CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE
Tentamen Wiskunde A Datum: Tijd: Aantal opgaven:
28 januari 2013 19.00 - 22.00 uur 7
Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening of toelichting op gebruik van de grafische rekenmachine zien hoe het antwoord verkregen is. Schrijf leesbaar en met inkt. Gebruik geen tipp-ex o.i.d.. Gebruik van een potlood is alleen toegestaan bij het tekenen van grafieken. Bij het tentamen kunt u gebruik maken van een (grafische) rekenmachine van een type dat goedgekeurd is voor het Centraal Examen Wiskunde van het vwo. Overige hulpmiddelen, zoals formulekaart, BINAS en tabellenboek zijn NIET toegestaan. Op pagina 5 is een lijst van formules afgedrukt; op de laatste drie pagina’s vindt u tabellen van de binomiale en de normale kansverdeling. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen is verboden. Op www.ccvx.nl vindt u vanaf eind deze week: • de uitwerkingen van dit tentamen; • de stand van zaken van de correctie van het tentamen. U wordt dringend verzocht om de Open Universiteit niet te bellen of te mailen over uw uitslag. Deze wordt zo spoedig mogelijk naar u opgestuurd.
Te behalen punten per onderdeel: Opgave
1
2
3
4
5
6
7
a b c d e
2 2 3 3 6
4 2 4
3 3 3 1 6
3 4 5 4
5 6
5 2 5
2 2 5
Totaal
16
10
16
16
11
12
9
Cijfer =
behaald aantal punten +1 10
1
Guus Geluk heeft een prijs gewonnen in de Staatsloterij en besluit een zwembad te laten aanleggen in zijn tuin. De kosten worden onder andere bepaald door de tegels die Guus wil gebruiken in het zwembad. De tegels die hij voor de bodem van het zwembad wil gebruiken kosten 50 euro per vierkante meter, de tegels die voor de zijkanten gebruikt gaan worden kosten 200 euro per vierkante meter. De inhoud van het zwembad moet 800 m3 worden en de lengte van het zwembad moet vier maal zo groot worden als de breedte. a Wat zijn de breedte en de lengte als het zwembad 8 meter diep is?
2 pt
De breedte van het zwembad in meters noemen we b en de diepte van het zwembad in meters noemen we d. 2 pt
b Laat zien dat het verband tussen de breedte en de diepte van het zwembad geschreven
3 pt
200 . b2 c Laat zien dat de kostenfunctie voor de tegels gegeven wordt door kan worden als d =
K = 200 · b2 +
400.000 b
In deze formule geeft K de kosten van de tegels in euro’s als de breedte van het zwembad b meter is. 3 pt
d Bereken de kosten van de tegels als de diepte van het zwembad 128 centimeter wordt.
6 pt
e Bereken algebra¨ısch de afmetingen van het zwembad waarvoor de kosten van de te-
gels minimaal zijn.
2 4 pt
Van een lineaire functie is gegeven: f (2) = 8 en f (20) = 35. a Stel een functievoorschrift op voor deze lineaire functie.
De rij un met n = 1, 2, 3, etc. wordt gedefinieerd door un = f (n). 2 pt
b Leg uit dat de rij un een rekenkundige rij is en laat zien dat u1 = 6 21 .
4 pt
c Bereken de som van de eerste 100 oneven termen van deze rij (dus u1 + u3 + . . . + u199 ).
pagina 1 van 8
3
Sigarenmagazijn “De Tevreden Roker” heeft de hand weten te leggen op een grote partij sigaren. Deze partij is afgekeurd voor de normale verkoop omdat veel sigaren uit die partij lek zijn, dat wil zeggen dat er een gaatje in het dekblad zit waardoor de sigaar niet goed te roken is. Het al dan niet lek zijn van een sigaar kan alleen vastgesteld worden door deze op te steken. Het sigarenmagazijn verkoopt deze sigaren in doosjes van 10 stuks en in kistjes van 50 stuks. Bij het verpakken is het zoals aangegeven niet mogelijk om te zien of een sigaar al dan niet lek is. Ieder doosje en kistje is dus een aselecte steekproef uit de totale partij. Uiteraard waarschuwt het magazijn dat er lekke sigaren in de doosjes kunnen zitten, volgens het magazijn is 30% van de sigaren lek. Daar staat tegenover dat de sigaren met een flinke korting verkocht worden. In deze opgave gaan we er vooralsnog van uit dat inderdaad 30% van de sigaren lek is. Arie en Dirk zijn twee oude vrienden die beiden graag een sigaartje opsteken. Zij kopen beiden een doosje van deze sigaren. De volgende dag komen ze elkaar tegen en Arie is tevreden met zijn aankoop. In zijn doosje van 10 sigaren waren er maar drie lek.
3 pt
a Bereken de kans dat in een doosje van 10 sigaren er precies drie lek zijn.
Dirk is echter zwaar teleurgesteld, in zijn doosje zaten wel 7 lekke sigaren. Het sigarenmagazijn heeft daarvoor een compensatieregel bedacht: als er in een doosje van 10 meer dan de helft van de sigaren lek is, dan krijgt de klant zijn geld terug van het sigarenmagazijn. De kans dat er meer dan vijf lekke sigaren is een doosje zitten is afgerond op 2 cijfers achter de komma gelijk aan 0,05. 3 pt
b Bereken hoe groot deze kans is afgerond op 4 cijfers achter de komma.
Het sigarenmagazijn heeft op een zekere dag 100 doosjes met 10 sigaren uit deze partij in voorraad. 3 pt
c Bereken de verwachtingswaarde van het aantal doosjes bij deze 100 waarin meer dan
vijf lekke sigaren zitten. Arie en Dirk krijgen wat onenigheid over het percentage lekke sigaren en ze besluiten te toetsen of inderdaad 30% van de sigaren lek is. Dit doen ze door een kistje van 50 sigaren te kopen en deze alle te testen. Het blijkt dat 21 van deze 50 sigaren lek zijn. 1 pt
d Formuleer de nulhypothese en het alternatief voor deze toetsingsprocedure.
6 pt
e Wat is de uitkomst van deze toetsingsprocedure bij een onbetrouwbaarheidsdrempel
van α = 0,05?
pagina 2 van 8
4
Hans heeft een bijbaantje als fietskoerier. Op zekere dag moet hij pakjes brengen vanuit de centrale C naar bedrijven A en B en tegelijk pakjes bij deze bedrijven ophalen die terug moeten naar de centrale. Hij fietst daartoe een rondje van C via A en B weer terug naar C. De tijd die hij nodig heeft om van C naar A te fietsen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 10 minuten en een standaardafwijking van 40 seconden. De tijd die hij nodig heeft om van A naar B te fietsen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 8 minuten en een standaardafwijking van 32 seconden. De tijd die hij nodig heeft om van B naar C te fietsen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 6 minuten en een standaardafwijking van 24 seconden. In deze opgave verwaarlozen we de tijd die hij nodig heeft voor het afgeven en het aannemen van de pakketjes en nemen we aan dat de tijden voor de deeltrajecten C – A, A – B en B – C onafhankelijk zijn van elkaar. a Bepaal de kans dat Hans voor 12.20 uur bij bedrijf B is als hij om 12.02 uur bij cen-
3 pt
trale C vertrekt. b Bereken de kans dat Hans tussen exact 12.10 uur en exact 12.11 uur bij bedrijf A aan-
4 pt
komt als hij exact 40 seconden voor 12.00 uur bij centrale C vertrekt. c Bereken de kans dat Hans meer dan 25 minuten nodig heeft om de hele route C – A –
5 pt
B – C af te leggen. Evert werkt bij bedrijf A en hij weet dat er op een zekere dag twee pakjes voor hem bezorgd worden. Hij heeft nogal haast en pakt daarom zodra Hans langs is geweest lukraak drie van de zes pakjes die Hans die dag afgegeven heeft. d Bereken de kans dat de twee pakjes die voor Evert bestemd zijn, bij de drie pakjes
4 pt
zitten die hij pakt.
5
5 pt
De grafiek van de functie f (x) = 4x3 + 29x2 + 70x heeft twee toppen, te weten een minimum en een maximum. a Bereken de x-co¨ordinaten van deze twee toppen algebra¨ısch.
√ 10 + x gaat door het punt A(10,–10). 1100 − x3 + 9−x b Bepaal met behulp van de afgeleide functie of de grafiek van g stijgend dan wel dalend door punt A gaat. De grafiek van de functie g(x) =
6 pt
pagina 3 van 8
6
Nu de uitkeringen van de pensioenfondsen steeds onzekerder worden, denken Wilfried en Robert-Jan na over een aanvulling op hun pensioen. Wilfried zet op t = 0 een bedrag B op een spaarrekening met een rente van p% per jaar. Het saldo S van deze spaarrekening wordt dan gegeven door de formule p t S = B× 1+ 100 met t de tijd in jaren. Wilfried wil weten hoe lang hij een bepaald bedrag op deze rekening moet laten staan om een gegeven saldo te krijgen. Hij heeft daarvoor een formule nodig die t geeft als S , B en p bekend zijn. a Geef zo’n formule en bereken met behulp van deze formule hoe lang het duurt voor-
5 pt
dat een bedrag van B = 4000 uitgegroeid is tot een saldo S = 10.000 bij een rente van 2,5% per jaar. Geef het antwoord in maanden nauwkeurig. Robert-Jan zet vanaf zijn 42ste verjaardag elk jaar op zijn verjaardag een vast bedrag B op een spaarrekening. De bank geeft ieder jaar een rente van 3%. Hij gaat hiermee door tot en met zijn 66ste verjaardag. b Laat zien dat op de 67ste verjaardag van Robert-Jan de 25 gestorte bedragen B elk
2 pt
uitgegroeid zijn tot een term van een en dezelfde meetkundige rij. c Bereken hoe groot het bedrag B moet zijn als Robert-Jan op zijn 67ste verjaardag
5 pt
totaal 20.000 euro gespaard wil hebben.
7
Volgens opgaven van de meteorologische dienst van Australi¨e is de ochtendtemperatuur in Perth (gemeten om 9.00 uur) te benaderen door een sinusoide met een periode van 12 maanden. De hoogste ochtendtemperatuur is 23,8◦ C en wordt bereikt rond 2 februari. De gemiddelde ochtendtemperatuur is 18,2◦ C.
2 pt
a Wat is volgens bovenstaande benadering de laagste ochtendtemperatuur?
2 pt
b En in welke maand wordt deze laagste ochtendtemperatuur volgens deze benadering
bereikt? 5 pt
c Stel een formule op die een benadering geeft van de ochtendtemperatuur in Perth als
functie van het dagnummer (1 januari = dag 1, 2 februari = dag 33, ga uit van een jaar van 365 dagen).
pagina 4 van 8
Lijst van formules voor het voortentamen Wiskunde A Kansrekening Voor alle toevalsvariabelen X en Y geldt: E(X + Y) = E(X) + E(Y) p Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ(X + Y) = σ2 (X) + σ2 (Y) √ n-wet: Bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en voor het gemiddelde X van de uitkomsten X: √ E(S ) = n · E(X) σ(S ) = n · σ(X) σ(X) E(X) = E(X) σ(X) = √ n Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: ! n · pk · (1 − p)n−k met k = 0, 1, 2, . . . , n P(X = k) = k p Verwachting: E(X) = n · p Standaardafwijking: σ(X) = n · p · (1 − p) Normale verdeling Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking σ geldt: X−µ g − µ Z= is standaard normaal verdeeld en P(X < g) = P Z < σ σ Differenti¨eren naam van de regel
functie
afgeleide
Somregel
s(x) = f (x) + g(x)
s0 (x) = f 0 (x) + g0 (x)
Productregel
p(x) = f (x) · g(x)
p0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g0 (x)
Quoti¨entregel
q(x) =
Kettingregel
k(x) = f (g(x))
f (x) g(x)
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g0 (x) (g(x))2 dk d f dg = · k0 (x) = f 0 (g(x)) · g0 (x) of dx dg dx q0 (x) =
Logaritmen regel
voorwaarden
log a + g log b = g log ab a g log a − g log b = g log b g log a p = p · g log a
g > 0, g , 1, a > 0, b > 0
g
g
log a =
p
g > 0, g , 1, a > 0, b > 0 g > 0, g , 1, a > 0
log a
g > 0, g , 1, a > 0, p > 0, p , 1
p log g
Rijen Rekenkundige rij: Meetkundige rij: In beide formules geldt:
Som =
· aantal termen · (ue + ul ) ul+1 − ue (r , 1) Som = r−1 e = rangnummer eerste term; l = rangnummer laatste term. 1 2
pagina 5 van 8
pagina 6 van 8
pagina 7 van 8
pagina 8 van 8
