TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1
OBJEKTIF
2
TEORI
3
CONTOH
4
SIMPULAN
5
LATIHAN
OBJEKTIF
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu: 1. Menjelaskan konsep ruang vektor real 2. Menghitung solusi sistem linear yang dibentuk dari vektor 3. Mendapatkan basis dan dimensi dari ruang solusi sistem linear 4. Menghitung rank suatu matriks
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Pendahuluan Ruang vektor real merupakan generalisasi konsep ruang vektor. Beberapa kegunaan dari konsep ini adalah untuk memeroleh ruang solusi sistem linear homogen (nonhomogen) dan mencari rank dari suatu matriks.
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Ruang Vektor Real: Definisi V merupakan himpunan objek tak-kosong dengan dua operasi berikut didefinisikan pada V • penjumlahan dari pasangan objek dalam V • perkalian objek dengan skalar
V disebut ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut terpenuhi oleh seluruh objek u,v,w dalam V dan skalar k dan l. Objek dalam V tersebut disebut dengan vektor
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Aksioma: (1) 1) Jika u dan v adalah objek (vektor) dalam V, maka u + v juga objek dalam V 2)
u+v=v+u
3)
u +(v +w) = (u+ v) + w
4) Objek 0 dalam V disebut vektor nol 0+u=u+ 0=u untuk semua u dalam V 5) Untuk tiap u dalam V, objek –u dalam V disebut negatif dari u u + (- u) = (- u) + u = 0
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Aksioma: (2) 6) Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek dalam V, maka ku juga dalam V 7) k(u + v) = ku + kv 8) (k+l)u = ku + lv 9) k(lu) = (kl)u 10) 1u = u
TEORI
Objektif
Contoh
Simpulan
Latihan
Bukti: (1) Misal:
u11 u12 u= u u 21 22
v11 v12 v= v v 21 22
u11 u12 v11 v12 u11 + v11 u12 + v12 u+v= + = u u v v u v u v + + 21 22 21 22 21 21 22 22 u11 u12 ku11 ku12 ku = k = u u ku ku 22 21 22 21 0 0 u11 u12 u11 u12 0+u = + = =u 0 0 u21 u22 u21 u22 u11 u12 − u11 − u12 0 0 + = u + (−u) = =0 u21 u22 − u21 − u22 0 0
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Subruang (subspace) Definisi: – Subset W dari ruang vektor V disebut subspace dari V jika W merupakan ruang vektor yang dibentuk dari operasi penjumlahan dan perkalian dalam V
Bila W adalah himpunan yang terdiri dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W merupakan subspace dari V iff – Jika u dan v vektor dalam W, maka u+v juga dalam W – Jika k sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam W, maka ku juga dalam W
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Subruang (subspace) Vektor u+v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan v W adalah subruang dari R3
u+v v ku u W
Garis melalui origin adalah subruang dari R3
W u+v u
v
ku u
W
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Subruang di R2 dan R3 Tiap ruang vektor tak-nol V minimal terdiri dari 2 subruang: • Subruang V • Vektor nol dalam V subruang nol (zero subspace)
Subruang dari R2
Subruang dari R3
{0}
{0}
Garis melalui origin
R2
Garis melalui origin Bidang melalui origin
R3
Contoh 1
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Kombinasi Linear Vektor Vektor w adalah kombinasi linear dari v1, v2,…, vr dan k1,k2, …, kr jika w = k1v1 + k2 v 2 + + kr v r
Untuk r = 1:
w = k1v1
Kombinasi linear vektor tunggal v1
Vektor v = (a,b,c) di R3 ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor basis standar v = (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = ai + bj + ck Contoh 2
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Rentangan (span) Jika v1, v2,…, vr adalah vektor dalam ruang vektor V, maka Himpunan W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,…, vr adalah subruang V W adalah subruang terkecil dalam V yang berisi v1,v2,…, vr
Jika S = {v1, v2,…, vr} adalah himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka Subruang W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,…, vr disebut ruang yang direntang oleh vektor tersebut W= span (S) atau W= span {v1, v2,…, vr}
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Rentangan (span) Jika v1dan v2 adalah vektor di R3 dengan titik awal pada origin
span{v1, v2}
z
k1v1+ k2v2
k2v2 v2
Span{v1, v2} yang berisi seluruh kombinasi linear k1v1 + k2v2 bidang melalui origin yang ditentukan oleh v1 dan v2
v1 k1v1
y
x span{v}
z
Jika v merupakan vektor di R2 atau R3
kv v
Span{v} yang berupa seluruh perkalian kv garis yang ditentukan oleh v
y
x
Contoh 3
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Kebebasan Linear Himpunan vektor S = {v1, v2, …, vr}, pers. vektor k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0
• Jika hanya ada satu solusi –
k1= 0, k2 = 0, …, kr = 0
–
S adalah himpunan bebas linier (linearly independent)
• Jika ada solusi yang lain –
S disebut himpunan takbebas linear
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Kebebasan Linear Eksistensi solusi trivial Determinan matriks koefisien sama dengan nol Matrik tsb tidak dapat diinverskan
Latihan
TEORI
Objektif
Contoh
Simpulan
Latihan
Interpretasi geometris dari kebebasan linear z
z
z v2
v1
v1
v1 y
y
v2
x
(c) bebas linier
(b) takbebas linier
z
y
x
x (a) takbebas linier
z
z
v1
v3
v3 v2 x
v2
v1 (a) takbebas linier
v2 y
v2
y
v3
v1 x (b) takbebas linier
y
x (c) bebas linier
Contoh 4
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Basis Untuk Ruang Vektor Definisi: – Jika V adalah ruang vektor – S = {v1, v2, …, vn}: himpunan vektor dalam V – S disebut basis untuk V jika memenuhi kondisi berikut • S adalah bebas linear • S merentang V (S spans V)
Teorema: – Jika S = {v1, v2, …, vn}: basis untuk ruang vektor V – Tiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dalam satu cara saja
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Basis Untuk Ruang Vektor Bukti: v = c1v1+ c2v2+ …+ cnvn dan
v = k1v1+ k2v2+ …+ knvn
− 0 = (c1– k1)v1+ (c2 – k2)v2+ …+ (cn – kn)vn
Solusi trivial: c1 - k1 = 0
c2 - k2 = 0
c1= k1
c2 = k2
… cn - kn = 0 …
cn = kn
Contoh 5
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
DIMENSI Bila S = {v1, v2, …, vn} adalah basis untuk ruang vektor dimensi terbatas V Seluruh basis untuk V memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis S Dimensi = jumlah vektor basis dalam ruang vektor V
Contoh 6
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Ruang baris, ruang kolom dan ruang nul Matriks A(m×n): subruang di Rn direntang oleh vektor baris dari A ruang baris dari A subruang di Rm direntang oleh vektor kolom dari A ruang kolom dari A ruang solusi dari sistem homogen dengan pers. Ax = 0 yang merupakan subruang di Rn ruang nul dari A
Teorema: sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten iff b merupakan ruang kolom dari A
Contoh 7
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Ruang baris, ruang kolom dan ruang nul Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul dan ruang baris dari matriks Jika matriks R merupakan matriks hasil reduksi baris: – Vektor baris dengan leading 1 (baris tak nol) basis untuk ruang baris – Vektor kolom dengan leading 1 basis untuk ruang kolom
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
RANK dan Nullity Rank dimensi dari ruang baris dan ruang kolom notasi: rank(A) rank(A) = dim(ruang baris A) = dim(ruang kolom AT)
Nulitas (nullity) dimensi dari ruang nul notasi: nullity(A)
rank(A) + nullity(A) = n banyaknya var. leading
banyaknya var. bebas
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Teorema RANK Jika A matriks m×n, maka rank(A) = banyaknya var. leading dalam solusi Ax = 0 nullity(A) banyaknya parameter dalam solusi Ax = 0 m≠n, rank(A) = nilai terkecil antara m dan n
Nilai maksimum rank: rank(A) ≤ min(m,n)
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 1 Dapatkan solusi sistem linear berikut: 3 x 0 1 −2 a ) − 3 7 − 8 y = 0 4 − 6 z 0 − 2 3 x 0 1 −2 b) − 3 7 − 8 y = 0 4 1 2 z 0
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 1 a) Bentuk eselon baris tereduksi Solusi:
x = -5t, y = -t, z = t
1 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0
Pers. garis melalui origin paralel dengan vektor (-5, -1, 1)
b) Bentuk eselon baris tereduksi
Solusi:
x = 0, y = 0, z = 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
ruang solusi titik origin {0}
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 2 Vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2), tunjukkan bahwa
w=(9,2,7): kombinasi linear dari u dan v
w´=(4,-1,8): bukan kombinasi linear
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 2 w diekspresikan sebagai kombinasi linear dari u dan v w = k1u + k2v (9,2,7) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2) (9,2,7) = k1+6k2, 2k1+4k2, -k1+2k2 k1 + 6k2 = 9; 2k1 + 4k2 = 2; -k1 + 2k2 = 7 → k1=-3; k2=2 Maka,
w = -3u + 2v
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 3 Tunjukkan bahwa v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1), v3 = (2,1,3) merentang ruang vektor pada R3
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 3 Tentukan vektor semu b=(b1,b2,b3), nyatakan b kombinasi linear b = k1v1 + k2v2 + k3v3 (b1,b2,b3) = k1(1,1,2) + k2(1,0,1)+k3(2,1,3) k1 + k2 + 2k3 = b1 k1 + k3 = b 2 2k1 + k2 + 3k3 = b3 Sistem linear konsisten iff matriks koef. A memiliki invers det(A)=0 → A tidak dapat diinverskan v1, v2 dan v3 tidak dapat merentang pada R3
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 4 Tunjukkan bahwa v1 = (1, -2,3), v2 = (5,6,-1), v3 = (3,2,1) membentuk himpunan bebas linear atau tak bebas linear
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Jawaban Contoh 4 Persamaan vektor dalam komponen k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1(1, -2,3) + k2(5,6, -1)+k3(3,2,1)=(0,0,0) (k1+5k2+3k3, –2k1+6k2+2k3, 3k1– k2 +k3) = (0,0,0) Persamaan untuk tiap komponen k1 + 5k2 + 3k3 = 0 – 2k1 + 6k2 + 2k3 = 0 3k1 – k2 + k3 = 0
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Jawaban Contoh 4 Solusi sistem k1= t/2; k2 = -t/2; k3 = t • Solusi nontrivial • Vektor v1, v2 dan v3: himpunan takbebas linear
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 5
Buktikan bahwa himpunan vektor S={v1, v2, v3} merupakan basis untuk R3 dengan v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0) dan v3 = (3, 3, 4).
Latihan
Objektif
CONTOH
Teori
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 5 Tentukan vektor semu b=(b1, b2, b3), dan ekspresikan sebagai kombinasi linear: b = k1v1 + k2v2 + k3v3 Pers. dalam komponen vektor (b1, b2, b3) = k1(1, 2, 1)+k2(2, 9, 0)+k3(3, 3, 4) (b1, b2, b3) =(k1+2k2+3k3, 2k1+9k2+3k3, k1+4k3) Pers. linear untuk tiap komponen k1 + 2k2 + 3k3 = b1 2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 k1
+ 4k3 = b3
Ax = b
Objektif
CONTOH
Teori
Simpulan
Jawaban Contoh 5 Matriks A:
Determinan A:
1 2 3 A = 2 9 3 1 0 4 1 2 3 det( A) = 2 9 3 = −1 1 0 4
det(A)≠0, maka S merupakan basis untuk R3
Latihan
Objektif
CONTOH
Teori
Simpulan
Latihan
Contoh 6 Tentukan basis dan dimensi untuk solusi ruang sistem homogen berikut:
2x1 + 2x2 – x3
+ x5 = 0
– x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 – 2x3
– x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
Objektif
CONTOH
Teori
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 6 Matriks augmentasi:
Bentuk eselon baris tereduksi:
Solusi: x1 = –s –t;
2 2 −1 0 1 − 1 − 1 2 − 3 1 1 1 − 2 0 −1 0 0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 0 0
x2 = s; x3 = –t; x4 =0;
0 0 0 0
0 0 0 0
x5 = t;
Objektif
CONTOH
Teori
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 6 Dalam bentuk vektor:
x1 − s − t − s − t − 1 − 1 x s s 0 1 0 2 x3 = − t = 0 + − t = s 0 + t − 1 x 0 0 0 4 0 0 x5 t 0 t 0 1
Vektor yang merentang ruang solusi:
Ruang solusi: dua-dimensi
− 1 1 v1 = 0 0 0
dan
− 1 0 v 2 = − 1 0 1
bebas linear
basis
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 4: Contoh ekspansi 7kofaktor Tunjukkan bahwa b merupakan ruang kolom dari A dan ekspresikan b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom matriks A: 2 x1 1 − 1 3 1 2 − 3 x = − 9 2 2 1 − 2 x3 − 3
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh Jawaban Contoh 7 4: ekspansi kofaktor Solusi sistem: x1 = 2;
x2 = – 1; x3 = 3
Sistem konsisten b merupakan ruang kolom A Ekspresi b sebagai kombinasi linear vektor kolom matriks A 2 1 − 1 3 2 1 − 2 + 3 − 3 = − 9 − 2 − 3 2 1
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
Latihan
Ruang Vektor Real Rank matriks sebarang adalah sama dengan banyaknya basis un.... Sistem linear Ax=b adalah konsisten (memiliki tepat satu solusi), bila b merupakan ruang kolom dari A
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Soal 1. Dapatkan ruang solusi sistem linear homogen berikut: x1 2 x1 3 x1
− 2 x2 − 5 x2 − 7 x2
+ x3 + x3 + 2 x3
= 0 = 0 = 0
2. Dapatkan rank dan nulitas dari matriks berikut: 1 4 5 2 2 1 3 0 − 1 3 2 2
