TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1. Objektif 2. Teori 3. Contoh 4. Simpulan 5. Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu: 1) mendeskripsikan ruang hasilkali dalam beserta teorema yang menyertainya 2) menghitung vektor ortogonal dan ortonormal melalui proses Gram-Schmidt
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Pendahuluan
Ruang hasilkali dalam merupakan generalisasi dari konsep ruang hasilkalidalam Euclidean. Selain berbeda dalam notasi yang digunakan, konsep ini digunakan untuk mendapatkan basis ortonormal melalui aplikasi proses Gram-Schmidt.
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Hasikali-dalam (inner product)
Hasilkali-dalam Euclidean: u∙v Notasi umum hasilkali-dalam: 〈u,v〉 Aksioma: 〈u,v〉 = 〈v,u 〉
simetri
〈u+v,w〉 =〈u,w〉 + 〈v,w〉
aditif
〈ku,v〉 = k〈u,v〉
homogenitas
〈v,v〉 ≥ 0 〈v,v〉 = 0 iff v = 0
definit positif Contoh 1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Norma dan jarak
Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u1, u2,···, un): u = 〈u, u〉1 2 = u12 + u22 + + un2
Definisi jarak (distance) antara titik u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn): d (u, v ) = u − v = (u1 − v1 ) 2 + (u2 − v2 ) 2 + + (un − vn ) 2 Contoh 2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Hasilkali-dalam dibangkitkan oleh matriks
Vektor u=[u1 u2 ··· un]T dan v=[v1 v2 ··· vn]T (ekspresi dalam matriks n×1)
Matriks A dapat dibalik: 〈u,v〉 = Au · Av = ? karena u·v = vTu, maka 〈u,v〉 = (Av)T Au
〈u,v〉 = vTATAu
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Hasilkali-dalam berbobot Hasilkali-dalam: dibangkitkan oleh matriks identitas n×n 〈u,v〉 = Iu·Iv = u·v Hasilkali-dalam berbobot: 〈u,v〉 = 3u1v1 + 2u2v2 3 dibangkitkan oleh matriks: A = 0
0 2
Bukti. 3 〈u, v〉 = [v1 v2 ] 0 = 3u1v1 + 2u2 v2
0 3 2 0
0 u1 2 u2
= [v1
3 0 u1 v2 ] u 0 2 2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Hasilkali-dalam berbobot Secara umum, hasilkali-dalam Euclidean berbobot 〈u,v〉 = w1u1v1 + w2u2v2 + ··· + wnunvn merupakan hasilkali-dalam pada Rn yang dibangkitkan oleh matriks A=
w1 0 0
0 w2 0
0 0 0
0 0 wn
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Sifat-sifat hasilkali-dalam Jika u, v, dan w adalah vektor di ruang hasilkali-dalam, dan skalar k 〈0, v〉 = 〈v, 0〉 = 0 〈u,v+w〉 = 〈u,v〉+ 〈u, w〉 〈u,kv〉 = k〈u,v〉 〈u – v,w〉 = 〈u,w〉 – 〈v, w〉 〈u, v– w〉 = 〈u,v〉 – 〈u, w〉
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Ortogonalitas Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff 〈u,v〉 = 0 Teorema Phytagoras:
u+v = u + v 2
2
2
Bukti.
u + v = 〈 (u + v ), (u + v )〉 = u + 2〈u,v〉 〈u,=v0〉 + v 2
2
2
= u + v
2
2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Ortogonal dan Ortonormal
Himpunan vektor ortogonal: – himpunan vektor-vektor dalam ruang hasilkali-dalam – semua pasangan dari vektor berlainan dalam himpunan tersebut adalah ortogonal
Ortonormal: – himpunan vektor ortogonal – tiap vektor dalam himpunan tersebut memiliki norma 1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Normalisasi Vektor dengan norma 1:
1 v v
Normalisasi: proses perkalian vektor tak-nol dengan kebalikan dari panjang vektor tersebut
Bukti. 1 1 1 v = v = v =1 v v v Contoh 3
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Koordinat relatif terhadap basis ortonormal Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vn} adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali-dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka u = 〈u,v11〉〉v1 + 〈u,v22〉〉v2 + ∙∙∙ + 〈u,v 〈u,vnn〉〉vn
koordinat relatif terhadap S
Vektor koordinat u relatif terhadap S (u)S = (〈u,v1〉, 〈u,v2〉, ∙∙∙ , 〈u,vn〉)
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Koordinat relatif terhadap basis ortogonal S = {v1,v2,∙∙∙,vn}: basis ortogonal untuk ruang vektor V Normalisasi dari tiap vektor dalam S v1 v 2 vn S′ = , , , vn v1 v 2
basis ortonormal
Vektor u sebagai kombinasi linear dari vektor basis ortogonal u = u, u=
v1 v1
〈u, v1〉 v1
2
v1 v + u, 2 v1 v2 v1 +
〈 u, v 2 〉 v2
2
v2 v + + u, n v2 vn
v2 + +
〈 u, v n 〉 vn
2
vn vn
vn Contoh 4
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Teorema proyeksi Rumus proyeksi u
w2
u = w1 + w2 w1
0
u = projW u + projW ⊥ u
W
karena projW ⊥ u = u − projW u u
maka u = projW u + (u − projW u)
0
u – projWu
projWu W
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Teorema proyeksi Misal W merupakan subruang dimensi terbatas dari ruang hasilkali dalam V 1) Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vr} adalah basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka
projW u = 〈u, v1 〉 v1 + 〈u, v 2 〉 v 2 + + 〈u, v r 〉 v r 2) Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vr} adalah basis ortogonal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka
projW u =
〈 u, v1 〉 v1
2
v1 +
〈 u, v 2 〉 v2
2
v2 + +
〈 u, v r 〉 vr
2
vr
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Proses Gram-Schmidt
Proses ortogonalisasi: step-by-step Langkah 1: set v1 = u1 Langkah 2: dapatkan vektor v2 ortogonal terhadap v1 hitung komponen u2 ortogonal pada W1 v 2 = u 2 − projW1 u 2 = u 2 −
v2
u2
W1 v1
projW1u2
〈u 2 , v1 〉 v1
2
v1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Proses Gram-Schmidt Langkah 3: Bentuk vektor v3 ortogonal terhadap v1 dan v2 v 3 = u3 − projW2 u3 = u3 −
〈u3 , v1〉 v1
2
v1 −
〈u 3 , v 2 〉 v2
2
v2
v3 u3 v2 W2 v1 projW2u3
Langkah ke-n: … Contoh 5
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Dekomposisi QR Matriks A adalah matriks (m×n) dengan vektor kolom bebas linear Faktor dari A:
A = QR
???
dengan –
Q adalah matriks m×n dengan vektor kolom ortonormal
–
R adalah matriks segitiga atas n×n dapat dibalik 〈u1 , q1 〉 〈u 2 , q1 〉 〈u 3 , q1 〉 R = 0 〈u 2 , q 2 〉 〈u 3 , q 2 〉 0 0 〈u 3 , q 3 〉
Contoh 6
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Contoh 1 Misalkan u =(u1,u2 ) dan v = (v1,v2). Tunjukkan bahwa hasilkali-dalam Euclidean berbobot: 〈u,v〉 = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi aksioma hasilkali-dalam.
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 1 Jawab: • 〈u,v〉 = 〈v,u〉 • Jika w = (w1,w2), maka 〈u+v,w〉 = 3(u1 + v1) w1+ 2(u2+v2) w2 = (3u1w1+2u2 w2)+(3v1w1+2 v2w2) = 〈u,w〉 +〈v,w〉 • 〈ku,v〉 = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2 = k(3u1v1 + 2u2v2) = k〈u,v〉 • 〈v,v〉 = 3v1v1+ 2v2v2 = 3v12+ 2v22 ≥ 0 〈v,v〉 = 0 iff v1=0 , v2=0
v = (v1,v2) = 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 2 Vektor u =(1,0) dan v = (0,1) di R2, dapatkan norma dan jarak u = 12 + 02 = 1
d (u, v ) = u − v = (1, − 1) = 12 + (−1) 2 = 2
Hasilkali-dalam berbobot: 〈u,v〉 = 3u1v1 + 2u2v2 u = 〈u, u〉1 2 = [3(1)(1) + 2(0)(0)]1 2 = 3 d (u, v ) = u − v = 〈 (1, − 1), (1, − 1)〉1 2
= [3(1)(1) + 2(−1)(−1)]1 2 = 5
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 3 Dapatkan basis ortonormal untuk vektor-vektor u1 = (0,1,0), u2 = (1,0,1) dan u3 = (1,0,-1). Jawaban contoh 3
u1 = 1
v1 =
u1 = (0, 1, 0) u1
u2 = 2
v2 =
u2 1 1 = , 0, u2 2 2
u3 = 2
v3 =
1 u3 1 = , 0, − u3 2 2
Himpunan S = {v1,v2,v3} adalah ortonormal, karena 〈 v1, v 2 〉 = 〈 v1, v 3 〉 = 〈 v 2 , v 3 〉 = 0 v1 = v 2 = v 3 = 1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 4 Vektor v1= (0,1,0), v2= (-4/5,0,3/5), v3= (3/5,0,4/5). Buktikan S={v1, v2, v3} merupakan basis ortonormal untuk R3. • Ekspresikan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S • Dapatkan vektor koordinat (u)S
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Contoh 4 • Basis ortonormal: vektor ortogonal dengan norma 1 • Hasilkali-dalam u dan vi: 〈u,v1〉 = 1; 〈u,v2〉 = -1/5; 〈u,v3〉 = 7/5 • Vektor u sebagai kombinasi linear u = v1 – (1/5)v2 + (7/5) v3 (1, 1, 1) = (0,1,0) – 1/5(-4/5, 0, 3/5) + 7/5 (3/5, 0, 4/5) • Vektor koordinat u relatif terhadap S: (u)S = (〈u,v1〉, 〈u,v2〉, 〈u,v3〉) = (1, -1/5, 7/5)
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 5 Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasi vektor basis u1 = (1,1,1), u2 = (0, 1,1), u3 = (0,0,1) ke dalam basis ortogonal {v1, v2, v3}; kemudian dapatkan basis ortonormal {q1, q2, q3};
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 5 Langkah 1:
v1 = u1 = (1,1,1)
Langkah 2:
v 2 = u 2 − projW1 u 2 = u 2 −
〈u 2 , v1〉 v1
2
v1
2 2 1 1 = (0, 1, 1) − (1, 1, 1) = − , , 3 3 3 3
Langkah 3:
v 3 = u3 − projW2 u3 = u3 −
〈u3 , v1〉 v1
2
v1 −
〈u 3 , v 2 〉 v2
2
v2
1 1 3 2 1 1 1 1 = (0, 0, 1) − (1, 1, 1) − − , , = 0 , − , 3 2 3 3 3 3 2 2
Basis ortogonal: v1 = (1, 1, 1)
2 1 1 v2 = − , , 3 3 3
1 1 v 3 = 0, − , 2 2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 5 Basis ortogonal: v1 = (1, 1, 1)
2 1 1 v2 = − , , 3 3 3
Norma dari v1, v2 dan v3: v1 = 3
Basis ortonormal:
v2
6 = 3
v3 =
1 2
q1 =
v1 1 1 1 = , , v1 3 3 3
q2 =
v2 2 1 1 = − , , v2 6 6 6
q3 =
1 1 v3 = 0,− , v3 2 2
1 1 v 3 = 0, − , 2 2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Contoh 6 Dapatkan dekomposisi QR untuk matriks berikut:
1 0 0 A = 1 1 0 1 1 1
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 6 Vektor kolom dari matriks A: 1 u1 = 1 1
0 u 2 = 1 1
0 u3 = 0 1
Basis ortonormal diperoleh dari proses Gram-Schmidt pada contoh 4:
1 q1 = 1 1
3 3 3
− 2 6 q2 = 1 6 1 6
0 q3 = − 1 2 1 2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 6 Matriks R 〈u1, q1〉 〈u 2 , q1〉 〈u3 , q1〉 3 3 2 3 1 R= 0 〈u 2 , q 2 〉 〈u 3 , q 2 〉 = 0 2 6 1 0 0 〈u3 , q3 〉 0 0 1
3 6 2
Dekomposisi QR 1 0 0 1 1 1 0 = 1 1 1 1 1 A
3 −2
6
3
1
6
3
1
6 Q
3 3 2 3 1 −1 2 0 2 6 1 1 2 0 0 1 0
R
3 6 2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Ruang hasilkali dalam
Ruang hasilkali dalam merupakan perluasan konsep dari ruang hasilkali-dalam Euclidean Ortonormal dibentuk dari himpunan vektor ortogonal dengan tiap vektor dalam himpunan tersebut memiliki norma 1 Proses Gram-Schmidt digunakan untuk mendapatkan basis ortogonal dari sebarang basis untuk ruang hasilkali dalam dimensi terbatas
Objektif , .
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Soal Latihan
1) Dapatkan basis ortonormal dari {u1, u2,u3} dengan menggunakan proses Gram-Schmidt untuk u1 = (1, 1, 1), u2 = (-1, 1, 0) dan u3 = (1, 2,1). 2) Misalkan 〈u,v〉 merupakan hasilkali-dalam Euclidean pada R2, dan misal vektor u = (3, -2), v = (4, 5), w = (-1, 6). a) Dapatkan 〈u+v, w〉. b) Bila hasilkali-dalam diubah menjadi hasilkali-dalam berbobot 〈u, v〉 = 4u1v1 + 5u2v2, dapatkan 〈u+v, w〉.
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
