TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1
OBJEKTIF
2
TEORI
3
CONTOH
4
SIMPULAN
5
LATIHAN
OBJEKTIF
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu: menghitung determinan matriks menggunakan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Pendahuluan Selain digunakan untuk menghitung invers suatu matriks, determinan memiliki aplikasi penting dalam teori sistem linear
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Definisi dan Notasi Determinan Orde 1, 2 dan 3 Determinan Orde Tinggi Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS Teorema dan Sifat-sifat EKSPANSI KOFAKTOR Aplikasi
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Definisi dan Notasi • Matriks bujursangkar • Notasi:
a11 a12 a1n det(A) atau |A| atau a21 a22 a2n an1 an 2 ann
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Determinan orde 1, 2 dan 3 Orde -1: det(A) = det[a11]=a11 Orde -2: det(A) = det Orde -3: det(A) = det
a11 a12 a21 a22
Latihan
(1)
= a11a22 – a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
Objektif
Contoh
TEORI
Simpulan
Latihan
Determinan orde 1, 2 dan 3 Determinan matriks sama dengan
(2)
hasilkali elemen yang terletak pada panah positif dikurangi hasilkali elemen yang terletak pada panah negatif
a11 a12
Orde -2: Orde -3:
a21 a22
-
-
+
a11 a12 a13
a12 a13
a31 a32 a33
a32 a33
a21 a22 a23
-
-
a22 a23 +
+
+
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Determinan Orde Tinggi
Reduksi baris Ekspansi kofaktor
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Evaluasi Determinan: REDUKSI BARIS (1) Prosedur determinan melalui reduksi baris Gunakan operasi baris elementer
Reduksi matriks ke dalam bentuk segitiga Hitung determinan
Penghitungan menggunakan komputer sistematis
mudah diprogram
Objektif
Contoh
TEORI
Simpulan
Efek operasi baris elementer Perkalian baris dengan k
Pertukaran baris
ka11 k a12 k a13 a21 a31
a22 a32
a23 a33
a12
a13
a31
a32
a33
a22
a23
=–
(2)
a11
a12
a13
a31
a32
a33
a21
det(B) = k det(A)
a11
a21
=k
Latihan
a22
a23
a11
a12
a13
a31
a32
a33
a21
det(B) = – det(A)
a22
a23
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Efek operasi baris elementer Penambahan baris pada baris lain ka21 + a11
a21 a31
ka22 + a12
a22 a32
ka23 + a13 a23 a33
=
(3)
a11
a12
a13
a31
a32
a33
a21
a22
a23
det(B) = det(A) Contoh 1
Objektif
Teorema:
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
(1)
A matriks bujursangkar det(A)=det(AT)
Jika A memiliki baris atau kolom nol, maka det(A)=0
A matriks segitiga:
lower triangular
upper triangular diagonal
det(A) = a11a22 ∙∙∙ ann
Objektif
TEORI
Sifat-sifat:
Contoh
Simpulan
Latihan
(2)
A dan B matriks bujursangkar dengan ukuran sama
det(AB) = det(A)det(B) Jika A memiliki invers
det(A-1) = 1/det(A)
Contoh 2
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
EKSPANSI KOFAKTOR: notasi (1) Matriks bujursangkar A
Minor entri aij: determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari A Notasi: Mij
Kofaktor entri aij
Cij=(-1)i+jMij
–
+
–
– –
+
–
··· ···
+
+ –
···
+
···
– –
···
+
···
+
···
···
Cij= ± Mij
+
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (2) Matriks bujursangkar A3x3
a11
a12
a13
a31
a32
a33
A = a21
a22
a23
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32 = a11 (a22a33 – a23a32 ) + a21(a13a32 – a12a33) + a31 (a12a23– a13a22)
det(A) = a11C11 + a21C21 + a31 C31
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
EKSPANSI KOFAKTOR: determinan (3) Determinan dari matriks A dapat dihitung melalui ekspansi kofaktor pada baris atau kolom det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ∙∙∙ + ainCin det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ∙∙∙ + anjCnj
Contoh 3
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Aplikasi eigenvector
Sistem linear
m persaman
n variabel
Ax = λx
skalar (eigenvalue)
Sistem memiliki solusi jika
det(λI-A) = 0
Contoh 4
Objektif
Teori
CONTOH Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3 Contoh 4
Simpulan
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1 • Dapatkan determinan dari matriks elementer berikut: 1
0
0
0
0 0 0
3 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 0 0
1 0 0
0
0
0
1
1
0
5
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 3
Baris kedua dari I4 dikalikan 3
= –1
Baris pertama ditukar dengan baris ketiga
= 1
5 kali baris ketiga ditambahkan pada baris pertama
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 2 Dapatkan determinan matriks berikut menggunakan operasi baris: 0 1 5 A = 3 − 6 9 2 6 1
Jawab
Objektif
Teori
Simpulan
CONTOH
Latihan
Contoh 2 Tukarkan baris pertama dengan baris kedua:
0
1
5
det(A) = 3
–6
9
2
6
1
Keluarkan faktor bersama (3) dari baris 1: Tambahkan –2 kali baris pertama pada baris ketiga:
3
–6
9
0
1
5
2
6
1
1
–2
3
= –3 0
1
5
2
6
1
1
–2
3
= –3 0
1
5
0
10
–5
=–
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 2 Tambahkan –10 baris kedua pada baris ketiga: Keluarkan faktor bersama (–55) dari baris ketiga:
det(A) = –3
1
–2
3
0
1
5
0
0 –55
1
–2
3
= –3(–55) 0
1
5
0
0
1
det(A) = –3(–55)(1) = 165
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 3 Dapatkan determinan matriks A melalui ekspansi kofaktor: 3 A = − 2 5
1
−4 4
0 3 − 2
Ekspansi kofaktor: kolom ke-3 C13 = +M13 =
C23 = –M23 = – C33 = +M33 =
–2
–4
3
1
5 5 3
–2
4 4 1
–4
= 12 = –7
= –10
det(A)= a13C13+ a23C23+ a33C33
= 0(12)+3(–7)+(–2)(–10)= –1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 4 Dapatkan eigenvalue matriks: 1 3 A= 4 2
Persamaan karakteristik det(λI − A) =
λ −1 −4
−3 =0 λ −2
(λ + 2)(λ − 5) = 0
Eigenvalue A:
λ= −2 dan λ=5
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
Latihan
Determinan • Determinan dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu reduksi baris
ekspansi kofaktor
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Soal: • Hitung determinan matriks berikut: 9 3 −6 A = − 2 7 − 2 0 1 5
LATIHAN
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan: Determinan dihitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor pada baris ke-3: C31 = +M31 =
C32 = –M32 = – C33 = +M33 =
–6
9
7
–2
–2
–2
3
3
–2
9
–6
7
= –51 = –12 = 9
det(A)= a31C31+ a32C32+ a33C33 = 0(–51)+1(–12)+(5)(9)= 33
