Wiskunde B - Tentamen 2 Tentamen van Wiskunde B voor CiT (151217) Donderdag 14 april 2005 van 9.00 tot 12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en 2 formulebladen. Vermeld ook je studentnummer op je werk en tentamenbriefje.
Opgave 1 Een kleine fabriek werkt met een ochtendploeg en een avondploeg. Definieer voor een willekeurige werkdag de stochastische variabelen X en Y als volgt: X = het aantal afwezigen bij de ochtendploeg Y = het aantal afwezigen bij de avondploeg
Op basis van jarenlange statistieken is de simultane kansverdeling van X en Y bepaald. De kansen P ( X = x, Y = y ) zijn als volgt:
x \ y 0 1 2
0 0.05 0.05 0
1 0.05 0.10 0.15
2 0.10 0.25 0.10
3 0 0.10 0.05
a. Bepaal de marginale verdeling van Y . b. Bereken E (Y ) en var(Y ) . c. Bereken cov( X , Y ) .
Opgave 2 Bij een verzekeringsmaatschappij zijn 25000 huizen verzekerd tegen brandschade. De kans dat een huis brandschade oploopt in een jaar tijd stellen we gelijk aan 0.0001( = 10 −4 ). Het optreden van brandschade aan een huis stellen we onafhankelijk van het optreden van brandschade bij andere huizen, verzekerd bij de verzekeringsmaatschappij. a. Laat X het aantal brandschades in een jaar zijn. Geef de formule voor P ( X = x) en bepaal E ( X ) b. Wat is de kans dat in een jaar tijd de verzekeringsmaatschappij meer dan 5 brandschades te vergoeden heeft?
1
Opgave 3 De staatsloterij maakt reclame met de leus “Kans 1 op 2”, waarmee bedoeld wordt dat bij aankoop van een staatslot de kans 50% is dat er op dat lot een prijs valt. Een goklustige Nederlander besluit, steeds met één lot, deel te nemen aan de komende trekkingen. Zij X het aantal loten dat hij koopt totdat hij voor het eerst prijs heeft. a. Geef de naam van de verdeling van X en geef de formule voor P ( X = x) . b. Bereken de kans P ( X ≤ 4) .
Opgave 4 Een type bulldozer kan met een laadbak een maximum gewicht X omhoog tillen. De leverancier geeft voor X de waarde 600 (kg) op. In de praktijk verschilt het maximum gewicht X (in kg) van bulldozer tot bulldozer en is verdeeld volgens een N (600,100) verdeling. Als de laadbak volgeladen is, varieert het gewicht Y van de lading ook van keer op keer: Y is N ( 400,3600) -verdeeld. Stel nu dat we een willekeurige bulldozer bekijken en dat de laadbal volgeladen wordt. Bereken de kans dat de bulldozer het gewicht Y van de lading omhoog kan tillen. Geef een duidelijke afleiding en vermeld de extra (maar vanzelfsprekende) aanname die je nog nodig hebt.
Opgave 5 We beschouwen twee steekproeven. We hebben uitkomsten van stochastische variabelen X 1 , X 2 ,..., X m , Y1 , Y2 ,..., Yn waarbij we het volgende aannnemen: X 1 , X 2 ,..., X m , Y1 , Y2 ,..., Yn zijn onderling onafhankelijk, X i
is N ( µ1 , σ 2 )-verdeeld (i = 1,2,..., m ) en Y j is
N ( µ 2 ,σ 2 ) -verdeeld ( j = 1,2,..., n) . We willen de variantie σ 2 schatten door middel van een schatter T van de vorm T = aS X2 + bSY2 + c met S X2 de steekproefvariantie van X 1 , X 2 ,..., X m en SY2 de steekproefvariantie van Y1 , Y2 ,..., Yn . De getallen a , b en c moeten we nog kiezen. We gaan de getallen a , b en c zo kiezen dat T de beste zuivere schatter wordt van bovengenoemde vorm. Voor de volgende onderdelen mag je gebruiken dat de variantes van S X2 en SY2 als volgt zijn: var(S X2 ) = 2σ 4 /( m − 1) en var(SY2 ) = 2σ 4 /(n − 1) . a. Toon aan dat a + b = 1 en c = 0 moeten gelden als T zuiver is. b. Stel nu a + b = 1 en c = 0 . Leid af dat de verwachte kwadratische fout van T nu gegeven wordt door: 2a 2σ 4 /(m − 1) + 2(1 − a) 2 σ 4 /(n − 1) . c. Toon nu aan dat de beste zuivere schatter van de vorm T = aS X2 + bSY2 + c als volgt is: m −1 n −1 T= × S X2 + × SY2 m+n−2 m+n−2
2
Opgave 6 De productie van een wasmiddel heeft tot gevolg dat productiemedewerkers langdurig blootgesteld worden aan het enzym Bacilis Subtilis met als mogelijk gevolg een vermindering van de ‘airflow rate’. De airflow rate is de verhouding van het maximale volume lucht die een persoon kan uitademen gedurende 1 seconde en het maximale volume lucht die een persoon kan uitademen na zo diep mogelijk te hebben ingeademd. Voor personen zonder longstoornis geldt een norm van 0.80 voor de airflow rate. Van 19 aselect gekozen medewerkers zijn de airflow rates gemeten met als resultaat (de waarden zijn gerangschikt van klein naar groot): 0.61 0.63 0.64 0.67 0.70 0.72 0.73 0.74 0.76 0.78 0.82 0.82 0.82 0.83 0.84 0.85 0.85 0.87 0.88 Ga voor de volgende onderdelen uit van een normale verdeling, met (onbekende) verwachting µ en variantie σ 2 . a. Bereken de m.a. schattingen voor µ en σ 2 . b. Bereken het 95%-voorspellingsinterval voor een nieuwe meting. Ga uit van schattingen 0.75 en 0.007 voor resp. µ en σ 2 als je onderdeel a niet hebt opgelost.
Opgave 7 De consumentenbond doet onderzoek naar de dienstverlening van helpdesks. Bij telefonische helpdesks wordt een wachttijd van maximaal 1 minuut redelijk geacht. Als één van de bereikbaarheidsnormen hanteert de consumentenbond dat hoogstens één op de 10 willekeurige telefoontjes leidt tot een wachttijd van meer dan 1 minuut. Tijdens het onderzoek wordt de helpdesk van ‘Microhard’ op willekeurige momenten gebeld en in 40 van de 225 gevallen wordt de wachttijd van 1 minuut overschreden. a. Wordt de norm van 1 minuut bij Microhard vaker dan één op de 10 keer overschreden? Voer een toets uit om deze vraag te beantwoorden, neem 5% als onbetrouwbaarheidsdrempel en volg het schema van acht stappen vermeld aan het eind van dit tentamen. b. Bereken het onderscheidend vermogen van de toets van onderdeel a voor de situatie dat Microhard in werkelijkheid 15% van alle bellers pas na 1 minuut te woord staat.
Opgave 8 Hardheid, volgens de definitie van Janka, is een belangrijke structurele eigenschap van (timmer)hout en moeilijk te meten. Hardheid van hout is echter gerelateerd aan dichtheid van hout en de dichtheid is relatief gemakkelijk te meten. Voor Australisch hardhout (Eucalyptus) willen we de relatie tussen hardheid en dichtheid bepalen teneinde de hardheid op basis van de dichtheid te kunnen voorspellen/schatten. We bestuderen de metingen van hardheid (volgens Janka) en dichtheid van 36 monsters Australisch hardhout. De metingen zijn als volgt:
3
dichtheid hardheid dichtheid hardheid dichtheid Hardheid 24.7 484 39.4 1210 53.4 1880 24.8 427 39.9 989 56.0 1980 27.3 413 40.3 1160 56.5 1820 28.4 517 40.6 1010 57.3 2020 28.4 549 40.7 1100 57.6 1980 29.0 648 40.7 1130 59.2 2310 30.3 587 42.9 1270 59.8 1940 32.7 704 45.8 1180 66.0 3260 35.6 979 46.9 1400 67.4 2700 38.5 914 48.2 1760 68.8 2890 38.8 1070 51.5 1710 69.1 2740 39.3 1020 51.5 2010 69.1 3140 We passen (enkelvoudige) lineaire regressie toe met y = ln( hardheid) , de natuurlijke logaritme van hardheid, als afhankelijke variabele en met x = ln( dichtheid) als verklarende variabele. De variabele y is uitgezet tegen x in Figuur 1.
Figuur 1: y versus x 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 3
3.5
4
4.5
Computer output is als volgt: ANOVA Regression Residual Total
Sum of Squares 11.7678 0.3249 12.0927
df 1 34 35
Mean Square 11.767781 0.009557 0.345506
4
F 1231.36
Coefficients Constant x
B 0.015 1.8847
Std. Error 0.204 0.0537
T 0.08 35.09
a. Geef de schatting voor σ 2 . b. Bereken het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor β1 . c. Voor een nieuw monster Australisch hardhout (Eucalyptus) wordt de waarde 4.0 voor x = ln( dichtheid) gevonden. Construeer een 90%-voorspellingsinterval voor de hardheid van het monster. Maak voor dit interval gebruik van de computer output en de volgende gegevens: Steekproefgemiddelde van x : Steekproefvariantie van x :
Normering. 1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 1 2 2 2 2 1 2 Totaal: 40 punten
3.77811 0.09465
4 4
5a 5b 5c 6a 6b 7a 7b 8a 8b 8c 2 2 1 2 2 6 2 1 2 4
Schema van acht stappen. 1. Formuleer het kansmodel. 2. Formuleer nulhypothese H 0 en alternatieve hypothese H 1 in termen van de parameters van het kansmodel. 3. Formuleer een geschikte toetsingsgrootheid in termen van de voorkomende s.v.-en. 4. Geef de kansverdeling van de toetsingsgrootheid onder (het randpunt van) H 0 5. Bereken of geef de waarde van de toetsingsgrootheid. 6. Bepaal de kritieke waarde(n) en geef het kritieke gebied. of 6 * . Bereken de overschrijdingskans. 7. Formuleer de conclusie omtrent het al dan niet verwerpen van H0 bij de gegeven onbetrouwbaarheid(sdrempel). 8. Vermeld de conclusie in “gewone woorden”.
Bijlagen: Poisson-tabel, N (0,1) -tabel, t -tabel, “Enkele formules” en regressie.
5
formuleblad
