TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1
OBJEKTIF
2
TEORI
3
CONTOH
4
SIMPULAN
5
LATIHAN
OBJEKTIF
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu: 1. Mendekomposisi matriks menggunakan metode singular value decomposition (SVD) 2. Menghitung invers menggunakan SVD
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Pendahuluan
Dekomposisi matriks singular dapat dilakukan dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD).
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Singular Value Decomposition (SVD)
Dekomposisi matriks A∈ Rm×n dua matriks ortonormal U dan V matriks quasidiagonal S
A = USVT dengan U ∈ Rm×m V ∈ Rn×n S = diag(σ1, …, σρ)
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Bentuk matriks S
S adalah elemen diagonal berupa nilai singular A • tidak negatif dengan urutan menurun • σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σρ dengan ρ = min(m, n) Matriks S memiliki bentuk m
[diag (σ ,,σ ρ ) 0
m=n m>n
1
m×( n − m )
]
[diag (σ 1 , , σ ρ )]
diag (σ 1 , , σ ρ ) 0 ( m − n )×n
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Prosedur dekomposisi (1) Diberikan matriks A (m×n) Langkah 1. Definisikan matriks B Jika m ≤ n
B = AAT
Jika m > n B = ATA B adalah matriks bujursangkar dimensi m atau n (ukuran yang lebih kecil antara baris dan kolom) Langkah 2. Dapatkan eigenvalue B melalui pers. karakteristik |λI - B| = 0
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Prosedur dekomposisi (2) Langkah 3. Dapatkan nilai singular A (akar kuadrat positif eigenvalue matriks B)
σ i = λi Langkah 4. Bentuk matriks S dengan cara
Jika m < n
σ 1 0 0 0 0 σ 0 0 2 S= 0 0 σ m 0
Objektif
TEORI
Contoh
Latihan
Simpulan
Prosedur dekomposisi (3) Langkah 4. (lanjutan)
Jika m > n
Jika m = n
σ 1 0 0 σ 2 S= 0 0 0 0
σn 0
0 0
σ 1 0 0 0 σ 0 2 S= 0 0 σm
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Prosedur dekomposisi (4) Langkah 5. Dapatkan matriks U dan V
Kolom matriks U dibentuk dari eigenvektor normalisasi dari C C = AAT
Kolom matriks V dibentuk dari eigenvektor normalisasi dari matriks D D = ATA
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Invers matriks melalui SVD
Review: sifat matriks ortonormal U dan V U-1 = UT dan
V-1 = VT
Invers matriks A (m = n) A-1 =(VT) -1 S -1U -1 = V (diag(1/σ1, …, 1/σρ)) UT
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 1 (1) Matriks A dan inversnya menggunakan SVD 4 4 A= − 3 3
Dapatkan: a) SVD dari matriks A b) Invers matriks A menggunakan SVD
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1 (2)
Langkah 1. Karena ukuran matriks A adalah 2×2 (m=n), maka 4 4 4 − 3 32 0 = B = AA = − 3 0 18 3 3 4 T
Langkah 2. Eigenvalue B 0 λ − 32 λI − B = det = (λ − 32)(λ − 18) = 0 λ − 18 0 λ1 = 32 dan λ2 = 18
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1 (3) Langkah 3. Nilai singular A:
Langkah 4. Bentuk matriks S:
σ 1 = 32 dan σ 2 = 18 32 S= 0
0 18
Langkah 5. Matriks U dan V Matriks U: dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks C=B
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1 (4)
Langkah 5. Sistem homogen: 0 x1 0 λ − 32 = (λ I − B ) x = λ − 18 x2 0 0 Eigenvektor normalisasi untuk matriks U λ=32
λ=18
0 0 x1 0 14 x = 0 2
1 u1 = 0
− 14 0 x1 0 0 x = 0 2
0 u2 = 1
1 0 U = 0 1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1 (5) Matriks V: dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks D 4 − 3 4 4 25 7 D= A A= = 4 3 3 3 7 25 − T
Persamaan karakteristik matriks D −7 λ − 25 λI − D = det = (λ − 32)(λ − 18) = 0 λ − 25 −7 Eigenvalue matriks D λ1 = 32 dan λ2 = 18
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1 (6)
Sistem homogen:
− 7 x1 0 λ − 25 = (λI − B ) x = λ − 25 x2 0 −7
Eigenvektor normalisasi untuk matriks V λ=32
7 − 7 x1 =0 − 7 7 x2
1 x1 = 1
1 v1 = 1
λ=18
− 7 − 7 x1 − 7 − 7 x = 0 2
− 1 x2 = 1
− 1 v2 = 1
Matriks V:
1 V = 1
2 2
−1 1
2 2
2 2 2 2
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 1 (7) SVD dari matriks A: A = USV T
1 0 32 = 0 1 0 4 4 = − 3 3
0 1 18 1
2 2
−1 1
2 2
T
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 1 (8) Invers matriks A A−1 = V (diag (1 / σ 1 , ,1 / σ ρ )) U T
1 = 1
2 2
−1 1
1 8 − 1 6 = 1 8 1 6
2 1 32 0 1 0 0 1 2 0 1 18
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 2 (1) Dapatkan SVD untuk matriks 2×3 berikut: 1 0 1 A= 0 1 0
dapatkan juga invers matriks A melalui SVD
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 2 (2) Langkah 1. Matriks B = AAT
ukuran matriks A adalah m < n
1 0 1 0 1 2 0 T 0 1 = B = AA = 0 1 0 0 1 1 0 Langkah 2. Eigenvalue matriks B λ − 2 0 λI − B = det = (λ − 2)(λ − 1) = 0 0 λ − 1 Nilai eigen: λ=2 dan λ=1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 2 (3) Langkah 3. Nilai singular A:
σ1 =√2 dan
Langkah 4. Matriks S:
2 S= 0
σ2 =1
0 0 1 0
Langkah 5. Matriks U dan V dibentuk dari eigenvektor normalisasi matriks C (karena m
u1 = [1 0]T
λ=1
u 2 = [0 1]T
1 0 U = 0 1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 2 (4) Matriks D= ATA
1 0 1 0 1 1 0 1 T D = A A = 0 1 = 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 Pers. karakteristik matriks D
−1 λ − 1 0 λI − D = det 0 λ − 1 0 = λ (λ − 2)(λ − 1) = 0 − 1 λ − 1 0 Eigenvalue matriks D:
λ = 2, 1, 0
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 2 (5) Sistem homogen:
− 1 x1 0 λ − 1 0 λ − 1 0 x2 = 0 (λI − D)x = 0 − 1 λ − 1 x3 0 0 Hitung eigenvektor normalisasi untuk matriks V: λ=2
1 0 − 1 x1 0 0 1 0 x = 0 2 − 1 0 1 x3 0
1 2 v1 = 0 1 2
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 2 (6) λ= 1
0 0 − 1 x1 0 0 0 0 x = 0 2 − 1 0 0 x3 0
0 v 2 = 1 0
λ=0
− 1 0 − 1 x1 0 0 − 1 0 x = 0 2 − 1 0 − 1 x3 0
1 2 v3 = 0 − 1 2
Matriks V:
1 2 0 1 2 V = 0 1 0 1 2 0 − 1 2
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 2 (7) SVD dari matriks A: A = USV T
1 2 0 1 2 1 0 2 0 0 = 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 − 1 2 1 0 1 = 0 1 0
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 2 (8) Invers matriks A: A−1 = V (diag (1 σ 1 , ,1 σ ρ )) U T
1 2 0 1 2 1 2 0 1 0 = 0 1 0 0 1 0 1 1 2 0 − 1 2 0 0 1 / 2 0 = 0 1 1 / 2 0
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
Latihan
Singular Value Decomposition
1) SVD mendekomposisi matriks ke dalam perkalian dua matriks ortonormal dan satu matriks quasidiagonal 2) Bentuk matriks quasidiagonal bergantung pada ukuran baris dan kolom dari matriks yang akan didekomposisi 3) Invers matriks dapat dihitung menggunakan metode SVD
Objektif
Teori
Soal Latihan Dapatkan invers matriks A 1 0 A = 0 1 1 0
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
