TE – 1467 Teknik Numerik Sistem Linear
Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1
OBJEKTIF
2
TEORI
3
CONTOH
4
SIMPULAN
5
LATIHAN
OBJEKTIF
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu: 1. Menghitung invers suatu matriks melalui operasi baris elementer (reduksi baris) 2. Menghitung invers menggunakan ekspansi kofaktor
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Pendahuluan Invers suatu matriks dapat dihitung dengan menggunakan cara 1. Reduksi baris 2. Ekspansi kofaktor
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Definisi dan Sifat-sifat Metode Membalik Matriks: Reduksi Baris Metode Membalik Matriks: Ekspansi Kofaktor Aplikasi
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Definisi A dan B matriks bujursangkar berukuran sama Bila AB=BA=I A disebut dapat-dibalik (invertible) B disebut invers dari A
TEORI
Objektif
Contoh
Simpulan
Latihan
Sifat-sifat: (1) AA-1 = I atau A-1A = I
(A-1)-1 = A
(An)-1
=
−1 1 −1 A− n = ( A−1 ) n = A− A A
(A-1)n
(kA)-1 = (1/k)A-1
k skalar
A dan B berukuran sama AB dapat-dibalik (AB)-1 = B-1A-1
n − faktor
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Sifat-sifat: (2) • Matriks A orde 2:
a b A= c d
• Invers matriks A: d 1 d − b ad − bc −1 A = = ad − bc − c a − c ad − bc
Syarat: ad–bc≠0
b − ad − bc a ad − bc
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Metode Membalik Matriks: reduksi baris Prosedur: Bentuk matriks augmentasi: [ A | I ] Lakukan operasi baris elementer sehingga A menjadi I Matriks hasil reduksi dalam bentuk [ I | A-1 ]
Matriks tidak dapat dibalik: Tidak dapat direduksi menjadi In Minimal ada satu baris nol dalam matriks eselon baris tereduksi Komputasi dihentikan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Metode Membalik Matriks: ekspansi kofaktor Matriks adjoint: Transpos dari matriks kofaktor Notasi: adj(A)
C11 C21 Cn1 C C C 22 n2 adj ( A) = C T = 12 C C C 2n nn 1n
Invers matriks A: A−1 =
1 adj ( A) det( A)
Latihan
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Aplikasi Sistem linear: matriks A(n×n) dapat dibalik matriks b(n×1)
Solusi sistem: (satu solusi)
Ax = b
x = A-1b
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3 Contoh 4
Simpulan
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Menghitung invers melalui reduksi baris Contoh 1
Contoh 2
1 2 3 A = 2 5 3 1 0 8
Jawab 1:
1 6 4 A = 2 4 − 1 − 1 2 5
Jawab 2:
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 1 Bentuk matriks [ A | I ]:
-2b1+b2; -b1+b3:
2b2+b3:
1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 − − 1 0 1 3 2 0 − 2 5 − 1 0 1 3 1 0 0 1 2 0 1 − 3 − 2 1 0 0 0 − 1 − 5 2 1
Objektif
CONTOH
Teori
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 1 -b3:
3 1 0 0 1 2 0 1 − 3 − 2 1 0 0 0 1 5 − 2 − 1
3b3+b2; -3b3+b1:
6 3 1 2 0 − 14 0 1 0 13 − 5 − 3 0 0 1 5 − 2 − 1
-2b2+b1:
9 1 0 0 − 40 16 0 1 0 13 − 5 − 3 0 0 1 5 − 2 − 1
A-1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 2 A tidak dapat dibalik
Bentuk matriks [ A | I ]
-2b1+b2; b1+b3
b2+b3
1 6 4 1 0 2 4 −1 0 1 − 1 2 5 0 0 6 4 1 1 0 − 8 − 9 − 2 0 8 9 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
6 4 1 0 0 1 0 − 8 − 9 − 2 1 0 0 0 0 − 1 1 1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Menghitung invers melalui ekspansi kofaktor Contoh 3 Dapatkan invers matriks dalam contoh 1 menggunakan ekspansi kofaktor. 1 2 3 A = 2 5 3 1 0 8
Jawab 3:
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 3 1 3 = +M 2 = =5 1 8
Kofaktor entri aij
C22
5 3 C11 = + M 11 = = 40 0 8
1 2 C23 = − M 23 = − =2 1 0
C12 = − M 12
2 3 =− = −13 1 8
2 3 C31 = + M 31 = = −9 5 3
2 5 C13 = + M 13 = = −5 1 0
1 3 =− =3 2 3
C32 = − M 32
2 3 C21 = − M 21 = − = −16 0 8
1 2 C33 = + M 33 = =1 2 5
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 3 Matriks kofaktor
40 − 13 − 5 C = − 16 5 2 − 9 3 1
CT
40 − 16 − 9 adj ( A) = − 13 5 3 − 5 2 1
det( A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 = 1(−9) + 0(9) + 8(1) = −1 9 − 40 16 1 −1 adj ( A) = 13 − 5 − 3 INVERSA = det( A) 5 − 2 − 1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 4 Dapatkan solusi sistem linear berikut:
Persamaan matriks:
x1 + x2 + 2 x3 = 8 − x1 − 2 x2 + 3 x3 = 1 3 x1 − 7 x2 + 4 x3 = 10
1 2 x1 8 1 − 1 − 2 3 x = 1 2 3 − 7 4 x3 10 Jawab 4:
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 4: reduksi baris (1) Bentuk matriks [ A | I ]
b1+b2; -3b1+b3
-b2
1 2 1 0 0 1 − 1 − 2 3 0 1 0 3 − 7 4 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 − 1 5 1 1 0 0 − 10 − 2 − 3 0 1 1 2 1 0 0 1 0 1 − 5 − 1 − 1 0 0 − 10 − 2 − 3 0 1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 4: reduksi baris (2) -b2+b1; 10b2+b3
-(1/52)b3
-7b3+b1; 5b3+b2
7 2 1 0 1 0 0 1 − 5 − 1 − 1 0 0 0 − 52 − 13 − 10 1 1 0 7 2 1 0 0 0 1 − 5 − 1 − 1 13 10 − 1 0 0 1 52 52 52 1 0 0 0 1 0 0 0 1
13 52 13 52 13 52
− 18 52 2 − 52 10 52
− −
7 52 5 52 1 52
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Solusi Contoh 4: reduksi baris (3)
Invers matriks A:
Solusi sistem:
13 52 A−1 = 13 52 13 52
13 52 x = A−1b = 13 52 13 52
− 18 52
2 − 52 10 52
− 18 52 2 − 52 10 52
7 52 5 − 52 1 − 52
7 8 52 5 − 52 1 1 10 − 52
3 = 1 2
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(1) Solusi sistem linear menggunakan ekspansi kofaktor: 1 2 x1 8 1 − 1 − 2 3 x = 1 2 3 − 7 4 x3 10
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(2) 1 2 = +M 2 = = −2 3 4
Kofaktor entri aij
C22
−2 3 C11 = + M 11 = = 13 −7 4
1 1 C23 = − M 23 = − = 10 3 −7
C12 = − M 12
−1 3 =− = 13 3 4
−1 − 2 C13 = + M 13 = = 13 3 −7 1 2 C21 = − M 21 = − = −18 −7 4
1 2 C31 = + M 31 = =7 −2 3 C32 = − M 32
1 2 =− = −5 −1 3
1 1 C33 = + M 33 = = −1 −1 − 2
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(3) 13 13 13 C = − 18 − 2 10 7 − 5 − 1
13 − 18 7 adj ( A) = 13 − 2 − 5 13 10 − 1
det( A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 1(13) + 1(13) + 2(13) = 52 13 − 18 7 52 52 52 1 2 − 5 A−1 = adj ( A) = 13 − 52 52 52 det( A) 13 10 − 1 52 52 52
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Contoh 4: Ekspansi kofaktor(4)
Solusi sistem: 13 52 x = A−1b = 13 52 13 52
− 18 52
2 − 52 10 52
7 8 52 5 − 52 1 1 10 − 52
3 = 1 2
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
Latihan
Invers Invers matriks dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu 1. Reduksi baris 2. Ekspansi kofaktor
Sistem linear Ax=b memiliki tepat satu solusi, yaitu x=A-1b
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Soal
1. Dapatkan invers matriks berikut:
3 2 − 1 A = 1 6 3 2 − 4 0
2. Dapatkan solusi sistem linear berikut: x1 − 2 x2 + x3 = 1 2 x1 − 5 x2 + x3 = − 1 3 x1 − 7 x2 + 2 x3 = 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 1 Invers matriks dihitung melalui ekspansi kofaktor
3 2 − 1 A = 1 6 3 2 − 4 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 1 Kofaktor entri aij 6 3 C11 = + M 11 = = −12 −4 0 C12 = − M 12
1 3 =− =6 2 0
1 6 C13 = + M 13 = = −16 2 −4 2 −1 C21 = − M 21 = − =4 −4 0
C22
3 −1 = +M 2 = =2 2 0
3 2 C23 = − M 23 = − = 16 2 −4 2 −1 C31 = + M 31 = = 12 6 3 C32 = − M 32
3 −1 =− = −10 1 3
3 2 C33 = + M 33 = = 16 1 6
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 1 6 − 16 − 12 C = 4 2 16 12 − 10 16
− 12 4 12 adj ( A) = 6 2 − 10 − 16 16 16
det( A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 = 2(12) + (−4)(−10) + 0(16) = 64 − 12 64 1 6 A−1 = adj ( A) = 64 det( A) − 16 64
4 64 2 64 16 64
12 64 − 10 64 16 64
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 2: ekspansi kofaktor Solusi sistem linear dihitung melalui ekspansi kofaktor
Persamaan matriks:
x1 − 2 x2 + x3 = 1 2 x1 − 5 x2 + x3 = − 1 3 x1 − 7 x2 + 2 x3 = 0
1 − 2 1 x1 1 2 − 5 1 x = − 1 2 3 − 7 2 x3 0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 2: ekspansi kofaktor 1 1 = +M 2 = = −1 3 2
Kofaktor entri aij
C22
−5 1 C11 = + M 11 = = −3 −7 2
1 −2 C23 = − M 23 = − =2 3 −7
C12 = − M 12
2 1 =− = −1 3 2
2 −5 C13 = + M 13 = =1 3 −7 −2 1 C21 = − M 21 = − = −3 −7 2
−2 1 C31 = + M 31 = =3 −5 1 C32 = − M 32 C33
1 1 =− =1 2 1
1 −2 = + M 33 = = −1 2 −5
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Solusi Latihan 2: ekspansi kofaktor − 3 − 1 1 C = − 3 − 1 2 3 1 − 1
− 3 − 3 3 adj ( A) = − 1 − 1 1 1 2 − 1
det( A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 = 3(3) + (−7)(1) + 2(−1) = 0
1 A = adj ( A) = det( A) −1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Jawaban Contoh 4: ekspansi kofaktor Solusi Latihan 2: reduksi baris Matriks hasil operasi baris:
1 − 2 1 1 2 − 5 1 − 1 3 − 7 2 0
1 0 3 7 0 1 1 3 0 0 0 0
Solusi sistem:
x3 = t x2 = -x3 + 3 = -t+3 x1 = -3x3 + 7 = -3t+7
x3 = 1 x2 = -x3 + 3 = 2 x1 = -3x3 + 7 = 4
