TE 1467 Teknik Numerik Sistem Linear

TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear

Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

OUTLINE 1

OBJEKTIF

2

TEORI

3

CONTOH

4

SIMPULAN

5

LATIHAN

OBJEKTIF

Teori

Contoh

Simpulan

Latihan

Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu: 1. Menghitung invers suatu matriks melalui operasi baris elementer (reduksi baris) 2. Menghitung invers menggunakan ekspansi kofaktor

Objektif

TEORI

Contoh

Simpulan

Pendahuluan Invers suatu matriks dapat dihitung dengan menggunakan cara 1. Reduksi baris 2. Ekspansi kofaktor

Latihan

Objektif

TEORI

Contoh

Simpulan

Definisi dan Sifat-sifat Metode Membalik Matriks: Reduksi Baris Metode Membalik Matriks: Ekspansi Kofaktor Aplikasi

Latihan

Objektif

TEORI

Contoh

Simpulan

Latihan

Definisi  A dan B matriks bujursangkar berukuran sama  Bila AB=BA=I  A disebut dapat-dibalik (invertible)  B disebut invers dari A

TEORI

Objektif

Contoh

Simpulan

Latihan

Sifat-sifat: (1)  AA-1 = I atau A-1A = I

 (A-1)-1 = A 

(An)-1

=

−1 1 −1  A− n = ( A−1 ) n =  A− A A  

(A-1)n

 (kA)-1 = (1/k)A-1



k skalar

 A dan B berukuran sama  AB dapat-dibalik  (AB)-1 = B-1A-1

n − faktor

Objektif

TEORI

Contoh

Simpulan

Sifat-sifat: (2) • Matriks A orde 2:

a b  A=  c d  

• Invers matriks A: d  1  d − b   ad − bc −1 A = =   ad − bc − c a  − c  ad − bc

Syarat: ad–bc≠0

b  − ad − bc   a  ad − bc 

Latihan

Objektif

TEORI

Contoh

Simpulan

Latihan

Metode Membalik Matriks: reduksi baris Prosedur:  Bentuk matriks augmentasi: [ A | I ]  Lakukan operasi baris elementer sehingga A menjadi I  Matriks hasil reduksi dalam bentuk [ I | A-1 ]

Matriks tidak dapat dibalik:  Tidak dapat direduksi menjadi In  Minimal ada satu baris nol dalam matriks eselon baris tereduksi  Komputasi dihentikan

Objektif

TEORI

Contoh

Simpulan

Metode Membalik Matriks: ekspansi kofaktor Matriks adjoint:  Transpos dari matriks kofaktor  Notasi: adj(A)

C11 C21  Cn1  C  C  C 22 n2  adj ( A) = C T =  12        C C  C 2n nn   1n

Invers matriks A: A−1 =

1 adj ( A) det( A)

Latihan

Objektif

TEORI

Contoh

Simpulan

Aplikasi Sistem linear:  matriks A(n×n) dapat dibalik  matriks b(n×1)

Solusi sistem: (satu solusi)

Ax = b

x = A-1b

Latihan

Objektif

Teori

CONTOH Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3 Contoh 4

Simpulan

Latihan

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Menghitung invers melalui reduksi baris Contoh 1

Contoh 2

1 2 3 A = 2 5 3 1 0 8

Jawab 1:

 1 6 4 A =  2 4 − 1 − 1 2 5

Jawab 2:

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Solusi Contoh 1 Bentuk matriks [ A | I ]:

-2b1+b2; -b1+b3:

2b2+b3:

1 2 3 1 0 0   2 5 3 0 1 0   1 0 8 0 0 1 2 3 1 0 0 1  0 − − 1 0 1 3 2   0 − 2 5 − 1 0 1 3 1 0 0 1 2 0 1 − 3 − 2 1 0    0 0 − 1 − 5 2 1

Objektif

CONTOH

Teori

Simpulan

Latihan

Solusi Contoh 1 -b3:

3 1 0 0 1 2  0 1 − 3 − 2 1 0   0 0 1 5 − 2 − 1

3b3+b2; -3b3+b1:

6 3  1 2 0 − 14  0 1 0 13 − 5 − 3   0 0 1 5 − 2 − 1

-2b2+b1:

9  1 0 0 − 40 16  0 1 0 13 − 5 − 3   0 0 1 5 − 2 − 1

A-1

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Solusi Contoh 2 A tidak dapat dibalik

Bentuk matriks [ A | I ]

-2b1+b2; b1+b3

b2+b3

 1 6 4 1 0  2 4 −1 0 1  − 1 2 5 0 0 6 4 1 1 0 − 8 − 9 − 2  0 8 9 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1

6 4 1 0 0 1 0 − 8 − 9 − 2 1 0    0 0 0 − 1 1 1

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Menghitung invers melalui ekspansi kofaktor Contoh 3 Dapatkan invers matriks dalam contoh 1 menggunakan ekspansi kofaktor. 1 2 3 A = 2 5 3 1 0 8

Jawab 3:

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Solusi Contoh 3 1 3 = +M 2 = =5 1 8

Kofaktor entri aij

C22

5 3 C11 = + M 11 = = 40 0 8

1 2 C23 = − M 23 = − =2 1 0

C12 = − M 12

2 3 =− = −13 1 8

2 3 C31 = + M 31 = = −9 5 3

2 5 C13 = + M 13 = = −5 1 0

1 3 =− =3 2 3

C32 = − M 32

2 3 C21 = − M 21 = − = −16 0 8

1 2 C33 = + M 33 = =1 2 5

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Solusi Contoh 3 Matriks kofaktor

 40 − 13 − 5 C = − 16 5 2  − 9 3 1

CT

 40 − 16 − 9 adj ( A) = − 13 5 3  − 5 2 1

det( A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 = 1(−9) + 0(9) + 8(1) = −1 9 − 40 16 1 −1 adj ( A) =  13 − 5 − 3 INVERSA = det( A)  5 − 2 − 1

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Contoh 4 Dapatkan solusi sistem linear berikut:

Persamaan matriks:

x1 + x2 + 2 x3 = 8 − x1 − 2 x2 + 3 x3 = 1 3 x1 − 7 x2 + 4 x3 = 10

1 2  x1   8  1 − 1 − 2 3  x  =  1  2      3 − 7 4  x3  10 Jawab 4:

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Solusi Contoh 4: reduksi baris (1) Bentuk matriks [ A | I ]

b1+b2; -3b1+b3

-b2

1 2 1 0 0  1  − 1 − 2 3 0 1 0    3 − 7 4 0 0 1 1 2 1 0 0 1  0 − 1 5 1 1 0   0 − 10 − 2 − 3 0 1 1 2 1 0 0 1  0 1 − 5 − 1 − 1 0   0 − 10 − 2 − 3 0 1

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Solusi Contoh 4: reduksi baris (2) -b2+b1; 10b2+b3

-(1/52)b3

-7b3+b1; 5b3+b2

7 2 1 0 1 0 0 1 − 5 − 1 − 1 0    0 0 − 52 − 13 − 10 1 1 0 7 2 1 0   0 0 1 − 5 − 1 − 1 13 10 − 1  0 0 1 52 52 52   1 0 0  0 1 0 0 0 1 

13 52 13 52 13 52

− 18 52 2 − 52 10 52

− −

7 52 5 52  1 52 

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Solusi Contoh 4: reduksi baris (3)

Invers matriks A:

Solusi sistem:

 13 52  A−1 =  13 52  13  52

 13 52  x = A−1b =  13 52  13  52

− 18 52

2 − 52 10 52

− 18 52 2 − 52 10 52

7  52  5 − 52  1 − 52 

7  8 52     5 − 52   1 1  10 − 52  

 3 = 1  2

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(1) Solusi sistem linear menggunakan ekspansi kofaktor: 1 2  x1   8  1 − 1 − 2 3  x  =  1  2      3 − 7 4  x3  10

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(2) 1 2 = +M 2 = = −2 3 4

Kofaktor entri aij

C22

−2 3 C11 = + M 11 = = 13 −7 4

1 1 C23 = − M 23 = − = 10 3 −7

C12 = − M 12

−1 3 =− = 13 3 4

−1 − 2 C13 = + M 13 = = 13 3 −7 1 2 C21 = − M 21 = − = −18 −7 4

1 2 C31 = + M 31 = =7 −2 3 C32 = − M 32

1 2 =− = −5 −1 3

1 1 C33 = + M 33 = = −1 −1 − 2

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Latihan

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(3)  13 13 13 C = − 18 − 2 10  7 − 5 − 1

13 − 18 7  adj ( A) = 13 − 2 − 5 13 10 − 1

det( A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 1(13) + 1(13) + 2(13) = 52  13 − 18 7  52 52 52  1 2 − 5  A−1 = adj ( A) =  13 − 52 52 52  det( A)  13 10 − 1  52   52 52

Objektif

Teori

CONTOH

Simpulan

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(4)

Solusi sistem:  13 52  x = A−1b =  13 52  13  52

− 18 52

2 − 52 10 52

7  8 52     5 − 52   1 1  10 − 52  

 3 = 1  2

Latihan

Objektif

Teori

Contoh

SIMPULAN

Latihan

Invers  Invers matriks dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu 1. Reduksi baris 2. Ekspansi kofaktor

 Sistem linear Ax=b memiliki tepat satu solusi, yaitu x=A-1b

Objektif

Teori

Contoh

Simpulan

LATIHAN

Soal

1. Dapatkan invers matriks berikut:

3 2 − 1 A = 1 6 3  2 − 4 0 

2. Dapatkan solusi sistem linear berikut: x1 − 2 x2 + x3 = 1 2 x1 − 5 x2 + x3 = − 1 3 x1 − 7 x2 + 2 x3 = 0

Objektif

Teori

Contoh

Simpulan

LATIHAN

Solusi Latihan 1 Invers matriks dihitung melalui ekspansi kofaktor

3 2 − 1 A = 1 6 3  2 − 4 0 

Objektif

Teori

Contoh

Simpulan

LATIHAN

Solusi Latihan 1 Kofaktor entri aij 6 3 C11 = + M 11 = = −12 −4 0 C12 = − M 12

1 3 =− =6 2 0

1 6 C13 = + M 13 = = −16 2 −4 2 −1 C21 = − M 21 = − =4 −4 0

C22

3 −1 = +M 2 = =2 2 0

3 2 C23 = − M 23 = − = 16 2 −4 2 −1 C31 = + M 31 = = 12 6 3 C32 = − M 32

3 −1 =− = −10 1 3

3 2 C33 = + M 33 = = 16 1 6

Objektif

Teori

Contoh

Simpulan

LATIHAN

Solusi Latihan 1 6 − 16 − 12 C =  4 2 16  12 − 10 16

− 12 4 12 adj ( A) =  6 2 − 10 − 16 16 16

det( A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 = 2(12) + (−4)(−10) + 0(16) = 64 − 12 64  1 6 A−1 = adj ( A) =  64 det( A) − 16  64

4 64 2 64 16 64

12  64  − 10 64  16  64 

Objektif

Teori

Contoh

Simpulan

LATIHAN

Solusi Latihan 2: ekspansi kofaktor Solusi sistem linear dihitung melalui ekspansi kofaktor

Persamaan matriks:

x1 − 2 x2 + x3 = 1 2 x1 − 5 x2 + x3 = − 1 3 x1 − 7 x2 + 2 x3 = 0

 1 − 2 1  x1   1 2 − 5 1  x  = − 1  2      3 − 7 2  x3   0

Objektif

Teori

Contoh

Simpulan

LATIHAN

Solusi Latihan 2: ekspansi kofaktor 1 1 = +M 2 = = −1 3 2

Kofaktor entri aij

C22

−5 1 C11 = + M 11 = = −3 −7 2

1 −2 C23 = − M 23 = − =2 3 −7

C12 = − M 12

2 1 =− = −1 3 2

2 −5 C13 = + M 13 = =1 3 −7 −2 1 C21 = − M 21 = − = −3 −7 2

−2 1 C31 = + M 31 = =3 −5 1 C32 = − M 32 C33

1 1 =− =1 2 1

1 −2 = + M 33 = = −1 2 −5

Objektif

Teori

Contoh

Simpulan

LATIHAN

Solusi Latihan 2: ekspansi kofaktor − 3 − 1 1 C = − 3 − 1 2  3 1 − 1

− 3 − 3 3 adj ( A) =  − 1 − 1 1  1 2 − 1

det( A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 = 3(3) + (−7)(1) + 2(−1) = 0

1 A = adj ( A) =  det( A) −1

Objektif

Teori

Contoh

Simpulan

LATIHAN

Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Latihan 2: reduksi baris Matriks hasil operasi baris:

1 − 2 1 1  2 − 5 1 − 1   3 − 7 2 0 

1 0 3 7  0 1 1 3    0 0 0 0

Solusi sistem:

x3 = t x2 = -x3 + 3 = -t+3 x1 = -3x3 + 7 = -3t+7

x3 = 1 x2 = -x3 + 3 = 2 x1 = -3x3 + 7 = 4