TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1
OBJEKTIF
2
TEORI
3
CONTOH
4
SIMPULAN
5
LATIHAN
OBJEKTIF
Teori
Contoh
Simpulan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
1. Menjelaskan definisi ruang vektor beserta interpretasi geometri dari vektor
2. Menghitung norma suatu vektor
3. Membuktikan ortogonalitas dua vektor
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Pendahuluan
Simpulan
Latihan
Vektor merupakan besaran yang memiliki arah ....
Objektif
TEORI
Contoh
Definisi dan Notasi
Simpulan
Operasi dan Sifat-sifat Vektor Ruang-n Euclidean Vektor Ortogonal
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Definisi dan Notasi
Definisi Ruang-n
– Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real
Notasi: Rn
– n = 2 pasangan terurut;
– n = 3 triple terurut
– n = 1 satu bilangan real (notasi: R1 atau R)
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Interpretasi tripel terurut
Latihan
2 interpretasi geometris tripel terurut Titik: a1,a2,a3
koordinat
Vektor: a1,a2,a3 komponen vektor (a1, a2, a3)
(a1, a2, a3)
TEORI
Objektif
Contoh
Operasi Standar
Simpulan
Latihan
Dua vektor u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn) di Rn
dan k skalar
Penjumlahan vektor u+v = (u1+v1, u2+v2, ···, un+vn)
Perkalian skalar
ku=(ku1, ku2,···, kun)
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Sifat-sifat Aritmatika
Latihan
Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) di Rn – Negatif: -u = (-u1, -u2,···, -un)
– Selisih: v- u = v + (- u) atau v- u = (v1-u1, v2-u2, ···, vn-un)
Sifat-sifat: (k,l: skalar)
v+ u = u +v
k(l u) = (kl) u
u + 0 = 0+ u = u
(k+l) u = ku+lu
u + (v+w) = (u +v) + w u +(- u)= 0 u - u = 0
k(u +v) = k u + kv 1u = u
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Ruang n-Euclidean
Latihan
Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn), w=(w1, w2,···, wn) di Rn dan k skalar Hasilkali-dalam (inner-product) Euclidean:
u·v = (u1v1 + u2v2 + ··· + unvn)
4 sifat penting inner product Euclidean (dot product)
u·v = v·u (u+v)·w = uw + vw (ku)·v = k(u·v)
v·v ≥ 0, v·v = 0 jika dan hanya jika (iff) v = 0
Objektif
TEORI
Contoh
Norma dan Jarak
Simpulan
Latihan
Norm/panjang Euclidean vektor u=(u1, u2,···, un) u = (u ⋅ u)1 2 = u12 + u22 + + un2
Jarak antara titik u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn)
d (u, v ) = u − v = (u1 − v1 ) 2 + (u2 − v2 ) 2 + + (un − vn ) 2
TEORI
Objektif
Contoh
Sifat-sifat norma
Simpulan
Latihan
Jika u dan v adalah vektor dan k skalar ||u|| ≥ 0
||u|| = 0 iff u =0
ku
||ku|| = |k| ||u||
perkalian vektor dgn skalar mengalikan panjang dari vektor sebesar k
||u +v|| ≤ ||u||+||v||
u
jumlah dua sisi segitiga lebih kecil atau sama dengan sisi ketiga dr segitiga tersebut
u+v u
v
Objektif
TEORI
Contoh
Vektor Ortogonal
Simpulan
Latihan
Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff u·v=0
Vektor u, v dan u+v membentuk sisi-sisi segitiga
Teorema Phytagoras ||u+v||2 = ||u||2 + ||v||2
u+v
u
v
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Notasi alternatif untuk vektor di Rn
Vektor u=(u1, u2,···, un) ditulis dalam notasi matriks
u = [u1 u2 un ]
Latihan
u1 u u = 2 un
Operasi matriks u1 v1 u1 + v1 u v u + v u + v = 2 + 2 = 2 2 un vn un + vn
u1 ku1 u ku ku = k 2 = 2 un kun
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Notasi alternatif untuk vektor di Rn
Latihan
Operasi matriks u + v = [u1 u2 un ] + [v1 v2 vn ] = [u1 + v1 u2 + v2 un + vn ] ku = k[u1 u 2 un ] = [ku1
ku2 kun ]
Operasi vektor u + v = (u1 , u2 , , un ) + (v1 , v2 , , vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , , un + vn ) ku = k (u1 , u2 , , un ) = (ku1 , ku2 , , kun )
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Hasilkali-dalam Euclidean dalam perkalian matriks
Vektor u dan v dalam notasi matriks
u1 u u = 2 un
v1 v v = 2 vn
Hasilkali-dalam Euclidean v T u = [u1 u2
v1 v un ] 2 vn
= [u1v1 + u2 v2 + + un vn ] = [u ⋅ v ] = u ⋅ v
u ∙ v = v Tu
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Hasilkali-dalam Euclidean dalam perkalian matriks
Vektor u dan v di Rn dan matriks A(n×n)
Au ⋅ v = v T ( Au) = ( v T A)u = ( AT v )T u = u ⋅ AT v
u ⋅ Av = ( Av )T u = ( v T AT )u = v T ( AT u) = AT u ⋅ v
Jadi,
Au ∙ v = u ∙ ATv u ∙ Av = ATu ∙ v
Objektif
Contoh 1
Teori
CONTOH
Simpulan
Dapatkan hasilkali-dalam Euclidean dari vektor: u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)
u·v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18
Penghitungan hasilkali-dalam sama dengan perkalian aritmatika biasa (3u+2v)·(4u+v) = (3u)·(4u+v) + (2v)·(4u+v)
= (3u)·(4u) + (3u)·v + (2v)·(4u) + (2v)·v = 12(u·u) + 11(u·v) + 2(v·v)
Latihan
Objektif
Contoh 2
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Dapatkan norma dan jarak dari vektor: u = (-1, 3, 5, 1) dan v = (2, 1, 2, 4)
u = (u ⋅ u)1 2 = (−1) 2 + 32 + 52 + 12 = 6 v = ( v ⋅ v )1 2 = 2 2 + 12 + 2 2 + 4 2 = 5 d (u, v ) = u − v = (−1 − 2) 2 + (3 − 1) 2 + (5 − 2) 2 + (1 − 4) 2 = 31
Objektif
Contoh 3
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Buktikan bahwa vektor-vektor berikut adalah ortogonal a) u = (-2, 3, 1, 5) dan v = (5, 4, -2, 0)
b) u = (0, 3, -2, 1) dan v = (5, 2, -1, -3) a) b)
u·v = (-2)(5) + (3)(4) + (1)(-2) + (5)(0) = 0
u·v = (0)(5) + (3)(2) + (-2)(-1) + (1)(-3) = 5
ortogonal
bukan ortogonal
Objektif
Contoh 4
Teori
CONTOH
Dapatkan u·v untuk vektor berikut:
− 1 3 u= 5 7
Simpulan
Latihan
5 − 4 v= 7 0
− 1 3 u ⋅ v = v T u = [5 − 4 7 0] = −5 − 12 + 35 + 0 = 18 5 7
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
Ruang Vektor Euclidean
Latihan
Dua vektor disebut ortogonal jika dan hanya jika hasilkali-dalam (inner product) Euclidean sama dengan nol
Objektif
Soal Latihan 1
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Dapatkan nilai k agar vektor u dan v adalah ortogonal a) u = (2, 1, 3) dan v = (1, 7, k) b) u = (k, k, 1) dan v = (k, 5, 6) a) k=-2
Jawaban soal latihan 1 b) k=-2 atau -3
Objektif
Soal Latihan 2
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Dapatkan Au ∙ v dan u ∙ Av untuk matriks dan vektor berikut: 2 − 1 A= 3 4
3 u= 1
− 2 v= 6
2 − 1 3 5 Au ⋅ v = v ( Au) = [− 2 6] = [− 2 6] = 68 3 4 1 13 Jawaban soal latihan 2 T T 2 − 1 − 2 3 − 10 3 T = = 12 u ⋅ Av = ( Av ) u = 3 4 6 1 13 1 T
