CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE
Tentamen Wiskunde A Datum: Tijd: Aantal opgaven:
29 juli 2013 14.00 - 17.00 uur 7
Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering, een berekening of een toelichting op het gebruik van de grafische rekenmachine zien hoe het antwoord verkregen is. Als deze ontbreekt worden voor het antwoord meestal geen punten toegekend. Schrijf leesbaar en met inkt. Gebruik geen tipp-ex o.i.d.. Gebruik van een potlood is alleen toegestaan bij het tekenen van grafieken. Bij het tentamen kunt u gebruik maken van een (grafische) rekenmachine van een type dat goedgekeurd is voor het Centraal Examen Wiskunde van het vwo. Overige hulpmiddelen, zoals formulekaart, BINAS en tabellenboek zijn NIET toegestaan. Op pagina 5 is een lijst van formules afgedrukt; op de laatste drie pagina’s vindt u tabellen van de binomiale en de normale kansverdeling. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen is verboden. Op www.ccvx.nl vindt u vanaf eind deze week: • de uitwerkingen van dit tentamen; • de stand van zaken van de correctie van het tentamen. U wordt dringend verzocht om de Open Universiteit niet te bellen of te mailen over uw uitslag. Deze wordt zo spoedig mogelijk naar u opgestuurd.
Te behalen punten per onderdeel: Opgave
1
2
3
4
5
6
7
a b c d
6 3 2 3
3 6
4 4 4 5
3 5 4 5
5 1 6
6 6
4 5
Totaal
14
9
17
17
12
12
9
Cijfer =
behaald aantal punten +1 10
1
Slagerij “De Oude Hengst” verkoopt eersteklas rundvlees, per jaar 12.000 kg. De slager bestelt een aantal maal per jaar dezelfde hoeveelheid vlees. Het gewicht van deze hoeveelheid in kg noemen we x. Voor iedere bestelling moet de slager 40 euro bestelkosten betalen. Het lijkt daarom voor de hand te liggen om zo weinig mogelijk bestellingen te plaatsen, maar dan lopen de kosten voor het in voorraad houden van het vlees op (het vlees moet dan bijvoorbeeld gemiddeld langer gekoeld worden). Volgens een bekend economisch model wordt het totaal T K (in euro) van de bestelkosten en de voorraadkosten in een jaar bij een vaste bestelgrootte van x kg gegeven door T K(x) =
480.000 + 3· x x
a Bereken algebra¨ısch de bestelgrootte x waarvoor de totale kosten per jaar zo klein
6 pt
mogelijk zijn. Noem het aantal bestellingen per jaar n. Dan geldt dus nx = 12.000 b Toon aan dat de totale kosten T K als functie van n dan gegeven worden door
3 pt
T K(n) = 40n +
36.000 n
c Hoe vaak per jaar moet de slager dezelfde hoeveelheid van x kg bestellen om de totale
2 pt
kosten per jaar zo laag mogelijk te houden? Op zeker moment gaan de kosten voor elektriciteit omhoog, waardoor de voorraadkosten stijgen. De bestelkosten per keer blijven echter gelijk. d Beredeneer, zonder te rekenen, wat dit betekent voor de optimale oplossing wat be-
3 pt
treft het aantal bestellingen per jaar.
2
3 pt
Dagobert stort ieder jaar op 1 januari 100 euro op een spaarrekening. Zijn eerste inleg was op 1 januari 2000. De bank stort ieder jaar op 31 december 3% van het saldo als rente op de rekening. a Tot welk bedrag is de eerste storting van Dagobert uitgegroeid op 1 januari 2020?
Het totale bedrag dat op 2 januari 2020 op de spaarrekening van Dagobert staat, kan worden geschreven als de som van een aantal termen van een meetkundige rij. 6 pt
b Toon dit aan en bereken het saldo van de spaarrekening op 2 januari 2020.
c CCVW 2013
pagina 1 van 8
3
De polymerase-kettingreactie (“Polymerase Chain Reaction”), afgekort PCR, is een techniek om uit zeer kleine hoeveelheden DNA een specifiek deel te vermenigvuldigen. Zo kan de aanwezigheid van een specifiek stukje DNA worden aangetoond in een monster dat oorspronkelijk slechts enkele moleculen van dit stukje DNA bevat. In een PCRmachine verloopt de vermeerdering van het DNA in cycli. In theorie kan per PCR-cyclus het aantal exemplaren van het specifieke stukje DNA worden verdubbeld. In een PCRmachine worden meestal enkele tientallen cycli na elkaar uitgevoerd. Stel dat een monster 50 exemplaren van een specifiek stukje DNA bevat en neem aan dat dit aantal per PCR-cyclus wordt verdubbeld.
4 pt
a Toon aan dat er na 31 PCR-cycli meer dan 100 miljard exemplaren van dit stukje
DNA zijn. In de praktijk is de factor waarmee het aantal exemplaren van het stukje DNA toeneemt vaak kleiner dan 2. Zo is er bij een zeker onderzoek vastgesteld dat er na 33 PCR-cycli 49,98 miljard exemplaren van een bepaald stukje DNA waren en dat er na 37 PCR-cycli 655,56 miljard exemplaren waren. 4 pt
b Bereken de groeifactor van het aantal exemplaren per cyclus. Geef het antwoord afge-
rond op zes cijfers achter de decimale komma. 4 pt
c Bereken met hoeveel exemplaren dit onderzoek gestart is. Indien vraag b niet gelukt
is, mag u als groeifactor de afgeronde waarde g = 1,903 nemen. Bij een ander onderzoek begint men met 100 exemplaren van een specifiek stukje DNA. De groeifactor per cyclus is 1,75. Het aantal exemplaren na n cycli wordt dan gegeven door A(n) = 100 · 1,75n . 5 pt
d Geef een formule waarmee het aantal cycli berekend kan worden dat nodig is om een
bepaald aantal exemplaren van dit stukje DNA te krijgen en bereken met behulp van deze formule het aantal cycli dat nodig is om meer dan 20 miljard exemplaren te krijgen.
c CCVW 2013
pagina 2 van 8
4
In het diepvriesvak van Super de Visser liggen pakken visfilet waarop staat dat de inhoud 500 gram vis bevat. De Consumentenbond heeft onderzoek gedaan naar de inhoud van deze pakken. De inhouden blijken normaal verdeeld met een gemiddelde van 512 gram. Van de onderzochte pakken bleek 17% een gewicht onder de 500 gram te hebben. a Bereken de standaardafwijking van het gewicht van deze pakken.
3 pt
Geef het antwoord afgerond op e´ e´ n cijfer achter de decimale komma. 20% van de pakken visfilet bevat 3 visfilets, 50% bevat 4 visfilets en 30% bevat 5 visfilets. Filiaal 1 bestelt 50 pakken. Deze pakken worden aselect gekozen uit een onbeperkt grote voorraad. Noem het aantal pakken met precies 4 visfilets in deze bestelling X. b Bereken P(19 ≤ X ≤ 28).
5 pt
Geef het antwoord afgerond op vier cijfers achter de decimale komma. c Bereken de verwachtingswaarde van het totale aantal visfilets in deze 50 pakken.
4 pt
Filiaal 2 krijgt 20 pakken visfilet aangeleverd: 6 pakken met 3 visfilets, 9 pakken met 4 visfilets en 5 pakken met 5 visfilets. Mevrouw Hengel, de eerste klant van die dag, neemt aselect drie pakketten van de 20. d Hoe groot is de kans dat zij twee pakketten met vier visfilets heeft en e´ e´ n pakket met
5 pt
vijf visfilets? Geef het antwoord als een niet afgeronde breuk.
5
Een andere supermarkt bestelt zijn visfilets bij twee leveranciers. Leverancier Aad Aal weet uit ervaring dat de gewichten van zijn visfilets normaal verdeeld zijn met een gemiddelde van 130 gram en een standaardafwijking van 20 gram.
5 pt
a Hoe groot is de kans dat vier willekeurig gekozen visfilets van Aad Aal samen minder
wegen dan 500 gram? Geef het antwoord afgerond op vier cijfers achter de decimale komma. De tweede leverancier, Paul Paling, zegt dat zijn filets ook 130 gram gemiddeld wegen. Aad Aal vermoedt dat Paul’s filets lichter zijn en besluit een onderzoek te doen. 1 pt
b Hoe moet Aad Aal de nulhypothese en de alternatieve hypothese formuleren?
We nemen aan dat de gewichten van Paul’s filets normaal verdeeld zijn en ook een standaardafwijking van 20 gram hebben. In een steekproef van 25 visfilets blijkt het gemiddelde gewicht 125 gram te zijn. 6 pt
c Wat is de conclusie van deze toetsingsprocedure als de onbetrouwbaarheidsdrempel
gelijk is aan α = 0,1?
c CCVW 2013
pagina 3 van 8
6
Gegeven de functie f (x) = x4 − 8x3 + 20x2 . a Bepaal het bereik van f algebra¨ısch.
6 pt
x−1 x2 − 2 b Stel algebra¨ısch een vergelijking op voor de raaklijn aan de grafiek van g in het punt (1,0). Gegeven de functie g(x) =
6 pt
7
In de figuur hieronder ziet u de grafieken van de functies f en g. y 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6
f
2
4
6
8
10
12
g
Het functievoorschrift van f kan geschreven worden in de vorm f (x) = A + B · sin (C(x − D)) 4 pt
a Bepaal A, B, C en D.
Het functievoorschrift van g kan geschreven worden in de vorm g(x) = P + Q · cos (R(x − S )) 5 pt
b Bepaal P, Q, R en S .
c CCVW 2013
pagina 4 van 8
x
Lijst van formules voor het voortentamen Wiskunde A Kansrekening Voor alle toevalsvariabelen X en Y geldt: E(X + Y) = E(X) + E(Y) p Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ(X + Y) = σ2 (X) + σ2 (Y) √ n-wet: Bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en voor het gemiddelde X van de uitkomsten X: √ E(S ) = n · E(X) σ(S ) = n · σ(X) σ(X) E(X) = E(X) σ(X) = √ n Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: ! n · pk · (1 − p)n−k met k = 0, 1, 2, . . . , n P(X = k) = k p Verwachting: E(X) = n · p Standaardafwijking: σ(X) = n · p · (1 − p) Normale verdeling Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking σ geldt: X−µ g − µ Z= is standaard normaal verdeeld en P(X < g) = P Z < σ σ Differenti¨eren naam van de regel
functie
afgeleide
Somregel
s(x) = f (x) + g(x)
s0 (x) = f 0 (x) + g0 (x)
Productregel
p(x) = f (x) · g(x)
p0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g0 (x)
Quoti¨entregel
q(x) =
Kettingregel
k(x) = f (g(x))
f (x) g(x)
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g0 (x) (g(x))2 dk d f dg = · k0 (x) = f 0 (g(x)) · g0 (x) of dx dg dx q0 (x) =
Logaritmen regel
voorwaarden
log a + g log b = g log ab a g log a − g log b = g log b g log a p = p · g log a
g > 0, g , 1, a > 0, b > 0
g
g
log a =
p
g > 0, g , 1, a > 0, b > 0 g > 0, g , 1, a > 0
log a
g > 0, g , 1, a > 0, p > 0, p , 1
p log g
Rijen Rekenkundige rij: Meetkundige rij: In beide formules geldt:
Som =
· aantal termen · (ue + ul ) ul+1 − ue (r , 1) Som = r−1 e = rangnummer eerste term; l = rangnummer laatste term. 1 2
pagina 5 van 8
pagina 6 van 8
pagina 7 van 8
pagina 8 van 8
