Vo o r e e n p ro f i e l w e r k s t u k o v e r d e a a rd e
In opdracht van: Vrije Universiteit Amsterdam Universiteit van Amsterdam Technische Universiteit Delft Universiteit Utrecht Wageningen Universiteit Teksten: Gerard Heijmeriks Illustraties: Bart Groeneveld Foto’s: Technische Universiteit Delft, Universiteit Utrecht, Wageningen Universiteit, Universiteit van Amsterdam, Vrije Universiteit Amsterdam Ontwikkeling en realisatie: PODIUM Bureau voor educatieve communicatie bv, Utrecht Vormgeving: Duotone grafisch ontwerpers, Utrecht Drukwerk: Hooiberg, Epe Uitgave: september 2001
Tweede Fase havo/vwo Leerlingenboekje wiskunde
w w w . a a r d e . n u
c o l o f o n
www.aarde nu
i n h o u d Wat is www.aarde.nu?
2
Wat biedt dit boekje?
2
Onderwerpkeuze en studies van de aarde
3
www.aarde.nu Als je kiest voor een profielwerkstuk over de aarde
Win een Expeditie IJsland
Lijst met onderwerpen die aansluiten op wiskunde
3
Fractals in de geologie, chaos beschrijven met fractals
4,5,6
Stuur je profielwerkstuk over de aarde op en je maakt kans op een avontuurlijke reis naar IJsland. Tijdens deze aardwetenschappelijke reis ontdek je geisers, vulkanen, gletsjers en spectaculaire watervallen. Alleen geschikt voor echte avonturiers! Van de ingezonden profielwerkstukken worden de tien beste beloond met deze prijs. Meer hierover lees je op www.aarde.nu.
Als je verder wilt met ‘fractals’, ‘mineralen en gesteenten’ of het ‘Aralmeer’, dan vind je in dit boekje volop mogelijkheden. Wil je iets anders, maar wél verder met een onderwerp over de aarde, dan surf je naar www.aarde.nu! Op deze pagina vind je een overzicht met alle onderwerpen die aansluiten op het vak wiskunde B. Bespreek voor je aan je profielwerkstuk begint altijd eerst alles goed met je docent! Hij of zij kan je aan verschillende materialen of bronnen helpen.
Mineralen en gesteenten, bouwstenen van de aarde
7,8,9 Studies van de aarde
Het Aralmeer droogt op, is deze ecologische ramp nog te stuiten?
Wat zijn oorzaken en gevolgen van klimaatveranderingen of natuurrampen? Hoe maken we duurzaam gebruik van de grondstoffen die de aarde herbergt? De aardbol is het werkterrein van de aardwetenschapper, wereldvraagstukken zijn takenpakket. Toekomst, heden en verleden worden tot op de bodem onderzocht. Aardwetenschappelijke opleidingen worden in ons land door vijf universiteiten aangeboden. Iedere opleiding benadert de aarde vanuit een eigen invalshoek en met een eigen karakter. Waar je echter ook een aardwetenschappelijke opleiding volgt, centraal staat het onderzoek naar de activiteiten in, op en om onze aarde. Alle opleidingen hebben als doel te komen tot nieuwe inzichten over de samenstelling en werking van onze planeet. Een opleiding aardwetenschappen sluit aan bij de profielen Natuur & Techniek en Natuur & Gezondheid. Aardwetenschappen is een toegepaste studie; je kennis uit de vakken natuurkunde, scheikunde, biologie, wiskunde en soms aardrijkskunde vormen de bouwstenen. Wil je meer weten? Kijk dan op www.aarde.nu.
10,11
Wat is www.aarde.nu?
De site www.aarde.nu is een handig hulpmiddel bij het maken van je profielwerkstuk voor het vak wiskunde. De site biedt een serie zeer afwisselende onderwerpen over de aarde, die op een heldere manier in beeld worden gebracht. Veel van deze onderwerpen sluiten heel goed aan bij wiskunde B. Bij elk onderwerp krijg je een aantal aanknopingspunten zoals mogelijke uitwerkingen en een lijst met relevante sites en andere bronnen. Bovendien kun je via e-mail vragen stellen aan medewerkers van de vijf aardwetenschappelijke opleidingen, die gespecialiseerd zijn in één van de onderwerpen van www.aarde.nu Wat biedt dit boekje je?
In dit boekje zijn drie onderwerpen uitgewerkt die ook op de site staan: ‘fractals in de geologie’, ‘mineralen en gesteenten’ en ‘het Aralmeer droogt op’. Deze onderwerpen sluiten goed aan bij het vak wiskunde B en bieden bovendien onderzoeksmogelijkheden die je zelf kunt uitvoeren op of om de school. Bij elk onderwerp vind je onderzoeksvragen, deelvragen en experimenten die je kunt gebruiken voor je profielwerkstuk.
2
Onderwerpen op de site die aansluiten op het vak wiskunde B
Plaattektoniek Oliewinning El Niño Het Aralmeer droogt op Fractals in de geologie Mineralen en gesteenten Zink Drinkwater uit grond, rivier of zee Het klimaat
De aarde in beweging Zoektocht naar het zwarte goud Het voorspellen van een verwoestend weerfenomeen Is deze ecologische ramp nog te stoppen? Chaos beschrijven met fractals Bouwstenen van de aarde Een waardevol metaal Hoe komen we aan voldoende water? Koukleumen of opwarmen 3
Fractals in de geologie
Onderzoeksmogelijkheden
Chaos beschrijven met fractals
Hoe lang is de kustlijn van Noorwegen? De vraag ‘Hoe lang is de kustlijn van Noorwegen’ heeft betrekking op de deelvragen: ‘In hoeverre speelt het begrip lengte een rol bij het beschrijven van de natuur?’ en ‘In hoeverre speelt het begrip dimensie een rol bij het beschrijven van de natuur?’ Op het eerste gezicht lijkt het antwoord op de vraag erg eenvoudig. Je neemt een landkaart, pakt een meetlat en meet de kustlijn zo nauwkeurig mogelijk op. Hoe grootschaliger de landkaart, des te beter de schatting. Zo’n kronkelige kustlijn is echter ook na herhaaldelijk uitvergroten wederom een kronkelige lijn (zie afbeelding 1). Je kunt op deze wijze nooit de exacte lengte bepalen. Deze kan slechts worden benaderd met behulp van de Kromme van Koch.
De mens is al eeuwen bezig met het beschrijven van natuurverschijnselen, met als doel de natuur om ons heen beter te leren begrijpen. De fractaalmeetkunde en chaostheorie leveren ons daarbij een geheel nieuwe kijk op de wereld. Fractaalmeetkunde is een nieuwe manier om complexe verschijnselen als bladeren, bomen, wolken, oceaangolven, bewegingen van moleculen in een vloeistof, het uitdijen van het universum en sociaal-economische aspecten te modelleren en te beschrijven. De kustlijn van Noorwegen, met zijn vele fjorden en inhammen, is ook zo’n complex verschijnsel. Uit onderzoek is gebleken dat, als je de kustlijn opvat als een kromme en continue lijn, met behulp van de fractaaltheorie veel informatie uit die kustlijn gehaald kan worden. De structuur van een kustlijn, maar ook bijvoorbeeld van een wolk is een complex gegeven. Indien we een kustlijn of wolk zouden kunnen beschrijven met behulp van een wiskundige formule, dan wordt
Startvragen 1. Hoe lang is het gebroken lijnstuk van K1? Op elke nieuw lijnstuk passen we deze methode weer toe. We verkrijgen de ‘tweede orde’ benadering K2 en zo gaan we verder tot in het oneindige. 2. Hoe lang is het gebroken lijnstuk van K2? 3. Geef een uitdrukking in ‘n’ voor de lengte van het gebroken lijnstuk bij de ‘n-de orde’ benadering Kn. Indien we op deze manier in het oneindige doorgaan, krijgen we de Kromme van Koch K.
de complexiteit aanzienlijk verminderd.
Onderzoeksvraag
In hoeverre speelt wiskunde een rol bij het modelleren van de natuur? Welke onderwerpen uit het vak wiskunde B komen in dit onderzoek terug?
• Discrete analyse: rijen en convergentie van rijen • Differentiaal- en integraalrekening: algebraïsche technieken • Continue dynamische modellen: modelleren • Voortgezette meetkunde: bewijzen in vlakke meetkunde, afstanden en grenzen • Combinatoriek en kansrekening Deelvragen die aansluiten bij de onderzoeksvraag
Deelvragen betreffende meetkundige aspecten: - In hoeverre speelt het begrip lengte een rol bij het beschrijven van de natuur? - In hoeverre speelt het begrip dimensie een rol bij het beschrijven van de natuur? - In hoeverre speelt het begrip transformatie (zoals rotaties, scalering en spiegelingen) een rol bij het beschrijven van de natuur? - In hoeverre speelt het begrip zelfgelijkvormig een rol bij het beschrijven van de natuur? Andere deelvragen: - In hoeverre speelt het begrip iteratie een rol bij het beschrijven van de natuur? - Wat is de samenhang tussen complexe getallen en fractals? - Is het mogelijk om fractals te beschrijven met wiskundige formules?
De Kromme van Koch: benadering voor de lengte van de kustlijn van Noorwegen De constructie van de Kromme van Koch is eigenlijk heel simpel. We beginnen met een lijnstuk van lengte 1, de basis K0 genaamd (zie afbeelding 2). Stel dat de linkerbenedenhoek coördinaten (0,0) heeft en de rechterbenedenhoek (1,0). We delen deze in drie gelijke delen. De middelste lijn nemen we weg en we plaatsen daarvoor in de plaats een gelijkzijdige driehoek. De lengte van een zijde is gelijk aan het weggenomen deel. We noemen deze de ‘eerste orde’ benadering K1.
Afbeelding 1 De kustlijn van Noorwegen: nooit een rechte lijn
K0
K1
K2
K3
K4
Afbeelding 2 Principe van de Kromme van Koch 4
5
In hoeverre speelt het begrip dimensie een rol bij het meten van de kustlijn van Noorwegen? De kustlijn van Noorwegen is niet helemaal een echte lijn, de dimensie van de kustlijn is namelijk groter dan 1. Dat wil zeggen dat de kustlijn ook een bepaalde oppervlakte heeft. Een lijn heeft dimensie 1, een oppervlak heeft dimensie 2. Je zou zeggen dat de Kromme van Koch dimensie 1 heeft, omdat deze louter en alleen bestaat uit een verzameling lijnstukjes. Omdat de kromme echter uiterst kronkelig loopt en een oneindig proces betreft, zorgt deze toch enigszins voor vlakvulling. De Kromme van Koch, ook al bestaat deze geheel uit lijnstukjes, heeft een dimensie tussen de 1 en 2. Noem d de dimensie, v de vergroting of verkleining en n het aantal kopieën.
Mineralen en gesteenten
Indien we een lijnstuk (dimensie 1) met factor 2 vermenigvuldigen zien we 2 identieke lijnstukken (zie afbeelding 3a). Indien we een vierkant (dimensie 2) met factor 2 vermenigvuldigen zien we 4 identieke vierkanten (zie afbeelding 3b). log n In het algemeen geldt: vd=n, ofwel d= log v Toon aan dat de Kromme van Koch een dimensie van ongeveer 1,26 heeft.
Alle mineralen hebben, in de fijnste vorm, een kristalvorm met een kenmerkende structuur.
Bouwstenen van de aarde
Dit onderzoek gaat over kristallen. Het meest bekend zijn de ijskristallen die je ‘s morgens soms op de ramen van je huis ziet als het hard gevroren heeft of de kristallen waar een sneeuwvlok uit is opgebouwd. Kristallen komen echter overal voor, ze vormen namelijk ook de basis van mineralen en gesteenten. Een mineraal is een natuurlijke (niet-organische) verbinding met vaste chemische en fysische eigenschappen. Een mineraal dat je dagelijks eet is keukenzout.
De geometrie van een kristal wordt bepaald door de wijze waarop de atomen van de samenstellende chemische elementen zich rangschikken in het ‘kristalrooster’. Met andere woorden: de kristalvorm is de uitwendige verschijning van de inwendige atoomstructuur van een mineraal. De vorm en grootte van kristallen van één en dezelfde stof kunnen in principe oneindig variëren, maar toch blijken er
Afbeelding 3a Een lijnstuk vermenigvuldigd met factor 2
een aantal regelmatigheden in te zitten. Zo zijn kristallen onder te verdelen in verschillende klassen en groepen. Deze zijn ingedeeld op basis van wiskundige principes.
Afbeelding 3b Een vierkant vermenigvuldigd met factor 2
Onderzoeksvraag
Classificeren van kristallen gebeurt op grond van symmetrische eigenschappen van dat kristal. Maak een beschrijving van deze symmetrieën met behulp van de wiskunde. Welke onderwerpen uit het vak wiskunde B komen in dit onderzoek terug?
• Voortgezette meetkunde: bewijzen in de vlakke meetkunde, afstanden en grenzen Deelvragen die aansluiten bij de onderzoeksvraag
Informatie op internet • http://www.ipo.tue.nl/homepages/jruis/Bewustzijns-Besturings-Model/Fractal-links.htm ontzettend veel links over fractals • http://fractals.iuta.u-bordeaux.fr/sci-faq/learn.html handige links over fractals • http://library.thinkquest.org/26242/full/index.html classificatie van fractals • http://library.thinkquest.org/12740/netscape/discover/index.html goede en degelijke uitleg over fractals • http://simone.neuro.kuleuven.ac.be/Fractals/classificatie.html classificatie van fractals • http://www.ipo.tue.nl/homepages/jruis/Bewustzijns-Besturings-Model/wisk-fractal.htm wiskundige achtergrond bij fractals • http://hypertextbook.com/chaos/ complexe getallen en fractals • http://home.wxs.nl/~philip.van.egmond/wiskunde/dim1-n.htm een prima uitleg over gebroken dimensies
6
- Wat is een kristalgroep in wiskundige termen gezien? - Hoe speelt symmetrie een rol in het classificeren van groepen?
Afbeelding 1 Rangschikking van de ionen van keukenzout
Onderzoeksmogelijkheden
Introductie Kristallen zijn gelijkvormige driedimensionale objecten die worden begrensd door natuurlijk gevormde platte vlakken, de kristalvlakken. Indien je de hoek meet tussen twee kristalvlakken bij meerdere kristallen van dezelfde stof, blijkt deze constant. Kristallen vertonen verschillende vormen van symmetrie. Ze kunnen symmetrisch zijn ten opzichte van een vlak, ten opzichte van een lijn of ten opzichte van een punt, maar combinaties komen uiteraard ook voor. Op grond van deze symmetrieën worden kristallen
onderverdeeld in 32 kristalklassen, die gegroepeerd worden in 7 kristalstelsels, te weten: kubisch, hexagonaal, trigonaal, tetragonaal, orthorhombisch, monoklien en triklien. Een voorbeeld van een kubisch kristal is keukenzout (NaCl). In afbeelding 1 zie je de rangschikking van de ionen van keukenzout. Het rechterplaatje laat zien dat dit kristal symmetrisch is ten opzichte van het gearceerde vlak, maar het is niet moeilijk om ook andere symmetrieën te herkennen. Een kubische verschijningsvorm is dan ook de vorm met het grootst mogelijke aantal symmetrieën. Een triklien kristal daarentegen heeft een structuur die slechts symmetrisch is ten opzichte van één punt, namelijk het centrum.
www.aarde.nu
7
4. Toon aan dat s24 •s13=r. Is s24 •s13=s13•s24? 5. We kunnen tevens achtereenvolgens een rotatie en een spiegeling toepassen, bijvoorbeeld s13•r, waarbij je eerst r en daarna s13 uitvoert. Toon aan dat s13•r = r•s13 = s24 en s24•r = r•s24 = s13. De vlieger kan geheel beschreven worden met behulp van de rotatie r en de twee spiegelingen s13 en s24. We zeggen ook wel dat de groep (met als operatie het samenstellen van de transformaties) van de vlieger uit vier elementen bestaat, namelijk r, s13, s24 en e (= niets doen), met als relaties: r2 = s132 = s242 = e, s13•r = r•s13 = s24 en s24•r = r•s24 = s13. 6. Zijn de fictieve kristallen uit afbeelding 2 verschillend als groep gezien? 7. Probeer nu voor andere kristalgroepen vergelijkbare beschrijvingen te maken.
Bovenstaande verzameling Z met de optelling heet een groep. Een groep is een verzameling met een bewerking die voldoet aan drie eigenschappen, namelijk de associativiteit, dat wil zeggen dat het niet uitmaakt in welke volgorde je de bewerking loslaat op de elementen (zie 1). Een groep heeft een zogenaamd identiek element (zie 2). De derde eigenschap is dat elk element van de groep een inverse heeft ( zie 3).
Informatie op internet • http://www.tulane.edu/~sanelson/geol211/index.html pittig maar zeer duidelijk geschreven • http://www.phys.tue.nl/TULO/info/Symmetrie/ echt een must • http://www.chemistry.gatech.edu/faculty/williams/xtallography/xtal_top.html goede introductie • http://www.science.uva.nl/onderwijs/wns/onderwijsCD/symmetrie/ deze site is noodzakelijk, ook verkrijgbaar op PDF • http://129.27.179.6:8000/quanten/grdarst.html een prima aanvulling
4. Is Z een groep als je naar de bewerking ‘vermenigvuldigen’ kijkt? Op de website http://ruby.chemie.uni-freiburg.de/ Vorlesungen/symmetrie_2_5_1.html staat een overzicht van de verschillende kristalklassen, ingedeeld naar symmetrie. 5. Bekijk deze indeling en probeer een antwoord te formuleren op de onderzoeksvraag en de deelvragen. Transformatie en de groepering van kristallen Bekijk de (fictieve) tweedimensionale kristallen van afbeelding 2. Je zou kunnen zeggen dat deze twee kristallen totaal verschillend zijn, maar als we gaan kijken naar de symmetrieën en in het bijzonder naar de transformaties die de kristallen op zichzelf afbeelden, zal blijken dat ze hetzelfde zijn, als ‘groep’ gezien.
1
2
Afbeelding 2 Twee fictieve (tweedimensionale) kristalvormen, behorend tot één groep
3
4 1
2
Afbeelding 3 8
1
3 2
4
aarde
Symmetrie in groepering van kristallen Bekijk de verzameling van gehele getallen: Z = {…,-3 ,-2,-1,0, 1, 2, 3,…..}. Stel dat we hierop de operatie ‘optellen’ uitvoeren. 1. Neem uit deze verzameling eens drie willekeurige getallen, zeg a, b en c. Geldt (a+b)+c= a+(b+c)? 2. Is er een getal, zeg e, uit deze verzameling waarvoor geldt: e+a= a+e= a voor een willekeurige a uit Z? Zo ja, welk getal is dat dan? 3. Neem een willekeurig getal, zeg a, uit Z. Is er bij dat getal a een b uit Z zodat a+b= b+a = e, waarbij e het getal uit opgave b is?
3
4
Bekijk de vlieger hiernaast (afbeelding 3). De hoekpunten zijn genummerd. De afgebeelde positie noteren we als het origineel e. We gaan kijken naar de transformaties die deze vlieger op zichzelf afbeelden. De eerste transformatie die de vlieger op zichzelf afbeeldt is een rotatie, tegen de klok in, over 180°. Deze rotatie beeldt de hoekpunten 1, 2, 3, 4 respectievelijk af op 3, 4, 1, 2. We noteren deze rotatie als: r= 13 24 31 42 Je leest dit als: 1 gaat naar 3, 2 gaat naar 4 enzovoorts. 1. Wat gebeurt er indien we nogmaals een rotatie over 180° uitvoeren? We kunnen dit noteren als r•r ofwel r2. Na twee keer roteren heb je eigenlijk niets gedaan. Je krijgt het origineel e terug. 2. Geef r2 en r112. Wat kun je zeggen over rn indien n is even of oneven? Er zijn nog meer transformaties die de vlieger op zichzelf afbeeldt, zoals spiegeling. Noem de spiegeling door de lijn door de hoekpunten 2 en 4 s24 en door de lijn door 1 en 3 s13. 3. Geef s24 en s13. Wat kun je zeggen over s13n indien n is even of oneven? We kunnen transformaties ook samenstellen door bijvoorbeeld twee spiegelingen achter elkaar uit te voeren, zoals s24 •s13, waarbij je eerst s13 en daarna s24 uitvoert. 9
Het Aralmeer droogt op Is deze ecologische ramp nog te stuiten?
Al het water op aarde maakt deel uit van de hydrologische cyclus. Door de zon verdampt het oppervlaktewater. Een deel van het atmosfeerwater valt in de vorm van neerslag terug naar beneden en dringt in de ondergrond of wordt via rivieren naar zee gevoerd. Grondwater kan eeuwen in de ondergrond verblijven voor het weer aan de oppervlakte komt om opnieuw te verdampen. De gehele kringloop begint opnieuw.
Er wordt aangenomen dat de gehele cyclus van water op de aarde in een permanent dynamisch evenwicht blijft. Maar ook op kleinere schaal kan er zo’n evenwicht bestaan. Het evenwicht van de watercyclus binnen een afgebakend gebied noemt men ook wel een waterbalans. Dit is het evenwicht tussen de wateraanvoer en de waterafvoer van het gebied. De waterbalans kan ook worden verstoord. De verstoring van het equilibrium ofwel evenwicht wordt door natuurverschijnselen zoals aanhoudende droogte of overmatige neerslag veroorzaakt. Maar ook door de mens wordt dit evenwicht verstoord. In Nederland bijvoorbeeld vindt de afvoer van een deel van het regenwater via de riolering plaats. Dit water heeft dus geen kans om in de grond door te dringen, wat een daling van het grondwaterpeil tot gevolg heeft. Tegenwoordig probeert men daarom regenpijpen vaker af te koppelen van het riool, zodat het water toch direct in de bodem terechtkomt. Ook drinkwaterwinning, industriewaterwinning, intensieve drainage en beregening dragen bij aan verdroging. Een verstoring van het evenwicht door de mens met zeer ernstige gevolgen vindt plaats in Centraal-Azië. Hier lag ooit een enorm zoetwatermeer, het Aralmeer. Tegenwoordig is er weinig water te vinden. Het waterpeil is gedurende de twintigste eeuw dramatisch gezakt met als gevolg dat enorme stukken zijn drooggevallen en dat het water dat overbleef te zout is geworden. Een van de belangrijkste oorzaken van het uitdrogen van het meer is de grootschalige irrigatie die wordt toegepast uit de twee belangrijkste voedende rivieren Amu Darya en Syr Darya. De waterbalans is daardoor totaal verstoord.
Afbeelding 1 De waterkringloop op aarde
Startvragen Afbeelding 1 geeft je een overzicht van de waterkringloop op de aarde. 1a. Welke variabelen zorgen voor de watertoevoer op aarde? 1b. Welke variabelen zorgen voor de waterafvoer? 2. Er wordt aangenomen dat de waterkringloop in een dynamisch evenwicht blijft. Geef met behulp van de bij vraag 1 genoemde variabelen een vergelijking van de waterbalans op aarde. Uitwerking Er zijn verschillende manieren om de waterbalans van de aarde te vangen in een vergelijking. Neem bijvoorbeeld de volgende vergelijking: dH = (R + M + D) - (O + V + T) t
Onderzoeksvraag
Maak een simulatie van de waterbalans van het Aralmeer. Welke onderwerpen uit het vak wiskunde B komen in dit onderzoek terug?
• Differentiaal- en integraalrekening: oplossen van differentiaalvergelijkingen • Continue dynamische modellen: modelleren Deelvragen die aansluiten bij de hoofdvraag
- Met welke variabelen moet je rekening houden indien je een waterbalans gaat simuleren? - Wat moet er veranderen in de waterhuishouding van het Aralmeer wil het meer niet helemaal verloren gaan?
Hier geldt: • dH = de verandering van de hoeveelheid water op t aarde op tijdstip t • R = de hoeveelheid neerslag • M = de hoeveelheid water opgevangen door mist • D = de hoeveelheid water door smelting van sneeuw en ijs • O = de hoeveelheid water die onderaards wordt afgevoerd • V = de hoeveelheid water die wordt verdampt • T = de hoeveelheid water die door transpiratie verloren gaat
Onderzoeksmogelijkheden
10
Introductie Modellen worden gebruikt om ingewikkelde problemen uit de werkelijkheid te kunnen bestuderen. Een model stelt je in staat een probleem op een wiskundige manier op te lossen, waarbij gebruik wordt gemaakt van computers. Het modelleren met behulp van computers leidt tot uitkomsten die je vervolgens moet interpreteren om uitspraken te doen over het oorspronkelijke probleem. Om een simulatie te kunnen maken, dien je allereerst een wiskundig model te hebben dat alle variabelen en startwaarden die je nodig hebt bevat. Dit model kun je vaak beschrijven door middel van enkele differentiaalvergelijkingen. Indien het gaat om eerste-orde-vergelijkingen kunnen we deze op een algebraïsche manier oplossen. Indien we te maken hebben met vergelijkingen van hogere orde, kunnen we gebruik maken van een computer en de daarbij behorende software. Het model kun je zelf in allerlei vormen gieten. Sommige vormen zijn nuttig om een overzicht te krijgen en sommige zijn nuttig bij het programmeren.
Voor de waterbalans in het Aralmeer bestaan ook dergelijke vergelijkingen. Hierbij kun je de factor M verwaarlozen. De factor D kun je vervangen door de instroom van water uit de twee rivieren. Tevens dien je rekening te houden met de factor die door de mens wordt bepaald, namelijk irrigatie. De input (per variabele) die je nodig hebt om een correct model te maken, vind je via links van www.aarde.nu.
Opgave Een meer is gevuld met 106m3 water. Laat Z(t) het zoutgehalte van het water op tijdstip t zijn. Op t=0 is het zoutgehalte gelijk aan 40gr/m3. Per seconde stroomt 500m3 water via een buis het meer in. Neem aan dat het zoutgehalte van het water in de buis constant 70g/m3 is. Neem verder aan dat er per tijdseenheid evenveel water uit het meer stroomt. We kunnen van het zoutgehalte Z(t) een model maken. Laat
dZ(t) t
de verandering van het zoutgehalte op een bepaald tijdstip t zijn.
1. Leg uit waarom de volgende differentiaalvergelijking het bovenstaande model beschrijft: dZ(t) = 0,035 - 5•10-4 Z(t) t
2. Toon aan dat Z(t) = 70 - 30e-0,0005•t de oplossing is van deze differentiaalvergelijking. 3. Wat kun je zeggen over het zoutgehalte in het meer na verloop van tijd? Handige software • Bekijk eens de volgende website: http://www.win.tue.nl/~jessers/aansluiting/softwarewiskmodellen.htm Wiskundige modellen en differentiaalvergelijkingen toegepast in een aantal vakgebieden. • COACH5 is een veelgebruikt programma op scholen waar je goed mee kunt experimenteren, maar het is ook mogelijk om er mee te modelleren. Meestal heeft de sectie natuurkunde dit programma wel ergens op een computer staan. • STELLA is een programma dat bijzonder geschikt is voor als je minder goed bent met formules. Het programma helpt je met het maken van formules door verschillende iconen met elkaar te verbinden. Overige nuttige sites • http://www.bio.uva.nl/Propedeuse/Core/00/0A/B0.HTML voor het oplossen van allerlei differentiaalvergelijkingen • http://to-www.edte.utwente.nl/TO/ism/course/sim/ wiskundige modellen om een simulatie te maken
www.aarde.nu Eén van de grote problemen van het Aralmeer is de verzilting van het water. Onderstaande opgave gaat over het zoutgehalte van een fictief meer.
11
