TE091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1
OBJEKTIF
2
TEORI
3
CONTOH
4
SIMPULAN
5
LATIHAN
OBJEKTIF
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu: 1. Menghitung hasil operator linear pada R2 untuk unit square 2. Menginterpretasikan efek perkalian matriks yang ekuivalen melalui operasi terurut yang sesuai melalui operator refleksi, ekspansi (kontraksi) dan shear.
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Pendahuluan
Operator linear pada R2 memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang seperti komputer grafis dan robotika. Efek perkalian dengan matriks dapat dijelaskan melalui operasi terurut yang sesuai meliputi operator refleksi, ekspansi (kompresi) dan shear.
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Geometri Operator Linear pada R2
Operator T: R2 → R2 merupakan matriks standar a b A= c d
dan
x a b x ax + by = T = + c d y cx dy y
dua interpretasi: T memetakan garis pada garis T memetakan titik pada titik
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Geometri Operator Linear pada R2 Operator Refleksi pada sumbu -y Refleksi pada sumbu -x
Matriks standar
Efek pada
− 1 0 0 1
y
1 0 0 −1
y
y (1,1)
(-1,1) x
x y
(1,1)
x x (1, -1)
Refleksi pada garis y=x
Rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar θ
0 1 1 0 cos θ sin θ
− sin θ cos θ
y
y (1,1)
(1, 1) x
x
(cos θ - sin θ, sin θ + cos θ) y
y (1,1) x
θ
x
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Ekspansi dan Kompresi
Operator T: R2 → R2 merupakan ekspansi (k>0) atau kompresi (0
k 0 Matriks standar T: 0 1 y
y (1/2,1)
(1,1)
x
unit square
y (2,1)
x
kompresi k = 1/2
Matriks standar T untuk ekspansi (kompresi) arah –y dengan faktor k :
x
ekspansi k = 2
1 0 0 k
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Shear
Operator T: R2 → R2 merupakan shear dalam arah –x dengan faktor k 1 k Matriks standar T: 0 1 y
y (1,1)
y (x+ky, y)
(x+ky, y)
x
unit square
x
k>0
Matriks standar T untuk shear arah –y dengan faktor k :
x
k<0
1 0 k 1
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Hubungan antara Operator dengan Matriks Elementer Operator
Matriks standar
Operasi baris (matriks elementer)
Shear arah-x
1 k 0 1
Tambahkan k kali baris 2 pada baris 1
Shear arah-y
1 0 k 1
Tambahkan k kali baris 1 pada baris 2
Refleksi pada garis y=x
0 1 1 0
Tukarkan baris 1 dengan baris 2
Kompresi (ekspansi) arah-x dan arah-y
k 0 0 1
1 0 0 k
Kalikan satu baris dengan faktor k
Objektif
TEORI
Contoh
Simpulan
Latihan
Sifat Geometris Operator Linear pada R2
Teorema: jika T: R2 → R2 merupakan perkalian dengan matriks A dapat dibalik, maka efek geometris dari T adalah sama dengan suksesi yang sesuai dari operator shear, kompresi, ekspansi dan refleksi Matriks A adalah ekuivalen dengan perkalian dari matriks elementer (invers matriks elementer adalah matriks elementer) −1 1
−1 2
−1 3
A = E E E E
−1 k
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Contoh 1
Dapatkan matriks transformasi dari R2 ke R2 , a) shears dengan faktor 2 dalam arah –x dilanjutkan dengan refleksi pada garis y=x b) refleksi pada garis y=x dilanjutkan dengan shears dengan faktor 2 dalam arah –x
Latihan
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1
Matriks standar untuk shears dalam arah –x dengan faktor 2
1 2 A1 = 0 1
Matriks standar untuk refleksi pada garis y=x
0 1 A2 = 1 0
a) shears diikuti dengan refleksi
0 1 1 2 0 1 = A2 A1 = 1 0 0 1 1 2
b) refleksi diikuti dengan shears
1 2 0 1 2 1 A1 A2 = 1 0 = 1 0 0 1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 1
y
y (1,1)
y (1,1)
(3, 1)
x
x
x
y y
(1, 3)
y (1,1)
(3, 1)
x
x
x
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 2
Jelaskan efek perkalian dengan matriks diagonal A melalui operator ekspansi dan kompresi k1 A= 0 Jawab:
k1 A= 0
0 k 2
0 1 0 k1 0 = k 2 0 k 2 0 1
Perkalian dengan A adalah ekuivalen dengan 1) ekspansi (kompresi) dengan faktor k1 dalam arah–x 2) ekspansi (kompresi) dengan faktor k2 dalam arah–y
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 3
Nyatakan matriks A sebagai perkalian matriks elementer, kemudian gambarkan efek geometri dari perkalian dengan matriks A tersebut. 2 4 A= 3 1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 3
Matriks A direduksi menjadi matriks I sebagai berikut: 2 4 3 1
b1/2
1 2 3 1
-3b1+b2
2 1 1 2 0 − 5 0 1 -b2/5
-2b2+b1
1 0 0 1
matriks elementer
12 0 0 1
1 0 − 3 1
0 1 0 − 1 5
1 − 2 0 1
invers matriks elementer
2 0 0 1
1 0 3 1
0 1 0 − 5
1 2 0 1
Objektif
Teori
CONTOH
Simpulan
Latihan
Contoh 3
Invers matriks elementer 2 E1−1 = 0 1 −1 E2 = 3
0 1
5) ekspansi faktor 2 arah-x
0 1
4) shear faktor 3 arah-y
0 1 0 1 0 1 = E = 0 5 − − 0 5 0 1 −1 3
1 2 E = 0 1 −1 4
operator linear
3) refleksi sumbu-x 2) ekspansi faktor 5 arah-y 1) shear faktor 2 arah-x
A = E1−1 E2−1 E3−1 E4−1
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
Latihan
Geometri Operator Linear
1. Geometri operator linear dapat diinterpretasikan sebagai pemetaan garis pada garis dan titik ke titik 2. Efek perkalian dengan matriks dapat dinyatakan melalui beberapa operasi terurut yang tepat dalam operasi refleksi, ekspansi (kompresi) dan shear.
Objektif
Teori
Contoh
SIMPULAN
LATIHAN
Latihan 1
Dapatkan matriks transformasi dari R2 ke R2 , a) refleksi pada sumbu –x dilanjutkan dengan shear dengan faktor 3 dalam arah-y b) Kompresi dengan faktor ½ dalam arah –x diikuti dengan ekspansi dengan faktor 5 dalam arah –y
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
LATIHAN
Latihan 2
Nyatakan matriks A sebagai perkalian matriks elementer, kemudian gambarkan efek geometri dari perkalian dengan matriks A tersebut. 1 − 3 A= 4 6
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
