Vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´ eg a bin´ aris tomogr´ afi´ aban⋆ Varga L´ aszl´o⋆⋆ , Bal´azs P´eter, Nagy Antal K´epfeldolgoz´ as ´es Sz´ am´ıt´ og´epes Grafika Tansz´ek Szegedi Tudom´ anyegyetem ´ ad t´er 2. 6720, Szeged, Arp´ [vargalg,pbalazs,nagya]@inf.u-szeged.hu
Absztrakt. Munk´ ank sor´ an egy bin´ aris tomogr´ afiai rekonstrukci´ os algoritmus vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg´et vizsg´ altuk. C´elunk annak az eld¨ ont´ese volt, hogy a rekonstrukci´ ok min˝ os´ege jav´ıthat´ o-e puszt´ an a vet¨ uletek k´epz´es´ehez haszn´ alt ir´ anyok helyes megv´ alaszt´ as´ aval ´es ha igen, milyen m´ert´ek˝ u javul´ as ´erhet˝ o el az ´ altal. Vizsg´ alatainkhoz egy k´epi tesztadatb´ azis elemein v´egezt¨ unk k´ıs´erleteket, azok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o vet¨ ulethalmazaikb´ ol val´ o rekonstru´ al´ as´ aval. A tesztek futtat´ asa ut´ an az eredm´enyeket k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m´ odszerekkel elemezt¨ uk. Eredm´enyeink f´eny´eben egy lehets´eges alkalmaz´ ast is javaslunk a nem-roncsol´ o tesztel´es t´emak¨ or´eben.
1.
Bevezet´ es
A transzmisszi´ os tomogr´ afia c´elja t´ argyak bels˝o szerkezet´enek vet¨ uletekb˝ol t¨ ort´en˝o rekonstru´ al´ asa. A gyakorlatban ez leggyakrabban u ´gy t¨ ort´enik, hogy egy szkennerben a vizsg´alt t´ argyat valamilyen sug´ arz´ asnak teszik ki ´es adott u ´ tvonalak ment´en m´erik az ´ athalad´o sug´ arz´ as gyeng¨ ul´es´et. A m´ert adatok alapj´an becs¨ ulni lehet a t´ argy ¨ osszs˝ ur˝ us´eg´et a kereszt¨ ulhalad´o sugarak u ´tvonala ment´en. Az ´ıgy kapott inform´aci´ ot felhaszn´alva k¨ ul¨onb¨ oz˝o sz´am´ıt´og´epes algoritmusok seg´ıts´eg´evel rekonstru´ alhat´ o a t´ argy bels˝o szerkezete. ´ Altal´ anos esetben a feladat egyszer˝ uen megoldhat´o a sz˝ urt visszavet´ıt´es m´odszer´evel, ami hat´ekonyan ´es gyorsan k´epes a t´ argyak rekonstrukci´oj´ ara, felt´eve hogy megfelel˝o mennyis´eg˝ u (´ altal´ aban t¨ obb sz´az) vet¨ ulet ´all rendelkez´esre. Sajnos el˝ ofordulhat, hogy a nagy sz´ am´ u vet¨ ulet haszn´alata elfogadhatatlan, mivel a vet¨ uletek k´epz´ese nagy k¨olts´eggel j´arhat, vagy roncsolhatja a vizsg´alt objektumot. Ilyen esetekben a sz¨ uks´eges vet¨ uletek sz´am´ anak minimaliz´al´asa is fontos szempont. A diszkr´et tomogr´ afi´aban [5, 6] felt´etelezz¨ uk, hogy a vizsg´alt t´ argy csak n´eh´ any, ismert anyagb´ ol ´ all ´es ezzel az el˝ozetes inform´aci´ oval el´erhetj¨ uk, hogy a rekonstrukci´ ohoz kev´es (´ altal´ aban 2-8) vet¨ ulet is elegend˝o legyen. A kis sz´am´ u vet¨ ulet haszn´alat´ab´ol azonban ad´odik, hogy a vet¨ uletek megv´ alaszt´asakor nagy szabads´ag ´ all rendelkez´esre. ⋆
⋆⋆
A cikk eredm´enyei az al´ abbi publik´ aci´ oban jelentek meg: Varga, L., Bal´ azs, P., Nagy, A.: Direction-dependency of a binary tomographic reconstruction algorithm, Lecture Notes in Computer Science vol. 6026 (2010) 242–253. Kapcsolattart´ o
Vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg a bin´ aris tomogr´ afi´ aban
93
Jelen cikk¨ unkben arra keress¨ uk a v´alaszt, hogy a vet¨ uleti ir´anyok megv´ alaszt´ asa milyen m´ert´ekben befoly´ asolja a rekonstrukci´o eredm´eny´et diszkr´et tomogr´ afia eset´en, valamint hogy lehets´eges-e a rekonstrukci´o min˝os´eg´et puszt´an a megfelel˝o vet´ıt´esi ir´ anyok megv´ alaszt´as´aval jav´ıtani. Vizsg´ alatainkhoz nagy sz´ am´ u k´ıs´erletet v´egezt¨ unk egy bin´aris k´epi adatb´azis elemeinek k¨ ul¨onb¨ oz˝o vet¨ ulethalmazaikb´ ol val´ o rekonstru´ al´as´aval, valamint az ´ıgy kapott eredm´enyek ki´ert´ekel´es´evel. A cikk a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ep¨ ul fel. A 2. fejezetben ismertet¨ unk egy modellt a diszkr´et tomogr´ afia feladat´ anak formaliz´al´as´ara, ´es le´ırunk egy algoritmust annak megold´as´ ara. A 3. fejezetben r´eszletesebben bemutatjuk a vizsg´alatokhoz haszn´alt keretrendszert. A 4. fejezetben ismertetj¨ uk a vizsg´alatokhoz felhaszn´alt tesztadatokat ´es numerikus eszk¨ oz¨oket, majd az 5. fejezetben p´eld´ akkal al´at´ amasztva r´eszletesen le´ırjuk az eredm´enyeinket. A 6. fejezetben felv´azoljuk a vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg egy lehets´eges alkalmaz´as´at a nem-roncsol´ o tesztel´esben. V´eg¨ ul a 7. fejezetben ¨ osszefoglaljuk az eredm´enyeinket ´es megeml´ıt¨ unk n´eh´any tov´abbl´ep´esi lehet˝ os´eget.
2.
Diszkr´ et tomogr´ afia
Munk´ ank sor´an a 2-dimenzi´ os bin´aris transzmisszi´ os tomogr´afia ter¨ ulet´en v´egezt¨ unk vizsg´alatokat. A probl´ema a k¨ovetkez˝ok´eppen formaliz´alhat´o. Adott egy ismeretlen f : R2 → {0, 1} f¨ uggv´eny, amit vizsg´alunk. Az f f¨ uggv´enyr˝ ol nem rendelkez¨ unk k¨ozvetlen inform´aci´ oval, viszont m´erni tudjuk annak integr´aljait adott vet´ıt´esi sugarak ment´en. A vet¨ uleti ´ert´ekek kisz´ am´ıt´as´at a Radon-transzform´ aci´ o ´ırja le, az Z ∞ [Rf ](α, t) = f (t cos(α) − q sin(α), t sin(α) + q cos(α)) dq (1) −∞
k´eplettel. A fenti k´epletben α ´es t a vet´ıt´es sugarak ir´ any´at ´es orig´ot´ol vett t´ avols´ag´at adj´ak meg, a q v´altoz´ o pedig a vet´ıt´esi sug´ ar egyenes´enek param´etere. A feladat egy olyan f ′ f¨ uggv´eny meghat´aroz´asa, amely az eredeti f f¨ uggv´ennyel megegyez˝o vet¨ uletekkel rendelkezik a meghat´arozott ir´ anyokban. Ide´alis esetben – amikor minden (α, t) p´ aroshoz tartoz´o [Rf ](α, t) ´ert´ek rendelkez´esre ´ all – a feladat egyszer˝ uen megoldhat´o matematikai m´odszerekkel. Sajnos a gyakorlatban egy sz´am´ıt´og´epes implement´ aci´ oban csak v´eges sz´am´ u ´ert´eket tudunk kezelni, ´ıgy mind a vet¨ uletek, mind a rekonstru´ aland´o f¨ uggv´eny reprezent´ al´ as´ ara diszkretiz´ alt modellt kell alkalmaznunk. A tov´abbiakban felt´etelezz¨ uk, hogy a rekonstru´ aland´o f f¨ uggv´eny v´eges tart´ ohalmaz´ u, ´es konstans ´ert´eket vesz fel minden, a k´et dimenzi´ os eg´esz r´acs ´altal meghat´arozott egys´egn´egyzeten. Form´alisan, f (u + a, v + b) = f (u + c, v + d); u, v ∈ Z; a, b, c, d ∈ [0, 1).
(2)
Feltessz¨ uk tov´abb´a, hogy egy vet¨ ulet v´eges sz´am´ u, p´ arhuzamos vet´ıt´esi sug´ arhoz tartoz´o m´ert ´ert´ekb˝ ol ´all. Az (1) k´eplet jel¨ol´es´et haszn´alva egy vet¨ ulet
94
Varga L´ aszl´ o, Bal´ azs P´eter, Nagy Antal
azonos α ir´ anyokkal meghat´arozott, vonal menti integr´alokb´ ol ´all, amelyek t param´eter´ere n √ o t ∈ k + 0.5 | k ∈ N, |k + 0.5| ≤ n/ 2 (3)
teljes¨ ul, felt´eve hogy a koordin´atarendszer k¨oz´eppontja a k´ep k¨ozep´ere van helyezve. Inform´ alisan, az ´ıgy megadott param´eterekkel le´ırt vet¨ uletek egym´ ast´ ol egys´egnyi t´ avols´agra elhelyezett vet´ıt´esi sugarakat tartalmaznak u ´ gy, hogy az ir´ any m´odos´ıt´ as´ ara haszn´alhat´o forgat´ asi k¨oz´eppont k´et vet´ıt´esi sug´ ar k¨oz¨ott f´el´ uton van elhelyezve. A fenti megk¨ ot´eseket haszn´alva a feladat felfoghat´o egy diszkr´et k´ep v´eges sz´ am´ u vet¨ uleti ´ert´ekb˝ ol t¨ ort´en˝o rekonstrukci´ojak´ent, ´es a rekonstrukci´os probl´ema reprezent´alhat´ o egy Ax = b,
2
A ∈ Rn
×m
2
, x ∈ {0, 1}n , b ∈ Rm
(4)
alak´ u egyenletrendszerrel, ahol – x ismeretlen vektor reprezent´ alja a rekonstru´ aland´o k´ep k´eppontjainak sorozat´ at, – b tartalmazza a m´ert vet¨ uleti ´ert´ekek vektor´at, – A le´ırja a k´eppontok ´es vet¨ uleti ´ert´ekek k¨oz¨otti kapcsolatot az´altal, hogy minden ai,j megadja az i. vet´ıt´esi sug´ ar j. k´epponton bel¨ ul halad´o szakasz´ anak hossz´ at. A rekonstrukci´ os probl´ema egyenletrendszerrel t¨ ort´en˝o modellez´es´et illusztr´alja az 1. ´ abra.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
x15
x16
Detector ai,j
xj ai+1,j
bi bi+1
Source
1. ´ abra: A rekonstrukci´ os probl´ema egyenletrendszerrel t¨ ort´en˝ o reprezent´ al´ asa.
Hab´ ar a kapott modell j´ ol defini´alja a rekonstrukci´o probl´em´ aj´ at, a feladat eg´esz´ert´ek˝ u mivolt´ ab´ol ad´od´oan egy megold´as megtal´al´asa igen neh´ez lehet. Tov´abb nehez´ıti a feladatot, hogy a diszkr´et tomogr´afi´aban ´altal´ aban csak kis sz´ am´ u vet¨ ulet ´ all rendelkez´esre a rekonstrukci´ohoz. ´Igy a kapott egyenletrendszer alulhat´arozott, ´es az esetleges m´er´esi hib´ak miatt m´eg inkonzisztens is lehet. A felmer¨ ult probl´em´ ak megold´as´ ara a gyakorlatban k´et megk¨ ozel´ıt´est haszn´alnak. Az egyik lehets´eges m´odszer, hogy iterat´ıv algoritmusok seg´ıts´eg´evel k¨ozel´ıtj¨ uk az egyenletrendszer egy folytonos megold´as´at, majd a kapott eredm´enyt valamilyen m´odszerrel diszkretiz´ aljuk. Az ´ıgy kapott algoritmusok az u ´ gy nevezett
Vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg a bin´ aris tomogr´ afi´ aban
95
Algebrai Rekonstrukci´ os Technika (Algebraic Reconstruction Technique - ART) k¨ ul¨onb¨ oz˝o v´altozatai [2, 4, 7]. A rekonstrukci´ os m´odszerek m´asik nagy csoportja visszavezeti a rekonstrukci´ os probl´em´ at egy 2 C(x) = kAx − bk2 + λ · g(x) (5) alak´ u energiaf¨ uggv´ennyel fel´ırt energia-minimaliz´al´asi feladatra, ahol A, b, ´es x a (4) egyenletrendszerben megadottaknak felelnek meg, g(x) pedig egy f¨ uggv´eny, ami a rekonstru´ aland´o k´epre vonatkoz´o el˝ozetes inform´aci´ ot reprezent´ al, valamely λ s´ ullyal. Ebben az esetben, a megfelel˝o energiaf¨ uggv´eny fel´ır´ asa ut´an a rekonstrukci´ o megoldhat´o k¨ ul¨onb¨ oz˝o optimaliz´ al´o m´odszerekkel, mint p´eld´ aul genetikus algoritmusokkal vagy szimul´alt h˝ ut´essel [1, 8, 10]. Vizsg´ alataink sor´an a rekonstrukci´okat a [10]-ben megadott algoritmussal v´egezt¨ uk. Az eml´ıtett algoritmus D.C. programoz´ ast (egy numerikus m´odszer konvex f¨ uggv´enyek k¨ ul¨onbs´eg´enek minimaliz´al´as´ara) alkalmaz, egy 2
Jµ (x) :=
kAx − bk22
n 2 γX X 1 + (xj − xl )2 − µ hx, x − ei , x ∈ [0, 1]n (6) 2 j=1 2 l∈N4 (j)
alak´ u energiaf¨ uggv´eny minimaliz´al´as´ara. A fenti k´epletben N4 (j) a j. k´epponttal 4 szomsz´eds´ agban ´ all´o k´eppontok halmaz´at jel¨oli, a γ konstans az energiaf¨ uggv´enyben szerepl˝ o simas´ agi felt´etel s´ uly´at hat´arozza meg ´es e jel¨oli a csupa 1 ´ert´ekeket tartalmaz´ o konstans vektort. Az optimaliz´ al´asi folyamat elej´en a binariz´al´ o tag s´ uly´at meghat´aroz´o µ param´eter ´ert´eke 0, ´ıgy a kezdeti energiaf¨ uggv´eny minimuma a legjobb folytonos megold´as lesz. A k´es˝obbiekben a µ param´eter ´ert´eke ciklikusan egy µ∆ ´ert´ekkel emelkedik, ´ıgy az energiaf¨ uggv´eny optimuma fokozatosan egy bin´ aris megold´as fel´e tol´ odik. A fenti algoritmus t¨ obb szempontb´ol is megfelel a c´eljainknak, mivel: – determinisztikus, ´ıgy a v´eletlen nem befoly´ asolja a rekonstrukci´o eredm´eny´et, – kev´es vet¨ ulet eset´en is megb´ızhat´o ´es pontos rekonstrukci´okat szolg´ altat, – alkalmas p´ arhuzamos implement´ aci´ ora, ´ıgy a modern hardverek fel´ep´ıt´es´et kihaszn´ al´ o p´ arhuzamos megval´os´ıt´asa nagy sz´am´ u teszt elv´egz´es´et teszi lehet˝ ov´e, viszonylag r¨ovid id˝o alatt. Az eml´ıtett m´odszerre a k´es˝obbiekben egyszer˝ uen DC algoritmusk´ent fogunk hivatkozni.
3.
A rekonstrukci´ ok param´ eterei
A DC rekonstrukci´ os algoritmus param´etereit f˝ok´ent a [14] alapj´an adtuk meg, ´ıgy p´eld´ aul a γ = 0.25 be´ all´ıt´ ast haszn´altuk. A param´eterez´esben t¨ ort´ent egyetlen elt´er´es, hogy a µ∆ rekonstrukci´onk´enti dinamikus kisz´ am´ıt´asa helyett egy el˝ ore meghat´arozott µ∆ = 0.1 ´ert´eket haszn´altuk, a programok egyszer˝ u ´es hat´ekony m˝ uk¨ od´ese miatt.
96
Varga L´ aszl´ o, Bal´ azs P´eter, Nagy Antal
A tesztk´epek rekonstrukci´ oit k¨ ul¨onb¨ oz˝o sz´amoss´ag´ u vet¨ ulethalmazokkal v´egezt¨ uk. Minden S vet¨ ulethalmaz eset´eben a vet¨ uletk´epz´eshez felhaszn´alt ir´ anyok egyenletes k¨oz¨onk´ent lettek elhelyezve egy f´elk¨or¨on, a k¨ovetkez˝o m´odon S(α, p) = {90◦ + α + i
180◦ | i = 0, . . . , p − 1} , p
(7)
ahol a p (vet¨ uletek sz´ ama) ´es az α (kezd˝osz¨ og) el˝ore meghat´arozott konstansok. A vet¨ uleti ir´ anyhalmazok meghat´aroz´as´at a 2. ´abra szeml´elteti.
α β β β
β
2. ´ abra: P´elda a felhaszn´ alt vet¨ uleti ir´ anyhalmazokra. S(α, 4) ir´ anyhalmaz (α, p = 4 ◦ ◦ el˝ ore meghat´ arozott param´eterek, β = 180 = 45 ). p
Minden tesztk´ep eset´en a felhaszn´alt vet¨ ulethalmazok p vet¨ uletsz´ 16 lamaim2 ´es
k¨oz¨ott mozogtak, ´es minden vet¨ uletsz´am eset´en k¨ ul¨onb¨ oz˝o, 0◦ ´es
180 p
◦
−1
k¨oz¨otti eg´esz α kezd˝ osz¨ ogekkel defini´alt sz¨oghalmazokat haszn´altunk. (A vet¨ uleti ir´ anyhalmazokra ad p´eld´ at a 3. ´abra.)
3. ´ abra: P´elda a k´et ´es h´ arom vet¨ uletet tartalmaz´ o ekviangul´ aris vet¨ uleti ir´ anyhalmazokra. A szaggatott piros vonalak jelzik a vet¨ uleti sugarak ir´ anyait.
Vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg a bin´ aris tomogr´ afi´ aban
4.
97
Tesztadatok ´ es k´ıs´ erletek
Vizsg´ alataink sor´an h´ arom k¨ ul¨onb¨ oz˝o forr´asb´ ol sz´armaz´o szoftveresen el˝oa´ll´ıtott tesztk´epeket haszn´altunk, amelyek k¨oz¨ ul h´ armat a [14] szerz˝ oi az algoritmusuk tesztel´es´ere haszn´altak ´es kett˝ o a [2]-ben jelent meg. Ugyancsak k´esz´ıtett¨ unk 10 u ´jonnan gener´ alt tesztk´epet, amik egyenk´ent 5 darab v´eletlenszer˝ uen elhelyezett k¨orlapot tartalmaznak. Bizonyos k´epeknek (a 10 u ´jonnan gener´alt k´ep ´es a [14]-ben haszn´alt egyik tesztk´ep eset´en) elk´esz´ıtett¨ uk k´et m´odos´ıtott v´altozat´at is az´altal, hogy az eredeti objektumok k¨or´e egy gy˝ ur˝ ut vagy n´egyzetes s´avot helyezt¨ unk. Az el˝ oa´llt ¨ osszesen 37 tesztk´epet egys´egesen 256×256 pixel m´eret˝ ure sk´ al´ aztuk. A tesztk´epek k¨oz¨ ul n´eh´any a 4. ´abr´ an l´athat´o.
4. ´ abra: A tesztel´eshez felhaszn´ alt k´epi adatb´ azis n´eh´ any eleme.
A vizsg´alatok sor´an haszn´alt programokat az NVIDIA CUDA [15] keretrendszer seg´ıts´eg´evel implement´ altuk, amely lehet˝ov´e teszi a nagy sz´am´ıt´asig´eny˝ u folyamatok GPU-n val´ o hat´ekony elv´egz´es´et. A sz´am´ıt´asokat egy Intel Q9300 CPU-t ´es NVIDIA GeForce 8800 GT GPU-t tartalmaz´ o PC-n hajtottuk v´egre. A k´epenk´ent defini´alt 431 rekonstrukci´o elv´egz´es´ehez sz¨ uks´eges id˝o – a feldolgozott tesztk´ep f¨ uggv´eny´eben – 1-2 ´ora k¨oz¨ott mozgott. Vizsg´ alataink sor´an k´et k¨ ul¨onb¨ oz˝o megk¨ ozel´ıt´est alkalmaztunk az eredm´enyek ki´ert´ekel´es´ere. A rekonstrukci´ok hib´aj´ anak m´er´es´ere meghat´aroztuk az eredeti ´es a rekonstru´ alt k´epek k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´eget minden tesztk´ep ´es S(α, p)
98
Varga L´ aszl´ o, Bal´ azs P´eter, Nagy Antal
sz¨ oghalmaz eset´en, a k¨ovetkez˝o k´eplettel: E(x∗ , S(α, p)) := kx∗ − xS(α,p) k22 .
(8)
A fenti formul´aban x∗ jel¨ oli az elv´art ide´ alis eredm´eny (a vizsg´alt tesztk´ep) k´eppontjainak vektor´at ´es xS(α,p) az S(α, p) ir´ anyhalmazzal k´esz¨ ult vet¨ uletekb˝ol kapott rekonstrukci´ ot. Az eredm´enyhalmaz egy m´asik t´ıpus´ u ki´ert´ekel´ese abb´ol ´allt, hogy minden tesztk´ep ´es vet¨ uletsz´am eset´en meghat´aroztuk a tesztk´ep ir´ anyf¨ ugg˝os´eg´et a k¨ovetkez˝o formul´aval: q Emin (x∗ ,p) ∗ ∗ cos π + 1 2 n (Emax (x , p) − Emin (x , p)) , (9) Dt (x∗ , p) := n2 2 ahol Emin (x∗ , p) := Emax (x∗ , p) :=
E (x∗ , S (α, p)) ,
(10)
max E (x∗ , S (α, p)) , ◦ 180 (⌈ p ⌉−1)
(11)
min
α=0◦ ,...,(⌈ 180 p ⌉−1)
◦
α=0◦ ,...,
´es q a
cos (πt) + 1 2
q
=1−t
(12)
egyenlet megold´asak´ent ´ all el˝ o, egy adott t ∈ (0, 1) param´eter mellett. A (9) k´eplet egyszer˝ uen egy adott tesztk´ep ´es vet¨ uletsz´am mellett kisz´ am´ıtja a legjobb ´es legrosszabb rekonstrukci´ok hib´ainak korrig´alt k¨ ul¨onbs´eg´et. A korrekci´os szorz´ o feladata, hogy az ir´ anyf¨ ugg˝os´egi m´ert´ek ne vehessen fel nagy ´ert´ekeket, abban az esetben ha a legjobb vizsg´alt rekonstrukci´o hib´aja magasabb egy el˝ ore meghat´arozott t k¨ usz¨ obn´el. A magasabb Dt (x∗ , p) ´ert´ekek nagyobb vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eget engednek felt´etelezni.
5.
Eredm´ enyek
A tesztek futtat´asa ut´an, a (9) formul´at felhaszn´alva kerest¨ uk a kezd˝osz¨ og megv´alaszt´as´ ara legink´ abb ´erz´ekeny ”tesztk´ep - vet¨ uletsz´am” p´ arosokat. A c´elunk az volt, hogy kider´ıts¨ uk, hogy a rekonstrukci´o eredm´enye jav´ıthat´o-e puszt´an a vet¨ uleti ir´ anyok helyes megv´ alaszt´as´aval. Term´eszetesen egy val´os alkalmaz´asban csak nagy pontoss´ ag´ u eredm´enyek elfogadhat´ oak, ´ıgy a Dt (x∗ , p) formula t param´eter´et a t = 0.001 ´ert´ekre ´all´ıtottuk. A megadott be´ all´ıt´asok mellett az ir´ anyf¨ ugg˝ os´egi m´ert´ek akkor a legmagasabb, ha egy tesztk´ep egy adott p sz´am´ u vet¨ uletet tartalmaz´ o – de k¨ ul¨onb¨ oz˝o ir´ anyokb´ ol vett – vet¨ ulethalmazok k¨oz¨ ul, n´eh´anyb´ ol k¨ozel t¨ ok´eletesen rekonstru´ alhat´o, m´ıg m´asokat haszn´alva elfogadhatatlan eredm´enyt kapunk. Az ´ıgy kapott vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝os´egekre ad p´eld´ at az 5. ´ abra.
Vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg a bin´ aris tomogr´ afi´ aban
99
5. ´ abra: A 4d-f. ´ abr´ akon szerepl˝ o tesztk´epek ir´ anyf¨ ugg˝ os´ege a vet¨ uletsz´ am f¨ uggv´eny´eben (a magasabb ´ert´ekek nagyobb ir´ anyf¨ ugg˝ os´eget jel¨ olnek).
A tesztk´epek k¨oz¨ ul els˝ok´ent azokat vizsg´altuk, amiken nem szerepelt sem gy˝ ur˝ u, sem n´egyzetes s´av az alakzatok k¨or¨ ul. Ebben az esetben azt tal´ altuk, hogy a k´epek ir´ anyf¨ ugg˝ os´ege 3-5 vet¨ ulet haszn´alatakor a legmagasabb. Pontosabban a legt¨obb tesztk´epre meghat´arozhat´o egy minim´alis vet¨ uletsz´am, aminek alkalmaz´asakor a megfelel˝o ir´ anyokat haszn´alva az rekonstrukci´os algoritmus majdnem t¨ ok´eletes eredm´enyt ad, m´ıg m´as vet¨ uletekkel az eredm´eny haszn´alhatatlan. P´eldak´eppen, a 6. ´ abra megadja k´et tesztk´ep eset´en a legjobb ´es legrosszabb rekonstrukci´ ok hib´ aj´ at, a vet¨ uletsz´am f¨ uggv´eny´eben. A 6. ´abra bal oldal´ an megfigyelhet˝ o, hogy a 4a ´ abr´ an l´athat´o tesztk´ep a megfelel˝o vet¨ uleteket haszn´alva ak´ ar 4 vet¨ uletb˝ol is megfelel˝oen rekonstru´ alhat´o, de ha az ir´ anyokat rosszul v´alasztjuk meg, akkor ak´ ar 7 vet¨ uletre is sz¨ uks´eg lehet az elfogadhat´ o eredm´eny el´er´es´ehez. Egy m´asik tesztk´ep 3 vet¨ ulet felhaszn´al´as´aval k´esz¨ ult konkr´et rekonstrukci´oira a 8. ´ abra a-c r´eszei adnak p´eld´ at.
6. ´ abra: A 4a (jobb) ´es 4e (bal) ´ abr´ akon szerepl˝ o tesztk´epek minim´ alis ´es maxim´ alis rekonstrukci´ os hib´ ai a vet¨ uletsz´ am f¨ uggv´eny´eben.
Hab´ ar mindegyik tesztk´ep¨ unk mutatott bizonyos szint˝ u vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝os´eget, meg kell jegyezn¨ unk, hogy nem minden esetben voltak megfigyelhet˝oek hasonl´ o m´ert´ek˝ u elt´er´esek. A 6. ´abra jobb oldali r´esze egy, a vet¨ uleti ir´ anyok megv´ alaszt´as´ at´ol kisebb m´ert´ekben f¨ ugg˝o tesztk´ephez tartoz´o statisztik´ akat mu-
100
Varga L´ aszl´ o, Bal´ azs P´eter, Nagy Antal
tat. J´ol l´athat´o, hogy a felrajzolt grafikonon a legjobb ´es legrosszabb rekonstrukci´ okhoz tartoz´o hiba-g¨ orb´ek k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´eg nem sz´amottev˝o, ´ıgy ebben az esetben a helyes ir´ anyok megtal´al´as´aval sem sz´am´ıthatunk nagy m´ert´ek˝ u javul´asra a rekonstrukci´ o eredm´eny´eben. (Ezen tesztk´ephez tartoz´o konkr´et rekonstrukci´ okra adnak p´eld´ at a 8. ´abra d-f r´eszei.) Ugyancsak hasznos lehet ha megvizsg´ aljuk az egyes tesztk´epek ´es vet¨ uletsz´amok eset´en a kezd˝ osz¨ og f¨ uggv´eny´eben felrajzolt hibag¨orb´eket. Ilyen g¨ orb´ekre ad p´eld´ at a 7. ´ abra. A g¨ orb´eket megvizsg´ alva azonnal szembet˝ unik, hogy a minim´ alis ´es maxim´ alis felvett ´ert´ekek k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´egek nagyok. Ez egybev´ ag a kor´ abbi meg´allap´ıt´ asainkkal, ´es azt mutatja, hogy a vet¨ uleti ir´ anyok megfelel˝o megv´ alaszt´as´ aval nagym´ert´ek˝ u javul´as ´erhet˝o el a rekonstrukci´o eredm´eny´eben. Az is l´athat´o, hogy a megjelen´ıtett g¨ orb´ek viszonylagosan sim´ak, ami arra enged k¨ovetkeztetni, hogy az optim´ alishoz k¨ozeli vet¨ uleti ir´ anyokkal k´epzett vet¨ uletek ugyancsak j´ o min˝os´eg˝ u rekonstrukci´ohoz vezetnek. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a rekonstrukci´ o jav´ıt´ as´ ahoz nem sz¨ uks´eges megtal´alni az optim´ alis ir´ anyokat, ´altal´ aban egy k¨ozel´ıt´es is elegend˝o lehet. ´ ekes megfigyel´esekhez vezethet m´eg a tesztk´epek k¨ Ert´ ul¨onb¨ oz˝o v´altozataihoz tartoz´o rekonstrukci´ ok ¨ osszehasonl´ıt´asa is. Ennek ok´ an a 7. ´abr´ an megjelen´ıtett grafikonok egyazon tesztk´ep h´ arom v´altozat´ahoz (4. ´abra d-f r´eszei) tartoz´o hibag¨ orb´eket tartalmaznak a kezd˝osz¨ og f¨ uggv´eny´eben. L´ athat´o hogy a legkisebb hib´ ak minden esetben a tesztk´ep legegyszer˝ ubb v´altozat´ahoz tartoznak. Abban az esetben, ha egy gy˝ ur˝ ut tesz¨ unk az alakzatok k¨or´e, a hiba–grafikon form´aja v´altozatlan marad, de a konkr´et ´ert´ekek megemelkednek. Ennek magyar´azata az lehet, hogy a gy˝ ur˝ u nagy fok´ u instabilit´ast hoz a modellez´esre haszn´alt egyenletrendszerbe, ´ıgy a megfelel˝o eredm´eny megtal´al´asa nehezebb´e v´alik. Az is l´athat´o, hogy a g¨ orb´eben bek¨ ovetkezett ilyen t´ıpus´ u v´altoz´ as cs¨okkenti a minimum ´es maximum pontok k¨oz¨otti viszonylagos t´ avols´agot, ´ıgy a m´odos´ıtott tesztk´ep rekonstrukci´ oi kev´esb´e ´erz´ekenyek az ir´ anyok megv´ alaszt´as´ara. A 8. ´abra g-i r´eszei egy ilyen esetre adnak p´eld´ at. A helyzet eg´eszen m´as, ha gy˝ ur˝ u helyett egy n´egyzetes s´avot adunk a tesztk´epen tal´ alhat´ o alakzatokhoz. A 7. ´abra ehhez az esethez tartoz´o grafikonjain j´ol l´athat´o, hogy a g¨ orb´ek alakja a kor´abbiakhoz k´epest teljesen megv´ altozott. Az u ´j g¨ orb´eken egy vagy k´et lok´alis minimumpont figyelhet˝o meg, amik k¨oz¨ott a rekonstrukci´ os hib´ ak magas ´ert´ekeket vesznek fel. Ennek magyar´azata, hogy a k´ephez adott n´egyzetes s´av rekonstrukci´oja ¨onmag´ aban is nagym´ert´ekben f¨ ugg a vet´ıt´esi ir´ anyok megv´ alaszt´as´ at´ol. Ez a s´av t¨ ok´eletesen rekonstru´ alhat´o, ha k´et vet´ıt´esi sug´ ar az oldalaira illeszkedik, ´ıgy ebben az esetben nincs hat´assal a rekonstrukci´o eredm´eny´ere, ´es az eredm´eny megegyezik az eredeti tesztk´ep rekonstrukci´oj´ aval. M´ asr´eszr˝ ol ha a vet´ıt´esi ir´ anyok nem illeszkednek megfelel˝oen a n´egyzet oldalaihoz az u ´j hozz´ aadott alakzat rekonstrukci´oja lehetetlenn´e v´alik, ami az eg´esz k´ep rekonstrukci´ oj´ at k´arosan befoly´ asolja. Ez azt jelenti hogy egy vizsg´alt t´ argy egy m´asik nagym´ert´ekben ir´ anyf¨ ugg˝o t´ arggyal val´o kieg´esz´ıt´ese jelent˝ osen befoly´asolhatja a rekonstrukci´ o eredm´eny´et ´es a vet¨ uletk´epz´eshez haszn´alt ir´ anyok helyes megv´ alaszt´as´ at.
Vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg a bin´ aris tomogr´ afi´ aban
101
Mivel a vizsg´alatokhoz ekviangul´ aris vet¨ ulethalmazokat alkalmaztunk, p´ aratlan sz´ am´ u vet¨ ulet haszn´alatakor a g¨ orb´eken k´et minimum pont jelenik meg, mert ekkor a n´egyzetes s´av egyszerre csak egy oldal´ ahoz tudunk vet´ıt´esi ir´ anyt illeszteni. A g¨ orb´ek karakterisztik´aj´ anak hasonl´ o v´altoz´ asai a gy˝ ur˝ u hozz´ aad´asakor nem jelentkeznek, mivel a gy˝ ur˝ u invari´ans az elforgat´ asra, ´ıgy az minden vet¨ uleten azonos m´odon jelenik meg.
7. ´ abra: A 4g-i. ´ abr´ akon szerepl˝ o tesztk´epek rekonstrukci´ os hib´ ai a kezd˝ osz¨ og f¨ uggv´eny´eben 3 ´es 4 vet¨ ulet eset´en.
Eredm´enyeink ¨ osszefoglal´asak´ent az 1. t´ abl´ azatban megadtuk az egyes tesztk´epek elfogadhat´ o (0.1%-n´ al kisebb hib´aval rendelkez˝o) rekonstrukci´oihoz tartoz´ o, legjobb ´es legrosszabb esetben sz¨ uks´eges vet¨ uletek sz´amait. A t´ abl´ azat eredm´enyein is l´athat´o, hogy a megfelel˝o vet´ıt´esi ir´ anyok megv´ alaszt´asa fontos, mivel ´ altaluk nagym´ert´ekben cs¨okkenthet˝ o a rekonstrukci´ohoz sz¨ uks´eges vet¨ uletek sz´ ama. 1. t´ abl´ azat: A tesztk´epek legfeljebb 0.1%-os hib´ at eredm´enyez˝ o rekonstrukci´ oj´ ahoz sz¨ uks´eges vet¨ uletsz´ amok, a legjobb illetve legrosszabb vet¨ uleti ir´ anyok haszn´ alatakor. Minden oszlop egy tesztk´ephez tartoz´ o eredm´enyeket tartalmaz. A sorok jel¨ ol´esei: s.p. - egyszer˝ u tesztk´ep; w.r. - tesztk´ep a hozz´ aadott gy˝ ur˝ uvel; r.s. - tesztk´ep a hozz´ aadott n´egyzetes s´ avval.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. s.p. - legjobb 4 s.p. - legrosszabb 5
5 12 5 6 14 6
4 7
4 5
4 5
4 5
4 5
4 5
4 5
4 5
4 5
4 6
4 5
w.r. - legjobb w.r. - legrosszabb -
-
-
-
6 7
6 7
7 7
6 7
6 7
6 6
7 7
6 7
7 7
7 7
7 7
r.s. - legjobb r.s. - legrosszabb
-
-
-
6 9
6 9
6 9
6 9
4 9
6 9
6 9
6 9
4 9
6 9
6 9
-
102
Varga L´ aszl´ o, Bal´ azs P´eter, Nagy Antal
8. ´ abra: P´elda a tesztk´epek adott vet¨ uletsz´ am mellett kapott legjobb ´es legroszszabb rekonstrukci´ oira. Az oszlopok tartalma: felhaszn´ alt tesztk´ep (els˝ o oszlop), legjobb rekonstrukci´ o (m´ asodik oszlop), legrosszabb rekonstrukci´ o (harmadik oszlop). A rekonstrukci´ ok param´eterei: b, c: 3 vet¨ uletb˝ ol 5◦ ´es 36◦ kezd˝ osz¨ ogekkel; e, f: 10 vet¨ ulet 0◦ ´es 5◦ kezd˝ osz¨ ogekkel; h, i: 6 vet¨ ulet 6◦ ´es 25◦ kezd˝ osz¨ ogekkel; k, l: 4 vet¨ ulet 0◦ ´es 27◦ kezd˝ osz¨ ogekkel.
Vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg a bin´ aris tomogr´ afi´ aban
6.
103
Ir´ anyf¨ ugg˝ os´ eg felhaszn´ al´ asa a nem-roncsol´ o tesztel´ esben
Az iparban gyakran van sz¨ uks´eg adott t´ argyak bels˝o szerkezet´enek vizsg´alat´ara, azok sz´etszerel´ese ´es roncsol´ asa n´elk¨ ul. Ezt a folyamatot nem-roncsol´ o tesztel´esnek (Non-Destructive Testing – NDT) nevezik. Az ilyen alkalmaz´asokban a t´ argyak bels˝o szerkezet´er˝ ol ´altal´ aban vet¨ uleti tomogr´afi´aval r¨ontgen-, vagy neutron-sug´ arz´ as haszn´alat´aval nyernek inform´aci´ ot. Mivel az ilyen t´ıpus´ u vet¨ uletek k´epz´ese ´ altal´ aban k¨olts´eges ´es id˝oig´enyes, fontos, hogy a sz¨ uks´eges vet¨ uletek sz´ ama a lehet˝ o legalacsonyabb legyen. Ha tudjuk, hogy a t´ argyat fel´ep´ıt˝o anyag homog´en, akkor a vizsg´alathoz alkalmazhatunk bin´aris tomogr´afi´at [3]. A nem-roncsol´ o tesztel´es egy gyakori feladata, hogy egy legy´ artott t´ argyat ¨osszehasonl´ıtsunk egy tervrajzzal ´es eld¨ onts¨ uk, megfelel˝oen lett-e elk´esz´ıtve. Ennek m´odja a k¨ovetkez˝o. A t´ argyat behelyezik egy szkennerbe, n´eh´any meghat´arozott ir´ anyb´ ol k´epzik a vet¨ uleteit ´es egy tetsz˝ oleges (bin´ aris) rekonstrukci´os algoritmussal felder´ıtik a bels˝o szerkezet´et. V´eg¨ ul a rekonstrukci´o eredm´eny´et valamilyen hasonl´ os´ agi m´ert´ekkel ¨ osszevetik a tervrajzzal. Mivel ebben az esetben a vizsg´alt t´ argy tervrajza rendelkez´esre ´all, szimul´alni tudjuk annak vet¨ uleteit tetsz˝ oleges ir´ anyokban, ´es az 5. fejezetben le´ırt teszteket elv´egezve elemezhetj¨ uk a t´ argy ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg´et. Az ´ıgy nyert inform´aci´ o rendk´ıv¨ ul hasznos lehet a nemroncsol´ o tesztel´es sz´ amos ter¨ ulet´en. Ha elhelyez¨ unk egy referencia jelet a vizsg´alt t´ argyon, akkor lehets´eges, hogy a vizsg´alt t´ argyat egy adott helyzetben tegy¨ uk be a szkennerbe ´es adott ir´ any´ u vet¨ uleteit k´epezz¨ uk. A tervrajzon v´egzett vizsg´alatokb´ol meg´allap´ıthatjuk, hogy melyek a rekonstrukci´ ohoz haszn´alhat´o ide´ alis ir´ anyok – csak meg kell keresn¨ unk egy, a 7. ´ abr´ ahoz hasonl´ o grafikonon a minimumhelyet. Ezzel meghat´arozhatjuk, hogy az alakzat mely vet¨ uleteit ´erdemes k´epezni, ´es minimaliz´alhatjuk a rekonstrukci´ ohoz sz¨ uks´eges vet¨ uletek sz´am´ at, vagy adott sz´am´ u vet¨ ulet mellett maximaliz´ alhatjuk az eredm´eny pontoss´ag´at. Mivel tesztjeinkben az ir´ anyf¨ ugg˝os´egi grafikon sim´ anak bizonyult, az is val´osz´ın˝ us´ıthet˝o, hogy a vizsg´alt t´ argyat nem kell t¨ ok´eletesen elhelyezni a szkennerben, elegend˝o a megfelel˝o ir´ anyt k¨ozel´ıteni. M´ asfel˝ ol, ha nem tudjuk befoly´ asolni a vizsg´alt t´ argy elhelyez´es´et a szkennerben, akkor is tudjuk m´erni a rekonstrukci´o ir´ anyf¨ ugg˝os´eg´et. Az ´ıgy kapott inform´aci´ ob´ol megj´ osolhatjuk, hogy legrosszabb esetben h´ any vet¨ uletre van sz¨ uks´eg a t´ argy elfogadhat´ o min˝os´eg˝ u rekonstru´ al´as´ahoz, illetve hogy egy k¨ot¨ott vet¨ uletsz´ am mellett egy adott rekonstrukci´os algoritmus megfelel-e a vizsg´alatokhoz.
7.
¨ Osszefoglal´ as ´ es tov´ abbl´ ep´ esi lehet˝ os´ egek
A munk´ ank c´elja egy bin´ aris tomogr´afiai rekonstrukci´os algoritmus vet¨ uleti ir´anyf¨ ugg˝ os´eg´enek vizsg´alata volt. Sz´amos k´ıs´erletet v´egezt¨ unk az´altal, hogy egy k´epi tesztadatb´azis elemeit rekonstru´ altuk azok k¨ ul¨onb¨ oz˝o vet¨ ulethalmazaib´ol, ´es az eredm´enyeket megfelel˝o m´odszerekkel elemezt¨ uk. Eredm´enyeink alapj´an az alakzatok bin´ aris rekonstrukci´oj´ ara nagy hat´assal lehet a rekonstrukci´ohoz
104
Varga L´ aszl´ o, Bal´ azs P´eter, Nagy Antal
felhaszn´alt vet¨ uletek ir´ anyainak megv´ alaszt´asa, ´es a vet¨ uletek helyes megv´ alaszt´ as´ aval minimaliz´ alhat´ o a rekonstrukci´ohoz sz¨ uks´eges vet¨ uletek sz´ama, vagy adott vet¨ uletsz´am mellett maximaliz´ alhat´o az eredm´eny pontoss´aga. A vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg bemutat´ asa mellett ugyancsak megvizsg´ altuk az eredm´enyek lehets´eges gyakorlati felhaszn´al´ as´at a nem-roncsol´ o tesztel´es ter¨ ult´en. Jelen cikk¨ unk a kor´ abbi [11] munk´ ank magyar nyelvre ford´ıtott ´es ´atszerkesztett v´altozata. Az eml´ıtett cikk k¨ozl´ese ´ota sor ker¨ ult az eredm´enyek kiterjeszt´es´ere is, t¨ obb szempont alapj´an. A [12] munk´ ankban megvizsg´ altuk, hogy el´erhet˝ o-e tov´abbi javul´as a rekonstrukci´o min˝os´eg´eben nem-ekviangul´ aris sz¨ogek alkalmaz´as´ aval. A [13] pedig m´as rekonstrukci´os algoritmusokra terjeszti ki a munk´ ankat, illetve a gyakorlati alkalmaz´asokban t¨ ort´en˝o felhaszn´al´ast vizsg´alja az´altal, hogy a tesztek egy r´esz´et zajos vet¨ uleti adatokkal v´egezt¨ uk. Az eredm´enyeink alapj´ an arra k¨ovetkeztet¨ unk, hogy a vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝os´eg egy szab´alyos jelens´eg, ami a megfelel˝o matematikai m´odszerekkel modellezhet˝o. A tov´abbl´ep´esi terveink k¨oz¨ott szerepel ennek az elm´eleti magyar´azatnak a keres´ese, ami sz´ amos u ´j eszk¨ ozt ny´ ujthat a rekonstrukci´ok min˝os´eg´enek jav´ıt´as´ara. Terveink k¨oz¨ott szerepel tov´abb´a a vizsg´alatok kiterjeszt´ese az adapt´ıv vet¨ uletk´epz´es ter¨ ulet´ere [9], amikor is a vet¨ uletk´epz´es folyamata sor´an a m´ar meglev˝ o vet¨ uleteket felhaszn´alva pr´ob´aljuk megj´osolni, hogy a tov´abbiakban mely vet¨ uletek seg´ıts´eg´evel jav´ıthat´ o a rekonstrukci´o eredm´enye a legnagyobb m´ert´ekben.
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Szeretn´enk megk¨ osz¨ onni Joost Batenburgnak ´es Christoph Schn¨ orrnek, hogy tesztk´epek biztos´ıt´ as´ aval seg´ıtett´ek munk´ ankat. A kutat´ ast r´eszben a Nemzeti ¨ ´ ´ Fejleszt´esi Ugyn¨ oks´eg TAMOP-4.2.2/08/1/2008-0008 ´es TAMOP-4.2.1/B-09/1/ KONV-2010-0005 programjai, valamint a Magyar Tudom´anyos Akad´emia Bolyai J´anos kutat´ asi ¨ oszt¨ond´ıja t´ amogatt´ ak.
Irodalom 1. Bal´ azs, P., Gara, M.: An evolutionary approach for object-based image reconstruction using learnt priors, Lecture Notes in Computer Science vol. 5575 (2009) 520–529. 2. Batenburg, K.J., Sijbers, J.: DART: a fast heuristic algebraic reconstruction algorithm for discrete tomography, IEEE Conference on Image Processing IV (2007) 133–136. 3. Baumann, J., Kiss, Z., Krimmel, Z., Kuba, A., Nagy, A., Rodek, L., Schillinger, B., Stephan, J.: Discrete Tomography Methods for Nondestructive Testing, Chapter 14 of [6] (2007) pp. 303–331. 4. Herman, G.T.: Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections, 2nd Edition, Springer, 2009. 5. Herman, G.T., Kuba, A. (Szerk.): Discrete Tomography: Foundations, Algorithms and Applications, Birkh¨ auser, Boston, 1999. 6. Herman, G.T., Kuba, A. (Szerk.): Advances in Discrete Tomography and Its Applications, Birkh¨ auser, Boston, 2007.
Vet¨ uleti ir´ anyf¨ ugg˝ os´eg a bin´ aris tomogr´ afi´ aban
105
7. Kak, A.C., Slaney, M.: Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, New York, 1999. 8. Nagy, A., Kuba, A.: Reconstruction of binary matrices from fan-beam projections, Acta Cybernetica, 17(2) (2005) 359–385. 9. Placidi, G., Alecci, M., Sotgiu, A.: Theory of adaptive acquisition method for image reconstruction from projections and application to EPR imaging, Journal of Magnetic Resonance, Series B, (1995) 50–57. 10. Sch¨ ule, T., Schn¨ orr, C., Weber, S., Hornegger, J.: Discrete tomography by convexconcave regularization and D.C. programming, Discrete Applied Mathematics 151 (2005) 229–243. 11. Varga, L., Bal´ azs, P., Nagy, A.: Direction-dependency of a binary tomographic reconstruction algorithm, Lecture Notes in Computer Science vol. 6026 (2010) 242– 253. 12. Varga, L., Bal´ azs, P., Nagy, A.: Projection selection algorithms for discrete tomography, Lecture Notes in Computer Science vol. 6474 (2010) 390–401. 13. Varga, L., Bal´ azs. P., Nagy, A.: Direction-dependency of binary tomographic reconstruction algorithms, K¨ ozl´esre beny´ ujtva: Graphical Models (CompIMAGE 2010 k¨ ul¨ onsz´ am). 14. Weber, S., Nagy, A., Sch¨ ule, T., Schn¨ orr, C., Kuba, A.: A benchmark evaluation of large-scale optimization approaches to binary tomography, Lecture Notes in Computer Science vol. 4245 (2006) 146–156. 15. NVIDIA CUDA http://www.nvidia.co.uk/object/cuda home new uk.html
