1
Formulekaart VWO wiskunde B Vergelijkingen −b+ D −b− D of x = 2a 2a 2 met D = b − 4ac x=
a ≠ 0, D > 0
xn = c
x = c1/ n = n c
x > 0, c > 0, n > 0
gx = a
x = g log a =
ax 2 + bx + c = 0
a > 0, g > 0, g ≠ 1
x = gb
x > 0, g > 0, g ≠ 1
ex = a
x = ln a
a>0
ln x = b
x = eb
x>0
g
log x = b
log a ln a = log g ln g
Machten en logaritmen 1 an =na
a −n =
a>0
a1/ n
a>0,n>0
a p i a q = a p+q a p : a q = a p / a q = a p −q (a p ) q = a pq
a>0
(ab) = a b
a, b > 0
p
g
g
log a =
p
p p
p
log a log g
a>0 a>0
g > 0; g ≠ 1; a > 0; p > 0, p ≠ 1
log a + g log b = g log ab
⎛a⎞ log a − g log b = g log ⎜ ⎟ ⎝b⎠ g log ( a p ) = p g log a
g
g > 0; g ≠ 1; a > 0; b > 0 g > 0; g ≠ 1; a > 0; b > 0 g > 0; g ≠ 1; a > 0
Binomium van Newton (a + b )n =
n
⎛n ⎞
k =0
⎝ ⎠
∑ ⎜ k ⎟a
k
⎛n ⎞ n! b n −k met ⎜ ⎟ = ⎝ k ⎠ k !(n − k )!
2
Differentiëren en integreren functie
afgeleide
somregel
f ( x) + g ( x)
f ' ( x) + g ' ( x)
constante maal f
c f ( x)
c f '( x)
productregel
f ( x) g ( x)
f '( x ) g ( x ) + f ( x ) g '( x )
quotiëntregel
f ( x) g ( x)
f '( x) g ( x) − f ( x) g '( x) g ( x) 2
f ( g ( x) )
f ' ( g ( x) ) g '( x)
kettingregel
x
u
y
f '( x) = y ' u ' of
Differentiëren van standaardfuncties
f (x ) c
x
n
f ' ( x)
ex
ex
ln x sin x cos x tan x
f (x )
n x n −1
g x ln( g )
log x
Primitiveren van standaardfuncties
0
gx
g
df df dg = dx dg dx dy dy du = dx du dx
of
1 x ln( g ) 1
gx
1 n +1 x + c (n ≠ –1) n +1 1 x g +c ln g
ex
ex + c
1 x
ln x + c
ln x
x ln( x ) − x + c
xn (g > 0)
(g > 0, g ≠ 1)
x cos x
− sin x 1 = 1 + tan 2 x cos 2 x
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx
g
log x
sin x cos x
1 ( x ln( x) − x ) + c ln( g ) − cos x + c
sin x + c
Lineaire benadering (raaklijn) van f in (p, q): y = f ' ( p ) ⋅ ( x − p ) + q Inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door de grafiek van de functie f op het interval [a,b] om de xas te wentelen: a
I = π ∫ f ( x ) 2 dx b
Lengte van de grafiek van f op het interval [a,b]: a
L = ∫ 1 + f '( x) 2 dx b
3
Goniometrische formules cos 2 t + sin 2 t = 1 sin t tan t = cos t
sin( −t ) = − sin t
sin( 12 π − t ) = cos t
sin(π − t ) = sin t
cos( −t ) = cos t
cos( 12 π − t ) = sin t
cos(π − t ) = − cos t
cos 2t = cos 2 t − sin 2 t = 2 cos 2 t − 1 = 1 − 2 sin 2 t
sin 2t = 2 sin t cos t
sin(t + u ) = sin t cos u + cos t sin u sin(t − u ) = sin t cos u − cos t sin u cos(t + u ) = cos t cos u − sin t sin u cos(t − u ) = cos t cos u + sin t sin u
⎛t +u ⎞ ⎛ t −u ⎞ sin t + sin u = 2 sin ⎜ ⎟ ⎟ cos ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛t −u ⎞ ⎛t +u ⎞ sin t − sin u = 2 sin ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛t +u ⎞ ⎛t −u ⎞ cos t + cos u = 2 cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛t +u ⎞ ⎛t −u ⎞ cos t − cos u = −2 sin ⎜ ⎟ ⎟ sin ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Somformules voor rijen Rekenkundige rij: Voor de som S van de rekenkundige rij u1 = a, u2 = a + v, u3 = a + 2v, … , un = a + (n – 1)v geldt:
eerste term + laatste term 1 = 2 n(u1 + un) 2
n
S = ∑ uk = n k =1
Meetkundige rij: Voor de som S van de meetkundige rij a, ar, ar2, ar3, … arn-1 geldt: n −1
S = ∑ ar k = k =0
∞
∑ ar k =0
k
=
eerstvolgende term − eerste term ar n − a r n −1 = =a r −1 r −1 r −1
a 1− r
(r ≠ 1)
( r < 1)
Verbanden Lineair verband H = b + a·t
b is de beginwaarde en a is de helling of richtingscoëfficiënt
Exponentieel verband H = b·gt
b is de beginwaarde en g is de groeifactor
Harmonische trilling
d is de evenwichtsstand, (c, d ) is het beginpunt
H = d + a·sin b(t – c )
2π is de periode, a is de amplitude en a > 0; b > 0 b
4
Kansrekening Tellen
n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1 0!= 1 ⎛n⎞ n! ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ k ⎠ k!(n − k )!
Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt:
σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 (Y )
Voor willekeurige stochastische variabelen geldt: E ( X 1 + ... + X n ) = E ( X 1 ) + ... + E( X n ) Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen geldt:
Var ( X 1 + ... + X n ) = Var ( X 1 ) + ... + Var ( X n ) n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X: E(S ) = n ⋅ E( X ) σ (S ) = n ⋅σ ( X ) σ (X ) σ (X ) = E( X ) = E( X ) n Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer geldt: ⎛n ⎞ Kansverdeling P ( X = k ) = ⎜ ⎟ p k (1 − p )n −k (k = 0,..., n ) ⎝k ⎠ E (X ) = np
Verwachting Variantie
Var (X ) = np(1 − p )
Standaardafwijking
σ (x ) = Var (X ) = np(1 − p )
Normale verdeling Als X normaal verdeeld is met verwachting μ en standaardafwijking σ , dan is Z =
⎛x −μ⎞ verdeeld. Omrekenformules: P (X ≤ x ) = Φ ⎜ ⎟ en Φ(z ) = P (X ≤ μ + σ z ) ⎝ σ ⎠ Hierin is Φ de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling.
X −μ
σ
standaardnormaal
5
Bewegingen in het vlak Als (x (t ), y(t )) de positie in het Oxy-vlak geeft van een bewegend punt op het tijdstip t, dan wordt de snelheidsvector op het tijdstip t gegeven door (x '(t ), y '(t )) . De (scalaire) snelheid van het punt op het tijdstip t wordt gegeven door
v (t ) = x '(t )2 + y '(t )2 en de lengte van de afgelegde weg tussen de tijdstippen t = a en t = b door b
b
a
a
2 2 ∫ v (t )dt = ∫ x '(t ) + y '(t ) dt
Eenparige cirkelbeweging met middelpunt (m, n), straal r en hoeksnelheid ω : ⎧ x (t ) = m + r cos ω (t − t 0 ) ⎨ ⎩y (t ) = n + r sin ω (t − t 0 )
Harmonische trilling met evenwichtsstand c, amplitude A en periode T:
⎛ 2π ⎞ h (t ) = c + A sin ⎜ (t − t0 ) ⎟ ⎝T ⎠
Continue dynamische modellen Exponentiële groei of verval: differentiaalvergelijking:
dy = cy dt
oplossingen:
y(t ) = y(t0 )e c (t −t0 )
Logistische groei: differentiaalvergelijking: oplossingen:
dy = c y (M − y ) met M > 0 dt My(t 0 ) y(t ) = y(t0 ) + (M − y(t 0 ))e −cM (t −t0 )
Limieten ax −1 = ln a x →0 x
sin x =1 x →0 x
lim
lim
xp =0 x →0 a x
lim
x
(a > 1)
a⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = e a x →0 x⎠ ⎝
(a > 0)
6
Lijnen en cirkels in het vlak Lijn door (p, q) met richtingscoëfficiënt m: y = q + m(x − p ) Voor twee lijnen
1
en
2
met richtingscoëfficiënten m1 en m2 geldt:
Vergelijking van de cirkel met middelpunt (m, n) en straal r: Omtrek cirkel:
2π r ;
Oppervlakte cirkel:
πr 2 ;
1
⊥
2
⇔ m1m2 = −1
(x − m )2 + (y − n )2 = r 2
lengte boog met middelpuntshoek α (rad): α r 1 2 opp. sector met middelpuntshoek α (rad): αr 2
Driehoeken Stelling van Pythagoras: Als driehoek ABC een rechte hoek in C heeft, dan geldt: Omgekeerde stelling van Pythagoras: Als in driehoek ABC geldt a 2 + b 2 = c 2 Cosinusregel: In elke driehoek ABC geldt: Sinusregel: In elke driehoek ABC geldt:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
a b c = = sin α sin β sin γ
a 2 + b2 = c 2 dan is hoek C recht.
7
Vlakke meetkunde De cursief gedrukte termen mogen als verwijzingen in een bewijs gebruikt worden. Hoeken, lijnen en afstanden • De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk (overstaande hoeken). • Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dan zijn de F-hoeken en Z-hoeken gelijk (F-hoeken, Z-hoeken). • Als twee lijnen in twee verschillende punten gesneden worden door een derde lijn, waarbij een paar gelijke F-hoeken of Z-hoeken optreedt, dan zijn die twee lijnen evenwijdig (F-hoeken, Z-hoeken). • Een rechte hoek is 900 ; een gestrekte hoek is 1800. • De som van de hoeken van een driehoek is 1800 (hoekensom driehoek). • De afstand (kortste verbinding) van een punt tot een lijn is de lengte van de loodlijn neergelaten vanuit dat punt op die lijn (afstand punt tot lijn). • Driehoeksongelijkheid: Als drie punten A, B, C niet op één lijn liggen, dan geldt: |AB| + |BC| > |AC| . Gelijkbenige driehoek • Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden ook gelijk (gelijkbenige driehoek). • Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende hoeken ook gelijk (gelijkbenige driehoek). Gelijke driehoeken Twee driehoeken zijn gelijk (congruent) als ze gelijk hebben: • Een zijde en twee aanliggende hoeken (HZH). • Een zijde, een aanliggende hoek en de tegenoverliggende hoek (ZHH). • Twee zijden en de ingesloten hoek (ZHZ). • Alle zijden (ZZZ) . • Twee zijden en de rechte hoek tegenover één van die zijden (ZZR). Gelijkvormige driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijk hebben: • Twee paren hoeken (hh). • Een paar hoeken en de verhouding van de omliggende zijden (zhz). • De verhouding van de zijden (zzz) • Een paar rechte hoeken en de verhouding van twee niet-omliggende zijden (zzr) Vierhoeken De som van de hoeken van een vierhoek is 3600 (hoekensom vierhoek). Equivalente definities en eigenschappen van een parallellogram: • Er zijn twee paren evenwijdige zijden. • Er zijn twee paren gelijke overstaande zijden. • Twee overstaande zijden zijn gelijk en evenwijdig, • De diagonalen delen elkaar middendoor. Equivalente definities en eigenschappen van een ruit: • Het is een parallellogram met vier gelijke zijden. • Het is een parallellogram waarin een diagonaal een hoek middendoor deelt. • Het is een parallellogram waarin de diagonalen elkaar loodrecht snijden. Equivalente definities en eigenschappen van een rechthoek: • Het is een vierhoek met vier rechte hoeken. • Het is een parallellogram met een rechte hoek. • Het is een parallellogram met gelijke diagonalen.
8
Puntverzamelingen en meetkundige plaatsen • De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee gegeven punten A en B, is de middelloodlijn van het lijnstuk AB (middelloodlijn). • De verzameling van alle punten binnen een hoek die dezelfde afstand hebben tot de benen van die hoek, is de deellijn (bissectrice) van die hoek (deellijn). • De verzameling van alle punten die afstand r tot een gegeven punt M hebben, is de cirkel met middelpunt M en straal r (cirkel). • De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee elkaar snijdende lijnen, is het deellijnenpaar (bissectricepaar) van die twee lijnen (deellijnenpaar). • De twee deellijnen van twee elkaar snijdende lijnen snijden elkaar loodrecht in het snijpunt van die twee lijnen (loodrechte stand deellijnenpaar). • De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee evenwijdige lijnen, is de middenparallel van dat lijnenpaar (middenparallel). • De verzameling van alle punten die gelijke afstanden hebben tot een lijn l en een punt F niet op die lijn, is een parabool (parabool). • P op parabool met brandpunt F en richtlijn l ⇔ d ( P, F ) = d ( P, l )
d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = constant
•
P op ellips met brandpunten F1 en F2 ⇔
•
P op hyperbool met brandpunten F1 en F2 ⇔
d ( P, F1 ) − d ( P, F2 ) = constant
Raaklijneigenschappen • De raaklijn in een punt P van een parabool maakt gelijke hoeken met de lijn die P verbindt met het brandpunt en de lijn door P loodrecht op de richtlijn (raaklijneigenschap parabool). • De raaklijn in een punt P van een ellips of hyperbool maakt gelijke hoeken met de lijnen die P verbinden met de beide brandpunten (raaklijneigenschap ellips of hyperbool). Cirkeleigenschappen • Bij gelijke bogen behoren gelijke koorden (boog en koorde). • De loodlijn vanuit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor (loodlijn op koorde). • Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van middelpunt en raakpunt (raaklijn). • Stelling van Thales: Als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is ∠ACB recht. • Omgekeerde stelling van Thales: Als hoek C in driehoek ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB. • Stelling van de omtrekshoek: Elke omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek. • De hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de bij die koorde behorende omtrekshoek (hoek tussen koorde en raaklijn). • Als punt C over de cirkelboog AB tussen de punten A en B beweegt, dan verandert de grootte van ∠ACB niet (stelling van de constante hoek). • Als punt D aan dezelfde kant van AB ligt als punt C en ∠ADB = ∠ACB , dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (omgekeerde stelling van de constante hoek). • Koordenvierhoekstelling: Als ABCD een koordenvierhoek is, dan is de som van elk paar overstaande hoeken 180°. • Omgekeerde koordenvierhoekstelling: Als in een vierhoek de som van een paar overstaande hoeken 180° is, dan is het een koordenvierhoek.