TAALFILOSOFIE Overkoepelende vraag:
WAT IS BETEKENIS?
GOTTLOB FREGE (1848 – 1925) Uitvinder moderne logica Vader van de taalfilosofie
FREGE BEGRIFFSCHRIFT (1879) Bevat moderne propositie en predicaten-logica
FREGE Syllogistiek van Aristoteles (384 - 322 v. Chr.) 1.Alle mensen zijn sterfelijk. 2.Socrates is een mens. 3.Socrates is sterfelijk.
FREGE Problemen: ontoereikend De Stoa: 1.Als de zon aan de hemel staat, is het dag. 2.De zon staat aan de hemel. 3.Het is dag.
FREGE Ontoereikend: Meerdere quantificaties in één zin Alle jongens houden van sommige meisjes. Relationele beweringen – Als A groter is dan B. En B is groter dan C. Dan is A groter dan C.
FREGE ONTOEREIKEND: Grammatische vorm correspondeert niet altijd met logische structuur. Ajax verslaat Feijenoord. Feijenoord wordt door Ajax verslagen.
FREGE Aristoteliaanse analyse van het oordeel: S is P 1.Subjectsterm 2.Copula 3.Predicaat
FREGE Copula heeft bij Aristoteles dubbelfunctie: 1.Verbindt subjectsbegrip met predicaat. 2.Drukt assertieve kracht uit (‘Deze uitspraak is waar!’)
FREGE Nieuwe analyse van het oordeel Beoordeelbare inhoud (Gedanke) Inhoudsstreep: – P Waar of onwaar? Oordeels-streep |- P
FREGE Beoordeelbare inhoud is op te vatten als een wiskundige functie. f(x) = x2 of (…) 2 Door in de functie een argument in te voeren krijgt de functie een waarde.
FREGE Predicaten zijn op te vatten als (propositionele) functies. Namen als argumenten. Waar of onwaar zijn de waarden (waarheidswaarden)
FREGE ‘… is filosoof’ (unsaturated) ‘Socrates’ als argument toevoegen. ‘Socrates is filosoof’ is ‘saturated’, en heeft als waarde waar.
FREGE Waarom Begriffschrift? Reden: spreektaal is onvolmaakt, maar juist in die onvolmaakte spreektaal worden de definities van de exacte wiskunde gegeven!
FREGE Waarom Begriffschrift? Wat is het verschil met Leibniz’ calculus ratiocinator? Niet slechts formele calculus, maar ook inhoud.
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) “Is het geen schandaal dat wiskundigen zo onhelder zijn over één van hun belangrijkste objecten, namelijk het getal?”
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) Drie beginselen: 1.Anti-pyschologisme 2.Context-beginsel 3.Concepten zijn geen objecten
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) Wat is de status van wiskundige beweringen? Analytisch Synthetisch
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) Analytisch: het predicaatsbegrip voegt niets aan het subjectsbegrip toe A=A Een vrijgezel is een ongehuwde man
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) Synthetisch: het predicaatsbegrip voegt wel iets aan het subjectsbegrip toe Alles wat gekleurd is, is uitgebreid in de ruimte. Een vrijgezel is een ongehuwde man.
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) A priori: de uiteindelijke rechtvaardiging voor een oordeel berust niet op de waarneming. A posteriori: de uiteindelijke rechtvaardiging voor een oordeel berust wel op de waarneming.
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) Vier oordeelsvormen: Analytische oordelen a priori Analytische oordelen a posteriori Synthetische oordelen a priori Synthetische oordelen a posteriori
FREGE Status van wiskundige uitspraken? Leibniz: Analytische oordelen a priori Kant: Synthetische oordelen a priori John Stuart Mill Synthetische oordelen a posteriori
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884)§ 62: “How, then, are numbers to be given to us, if we cannot have any ideas or intuitions of them? Since it is only in the context of a proposition that words have any meaning, our problem becomes this: to define the sense of a proposition in which a number word occurs.”
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884)§ 62: Getallen zijn objecten, abstracte objecten. (i.e. een syntactische definitie van wat getallen zijn! Linguïstisch idealisme!)
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) p. 87: 0 is het getal dat behoort tot het begrip ‘niet identiek met zichzelf’
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) p. 89: Opvolgersrelatie: Er bestaat een begrip F, en een object dat valt onder dit begrip x, zodanig dat het getal dat behoort tot het begrip F is n en het getal dat behoort tot het begrip ‘vallend onder F maar niet identiek met x’ is m.
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) 0 is het getal dat behoort tot het begrip niet-zelf-
identiek 1 is het getal dat behoort tot het begrip identiek met
nul, 2 is het getal dat behoort tot het begrip identiek met
0 of 1, 3 is het getal dat behoort tot het begrip identiek met
0, 1, of 2.
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) Er bestaat een begrip identiek met nul, en een object dat valt onder dit begrip, nul, zodanig dat het getal dat behoort tot het begrip identiek met nul is 1, en het getal dat behoort tot het begrip ‘identiek met nul maar niet identiek met nul’ is 0.
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) Funktion und Begriff, Über Sinn und Bedeutung, Über Begriff und Gegenstand (1891-2) Grundgesetze der Arithmetik I (1893) Grundgesetze der Arithmetik II (1903) Logische Untersuchungen (1918)
FREGE Grundgesetze der Arithmetik Logicisme: De theorema’s van de wiskunde worden bewezen door ze te herleiden tot een paar logische axioma’s (Grundgesetze) met behulp van te voren vastgestelde inferentie-regels.
FREGE Grundgesetze der Arithmetik 2+2 2x2 √16 9–5 Nota bene: getallen zijn objecten!
FREGE Grundgesetze der Arithmetik In een ideale taal verwijzen alle termen. We moeten een onderscheid maken tussen aanduidingen van getallen (‘namen’) en die getallen (objecten) zelf.
SINN EN BEDEUTUNG Woord
(taal) Sinn
(Art des Gegebenseins/mode of presentation)
(begrippen) Bedeutung
(objecten/eigenschappen)
Ontologie
FREGE Grundgesetze der Arithmetik De Sinn van een woord bepaalt de Bedeutung.
FREGE Über Sinn und Bedeutung Toepassing van Sinn – Bedeutung onderscheid op ‘gewone’ talen. Probleem: kan dit of heeft Frege altijd ideale wetenschappelijke talen in zijn achterhoofd?
FREGE Grundgesetze der Arithmetik I (1893) Grundgesetze der Arithmetik II (1903) Logische Untersuchungen (1918)
FREGE Grundgesetze der Arithmetik I 16 juni 1902 – brief van Russell. De verzamelingstheoretische paradox
FREGE Niemand zal willen beweren dat de verzameling mannen zelf een man is. We hebben hier een verzameling die niet tot zichzelf behoort. Ik zeg dat iets behoort tot een verzameling indien het onder het begrip valt waarvan de extensie de verzameling is. Laten we ons nu richten op het begrip: de verzameling die niet tot zichzelf behoort.
FREGE De extensie van dat begrip (…) is dus de verzameling van verzamelingen die niet tot zichzelf behoren. Laten we die de verzameling C noemen. Laten we ons nu afvragen of deze verzameling tot zichzelf behoort. Laten we, ten eerste, aannemen dat dit het geval is. Als iets behoort tot een verzameling, valt het onder het begrip waarvan de extensie de verzameling is.
FREGE Dus als onze verzameling tot zichzelf behoort, is het een verzameling die niet tot zichzelf behoort. Onze eerste aanname leidt dus tot een zelf-contradictie. Laten we, ten tweede, aannemen dat onze verzameling C niet tot zichzelf behoort; dan valt het onder het begrip waarvan het zelf de extensie is, en behoort het dus niet tot zichzelf. Opnieuw krijgen we op dezelfde manier een zelfcontradictie.
FREGE Frege aan Russell – 22 juni 1902. “Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich auf’s Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik sich aufzubauen dachte, in’s Wanken geräth.”
FREGE Grundlagen der Arithmetik (1884) Funktion und Begriff, Über Sinn und Bedeutung, Über Begriff und Gegenstand (1891-2) Grundgesetze der Arithmetik I (1893) Grundgesetze der Arithmetik II (1903) Logische Untersuchungen (1918)
