Tentamen Signalen en Systemen 2: 3BB32, 10 maart 2009 Opmerkingen bij het tentamen. - Op het tentamen mag een (grafisch) rekenapparaat gebruikt worden. - Gebruik van ander materiaal zoals boeken, aantekeningen of laptop is niet toegestaan. - Er worden tabellen uitgedeeld bij het tentamen. - Als U een tabel gebruikt geef dan bij Uw antwoord altijd het tabelnummer + formulenummer. - Alle 10 genummerde onderdelen tellen even zwaar voor het eindcijfer. - Een * betekent een convolutie en geen vermenigvuldiging.
Opgave 1. L Vin
R
C
Vuit
Bovenstaand schema met r=1 kOhm moet dienst doen als tweede orde Butterworth filter met cut-off frequentie 100 rad/s. Bepaal de waardes voor L en C.
Opgave 2 Met onderstaande systeem is het mogelijk om twee signalen tegelijkertijd te versturen over een communicatiekanaal m.b.v. dezelfde draagfrequentie ω . f(t)
cos(ωt) g(t)
x os
x os + os
Communicatie kanaal
LPF
x(t)
LPF
y(t)
cos(ωt)
x os
x os
sin(ωt)
sin(ωt)
Νeem aan dat ω veel groter is dan de maximale frequentie van de signalen ωmax is en dat LPF een ideaal laagdoorlaatfilter is met een afkapfrequentie van 3/2 ωmax Bepaal de functies x(t) en y(t) Bedenk dat: cos2a+sin2a=1 cos2a-sin2a=cos2a 2cosa sina = sin2a
Opgave 3 Bepaal de Laplace transformatie G(s) van g(t)
dte −2πt g (t ) = cos(t )u (2π − t ) + + ∫ e −2π (τ −t ) dτ dt 0 t
g (t ) = 0
t>0
t<0
Opgave 4 Bewijs zonder gebruik te maken van tabel 7.2 dat de Laplace getransformeerde van t·cos(t) gelijk is aan (s2-1)/(s2+1)2. Gebruik van tabel 7.3, de definitie van de Laplace integraal is toegestaan.
Opgave 5 Bepaal de impulsrespons van een systeem gegeven door de differentiaalvergelijking:
y ' ' ' '+2 y ' '+ y = x ' '− x Opgave 6
Bepaal de inverse Laplace transform van: (i) (ii) (iii)
Re(s) > 0 Re(s) < -2 -2 < Re(s) < 0
G( s) =
s +1 s( s + 2)
als:
Gedeelte regeltechniek We gaan de regelaar van een cruise-control ontwerpen. Een cruise-control probeert de snelheid van een auto constant te houden terwijl de omstandigheden (bergop, bergaf) veranderen. De regelaar bekrachtigt het gaspedaal, en de positie van het gaspedaal is evenredig met de stuwkracht van de auto. De positie van het gaspedaal noemen we p(t), en de kracht Fs die de motor op de auto uitoefent is daarmee recht evenredig: Fs = bp (t ) . Er is een wrijvingskracht die recht evenredig is met de snelheid v(t). Op t=0 staat de auto stil.
Opgave 7 Leid af dat de overdrachtsfunctie H(s) van het systeem gelijk is aan: V ( s) b H ( s) = = , waarbij V(s) de Laplace-getransformeerde van de snelheid van de P ( s ) ms + a auto is, P(s) de Laplace-getransformeerde van de stand van het gaspedaal, a de evenredigheidsconstante van de wrijvingskracht, m de massa van de auto, en b de evenredigheidsconstante tussen de stand van het gaspedaal en de kracht die de motor uitoefent.
Opgave 8 Voeg een P-regeling toe met constante Kp. Bereken dan de closed-loop overdrachtsfunctie. Wat is de eindwaarde als de gewenste snelheid een stapfunctie van 0 m/s naar vs bij t=0 is? Teken het Root-Locus diagram van dit systeem. Opgave 9 Gebruik nu een zuivere integrerende regeling met integratietijd τ i . Bereken de closedloop overdrachtsfunctie. Bereken de eindfout en leg uit of de gevonden waarde al of niet overeenkomt met Uw verwachting.
Opgave 10 Gebruik nu een PID-regelaar met differentiatietijd τ d , integratietijd τ i , en proportionaliteitsconstante K p . Bereken de closed-loop overdrachtsfunctie. Leg uit of de kans op oscillerend gedrag wel of niet toeneemt als we de differentiatietijd τ d verhogen.
Antwoorden 1) (boek voorbeeld 6.5) L = 14.14 H en C=7.07 µF 2) boek opgave 6.30 x(t)=1/2f(t) en y(t)=1/2g(t) 3)
G ( s) = (1 − e −2πs ) s /( s 2 + 1) + s /( s + 2π ) 2 + 1 / s 2 ( s − 2π )
4) Uit Laplace integraal eat 1/(s-a) Met cos(t) = ½(eit+e-it) volgt cos(t) 1/2(s-i)+1/2(s+i)= s/(s2+1) met tabel 7.3.9: tcos(t) = -d/ds s/(s2+1) = (s2-1)/(s2+1)2 5) tabel 7.2.13: h(t) = tcos(t) 1/ 2 −1/ 2 s +1 = + s ( s + 2) s s+2 -2t (i) ½(1-e )u(t) (ii) ½(-1+e2t)u(-t) (iii) ½(-u(-t)-e-2tu(t))
6) G ( s) =
dv = bp (t ) − av . Na Laplace wordt dit dt V ( s) b V (ms + a ) = bP , wat levert: H ( s ) = = . P ( s ) ms + a
7) differentiaalvergelijking wordt: m
b K pb CG ms + a = 8) H cl ( s ) = = . De eindwaarde haal je uit de b 1 + CG 1 + K ms + a + K p b p ms + a K pb v eindwaardestelling: lim h(t ) = lim s s H ( s ) = t →∞ s →0 s a + K pb Kp
Root-locus:
−
a + K pb m
1 b τ s ms + a CG b 9) H cl ( s ) = = i = . De eindwaarde haal je uit de b τ i s ( ms + a ) + b 1 + CG 1 + 1 τ i s ms + a v eindwaardestelling: lim h(t ) = lim s s H ( s ) = 1 , en de eindfout is dus 0. t →∞ s →0 s
τ iτ d s 2 + τ i s + 1 K p b (τ iτ d s 2 + τ i s + 1) K p b τis ms + a CG 10) H cl ( s ) = . = = τ iτ d s 2 + τ i s + 1 K p b τ i s (ms + a) + (τ iτ d s 2 + τ i s + 1) K p b 1 + CG 1+ τis ms + a Een toenemende differentiatietijd drijft de discriminant van de noemer naar beneden waardoor die kleiner dan nul kan worden. Het antwoord is dus: ja.
