Téma 26 Jan Bednář
1
[email protected]
Nejistoty měření
standarní nejistoty je standardní směrodatná odchylka veličina, pro níž je nejistota udávána, označuje se symbolem u(x) (z anglického uncertainty), skládá se ze dvou složek, x je měřená veličina (a) standarní nejistota typu A vyhodnocovány ze statistikého rozložení výsledků měření a mohou být charakterizovány experimentální standardní odchylkou (náhodné chyby), stanoveny z výsledků opakovaných měření statistic-kou analýzou série měření, příčiny jsou neznámé, s rostoucím počtem měření jejich hodnota klesá (b) standarní nejistota typu B vyhodnocovány z předpokládaného pravděpodobnostního rozložení (Gaussovo-nor-mální, trojúhelníkové, rovnoměrné, …), (systematické chyby), získávány jinak než statistickým zpracováním výsledků opakovaných měření, vyhodnoceny pro jednotlivé zdroje nejistoty (c) kombinovaná standardní nejistota typu C získá se sloučením standard nejistot typu A a B
u C ( x ) = uA2 ( x ) + u B2 ( x ) (1.) rozšířená nejistota označována jako U(x), definována jako součin kombinované standard. nejistoty uc a koeficientu rozšíření kr, nutno vždy uvést hodnotu. Pro kr=1 je pravděpodobnost, že výsledek leží v intervalu je 68%, kr=2 je interval 95% a kr=3 je interval 99,5% výpočet ručkové přístroje dle vztahu 1a, kde TP je třída přesnosti přístroje, M je měřící rozsah, pro číslicové přístroje platí vtah 1b, kde δ1 je chyba odečtené hodnoty a δ2 chyba rozsahu, N je počet kvantizačních kroků, R rozlišení přístroje δ1 δ δ1 X+ 2 M X + NR TP 100 ≈ 100 uB ( x) = M . (2.) u B ( x ) = 100 100 ⋅ 3 3 3 nejistoty nepřímých měření měřená veličina je výpočítána z naměřených hodnot dle známé funkční závislosti, výpočet pomocí parciálních derivací, dle ⎛ ∂f ⎞ u y = ∑ ⎜⎜ u xi ⎟⎟ i =1 ⎝ ∂xi ⎠ N
2
2
(3.)
Elektromechanické přístroje
Měřená veličina (např. U, I, P,…) působí na pohyblivou část přístroje silou nebo kroutícím momentem, závislým na X dle známé funkční závislosti. Výchylka pohyblivé části je indikována změnou polohy ukazatele nad stupnicí přístroje. Moment vyvozený měřenou veličinou X je pohybový moment Mp, vyvažován direktivním momentem Md, uplatňuje se brzdící moment Mb a moment setrvačných sil MJ, dle d´Allambertova principu platí, že suma momentů je nulová, pak získáme pohybovou rovnici d2 β d2 β J 2 + kb 2 + k d β = k p X . (4.) dt dt
2.1
Magnetoelektrické ústrojí
Ve válcové vzduchové mezeře mezi pólovými nástavci PN permanentního magnetu PM je souose uložen umístěn válec z megneticky měkkého materiálu. Měřící cívka MC, kterou protéká měřený proud se otáčí v radiálním poli ve vzduchové mezeře konstantní šířky mezi pólovými nástavci a feromagnetickým válcem. Cívka je navinuta na hliníkový rámeček, proud se přivádí spirálovými pružinami (ty vyvozují direktivní moment). Pro cívku s N závity, délkou závitů v radiálním mag. poli v mezeře l a indukcí magnetického pole v mezeře B s proudem cívkou I platí M p = 2 ⋅ r ⋅ N (B ⋅ I ⋅ l) = k p ⋅ I , (5.) tlumení je vyvoláno proudy indukovanými pohybem cívky v jejím vinutí, vyvolaný moment působí proti příčině těchto proudů ⇒ proti pohybu cívky (Lenzovo pravidlo).
2
Elektromechanické přístroje
Obrázek 1. (a, b) magnetoelektrický princip, radiální magnetické pole; (c) Ayrtonů bočník; (d) zapojení voltmetru
ss ampérmetry z principu, pro vícerozsahový lze použít Ayrtonův bočník, požadován nulový vstupní odpor ss voltmetry nutné doplnit předřadný odpor, požadován nekonečný vstupní odpor, obr.1d střídavé přístroje přístroj je nutné doplnit o usměrňovač – obvod využívající diod k získání jednocestně (přerušení proudu obvodem) nebo dvoucestně (nepřerušen proud) usměrněného průběhu, pro dvocestné platí 1T I SA = ∫ i (t ) d t , (6.) T0 jedná se o střední aritmetickou hodnotu, nutné však linearizovat charakteristiku diod předřadným odporem. Přístroj tedy měří stejnosměrnou složku a stupnice bývá lineární. Měření efektivní hodnoty pouze pro harmoniké průběhy, kdy je stupnice cejchována s použitím činitele tvaru KT = 1,11. Pokud nebude harmonický průběh, podělíme hodnotu činitelem tvaru a získáme aritmetickou střední hodnotu.
Obrázek 2. (a,b) V-metr, A-metr s usměrňovačem; (c) linearizace V-A char. diod; (d) přístroj s termočlánkem
přístroje s termočlánky pro měření efektivní hodnoty nezávisle na časovém průběhu, využívá termoměnič (termočlánek s topným vodičem) k převodu střídavého proudu na stejnosměrné napětí. Střídavý proud ohřívá teplý konec a vzniká termoelektrické napětí meřené termočlánkem.
2.2
Elektromagnetické ústrojí
Využívá působení magnetického pole cívky protékané měřeným proudem na feromagnetické tělísko. Jeden pevný a druhý pohyblivý segment spojen s ručkou, cívka magnetuje oba segmetny souhlasně (odpuzují se) ⇒ vyvíjejí pohybový moment, direktivní moment dán pružinami, tlumení je vzduchové, pro pohybový moment platí M p = F ⋅ r ≈ B2 ⋅ r ≈ k p ⋅ I 2 . (7.) Měří efektivní hodnotu, stupnice je nelineární (odmocňuje), použití přístroje omezuje frekvenční pásmo dané vířívými přoudy v konstrukci přístroje. ampérmetry pro změnu rozsahu se používájí odbočky z vinutí, nelze použít bočník ⇒ jiná frekvenční závislost pro každý odpor, jsou citlivé na vnější rušivá magnetická pole voltmetry pro změnu rozsahu se používá sériový RS, zároveň zmenšuje teplotní a frekvenční závislost
Obrázek 3. (a) elektromagnetický princip; (b) elektrodynamický princip; (c) převodník TRUE RMS; (d) násobička
2.3
Elektrodynamické ústrojí
Užívají sil působících mezi pevnou a pohyblivou cívkou, které jsou protékaní proudem. Cívka je vzduchová. Direktivní moment vyvozen spirálovými pružinami přivádějící proud k otočné cívce, tlumení je vzduchové.
3
Měřící převodníky, měření výkonů
Pohybový moment je úměrný proudu otočné cívky I2, konstanta úměrnosti je úměrná magnetické indukci B v mezeře pevné cívky, tedy I1, dle M p = k p ⋅ I1 ⋅ I 2 . (8.) wattmetry pevná cívka je proudová (zapojená v sérii s impedancí Z), otočná napěťová (paralelně k Z), dle k T u P 1 T M p = k p ∫ i1 ⋅ i2 d t = p ∫ iPC NC d t = k p . (9.) T 0 T 0 RNC RNC Stupnice přístrojů je lineární, výsledný výkon dán P = kW α, kde kW je konstanta wattmetru vypočítat ji lze dle U ⋅ I ⋅ (cos ϕ) n kW = n n , (10.) α max kde Un a In je jmen. napěťový a proudový rozsah, (cos φ)n jmenovitá hodnota účiníku a αmax max. výchylka.
3
Měřící převodníky elektrických veličin pro měření napětí a proudu
převodník TRUE RMS blok NS je napěťovýsledovač, první blok násobička realizující uvedený výraz
Obrázek 4. (a) neinvertující U/U s OZ; (b) invertující U/U s OZ; (c) neinvertující U/I s OZ; (c) invertující U/I s OZ obr.4a U 2 = U1 obr.4c I 2 = Obrázek 5. (a) invertující I/U s OZ; (b) invertující I/I s OZ
4
R1 + R2 R1
U1 R1
obr.5a U 2 = − I1 RZV
obr.4b U 2 = −U1
R2 R1
obr.4d I 2 = − I1 =
U1 R1
⎛
obr.5b I 2 = − I1 ⎜⎜1 + ⎝
R2 ⎞ ⎟ R1 ⎟⎠
Měření výkonu a práce elektrického proudu
Okamžitá hodnota výkonu elektrického proudu p(t ) = u (t ) ⋅ i(t ) a střední hodnota výkonu za periodu (činný výon) P, výkon spotřebovaný v zátěži považujeme za kladný, pak 1T 1T P = ∫ p(t ) d t = ∫ u (t ) ⋅ i (t ) d t . (11.) T0 T0 stejnosměrný proud zapojení dle (a) používáme pokud známe odpor voltmetru – častější, (b) pokud neznáme odpor voltmetru, nebo nepotřebujeme korigovat výsledek (odpor amérmetru je zanedbatelný)
Obrázek 6. (a,b) výkon stejnosměrného proudu; (c,d) činný výkon stříd. jednofázového proudu; (e) jalový výkon;
střídavý jednofázový proud význam zapojení je obdobný jako předešlé, ampérmetr je vhodné použít pro kontrolu proudového rozsahu wattmetru, pokud chceme měřit jalový výkon, musíme zpozdit napětí o 90° střídavý trojfázový proud využívá se Blondelův teorém – pro měření celkového činného výkonu v nvodičové soustavě je potřeba minimálně n-1 wattmetrů, měření je správné i pro neharmonické průběhy, užití i1 + i2 + i3 = 0 ⇒ i3 = −(i1 + i2 ) , (12.) Aronova zapojení, platí
4
Měření frekvence a fázového rozdílu
Obrázek 7. (a) čtyřvodičová síť; (b) třívodičová síť; (c) jalový výkon; (d) Aronovo zapojení; (e) jalový výkon;
5
Měření frekvence a času
analogový kmitoměr obr.8c vstupní signál je v tvarovacím obvodu TO uraven na obdélníkový průběh, v monostabil-ním klopném obvodu MKO se vygeneruje obdélníkový puls délky T0, amplitudy UP, pro stejnosměrnou hodnotu platí 1 T 1 T U0 = u d t = (13.) ∫ 3 ∫ U P d t =U P ⋅ T0 ⋅ f x = k ⋅ f x . Tx t =0 Tx t =0 přímé měření frekvence obr.8a,vstupní signál upraven ve vstupním děliči a předzesilovači (VD + PZ), tvarován na pulsy definovanou úroveň v tvarovacím obvodu TO, pulsy jsou čítány po dobu otevření hradla H čítačem, platí N (14.) fx = . T0 Nevhodné pro malé frekvence, kde je malý počet pulsů fx napočítaných v hradle (pro vyšší přesnost by bylo třeba čítat dlouho ⇒ dlouhé otevření hradla). Při nevhodně nastavené komaprační úrovni v TO může dojít ke zkeslení výsledku (časté přepínání – proto je vhodné nejprve osciliskopem zjistit přibližnou a pak čítačem přesnou hodnotu frekvence) x
Obrázek 8. (a) měření frekvence; (b) měř. časového inrevalu; (c) analogový kmitoměr
měření doby periody obr.8b, v obdvodu úpravy signálu OÚS se převede měřený časový interval na délku pulsu, který otevírá hradlo H, po dobu otevření jsou čítány pulsy definované frekvence fN dle N Tx = . (15.) fN Nevhodné pro vysoké frekvence, kde doba otevření hradla je krátká. Problémy působí šum superponovaný na měřený signál. Chybu lze potlačit průměrováním z více period.
6
Měření fázového rozdílu
osciloskop obr.9a, v režimu X-Y, naměříme hodnoty A a B, pak fázový rozdíl je dle ϕ = arcsin
A B
.
Obrázek 9. (a) osciloskop X-Y; (b) elektronický fázoměr; (c) průběhy; (d) číslicový fázoměr
elektronický fázoměr obr.9b, vstupní sinály se tvarují v tvarovacích obvodech TO na obdélníkové průběhy, náběžná hrana spouští MKO generující úzké pulsy v bistabilním klopném obvodu BKO pak tyto pulsy generují obdélník s dobou trvání t0 a periodou T, stejnosměrná složka je úměrná měřenému fázovému rozdílu dle t ϕ 1T 1t (16.) U 0,ϕ = ∫ uϕ (t ) d t = ∫ U P d t =U P 0 = U P = c⋅ϕ . T0 T 0 T 2π 0
5
Měření odporů
t0 = kd ⋅ ϕ . T Chyby způsobují dynamické vlastnosti komparátorů v tvarovacích obvodech.
Pro číslicové zpracování dle obr. platí N = t0 ⋅ f g = t0 ⋅ k n ⋅ f = 360k d
7
(17.)
Měření odporů
Rozlišujeme malé odpory velikost odporu přívodů a přechodových odporů je srovnatelná s nejistotou měření, nutné použít čtyřsvorkové připojení měřeného odporu; velké odpory poměr velikosti parazitních svodových proudů a proudu protékaného měřeným odporem je srovnateelný s relativní nejistotou měření.
Obrázek 10. (a,b) Ohmova metoda; (c) čtyřsvorkové připojení pro malé odpory; (d,e) velké odpory
malé odpory obr.10cpoužívá se čtyřsvorkové zapojení pro potlačení přechodových odporů, úbytek napětí na proudových svorkách A B není měřenpřipojeným milivoltmetrem, měřený odpor je definován mezi svorkami C D, svorky E F jsou v sérii s milivoltmetrem a přechodový odpor vůči vstupnímu odporu lze zanedbat. Termoelektrická napětí potlačíme komutací proudu, úbytkem napětí na odporu vzniká teplo, polarita termoel. napětí je stejná, proto se odečtou dle U − U mV 2 = I ⋅ RX U mV 1 = I ⋅ RX + U t1 − U t 2 , U mV 2 = − I ⋅ RX + U t1 − U t 2 , pak U X = mV 1 (18.) 2 střední odpory používá se Ohmova metoda, nejjednodušší metoda, podle obr.10, zapojení dle (a) používáme v případě že RA <
>RX. velké odpory vyskytují se malé měřené proudy, nutno zemnit, aby se neuplatnil svodový odpor podložky, dle obr. se RSV1 se neuplatní (paralelně ke zdroji napětí), RSV2 se neuplatní pokud nebude úbytek napětí na ampérmetru, pokud bude, nutno korigovat dle
RX =
U R U Z − U pA U Z ⎛⎜ U pA I SV ⎞⎟ 1− = ≈ − IR I pA + I SV I pA ⎜⎝ U Z I pA ⎟⎠
(19.)
převodník R/U pro číslicové multimetry, pro střední a velké odpory (neumožňuje připojit čtyřsvorkově), pro ideální OZ v zapojení dle obr. platí U (20.) R X = − RN 2 Ur sériová srovnávací metoda metoda pro přesná měření malých odporů, nutný je odporový etalon řádově stejný s měřeným se kterým srovnáváme, použít stejný voltmetr se stejným rozsahem (uplatní se jen chyba linearity), platí U (21.) RX = RN RX U RN
Obrázek 11. (a,b) převodník R/U; (c) sériová srovnávací metoda; (d,e) Wheatstoneův můstek
Wheatstoneův můstek vyvážený můstek se používá po velmi přesná měření středních odporů, můstek je napájen mezi body A C, výstup je D B, pak výstup je ⎛ R1 R3 ⎞ ⎟⎟ . − U BD = U AC ⎜⎜ (22.) ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠
6
Měření impedancí
Pro vyvážený můstek je UBD nulové, platí R1 R4 = R2 R3. Měřený odpor zapojíme jako R1 a vyvažujeme dekádou místo R2. V nevyváženém můstku nahradíme odpory hodnotou R0 a pak při změně o ΔR platí pro UBD při napěťovém zdroji ⎛ R + ΔR U U R ⎞ ΔR − 0 ⎟⎟ ⇒ U BD = AC U BD = U AC ⎜⎜ 0 ≈ AC ΔR . (23.) 4 R0 1 + ΔR 4 R0 ⎝ 2 R0 + ΔR 2 R0 ⎠ 2 R0 Pokud je ΔR<<2R0 (ΔR<<4R0 proudové), pak lze nelinearitu zanedbat a lineariovat. Pro proudové napájení pak odvodíme I I ( R + R2 )( R3 + R4 ) 2 R0 + ΔR ΔR U AC = I Z 1 = IZ ⇒ U BD = Z ≈ Z ΔR . (24.) R Δ 2 R1 + R2 + R3 + R4 4 4 1+ 4 R0 Pro větší změny odporu je nutné použít linearizované zapojení dle obr.11e pak platí ΔR UZ /2 U −UZ /2 ⇒ U 2 = −U Z . (25.) =− 2 R0 R0 + ΔR 2 R0
8
Měření impedancí
Kelvin – Varleyovů indukční dekadický dělič pro vyvažování fázově citlivých detektorů v řízeném usměrňovači,
Obrázek 12. (a) indukční dělič; (b) transfomátorový můstek
transformátorové můstky snažíme se nastavit proměnnou impedanci tak, aby indikátorem vyvážení neprotékal proud, na obr. je diferenční transformátor T2 a indukční dělič T1, ten umožňuje vyvažovat obě složky Y, platí podmínka vyváženosti nX I X = nC I C + nG I G , (26.) pak po dosazení dle obr. dostaneme nX U X (GX + j ωCX ) = nG U G GN + nC U C j ωC N . (27.) Pokud uvažujeme poměr napětí k počtu závitů následovně UX/UC = NX /NC a UX/UG = NX /NG, pak po N n N n CX = C C C N a GX = G G GN (28.) úpravách platí N X nX N X nX převodník impedance/fázor napětí zapojení dle obr. (a) lze použít pro měření prvků sériového náhradního schématu cívky, jedná se o invertující zesilovač, zapojení (b) pak pro měření parametrů paralelního náhradního schématu kondenzátoru, v obou zapojeních lze použít třísvorkové připojení meřené impedance (admitance), parazitní kapacity se neuplatní (viz. velké odpory z kapitoly 6)
Obrázek 13. (a) převodník Z/U, Y/U; (b) stínění měřené impedance
[1.] [2.] [3.] [4.]
Haasz V., Sedláček M. Dufek M., Fajt V. Muilinovský F. Kašpar P., kolektiv
Elektrická měření – Přístroje a metody Elektrická měření I, II Elektrické měřící methody Přednášky a cvičení z X38EMC
ČVUT Praha 2003 ČVUT Praha 1972 TVV Praha 1951 Praha 2004
