TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Operator Linear Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OUTLINE 1. Objektif 2. Teori 3. Contoh 4. Simpulan 5. Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu: 1) menggunakan transformasi linear menggunakan operator linear untuk suatu vektor 2) menggambarkan operator linear untuk vektor dalam representasi geometri dalam R2 dan R3
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Pendahuluan
Operator linear digunakan untuk memetakan vektor atau titik ke dalam vektor atau titik yang lain. Beberapa operator linear yang dibahas dalam objek pembelajaran ini adalah refleksi, proyeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi, dan rotasi.
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Operator Refleksi
Misal operator T: R2 → R2 memetakan vektor ke image simetris pada sumbu-y Hubungan antara komponen x dan w w1 = − x = − x + 0 y
w2 = y = 0 x + y
Matriks standar T:
w1 − 1 0 x w = 0 1 y 2
− 1 0 [T ] = 0 1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Refleksi pada sumbu–y
Operator refleksi: memetakan vektor ke dalam image simetrisnya pada garis atau bidang y
(-x, y) w=T(x)
(x, y)
x x
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Refleksi pada sumbu/garis Operator
Ilustrasi
Persamaan
Matriks standar
w1 = − x
− 1 0 0 1
y
Refleksi pada sumbu-y
(-x, y)
(x, y) x
w=T(x)
x
w2 = y
y (x, y) x
Refleksi pada sumbu-x w=T(x)
Refleksi pada garis y=x
w2 = − y
1 0 0 −1
w1 = y w2 = x
0 1 1 0
(x, -y)
y (y, x) w=T(x)
w1 = x
x
x
y= x (x, y)
x
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Refleksi pada bidang Operator
Ilustrasi
w1 = x
z x
Refleksi pada bidang-xy
(x, y, z) y
w
x (x, -y, z)
Refleksi pada bidang-xz
Persamaan w2 = y w3 = – z
(x, y, -z) z x
w
w1 = x
(x, y, z) y
w3 = z
x z
(-x, y, z)
w
Refleksi pada bidang-yz
w1 = – x w2 = y
(x, y, z) x
x
w2 = – y
y
w3 = z
Matriks standar 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1
− 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Operator Proyeksi
Operator T: R2 → R2 memetakan vektor ke dalam proyeksi ortogonalnya pada sumbu-x Hubungan antara komponen x dan w w1 = x = x + 0 y w2 = 0 = 0 x + 0 y
Matriks standar T:
1 0 [T ] = 0 0
w1 1 0 x w = 0 0 y 2
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Proyeksi Ortogonal pada sumbu–x
Operator proyeksi: memetakan vektor ke dalam proyeksi ortogonalnya pada garis atau bidang melalui origin
y
(x, y) x x w
(x, 0)
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Proyeksi Ortogonal pada sumbu Operator
Ilustrasi y
Proyeksi ortogonal pada sumbu-x
Persamaan
(x, y)
w1 = x
x
x
w2 = 0
(x, y)
w1 = 0
w (x, 0)
Matriks standar
1 0 0 0
y
Proyeksi ortogonal pada sumbu-y
(0, y) w
x
x
w2 = y
0 0 0 1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Proyeksi Ortogonal pada bidang Operator
Ilustrasi
Persamaan Matriks standar
z
Proyeksi ortogonal pada bidang-xy
x w
x
z
(x, 0, z)
Proyeksi ortogonal pada bidang-xz
w1 = x
(x, y, z) y (x, y, 0)
w3 = 0
(x, y, z)
w1 = x
y
w2 = 0
x
w
w2 = y
w3 = z
x z
(0, y, z)
w
Proyeksi ortogonal pada bidang-yz
x x
w1 = 0
(x, y, z) y
w2 = y w3 = z
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Operator Rotasi
Rotasi vektor pada R2 sebesar sudut θ Sudut rotasi positif: berlawanan dengan jarum jam Hubungan antara x dan w:
y w=(w1, w2) r
θ
x = r cos φ
y = r sin φ
x=(x, y) r
φ
x
w1 = r cos(θ + φ ) w2 = r sin(θ + φ )
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Operator Rotasi Identitas trigonometri: w1 = r cos θ cos φ − r sin θ sin φ
w2 = r sin θ cos φ + r cos θ sin φ
Komponen vektor w
w1 = x cos θ − y sin θ w2 = x sin θ + y cos θ
Operator rotasi:
cos θ [T ] = sin θ
− sin θ cos θ
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Operator Kontraksi dan Dilasi
Operator T(x) = kx dengan k tidak negatif Kontraksi (0 ≤ k < 1)
Dilasi (k > 1)
x
T(x)=kx
T(x)=kx x
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Operator Kontraksi dan Dilasi Operator
Ilustrasi
Persamaan
Matriks standar
y x
Kontraksi sebesar k pada R2 (0 ≤ k < 1)
w
w1 = kx w2 = ky
(kx, ky)
y
Dilasi sebesar faktor k pada R2 (k > 1)
(x, y)
x
w (kx, ky)
k 0 0 k w1 = kx w2 = ky
x (x, y) x
Contoh 1
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Komposisi Transformasi Linear Transformasi linear dari TA: Rn → Rk dan TB: Rk → Rm
Komposisi dari TB dengan TA TA diikuti TB : transformasi dari Rn ke Rm Notasi TB ○TA Rn x
Rk
Rm TB
TA
TB○TA
TB(TA(x))=(TB○TA)(x)
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Representasi Komposisi Komposisi dari rotasi sebesar θ1 dan θ2 berlawanan jarum jam (T2○T1)(x)= T2(T1(x))
Komposisi dari refleksi pada garis y=x diikuti proyeksi ortogonal pada sumbu-y
y T2(T1(x))
T1(x)
θ 1+θ 2 θ2
x
θ1
x
y T2(T1(x))
y=x
T1(x) x
x
Objektif
Teori
Contoh
Komposisi:
Simpulan
Latihan
tidak komutatif
Komposisi dari refleksi pada garis (T1(x)) dan proyeksi ortogonal (T2(x))
y
y T2(T1(x))
y=x
T1(x)
y=x
x
x
T2(x)
x
x T1(T2(x))
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Komposisi: komutatif Komposisi dari refleksi pada sumbu-x dan sumbu-y y (x,y) x x T1(T2(x)) (-x,- y)
T2(x) (x,-y)
y (-x,y)
(x,y) T1(x)
x
x
T2(T1(x)) (-x,- y) Contoh 2
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Interpretasi geometris dari eigenvektor
T: operator linear; A: matriks standar; x: vektor T(x) = λ x
Ax=λx
Eigenvektor untuk eigenvalue terkait Eigenvalue
Perkalian dengan A memetakan x ke dalam perkalian skalar terhadap dirinya
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Interpretasi geometris dari eigenvektor Perkalian dengan A di R2 dan R3 memetakan eigenvektor x ke dalam vektor yang segaris dengan x λx x
x
x
x
λx λx λx 0≤λ≤1
λ≥1
-1≤λ≤0
λ≤-1
Contoh 3
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 1 Dapatkan image dari a) vektor (-1, 2) bila dilakukan refleksi terhadap garis y=x b) vektor (2, 3,3) bila direfleksikan pada bidang–xz c) vektor (3, -4) bila di rotasi sebesar 90° d) vektor (2, -1,3) bila dilakukan proyeksi ortogonal pada bidang –yz
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Contoh 1 a) Vektor image dari vektor x=(-1, 2) bila dilakukan refleksi terhadap garis y=x 0 1 − 1 2 w = T (x) = = 1 0 2 − 1
(-1, 2) x
y
y=x
x (2, -1) w=T(x)
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 1 b) Vektor image dari vektor x =(2, 3, 3) bila direfleksikan pada bidang–xz 1 0 0 2 2 w = T (x) = 0 − 1 0 3 = − 3 0 0 1 3 3 z (2, -3, 3)
(2, 3, 3) w
x
x
y
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 1 c) Vektor image dari vektor x= (3, -4) bila di rotasi sebesar 90° cos 90 − sin 90 3 w = T (x) = − 4 sin 90 cos 90 0 − 1 3 4 = = 1 0 − 4 3
y
(4, 3) w
x
x (3, -4)
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 1 d) Vektor image dari vektor x= (2, -1, 3) bila dilakukan proyeksi ortogonal pada bidang –yz 0 0 0 2 0 w = T (x) = 0 1 0 − 1 = − 1 0 0 1 3 3
z (0, -1, 3) (2, -1, 3)
w
x y
x
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 2 a) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisi proyeksi ortogonal pada sumbu-y diikuti kontraksi dengan faktor k=½ Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri b) Dapatkan matriks standar untuk komposisi dari operator linear pada R3: refleksi pada bidang –xy, diikuti proyeksi ortogonal pada bidang –xz Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 2 a)
T1: proyeksi ortogonal pada sumbu-y 0 0 T1 = T2: kontraksi dengan faktor k=½ 0 1 12 0 0 0 0 0 T2 T1 = = 1 1 0 0 0 1 2 2 y T1(x) T2(T1(x))
12 0 T2 = 1 0 2
0 0 12 0 0 0 T1 T2 = 0 1 = 0 1 0 1 2 2 y
(2, 2) T1(T2(x)) x
0 0 2 0 = T2T1 (x) = 1 0 2 2 1
(2, 2) T2(x)
x
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 2 b)
T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada bidang –xz
1 0 0 T1 = 0 1 0 0 0 − 1
z
1 0 0 1 0 0 1 0 0 T2 T1 = 0 0 0 0 1 0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 − 1 0 0 − 1
1 0 0 2 2 T2 (T1 ( x)) = 0 0 0 4 = 0 0 0 − 1 3 − 3
1 0 0 T2 = 0 0 0 0 0 1
(2, 4, 3) x y
(2, 4, -3) T2(T1(x)) x
(2, 0, -3)
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 2 b)
T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada bidang –xz
1 0 0 T1 = 0 1 0 0 0 − 1
1 0 0 T2 = 0 0 0 0 0 1 z
1 0 0 1 0 0 1 0 0 T1 T2 = 0 1 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1
1 0 0 2 2 T1 (T2 ( x)) = 0 0 0 4 = 0 0 0 − 1 3 − 3
(2, 0, 3)
(2, 4, 3) x
T2(x)
y
T1(T2(x)) x (2, 0, -3)
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 3
T: R3→R3 adalah operator proyeksi ortogonal pada bidang –xy Buktikan bahwa: Vektor pada bidang –xy dipetakan ke dalam dirinya oleh T vektor tak-nol dalam bidang –xy : vektor eigen yang berkaitan dengan eigenvalue λ =1
Vektor x pada aksis- z dipetakan ke dalam 0 oleh T vektor tak-nol pada aksis-z: vektor eigen yang berkaitan dengan eigenvalue λ=0
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Contoh 3 Matriks standar untuk T
1 0 0 A = 0 1 0 0 0 0
Persamaan karakteristik A
λ −1 det(λI − A) =
0 0
0 0 λ − 1 0 = (λ − 1) 2 λ = 0 0
λ
Eigenvalue: λ=0 dan λ=1
Latihan
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 3 Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=0
0 0 x1 0 λ − 1 x = 0 0 λ − 1 0 2 0 λ x3 0 0 Solusi: x1=0; x2=0 ; x3=t
− 1 0 0 x1 0 0 − 1 0 x = 0 2 0 0 0 x3 0
x1 0 x = x2 = 0 x3 t
Vektor x terletak pada aksis-z
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Contoh 3 Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=1
0 0 x1 0 λ − 1 x = 0 0 λ − 1 0 2 0 λ x3 0 0 Solusi: x1=s; x2=t; x3=0
0 0 0 x1 0 0 0 0 x = 0 2 0 0 1 x3 0
x1 s x = x2 = t x3 0
Vektor x terletak pada bidang-xy
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Operator Linear 1) Refleksi, proyeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi, rotasi merupakan operator linear 2) Bergantung pada operator yang digunakan, komposisi dapat bersifat komutatif atau tidak komutatif 3) Komposisi dari transformasi linear dari TA: Rn → Rk diikuti dengan TB: Rk → Rm dinotasikan TB ○TA
Objektif , .
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
Soal Latihan 1) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisi: rotasi sebesar 90° diikuti refleksi pada garis y=x 2) Buktikan bahwa
Objektif
Teori
Contoh
Simpulan
Latihan
