o v e r e e n k o m t met de v e r w a c h t i n g e n . De kleuren in beide velden zijn gelijk en het b u i g e n d m o m e n t e n bij het s t e u n p u n t is tegengesteld aan die van de v e l d e n . Dit k o m t g o e d overeen met de verwachting.
19
Nodal D T X . . . . G D T Z Max/Min on model s e t
Max = 376E-2 Min = -.282E-1 Factor = 100
—
I 1 1 ! I 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1II1II1 Mi 111 l l l l l l l l l l l l l l l l l
*
*
2
Figuur 3.4.9 - V o o r a a n z i c h t systeemvlak en verdeling voorspankabels over de breedte
z Figuur 3.4.10 - Verticale verplaatsing t.g.v. de voorspanbelasting
M e t een rode kleur is in figuur 3.4.9 het verloop van de verschillende voorspankabels w e e r g e g e v e n . Het verloop is in de figuur in verticale richting opgerekt. De groene lijnen geven het systeemvlak weer. Figuur 3.4.10 laat de vervormingen d o o r de v o o r s p a n n i n g zien. Het is w e e r de b e d o e l i n g dat deze ongeveer even g r o o t en tegengesteld zijn aan de belastingen t.g.v. de eigen g e w i c h t belasting figuur 3.4.8. Hierbij dient niet naar de min en max w a a r d e n te w o r d e n gekeken die in de figuren w o r d e n g e g e v e n . Deze gelden namelijk slechts in 1 punt.
20
3.5
Vergelijken van de resultaten
O m d e uitvoer van het liggermodel en het plaatmodel te beoordelen k u n n e n een aantal controles w o r d e n uitgevoerd. Z o kan w o r d e n gekeken of het eigen g e w i c h t van d e constructie g o e d w o r d t bepaald v o o r beide modellen. Daarnaast k u n n e n o o k d e uitkomsten v a n de plaat w o r d e n vergeleken m e t die van het liggermodel. O m dit te k u n n e n d o e n zijn d e resultaten vergeleken o p een aantal m a a t g e v e n d e d o o r s n e d e n van d e constructie (zie f i g u u r 3.5.1).De v o l g e n d e controles zijn uitgevoerd. •
eigen g e w i c h t
• •
zakkingen buigende m o m e n t e n
• • • •
• • • •
• • • •
• • • •
B •
' *© © © © ©
• •
• J
©
©
Figuur 3.5.1 - M a a t g e v e n d e d o o r s n e d e n v o o r de vergelijking van ligger 9 0 met plaat 9 0 M e t de eerst g e n o e m d e controle w o r d t meteen bekeken of d e invoer van het m o d e l klopt. Deze z o u o o k afzonderlijk v o o r ieder m o d e l k u n n e n plaatsvinden. Bij de t w e e andere controles vindt een vergelijking plaats tussen de m o d e l l e n . O m een g o e d e vergelijking te maken dienen d e resultaten v a n het plaatmodel te w o r d e n " v e r t a a l d " naar die van het liggermodel. Bij het plaatmodel h e b b e n w e namelijk te m a k e n m e t een breedte. V o o r de z a k k i n g w o r d t nu de z a k k i n g bepaald over een snede in d e breedte van het viaduct. D o o r de integraal van die uitkomst te delen d o o r d e plaatbreedte w o r d t een g e m i d d e l d e w a a r d e v o o r de z a k k i n g g e v o n d e n . Die w a a r d e kan d a n w o r d e n vergeleken m e t de w a a r d e uit het liggermodel. Dit is g e b e u r d bij het vergelijken van d e resultaten in de bovenstaande tabellen. V o o r d e buigende m o m e n t e n w o r d t o o k naar een snede over d e breedte g e k e k e n , alleen w o r d t d e integraal n u niet gedeeld d o o r de plaatbreedte. D e w a a r d e v o o r d e integraal v a n het m o m e n t w o r d t n u direct vergeleken met de w a a r d e n v a n het liggermodel. Nodal DTX. . . . G D T Z Max/Min values plotted
Element E L M X X . L M X X Max/Min values plotted:
Ymax = 34E-1 Ymin = 303E-1 Xmax = 18.9 Xmin = 0
•
Y m a x = 748E6 Ymin = - . 2 6 1 E 5 Xmax = 18.9 1
Variation along a ine
/
/'
y
r /
B'
Xmin = 0
i
\
Variation along a line
•*-*—
lntegral=.8E7
*
7 &
.
I
W 0
2
•
a
2
Figuur 3.5.2 - W e e r g a v e v o o r d e z a k k i n g over de plaatbreedte bij het m i d d e n van d e h o o f d o v e r s p a n n i n g (snede 7) t.g.v. d e e . g belasting
!
\
l"
;
Figuur 3.5.3 - W e e r g a v e v o o r M over de plaatbreedte bij het m i d d e n v a n d e h o o f d o v e r s p a n n i n g (snede 7) t.g.v. de e.g belasting x x
21
Uit de bovenstaande figuur w o r d t ook meteen de veranderingen in de geometrie zichtbaar. Het t o e l o p e n van de geometrie is in de figuur t e r u g te vinden d o o r de o n d e r b r e k i n g in de lijn. In figuur 3.5.3 is een s p r o n g te zien in de momentenlijn. Dit k o m t d o o r d a t de m o m e n t e n w o r d e n afgeleid van de verplaatsingen. De sprongen wijzen erop dat de elementen daar te g r o o t zijn o m het verloop g o e d w e e r te g e v e n . Als o p die piek een netverfijning w o r d t aangebracht zal dit verloop w e l vloeiender k u n n e n w o r d e n w e e r g e g e v e n . Een figuur v o o r o in b o v e n - en ondervlak in dezelfde plaatveld d o o r s n e d e t.g.v. de eigen g e w i c h t belasting z o u w e l een m o o i verloop m o e t e n w e e r g e v e n en dat zien w e dan o o k in figuur 3.5.4. In de v o l g e n d e paragrafen volgt een uitwerking van de uitgevoerde controles in t a b e l v o r m . x x
Element E L S X X . L S X X All surfaces Xmax • 18.9 Xmin = 0 Variation along a line
f / <—h i f *j
• 1 1 I
i
*
\ DISTANCE
Figuur 3.5.4- W e e r g a v e van de spanningen in xrichting v o o r het boven en ondervlak over de breedte 3.5.1
Controle
eigen
gewicht
M e t behulp van de eerder bepaalde geometrie gegevens in tabel 3.3.1 en de afmetingen van het viaduct, kan de i n h o u d van het viaduct w o r d e n bepaald. M e t de i n h o u d en het soortelijk g e w i c h t van beton kan dan de totale belasting w o r d e n bepaald die w o r d t g e v o r m d d o o r het eigen gewicht van de constructie. D o o r nu de totale verticale oplegreacties te vergelijken met het eigen g e w i c h t kan w o r d e n gecontroleerd of de geometrie g o e d is ingevoerd. In de uitvoer van D I A N A w o r d e n altijd standaard alle krachten per richting bepaald. De sum of loads in de verticale richting m o e t dan overeen k o m e n met die van het eigen g e w i c h t . In de onderstaande tabel zien w e dat de verschillende w a a r d e n o v e r e e n k o m e n . Z(reactiekrachten) [N] S u m of l o a d s [N]
Model ligger 90
-8.764E+06
-8.76E+06
plaat 9 0
8.770E+06
8.77E+06
Tabel 3 . 5 . 1 - C o n t r o l e reactiekrachten en sum of loads t.g.v. de e.g belasting 3.5.2
Controle
van de
zakkingen ligger 90
plaat90
doorsnede
x[m]
Dty [m]
gemiddelde z a k k i n g [m]
1
0,80
0,0000
0,0000
0,0000
0,00%
-0,0001
+1,91%
verschil [m]
%
2
4,28
-0,0056
0,0057
3
0,09
-0,0070
0,0072
-0,0002
+2,31%
4
14,19
-0,0012
0,0012
-0,0001
+5,26%
5
19,17
0,0000
0,0000
0,0000
0,00%
6
25,23
-0,0160
0,0166
-0,0006
+3,98%
+4,51% -0,0014 0,0314 -0,0300 32,34 7 NB: Grote verschil in zakking bij (snede 4) komt vooral door invloed van het overstek. Invloed van de overstekken op de gemiddelde zakking zijn groot en absolute waarde van de zakking is daar klein Tabel 3.5.2 - Vergelijking verticale verplaatsingen van ligger 9 0 & plaat 9 0 t.g.v. d e e.g belasting De verschillen in z a k k i n g zijn ten opzichte van het liggermodel. D e procentuele verschillen zijn eveneens ten opzichte van het liggermodel. Bij het bepalen van de verschillen is met niet a f g e r o n d e w a a r d e n g e w e r k t .
22
Indien men z o u afronden o p 4 cijfers, dan z o u d e n de verschillen e r g klein zijn. Het verschil bij snede 5 z o u dan namelijk 0 % w o r d e n terwijl w e daar nu de grootste a f w i j k i n g v i n d e n . Zie o o k onderstaande figuur
nation along a Ine
A
A
i —ti
-r-
1
4— 4-- -4— I i i — i — 1 — i—i—ft—i -t—
r
I I
i
T i
i
i
J
J
J
J
J
Ji _- — J
DISTANCE
Figuur 3.5.5 - V e r l o o p van de verticale verplaatsing t.g.v. het eigen g e w i c h t over snede 5 (tussensteunpunt) 3.5.3
Vergelijken
van de
momenten
V o o r het vergelijken van de buigende m o m e n t e n hoeven de w a a r d e n die met behulp van de integraal w o r d e n bepaald niet te w o r d e n o m g e r e k e n d met behulp van de breedte. Het b u i g e n d m o m e n t bij het plaat m o d e l w o r d t namelijk uitgevoerd in een b u i g e n d m o m e n t per strekkende meter en de integraal geeft dan dus het totale b u i g e n d m o m e n t . ligger 90 Momenten
x[m]
M z [Nm]
1
0,80
8.900E+04
plaat 90 Integraal Mxx verschil [Nm] [Nm]
%
-8.425E+04
4.750E+03
-5,34% -1,94%
2
4,28
-3.977E+06
3.900E+06
7.700E+04
3
0,09
-4.228E+06
4.175E+06
5.300E+04
-1,25%
4
14,19
2.045E+06
-2.040E+06
5,000E-fO3
-0,24%
5
19,17
1.496E+07
-1.470E+07
2.600E+05
-1,74%
6
25,23
-1.397E+06
1,320E+06
7.700E+04
-5,51%
-1,14% 9.200E+04 - 8 . 0 9 2 E + 0 6 8.000E+06 32,34 7 NB: De modellen hebben een andere orientatie van het assenstelsel, vandaar Mz en Mxx Tabel 3.5.3 - Vergelijking van de b u i g e n d e m o m e n t e n van ligger 9 0 & plaat90 De verschillen, z o w e l a b s o l u u t als procentueel, zijn ten opzichte van het liggermodel. Het grote verschil bij (snede 1) is te verklaren d o o r de kleine w a a r d e n die daar o p t r e d e n . Een deel van de verschillen k o m t o o k v o o r t uit het feit dat de b u i g e n d e m o m e n t e n niet g o e d w o r d e n bepaald bij een v e r l o p e n d e d o o r s n e d e over een element (zie figuur 3.5.3). 3.6
Conclusie
De h a n d b e r e k e n i n g en die van de ligger en de plaat k o m e n alien g o e d o v e r e e n . Eventuele grotere afwijkingen zoals bij de z a k k i n g van de overstekken in het veld zijn te verklaren. Z o k o m t de a f w i j k i n g in de z a k k i n g d o o r de invloed van de niet o n d e r s t e u n d e overstekken in het veld en de 5,51 % bij de m o m e n t e n d o o r de invloed van de o p l e g g i n g . O o k zijn de z a k k i n g e n bij de plaat groter terwijl de b u i g e n d e m o m e n t e n kleiner zijn. Hieruit blijkt dat de plaat slapper is d a n de ligger. Deze uitkomsten geven v e r t r o u w e n in de w e r k i n g van het p r o g r a m m a en de uitgevoerde resultaten. H o e w e l de w a a r d e n van het plaatmodel zijn vergeleken met die van de ligger, blijft nu de v r a a g welk m o d e l de juiste w a a r d e n weergeeft. De w a a r d e n v a n het plaatmodel zullen de werkelijkheid beter benaderen o m d a t o o k de breedte en het verloop in de breedte w o r d t m e e g e n o m e n . O m te verifieren dat het m o d e l g o e d is i n g e v o e r d , is in eerste instantie uitgegaan van de w a a r d e n die met het liggermodel zijn bepaald. H i e r d o o r kan nu w o r d e n b e g o n n e n met het introduceren van scheefstand. Tijdens het introduceren van scheefstand is het van b e l a n g dat er steeds een controle plaatsvindt o m globaal de uitgevoerde w a a r d e n te k u n n e n controleren.
23
3.7
Scheefstand
N u de modellen v o o r een rechtdoorgaand viaduct <> | = 9 0 ° zijn i n g e v o e r d , kan w o r d e n b e g o n n e n met de modellering van de scheefstaande varianten. V o l g e n s de eerder g e n o e m d e tabel 2.2.1 z o u d e n nu eerst een liggermodel en een plaatmodel met een scheefstand van <(> = 7 5 ° w o r d e n b e k e k e n . Het liggermodel kan echter niet onder een hoek in het p r o g r a m m a w o r d e n ingevoerd z o n d e r over te gaan op een 3 D m o d e l . D o o r d a t tevens is gesteld dat de o v e r s p a n n i n g gelijk blijft bij iedere hoek van scheefstand, z o u dit betekenen dat precies dezelfde w a a r d e n w o r d e n g e v o n d e n als bij de rechtdoorgaande ligger § = 9 0 ° . Dit in het s c h e m a g e n o e m d e model zal d a a r o m niet w o r d e n gemodelleerd. De plaat met <|) = 9 0 ° Dient als basis v o o r het opzetten van de scheve varianten. D o o r uit te gaan van het eerder ingevoerde model hoeven veel gegevens niet o p n i e u w te w o r d e n ingevoerd. De materiaal eigen schappen blijven bijvoorbeeld hetzelfde v o o r alle m o d e l l e n . Hierdoor w o r d t niet alleen werk bespaard, maar w o r d t ook v o o r k o m e n dat er fouten in het m o d e l w o r d e n gei'ntroduceerd. 3.8 3.8.7
Plaat 75 Invoer
geometrie
O m het beeld van het bovenaanzicht zoveel mogelijk constant te h o u d e n is de positieve x-as steeds evenwijdig g e h o u d e n met de zijkant van het viaduct. Het viaduct krijgt dan steeds meer een bovenaanzicht in de v o r m van een wybertje. Een t w e e d e reden v o o r de keuze van het assenstelsel, is dat de resultaten automatisch in de globale richting w o r d t uitgevoerd. O p deze manier w o r d e n dan meteen de w a a r d e n in lengterichting gekregen. De afmetingen van de constructie w o r d e n gelijk g e h o u d e n o m z o d o e n d e de invloed van het t o e n e m e n van de o v e r s p a n n i n g te o n d e r v a n g e n . Het verkeer dat van het viaduct gebruik gaat maken heeft echter n o g steeds hetzelfde ruimtelijk profiel n o d i g . Dit betekent dat de breedte van het viaduct in y-richting m o e t w o r d e n vergroot. O o k is gesteld dat de lengte van de o v e r s p a n n i n g gelijk blijft. Hierdoor w o r d t de haakse o v e r s p a n n i n g op de steunpunten kleiner. -»-x <> | = 90
o
Agr,"
— A
7 5
o
-•x <> t = 75°
Figuur 3.8.1 - A f m e t i n g e n van de geometrie Binnen de grafische user interface F E M G V kan de rotatie van het viaduct en dus de verplaatsing van de geometrie, e e n v o u d i g w o r d e n uitgevoerd met het c o m m a n d o m o v e . De lijnen die te zien zijn in figuur 3.4.1 k u n n e n dan in de juiste richting w o r d e n verschoven. Alle aangrenzende oppervlakten w o r d e n dan automatisch m e e g e n o m e n . 3.8.2
Element
keuze
Het element dat was g e k o z e n v o o r de modellering van plaat 9 0 volstaat ook v o o r plaat 7 5 . Er dient dus geen ander type te w o r d e n toegepast. Hierdoor zullen geen verschillen d o o r element keuze k u n n e n optreden. 3.8.3
Voorspanning
De v o o r s p a n n i n g is hetzelfde g e h o u d e n als bij plaat 9 0 . Alleen zijn de verschillende kabels d o o r de scheefstand nu ten opzichte van elkaar verschoven in x-richting. De v r a a g is echter of de l i g g i n g niet z o u moeten w o r d e n aangepast d o o r het veranderde m o m e n t e n verloop ten gevolgen van de scheefstand. Bij een ligger 9 0 bevindt het grootste buigende m o m e n t zich in het m i d d e n van de h o o f d o v e r s p a n n i n g . Bij scheefstand h o e f t dit niet op te g a a n . Dit veranderde m o m e n t e n v e r l o o p kan o o k gevolgen h e b b e n v o o r de richting van de w a p e n i n g . Dit zal onder anderen in hoofdstuk 4 w o r d e n toegelicht.
24
3.8.4
Randvoorwaarden
De introductie van scheefstand heeft o o k g e v o l g e n v o o r de r a n d v o o r w a a r d e n . Bij d e s t e u n p u n t e n geld een o p l e g g i n g in d e z - r i c h t i n g en deze blijft hetzelfde v o o r alle gevallen. H e t verspringen v a n d e d o o r s n e d e bij de o v e r g a n g van het overstek veld in de eindbalk verandert o o k niet (zie §3.4.2). D e r a n d v o o r w a a r d e n bij de symmetrielijn veranderen w e l (zie figuur 3.4.3 & 3.8.2). Er dient daar een translerende i n k l e m m i n g te w o r d e n geplaatst. Dit kan gebeuren d o o r een b e p e r k i n g in een te definieren richting o p te g e v e n . In d e tabel " d i r e c t i o n s " kan d a n d e richting van d e b e p e r k i n g w o r d e n o p g e g e v e n . Deze w o r d e n ingevoerd als vector. In dit geval is d e x - r i c h t i n g cos <>| en d e y-richting sini)> .Dit is richting n u m m e r 4 in d e v o l g e n d e tabel. 3.8.5
Controle
in voer 'DIRECTIONS' 1 1.000000E+00 .O000O0E+O0 . 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 2 .000O00E+O0 1.000000E+00 .000000E+00 3 .000000E+00 . 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 1.000000E+00 4 .258819E+01 .965936E+01 .000000E+00
Tabel 3.8.1 - Definitie van d e richtingen Dat het viaduct scheef staat is vrij e e n v o u d i g te zien. D o o r de afstanden binnen het grafisch user interface F E M G V o p te meten kan w o r d e n gecontroleerd of d e geometrie g o e d is i n g e v o e r d . Dit o p m e t e n gebeurt m e t d e optie utility mesure distance /pick. D o o r d a t plaat 9 0 als basis dient blijft een g r o o t deel van d e invoer gelijk en kan deze vrij snel w o r d e n g e c o n t r o l e e r d . •XXJ-MfOI
nniH
iiuiwIiimimtmMl \ immmm«>•«< •IM \ trnmrnwrn tiwn • K M * \ m m « M BS» • •MUi Miimnmniivaiiii v \ kitlU WMWwmMm •'»»».»« <mv*e *«*•««•«« mn • \ •*.«* •—••>• .UIH { inn
\ \ \
\
Figuur 3.8.2 - Plaatsing en richting van d e o p l e g g i n g e n en d e r a n d v o o r w a a r d e n
#«
!
\
Figuur 3.8.3 - C o n t r o l e uitvoer en aansluiting van de elementen
De uitvoer van plaat75 kan w o r d e n vergeleken m e t d e uitvoer van plaat 9 0 . Ter controle w o r d t het verticaal e v e n w i c h t g e n o m e n . D o o r d e aanpassing van d e afmetingen v a n het viaduct en het roteren blijft het v o l u m e van het viaduct gelijk. D e s o m van de verticale krachten m o e t dus gelijk zijn aan die van plaat 9 0 .
Plaat 90
S U M O F EXTERNAL LOADS: TR Y L O A D SET T R X 1 .0000D+00 .0000D+00
Plaat 75
TR Z 8770D+07
RO Y .1420D+09
RO Z .0000D+00
RO X RO Y .8288D+08 -.1643D+09
RO Z .0000D+00
RO X .8288D+08
S U M O F EXTERNAL LOADS: TR Y L O A D SET T R X 1 . 0 0 0 0 D + 0 0 .OO00D+00
TR Z .8770D+07
Tabel 3.8.2 - C o n t r o l e van d e " s u m o f l o a d s " v o o r plaat 7 5
25
3.9
Plaat 60
3.9.1
Invoer
geometrie
De invoer van het viaduct onder een hoek van <> | = 6 0 ° graden is principe hetzelfde als dat met een hoek v a n <>| = 7 5 ° graden. Het enige verschil is dat de hoek groter w o r d t . Hierdoor w o r d e n de verplaatsingen groter net als d e breedte in y-richting. V o o r het o p b o u w e n van het m o d e l is w e e r gebruik gemaakt van het m o d e l van plaat 9 0 . D o o r w e e r uit te gaan van dit model w o r d t v o o r k o m e n dat eventueel gei'ntroduceerde f o u t e n bij het maken van plaat 7 5 d o o r w e r k e n bij een verdere rotatie naar plaat 6 0 . O o k is het makkelijker o m alles te roteren vanuit een rechte positie dan vanuit een al gedraaid m o d e l . Dezelfde stappen k u n n e n n u w o r d e n d o o r i o p e n als bij de eerder rotatie v o o r plaat 7 5 . 3.9.2
Element
keuze
Zoals eerder omschreven bij plaat 7 5 , kan hetzelfde element type w o r d e n toegepast als bij plaat 9 0 e n w e l het C Q 4 0 S element type. 3.9.3
Voorspanning
De v o o r s p a n n i n g is w e e r o p een zelfde manier geroteerd als v o o r plaat 7 5 . Later zal bekeken w o r d e n h o e dit aansluit bij het verloop van d e m o m e n t e n ten gevolgen van het eigen gewicht. 3.9.4
Randvoorwaaren
N e t als bij plaat 7 5 blijven d e meeste r a n d v o o r w a a r d e n gelijk. Alleen d e r a n d v o o r w a a r d e n die gelden o p de symmetrielijn dienen te w o r d e n aangepast aan de grotere hoek van scheefstand. Dit kan vrij e e n v o u d i g d o o r de vector die in de tabel " d i r e c t i o n s " is o p g e g e v e n aan te passen. Zie richting n u m m e r 4 in d e onderstaande tabel. 'DIRECTIONS' 1 1.000000E+00 .000000E+00 2 . 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 1.000000E+O0 3 .000000E+00 .000000E+00 4 0.500000E+00 8.660254E-01
.000000E+00 .000000E+00 1.000000E+00 .000000E+00
Tabel 3.9.1 - Definitie van de richtingen 3.9.5
Controle
invoer
Controles gelijk aan die v o o r plaat 7 5 k u n n e n w o r d e n uitgevoerd. Bij deze " e x t r e m e " stand dient extra g o e d te w o r d e n opgelet o m d a t de beelden niet v e r t r o u w d zijn en soms vertekend o v e r k o m e n . Bij dit model zijn d e afmetingen w e e r z o dat er een controle aan d e hand van d e uitvoer controle kan plaatsvinden. D e s o m van d e reactie krachten m o e t o o k hier w e e r even g r o o t zijn als bij d e eerdere modellen. Dit blijkt te k l o p p e n .
Plaat 90
S U M O F EXTERNAL L O A D S : L O A D SET T R X 1 .OOOOD+OO
Plaat 60
TR Y .0000D+00
TR Z .8770D+07
RO X RO Y .8288D+08 -.1420D+09
RO Z .0000D+00
TR Z .8770D+07
RO X RO Y .8288D+08 -.1899D+09
RO Z .0000D+00
S U M O F EXTERNAL LOADS: L O A D SET T R X 1 .0000D+00
TR Y .0000D+00
Tabel 3.9.1 - C o n t r o l e van d e " s u m of l o a d s " v o o r plaat 6 0
26
3.10
Plaat 45
N a het invoeren van de modellen v o o r plaat 7 5 en plaat 6 0 is de modellering van een verdere rotatie vrij makkelijk uit te v o e r e n . O m te kijken of een verdere rotatie n o g t o e g e v o e g d e w a a r d e oplevert zal eerst w o r d e n gekeken naar de huidige modellen. Eventueel kan dan later het geval met <(> = 4 5 ° w o r d e n gemodelleerd. Hierbij speelt tevens mee dat een hoek $ van 4 5 ° niet echt realistisch is met betrekking tot de grotere o v e r s p a n n i n g die d a n w o r d t verkregen. De o v e r s p a n n i n g w o r d t dan namelijk ± 4 1 % groter. Dit lijkt mee te vallen, maar als w e bedenken dat de lengte kwadratisch meewerkt in het buigend m o m e n t , betekent dit een v e r d u b b e l i n g daarvan. In de onderstaande grafiek nogmaals de t o e n a m e van de o v e r s p a n n i n g , maar nu o o k met de kwadratische t o e n a m e van het m o m e n t .
overspanning moment
90 80 75 70 65 60 55 50 45 hoek (<j)) [graden]
Grafiek 3.10.1 - T o e n a m e van de o v e r s p a n n i n g en het buigende m o m e n t
4
Wapeningsmomenten en systemen
N a het invoeren van de modellen kan w o r d e n gestart met het bepalen van de w a p e n i n g s m o m e n t e n en hun verloop. V o o r een rechte constructie is het verloop van de w a p e n i n g vrij makkelijk te bepalen. Bij een t o e n e m e n d e scheefstand zullen de m o m e n t e n niet meer gelijk lopen met de richtingen van het globale assenstelsel. O m tot een systeem te k o m e n v o o r het w a p e n e n van scheve plaatveldviaducten, dienen de w a p e n i n g s m o m e n t e n in de betreffende w a p e n i n g s r i c h t i n g te k u n n e n w o r d e n bepaald. Hieronder staat omschreven hoe de m o m e n t e n in de juiste richting kunnen w o r d e n geroteerd en is een controle uitgevoerd op de d o o r D I A N A bepaalde w a a r d e n . 4.1
De ingevoerde geometrie
De scheve constructie is zoals eerder omschreven o p de onderstaande manier ingevoerd in D I A N A . Hierbij loopt de x-as in de lengte richting van het viaduct en wijst de positieve z-as naar b e n e d e n . De constructie bestaat uit drie o v e r s p a n n i n g e n . V a n w e g e symmetrie redenen kan de constructie in het m i d d e n van de h o o f d o v e r s p a n n i n g w o r d e n d o o r g e s n e d e n . Gezien het feit dat de w a p e n i n g niet altijd in de richting van de globale x- en de y richting loopt, k u n n e n de uitgevoerde m o m e n t e n in die richtingen, niet z o m a a r w o r d e n gebruikt o m de w a p e n i n g te dimensioneren. V o o r het bepalen van de w a p e n i n g s m o m e n t e n in de w a p e n i n g s r i c h t i n g zal er een rotatie plaats moeten vinden van de berekende m o m e n t e n in x- en y-richting. Daarnaast hoeven de verschillende wapeningsrichtingen niet loodrecht op elkaar te staan. Indien er geen sprake is van loodrechte (orthogonale) w a p e n i n g heeft dit gevolgen v o o r de w a p e n i n g s m o m e n t e n . De afwijkende richting van de w a p e n i n g ten opzichte van de globale richting w o r d t weergegeven met de hoek a en de onderlinge hoek tussen de t w e e wapeningsrichtingen met de hoek 3 (zie figuren 4.1.2 & 4.2.1). Oplegging Symmetrie as
Oplegging
Figuur 4.1.2 - Richting w a p e n i n g s m o m e n t e n Figuur 4.1.1 - Bovenaanzicht geometrie
4.2
Rotatie van de hoofdmomenten
O m de w a p e n i n g s m o m e n t e n te k u n n e n bepalen dienen de g e v o n d e n w a a r d e n v o o r de h o o f d m o m e n t e n te w o r d e n geroteerd in de richting van de w a p e n i n g . Hieronder staan de richtingen en de hoeken g e g e v e n en de formule w a a r m e e de g e v o n d e n m o m e n t e n k u n n e n w o r d e n o m g e s c h r e v e n . Hierin is a de hoek v o o r de richting en |3 de hoek tussen de t w e e w a p e n i n g s r i c h t i n g e n .
M
R l - R l
waarin:
cos a
sin a
sin/3
-cos/3
-sina
cosa
0
1
»»• X Figuur 4.2.1 - R i c h t i n g en h o e k e n
De bovenstaande f o r m u l e is op te splitsen in t w e e delen. Eerst vindt een rotatie plaats z o d a t de x-as uit het cartesisch assenstelsel samenvalt met de X ' - a s uit het niet-cartesisch assenstelsel ( R J . D a a r n a vindt de eventuele o v e r g a n g plaats naar een niet-cartesisch assenstelsel ( R ) . De matrix R heeft alleen een functie als het cartesisch assenstelsel w o r d t verlaten en dus hoek £ * 9 0 ° . Dit kan het geval zijn indien er schuine w a p e n i n g w o r d t toegepast.. p
p
28
De f o r m u l e kan w o r d e n gecontroleerd d o o r a = 0 ° en P = 9 0 ° in te vullen. M e t deze hoeken vindt geen 2
rotatie plaats en de matrix R„ en Rg w o r d e n eenheidsmatrices. De term met s i n p w o r d t gelijk aan 1. De matrix M bevat de m o m e n t e n m , m x x
y y
en m
x y
= m
y x
uit het " g l o b a l e " assenstelsel en matrix M ' geeft
d a n de geroteerde m o m e n t e n . 4.3
Literatuur
Tegelijk met het modelleren is er een literatuur o n d e r z o e k gedaan op het gebied van scheve platen en w a p e n i n g . D o o r de C U R (commissie v o o r uitvoering van research) zijn een aantal studies [ C U R rapporten 5 3 en 54] verricht naar scheve plaatviaducten en naar manieren o m platen te w a p e n e n . Deze rapporten zijn o o k gebruikt bij het opstellen van de n o r m N E N 6 7 2 0 (TGB -Technische G r o n d s l a g e n v o o r Bouwconstructies 1 9 9 0 ) van het Nederlands normalisatie instituut. V e r d e r is een rapport [Merks] gebruikt waarin staat omschreven h o e buigende m o m e n t e n uit een eindige e l e m e n t e n m e t h o d e b e r e k e n i n g zijn o m te zetten naar w a p e n i n g s m o m e n t e n . Naast het bepalen van de verschillende g r o o t h e d e n is ook gekeken naar de verschillende wapeningssystemen en de manier w a a r o p de w a p e n i n g w o r d t o n t w o r p e n . Wapeningssystemen
4.4
In de praktijk w o r d t vaak eerst een wapeningssysteem g e k o z e n en met behulp van beschikbare n o r m e n w o r d t dan gecontroleerd of aan alle eisen en v o o r w a a r d e n w o r d t v o l d a a n . Het spreekt v o o r zich dat deze keuze niet onafhankelijk is van de voorkeuren en ervaring van de constructeur. H o e w e l de variatie van toe te passen wapeningssystemen niet o n e i n d i g is, k u n n e n er t o c h grote verschillen bestaan in de uiteindelijk toe te passen hoeveelheden w a p e n i n g . H i e r d o o r ontstaan verschillen in kosten. Indien men naar het bovenaanzicht van de constructie kijkt, k o m e n de onderstaande drie w a p e n i n g s s y s t e m e n in aanmerking.
Systeem 1
Systeem 2
Systeem 3
Figuur 4.4.1 - O v e r z i c h t w a p e n i n g s s y s t e m e n
• 1 • • 2
3
Nadelen
Voordelen
Systeem
•
•
Vereist d e minst hoeveelheid wapening, maar dit is afhankelijk van d e afmetingen. W a p e n i n g in dwarsrichting loopt evenwijdig met d e opleggingen In de praktijk vaak gekozen en toegepast systeem. Hoofdwapening loopt in lengterichting van d e plaat
Minste knipverlies
•
Eventueel meer knipverlies bij realiseren van d e wapening
• •
Vereist meer wapening dan systeem 1 W a p e n i n g in dwarsrichting kruist d e opleggingen en is hierdoor op die plaatsen minder efficient.
• •
Vereist grootste hoeveelheid wapening Bij toenemende hoek tussen de twee wapeningsrichtingen neemt hoeveelheid wapening sterk toe
Tabel 4.4.1 - O p s o m m i n g v o o r en nadelen van d e verschillende w a p e n i n g s s y s t e m e n
29
1
Uit de literatuur [ C U R rapporten 53 & 54] blijkt verder dat een wapeningssysteem dat afwijkt van een cartesisch assenstelsel (systeem 3) leidt tot een sterke t o e n a m e van de hoeveelheid w a p e n i n g . Dit is makkelijk v o o r te stellen d o o r te kijken naar de gemiddelde w a p e n i n g in een snede.
Scheve wapening
Orthogonaal wapening
Figuur 4.4.2 - V e r g r o t e n van de diagonaal bij niet scheve w a p e n i n g De diagonaal bij de niet loodrechte manier van w a p e n e n is groter dan die bij de loodrechte. Er w o r d t hierdoor een z w a k k e en een sterke richting verkregen. O v e r de grotere diagonaal liggen de wapeningsstaven verder uit elkaar. Het wapeningspercentage over die diagonaal w o r d t hierdoor kleiner. Dit heeft nadelige effecten v o o r de sterkte en het scheurpatroon. O o k zullen de wapeningsstaven elkaar gaan bei'nvloeden. De krachten die in de ene staaf optreden k u n n e n namelijk w o r d e n o n t b o n d e n in de andere staafrichting. Een trekkracht in de ene w a p e n i n g s r i c h t i n g kan dan tevens v o o r een t o e n a m e in de andere w a p e n i n g s r i c h t i n g z o r g e n . Dit is bij een cartesische w a p e n i n g niet het geval. De krachten k u n n e n dan niet w o r d e n o n t b o n d e n in de andere wapeningsrichting. V o o r een u i t w e r k i n g over de t o e n a m e van de hoeveelheid w a p e n i n g bij een hoek anders dan 90°tussen de t w e e wapeningsrichtingen zie bijlage 2 .
systeem 1
I I 0,5.1,0
,l 1,5 —*~b/i
-
I 2,0
systeem2
I
I ,, I I 0,5 1,0 1,5 ••"•< —*-b/l
systeem 3
li 2,0
I
1 0,5
L_ 1,0
1 L 1,5 2,0 —+>'b/t
Figuur 4.4.3 - Som van de gemiddelde w a p e n i n g s m o m e n t e n per systeem v o o r platen met een veld
4.5
Bepalen wapeningsmomenten en controle uitvoer DIANA
Hieronder staat omschreven hoe w a p e n i n g s m o m e n t e n bij plaatvelden w o r d e n bepaald en hoe deze binnen D I A N A k u n n e n w o r d e n verkregen. O p basis van de berekende w a p e n i n g m o m e n t e n w o r d t de w a p e n i n g gedimensioneerd. V e r d e r w o r d t er een v o o r b e e l d b e r e k e n i n g g e g e v e n v o o r het bepalen van de w a p e n i n g s m o m e n t e n en vindt er een controle o p de uitvoer van D I A N A plaats.
30
In het C U R rapport 5 4 en 5 3 w o r d t gekeken naar de manier o m w a p e n i n g te bepalen bij plaatvelden. Het blijkt dat de verschillende m e t h o d e n uiteindelijk tot een zelfde resultaat leiden. V o o r het bepalen v a n de w a p e n i n g s m o m e n t e n w o r d t gebruik gemaakt van een algemener gestelde versie van de klassieke afleiding van de w a p e n i n g s f o r m u l e s van Leitz [ C U R raport 5 4 hoofdstuk 3] W a n n e e r beide h o o f d m o m e n t e n hetzelfde teken h e b b e n en de w a p e n i n g in t w e e richtingen w o r d t gelegd (zie figuur 4.5.1). wapeningsrichting 2 momenten m 2
.m, wapeningsrichting 1 momenten m, drukdiagonaal
Figuur 4.5.1 - G e g e v e n richtingen van de h o o f d m o m e n t e n en de wapening
2
m =—-—{n, sin B
sin (a
x
2
+ B)+m
cos (a
n
+
B)±
2
m
-~j~\ i
s i n a s i n ( a + B)+m
1 / =—— VT / sin B 1
m
2
c o s a c o s ( a + B]
II
2
±k\m,
s i n
2
« +
cos
2
cc±
s i n a s i n ( a + / 3 ) + m c o s a c o s ( a + /3)|} / /
Uit de in de formules g e g e v e n plus- en mintekens m o e t een teken w o r d e n g e k o z e n van het b u i g e n d m o m e n t dat trek in de b e s c h o u w d e w a p e n i n g veroorzaakt. D e uitdrukkingen v o o r de z o g e n a a m d e w a p e n i n g s m o m e n t e n m l en m2 k u n n e n uiteraard o o k als functie van de o p t r e d e n d e b u i g e n d e en w r i n g e n d e m o m e n t e n w o r d e n g e g e v e n . W o r d e n deze o p t r e d e n d e m o m e n t e n betrokken o p de w a p e n i n g s r i c h t i n g als assenstelsel, dan geldt.
v o o r positief b u i g e n d e m o m e n t e n (ondernet) 1
1 m
l
=
+
—
sin P
k
m
2
1
=
+
i
1
—
k
sin (3
V o o r negatief b u i g e n d e m o m e n t e n (bovennet) i
. 1
m, =
k
"\
sin P
1
1
k
sin
Figuur 4.5.2 - R i c h t i n g v a n de o p t r e d e n d e b u i g e n d e en w r i n g e n d e m o m e n t e n met de w a p e n i n g s r i c h t i n g als assenstelsel
31
De m o m e n t e n hangen af van een factor (k) en een richting De factor k bepaalt de richting van de d r u k d i a g o n a a l . De richting is de hoek P tussen de beide w a p e n i n g s r i c h t i n g e n . W o r d t er nu uitgegaan van k = 1 en een o r t h o g o n a a l w a p e n i n g , dan vinden w e de v o l g e n d e formules v o o r het bepalen van de wapeningsmomenten. =m„+\m„\>0 onderwapening m
2.up
m
=myy
="1^-
Uo
+ m j
>0
mj<0 bovenwapening
mHo
yy
-|m_
<0
De absoluut tekens k o m e n d o o r het feit dat er vanuit w o r d t g e g a a n dat b e t o n geen trek kan o p n e m e n . Het verschil in o n d e r en b o v e n w a p e n i n g k o m t d o o r d a t steeds die m o m e n t e n w o r d e n bekeken die trek in de betreffende laag v e r o o r z a k e n . In de onderstaande t e k e n i n g zijn de m o m e n t e n in positieve richting getekend. Het is duidelijk dat een positief b u i g e n d m o m e n t onderin trek veroorzaakt in de d o o r s n e d e . De absoluut tekens zijn in de t e k e n i n g w e e r g e g e v e n als een positieve richting. Bij een positief m o m e n t w e r k t het w r i n g e n d m o m e n t dus in dezelfde richting en dient er dus bij op te w o r d e n geteld. Heeft het b u i g e n d m o m e n t een negatief teken dan zal het w r i n g e n d m o m e n t er vanaf moeten w o r d e n g e t r o k k e n . Het w o r d t o o k meteen duidelijk dat v o o r de o n d e r w a p e n i n g alleen w a a r d e n groter dan 0 w o r d e n b e s c h o u w d . Bij een negatieve w a a r d e is er namelijk druk a a n w e z i g in de onderzijde en h o e f t er geen w a p e n i n g a a n w e z i g te zijn. (NB: Er dient natuurlijk altijd wapening aanwezig te zijn vanwege andere effecten als scheurvomiing en krimp )
-m„
m„
Figuur 4.5.1 - ( o n d e r w a p e n i n g ) : m
x x
+ lm l xy
Figuur 4.5.2 - ( b o v e n w a p e n i n g ) : m
x x
- lm
x
M e t behulp van de eerder g e n o e m d e goniometrische formule (zie § 4.2) k u n n e n de m o m e n t e n in de richting van de w a p e n i n g w o r d e n bepaald. Hieruit k u n n e n dan de w a p e n i n g s m o m e n t e n w o r d e n samengesteld. Deze w a p e n i n g s m o m e n t e n k u n n e n vervolgens w o r d e n vergeleken met de uitvoer w a a r d e n van D I A N A . V o o r het uitvoeren van w a p e n i n g s m o m e n t e n in D I A N A k u n n e n er binnen de rekenproces aansturing t w e e hoofdrichtingen w o r d e n o p g e g e v e n (R1 en R2) met behulp van een vector in het m o d e l assenstelsel. Tevens dient er een relatieve i n w e n d i g e h e f b o o m s a r m (ZR) en een " d e k k i n g " (CO) v o o r z o w e l o n d e r - als b o v e n w a p e n i n g te w o r d e n i n g e v o e r d . D o o r nu als relatieve h e f b o o m s a r m 1 [-] in te vullen en als " d e k k i n g " 0,001 [m], k u n n e n de g e v o n d e n m o m e n t e n w o r d e n gecontroleerd met behulp van de eerder g e v o n d e n m o m e n t e n m , m en m . x x
y y
x y
Dat er v o o r de " d e k k i n g " (CO) een w a a r d e w o r d t a a n g e h o u d e n van 0,001 [m] k o m t d o o r d a t de w a a r d e zich tussen de 0 en de 1 moet b e v i n d e n . De w a a r d e 0 levert dan problemen op tijdens het uitvoeren van het rekenproces. D o o r d a t de d e k k i n g zeer klein is g e n o m e n , verloopt het rekenproces g o e d en zijn de a f w i j k i n g van de g e v o n d e n w a p e n i n g s m o m e n t e n verwaarloosbaar klein.
SELECT ELEMEN 1-720/ REAXES R1=8.660254E-01 -5.000000E-01 0. / R2=5.000000E-01 8.660254E-01 0. / ZR=1 / CO=0.001 / END ELEMEN END SELECT OUTPUT FEMVIE BINARY STRESS TOTAL dismom reinfo END OUTPUT Tabel 4.5.1 - rekenproces aansturing v o o r het bepalen van de wapeningsmomenten
De w a p e n i n g s m o m e n t e n w o r d e n d o o r D I A N A met behulp van de hierboven a a n g e g e v e n formules bepaald.
32
Ter controle k u n n e n de eerder g e v o n d e n w a a r d e n v o o r de b u i g e n d e m o m e n t e n in het globale assenstelsel nu met behulp van een spreadsheet p r o g r a m m a o p een zelfde manier w o r d e n g e r o t e e r d , opgeteld en vergeleken met de w a a r d e n die d o o r D I A N A zijn b e r e k e n d . Dit is in de eerste plaats g e b e u r d v o o r een enkele node en later ook v o o r t w e e elementen. In het onderstaande v o o r b e e l d berekening w o r d e n de g e v o n d e n en berekende w a a r d e n w e e r g e g e v e n . De w a a r d e n blijken zeer g o e d overeen te k o m e n (grootste a f w i j k i n g 0 , 0 6 % ) . 4.6
Voorbeeld berekening
In het v o o r g a a n d e h o o f d s t u k staat de wijze w a a r o p de w a p e n i n g s m o m e n t e n w o r d e n bepaald o m s c h r e v e n . Hieronder w o r d t een v o o r b e e l d gegeven v o o r t w e e gevallen. Namelijk v o o r het geval <|) = 9 0 ° waarbij dus geen sprake is van scheefstand en het schuine geval met § = 75°. De b e r e k e n i n g w o r d t uitgevoerd v o o r een enkel willekeurig element. Er is eerst gekeken naar het geval waarin § = 9 0 ° . Bij dit geval liggen de uitgevoerde m o m e n t e n automatisch in het globale assenstelsel meteen in de w a p e n i n g s r i c h t i n g . De m o m e n t e n k u n n e n nu s i m p e l w e g bij elkaar w o r d e n opgeteld of van elkaar w o r d e n afgetrokken o m z o d o e n d e de w a p e n i n g s m o m e n t e n in de t w e e richtingen en het b o v e n - en ondervlak te bepalen. Deze w a a r d e n k u n n e n d a n w o r d e n vergeleken m e t de uitvoer van D I A N A Uit de laatste t w e e k o l o m m e n van de onderstaande tabellen blijkt dat de w a a r d e n zeer g o e d overeen k o m e n . D o o r het groter dan en het kleiner dan teken verliezen s o m m i g e optellingen hun relevantie. Er dient namelijk alleen te w o r d e n gekeken naar m o m e n t e n die trek in de betreffende laag veroorzaken. Deze vakken zijn d a a r o m v o o r de duidelijkheid iets donkerder |m | relevant zijn gemaakt. Uit de tabel w o r d t ook duidelijk dat alleen de w a a r d e n v o o r m en er v o o r dit element z o d o e n d e alleen b o v e n w a p e n i n g n o d i g is. (NB: Er dient natuurlijk altijd wapening aanwezig x
te zijn vanwege andere effecten als scheurvorming en krimp )
.973
el. 330
y U ,
-
element 330 4> = 9 0 °
element Momenten 330 [Nm] <> | = 90 node m 973 -117800 -31930
Berekend [Nm]
o
w
m 5786 x v
1133
-116500
-32040
6329
989
-115200
-32140
6871
M2 M1 1-112014 - 2 6 1 4 4 -123586 -37716 - 1 1 0 1 / 1 | -<Jo/11 -122829 -38369 -25269 -39011 -122071
Verschil
DIANA [Nm] M1 -112000 -123500 -110100 -122800 -108300 -122100
M2 -26150 -37720 -25710 -38360 -25270 -39010
H M1 0,01% 0,07% 0,06% 0,02% 0,03% 0,02%
M2 0,02% 0,01% 0,00% 0,02% 0,00% 0,00%
Tabel 4.6.1 - C o n t r o l e uitvoer D I A N A v o o r b e r e k e n i n g van w a p e n i n g s m o m e n t e n
33
Een zelfde manier van controle is uitgevoerd v o o r het geval waarin = 7 5 ° . De uitgevoerde m o m e n t e n liggen afhankelijk van het wapeningssysteem nu niet meer in de w a p e n i n g s r i c h t i n g en dienen te w o r d e n geroteerd. V a n u i t deze geroteerde m o m e n t e n kunnen weer de w a p e n i n g s m o m e n t e n w o r d e n bepaald en deze k u n n e n w o r d e n vergeleken met de uitgevoerde w a a r d e n van D I A N A . In tabel 4.6.2 w o r d e n de verschillende w a a r d e n w e e r g e g e v e n . Hierbij is uitgegaan van hetzelfde wapeningssysteem als bij het rechte voorbeeld namelijk systeem 1. W e d e r o m zijn de w a p e n i n g s l a g e n die geen relevante waarde opleveren donkerder gemaakt. O o k deze blijken zeer g o e d overeen te k o m e n .
| = 75° element 3 3 0 <> element Momenten 330 [Nm] ^ = 75° node m mxx 973 -150800 -15230 w
Berekend [Nm] m
x v
10140
1133
-156200
-14660
12210
989
-161600
-14100
14270
M1 | -93975 -179323 -94654 -186573 -95351 -193818
M2 13293 -72055 15713 -76206 18118 -80349
Verschil
DIANA [Nm] M1 -93950 -179300 -94630 -186500 -95300 -193700
M2 13280 -72040 15700 -76190 18110 -80330
[ •] M1 M2 0,01% 0,02% 0,07% 0,01% 0,06% 0,00% 0,02% 0,02% 0,03% 0,00% 0,02% 0,00%
Tabel 4.6.2 - C o n t r o l e uitvoer D I A N A v o o r w a p e n i n g s m o m e n t e n bij scheef geval
4.7
Conclusie
N u blijkt dat de uitgevoerde w a a r d e n g o e d overeen k o m e n , kan w o r d e n gestart met het maken van de verdere berekening v o o r de rest van de m o d e l l e n . De uitgevoerde w a p e n i n g s m o m e n t e n vanuit D I A N A k u n n e n dan gebruikt w o r d e n v o o r het dimensioneren van de w a p e n i n g . V o o r d a t er w o r d t verder gerekend met de uitgevoerde m o m e n t e n dient w e l altijd een controle plaats te vinden of de w a p e n i n g s m o m e n t e n g o e d w o r d e n bepaald en welk vlak b o v e n en o n d e r ligt. Er zal w o r d e n gekeken naar het verloop v a n de m o m e n t e n en een mogelijke indeling in stroken.
34
5 5.1
Strokenindeling en modelaanpassing Inleiding
Nu de modellen en de berekeningsmethoden zijn bepaald en gecontroleerd, kan w o r d e n b e g o n n e n met het realiseren van de doelstelling. In dit hoofdstuk zal w o r d e n gekeken of het mogelijk is o m de constructie op te delen in stroken en of dit voordeel oplevert bij het dimensioneren van de w a p e n i n g . Net als bij het h o o f d s t u k over modelleren zit in dit hoofdstuk een o p b o u w die naar een mogelijke indeling in stroken toewerkt. Z o zal eerst globaal het verloop van het b u i g e n d m o m e n t w o r d e n bekeken v o o r d a t de w a p e n i n g w o r d t bepaald. Tijdens het uitvoeren is overgegaan o p een n i e u w m o d e l en is dit m o d e l o o k ter validatie via een niet lineaire m e t h o d e d o o r g e r e k e n d . 5.2
Indeling in stroken
Een van de vragen tijdens dit project is w a p e n e n te k o m e n . In de eerste plaats stroken. Er zal dan w o r d e n gekeken of w o r d e n gekeken naar de n o r m e n v o o r 5.3
of het mogelijk is o m tot een snelle en efficiente manier van is er gekeken of het mogelijk is o m de constructie op te delen in deze indeling ook o p g a a t v o o r scheve plaatvelden. Eerst zal er het w a p e n e n van plaatvelden.
Normen
De voorschriften beton [ N E N 6 7 2 0 ] geeft in artikel 7.3 een algemene m e t h o d e v o o r het bepalen van de krachtsverdeling bij platen. Indien platen w o r d e n berekend met de lineaire-elasticiteitstheorie k u n n e n dezelfde formules w o r d e n gebruikt v o o r het bepalen van de w a p e n i n g s m o m e n t e n zoals eerder vastgesteld (§ 4.5) Er staat verder omschreven dat het wapeningsverloop m a g worden geschematiseerd tot stroken met een constante w a p e n i n g . Hierbij m a g het w a p e n i n g s m o m e n t in de m a a t g e v e n d e d o o r s n e d e w o r d e n bepaald d o o r de oppervlakte van het b u i g e n d e m o m e n t te delen d o o r de strookbreedte. V e r d e r w o r d t er in de toelichting o p g e w e z e n dat in speciale gevallen zoals bij vrije opleggingen en vrije randen grote w r i n g e n d e m o m e n t e n k u n n e n optreden die k u n n e n leiden tot extra w a p e n i n g in alle lagen en richtingen. De absolute w a a r d e van Figuur 5.3.1 - W a p e n i n g s m o m e n t e n en w a p e n i n g s s t r o k e n het w r i n g e n d m o m e n t w o r d t namelijk opgeteld bij het b u i g e n d m o m e n t in de betreffende w a p e n i n g s r i c h t i n g . Bij een positief b u i g e n d m o m e n t z o u w a p e n i n g b o v e n i n m o e t e n w o r d e n toegepast als het w r i n g e n d m o m e n t maar g r o o t g e n o e g is. V o o r dit soort gevallen w o r d t aangeraden o m een gangbare w a p e n i n g te kiezen en met behulp v a n de vloeilijnentheorie of de e v e n w i c h t s m e t h o d e de bezwijkbelasting te bepalen. De n o r m is opgesteld v o o r de utiliteitsbouw, dit blijkt o n d e r andere uit de eis met betrekking tot het kiezen van een g a n g b a r e w a p e n i n g . De regel geldt namelijk niet v o o r b e t o n n e n b r u g g e n . In artikel 10.1.1 van N E N 6 7 2 3 staat dat altijd m o e t w o r d e n voldaan aan de minimale hoeveelheid w a p e n i n g . V o o r scheve platen w o r d t v e r w e z e n naar C U R rapport 5 4 . In [ N E N 6720] k u n n e n met behulp van tabellen de m a a t g e v e n d e m o m e n t e n ten b e h o e v e van de w a p e n i n g w o r d e n bepaald. Deze tabellen zijn opgesteld v o o r een g r o o t aantal afmetingen en r a n d v o o r w a a r d e n .
35
O m tot een w a p e n i n g s v e r d e l i n g te k o m e n w o r d t uitgegaan van een gunstige herverdeling van de m o m e n t e n en w o r d t de plaat in een aantal stroken verdeeld (zie figuur 5.3.2). Namelijk een middenstrook en t w e e randstroken. Dit gebeurt in beide richtingen w a a r d o o r de plaat w o r d t o p g e d e e l d in rechthoeken en vierkanten. V o o r s o m m i g e gevallen bleek de w a p e n i n g in de hoeken niet v o l d o e n d e en in die gevallen w o r d t extra " w r i n g w a p e n i n g " in de h o e k e n v o o r g e s c h r e v e n . Daarnaast dient rekening te w o r d e n g e h o u d e n met een minimaal w a p e n i n g s p e r c e n t a g e in verband met veiligheid, krimp en s c h e u r v o r m i n g . Die laatste eis is meer een algemene en g e l d i g v o o r de meeste betonconstructies.
:
0,5m
VJ
u-i Ln CD" v/
<>--r I HI
= 0,5/ri,,
*
cr-' MTTTT * verankeringslengte
mm
5 0,5/
7777777a
CN C J
crv» 3
c
wringwapening !
r -
kruisnet onder en boven
0,3/,
kruisnet onder en boven
"T
Wapening in x- richting
Wapening in
/-richting
Figuur 5.3.2 - W a p e n i n g s v e r d e l i n g
5.4
AAodelopzet
Zoals in de inleiding van dit h o o f d s t u k is besproken w o r d t er overgeschakeld o p een nieuw reken m o d e l . Hieronder staat omschreven hoe tot het maken van een n i e u w m o d e l is g e k o m e n en in het v o l g e n d e hoofdstuk staat de o p b o u w van het nieuwe m o d e l o m s c h r e v e n . 5.4.7
Momentenverloop
V o o r het m o d e l plaat 9 0 zijn de w a a r d e n gecontroleerd met het liggermodel en een h a n d b e r e k e n i n g . Het m o m e n t e n verloop moet dus ook overeen k o m e n met dat van het liggermodel. Een verschil is dat er bij een plaat m o d e l o o k w r i n g e n d e m o m e n t e n o p t r e d e n . A a n g e z i e n hier geen sprake is van scheefstand is de v e r w a c h t i n g dat de buigende m o m e n t e n in de o v e r s p a n n i n g r i c h t i n g gelijkmatig verlopen. Tevens zullen de w a a r d e n symmetrisch zijn ten opzichte van de hartlijn van het viaduct. O p bijlage 3 is te zien dat het m o m e n t e n v e r l o o p v o o r m gelijkmatig is en loodrecht o p de as van het viaduct staat. Het verloop en de w a a r d e n zijn zoals v e r w a c h t . Bij de symmetrie lijn zijn enkele verstoringen te zien. V o o r a l bij de plot van de w r i n g e n d e m o m e n t e n zijn de veranderingen in de geometrie g o e d t e r u g te v i n d e n . Hieraan zal later meer aandacht w o r d e n besteed. Er kan nu verder w o r d e n gegaan met het kijken naar het verloop bij scheefstand. m
Bij de scheve gevallen is niet b e k e n d hoe het m o m e n t e n verloop precies zal zijn. De v e r w a c h t i n g is w e l dat de plaat gaat dragen over de kortste draagrichting. Die richting is in dit geval anders dan bij plaat 9 0 (zie figuur 3.8.1). Eveneens is de v e r w a c h t i n g dat er grote w r i n g e n d e m o m e n t e n ontstaan in de h o e k e n en dan vooral in de s t o m p e hoek.
36
O p bijlage 4 is duidelijk te zien dat het verloop van de m o m e n t e n niet meer helemaal gelijk verloopt over de lengte as van het viaduct. De c o n t o u r e n staan niet meer helemaal loodrecht o p de as en de minimale -en maximale w a a r d e n v o o r het b u i g e n d e m o m e n t in de globale x - r i c h t i n g ( m ) , w o r d e n verstoord d o o r randinvloeden. V o o r het w r i n g e n d m o m e n t zijn de w a a r d e n groter en ontstaat een verloop. Langs de vrije rand is zoals verwacht de w a a r d e hoger net als in de s t o m p e h o e k e n van de v e l d e n . Net als bij het w r i n g e n d m o m e n t bij plaat 9 0 zijn de invloeden van de veranderingen in de geometrie g o e d zichtbaar. O m een beter beeld te krijgen is het belangrijk dat deze invloeden w o r d e n beperkt. xx
5.4.2
Verstoringen
Uit het verloop van de b u i g e n d e m o m e n t e n ( m en m ) in de plots, zijn duidelijk de invloeden d o o r veranderingen in de geometrie te zien. Dit bleek ook al tijdens het vergelijken van de z a k k i n g e n bij het liggermodel en plaat 9 0 . De overstekken aan de rand h e b b e n daar grote invloed o p het m o m e n t e n verloop net als de verdikking van de d o o r s n e d e bij de o p l e g g i n g en t u s s e n s t e u n p u n t e n . O m de verstoring van het v e r l o o p zoveel mogelijk t e g e n te gaan is ervoor g e k o z e n o m deze randen en de v e r d i k k i n g bij het tussensteunpunt uit de resultaten te halen. De randen w o r d e n er in werkelijkheid niet a f g e h a a l d . Bij het bekijken van de uitvoer w o r d e n de resultaten van deze gebieden w e g gelaten, de invloeden w o r d e n dan niet zichtbaar. N a het selecteren van de resultaten z o n d e r de randgebieden geeft dit het v o l g e n d e resultaat (zie bijlage 5 & 6). xx
xy
De modellen z o n d e r rand invloeden geven een gelijkmatiger m o m e n t e n v e r l o o p en k u n n e n d a a r d o o r beter w o r d e n gebruikt v o o r het bepalen van de w a p e n i n g . Het w e g l a t e n van de resultaten in de uitvoer geeft w e l m o o i e plaatjes, maar er o n t b r e k e n natuurlijk o o k gegevens. V o o r a l v o o r het w r i n g e n d m o m e n t langs de vrije rand geeft dit p r o b l e m e n . De w r i n g e n d e m o m e n t e n bepalen samen met de b u i g e n d e m o m e n t e n het uiteindelijke w a p e n i n g s m o m e n t (zie § 4.5). D o o r d a t de b u i g e n d e m o m e n t e n bij de randen e r g klein zijn, spelen de w r i n g e n d e m o m e n t e n daar een grote rol. De vrije rand verdient hierdoor extra aandacht en kan niet z o m a a r uit de resultaten w o r d e n gehaald. D o o r het w e g h a l e n van de storende invloeden uit het m o d e l n e e m t de kwaliteit van de uitgevoerde gegevens af. Het leek d a a r o m verstandiger o m een n i e u w m o d e l o p te zetten met een u n i f o r m e geometrie. V o o r dit nieuwe m o d e l zijn ongeveer dezelfde v e r h o u d i n g e n a a n g e h o u d e n als bij het basis m o d e l . M e t dit algemene geval kan dan een beter inzicht w o r d e n verkregen z o n d e r dat verstoringen de resultaten bei'nvloeden. V a n w e g e de constante geometrie w o r d t het m o d e l u n i f o r m g e n a a m d .
37
5.5
Uniform
In het vorige hoofdstuk is besloten o m een n i e u w rekenmodel op te zetten. Dit rekenmodel heeft overal een gelijke dikte en de afmetingen k o m e n ongeveer overeen met het eerder gebruikte m o d e l . Naast het verschil in geometrie zal ook de introductie van scheefstand verschillen. Bij het introduceren van scheefstand zal namelijk de overspanninglengte niet meer gelijk w o r d e n g e h o u d e n , zoals bij de eerdere rekenmodellen. Dit alles leidt tot een beter en algemener resultaat. 5.5.1
Het
rekenmodel
Het n i e u w e rekenmodel is niet alleen opgezet o m een beter beeld te krijgen over het m o m e n t e n v e r l o o p bij scheefstand van een plaatveldviaduct. Er zal nu o o k naar een aantal anders zaken w o r d e n g e k e k e n , namelijk: • • • •
de verdeling in stroken dimensioneren van de w a p e n i n g bepalen van de bezwijkfactor het optreden van herverdeling
H o e w e l de berekeningen volgens de lineair elasticiteitstheorie zijn uitgevoerd is het belangrijk o m te kijken w a t er precies gebeurd bij t o e n a m e van de belasting en w a t de bezwijkfactor van een constructie is. Hierdoor kan men bepalen w a t het verschil tussen de bruikbaarheid -en de uiterste grenstoestand is. Dit is een mate v o o r de veiligheid van de constructie. De bezwijkfactor zal w o r d e n bepaald met behulp van een niet lineaire b e r e k e n i n g en w o r d e n vergeleken met de o n t w e r p w a a r d e . A a n de hand van die resultaten kan ook w o r d e n gecontroleerd of er herverdeling optreedt. Naast de verschillen in resultaten en b e r e k e n i n g s m e t h o d e n zijn de grootste verschillen met de vorige manier van modelleren. 1. Het hele m o d e l w o r d t m e e g e n o m e n . De constructie w o r d t niet d o o r g e s n e d e n bij de symmetrielijn. Het verschil in rekentijd is namelijk nihil en de symmetrie levert een extra controlemiddel. 2.
Bij scheefstand w o r d t de o v e r s p a n n i n g niet gelijk g e h o u d e n . De rijbaanbreedte v o o r het verkeer dat over het viaduct gaat blijft gelijk, maar de o v e r s p a n n i n g w o r d t kleiner. Dit verschil in o v e r s p a n n i n g w o r d t o n d e r v a n g e n d o o r de o p z e t van de geometrie. De dikte w o r d t namelijk per geval bepaald.
3. De globale x-as ligt in de richting van de viaduct as en de positieve z-as is naar b o v e n g e k o z e n . Dit maakt v o o r de resultaten geen verschil, alleen verschil van teken. P r o g r a m m a technisch is dit een makkelijkere orientatie van het m o d e l . Bij het gebruik van de grafische user interface F E M G V staat het m o d e l dan meteen in de gewenste positie. O m het verschil in o v e r s p a n n i n g op te v a n g e n en o m tot een realistisch o n t w e r p te k o m e n is de dikte van de constructie v o o r ieder geval van scheefstand afzonderlijk b e p a a l d . De m e t h o d e n o m tot een dikte te k o m e n is gebaseerd op het doorbuigcriterium en w o r d t in het v o l g e n d e hoofdstuk o m s c h r e v e n .
38
6 6.1
Onderdelen van de berekening Opzetten van de geometrie
In eerste instantie w o r d t met behulp van een doorbuigcriterium de dikte van de velden bepaald. Hiervoor w o r d t steeds 1 / 4 0 0 van de o v e r s p a n n i n g a a n g e h o u d e n . Dit k o m t overeen met de manier w a a r o p dit in de N E N 6 7 2 0 gebeurt v o o r platen. Bij het bepalen van de d o o r b u i g i n g bestaat de belasting uit het eigen g e w i c h t en de verkeersbelasting Q . De belastingfactor die volgens N E N 6 7 2 3 toegepast m o e t w o r d e n v o o r het eigen g e w i c h t wijkt af van de N E N 6 7 2 0 en is 1,5. M o m e n t e e l loopt een discussie dat deze factor verlaagd z o u k u n n e n w o r d e n . V o o r de belasting van het eigen g e w i c h t w o r d t d a a r o m uitgegaan van een belastingfactor van 1,4. De gelijkmatig verdeelde belasting Q w o r d t bij het bepalen van de d o o r b u i g i n g vermenigvuldigt met een factor 1,0. De belasting van een w a g e n zoals omschreven in de [ N E N 2 0 0 8 ] w o r d t niet m e e g e n o m e n aangezien deze slechts een klein deel van de totale belasting v o r m t . Daarnaast w o r d t het eigen gewicht v e r m e n i g v u l d i g d met een hogere factor dan gebruikelijk (= 1,2). mobiel
m o W e (
O n d e r deze belasting m a g de d o o r b u i g i n g bij een o v e r s p a n n i n g van 3 0 [m] niet meer zijn dan 7 5 [mm]. Hierbij w o r d t de dikte steeds o p g e v o e r d met stappen van 5 0 [mm]. Als er een dikte is g e v o n d e n waarbij w o r d t v o l d a a n aan het doorbuigcriterium, w o r d t het eigen g e w i c h t w e e r met 1,4 v e r m e n i g v u l d i g d en de gelijkmatig verdeelde belasting met een factor 1,5. O n d e r deze belasting w o r d e n dan de w a p e n i n g s m o m e n t e n m o m e n t e n bepaald. De w a p e n i n g kan dan w o r d e n gedimensioneerd op basis van deze m o m e n t e n . 6.2
Verdeling in stroken
De constructie w o r d t in lengte en breedte richting o p g e d e e l d in stroken van 0 , 2 5 -en 0,5 maal de lengte of breedte. Dit levert v o o r het geval van 9 0 ° een v e r d e l i n g in gebieden o p zoals te zien is in bijlage 7. M e t de keuze van de elementenverdeling is de indeling o o k makkelijk te verkrijgen v o o r de scheve gevallen. De w a p e n i n g kan nu per strook w o r d e n bepaald. De v r a a g die b e a n t w o o r d m o e t w o r d e n luidt: Levert het o p d e l e n in stroken v o o r d e e l o p en gaat deze v e r d e l i n g ook o p v o o r scheve gevallen. 6.3 6.3.7
Wapeningsmomenten uitvoer
M e t behulp van de eerder opgestelde formules k u n n e n de w a p e n i n g s m o m e n t e n v o o r de verschillende modellen w o r d e n bepaald. Zoals eerder vermeld kan D I A N A zelf de w a p e n i n g s m o m e n t e n bepalen in een o p g e g e v e n richting. Er dient echter altijd w e l een controle plaats te vinden op de uitvoer z o d a t de richtingen en de lagen niet met elkaar w o r d e n v e r w a r d . In het algemeen geeft D I A N A de v o l g e n d e uitvoer. DIANA M
l S
,
(boven)
2
(beneden)
M,s
M s,
(boven)
M s
(beneden)
2
2
2
moment
locatie vlak
m „ + m*y
m
m
y y
y y -
+
m
x y
Tabel 6 . 3 . 1 - B e n a m i n g w a p e n i n g s m o m e n t e n uitvoer D I A N A
D e eerste k o l o m geeft de b e n a m i n g van D I A N A w e e r . In de t w e e d e en derde k o l o m w o r d e n d e plaats (boven of benedenvlak) en de gebruikte f o r m u l e g e g e v e n . V o o r a l de b e n a m i n g e n van de surface kan v o o r v e r w a r r i n g zorgen aangezien top in dit geval o v e r e e n k o m t met de onderwapening. Het is d a a r o m verstandig o m niet de b e n a m i n g te g e b r u i k e n , maar het n u m m e r van het vlak. De s, in de D I A N A b e n a m i n g staat v o o r surface 1 en dat veroorzaakt minder verwarring. Deze manier van uitvoer staat niet vast en dient altijd te w o r d e n gecontroleerd. V o o r het rechte geval kan dat o o k d o o r de w a a r d e n bij elkaar o p te tellen. In figuur 6.3.1 k u n n e n de bovenstaande formules snel w o r d e n gecontroleerd aan d e hand van het verloop v a n de lijnen. D o o r bij de scheve gevallen de lokale m o m e n t e n als uitvoer te laten bepalen k u n n e n de w a a r d e n ter controle w e e r w o r d e n opgeteld net als bij het rechte geval.
39
275
1~
Element E L . M X X . L M X X Integrals-. 4 7 E 8
Element E L . M 1 R . . M 1 R Surface 1 integral=-.356E8
Element E L . M X X . L M X Y Integrals. 1 1 3 E 8
Element E L . M 1 R . . M 1 R Surface 2
£ f c b
rr
. 2JB
tm . ,5 + 1.25-
ntegral=-.583E8
._
-125
+
-\
... L I
-/--+-
-
175 20
225 25
(
i5
5
75
10
2,5
t
5 ' 7.5
|
U
2
Figuur 6.3.1 - Grafische controle bepaling w a p e n i n g s m o m e n t e n In de bovenstaande figuur zijn in grafiek 2 en 4 de w a p e n i n g s m o m e n t e n over een snede in de breedterichting van de plaat g e g e v e n . De t w e e grafieken ernaast (1 en 3) geven de lokale buigende m o m e n t e n ( m en m ) over diezelfde snede weer. Het w o r d t snel duidelijk dat m x x - I mxy I w o r d t weergegeven d o o r grafiek 2 . Deze controle kan ook w o r d e n uitgevoerd d o o r te kijken naar de integraal over de snede. De s p r o n g in de grafiek die over de eerste en laatste 2,5 [m] plaatsvindt w o r d t veroorzaakt d o o r het feit dat de elementgrote hier te g r o o t is o m het verloop g o e d te k u n n e n w e e r g e v e n . xx
6.3.2
xy
Bepalen maatgevende
wapeningsmomenten
Het bepalen van de w a p e n i n g s m o m e n t e n vindt op de v o l g e n d e manier plaats. Bij een m a a t g e v e n d e doorsnede w o r d t een snede gemaakt. O v e r die snede w o r d t het verloop van het w a p e n i n g s m o m e n t in een grafiek w e e r g e g e v e n . O m van dit verloop tot een m o m e n t per strekkende meter te k o m e n w a a r o p de w a p e n i n g kan w o r d e n gedimensioneerd w o r d t de integraal van het w a p e n i n g s m o m e n t over de betreffende snede bepaald. D o o r deze integraal te dele d o o r de lengte van de snede, w o r d t het m o m e n t per strekkende meter laatbreedte verkregen. Eigenlijk w o r d t dus het g e m i d d e l d e w a p e n i n g s m o m e n t over de snede bepaald. Dit betekent dus dat er een gebied is met teveel w a p e n i n g en een gebied is met te w e i n i g w a p e n i n g . Uitgaande van herverdeling m o e t dit geen probleem opleveren. Deze m e t h o d e staat o o k z o omschreven in de n o r m . Bij een bepaald verloop van het w a p e n i n g s m o m e n t z o u het k u n n e n zijn dat het gebied met te w e i n i g w a p e n i n g veel groter w o r d t dan dat met te veel w a p e n i n g . Dit z o u extra kosten met zich mee b r e n g e n . D o o r nu de snede o p te delen in t w e e randen en een middenstuk kan tot een betere verdeling van de w a p e n i n g w o r d e n g e k o m e n . D o o r n u per gebied te middelen w o r d t het werkelijke verloop beter benadert. Dit z o u tot minder w a p e n i n g k u n n e n leiden en o o k tot een grotere veiligheid o m d a t pieken beter w o r d e n opgevangen. V o o r de scheve gevallen gaat dit niet op deze manier v a n w e g e de rotatie van de m o m e n t e n en dient een controle te w o r d e n uitgevoerd zoals eerder omschreven in het § 4 . 5 M e t behulp van de w a p e n i n g s m o m e n t e n kan nu de w a p e n i n g v o o r de beide richtingen w o r d e n bepaald. Er w o r d t daarbij uitgegaan van een o r t h o g o n a l e w a p e n i n g volgens systeem 2 (figuur 4.4.1). H o e w e l dit niet het meest e c o n o m i s c h e systeem is, zal het vaak w e l een eerste keus zijn bij het o n t w e r p e n van de wapening. De l a n g s w a p e n i n g is de w a p e n i n g in de overspanningrichting en de d w a r s w a p e n i n g staat hier haaks o p . In de v o l g e n d e paragraven staat omschreven hoe de w a p e n i n g s m o m e n t e n v o o r de betreffende richting zijn bepaald en daarna w o r d t de w a p e n i n g o p de betreffende m o m e n t e n g e d i m e n s i o n e e r d .
40
6.3.3
langswapening
De maatgevende d o o r s n e d e n bevinden zich bij de s t e u n p u n t e n en in de v e l d m i d d e n zie bijlage 7. V o o r het eerste veld klopt dit niet helemaal o m d a t het extreem daar iets meer richting l a n d h o o f d k o m t te liggen zoals te zien is in figuur 6.3.2. Dat verschil is echter vrij klein. O m het verschil duidelijk te maken is het verloop v a n het buigende m o m e n t m g e g e v e n . Dit m o m e n t is o p die plaats m a a t g e v e n d v o o r het wapeningsmoment. M e t behulp van de grafiek met het verloop k u n n e n nu de m o m e n t e n w o r d e n bepaald. x x
halve lengte viaduct
Figuur 6.3.2 - Plaats v a n extreme b u i g e n d m o m e n t (mxx) in het eerste veld gezien over de as van het viaduct
6.3.3.1
voorbeeld: bepaling langswapening
O m tot het gemiddelde w a p e n i n g s m o m e n t te k o m e n w a a r o p de w a p e n i n g w o r d t gedimensioneerd w o r d e n een aantal stappen d o o r i o p e n . Hierdoor w o r d t niet alleen naar de snede g e k e k e n , maar w o r d t o o k een beeld van de hele strook gekregen. Deze informatie kan n u t t i g zijn bij het verklaren van het uiteindelijke bezwijken. In dit voorbeeld w o r d t gekeken naar snede 2 van het m o d e l u n i f o r m 9 0 ° . Zoals eerder in deze paragraaf is besproken bevindt het extreme m o m e n t zich daar niet ter plaatse van de snede. In dit v o o r b e e l d zal dit n o g eens duidelijk w o r d e n gemaakt. Als eerste stap w o r d t een c o n t o u r p l o t in het gebied gemaakt. Ter plaatse van snede 2 is geen w a p e n i n g n o d i g in het bovenvlak en kan w o r d e n volstaan met de minimale w a p e n i n g . In de onderstaande figuur is een contourplot gegeven v o o r het ondervlak. Het gaat hierbij o m w a p e n i n g in het ondervlak en alleen negatieve w a a r d e n zijn dus relevant. Het w o r d t uit deze figuur duidelijk dat het extreme m o m e n t zich aan de linkerkant van het gebied bevindt en niet in het m i d d e n . Dit is in o v e r e e n s t e m m i n g met d e eerdere v e r w a c h t i n g en figuur 6 . 3 . 2 .
it|i
Min
Min
—*Tlso1:
•
Figuur 6.3.3 - C o n t o u r p l o t w a p e n i n g s m o m e n t e n v o o r het ondervlak 41
Hierna kan de integraal over snede 2 (zie bijlage 7) w o r d e n bepaald ( zie figuur 6.3.4). M e t behulp van de integraal kan de g e m i d d e l d e w a a r d e w o r d e n bepaald d o o r de integraal te delen d o o r de plaatbreedte. Er dient hierbij rekening te w o r d e n g e h o u d e n met het feit dat er soms een dubbele lijn w o r d t w e e r g e g e v e n d o o r d a t de resultaten van de elementen aan beide zijden van de lijn w o r d e n w e e r g e g e v e n . Hierdoor w o r d t dan ook een dubbele integraal bepaald. De g e v o n d e n w a a r d e m o e t dan d o o r t w e e w o r d e n gedeeld. In dit geval gaat het o m surface 2 (de integraal m o e t dan negatief zijn). Jlodel: U 9 0 V O L 1
S U m m . mir .urface 2
,
29eV
min = - 579E6 max = 20 1
felon 1
T
1
1
1
1 1 •"1 i '
r
-
L
i r r r c
a.5
i
T '
j i
-f-
r
r i i
i i
i
i i
I
i i
7.6
10
t
r
t
H "
1 -i i i
r
r
^
~i ~j i
r
along . line
1
1 2.5
15
N 1 7.5
breedte viaduct
Figuur 6.3.4 - Bepalen van het w a p e n i n g s m o m e n t v o o r de h o o f d r i c h t i n g Het gemiddelde w a p e n i n g s m o m e n t is in de figuur w e e r g e g e v e n met de zwarte lijn. De integrale w a a r d e is 0 , 2 1 8 * 1 0 [Nm]. D o o r dit te delen d o o r 2 v a n w e g e de dubbele lijn en de plaatbreedte van 2 0 [m] w o r d t een gemiddeld w a p e n i n g s m o m e n t van -54.5-10 [Nm] g e v o n d e n . Hier is o o k meteen te zien dat in de randstrook (buitenste 5 [m]) meer w a p e n i n g k o m t te liggen dan noodzakelijk en dat in het m i d d e n d e e l het omgekeerde plaatsvindt. O p deze manier w o r d t v o o r iedere snede het relevante w a p e n i n g s m o m e n t bepaald. De s p r o n g aan de randen w o r d t net als bij de vorige grafieken veroorzaakt d o o r de elementgrote. M e t een fijnere elementverdeling z o u het verloop in de buurt van de vrije rand beter k u n n e n w o r d e n weergegeven. s
4
D e snede kan n u w o r d e n o p g e d e e l d in de t w e e randstroken en de middenstrook. D o o r nu v o o r de randen en de middenstrook de integraal te bepalen en het g e m i d d e l d e w a p e n i n g s m o m e n t te bereken, w o r d t figuur 6.3.5 verkregen. Hierin w o r d t per strook het g e m i d d e l d e w a p e n i n g s m o m e n t w e e r g e g e v e n . W e zien dat het m o m e n t bij de randen groter is dan in de middenstrook. O o k zien w e dat het g e m i d d e l d e bij de eerder vastgestelde w a a r d e ligt. De soortgelijke grafieken die te vinden zijn in h o o f d s t u k 7 en de bijlagen 12 t / m 1 5 , zijn volgens dezelfde stappen tot stand g e k o m e n . Snede 2
M1s2
stroken
Figuur 6.3.5 - G e m i d d e l d e w a p e n i n g s m o m e n t per strook 42
6.3.4
dwarswapening
V o o r de d w a r s w a p e n i n g dient het w a p e n i n g s m o m e n t in d w a r s r i c h t i n g te w o r d e n bepaald. Dit gebeurt d o o r per strook over negen sneden in lengte richting het verloop en de integraal te bepalen. Uit deze integralen w o r d t d a n het w a p e n i n g s m o m e n t per strekkende meter bepaald, in feite w e e r het g e m i d d e l d e . Deze gemiddelden k u n n e n d a n w e e r w o r d e n o m g e z e t naar een verloop over de dwarsrichting. 6.3.4.1
voorbeeld: bepaling dwarswapening
Net als bij het bepalen v a n d e l a n g s w a p e n i n g kan v o o r d e d w a r s w a p e n i n g eerst d e c o n t o u r p l o t w o r d e n bekeken. Hier is w e e r het ondervlak w e e r g e g e v e n m e t d e relevante w a a r d e n .
|j|axffi^jr^ode1 set:
'•.8571E5
:§f
=5 -.686 ;5
•M
Y
-435
mVc
X
:3S M
!° Figuur 6.3.6 - C o n t o u r p l o t w a p e n i n g s m o m e n t e n
Het bepalen van het g e m i d d e l d e m o m e n t gaat nu o p een andere manier d a n bij d e l a n g s w a p e n i n g , o m d a t het m o m e n t in een richting w e r k t die loodrecht o p de snede loopt. D a a r o m w o r d t over de onderstaande sneden het g e m i d d e l d e m o m e n t bepaald. Deze w a a r d e n w o r d e n d a n uitgezet in een grafiek (zie grafiek 6.3.8). Hierdoor w o r d e n d e w a a r d e n " v e r t a a l d " n a a r d e richting v a n snede 2 . M e t behulp v a n d e grafiek kan d a n het m a a t g e v e n d e g e m i d d e l d e w a p e n i n g s m o m e n t w o r d e n bepaald v o o r d e d w a r s r i c h t i n g .
Y Z
X
Figuur 6.3.7 - Sneden v o o r het bepalen van het w a p e n i n g s m o m e n t in de dwarsrichting
43
O v e r de snede kan de integraal van het w a p e n i n g s m o m e n t w o r d e n bepaald. In de onderstaande figuren zijn deze gegeven v o o r de sneden 1 en 2 . V o o r de overige sneden zie bijlage 1 9 . Element E L M I R . M2R Surface 2 i n t e g r a l - 247E6
Element E L M 1 R . M2R Surface 2 Integrals-968 E6
/ X
f.. i
/
/
—
=f
Figuur 6.3.8 - Integraal M 2 s 2 over snede 1
H
Figuur 6.3.9 - Integraal M 2 s 2 over snede 2
De waarde v a n de integraal kan nu w o r d e n o m g e r e k e n d naar een g e m i d d e l d e . In de onderstaande tabel w o r d e n de gemiddelden v o o r iedere snede bepaald. W e zien de w a a r d e n uit de bovenstaande figuren hierin t e r u g k o m e n . De grijze k o l o m bevat de w a a r d e n v o o r het bovenvlak.
M in het bovenvlak [Nm]
M in het ondervlak [Nm]
lengte [m]
aantal lijnen [-]
M in het bovenvlak [Nm/m ]
1
2,62E+05
-2,47E+05
10
1
2,62E+04
-2,47E+04
2
-2,20E+05
-9,68E+05
10
2
-1,10E+04
-4,84E+04
3
-7,06E+05
-9,59E+05
10
2
- 3 , 5 3 E+04
-4.80E+04
4
- 9 , 2 3 E+05
-1.01E+06
10
2
-4,62E+04
-5.05E+04
5
-9,95E+05
-1.02E+06
10
2
-4.98E+04
-5.10E+04
6
- 9 , 2 3 E+05
-1,01E+06
10
2
-4,62E+04
-5.05E+04
7
-7,06E+05
-9,59E+05
10
2
- 3 , 5 3 E+04
-4,80E+04
8
-2,20E+05
-9.68E+05
10
2
-1.10E+04
-4.84E+04
9
2,62E+05
-2.47E+05
10
1
2,62E+04
-2,47E+04
2
Snede
2
2
1
M
2
in het ondervlak [Nm/m ] 1
Tabel 6.3.2 - Bepalen van het gemiddelde w a p e n i n g s m o m e n t M 2 per snede
44
Alle g e v o n d e n g e m i d d e l d e n w o r d e n k u n n e n n u w o r d e n uitgezet in een figuur. Snede 2- M2s2
0.00E+00
-1.00E+04
-2.00E+04
-3.00E+04
'M2s2
-4.00E+04
-5.00E+04
-6.00E+04 gemiddelde waarde over de volledige breedte
Figuur 6 . 3 . 1 0 - Bepalen v a n het w a p e n i n g s m o m e n t v o o r de d w a r s r i c h t i n g
Uit figuur 6.3.10 kan d a n het grootste g e m i d d e l d e w o r d e n bepaald. O p deze w a a r d e w o r d t dan d e w a p e n i n g g e d i m e n s i o n e e r d . V o o r het b o v e n s t a a n d e geval w o r d t dit dan - 5 , 1 0 E + 0 4 [Nm] in p u n t 5 . U i t d e w a a r d e n w o r d t w e l meteen duidelijk d a t d e m o m e n t e n in d w a r s r i c h t i n g veel kleiner zijn d a n die in lengte richting. O o k is de figuur symmetrisch, dit dient meteen als controle middel v o o r eventueel verkeerd ingevoerde w a a r d e n . 6.3.5
verwachting
N u de m o m e n t e n b e k e n d zijn kan de w a p e n i n g w o r d e n bepaald. Uit de plots ( f i g u u r 6.3.1 & 6.3.2) is te verwachten dat een indeling in stroken w e l eens een besparing in d e randgebieden kan opleveren. Bij het opdelen in stroken volgt d e w a p e n i n g s h o e v e e l h e i d en d e verdeling hiervan beter het o p t r e d e n d e m o m e n t e n v e r l o o p . In het m i d d e n gebied k o m t er dan w e l w a p e n i n g bij. Uit d e berekeningen m o e t blijken of dit echt w e l het geval is en o f d e indeling in stroken o o k v o o r scheve gevallen opgaat.
45
6.4
Dimensioneren van de wapening
M e t behulp van de w a p e n i n g s m o m e n t e n kan nu d e w a p e n i n g w o r d e n bepaald. Deze w o r d e n bepaald d o o r het gemiddelde te bepalen over de snede. In het v o l g e n d e h o o f d s t u k w o r d t gekeken of het mogelijk is o m met behulp van een indeling in gebieden t o t een efficiente w a p e n i n g s v e r d e l i n g te k o m e n . M e t behulp v a n de verkregen w a p e n i n g s m o m e n t e n kan n u een w a p e n i n g w o r d e n bepaald. De w a p e n i n g w o r d t niet t o t o p detail niveau uitgewerkt maar als hoeveelheid per strekkende meter ingevoerd. Hierdoor ontstaan geen verschillen in hoeveelheden d o o r het kiezen van een gangbare staafdiameter. Bij de paragraaf over de invoer binnen D I A N A w o r d t hier verder o p ingegaan. Het bepalen van de w a p e n i n g gebeurt met behulp van de ontwerptabellen zoals ze in de G T B 1 9 9 0 staan. V o o r het samenstellen van de tabellen w o r d t gebruik gemaakt van de onderstaande formule. Deze f o r m u l e beschrijft het r e k e n k u n d i g b e z w i j k m o m e n t . V o o r een afleiding van deze formule, zie bijlage 1 6 . M u
f „ b d M f' b d v|r
u
b
-. =y(l-0,52y) 2
= rekenkundig bezwijkmoment = rekenwaarde van de druksterkte van het beton = breedte b e t o n d o o r s n e d e = nuttige h o o g t e van de betonconstructie = het mechanisch wapeningspercentage
waarin :
\|/ = cOq k
co = wapeningspercentage k = v e r h o u d i n g tussen rekenwaarde van de treksterkte betonstaal en druksterkte beton f = rekenwaarde van de treksterkte van het betonstaal 0
s
D o o r d a t de betonklasse B65 is en d e w a p e n i n g FeB 5 0 0 , v i n d e n w e v o o r k een w a a r d e van 2
= 1 1 , 1 5 . De 1
g e v o n d e n percentages k u n n e n w o r d e n o m g e r e k e n d naar een hoeveelheid staal in [ m m / m ] . Naast het r e k e n k u n d i g b e z w i j k m o m e n t gelden n o g een aantal extra eisen. Hierbij moet gedacht w o r d e n aan minimale en maximale w a p e n i n g en vervormingcapaciteit. De waarde v o o r d e nuttige h o o g t e d is gesteld o p ongeveer 0 , 9 h en er is dan gewerkt in stappen van 2 5 [mm]. V o o r de verschillende gevallen levert dit de v o l g e n d e tabel o p . d [mm]
Geval
h [mm]
0,9 h [mm]
90°
750
675
675
75°
700
630
625
60°
650
585
600
45°
650
585
600
Tabel 6.4.1 - O v e r z i c h t geometrische en mechanische g r o o t h e d e n De nuttige h o o g t e bij de laatste t w e e gevallen is iets groter g e n o m e n dan 0 , 9 h o m d a t er anders een zeer kleine nuttige h o o g t e over bleef. Platen hebben over het algemeen een laag w a p e n i n g s p e r c e n t a g e . Naast het r e k e n k u n d i g b e z w i j k m o m e n t dient d a a r o m o o k rekening te w o r d e n g e h o u d e n m e t d e minimale en de maximale w a p e n i n g . Het minimale w a p e n i n g s p e r c e n t a g e is er voornamelijk o m brosse breuk te v o o r k o m e n . V o l g e n s [NEN 6 7 2 0 ] toelichting artikel 9.9.2.1 is het minimale wapeningspercentage bij FeB 5 0 0 en B65 0,27%. Het blijkt dat v o o r een g r o o t deel van de d o o r s n e d e n een minimale w a p e n i n g volstaat. Alleen in het m i d d e n van de o v e r s p a n n i n g en bij het steunpunt k o m t extra w a p e n i n g . V o o r a l in d e dwarsrichting kan v o o r bijna alle modellen w o r d e n volstaan m e t een minimale hoeveelheid w a p e n i n g . In bijlage 8 t o t 11 zijn per m o d e l d i a g r a m m e n w e e r g e g e v e n die d e w a p e n i n g s h o e v e e l h e d e n per snede w e e r g e v e n v o o r de verschillende richtingen en lagen.De g e v o n d e n w a p e n i n g hoeveelheid kan hierna in d e niet lineaire berekening w o r d e n ingevoerd.
46
6.5
Invoer in DIANA
De hoeveelheid staal per strekkende meter kan namelijk w o r d e n ingevoerd in D I A N A met behulp van het grid c o m m a n d o (zie tabel 6.5.3). Hierin w o r d e n met behulp van 4 h o e k p u n t e n de verschillende wapeningsvlakken gedefinieerd. Het grid c o m m a n d o geeft aan dat het hier gaat o m een verdeelde w a p e n i n g , een z o g e n a a m d w a p e n i n g s n e t . In eerst instantie is in het b o v e n en ondervlak een net aangebracht dat de minimale w a p e n i n g bevat (A). De vlakken w o r d e n gedefinieerd met behulp van vier n o d e s die de h o e k p u n t e n van het vlak a a n g e v e n . Eventuele extra w a p e n i n g is later op de betreffende plaats t o e g e v o e g d (B).
' reinfo' locati : ondernet 1 grid plane 1005 1329 1678 1402 : bovennet 2 grid plane 2005 2329 2678 2402 : extra bovennet 1e tussensteunpunt 3 grid plane 2005 2329 2678 2402 elemen v1-a3 v1-b3 v1-c3 v2-a1 v2-b1 v 2 - d / : extra bovennet 2e tussensteunpunt 4 grid plane 2005 2329 2678 2402 elemen v2-a3 v2-b3 v2-c3 v3-a1 v3-b1 v3-c1 / : extra ondernet hoofdoverspanning 5 grid plane 1005 13291678 1402 elemen v2-a2 v2-b2 v2-c2 /
0
geomet / 1-2 / 11 / 3 - 4 / 13 — / 5 /15 'geomet' : 1823 11 thick ,1823e-2 1823e-2 xaxis 1.0.0. : 7814-1823=5991 13 thick .5991 e-2 0.0 xaxis 1.0.0. : 5159-1823=3336 15 thick 0.3336e-2 0.0 xaxis 1.0.0.
0
Tabel 6.5.2 - G e o m e t r i e v a n de w a p e n i n g s v l a k k e n
Tabel 6.5.1 - definitie van d e verschillende wapeningsvlakken (grid syntax)
A a n deze w a p e n i n g s v l a k k e n k u n n e n dan geometrie en materiaal eigenschappen w o r d e n g e k o p p e l d (zie tabel 6.5.2). A a n de vlakken die in tabel 6.5.1 zijn gedefinieerd w o r d t eerst een geometrie n u m m e r t o e g e k e n d (C). V o o r het t o e g e k e n d e geometrie n u m m e r kan dan de w a p e n i n g s h o e v e e l h e i d en richting w o r d e n aangegeven (D). Hierbij geeft het eerste getal de hoeveelheid in de x - r i c h t i n g w e e r en het t w e e d e getal dat in de y-richting. O m duidelijk te m a k e n w a a r de x - r i c h t i n g is w o r d t deze gelijk g e h o u d e n aan de globle richting van het m o d e l (E). De w a a r d e n die w o r d e n gegeven in de b o v e n s t a a n d e tabellen zijn die v o o r uniform 9 0 ° . M e t behulp van het diagram in bijlage 8 k u n n e n de hoeveelheden w o r d e n gecontroleerd. V o o r een overzicht van de bovenstaande invoer en de toegepaste materiaaleigenschappen zie o o k bijlage 17 & 1 8 .
47
6.6
Bepalen van de bezwijkfactor
Bij de niet lineaire b e r e k e n i n g w o r d t de belasting g e v o r m d d o o r het eigen gewicht. Deze w o r d t steeds met een factor vermenigvuldigd en aangebracht op de constructie. De factor w o r d t steeds verder o p g e v o e r d totdat volgens de berekening de constructie bezwijkt. Dit kan zijn d o o r te grote rekken of d o o r een mogelijk ontoelaatbare o n n a u w k e u r i g h e i d in de uitvoer. Indien de rekken in het beton groter w o r d e n dan 3,5 %o w o r d t deze belastingfactor als bezwijkfactor a a n g e h o u d e n . A a n g e z i e n de afmetingen van de elementen g r o o t zijn, v o o r het rechte geval 2,5 bij 2,5 [m]. Kan er dan vanuit w o r d e n gegaan dat de constructie over een g r o o t gebied is b e z w e k e n . Bij het bepalen van de geometrie en de w a p e n i n g is een belasting aangebracht van 1,4 maal het eigen gewicht en een gelijkmatig verdeelde belasting van 1,5 * Q = 6 [ k N / m ] . De factor w a a r o p de constructie bezwijkt dient dus in ieder geval iets hoger dan de 1,4 k o m e n te liggen. Uitgaande van de bovenstaande belasting w o r d t per m o d e l de v o l g e n d e bezwijkfactor verwacht. Bij het bepalen van de bezwijkfactor met behulp van de niet-lineaire b e r e k e n i n g w o r d t de belasting in stapjes o p g e v o e r d . D o o r nu de o n t w e r p b e l a s t i n g d o o r die van het eigen gewicht te delen, w o r d t de verwachte o n t w e r p bezwijkfactor verkregen. In de laatste k o l o m van tabel 6.6.1 staat de factor g e g e v e n die volgens het o n t w e r p gehaald dient te w o r d e n . 2
m o b i e l
model
U90 U75 U60 U45
h [m]
eigen gewicht [kN/m ]
[kN/m ]
0,75 0,70 0,65
18,39 17,17 15,94 15,94
4 4 4 4
0,65
2
Qmobiei 2
ontwerpbelasting (1,4*eg + 1 , 5 * Q ^ ) [kN/m ] m o
2
31,75 30,03 28,32 28,32
verwachte ontwerp bezwijkfactor [-] 1,42 1,42 1,42 1,42
Tabel 6.6.1 - Belastingen en bezwijkfactor v o o r de verschillende modellen
6.7
Herverdeling
O f er herverdeling plaatsvindt m o e t blijken uit de bezwijkfactor en het feit of er plastische rekken optreden in de w a p e n i n g en het b e t o n . D o o r d a t er is g e w a p e n d op een g e m i d d e l d e w a a r d e zal er in ieder geval een verdeling moeten plaats vinden naar de plaatdelen w a a r zich teveel w a p e n i n g bevindt. Uit de niet-lineaire b e r e k e n i n g m o e t volgen dat er v o o r het bezwijken plastische p u n t e n o p t r e d e n . Bij het uitvoeren van het rekenproces w o r d t w e g g e s c h r e v e n hoeveel punten plastisch zijn g e w o r d e n . Hierdoor kan tijdens het rekenproces al w o r d e n gezien of herverdeling optreedt. Hieronder w o r d t een gedeelte uit het rekenproces v o o r het geval uniform 9 0 ° g e g e v e n . De load factor van het net a f g e r o n d rekenproces is 1,360 (A) en w o r d t nu o p g e v o e r d met 0,01 (B). Bij de stap zijn 4 0 punten plastisch g e w o r d e n (C). STEP 35 T E R M I N A T E D , C O N V E R G E N C E A F T E R 22 I T E R A T I O N S T O T A L L O A D F A C T O R : L O A D I N G ( 1) * 1.360E+00 F E M V I E file U 9 0 R . V 6 1 O P E N E D STEP
3 6 INITIATED:
L O A D I N C R E M E N T : L O A D I N G ( 1) * 1.000E-02 3 7 2 5 NG= D E C O M P O S I T I O N SIMULATED: M B = 294 N Q = 3653 ND= 679169.) FLOPS= 2 7 4 4 9 4 7 4 . PROFIL= 391410.( RMS= 122. D E C O M P O S I T I O N E X E C U T E D : SD= . 2 1 3 2 6 D + 0 8 H D = . 1 2 2 2 4 D + 1 2 ELEMENT 4 0 IP: 14 C R A C K ARISES - N R : ELEMENT 4 4 IP: 8 C R A C K ARISES - N R : ELEMENT 7 2 IP: 17 C R A C K ARISES - N R : ELEMENT 7 6 IP: 5 C R A C K ARISES - N R : ELEMENT 149 IP: 32 C R A C K ARISES - N R ELEMENT 153 IP: 2 6 C R A C K ARISES - N R ELEMENT 181 IP: 3 5 C R A C K ARISES - N R ELEMENT 1 8 5 IP: 23 C R A C K ARISES - N R NPLAST= 40 IN S E G M E N T E X E C U T
180
Tabel 6.7.1 - Fragment uit de uitvoer van uniform 9 0 ° 48
7
Resultaten van de berekening
De constructies zijn met behulp van een niet lineaire berekening belast tot bezwijken. Hieronder w o r d e n de resultaten besproken die uiteindelijk leiden tot een conclusie. De resultaten zullen per geval w o r d e n besproken en uiteindelijk zullen de verschillende modellen n o g met elkaar w o r d e n vergeleken. In veel gevallen zal blijken dat er verbanden bestaan tussen de verschillende p u n t e n . Hieronder w o r d t n o g kort even een o p s o m m i n g g e g e v e n van de verschillende modellen en de verschillende p u n t e n die w o r d e n onderzocht. Gevallen:
7.1
90° 75° 60° 450
Punten:
V e r d e l i n g in stroken Dimensioneren van de w a p e n i n g Bezwijkfactor Herverdeling
Uniform 9 0 °
Bij dit m o d e l is er geen sprake van scheefstand. Dit m o d e l dient d a a r o m o o k als basis m o d e l v o o r de overige modellen. 7.1.1
Verdeling
in
stroken
D e v e r d e l i n g is in stukken van 0,25 -en 0,5 maal de lengte of breedte, zoals eerder omschreven en te zien in bijlage 7. Pas n a het bepalen van de w a p e n i n g s m o m e n t e n en het vergelijken van de resultaten, kan geconcludeerd w o r d e n of deze indeling v o o r d e e l oplevert. 7.7.2
Dimensioneren
van de
wapening
D e w a p e n i n g is bepaald o p het gemiddelde van het m o m e n t in de m a a t g e v e n d e snede. In bijlage 8 staat de v e r d e l i n g over de verschillende lijnen g e g e v e n . Hierin is duidelijk de b o v e n en o n d e r w a p e n i n g te onderscheiden. V o o r de d w a r s w a p e n i n g kon w o r d e n volstaan met de minimale w a p e n i n g . Dit is zelfs het geval als er w o r d t g e w a p e n d op het maximale m o m e n t dat binnen het gebied w o r d t g e v o n d e n . In de onderstaand tabel is te zien hoe de w a p e n i n g s h o e v e e l h e d e n zijn bepaald. M e t behulp van het g e m i d d e l d e w a p e n i n g s m o m e n t w o r d t de instapwaarde van de tabel bepaald. Dit is de term aan de linker kant van het gelijk teken in de f o r m u l e van § 6.4. M e t behulp van de doelzoek functie binnen het p r o g r a m m a kan nu snel een o p l o s s i n g w o r d e n g e v o n d e n v o o r de vergelijking. Dit levert een w a p e n i n g s p e r c e n t a g e op dat kan w o r d e n o m g e r e k e n d naar een hoeveelheid per strekkende meter. gemiddelde wapeningsmoment [Nm]
Instapwaarde tabel
k*oo
M1s1
0.00E+00
0,00
0,00
M1s2
-1,49E+04
-0,84
M1s1
0,00E+00
M1s2
As [mm2/m']
0,00
0,27
1823
0,08
0,84
0,27
1823
0,00
0,00
0,00
0,27
1823
-5,45E+05
-30,67
3,12
30,67
0,28
1887
M1s1
2,14E+06
120,43
12,91
120,43
1,16
7814
M1s2
0.00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1823
M1s1
0,00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1823
M1s2
-1,45E+06
-81,46
8,52
81,46
0,76
5159
controle
Lijn 1
Lijn 2
Lijn 3
Lijn 4
Tabel 7.1.1 - Bepalen w a p e n i n g s h o e v e e l h e d e n in langsrichting v o o r u n i f o r m 9 0 °
49
O m te bepalen of een indeling in stroken ook voordeel oplevert zijn een aantal eisen opgesteld.Bovendien w o r d t , gezien de geringe w a a r d e n van de m o m e n t e n in dwarsrichting, in eerste instantie gekeken naar de w a p e n i n g in de hoofdrichting. De gestelde eisen zijn: O ©
De w a p e n i n g moet groter zijn dan de minimaal b e n o d i g d e Het verschil moet groter zijn dan 4 %
V o o r dit geval v o l d o e n drie sneden aan de t w e e d e eis namelijk b o v e n het steunpunt, in het randveld en in het middenveld. M e t behulp van een grafiek (figuur 7.1.2) kan het gemiddelde per strook zichtbaar w o r d e n gemaakt. De gestippelde lijn geeft het gemiddelde m o m e n t weer. Dit is het m o m e n t w a a r o p de w a p e n i n g is gedimensioneerd. Eerst w o r d t ook n o g de grafiek over de snede gegeven z o d a t het werkelijke verloop zichtbaar w o r d t . (zie figuur 7.1.1)
0
Z5
5
7.5
10 breedte
12.5
15
17.6
20
Figuur 7.1.1 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 2 Het is duidelijk te zien dat het m o m e n t in de randstroken groter is d a n het gemiddelde m o m e n t . Dit k o m t onder anderen d o o r d a t het w r i n g e n d m o m e n t bij de vrije rand zorgt dat het w a p e n i n g s m o m e n t daar o m h o o g gaat. Een controle op de grafiek is dat de t w e e rand stroken symmetrisch moeten zijn.
Snede 2
M1s2
stroken
Figuur 7.1.2 - M o m e n t e n per strook en het g e m i d d e l d e over de snede 2
50
H o e w e l de verschillen in de grafiek g r o o t lijken w o r d t er niet voldaan aan de t w e e d e eis. De procentuele verschillen ten opzichte van het gemiddelde zijn namelijk e r g klein.
rand +2,6%
midden -2,8%
rand +2,6%
Tabel 7.1.2 - Procentuele verschillen bij snede 2 V o o r de sneden bij het tussensteunpunt en het m i d d e n v e l d zijn dezelfde grafieken gemaakt, zie bijlage 12. De verschillen daar zijn echter veel kleiner. Hieronder zijn ze n o g eens in percentages w e e r g e g e v e n . Boven de percentages w o r d t de grafiek over de snede w e e r g e g e v e n z o d a t de v e r d e l i n g makkelijk gecontroleerd kan w o r d e n . Tussensteunpunt:
Figuur 7.1.3 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 3 Per strook en in percentages vinden w e : rand +0,9%
midden -1,2%
rand +0,9%
|
Tabel 7.1.3 - Procentuele verschillen bij snede 3
51
Middenveld:
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
Figuur 7.1.4 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 4 Per strook en in percentages vinden w e : rand +0,7%
midden -1%
rand +0,7%
|
Tabel 7.1.4 - Procentuele verschillen bij snede 4 De w a p e n i n g is gedimensioneerd op het gemiddelde m o m e n t . Bij een indeling in stroken zijn de verschillen e r g klein. Het verschil in de hoeveelheid w a p e n i n g zal hierdoor o o k e r g klein zijn. Het toepassen van een verschillende w a p e n i n g over de verschillende stroken z o u zelfs k u n n e n leiden tot v e r w a r r i n g bij de uitvoering en uiteindelijk grotere kosten met zich m e e n e m e n . O p basis van deze gegevens kan gesteld w o r d e n dat v o o r het geval van 9 0 ° het indelen van stroken geen voordeel oplevert v o o r w a t betreft de w a p e n i n g . Het gemiddelde m o m e n t over de volledige breedte geeft dus een g o e d e waarde o m de w a p e n i n g o p te dimensioneren.
52
7.1.3
Bezwijkfactor
De g e v o n d e n bezwijkfactor bij de niet lineaire b e r e k e n i n g bedraagt 1,4. Het blijkt echter w e l dat de totale rek in het beton al eerder w o r d t overschreden. Indien deze w o r d t a a n g e h o u d e n o p 3,5 %o dan w o r d t een bezwijkfactor van 1,38 g e v o n d e n . Dit verschil is echter zeer klein en de g e v o n d e n w a a r d e k o m t g o e d overeen met de v e r w a c h t e w a a r d e van 1,4. In figuur 7.1.1 w o r d t het v e r l o o p van de rekken over de verschillende belastingstappen g e g e v e n . Hieruit is af te lezen dat bij een belastingfactor van 1,39 de plastisch rek v o o r het beton w o r d t overschreden. Niet zo l a n g daarna stopt o o k het rekenproces bij een belastingfactor van 1,40.
...Brlir^ir5,ESTRN PMN surtswere calculated
•1E-3 0
I
\ 1
1
|
|
1 1
1| 1
1 i
"i
1 i 1
-i i
-f-
[
1
+
J_
I
I
1 +-
fi-B--
-eJ
1
1 1
r • 4J
1
t
L1
1
(
r
1
(
1
1 1
j
1
1
1
A U
rj
1,38
h i
Hh
y—
1,39
- 4 - f - T 1 \
1
I
I
LOAD
Figuur 7.1.5 - G r o o t s t e negatieve rek van het b e t o n over de belastingstappen v o o r element 2 1 4
53
H o e w e l de grens van 3,5 %o in element 2 1 4 w o r d t overschreden z o u dit o o k slechts zeer lokaal k u n n e n o p t r e d e n . Dit z o u betekenen dat er eventueel een hogere bezwijkfactor w o r d t verkregen. D a a r o m w o r d t v o o r de belastingstap van 1,39 bekeken w a t de plastische rekken in het beton zijn. D o o r daarbij c o n t o u r e n van 1, 2 en 3 %ote kiezen w o r d t een g o e d beeld verkregen over de grote van het gebied dat plastisch is g e w o rden. ISftsnt P R ^ ' i ^ r R N PMIN Resultswer e calculated
E^6#l
d 8 l S 9 , :
11
11
11
11
1 1J
(1
\
el.214
13
11
1I
I
Y fc-O
X
'-11 • •
Figuur 7.1.6 - Plastische gebieden in bovenvlak bij bezwijken bij b e l a s t i n g f a c t o r 1,39 De blauwe strook geeft het gebied aan waar plastische rekken o p t r e d e n . Het is duidelijk te zien dat het slechts o m een smalle strook gaat. De stook loopt echter w e l over de volledige breedte. O o k is te zien dat het plastische gebied zich niet in het veldmidden bevindt, maar meer richting de piek w a a r het extreme buigende m o m e n t optreedt. Dit is zoals v e r w a c h t en eerder besproken in §6.3. O m een duidelijk beeld te krijgen k u n n e n ook alleen de elementen w o r d e n w e e r g e g e v e n w a a r de plastische rek in het beton w o r d t overschreden. Dit levert het onderstaande plaatje o p . Het gaat inderdaad o m een klein aantal elementen, maar die lopen w e l over de volledige breedte van de plaat. I Model: U90nV
Y
k-t> x
Figuur 7.1.7 - Elementen w a a r plastische rek van 3,5%o w o r d t overschreden bij belasting factor van 1,39
54
7.1.4
Herverdeling
Het optreden van herverdeling blijkt op het o p t r e d e n van plastische punten in z o w e l de w a p e n i n g als het beton (A). Hierdoor w o r d t o o k meteen een indicatie v o o r de veiligheid van de constructie verkregen. Als er v o o r bezwijken van de constructie geen plastisch v e r v o r m i n g e n optreden is er namelijk sprake van bros gedrag. RELATIVE E N E R G Y V A R I A T I O N
= 2.838E-04
IN S E G M E N T E X E C U T : = N P L A S T = RELATIVE E N E R G Y V A R I A T I O N
C H E C K = FALSE
192
= 6.049E-05
CHECK = TRUE
STEP 39 T E R M I N A T E D , C O N V E R G E N C E AFTER 7 ITERATIONS T O T A L L O A D F A C T O R : L O A D I N G ( 1) * 1.400E+00
Tabel 7.1.5 - Fragment uit het rekenproces uitvoer bij de b e r e k e n i n g van plaatveld u n i f o r m 9 0
55
7.2 7.2.7
Uniform 7 5 ° Verdeling
in
stroken
De verdeling in stroken is o p een zelfde manier als bij uniform 9 0 ° . D o o r gebruik te maken van de elementverdeling is deze ook makkelijk te m a k e n . Er dient bij het bepalen van de m o m e n t e n w e l rekening te w o r d e n g e h o u d e n met het feit dat de sneden nu een grotere lengte h e b b e n . Bij het berekenen van het gemiddelde van het m o m e n t z o u dit grote verschillen k u n n e n opleveren. 7.2.2
Dimensioneren
van de
wapening
Het bepalen van de w a p e n i n g s m o m e n t e n heeft weer op dezelfde manier plaats g e v o n d e n als bij uniform 9 0 ° . O o k de eisen met betrekking tot een indeling in stroken is a a n g e h o u d e n . Bij het scheve geval v o l d o e n dezelfde sneden weer aan de eis met betrekking tot de minimale w a p e n i n g . Een verschil met het eerdere geval is dat de scheefstand gevolgen heeft v o o r het m o m e n t e n verloop. Dit blijkt ook duidelijk uit de figuur met de gemiddelde m o m e n t e n per strook.
Snede 2
M1s2
stroken In de figuur hiernaast is het gemiddelde m o m e n t in de linker
F i
S
u u r
7
2
A
.. . " M o m e n t e n per strook en het gemiddelde over de snede
strook veel groter dan die in de rechter. Dit w o r d t veroorzaakt d o o r d a t het w r i n g e n d e m o m e n t . Bij de vergelijking tussen de verschillende modellen zal dit verloop w o r d e n vergeleken. In de tabel hieronder w o r d e n de w a p e n i n g s d o o r s n e d e n gegeven v o o r de verschillenden sneden. gemiddelde wapeningsmoment [Nm]
Instapwaarde tabel
k*m
controle
0%I%]
As [mm2/m']
M1s1
5,70E+02
0,04
0,00
0,04
0,27
1688
M1s2
-7,49E+04
-4,92
0,49
4,92
0,27
1688
M1s1
0,00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1688
M1s2
-5,41E+05
-35,52
3,62
35,52
0,32
2029
M1s1
2.07E+06
136,04
14,73
136,04
1,32
8256
M1s2
0.00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1688
M1s1
0,00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1688
M1s2
-1.44E+06
-94,50
9,96
94,50
0,89
5586
Lijn 1
Lijn 2
Lijn 3
Lijn 4
Tabel 7.2.1 - Bepalen w a p e n i n g s h o e v e e l h e d e n in langsrichting v o o r uniform 7 5 °
56
Uit de figuur 7.2.1 w o r d t o o k meteen duidelijk dat de verschillen van de g e m i d d e l d e m o m e n t e n per strook groter zullen zijn dan bij het rechte geval. Procentueel w o r d e n de verschillen per stook ten opzichte van het gemiddelde als volgt. Net als bij het geval u n i f o r m 9 0 ° w o r d t eerst de grafiek w e e r g e g e v e n g e v o l g d d o o r de percentages, z o d a t de w a a r d e n makkelijk k u n n e n w o r d e n gecontroleerd. Kiel: U75VOL 1
i m e n f l L ^ f a . M1R rfaqe 2 ,
.max = -222S.B
Ymin = -.752E6 Xmax = 20.7 Xmin = 0 Vanation along a Nn
. -
l
C l t a
-2 5
I
Jr.
10
125 DISTANCE
Figuur 7.2.2 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 2 Per strook en in percentages vinden w e rand +25%
midden +1,6%
rand -37%
Tabel 7.2.2 - Procentuele verschillen bij snede 2 Deze verschillen zijn e r g g r o o t en vooral het feit dat de g e m i d d e l d e w a a r d e lager is d a n de w a a r d e in het middenveld geeft w e i n i g v e r t r o u w e n in d e sterkte v a n de constructie o p die snede. U i t d e niet lineaire b e r e k e n i n g zal echter blijken of de bezwijkfactor lager w o r d t en of er beter kan w o r d e n overgestapt naar een verdeling in stroken. Als er w o r d t gekeken naar de andere t w e e sneden (zie bijlage 13) dan vinden w e de v o l g e n d e verschillen met de gemiddelde w a a r d e n .
57
Tussensteunpunt: Model: U75VOL L C l ' Load case 1 B e o i e n t ^ L M I R . M1R
i 0
1 2.5
1 5
1 7.5
1 1 10 125 DISTANCE
1 15
1 17.5
120
1 225
Figuur 7.2.3 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 3 Per strook en in percentages vinden w e rand -1,2%
rand
midden +1,3%
-2,1%
|
Tabel 7.2.3 - Procentuele verschillen bij snede 3 Middenveld: t
U75VOL
W
m
i
r lotted:
ana&on along aline
10
12.5 DISTANCE
Figuur 7.2.4 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 4 Per strook en in percentages vinden w e rand -1,4%
midden +1,1%
rand -1,4%
|
Tabel 7.2.4 - Procentuele verschillen bij snede 4
58
Het blijkt w e l dat bij het s t e u n p u n t en in het middenveld de w a a r d e n v o o r het w a p e n i n g s m o m e n t w o r d t g e d o m i n e e r d d o o r het b u i g e n d m o m e n t in de h o o f d r i c h t i n g . H i e r d o o r w o r d t de invloed van het w r i n g e n d m o m e n t in het w a p e n i n g s m o m e n t kleiner. 7.2.3
Bezwijkfactor
D e g e v o n d e n bezwijkfactor bedraagt 1,63. Dit is echter de factor waarbij de b e r e k e n i n g stopt (totale hoofdrek beton - . 4 * 1 0 " ) . De maximale totale rek van het beton w o r d t namelijk al eerder bereikt. Verschil met het vorige m o d e l is dat er n u rekening m o e t w o r d e n g e h o u d e n met de scheefstand. H e t verloop en de richting van de rekken is niet meer evenwijdig aan een van de globale richtingen. Bij de uitvoer kan echter de hoofdrek w o r d e n b e p a a l d . Dit kan echter alleen in een integratiepunt. In de onderstaande figuur vinden w e een bezwijkfactor van 1,53. 2
LOAD
Figuur 7.2.2 - G r o o t s t e negatieve rek van het beton over de belastingstappen v o o r element 2 0 9 Net als bij het v o o r g a a n d e m o d e l kan nu bekeken w o r d e n hoe groot het gebied is dat is b e z w e k e n bij de belastingfactor van 1,63.
Figuur 7 . 2 . 5 - Plastische gebieden in bovenvlak bij bezwijken bij een belasting factor van 1 , 6 3 De gebieden met plastische rekken zijn veel groter dan bij het eerdere geval. De richting van de rekken is o o k anders dan w e r d g e v o n d e n bij het rechte geval. W e l valt het o p dat de extremen in het eerste veld w e e r niet in het veldmidden optreden maar meer richting steunpunt. Als w e nu een plaatje maken van alle elementen die de totale rek van 3 , 5 % o hebben overschreden d a n krijgen w e het v o l g e n d e resultaat. Model: U 7 5 R V
Y X
Figuur 7 . 2 . 6 - Elementen w a a r de totale rek van 3 , 5 % o w o r d t overschreden bij belasting factor van 1 , 6 3 W e l is duidelijk te zien dat het m o d e l symmetrisch is. Dit geeft v e r t o u w e n in de uitgevoerde resultaten. De extremen treden nu o o k op bij de tussensteunpunten en niet alleen in d e eerste velden. O o k is de scheefstand t e r u g te zien in de elementen.
6 0
7.2.4
Herverdeling
Uit de v o o r g a a n d e plaatjes in §7.2 is het duidelijk g e w o r d e n dat er in grote maten herverdeling optreedt v o o r d a t de constructie bezwijkt (A). Het gebied dat plastisch w o r d t is groot en strekt zich over de volledige breedte uit. In de uitvoer is dit o o k t e r u g te v i n d e n . DECOMPOSITION SIMULATED: MB= 294 NQ= 3653 ND= 3725 NG= FLOPS= 2 7 4 4 9 4 7 4 . PROFIL= 391410.( 679169.) RMS= 122. D E C O M P O S I T I O N E X E C U T E D : SD= . 1 3 8 8 5 D + 0 8 H D = . 1 0 6 2 0 D + 1 2 ELEMENT: 1 IP: 3 0 C R A C K ARISES - NR: 2 ELEMENT: 2 IP: 14 C R A C K ARISES - N R : 1
180
[ N B : Hier w o r d t een aantal regels overgeslagen ] LEMENT: 2 2 0 IP: 2 4 C R A C K ARISES - NR: 2 ELEMENT: 2 2 4 IP: 2 8 C R A C K ARISES - N R : 1 IN S E G M E N T E X E C U T E N P L A S T = 571' RELATIVE E N E R G Y V A R I A T I O N
= 9.944E-05
r—i A
CHECK = TRUE
STEP 53 T E R M I N A T E D , C O N V E R G E N C E A F T E R 5 5 I T E R A T I O N S T O T A L L O A D F A C T O R : L O A D I N G ( 1) * 1.630E+00
Tabel 7.2.5 - Fragment uit het rekenproces uitvoer bij de b e r e k e n i n g van plaatveld u n i f o r m 7 5 °
61
7.3 7.3.7
Uniform 6 0 ° Verdeling
in
stroken
Deze is weer gelijk d o o r d a t bij het maken van het model is uitgegaan van het m o d e l u n i f o r m 9 0 ° en de elementverdeling gelijk is g e h o u d e n . 7.3.2
Dimensioneren
van de
wapening
Bij het geval uniform 7 5 ° is een kleine mate van scheefstand a a n w e z i g . Zoals blijkt uit de studie van [Otaredian] kan deze scheefstand o o k n o g met een liggermodel w o r d e n uitgerekend. V o o r het geval uniform 6 0 ° gaat dit echter niet meer o p . De v e r w a c h t i n g is dan o o k dat de scheefstand g e v o l g e n heeft v o o r de verdeling van de w a p e n i n g en een verdeling van de w a p e n i n g in stroken kan leiden tot een efficientere verdeling. Net als bij alle andere gevallen w o r d t weer uitgegaan van de t w e e gestelde v o o r w a a r d e n . Hierbij is w e e r naar de w a p e n i n g in de h o o f d r i c h t i n g gekeken o m d a t in de dwarsrichting kan w o r d e n volstaan met een minimale w a p e n i n g . V o o r de h o o f d r i c h t i n g blijken in drie sneden meer w a p e n i n g te moeten w o r d e n toegepast dan de minimale. D e sneden zijn gelijk aan die bij de eerdere gevallen en bevinden zich in de v e l d m i d d e n en bij het steunpunt. Net als bij het v o o r g a a n d e geval ontstaan er bij het randveld grote verschillen tussen de g e m i d d e l d e m o m e n t e n per strook en het gemiddelde over de snede. Het beeld bij uniform 7 5 ° w o r d t eigenlijk versterkt. In de tabel hieronder w o r d t v o o r Figuur 7.3.1 - M o m e n t e n per strook en het g e m i d d e l d e over de snede de langsrichting aangegeven hoe de w a p e n i n g tot stand komt. De w a a r d e v o o r het gemiddelde w a p e n i n g s m o m e n t v o o r M 1 s 2 zien w e t e r u g in de bovenstaande figuur 7.3.2. De minimale w a p e n i n g is 1 6 2 0 [mrrrVm ]. 1
gemiddelde wapeningsmoment [Nm]
Instapwaarde tabel
k*ro
M1s1
0.00E+00
0,00
0,00
M1s2
-9,65E+04
-6,88
M1s1
0,00E+00
M1s2
«)<,[%]
As [mm2/m']
0,00
0,27
1620
0,69
6,88
0,27
1620
0,00
0,00
0,00
0,27
1620
-4,81 E+05
-34,23
3,49
34,23
0,31
1876
M1s1
1.70E+06
121,02
12,97
121,02
1,16
6982
M1s2
0.00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1620
M1s1
0,00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1620
M1s2
-1,26E+06
-89,88
9,45
89,88
0,85
5086
controle
Lijn 1
Lijn 2
Lijn 3
Lijn 4
Tabel 7.3.1 - Bepalen w a p e n i n g s h o e v e e l h e d e n in langsrichting v o o r uniform 6 0 °
62
r~
1
—
1
—
1
1
—
1
T
-
•1 I I I I 1 I H
i_
.1
J
J
J
J
J
J
J
Figuur 7.3.2 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 2 De procentuele verschillen zijn als volgt. rand +62%
midden +3,5%
rand -69%
I
Tabel 7.3.2 -Procentuele verschillen bij snede 2 Uit de bovenstaande tabel z o u een verdeling in stroken een betere verdeling van de w a p e n i n g o p l e v e r e n . Bij die verdeling zou w e l meer w a p e n i n g w o r d e n toegepast dan in de huidige situatie. In de m i d d e n s t r o o k w o r d t nu namelijk te w e i n i g w a p e n i n g aangebracht. Uit de niet lineaire b e r e k e n i n g zal moeten blijken of de toegepaste w a p e n i n g een lagere bezwijkfactor oplevert. De sneden boven het s t e u n p u n t en in het middenveld leveren een betere verdeling o p , al w o r d t ditmaal niet v o l d a a n aan de t w e e d e gestelde eis dat het verschil groter m o e t zijn dan 4 % . Uit de niet lineaire b e r e k e n i n g moet blijken of de berekende sterkte o o k w o r d t gehaald.
63
Tussensteunpunt: Model: DS5VOL C
1
^ S J n e n f ^ L ^ f e . M1R Ymm = .146E7 Xmax = 23.1
Xmin=
Venaton along a line
10
12.5 DISTANCE
15
Figuur 7.3.3 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 3 Per strook en in percentages vinden w e : rand -3,6%
midden +3,4%
rand -3,2%
Tabel 7.3.3 -Procentuele verschillen bij snede 3 Middenveld:
10
125 DISTANCE
15
Figuur 7.3.4 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 4 Per strook en in percentages vinden w e : rand -5,8%
midden +6,2%
Tabel 7.3.4 - Procentuele verschillen bij snede 4
rand -5,8%
7.3.3
bezwijkfactor 2
D e b e r e k e n i n g stopt bij 1,7 met een minimale h o o f d r e k van - 0 . 4 9 2 * 1 0 " . Zoals w e eerder h e b b e n gezien is dit niet de belastingfactor die a a n g e h o u d e n kan w o r d e n . In een eerder stadium w o r d t namelijk al de maximale rekgrens van het beton overschreden. M e t behulp van de h o o f d r e k k e n kan w e e r w o r d e n gekeken w a t de bezwijkfactor is. W e vinden een bezwijkfactor van 1,64. Dit is ruim h o g e r dan de o n t w e r p w a a r d e van 1,42. O m te kijken w e l k e gebieden plastisch w o r d e n is weer een c o n t o u r p l o t gemaakt. Deze keer is de plot g e m a a k t bij een belastingfactor van 1,64. Dit geeft het v o l g e n d e plaatje.
65
Figuur 7 . 3 . 6 — Plastische gebieden in bovenvlak bij bezwijken bij een belasting factor van 1 , 6 4 W e zien nu dat het gebied dat plastisch w o r d t zich b o v e n de tussensteunpunten bevindt en niet in de randvelden. De gebieden die uiteindelijk plastisch w o r d e n bij een belasting van 1 , 7 liggen o o k bij de tussensteunpunten. Het aantal elementen w a a r de plastische rekken groter zijn dan 3 , 5 % o is w e l veel kleiner dan bij het geval uniform 7 5 ° . Modal: U60R"V
Y
Figuur 7 . 3 . 7 - Elementen w a a r plastische rek van 3,5%o w o r d t overschreden bij bezwijkbelasting W e l is te zien dat het plaatje symmetrisch is en minder schuin loopt dan bij het eerdere scheve geval.
6 6
7.3.4
herverdeling
De figuren met de plastische punten geven al aan dat er herverdeling optreedt. Het gebied is w e l kleiner dan bij het model u n i f o r m 7 5 ° . Dit is t e r u g te v i n d e n in het aantal p u n t e n ( = 8 3 9 ) , (A) dat plastisch is geworden.
DECOMPOSITION SIMULATED: M B 299 N Q = 3653 ND= 3725 NG= FLOPS= 2 8 2 4 0 6 0 5 . PROFIL= 396893.( 681407.) RMS= 124. D E C O M P O S I T I O N E X E C U T E D : SD= . 3 1 3 9 6 D + 0 7 H D .10627D+12 23 C R A C K ARISES - N R ELEMENT 1 5 - NR ELEMENT 10 C R A C K ARISES 5 ELEMENT 33 C R A C K ARISES - NR
189
[ N B : Hier w o r d t een aantal regels overgeslagen ] ELEMENT: 221 IP: 7 C R A C K ARISES - NR: 1 ELEMENT: 2 2 2 IP: 12 C R A C K ARISES - NR: 1 IN S E G M E N T E X E C U T : = N P L A S T = 839 RELATIVE E N E R G Y V A R I A T I O N
9.649E-05
CHECK = TRUE
STEP 6 9 T E R M I N A T E D , C O N V E R G E N C E A F T E R 41 I T E R A T I O N S T O T A L L O A D F A C T O R : L O A D I N G ( 1) * 1.700E+00
Tabel 7.3.5 - - Fragment uit het rekenproces uitvoer bij de b e r e k e n i n g van plaatveld u n i f o r m 6 0 °
67
7.4
Uniform 4 5 °
Dit laatste geval heeft de meest extreme hoek van scheefstand. Het m o m e n t e n v e r l o o p zal hierdoor anders lopen dan bij het rechte geval. De v e r w a c h t i n g is dat er grote verschillen optreden in de gemiddelde m o m e n t e n per strook en het gemiddelde over de snede. Hierdoor z o u een w a p e n i n g gebaseerd o p het gemiddelde m o m e n t tot een lagere bezwijkfactor k u n n e n k o m e n en z o u beter k u n n e n w o r d e n overgegaan naar een verdeling over stroken. De verdeling in stroken en het bepalen van de m o m e n t e n is op een zelfde manier uitgevoerd als bij de andere gevallen. 7.4.7
Dimensioneren
van de
wapening
Het blijkt dat er slechts t w e e doorsneden v o l d o e n aan de gestelde eis van de minimale w a p e n i n g . Alleen bij het steunpunt en in het m i d d e n veld moet meer w a p e n i n g w o r d e n toegepast. V o o r het middenveld ziet de verdeling over de stroken er als volgt uit. A a n de positieve w a a r d e n is ook meteen te zien dat w e te maken hebben met surface 1 (in dit geval b o v e n w a p e n i n g ) . Dit k o m t overeen met de v e r w a c h t i n g bij het steunpunt. W a t ook meteen opvalt is het symmetrische verloop en de grote verschillen tussen de stroken. De symmetrie w o r d t gedeeltelijk vertekend d o o r de schaalverdeling. Bij deze snede en die in het middenveld w o r d t niet voldaan aan de t w e e d e eis van 4 % . D e verschillen ten opzichte van het gemiddelde zijn hier in beide gevallen groter.
Snede 3 M1s1 1250
1000
stroken Figuur 7.4.1 - M o m e n t e n per strook en het gemiddelde over de snede
In de onderstaande tabel staat het gemiddelde w a p e n i n g s m o m e n t en de bijbehorende w a p e n i n g g e g e v e n . De tabel geeft de w a p e n i n g v o o r de hele strook weer die is gebaseerd o p het gemiddelde w a p e n i n g s m o m e n t . De bovenstaande figuur geeft deze w a p e n i n g w e e r met de rode lijn en het verloop van de m o m e n t e n over de stroken. gemiddelde wapeningsmoment [Nm]
Instapwaarde tabel
k*(o
M1s1
0,00E+00
0,00
0,00
M1s2
-3.20E+04
-2,28
M1s1
0,00E+00
M1s2
controle
0) [%]
As [mm2/m']
0,00
0,27
1620
0,23
2,28
0,27
1620
0,00
0,00
0,00
0,27
1620
-3.64E+05
-25,92
2,63
25,92
0,27
1620
M1s1
1.13E+06
80,41
8,41
80,41
0,75
4524
M1s2
0,00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1620
M1s1
0,00E+00
0,00
0,00
0,00
0,27
1620
M1s2
-9.15E+05
-65,18
6,75
65,18
0,61
3635
0
Lijn 1
Lijn 2
Lijn 3
Lijn 4
Tabel 7.4.1 - Bepalen w a p e n i n g s h o e v e e l h e d e n in langsrichting v o o r u n i f o r m 45°
68
De procentuele verschillen v a n de m o m e n t e n in de stroken ten opzichte van het g e m i d d e l d e zijn als volgt Tussensteunpunt: Model: U45VOL K l h e r i r e L ^ f W M1R Max/Mn values plotted: Ymin = S5E6 "max = 28.3 ariation along a line
125
15 17.5 DISTANCE
20
Figuur 7.4.2 - V e r l o o p van w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 3 Per strook en in percentages vinden w e rand -6,1 %
midden +3,4%
rand -6,7%
Tabel 7.4.2 -Procentuele verschillen bij snede 3 Middenveld: Model: U45VOL 1
E f e l h e n f ^ L ^ f t l . M1R Ymin = -.106! •3.3 along all
Figuur 7.4.3 - V e r l o o p v a n w a p e n i n g s m o m e n t M 1 s 2 over snede 4
rand -12,7%
midden +13,1%
rand -12,7%
Tabel 7.4.3 - Procentuele verschillen bij snede 4
V o o r a l in het middenveld zijn de verschillen e r g groot. De v r a a g is of d o o r de herverdeling de m o m e n t e n k u n n e n w o r d e n verdeeld tussen de delen met teveel en de delen met te w e i n i g w a p e n i n g . 7.4.2
bezwijkfactor 2
V o o r u n i f o r m 4 5 ° w o r d t een waarde g e v o n d e n van 1,4 met een minimale hoofdrek van - . 1 3 4 * 1 0 . Deze waarde k o m t g o e d overeen met de uitgangswaarden bij het o n t w e r p e n . De plastische rek van het b e t o n w o r d t o o k nergens overschreden. Dit is ook te zien in de grafiek van de h o o f d r e k k e n over de verschillende belastinggevallen. In dit geval w o r d t het rekenproces eerder beeindigd d a n dat er plastische rekken in het beton w o r d e n overschreden.
Figuur 7.4.4 - G r o o t s t e negatieve rek van het b e t o n over de belastingstappen v o o r element 8 4
70
Het blijkt dat het mis gaat in een element. Dit blijkt duidelijk uit de onderstaande figuur. Bij een eventuele verfijning van het elementen net z o u een w a a r d e v o o r de belastingfactor k u n n e n w o r d e n g e v o n d e n die groter is dan 1,4.
Figuur 7.4.5 - Plastische gebieden in bovenvlak bij bezwijken De c o n t o u r e n zijn een tiende van de plastische rekken waarbij het beton bezwijkt. Dit betekent dat de bezwijkfactor waarschijnlijk hoger is dan de w a a r d e die hier is g e v o n d e n . Het enige nadeel is dat n u niet zichtbaar w o r d t hoe de constructie bezwijkt. 7.4.3
herverdeling
H o e w e l de plastische rekken nergens w o r d e n overschreden betekent dit niet dat er geen plastische p u n t e n o p t r e d e n . Een groot aantal punten is dan al plastisch g e w o r d e n (A). Dit z o u erop k u n n e n d u i d e n dat de werkelijke bezwijkfactor niet veel hoger k o m t te liggen dan de w a a r d e die nu is g e v o n d e n . DECOMPOSITION SIMULATED: M B = 294 NQ= 3653 ND= 3725 NG= FLOPS= 2 7 4 4 9 4 7 4 . PROFIL= 391410.( 679169.) RMS= 122. D E C O M P O S I T I O N E X E C U T E D : SD= . 1 1 4 5 4 D + 0 8 H D = . 1 2 6 1 5 D + 1 2 ELEMENT: 4 IP: 1 0 C R A C K ARISES - NR: 1 ELEMENT: 6 IP: 5 C R A C K ARISES - NR: 1 ELEMENT: 12 IP: 16 C R A C K ARISES - NR: 1
180
ELEMENT: 2 2 0 IP: 6 C R A C K ARISES - NR: 1 ELEMENT: 2 2 0 IP: 14 C R A C K ARISES - NR: 1 253 IN S E G M E N T E X E C U T : = N P L A S T = RELATIVE E N E R G Y V A R I A T I O N
= 1.090E-03
C H E C K = FALSE
STEP 39 TERMINATED, N O C O N V E R G E N C E AFTER 2 0 0 ITERATIONS T O T A L L O A D F A C T O R : L O A D I N G ( 1) * 1.400E+00
Tabel 7.4.4 - Fragment uit de uitvoer b e r e k e n i n g u n i f o r m 4 5
71
8 8.1
Vergelijking en conclusies Verdeling in stroken
Bij het geval u n i f o r m 7 5 ° w e r d er niet voldaan aan de gestelde eisen v o o r het verdelen in stroken. De procentuele verschillen tussen de stroken waren daar e r g groot. Kijken w e nu naar de absolute verschillen en w a t dit betekend v o o r de verschillen in de w a p e n i n g dan levert dit een ander beeld o p . In de onderstaande tabellen staat per strook de w a p e n i n g s h o e v e e l h e i d per strekkende meter v o o r de randen en het midden gegeven met in de laatste k o l o m het g e m i d d e l d e over de drie stroken. In de k o l o m gemiddeld w o r d t de gemiddelde w a a r d e van de w a p e n i n g over de drie stroken g e g e v e n . De w a a r d e bij toegepast geeft de hoeveelheid weer die v o l g d e uit het g e m i d d e l d e w a p e n i n g s m o m e n t over de gehele breedte. Daaronder staat het verschil in de hoeveelheid staal tussen de w a p e n i n g in de strook en de toegepaste gemiddelde w a p e n i n g . V o o r het hanteerbaar maken van de verschillen zijn deze uitgedrukt in een staaf diameter. Per strekkende meter dient er dan een staaf van de gegeven diameter te w o r d e n t o e g e v o e g d of in m i n d e r i n g gebracht. Hieronder staan ze v o o r alle gevallen w e e r g e g e v e n . uniform 75° A s [mnfVm ] 0 [mm ] 1
2
rand
midden
rand
gemiddeld
toegepast
2717 30
2063 7
1266 -31
2015
2029
rand
gemiddeld
toegepast
582 -41
1867
1876
Tabel 8 . 1 . 1 - Wapeningsverschillen v o o r u n i f o r m 7 5 bij snede 2
uniform 60° A s [mm2/m1] 0 [mm2]
rand 3073 39
midden 1945 9
Tabel 8.1.2 - Wapeningsverschillen v o o r u n i f o r m 6 0 bij snede 2
uniform 45° A s [mm2/m1] 0 [mm2]
rand
midden
rand
gemiddeld
toegepast
3159 -25
4131 25
3159 -25
3483
3635
Tabel 8.1.3 - Wapeningsverschillen v o o r u n i f o r m 4 5 bij snede 4
Het blijkt dat indien de w a p e n i n g per strook z o u zijn gedimensioneerd er uiteindelijk een kleinere hoeveelheid staal z o u w o r d e n toegepast. Dit is zoals v e r w a c h t o m d a t bij een o p d e l i n g in stroken het werkelijke verloop van de m o m e n t e n beter w o r d t benaderd. Het verschil is echter zeer klein. Dit blijkt ook uit de w e e r g e g e v e n diameters. Hierbij m o e t ook rekening w o r d e n g e h o u d e n met het feit dat het m i d d e n gebied t w e e maal zo breed is als een rand.
8.2
Bezwijkfactor
In de onderstaande tabel staan de g e v o n d e n bezwijkfactoren v o o r de verschillende gevallen w e e r g e g e v e n . De procentuele verschillen zijn de afwijkingen ten opzichte van de o n t w e r p bezwijkfactor. model
U90 U75 U60 U45
verwachte ontwerp bezwijkfactor [-] 1,42 1,42 1,42 1,42
berekende bezwijkfactor [-]
procentueel verschil [%]
1,38
-2,82% 7,83% 15,49% -1,41%
1,53 1,64 1,40
Tabel 8.2.1 - Vergelijken van de bezwijkfactor W e zien dan alleen de gevallen U 9 0 en U 4 5 niet v o l d o e n . De a f w i j k i n g is vrij klein. De overige gevallen v o l d o e n ruim.
72
8.3
Conclusie
Uit de niet lineaire berekeningen blijkt dat de w a p e n i n g die is gebaseerd op het gemiddelde w a p e n i n g s m o m e n t over de snede v o o r alle gevallen tot de v e r w a c h t e bezwijkfactor komt. T o t een scheefstand van 6 0 ° zijn de verschillen v o o r de w a p e n i n g klein. H o e w e l de vooraf bepaalde bezwijkfactor w o r d t gehaald, zal een v e r d e l i n g van de w a p e n i n g per strook een hogere bezwijkfactor opleveren. Herverdeling hoeft dan in mindere mate plaats te v i n d e n . Als gesteld w o r d t dat de bezwijkfactor 1,4 m o e t zijn, kan dan volstaan w o r d e n met een minder hoeveelheid w a p e n i n g . T o t 6 0 ° maken de kleine verschillen in wapeningshoeveelheid en de berekende bezwijkfactor het niet l o n e n d o m een indeling in stroken te m a k e n . Hierbij speelt mee dat bij verschillen in de w a p e n i n g over de stroken er o o k n o g f o u t e n bij de uitvoering gemaakt k u n n e n w o r d e n . H o e w e l het indelen in stroken tot 6 0 ° geen v o o r d e e l oplevert, vraagt het m a k e n van een o n t w e r p n o g veel tijd. De w a p e n i n g s m o m e n t e n k u n n e n d o o r het p r o g r a m m a zelf w o r d e n bepaald. De w a p e n i n g m o e t dan echter n o g wel h a n d m a t i g w o r d e n bepaald. O m te o n d e r z o e k e n of dit proces z o u k u n n e n w o r d e n geautomatiseerd is gekeken naar een m e t h o d e die eerder is uitgewerkt d o o r P.B.Lourenco. In het v o l g e n d e h o o f d s t u k w o r d t hier verder op ingegaan.
73
9
Wapeningsaanpak volgens Lourenco MC'90
Zoals omschreven in hoofdstuk 1 is gekeken naar een manier o m het bepalen van de w a p e n i n g te automatiseren. Er is daarbij gebruik gemaakt van een d o o r P.B.Lourenco o n t w i k k e l d e m e t h o d e en bijbehorend p r o g r a m m a . In dit hoofdstuk w o r d t met behulp van die m e t h o d e de w a p e n i n g bepaald v o o r de uniforme gevallen. Daarna w o r d t de g e v o n d e n w a p e n i n g vergeleken met de eerder berekende w a p e n i n g volgens de N E N 6 7 2 0 . 9.1
Toegepaste methode
Hieronder w o r d t uitgewerkt w a a r het p r o g r a m m a v a n d a a n k o m t en w e l k e m e t h o d e w o r d t toegepast v o o r het bepalen van de w a p e n i n g . 9.7.7
Ontstaan
van het
programma
V o o r het bepalen van de w a p e n i n g in betonconstructies bestaan verschillende m e t h o d e n [ C U R rapport 5 4 ] . H o e w e l deze m e t h o d e n niet sterk van elkaar verschillen k u n n e n bij de " v e r t a l i n g " naar een normtekst toch verschillen o p t r e d e n . O o k spelen niet objectieve zaken als ervaring en voorkeuren van de constructeur mee. De huidige manier o m een g e w a p e n d e betonconstructie te o n t w e r p e n ziet er als v o l g t uit. 1.
2.
3.
O m een b e r e k e n i n g te k u n n e n starten zijn aanvangsdimensies n o d i g . M e t behulp van vuistregels kan een eerste inschatting w o r d e n g e d a a n . Z o is bijvoorbeeld v o o r een balk de v e r h o u d i n g tussen de h o o g t e en breedte ongeveer 2 / 3 . Bij het dimensioneren van de dikte van het viaduct in §6.1 w e r d gebruik gemaakt van een gebruikseis met betrekking tot de d o o r b u i g i n g o m tot een dikte te komen. M e t de bepaalde afmetingen en o p t r e d e n d e belastingen kan nu het krachten -en m o m e n t e n verloop over de constructie w o r d e n bepaald. G e c o m b i n e e r d met d o o r s n e d e n g r o o t h e d e n k u n n e n de interne krachten en spanningen w o r d e n b e r e k e n d . Hierna w o r d e n de eerder g e k o z e n dimensies gecontroleerd en kan de w a p e n i n g w o r d e n bepaald. Hierbij w o r d t meestal ook naar een paar m a a t g e v e n d e d o o r s n e d e n gekeken. Hierbij w o r d t dan niet alleen naar sterkte maar ook naar andere eisen als v e r v o r m i n g en rotatiecapaciteit g e k e k e n .
Uit deze stappen blijkt dat het o m een iteratief proces gaat. N a stap 3 z o u eigenlijk t e r u g moeten w o r d e n gegaan naar stap 1 o m te kijken hoe het o n t w e r p kan w o r d e n geoptimaliseerd. Deze iteratieslag vergt vaak een grotere rekeninzet dan dat het voordele oplevert en w o r d t d a a r o m meestal a c h t e r w e g e n gelaten. De hierboven omschreven v o r m van o n t w e r p e n w o r d t als een geschikte procedure gezien in z o w e l de N E N 6 7 2 0 als de M o d e l C o d e 1 9 9 0 en de Eurocode 2. Bij ingewikkelde constructies zijn de n o r m e n niet toerijkend, zo w o r d t v o o r scheve plaatvelden in de [NEN 6 7 2 0 ] v e r w e z e n naar de [ C U R rapport 5 4 ] . Er dient dan op een andere manier te w o r d e n gecontroleerd of het o n t w e r p voldoet. Hierbij kan g e d a c h t w o r d e n aan experimentele testen of een niet lineaire berekening. Het nadeel van een controle met experimenten of niet lineaire berekeningen, is dat ze vaak veel tijd v e r g e n . Daarnaast geven ze vaak slechts aan of een o n t w e r p voldoet of niet. Het is dus niet een o n t w e r p , maar een controle techniek. O n d a n k s het feit dat het gebruik van de eindige elementen m e t h o d e de laatste jaren sterk is t o e g e n o m e n , bestaat er n o g steeds geen m e t h o d e v o o r het w a p e n e n van platen en schalen. De hierna omschreven m e t h o d e geeft een consistente en objectieve o p l o s s i n g v o o r het bepalen van o r t h o g o n a l e w a p e n i n g in schijven, platen en schalen. 9.7.2
Nieuwe
methode
Zoals omschreven in C U R rapport 5 4 bestaat er een g r o o t aantal m e t h o d e n v o o r het bepalen van de w a p e n i n g in een betonconstructie. Deze verschillende m e t h o d e n leveren volgens dat rapport over het algemeen hetzelfde resultaat. In deze paragraaf w o r d t de m e t h o d e beschreven zoals deze w o r d t gebuikt binnen het p r o g r a m m a . De m e t h o d e is gebaseerd o p d e M o d e l c o d e , dit is voornamelijk t e r u g te v i n d e n in de beschrijving van het materiaalgedrag. 9.1.2.1
Berekening volgens het n i e u w e m o d e l
In figuur 9.1.1 w o r d t een schaalelement gegeven met een dikte h. De o r t h o g o n a l e w a p e n i n g bevindt zich in de t w e e gearceerde lagen (a) en loopt in x- en y-richting. De trekkracht in de w a p e n i n g w o r d t aangegeven met n , n n en n (b). Hierbij geeft het subscript s aan dat het o m een kracht in het wapeningsstaal gaat. De w a p e n i n g s r i c h t i n g w o r d t w e e r g e g e v e n d o o r de x en de y. Het subscript b en t slaat o p de laag waarin de w a p e n i n g zich bevindt. Hierbij slaat de t o p de b o v e n k a n t (top) en de b o p de o n d e r k a n t (bottom). sxt
syt
5 x b
s v b
74
syb
sxb
Figuur 9.1.1 - M o d e l van schaalelelement met w a p e n i n g (a) en interne krachten (b) De d r u k h o o g t e v o o r het b e t o n w o r d t a a n g e g e v e n met a, en a , waarbij de t en de b w e e r de locatie van het vlak aangeven. In het b o v e n en ondervlak treedt een scheurvlak o p (zie figuur 9.1.2). De normaal van dit scheurvlak w o r d t a a n g e g e v e n met 9 en 0 . b
t
b
(b) Crack direction Figuur 9.1.2 - Scheuren in b o v e n en ondervlak
In het gegeven m o d e l m o e t e n nu vier gevallen w o r d e n b e k e k e n , namelijk. 1. 2. 3. 4.
W a p e n i n g noodzakelijk in de t w e e buitenste lagen Alleen w a p e n i n g noodzakelijk in de onderste laag Alleen w a p e n i n g n o d i g in de bovenste laag Geen w a p e n i n g noodzakelijk
In de onderstaand paragraaf w o r d t het geval bekeken waarbij w a p e n i n g noodzakelijk is in de t w e e buitenste lagen( geval 1 ). 9.1.3
Formulering
bij geval 1
D e krachten en m o m e n t e n die d o o r de w a p e n i n g w o r d e n o p g e n o m e n in de x en y richting w o r d e n gegeven door: n
n
sx
=
n
sy =
mx sy
+
n
=
-n n
s x
sxb n
syt +
=
S
m
sxt n
th n
syb
x t
" syt yt
+
n^h.t,
+ l~l h syb
vb
De krachten en de m o m e n t e n die w o r d e n o p g e n o m e n d o o r het b e t o n . Bovenlaag: net = -atfott m,, = - V2 (h - a,) n
r t
t'] [C]
Onderlaag: = -a„fcd2 m * = - % (h - a*) r u
['] [D]
75
Deze vergelijkingen v o o r de interne krachten m o e t e v e n w i c h t m a k e n met de u i t w e n d i g e krachten die op het element w e r k e n . Dit levert de v o l g e n d e vergelijkingen o p . 2
n
2
= n „ + n^sm ©, + n^sin ©,, yy = n + n^cos ^ + n ^ c o s ^ x y = -nctSinGtCosOt - n^sinSbCosS,, 2
2
sy
n
m
m
2
2
x x = s > + m sin 0, + m sin 0 m = m + m c o s 0 + m^cos ©,, x y - -m^sinOtCosO, - m^sinObCosOt ct
cb
b
2
v v
s v
ct
2
t
[E] [G]
[F] [H]
m
Als w o r d t uitgegaan van 0 en 0 * 0 of it/2 dan geven de b o v e n s t a a n d e vergelijkingen. t
b
(h-a )N„-2M„
(k-a,)N„
b
cb
h sm20 c
+2M„ h sii\W
t
c
b
waarin: 2 Het doel is o m uit de bovenstaande vergelijkingen de n , n n en n te bepalen. M e t de overige o n b e k e n d e n a,, a , 0 en 0 h e b b e n w e nu 6 vergelijkingen met 8 o n b e k e n d e n . D o o r nu de w a a r d e n v o o r 0 en 0 zo te kiezen dat de w a p e n i n g minimaal is, k u n n e n de overige w a a r d e n w o r d e n bepaald. sxt
b
t
syt
s x b
s v b
b
t
b
9.2
Werking van het programma
Het p r o g r a m m a gebruikt het hierboven omschreven m o d e l o m de w a p e n i n g s h o e v e e l h e i d te bepalen. H o e w e l het p r o g r a m m a iteratief naar een o p l o s s i n g zoekt en dit v o o r een g r o o t aantal punten m o e t d o e n , gaat dit proces zeer snel. V o o r het toepassen van het p r o g r a m m a is dus geen grote rekenkracht n o d i g . Hieronder v o l g t een weergaven van de stappen die w o r d e n d o o r i o p e n . N u dan de v o l g e n d e iteratiemethode in g a n g w o r d e n gezet 1. Bereken in het b e t o n a. n ^ n n ^ uit vergelijking [A & B] b. m en m^, uit vergelijking [C & D] d
2.
Bereken de krachten in de w a p e n i n g a. n en n uit vergelijking b. n e n n uit vergelijking sxt
5 X t
s x b
s x b
[E & F] [G & H]
3.
C o n t r o l e e r de krachten in de w a p e n i n g . Als een van de krachten negatief is, zet deze dan o p nul, bereken de bijbehorende hoek 0 en g a t e r u g naar s t a p l .
4.
Bereken de dikte van de gedrukte b e t o n l a a g met vergelijking [I] en controleer of het b e t o n bezwijkt (concrete crushing), (a, +a < h). b
5. 9.2.1
C o n t r o l e e r of convergentie optreedt: Optimalisatie
van de
wapeningshoeveelheid
D o o r een strenge optimalisatie m o d u l e toe te passen in het p r o g r a m m a die in staat is o m de trekkracht in de w a p e n i n g te minimaliseren, kan een grotere n a u w k e u r i g h e i d w o r d e n verkregen. Dit betekent dat er ook een kleinere w a p e n i n g s h o e v e e l h e i d g e v o n d e n z o u k u n n e n w o r d e n . Deze optimalisatie levert echter slechts een beperkte v e r m i n d e r i n g op in de hoeveelheid w a p e n i n g . Bij uitgevoerde optimalisaties [Blaauwendraad] w e r d een v e r m i n d e r i n g van 5 , 8 % g e v o n d e n op de totale hoeveelheid w a p e n i n g . De rekenkracht die v o o r deze optimalisatie neemt sterk toe. H o e w e l dit t e g e n w o o r d i g en in de nabije t o e k o m s t geen rede zal zijn o m de optimalisatie uit te voeren.
76
9.3
Resultaten
V o o r de gevallen van u n i f o r m 9 0 , 7 5 , 6 0 en 4 5 is de w a p e n i n g met behulp van het hierboven omschreven p r o g r a m m a bepaald. D o o r de berekende w a a r d e n in een d a t a file w e g te schrijven als m o m e n t e n in een apart belasting geval k u n n e n de resultaten w o r d e n w e e r g e g e v e n met behulp van de grafische user interface F E M G V . V o o r de gevallen uniform 9 0 staan hieronder de contourplots g e g e v e n . D o o r een plot te m a k e n vanaf het minimale wapeningspercentage k u n n e n de gebieden zichtbaar w o r d e n gemaakt w a a r a a n meer aandacht moet w o r d e n besteed bij het dimensioneren van de w a p e n i n g . De contouren zijn zo g e k o z e n dat ze vanaf de minimale w a p e n i n g o p l o p e n . De b l a u w e kleur geeft dus aan w a a r volstaan kan w o r d e n met de minimale w a p e n i n g . Figuur 9.3.1 geeft de w a p e n i n g v o o r het bovenvlak weer. Dit is duidelijk te zien aan de plaats w a a r extra w a p e n i n g m o e t w o r d e n t o e g e v o e g d , namelijk b o v e n de t w e e tussensteunpunten. De vierkante blokjes geven de o p l e g g i n g e n weer.
el:,U90A Load adcE case 1 )$i = 763 flrn= -5.56 Results .shown, flappedlo nodes
minimale w a p e n i n g
;\ • j......
1
tt
!1
I \
11 I
L
I
—i
h
!L> X
1 7.63 7.1 6.67 605 552 4.99 4.46 3.93 3.41 2.88 2.35 , 1.82
Figuur 9.3.1 - C o n t o u r p l o t v a n de w a p e n i n g s v e r d e l i n g in het bovenvlak v a n u n i f o r m 9 0 °
77
Een zelfde c o n t o u r p l o t kan gemaakt w o r d e n v o o r het ondervlak. W e zien nu dat de gebieden met extra w a p e n i n g zich zoals verwacht in het veld bevinden. O o k is te zien dat in het eerste veld de piek w a a r extra w a p e n i n g k o m t te liggen richting zich dichter bij het eerste steunpunt bevindt. Deze plots k u n n e n v o o r alle gevallen gemaakt w o r d e n . O m een vergelijking te maken met de eerder bepaalde w a p e n i n g volgens de [NEN 6720] gaat het o m de w a p e n i n g per snede. In de v o l g e n d e paragraaf w o r d e n de verschillende w a a r d e n vergeleken.
suits shewn: p p e d l o nodes
minimale w a p e n i n g
1
1)
1
11
11
1
11 11
I1 I
•1
t
11 !
1
t
f
E1
561 527
III lie 2.51
m Figuur 9.3.2 - C o n t o u r p l o t van de w a p e n i n g s h o e v e e l h e i d v o o r het ondervlak van uniform 9 0 °
78
9.4
Vergelijking met NEN 6720
De contourplots in §9.3 geven al een beeld van de w a p e n i n g en de hoeveelheid. O m een vergelijking te m a k e n tussen de w a p e n i n g die in hoofdstuk 6 is bepaald en de w a a r d e n die uit de m e t h o d e van Lourenco k o m e n , moet er gekeken w o r d e n naar de w a p e n i n g per snede. D o o r w e e r een snede te maken en de integraal te bepalen kan tot een gemiddelde w a p e n i n g per strekkende meter w o r d e n g e k o m e n die vergeleken kan w o r d e n met de eerder bepaalde hoeveelheid w a p e n i n g .
Figuur 9.4.1 - Integraal van de w a p e n i n g s h o e v e e l h e i d v o o r snede 3 (boven het tussensteunpunt) v o o r de b o v e n w a p e n i n g Figuur 9.4.1 geeft o o k gelijk het verloop over de snede weer. Het valt o p dat de w r i n g e n d e m o m e n t e n aan de vrije rand een grote invloed hebben op de w a p e n i n g s h o e v e e l h e i d . V o o r alle gevallen k u n n e n nu de hoeveelheden w o r d e n gemaakt. D o o r d a t de resultaten zijn w e g g e s c h r e v e n naar een bestand dat in F E M G V kan w o r d e n ingelezen m o e t er een kleine vertaling w o r d e n g e m a a k t v o o r de b e n a m i n g e n . Richting Load case mxx L d F J Mis, mxx Lc1T M,S2 myy Lc1B M Si myy Lc1T M S2 2
2
Tabel 9.4.1 - Benamingen bij uitvoer Lourenco
79
De w a a r d e n die per snede w o r d e n g e v o n d e n zijn w e e r g e g e v e n in de eerste rij tabellen. In de t w e e d e rij w o r d e n alleen de positieve w a a r d e n eruit gehaald. Een hoeveelheid staal die in het beton moet w o r d e n toegepast kan namelijk niet negatief zijn. Deze w a a r d e n hebben d a a r o m geen functie. In deze rij tabellen w o r d t de integraal o m g e r e k e n d naar een w a a r d e per strekken meter. De lengte van de integraal is d o o r de scheefstand namelijk v o o r ieder geval anders. Tegelijk met het bepalen van de hoeveelheden w o r d e n de w a a r d e n die lager zijn dan het minimale percentage wit g e m a a k t , z o d a t deze niet zichtbaar w o r d e n bij het afdrukken.
U90a
Lc1T mxx
LdB myy
mxx
myy
20,0
1
2,29
1,08
0,05
0,87
1823 1
2
41,70
4,84
-32,60
-3,50
2
3
-162,00
-22,20
164,00
24,70
3
4
111,00
7,77
-104,00
-7,74
4
myy 2,76
1688
Lc1T
U75a mxx 1
Lc1B myy 5,26
4,16
mxx 3,81
9,78
45,70
-2,50
-23,30
2
-10,60 26,30
-114,00
42,20
178,00
3
126,00
-6,49
-31,60
4
LdT
1
myy 0,00
2
47,80
19,80
3
0,00
4
125,00
mxx
mxx
LdT mxx
1620
0,00
-2,11 57,40
2
-10,90
-4,42 166,00
40,40
0,00
-8,73
4
1620
2038
1
7,47
0,04
myy 6,16
myy
8597
6085
mxx
myy
Lc1 3 mxx myy
1 2070
3
7188 5413
mxx
2485
1749
LdT
mxx
mxx
2207
Lc1 B myy 0,00
Ld 3 myy
LdT myy 6,60
Lc1T
U45a
8200 5550
Lc1 3
mxx 8,39
Lc1 3 mxx myy
1
3
U60a
myy
2085
20,7
2 4
LdT mxx
Lc1 3 myy
mxx
myy
1
2
44,50
30,60
2
0,00
-5,50
1,09 137,00
1,97
3
77,80
3
4
111,00
61,70
0,00
-7,48
4
4844 3924
2751
2181
80
D o o r de w a a r d e n nu te vertalen naar de eerdere b e n a m i n g en per snede neer te zetten k u n n e n ze w o r d e n vergeleken met de w a a r d e n die in h o o f d s t u k 6 zijn bepaald. O m een eerlijke vergelijking te k u n n e n m a k e n zijn de w a a r d e n v o o r de d w a r s w a p e n i n g bij L o u r e n c o o p een zelfde manier als bij de N E N 6 7 2 0 bepaald. Binnen de stook zijn sneden in langsrichting g e m a a k t en is gekeken w e l k e snede het g e m i d d e l d e piek m o m e n t oplevert. Deze w a a r d e is a a n g e h o u d e n v o o r de w a p e n i n g over die strook.
U90a
1
3 8200
2
MA
2085
MA M
U90a
4
1
2
5550
1887
MA
?SL
Ms 2
2
1
MA
3 8597
2207
l S 2
M
4 6085
U75a
1
1
2
MA
3 7188
4
2048
M s 2
U45a
1
2
3 4844
5586
3924
MA
AA s,
1890
2
1
2
3 6982
1876
2
Lourenco
2
3 4%
9%
2
4 9%
Procentueel verschil
4
U60a 3%
M a
10%
5086
6%
MA
12%
1821
2
U45a M,s, M M s,
1
2
3 4524
Procentueel verschil
4
MA
3635
1 S 2
U45a
1
2
3 7%
4 8%
MA
17%
2
2313
2624
2SJ
M,s M s,
NEN 6720
4
1
MA
MA 2
U75a
MA
Lourenco
9.5
3 8256
2
U60a M,s
8%
2
MA
5413
2070
MA MA
10%
4
2
NEN 6720
4
3 5%
2
Procentueel verschil
2
Lourenco
M
2 2029
MA
2
1
2
?
M s, M s
2
2
M,s M s, Ms
2
M,5i
MS2
M s
5159
NEN 6720
?S1
U60a
U90a
2
Lourenco
M
4
MA
M,s,
U75a
3 7814
MA
NEN 6720
M
13%
2 S 2
Procentueel verschil
Conclusie
W e zien dat de g e v o n d e n hoeveelheid w a p e n i n g over het algemeen groter is, dit betekent dat de hoeveelheden in ieder geval veilig zijn. W a t v o o r a l opvalt is dat de w a a r d e n v o o r de w a p e n i n g in d w a r s r i c h t i n g een g r o t e a f w i j k i n g v e r t o n e n . Dit kan k o m e n d o o r de manier w a a r o p deze is bepaald in h o o f d s t u k 6. M e t de c o n t o u r p l o t s is snel inzicht te krijgen in plaatsen w a a r e x t r a w a p e n i n g m o e t k o m e n . De m e t h o d e lijkt g o e d te w e r k e n .
81
10 Conclusie en aanbevelingen Het indelen van het plaatveld in stroken levert tot een scheefstand van 6 0 ° geen voordeel op met betrekking tot het w a p e n e n van platen. De verdeling van de m o m e n t e n blijkt ook niet extreem te zijn bij de onderzochte hoeken van scheefstand. Bij het w a p e n e n in stroken z o u zelfs meer w a p e n i n g moeten w o r d e n toegepast. D o o r herverdeling w o r d e n de krachten verdeeld over de constructie. V o o r a l de minimale wapeningseis is bepalend v o o r de totale hoeveelheid w a p e n i n g die in de constructie dient te w o r d e n toegepast. Bij een grotere scheefstand dan 6 0 ° levert een w a p e n i n g over stroken w e l een betere v e r d e l i n g o p van de w a p e n i n g . Hierdoor kan sneller de gestelde bezwijkfactor w o r d e n gehaald en z o u eventueel minder w a p e n i n g k u n n e n w o r d e n toegepast. Naast deze conclusie kan in een eventuele vervolgstudie n o g naar een aantal andere zaken w o r d e n gekeken. Hieronder volgen een aantal aanbevelingen. Bij het automatiseren van de w a p e n i n g s b e p a l i n g zijn g o e d e resultaten verkregen met het p r o g r a m m a van Lourenco. Binnen dit p r o g r a m m a k u n n e n ook membraankrachten w o r d e n m e e g e n o m e n . Bij de huidige berekening zijn deze niet m e e g e n o m e n . V o o r a l o p dit gebied kan het p r o g r a m m a veel uitkomst bieden De factor (k) en de hoek (P) spelen een belangrijke rol bij het bepalen van de w a p e n i n g s m o m e n t e n . Binnen het p r o g r a m m a D I A N A kan de hoek (P) tussen de wapeningsrichtingen w e l w o r d e n gedefinieerd, maar w o r d t v o o r de factor (k) altijd de waarde 1 a a n g e h o u d e n . Het z o u m o o i zijn als deze zelf g e k o z e n kon worden. Bij het m o m e n t e n v e r l o o p over de elementen zagen w e dat de vertaling van de spanningen naar m o m e n t e n niet g o e d verliep binnen D I A N A als er spraken was van een verlopende geometrie over het element. H o e w e l dit geen grote problemen oplevert is het toch belangrijk o m de oorzaak hiervan te achterhalen. Tenslotte kan uitgezocht w o r d e n w a t de invloed is van het laststelsel. In de huidige berekeningen is er vanuit gegaan dat d e invloed hiervan klein is ten opzichten van de totale belasting. O p lokaal niveau z o u de invloed echter w e l van g r o o t k u n n e n zijn.
82
11 Literatuur Betonvereniging, GTB Deel2; Grafieken en tabellen voor beton gebaseerd op de VBC 1990; onderwijsuitgave, Gouda, 1988. Betonvereniging, GTB 1990-Deel2; herziening 1 9 9 5 , G o u d a , 1 9 9 5 . B e t o n v e r e n i g i n g GTB-1988, Gouda, november 1988. Blaauwendraad J . , Scheve platen; gelijkmatig verdeelde belasting, maart 1 9 7 2 , ( C U R rapport 5 3 ) . Blaauwendraad J . , Wapenen van platen, april 1 9 7 2 , ( C U R rapport 5 4 ) . Boer A . de, Modellering van een scheef plaatveldviaduct; als liggermodel (1D), als plaatveldmodel (2V2D) en als volumemodel (3D); Brug over het Wilhelminakanaal in RW 50 nabij Son; Kunstwerk 1; Utrecht, maart 2 0 0 1 , ( B S R A P - R - 0 1 0 0 8 conceptversie). B o u v y J. J . B. J . J . , Feijen T h . A . , H o f m a n J . W . , Compendium van het voorgespannen beton, 2 d r u k ' s Herthogenbosch 1981. e
C U R (commissie v o o r uitvoering van research), Scheve platen; puntlasten temperatuur juli 1973 ( C U R rapport 5 8 ) . dwarscontractiecoefficient verende ondersteuningen, C U R rapport 5 8 , Scheve platen; puntlasten t e m p e r a t u u r dwarscontractiecoefficient verende o n d e r s t e u n i n g e n , juli 1 9 7 3 . Hartsuijker C , Vrijman C . F . , Mechanica (CTme2030).
van constructies
2a; elasticiteitsleer,
g e w . herdruk, Delft, 1 9 9 8 .
Lourenco P.B., Figueiras J . A . , " S o l u t i o n for the Design of Reinforced C o n c r e t e Plates en S h e l l s " , Journal structural engineering, mei 1 9 9 5 , 8 1 5 - 8 2 3 . Lourenco P.B., Blaauwendraad J . , " A a n z e t tot consistent w a p e n e n van schijven, platen en schalen (I)", Cement, n r . 2 , 1 9 9 5 , 4 4 - 5 1 . L o u r e n c o P.B., Blaauwendraad J . , " A a n z e t tot consistent w a p e n e n van schijven, platen en schalen (II)", Cement, nr.3, 1 9 9 5 , 2 1 - 2 6 . Lourenco P.B., Figueiras J. A . , " A u t o m a t i c designe of reinforcement in concrete plates and s h e l l s " , Engineering computations, vol. 10, 1993, 5 1 9 - 5 4 1 .
of
M e i j e n b u r g A . T . G . , Integraal bruggen,Casestudie, T i l b u r g , februari 2 0 0 0 . M e i j e n b u r g A . T . G . , Integraal bruggen,Stand van Zaken en Verkennende Analyse, T i l b u r g , d e c e m b e r 1 9 9 9 . M e r k s , P. J. G . ; W a p e n i n g s g r o o t h e d e n bij plaatconstructies; B S W nr . 8 8 - 0 5 ; B o u w d i e n s t Rijkswaterstaat, januari 1 9 8 8 , U t r e c h t N e d e r h o e d P., Helder rapporteren; Een handleiding voor het schrijven van rapporten, scripties, notas en artikelen in wetenschap en techniek, 5 herziene druk, H o u t e n / Z a v e n t e m , 1 9 9 3 . N E N 6 7 2 3 , Voorschriften beton;Bruggen (VBB 1995); Constructieve eisen en rekenmethoden, 1 druk, juni 1995, (NEN 6723). N E N 6 7 2 0 , Voorschriften beton; TGB 1990; Constructieve eisen en rekenmethoden; (VBC1995); Technische grondslagen voor bouwconstructies, 2 druk, September 1 9 9 5 , ( N E N 6 7 2 0 ) . N E N 2 0 0 8 , Voorschriften voor het vervaardigen van stalen bruggen;VVSB 1977, 1 druk, d e c e m b e r 1 9 7 7 , (NEN 2 0 0 8 ) . O t a r e d i a n N., Krachtsverdeling in scheve plaatbruggen; Deel 1, Literatuurstudie, Utrecht, o k t o b e r 1 9 9 3 . O t a r e d i a n N., Krachtsverdeling in scheve plaatbruggen; Deel 2, Numeriekonderzoek, Utrecht, o k t o b e r 1993. O t a r e d i a n N., Krachtsverdeling in scheve plaatbruggen; Deel 3, Bijlagen, Utrecht, o k t o b e r 1 9 9 3 . e
e
e
e
e
R o t t e r d a m E. O . E. v a n , Sterkteleer 1; toegepaste m e c h a n i c a , 2 druk, A m e r o n g e n , 1 9 9 3 . R o t t e r d a m E. O . E. v a n , Sterkteleer 2 ; toegepaste m e c h a n i c a , 2 druk, A m e r o n g e n , 1 9 9 3 . e
Vrijman C.F., Mechanica
van constructies
lb; samenvattingen,
Delft, ( C T m e 1 0 4 0 ) .
W a l r a v e n J . C . , College co3050 Gewapend beton, herdruk, Delft, September 1 9 9 9 , ( C t c o 3 0 5 0 ) . W i t t e F. C . de, Hendriks M . A . N . , DIANA; User's Manual; Linear Static Analysis; release 7, 1e druk, Delft, augustus 1 9 9 8 . W i t t e F. C . de, N a u t a P., DIANA; User's Manual; Element Library; release 7, 1e druk, Delft, augustus 1 9 9 8 . W i t t e F. C . d e , W o l t h e r s A . , DIANA; User's Manual; Pre- and Postprocessing; release 7.2, 1e druk, Delft, augustus 1 9 9 8 .
83
Inhoudsopgave
Bijlage
Bijlages
1. Handberekening
85
Bijlage 2. Niet orthogonale
wapening
86
Bijlage 3. Momentenverloop
plaat 90"
87
Bijlage 4. Momentenverloop
plaat 75
88
Bijlage 5. Momentverloop
plaat 90 zonder
Bijlage 6. Momentverloop
plaat75 zonder
Bijlage
en sneden
7. Gebiedsindeling
Bijlage 8. Wapeningsdiagram
uniform
Bijlage
9. Wapeningsdiagram
uniform
Bijlage
10. Wapeningsdiagram
BijlageH.
89
randen
90
voor het uniforme
model
91
90°
92
75°
uniform
Wapeningsdiagram
randen
93
60"
uniform
94
45"
95
Bijlage
12.
Indeling
in stroken
Uniform
90°
96
Bijlage
13.
Indeling in stroken
Uniform
75°
97
Bijlage
14.
Indeling in stroken
Uniform
60"
98
Bijlage
15.
Indeling
Uniform
45"
99
Bijlage
16.
Afleiding
Bijlage
17.
Invoer wapening
en materiaaleigenschappen
U90 & U75
101
Bijlage
18.
Invoer wapening
en materiaaleigenschappen
U60 & U45
102
Bijlage
19.
Sneden
in stroken
rekenkundig
bezwijkmoment
voor het bepalen
van M s 2
z
en bepalen
en samenstellen
van de wapening
figuur 6.3.10
100
103
84
Bijlage 1 Handberekening Ter controle van de uitvoer van het p r o g r a m m a en o m een gevoel te krijgen v o o r de w a a r d e n en de afmetingen is een h a n d b e r e k e n i n g uitgevoerd. Het m o m e n t e n verloop en de z a k k i n g in het middenveld zijn bepaald. Deze k u n n e n hierna w o r d e n vergeleken met de w a a r d e n uit de uitvoer van D I A N A .
12 Het steunpuntmoment De liggerberekening kan met behulp van de hoekverdraaiingsmethode w o r d e n u i t g e v o e r d . De constructie kan op de onderstaande manier w o r d e n geschematiseerd.
L, l q
= = =
2
1 8 , 3 7 [m] 2 6 , 3 3 [m] 270 [kN/m ] 1
In de k n o o p p u n t e n B en C w o r d e n scharnieren aangebracht en vervolgens w o r d e n de o n b e k e n d e m o m e n t e n er in g e t e k e n d . De o n b e k e n d e m o m e n t e n k u n n e n nu w o r d e n bepaald d o o r de h o e k v e r a n d e r i n g aan beide kanten van het k n o o p p u n t gelijk te stellen (aansluitingsvoorwaarde). Dit geeft de v o l g e n d e vergelijkingen.
(1) q>? = q>f \-*A+£!L-MjL± V/J
(2)
TB
M =M B
2
4
E
= j
q-l\ 24£7
|
M -l B
3EI
2
|
M -l c
2
6EI
C
N a enige v e r e e n v o u d i g i n g e n levert dit: (l)-4(2Z
+3/
1
2
+)M
B
=-q{l?
3
+ / )+4M Z 2
A
2
Hieruit valt meteen te zien dat zoals v e r w a c h t de t w e e s t e u n p u n t m o m e n t e n M en M v a n w e g e symmetrie dezelfde waarde h e b b e n . N a het invullen v a n de eerder g e n o e m d e w a a r d e n kan n u het m o m e n t w o r d e n berekend. V o o r beide m o m e n t e n levert dit een w a a r d e o p v a n . B
M„ = M
C
c
= 1 4 2 3 7 [kNm]
85
Bijlage 2 Niet orthogonale wapening In het hoofdstuk M o d e l l e r e n is een vergelijking gemaakt tussen drie verschillende w a p e n i n g s s y s t e m e n . Hierbij bleek systeem 3 waarbij de verschillende wapeningsrichtingen een hoek ongelijk aan 9 0 ° (orthogonaal) al meteen af te vallen. De invloed v a n een hoek ongelijk aan 9 0 ° o p d e wapeningshoeveelheid zal hieronder w o r d e n toegelicht. Eerst zal nogmaals de t e k e n i n g w o r d e n gegeven met daarin de verschillende richtingen en h o e k e n . Uitgaande v a n een minimaal b e n o d i g d e hoeveelheid w a p e n i n g kan de totale hoeveelheid bij een bepaalde hoek tussen de wapeningsrichtingen w o r d e n w e e r g e g e v e n met [Merks]. <*1 +°2
= ( * H + °yy
+2.(7-)-—Lsin p Als deze formule w o r d t o m g e w e r k t naar mechanica g r o o t h e d e n geeft dit als w a p e n i n g het m a x i m u m van de onderstaande formule [Merks].
cos p ± 1
cr,
+a
2
sin
cos/3±l
P
sin
P
- •
a
y y
-
2
- ° x y
J Het is e e n v o u d i g te controleren dat v o o r een o r t h o g o n a a l w a p e n i n g waarbij met f j = TC/2 de v o l g e n d e totale hoeveelheid w o r d t verkregen. <*1
+
(
J
2 =
+2-(7
xy
Iedere afwijking v a n deze hoek heeft de volgende invloed.
Invloed hoek tussen de wapeningsrichtingen
86
Bijlage 3 Momentenverloop plaat 90° FEMGV 6.1-02 : RWS bouwdienst
23-JAN-2002 13:12 /pro/rwbu135/4429/tr/vulpen/plaat90/conmxx902
Model: CON90A
BSufrfifflft M* X |ax/MiiLoj^oderset
2 6
1| | .636E5 :f§L -•415E6
V
-.575E6
FEMGV 6.1-02 : RWS bouwdienst
23-JAN-2002 13:11 /pro/rwbu135/4429/tr/vulpen/plaat90/conmxy90
Model: C O N 9 0 A . Max/Min on modeTset |ai • | | |
z .x V
Y
*m
• 245E5 -.409E5 -.572E5 -.736E5
8 7
Bijlage 4 Momentenverloop plaat 75
Buigende m o m e n t e n in de x - r i c h t i n g m
Bijlage 5 Momentverloop plaat 90 zonder randen FEMGV 6.1-02 : RWS bouwdienst
23-JAN-2002 13:45 /pro/rwbu135/4429/tr/vulpen/plaat90/conmxx90
Model: CON90 ||ax/Mi(L^n^|oderset
X
Si .286Ej> Y
FEMGV 6.1-02 : RWS bouwdienst
23-JAN-2002 13:46 /pro/rwbu135/4429/tr/vulpen/plaat90/conmxy90
Model: CQN90 p n h k . ^ M x V M) Y Max/Minpn modelset Hfn -
Ib5
1 736E5 572E5
Z Y
X
lm
818E4 .818E4 245E5 -.736E5
•tm
89
Bijlage 6 Momentverloop plaat75 zonder randen FEMGV 6.1-02 : RWS bouwdienst
23-JAN-2002 13:42 /pro/rwbu135/4429/tr/vulpen/plaat75/conrmxx75
FEMGV 6.1-02 : RWS bouwdienst
23-JAN-2002 13:43 /pro/rwbu135/4429/tr/vulpen/plaat75/conrmxy75
CQNR75 i^case.,1 XX.L M) odelset
Bijlage 7 Gebiedsindeling en sneden voor het uniforme model
L
L
1
•—^
f1
63 1]
I
0,25 B
1
1 l—V 11
1
I• I
II
0,5 B
11
1)
11 11
1!
t1
I• I)
11
!>
(I
(I
11
1
1
0,25 B
! [) 0
4
1 11 1
I I
i
•«
0,25 L,
0,5 L,
0,25 L, 0,25 L
0,5 L
2
2
Y
P
, I
I
I
1
'
f
1
J
91
Bijlage 8 Wapeningsdiagram uniform 90° M
Uniform 90° h = 7 5 0 [mm] d = 6 7 5 [mm] co =1823
1 S 1
min
7814
0
0 M,s
2
1823
L,©
1823
0 M
3)
©
5159
0
2 S l
1823
Li?
1823
©
1823
1823
3)
©
MA
1823
0
Li
1823
0
1823
©
1823
3> 92
Bijlage 11 Wapeningsdiagram uniform 45°
Bijlage 12 Indeling in stroken uniform 90°
Snede 3 (steunpunt) - M1s2
Snede 4 (middenveld) - M1s2
-1470
J
stroken
96
Bijlage 13 Indeling in stroken Uniform 75°
Snede 3 (steunpunt) - M1s2
stroken
Snede 4 (middenveld) - M1s2 J
-1400 "
" J
S c
a
-1420-
1
l i
2
I
3
i
4
! t
.
-1430-
E o
-1440-1450
-
stroken
97
Bijlage 14 Indeling in stroken Uniform 60°
Snede 3 (steunpunt) - M1s2
Snede 4 (middenveld) - M1s2 -1000 -1050
—
-1100
Z
-1150
c I
-1200
|
-1250
E
1
1
2
3
4
2 -1300 -1350 -1400
stroken
98
Bijlage 15 Indeling in stroken Uniform 45°
Snede 3 (steunpunt) - M1s2
stroken
Snede 4 (middenveld) - M1s2
-
-1050 -1100 -
1
stroken
99
Bijlage 16 Afleiding rekenkundig bezwijkmoment en bepalen van de wapening Horizontaal e v e n w i c h t bij het bereiken van de breukrek van het b e t o n : 3,5
fl
%o
—
•
•
ii
18
!•
/
d
1
/2X
e
u
f(.
U
K
L
r
A
-ix f
m b
N =A f s
s
s
N,
-4
s
•
D o o r het gelijkstellen van de bovenstaande formules vinden w e v o o r x
u
!•/»•* Samen met de onderstaande formules kan nu het r e k e n k u n d i g b e z w i j k m o m e n t w o r d e n bepaald. J
z=
d- -x 4 - i o Q
co =
bd
Rekenkundig bezwijkmoment M
u
M =N z r
u
M
=A f (d-^x )
u
s s
M.
u
co
l
f -b-d
100
b
f
b
27 100 f ) b
Hierin is u) de enige o n b e k e n d e . De bovenstaande f o r m u l e kan w o r d e n v e r e e n v o u d i g d tot.
= v(l-0,52vr)
f -bd' b
CO waarin :
Iff •
Too
t=4ftL V o o r B65 en FeB 5 0 0 is k = 1 1 , 1 5 [-] en kan de hoeveelheid w a p e n i n g w o r d e n bepaald met: 4
A, = NB:
cob-d-l0
G o e d opletten met de eenheden en het rekenen met een percentage. M in [kNm], b en d in [m] en A in [ m m ] . 2
u
s
100
Bijlage 17 Invoer wapening en materiaaleigenschappen 1190 & U75 Uniform 90°
Definitie van de verschillende wapeningsvlakken 'reinfo' locati : ondernet 1 grid plane 1005 1329 16781402 : bovennet 2 grid plane 2005 2329 2678 2402 : extra bovennet 1e tussensteunpunt 3 grid plane 2005 2329 2678 2402 elemen v1-a3 v1-b3 v1-c3 v2-a1 v2-b1 v 2 - d / : extra bovennet 2e tussensteunpunt 4 grid plane 2005 2329 2678 2402 elemen v2-a3 v2-b3 v2-c3 v3-a1 v3-b1 v 3 - d / : extra ondernet hoofdoverspanning 5 grid plane 1005 132916781402 elemen v2-a2 v2-b2 v2-c2 / : extra ondernet linker eindoverspanning 6 grid plane 1005 1329 16781402 elemen v1-a2 v1-b2 v1-c2 / : extra ondernet rechter eindoverspanning 7 grid plane 1005 1329 16781402 elemen v3-a2 v3-b2 v3-c2 /
Uniform 75°
Definitie van de verschillende w a p e n i n g s v l a k k e n 'reinfo' locati : ondernet 1 grid plane 1005 1329 1678 1402 : bovennet 2 grid plane 2005 2329 2678 2402 : extra bovennet 1e tussensteunpunt 3 grid plane 2005 2329 2678 2402 elemen v1-a3 v1-b3 v1-c3 v2-a1 v2-b1 v2-c1 / : extra bovennet 2e tussensteunpunt 4 grid plane 2005 2329 2678 2402 elemen v2-a3 v2-b3 v2-c3 v3-a1 v3-b1 v3-c1 / : extra ondernet hoofdoverspanning 5 grid plane 1005 1329 1678 1402 elemen v2-a2 v2-b2 v2-c2 / : extra ondernet 1e eindoverspanning 6 grid plane 1005 1329 1678 1402 elemen v1-a2 v1-b2 v1-c2 / : extra ondernet 2e eindoverspanning 7 grid plane 1005 1329 1678 1402 elemen v3-a2 v3-b2 v3-c2 /
Geometrie van de wapeningsvlakken 'geomet' : 1823 11 thick .1823e-2 .1823e-2 xaxis 1.0.0. : 7814-1823=5991 13 thick .5991 e-2 0.0 xaxis 1.0.0. : 5159-1823=3336 15 thick 0.3336e-2 0.0 xaxis 1.0.0. : 1887-1823 = 64 17 thick .0064e-2 .0 xaxis 1.0.0.
Niet lineaire materiaal eigenschappen 'materi' 11 yield vmises yldval 435.e6 1 YIELD drucke : c=0.42*39 yldval 16.38E6 0.17 0.17 tensio 1 :ecnr=2*0.1*2/(2.15*1000) tenval 1.7E-3 crack 1 crkval 2.15e6 taucri 1 beta 0.2 'end'
Geometrie van de w a p e n i n g s v l a k k e n 'geomet' : 1688 11 thick 1688e-2 .1688e-2 xaxis 1.0.0. : 8256-1688=6568 13 thick .6568e-2 0.0 xaxis 1.0.0. : 5586-1688=3898 15 thick 0.3898e-2 0.0 xaxis 1.0.0. : 2029-1688=341 17 thick 0.0341 e-2 0.0 xaxis 1. 0. 0.
101
Bijlage 18 Invoer wapening en materiaaleigenschappen U60 & U45 Uniform 60°
Definitie van de verschillende wapeningsvlakken 'reinfo' locati : ondernet 1 grid plane 1001 1215 1737 1577 : bovennet 2 grid plane 2001 2215 2737 2577 : extra bovennet 1e tussensteunpunt 3 grid plane 2001 2215 2737 2577 plane 2025 2071 2630 2597 elemen v1-a3 v1-b3 v1-c3 v2-a1 v2-b1 v2-c1 / : extra bovennet 2e tussensteunpunt 4 grid plane 2001 2215 2737 2577 plane 2142 2167 2701 2683 elemen v2-a3 v2-b3 v2-c3 v3-a1 v3-b1 v 3 - d / : extra ondernet hoofdoverspanning 5 grid plane 1071 1142 1683 1630 elemen v2-a2 v2-b2 v2-c2 / : extra ondernet linker eindoverspanning 7 grid plane 1001 1215 1737 1577 elemen v1 -a2 v1 -b2 v1 -c2 / : extra ondernet rechter eindoverspanning 9 grid plane 1001 1215 1737 1577 elemen v3-a2 v3-b2 v3-c2 /
Uniform 45°
Definitie van de verschillende wapeningsvlakken 'reinfo' locati : ondernet 1 grid plane 1005 132916781402 :bovennet 2 grid plane 2005 2329 2678 2402 : extra bovennet 1e tussensteunpunt 3 grid plane 2005 2329 2678 2402 elemen v1-a3 v1-b3 v1-c3 v2-a1 v2-b1 v2-c1 / : extra bovennet 2e tussensteunpunt 4 grid plane 2005 2329 2678 2402 elemen v2-a3 v2-b3 v2-c3 v3-a1 v3-b1 v 3 - d / : extra ondernet hoofdoverspanning 5 grid plane 1005 1329 1678 1402 elemen v2-a2 v2-b2 v2-c2 /
Geometrie van de wapeningsvlakken 'geomet' : 1620 11 thick 162e-2 162e-2 xaxis 1.0.0. : 6982-1620 = 5362 13 thick .5362e-2 .0 xaxis 1.0.0. : 5086-1620 = 3466 y 18211620=201 15 thick .3466e-2 .0201 e-2 xaxis 1.0.0. : 1876-1620 = 256 17 thick .0256e-2 .0 xaxis 1.0.0.
Niet lineaire materiaal eigenschappen 'materi' 11 yield vmises yldval 435.e6 drucke 1 YIELD :c=0.42*39 yldval 16.38E6 0.17 0.17 tensio 1 :ecnr=2*0.1*2/(2.15*1000) tenval 1.7E-3 crack 1 crkval 2.15e6 taucri 1 beta 0.2 'end'
Geometrie van de wapeningsvlakken 'geomet' : 1620 11 thick 1620e-2 .1620e-2 xaxis 1.0.0. : 4524-1620=2904 13 thick .2904e-2 0.0 xaxis 1.0.0. : 3635-1620=2015 23131620=693 15 thick 0.2015e-2 0.0693e-2 xaxis 1.0.0.
102
Bijlage 19 Sneden voor het bepalen van M s en samenstellen figuur 6.3.10 2
2
1 0 3