THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR BENTUK POLINUM
Prepared by: Romli Shodikin, M.Pd sabtu., 23 November 2013 Pertemuan 7
TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear Teorema Sisa :
1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (x – k), maka sisanya adalah s = f(k). 2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (ax + b), maka sisanya adalah s = f ba
Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s f(k) = 0 + s Sisa s = f(k) (terbukti)
Contoh soal : 1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x – 2)
Jawab : S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 48 + 32 – 1 = 79
Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79 2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a+b!
2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !
Jawab : f(x) = (2x3 + ax2 + bx – 2)
s = 7 jika dibagi (2x – 3) s = f 32 = 7
s = f 32 = 2 32 + a 32 + b 32 – 2 = 7 3
s f 32
27 4
2
3b 9a 2 7 4 2
x4
27 + 9a + 6b = 36 9a + 6b = 9 : 3 3a + 2b = 3 ......(1)
f(x) habis dibagi (x + 2) s = f(– 2) = 0 s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0 s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0
s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0 4a – 2b = 18 : 2 2a – b = 9….......(2) Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b : (1)….3a + 2b = 3 x 1 3a + 2b = 3 (2)….2a – b = 9 x 2 4a – 2b = 18 + 7a = 21 a=3 Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada persamaan (1) atau (2) (2)…. 2 . 3 – b = 9 b = – 3
Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0
Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)(x – b) Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b)
Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b), selalu dapat dituliskan :
f(x) = p(x) . H(x) + s f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x) f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q)
P adalah koefisien x dan q adalah konstanta Untuk menentukan nilai p dan q lakukan kegiatan 5.2 pada hal. 173
Sehingga didapatkan :
f (a ) f (b) a . f ( b ) b. f ( a ) p dan q a b a b Jadi :
f (a ) f (b) a . f ( b ) b. f ( a ) s( x ) x a b a b
Contoh soal : Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh x2 + x – 6 !
Jawab : F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7) P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) a = 2 dan b = - 3
Jadi :
f (a ) f (b) a . f ( b ) b. f ( a ) s( x ) x a b a b 79 104 2.104 (3).79 s ( x) x 2 (3) 2 (3) 25 208 237 x 5 5
5x 89
Jawab :
F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7) P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) a = 2 dan b = - 3 f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7 = 48 + 32 – 4 + 10 – 7 = 79 f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7 = 243 – 108 – 9 – 15 – 7 = 104
Jadi :
f (a ) f (b) a . f ( b ) b. f ( a ) s( x ) x a b a b
SOAL-SOAL LATIHAN 2.
Suku banyak f(x) dibagi (x 1) sisanya10 dan jika dibagi (2x - 3)sisanya 5.Jika suku banyak f(x) dibagi (2x 2 x 3) sisanya adalah.... .
10
SOAL-SOAL LATIHAN
3.
Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x 2 1)sisanya (12x - 23)dan jika dibagi oleh (x - 2)sisanya1. sisa pembagian P(x) oleh (x 3x 2)adalah.... 2
11
.
SOAL-SOAL LATIHAN 4.
Suku banyak P(x) 3x 3 4 x 2 6 x k dibagi (x - 2) sisa pembagian P(x) oleh x 2 2 x 2 adalah....
12
SOAL-SOAL LATIHAN
5.
Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x 1) bersisa 8 dan jika dibagi (x - 3) bersisa 4. suku banyak g(x) jika dibagi (x 1) bersisa - 9 dan jika dibagi (x - 3) bersisa 15. Jika h(x) f(x).g(x) maka sisa pembagian h(x) oleh (x 2 2 x 3) adalah.... .
13
Teorema Faktor 1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0. 2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika f b = 0
a
Contoh soal : Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) !
Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) • (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) • (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18) = (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0
Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x) Terbukti • (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18) = (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0
Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x) Terbukti
Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak
Jika f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an dan (x – a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat dari an Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)
Jawab : f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8 Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1 Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0
Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)
Jawab : f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8 Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1 Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0 Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x) Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :
2
–5
– 14
8
2
–4 –9
18 4
–8 0
x=–2
+ f(-2)
Sehingga :
f(x) = (x – k).H(x) + s 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = (x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = (x + 2).(2x – 1)(x – 4)
Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1) dan (x – 4)
Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak Contoh soal : Selesaikan persamaan suku banyak 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 0
Jawab : f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8 Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1 Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0 Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x) Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :
2
–5
– 14
8
2
–4 –9
18 4
–8 0
x=–2
+ f(-2)
f(x) = (x – k).H(x) + s (x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = (x + 2).(2x – 1)(x – 4)
Sehingga : 2x3 – 5x2 – 14x + 8 =
Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1) dan (x – 4)
Pembagian Suku Banyak Hitunglah 1.256 dibagi 3 dengan cara bersusun !
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) ! 3x3 + 10x2 + 19x Jawab : (x – 2)
3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 3x4 – 6x3 10x3 – x2 + 5x – 7 10x3 – 20x2 19x2 + 5x – 7 19x2 – 38x -
3x3 + 10x2 + 19x + 43 Hasil bagi (x – 2) 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 3x4 – 6x3 3 – x2 + 5x – 7 10x pembagi 10x3 – 20x2 19x2 + 5x – 7 19x2 – 38x 43x – 7 43x – 86 79 sisa
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) !
Jawab : 3
4
-1
5
3
6 10
20 19
38 43
x=2
-7 86 + 79 Sisa
Koefisien Hasil Bagi Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79
Pembagian Suku Banyak Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1 dibagi (2x + 4) ! 3x3 – 6x2 + 10x Jawab : (2x + 4)
6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1 6x4 + 12x3 – 12x3 – 4x2 + 2x – 1 – 12x3 – 24x2 20x2 + 2x – 1 20x2 + 40x -
3x3 – 6x2 + 10x – 19 Hasil bagi (2x + 4) 6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1 6x4 + 12x3 – 12x3 – 4x2 + 2x – 1 pembagi – 12x3 – 24x2 20x2 + 2x – 1 20x2 + 40x – 38x – 1 – 38x – 76 75 sisa
Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan sisanya adalah 75 6x4 – 4x2 + 2x – 1= (2x + 4)(3x3 - 6x2 + 10x -19) + 75
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1 dibagi (2x + 4) !
Jawab : 6
0
–4
2
6
– 12 – 12
24 20
– 40 – 38
x=–2
6x3 12x2 20x 38 H(x) = a
= 3x3 – 6x2 + 10x – 19
–1 76 + 75 Sisa
6x3 12x2 20x 38 2
Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan sisanya adalah f(– 2) = 75
Pembagian Suku Banyak Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax2+ bx + c)
1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1 dibagi (2x2 + x – 1) ! 2x2 – x – 1 Hasil bagi Jawab : (2x2 + x – 1) 4x4 + 0x3 – 5x2 + 3x – 1 4x4 + 2x3 – 2x2 – 2x3 – 3x2 + 3x – 1 pembagi – 2x3 – x2 + x – 2x2 + 2x – 1 – 2x2 – x + 1 3x – 2 sisa
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1 dibagi (2x2 + x – 1) !
Jawab :
Diskusikan dan kerjakan, dikumpulkan pada pertemuan yang akan datang !!!!
