OBSAH
TROJÚHELNÍKU 1 hodina
Opakování: obvod trojúhelníku
Obsah trojúhelníku: P iprav si op t papír a n žky. Na papír si narýsuj libovolný rovnob žník (nap . kosodélník) ABCD a vyzna si v n m jednu úhlop í ku:
Nyní si rovnob žník rozst ihni podle úhlop í ky na dva trojúhelníky ABC a ACD:
? Uchop oba trojúhelníky ABC a ACD a p elož je na sebe! Co o nich m žeš íci ? Oba trojúhelníky se vzájemn p ekrývají, jsou proto shodné ? Podle jaké v ty jsou oba trojúhelníky shodné ? Podle v ty sss – oba se shodují ve všech svých stranách:
AD
BC
prot jší strany rovnob žníku jsou shodné
AB
CD
prot jší strany rovnob žníku jsou shodné
AC- úhlop í ka spole ná ob ma trojúhe ln ík m ABC
ACD
? Jaké jsou obsahy obou trojúhelník ? Stejné, jedná se o shodné trojúhelníky (p ekrývají se), mají tedy stejné obsahy ? Ur i obsah libovolného trojúhelníku ? Využiješ toho, že sou et obsah trojúhelník ABC a ACD je roven obsahu rovnob žníku a dále pak toho, že obsahy obou trojúhelník jsou shodné: S ABC 2.S ABC S ABC
S ACD
S ABCD
/ S ABC
S ABCD
S ACD
/: 2
S ABCD 2
? Jak spo teš obsah rovnob žníku ? S ABCD ? Jak tedy spo teš obsah trojúhelníku ? S ABC
a.v a
b.vb
S ABCD 2
a.v a 2
ZAPAMATUJ SI: Obsah trojúhelníku se rovná polovin sou inu délky strany trojúhelníku a výšky p íslušné k této stran . S ABC
a.v a 2
b.v b 2
c.vc 2
Úkol: Narýsuj si libovolný trojúhelník ABC a vyzna si v n m výšku vc na stranu c. Jednoduchou konstrukcí se pokus ukázat, že pro obsah trojúhelníku skute n platí vztah: c.vc S 2
Trojúhelník ABC si dopl nap íklad užitím st edové soum rnosti na rovnob žník ABCD:
? Jak spo teš obsah rovnob žníku ABCD ? S c.v c ? Co platí pro trojúhelníky ABC a ACD, ze kterých se rovnob žník skládá ? Jsou shodné (sss) a mají tedy stejné obsahy ? Ur i obsah trojúhelníku ABC ?
S ABC
S ABCD 2
c.vc 2
CVI
ENÍ
Nejprve si zkus sám spo ítat obsahy a obvody trojúhelník , poté si své výsledky, pop ípad ešení zkontroluj s mým, které je uvedeno za zadáním cvi ení. Hodn zdaru!
Úloha 1: Narýsuj si libovolný trojúhelník ABC a vyzna si v n m výšku vb na stranu b. Jednoduchou konstrukcí se pokus ukázat, že pro obsah trojúhelníku skute n platí vztah: b.vb S 2 Úloha 2: Narýsuj si na papír dva shodné trojúhelníky . Na jednom z nich si vyzna výšku va na stranu a. P ilož je k sob tak, aby si ihned mohl íci, že pro obsah trojúhelníku ABC platí: a.v a S 2 Úloha 3 (obtížná): Narýsuj si na papír libovolný trojúhelník ABC a vyzna v n m st ední p í ky (spojnice st ed stran trojúhelníku) A1 B1 // AB; B1C1 // BC; A1C1 // AC . Vzniknou Ti tak ty i shodné trojúhelníky AC1 B1 ; C1 BA1 ; B1 A1C ; B1 A1C1 . Vhodným p emíst ním jednoho c.v c z t chto trojúhelník ukaž, že pro obsah trojúhelníku platí nap . vztah S ABC 2 Úloha 4: Vypo ti obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno:
a) AB
9cm; vc
b) AC
4,5cm; v a
c) a
0,1dm; v a
d )b
7cm; v a
4,5cm 6cm; vb
50mm
150mm 6cm
Úloha 5: Vypo ítej obsah pravoúhlého trojúhelníku ABC, jsou-li dány délky odv sen: a) AC b) a
6cm; AB 25mm; b
8cm
37 mm
Úloha 6: Ur ete délku strany trojúhelníku ABC, je-li dáno: a) S
76dm 2 ; v a
8dm
b )v c
160mm; S
1,76dm 2
Úloha 7: Ur ete výšku p íslušnou ke stran trojúhelníku, je-li dáno: a) S
102cm 2 ; b
b) a
15dm; S ¨9000cm 2
12,75cm
Úloha 8: Vypo t te S 75cm 2 ; v 10cm
obvod
rovnostranného
trojúhelníku
ABC,
je-li
dáno:
Úloha 9: Vypo ítej obsah rovnob žníku, který vznikne složením dvou stejných trojúhelník , pro které platí: b 9,5cm; vb 0,06m Úloha 10: Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB. Vypo t te jeho obsah, jeli dáno: o ABC 36cm; BC 10cm; v c 6cm Úloha 11: Vypo ítej obsahy trojúhelník zakreslených v centimetrové tvercové síti:
Úloha 12: Vypo ítej obsah vybarvené ásti obdélníku (zadané údaje jsou v centimetrech):
Úloha 13: a) Vypo ítej obsah vybarvené ásti obdélníku (zadané údaje jsou v centimetrech): b) Vypo ítej obsah nevybarvené ásti obdélníku
S je st ed CD Z je st ed AD X je st ed AB Y je st ed XB
EŠENÍ ÚLOH, NÁPOV DA K ÚLOHÁM Úloha 1: Trojúhelník ABC doplním nap . užitím st edové soum rnosti na rovnob žník ABDC.
S ABCD
b.vb
S ABC
S ABCD 2
b.vb 2
Úloha 2:
S ABC
a.v a 2
Úloha 3: Pokus se žlut vyzna ený trojúhelník p emístit tak, abys dostal rovnob žník:
Dostal jsi tedy rovnob žník ABXB1. Zamysli se, co platí pro jeho výšku (pokud nevíš, porovnej velikost p vodní výšky vc a výšky v´). Pokud to víš, není pro Tebe problém spo ítat obsah rovnob žníku ABXB1 a tedy i obsah trojúhelníku ABC:
S ABXB1
Úloha 4:
S ABC
c.v´ c.
vc 2
c.v c 2
a) AB .vc
S
2 9.4,5 2 cm 2 20, 25cm 2
S S
c.v c 2
b) AC .vb
S
2 4,5.5 2 cm 2 11,25cm 2
S S
c)
S S S
c.v b 2
a.v a 2 10.15 2 cm 2 75cm 2
d) Ze zadaných údaj (b, va) nelze obsah trojúhelníku spo íst Úloha 5: Odv sny pravoúhlého trojúhelníku jsou k sob kolmé, jedna z nich tedy p edstavuje základnu, druhá pak výšku pravoúhlého trojúhelníku. Platí tedy: a)
S S S b)
S S S Úloha 6:
AC . AB 2 6.8 2 cm 2 24cm 2
a.b 2 25.37 mm 2 2 462,5mm 2
z.v 2 2.S z.v 2.S z v S
a)
z
a
/.2 /:v
2.S va
2.76 dm 8 a 19dm a
b)
z c c Úloha 7:
c
2.176 16 22cm
z.v 2 2.S z.v 2.S v z S
a) vb vb vb
b)
va vb vb
2.S vc
/.2 /:z
2.S b 2.102 cm 12,75 16cm
2.S a 2.90 dm 15 12dm
Úloha 8: Ur it víš, že v rovnostranném trojúhelníku jsou velikosti všech stran a výšek stejné. Proto není v zadání up esn no, na kterou stranu je výška zadána. Nejprve si spo teme stranu rovnostranného trojúhelníku a poté jeho obvod:
z.v 2 2.S z v 2.75 z cm 15 z 10cm
S
o
3. z
o
3.10cm
o
30cm
Úloha 9: Nejprve si spo teme obsah trojúhelníku: b.vb S 2 9,5.6 2 S cm 2 S 28,5cm 2 Poté využijeme toho, že rovnob žník je tvo en dv ma shodnými trojúhelníky (oba mají stejné obsahy): S ROVNOB ŽNÍKU 2.S TROJÚHELNÍKU
S ROVNOB
ŽNÍ KU
2.28,5cm 2
S ROVNOB
ŽNÍ KU
57cm 2
Úloha 10: Nejprve si spo teme délku strany (základny) AB. Využijeme p itom poznatku, že ramena AC, BC rovnoramenného trojúhelníku ABC jsou shodná. Platí tedy: o ABC
AB
AC
36
AB
10 10
36
AB
20
AB
BC / - 20
36 20 16cm
Nyní již m žeme spo ítat obsah trojúhelníku ABC:
S S S
AB .vc 2 16.6 2 cm 2 48cm 2
c.v c 2
Úloha 11: V jednotlivých trojúhelnících máš barevn zazna ené výšky:
z.v 2 z.v 2 z.v 2
S1 S2 S3 Úloha 12:
S S S S
4.3 6cm 2 2 2.3 3cm 2 2 3.5 7,5cm 2 2
z.v 2 10 4 .6 2 cm 2 14.6 2 cm 2 42cm 2
Úloha 13: a) Nejprve si vyjád íme délky jednotlivých úsek : 1 DS XB AX 6 3cm 2 1 DZ BC 6cm 2 1 1 XY XB 3 1,5cm 2 2 AY AX XY 3 1,5 4,5cm
Poté si spo teme obsahy obou žlut vybarvených trojúhelník :
S DZS S AYC
DS . DZ
3. 6 2 2 z.v AY . BC 2 2
9cm 2 4,5.12 2
27cm 2
Nakonec si spo teme celkový obsah žlut vybarvené ásti obdélníku: S S DZS S AYC
S
9 27
36cm 2
b) Nejprve si spo teme obsah obdélníku: S ABCD
AB . BC
S ABCD
12.6cm 2
S ABCD
72cm 2
Poté od obsahu obdélníku S ABCD ode teme obsah žlut vybarvené ásti S:
S´ S ABCD S´ 72 36 S´ 36cm 2
S
