BARISAN DAN DERET Prepared By :
Romli Shodikin, M.Pd www.fskromli.blogspot.com
[email protected] LANJUT
Standar Kompetensi : Menggunakan konsep notasi sigma, barisan dan deret dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri
LANJUT
DAFTAR ISI
NOTASI SIGMA POLA BILANGAN BARISAN ARITMETIKA DERET ARITMETIKA BARISAN GEOMETRI DERET GEOMETRI
NOTASI SIGMA Konsep Notasi Sigma Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ……….. (1) Pada bentuk (1) Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1 Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1 Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1 Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1 Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1 Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1 Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk 2k – 1, k { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis : 6
1 3 5 7 9 11 (2k - 1) k 1
6
9
9
k 1
k 4
k 4
Bentuk
(2k 1) (2(k 3) 1) (2k 7)
dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6”
atau
“jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6” 1 disebut batas bawah dan 6 disebut batas atas, lambang k dinamakan indeks (ada yang menyebut variabel)
Secara umum: n
a k 1
k
a1 a 2 a 3 ... a n1 a n
Contoh:
Hitung nilai dari: 4
(2k 1) (2 1 1) (2 2 1) (2 3 1) (2 4 1) k 1
3 5 7 9 24
Nyatakan dalam bentuk sigma 1. a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9
(akbk 1)
10
k 1
2. (a + b)n = an C1nan 1b Cn2an 2b2 Cn3an 3b3 ... Cnn 1abn 1 Cnnbn
n
n nr r C ra b
r 0
Sifat-sifat Notasi Sigma : Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n berlaku:
n 1. 1 n k1 b b 2. ∑cf(k) c ∑f(k) ka ka
b b b ∑[f(k) g(k)] ∑f(k) ∑g(k) ka ka ka n n 4. m 1 ∑ f(k) ∑f(k) ∑f(k) k1 km k1 3.
np f(k) f(k p) km kmp
5. n
Buktikan:
10 6 2 6 2 (2k 7) 4 k 4 k 6 k5 k1 k1
Bukti: 10 10 4 2 (2k 7) [2(k 4) 7]2 k5 k54
Sifat no. 5
6 (2k 8 7)2 k1 6 (2k 1)2 k1
MENU UTAMA
6 (4k 2 4k 1) k1 6 6 6 2 4k 4k 1 k1 k1 k1 6 2 6 4 k 4 k 6 k1 k1
Sifat no. 3
Sifat no. 1 dan 2
POLA BILANGAN Pola Bilangan Asli 1 , 2 , 3 , …
Pola Bilangan Segitiga 1 , 3 , 6 , …
Pola Bilangan genap 2 , 4 , 6 , …
Pola Bilangan Persegi 1 , 4 , 9 , …
Dan Pola bilangan yang Lainnya, adapun bentuk visualisasinya dilambangkan dengan NOKTAH guna memperjelas keteraturan atau polanya
MENU UTAMA
BARISAN ARITMETIKA Perhatikan ilustrasi berikut
KELOMPOK I
KELOMPOK II
KELOMPOK III
COBA KALIAN TENTUKAN JUMLAH BURUNG PADA KELOMPOK KE-100 ? LANJUT
Permasalahan diatas merupakan bentuk dari barisan Aritmetika Kelompok I
→( U1 = a ) U1 = a = 2
Kelompok II
→( U2 = a + b ) U2 = a + b = 4 → b = 2
Kelompok III
→( U3 = a + b + b ) U3 = a + 2b
Kelompok Ke-100 → U100 = a + 99 b U100 = 200
JADI UNTUK MENENTUKAN NILAI DARI SUKU KE-N ADALAH Un = a + ( n – 1 ) b a = suku pertama b = selisih dua suku berurutan MENU UTAMA
DERET ARITMETIKA Berapa jumlah dari bilangan bulat antara 1 sampai 100 ?
Berapa ya… ? Au…k Ah… Gelap !
LANJUT
Siswa yang aktif dan kreatif tentu akan mencari solusi dari permasalahan disamping ini.
Bagaimana cara menjawab pertanyaan diatas ….. ?
Cara biasa Tekan
Cara khusus Tekan
Cara berpikir biasa Jumlah = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + ...... + 100 = PUYENG =
Cara berpikir kreatif
Jumlah = 50 x 101 = 5050 Mengapa bisa demikian … ? LANJUT
UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN TERSEBUT DAPAT MENGGUNAKAN TEKNIK SEBAGAI BERIKUT :
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un
LANJUT
n = ( 2a + ( n – 1 ) b ) 2 n = ( a + Un ) 2
CONTOH SOAL : 1.
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan 24 dan hasil kalinya 384. Tentukan ketiga bilangan tersebut !
JAWABAN 2.
Suku ke-2 deret aritmetika 5, jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 28, tentukan suku dan deret ke-9 !
JAWABAN
MAU LANJUT ATAU LATIHAN DULU................ SOAL
MENU UTAMA
BARISAN GEOMETRI PERHATIKAN ILUSTRASI BERIKUT INI
Gambar diatas merupakan potongan kertas yang dilipat menjadi dua bagian secara terus menerus.
Setelah 25 kali lipatan menjadi berapa bagiankah potongan kertas tersebut ? LANJUT
Untuk mencari solusi dari ilustrasi diatas mari kita lihat penjelasan berikut ini !
Apabila suku pertama ( U1 ) dan perbandingan suku ke-2 dan ke-1 disebut rasio ( r ), maka : U1 = a = ar0 U2 = ar = ar1 U3 = arr = ar2 … Un = ar n-1 Sehingga banyak lipatan setelah ke-25 adalah a = 1 dan r = 2, maka : U25 = 1 x 224 = 16.777.216 bagian
Jadi banyak lipatan kertas 16.777.216
MENU UTAMA
DERET GEOMETRI PIKIRKAN KEJADIAN BERIKUT INI
ANTO BERMAIN SUATU PERMAINAN GAME DI KOMPUTER, SETIAP KENAIKAN LEVEL MENDAPAT BONUS NILAI DENGAN KELIPATAN 40 POIN DARI LEVEL SEBELUMNYA. JIKA ANTO BERMAIN DENGAN NILAI AWAL 10 POIN, BERAPA POIN YANG DIDAPAT ANTO PADA LEVEL ENAM … ? LANJUT
UNTUK MENJAWAB PERTANYAAN DIATAS PERHATIKAN URAIAN BERIKUT !!! APABILA NILAI AWAL ( a ), KENAIKAN BONUS( r ), LEVEL ENAM ( n ), MAKA : Sn = a + ar + ar2 + … + arn-1 rSn = ar + ar2 + … + arn-1 + arn
Sn – rSn = a – arn ( 1 – r ) Sn = a ( 1 – rn ), SEHINGGA DIPEROLEH :
LANJUT
a (1 r n ) Sn 1 r n a ( r 1) Sn r 1
Untuk r < 1 Untuk r > 1
JADI PENYELESAIAN DARI PERMASALAHAN ANTO ADALAH : Diketahui : a = 10 , r = 40, Dan n = 6 Jawab :
S6
10( 46 1) 4 1
10(4.096 1) 13.650 3
Jadi poin Anto pada permainan level ke-6 Adalah 13.650 LANJUT
LANJUT
ISTIRAHAT LAGI YA …
CONTOH SOAL : 1. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan 26 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan tersebut ! JAWABAN 2. Diketahui deret geometri 2 + 16 + 128 + … Hitunglah jumlah deret dari 10 suku pertamanya ! JAWABAN
JAWAB : Jumlah 3 bilangan 24, maka : ( a – b ) + a + a + b = 24 3a = 24 a=8 Hasil kali 384, maka : ( a – b ) x a x ( a + b ) = 384 a ( a2 – b2 ) = 384, jika a = 8 maka : 8 ( 64 – b2 ) = 384kembali 64 – b2 = 48 b2 = 16, maka b = ± 4 Jadi barisan tersebut : 4, 8, 12 atau 12, 8, 4
JAWAB : U2 = a + b = 5 a = 5 – b ………….. ( i ) U4 + U6 = 2a + 8b = 28 a + 4b = 14 ……….. ( ii ) Subtitusi persamaan ( i ) ke ( ii ) a + 4b = 14 ( 5 – b ) + 4b = 14 3b = 14 – 5 b=3 a=5–b =5–3=2 Jadi suku ke-9 U9 = a + 8b LANJUT
= 2 + ( 8 x 3 ) = 26
JAWAB : Jumlah tiga bilangan 26, maka : a 6 6r 26 r
Hasil kali 216, maka : a x a x ar 216 r a3 = 216, a = 6 Subtitusi persamaan ( ii ) ke ( i ), maka :
6 6 6r 26 r2 – 20r + 6 = 0 6r ( 3r – 1 ) ( 2r + 6 ) = 0 1 atau r = 3 3 1 Jadi Untuk r , barisan 18, 6, 2 3 r
Untuk r = 3 , barisan 2, 6, 18
JAWAB : a = 2, r = 8, dan n = 10 a(r n 1) Sn r 1 2(810 1) 8 1 2(1.073.741.824 1) 7 2.147.483.646 306.783.378 7
Jadi jumlah deret 10 suku pertama adalah 306.783.378 LANJUT
1. Diketahui suatu barisan
aritmetika mempunyai beda. Jika U10 = 31, maka nilai dari U21 adalah …. a. b. c. d. e.
34 44 54 64 74
2. Suatu deret aritmetika, diketahui U5 = 6 dan U2 + U9 = 15 Jumlah 20 suku pertamanya adalah …. a. b. c. d. e.
250 350 450 550 650
3. Tiga bilangan membentuk barisan geometri . Jumlah ketiga bilangan 62 dan hasil kali ketiga bilangan 1000. Maka ketiga bilangan tersebut adalah …. a. b. c. d. e.
1, 2, 4, 1, 5,
9, 52 10, 50 16, 42 20, 50 10, 20
4. Deret geometri diketahui suku ke-4 dan suku ke-9 berturut-turut 4 dan 128.Maka jumlah deret dari 10 suku pertamanya adalah …. a. b. c. d. e.
20,83 56,83 76,83 87,83 98,83
JAWABAN ANDA BENAR
COBA SOAL BERIKUTNYA
JAWABAN ANDA BENAR
COBA SOAL BERIKUTNYA
JAWABAN ANDA BENAR
COBA SOAL BERIKUTNYA
JAWABAN ANDA SALAH
COBA LAGI
JAWABAN ANDA SALAH
COBA LAGI
JAWABAN ANDA SALAH
COBA LAGI
JAWABAN ANDA SALAH
COBA LAGI
JAWABAN ANDA BENAR
SELESAI
1
JAWAB 2
JAWAB
SOAL: Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah...
MAU LAGI ......????
MENU UTAMA
